分数问题

分数问题（通用12篇）

分数问题 篇1

摘要：分数的实际问题, 是小学高段教师难教、学生难学的教学内容, 不少教师教这部分内容时都或多或少有些困惑, 如何使课堂教学效率最大化, 教学效果最佳, 本文抛砖引玉, 予以探讨, 供同行们参考。

关键词：分数,单位“1”,实际问题,教学

解决分数实际问题是小学数学教学的重点和难点, 一直以来是教师难教和学生难学的数学问题。尽管新课标教材在这部分内容编排上作了些改革, 一定程度上降低了学生学习这部分知识的难度, 但是不少教者仍受老教材和传统教法的影响, 教学效果不尽如意。笔者对解决分数实际问题的教学进行了一些思考与尝试性的实践, 收到了很好的教学效果, 现将自己对这部分内容教学的一些作法与感受与大家分享, 抛砖引玉, 希望对广大同仁能有所裨益, 大面积提高课堂教学质量, 达到事半功倍的教学效果。

一、教给学生正确确定单位“1”的方法

正确确定单位“1”, 是解决分数问题的关键。在教学之初要教给学生正确确定单位“1”的方法。教学时, 紧紧抓住分数的意义和分数乘法的意义去分析, 去找单位“1”, 即哪个数量的几分之几, 那个数量就是单位“1”;跟哪个量比, 作标准的那个量就是单位“1”, 单位“1”一般位于“是”“相当于”“比”的后面。例如:

(1) 书的价钱是钢笔价钱的。

书价与钢笔价比, 钢笔价钱是单位“1”。

(2) 一件衣服便宜了后售价120元。

用现价和原价比, 以原价为标准, 将之改述为“现价比原价便宜了”, “比”后面的量是原价, 所以原价是单位“1”。象这种单位“1”不明显的, 要根据题意找出谁和谁比, 作为标准的量就是单位“1”。

二、运用旧知识引出新知识, 建立新概念

分数乘法问题依据分数乘法的意义指导求解, 而分数除法问题也是根据分数乘法的意义来布列方程的。所以, 掌握好分数乘法的意义是学好分数乘除法问题的前提。为此, 加强新旧知识联系, 促进学生所学知识的正迁移。教学时, 注意把“求一个数的几倍是多少”与“求一个数的几分之几是多少”加以沟通, 一个数乘自然数a, 就是求这个数的a倍是多少, 类似地, 一个数乘一个分数, 也就是求这个数的倍, 习惯上这个倍字常常略去, 只说是求这个数的。这样, 学生原有的认结结构得到扩展和更新, 分数乘法的意义在学生头脑中深深扎根, 为后继学习打下了基础。

三、进行单项基本能力训练

1. 用数学式子表述数量关系的训练。

2. 根据条件说出等量关系的训练。

3. 用线段图分析题意的专项训练。

用线段图表示分数问题中的条件与问题, 可以借助形象思维来支持抽象思维, 帮助学生理解、分析数量间的关系, 它是学生学习分数应用题的拐棍。通过线段图, 学生很容易找出等量关系, 为顺利解题作好了铺垫。要求学生每次在作图之前, 先找单位“1”, 然后看相比的两个量如果是整体与部分的相比关系, 那么作图时只需作一条;如果相比的量是两个相对独立的数量之间的关系, 就需作两条, 而且要求学生第一条必须作表示单位“1”的量, 这样可以克服学生做题时随意调换单位“1”的缺点。

例如:某工厂四月份计划烧煤135吨, 比实际多烧煤, 实际烧煤多少吨?

画线段图时, 实际烧煤量是单位“1”, 第一条画表示实际的量。等量关系:计划烧煤量=实际烧煤量+实际烧煤量×。

有了线段图, 学生能很容易地找出等量关系, 形象直观地将计算方法展示出来, 达到了化难为易的目的。

四、教给学生分析分数实际问题的方法

在理解题意, 弄清已知条件和所求问题以后, 分析解决问题分三步走: (1) 找单位“1”; (2) 抓关键句或画线段图, 找等量关系。由于有前期大量的练习作保证, 用这样的思路分析解答分数乘除法实际问题, 学生感到熟悉易懂, 不用过多地指导, 他们就能根据题意画出线段图, 把抽象的文字叙述, 转化为直观简明的图示, 从而轻而易举地找出等量关系。 (3) 选择解答方法, 列出算式或方程解答。

值得一提的是, 教材在编排这部分内容时, 将分数的乘除法实际问题统一为一种即分数的乘法, 解题的依据是分数乘法的意义。特别是求单位“1”是多少的分数实际问题, 教材编排主要介绍了用方程解答的方法, 这样编排一方面要求学生在解决这类问题时尽量采用方程解答, 以促进小学与中学的衔接, 另一方面主要为了降低学生学习这部分内容的难度。虽然学生在解答时不喜欢用方程解, 但是教学时无论是分数乘法的实际问题还是分数除法的实际问题, 都采用同样的分析方法, 同样地找等量关系, 所以学生采用算术方法解也是用方程的思路解决的, 这样照样达到了降低学习难度的目的。例如:

小明今年身高是132cm, 比去年增高了。小明去年身高是多少厘米?

(1) 去年身高是单位“1”。 (2) 关键句:今年身高132cm, 比去年增高了。等量关系:今年身高=去年身高+去年身高×=去年身高× (1+) 。 (3) 用方程得解, 也为由分数除法的意义得出132÷ (1+) 的算术方法解找到了思考的依据。

分数问题 篇2

解决分数问题是小学六年级阶段学习的重点与难点，对于大多数中下学生来说都从内心里感到这类问题难于理解，确定不出计算方法，尤其是稍微复杂的分数问题，更是无所适从。优秀学生对于复杂的分数问题也会有畏难之感。根据这一现象的存在，对于全体学生实行统一的教学方法难以完成教学目标，因此在实际教学中我采用差异法教学。从2003年---2006年开始，经过三年的分析与研究，对于优秀学生采用课本上“分数法”，而对于中下学生采用“单一量法”，使不同层面上学生都得到了发展。采用“单一量法”解答分数问题，学生容易理解与接受，在实际教学中取得了良好的教学效果。

一、“单一量法”提出的偶然性。

在一次教学分数问题时，我出示了两道复习题：

1、六一班共有学生54名，男生占全班的5/9，男生多少名？

2、六一班共有男生25名，男生占全班的5/9，全班共有学生多少名？

结果在检查列式计算情况时，平时表现不很积极的王小红给我她的列式：

①

54÷9×5＝25（名）②

25÷5×9=54（名）

当我把她的列式写在黑板上时，有的同学说结果正确，列式不正确；有的同学说列式有道理。当我肯定了这种做法时，王小红笑了。

从此以后有许多学习成绩中下的学生喜欢使用这种方法，经过一段时间的思考，我终于明白：这种方法有点类似于按比例分配问题，但课本中的按比例分配问题最终又回到了分数问题的解决，但这种方法不用考虑单位“1”，只要找到“一份的量”和“对应的份数”，按照整数乘除法就能解决问题，比根据分数乘除的意义来解决问题直观、方便，易于学生理解、接受。于是经过一段时间的摸索，通过对分数、比、按比例分配、除法关系的分析，最终确定用“单一量法”解决相关分数问题这个小课题。

二、基本数量关系：

单一量=总数量÷总份数 总数量=单一量×总份数 分配量=单一量×对应份数 单一量=分配量÷对应份数

单一量=分配量之差÷对应份数之差 单一量=分配量之和÷对应份数之和

三、教学步骤

（一）根据实例，分清概念，明晰数量关系。

1、讲解相关的概念，找出它们之间的关系。

一个农场计划在100公顷的地里播种大豆和玉米，播种面积的比是3：2。两种作物各播种多少公顷？

总数量：100公顷。总份数：3+2=5

单一量：100÷5=20（公顷）对应份数：大豆3份，玉米 2份 分配量：

大豆的播种面积：20×3=60（公顷）

玉米的播种面积：20×2=40（公顷）

2、找出相关数量，求出单一量、分配量。

①三年级与四年级订报的人数比是3：4，共订报49份，两个年级各订报多少份？

总数量： 49份 总份数： 3+4=7

单一量： 49÷7=7（份）对应份数：

三年级订报份数3份； 四年级订报份数4份。

分配量：

三年级订报份数：7×3=21（份）

四年级订报份数：7×4=28（份）

②一个三角形三条边的长度比是3：5：4，三角形的周长是36厘米，三条边各是多少厘米？

总数量： 36厘米

总份数： 3+4+5=12

单一量： 36÷12=3（厘米）

分配量：

第一条边的长度：3×3=9（厘米）

第二条边的长度：3×5=15（厘米）

第三条边的长度：3×4=12（厘米）

3、归纳、总结，概括数量关系。

单一量=总数量÷总份数

总数量=单一量×总份数

分配量=单一量×对应份数

4、讨论、印证，提高分析数量关系的能力。

①一种什锦糖由奶糖、水果糖和酥糖按照3：5：2混合而成。要配制这样的什锦糖500千克，需要奶糖、水果糖和酥糖各多少千克？

②学校给六年级买来45本文学书籍，按4：5的比例借给六年级一班和二班。这两个班各借多少本？

③家销售公司9月份销售小轿车、小客车、数量的比是7：3：2，这三种车共销售了24辆，各卖多少辆？

④一种药水是把药粉和水按照1：100的比配成，要配制这种药水4040千克，需要药粉多少千克？

⑤建筑工人用2份水泥、3份沙子和5份石子配制一种混凝土。配制6000千克这种混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少千克？

⑥某印刷厂的男职工与女职工人数的比是4：3，全厂有职工364人。男、女职工各有多少人？

（二）、分析比较，找准总数量，求出分配量。

在第一步掌握数量关系、会解答一般按按比例分配问题的基础上，让学生从中找出相关数量，正确判断总数量并求出总数量，然后再按“单一量法”求出问题。

1、通过具体问题判断总数量，并求出总数量。

A长方形的周长是20分米，长、宽之比是3：2，长、宽各是多少分米？

B小明语文、数学平均成绩是90分，语文、数学平均成绩之比是4：5，语文、数学成绩各是多少？

A题中的总数量是长、宽之和，因此为：20÷2=10（厘米）； B题中的总数量应是语文、数学的总成绩：90×2=180（分）

2、类比训练，加深对数量关系的理解与运用。

A

一个长方体的棱长之和是120厘米，长：宽：高=3：2：1，长方体的长是多少厘米？

B

一个平行四边形的周长是48厘米，相邻两边的比是5：3，短边的长是多少厘米？

C

小明期中考试的语文、数学、英语平均成绩是90分，三科成绩比是17：19：18，数学成绩是多少？

D

甲、乙、丙三个家庭2008年平均存款12000元，他们的存款比是10：5：3，存款最多的家庭存款多少元？

E

一个三角形的内角度数之比是1：2：3，它最大角的度数是多少度？

（三）、巧求“单一量”，化曲为直。

学生在掌握了三个基本关系式之后，能够比较熟练地进行解决问题，在此基础上通过具体的事例让学生掌握如下三人基本关系式：

①单一量=分配量÷对应份数

②单一量=分配量之差÷对应份数之差 ③单一量=分配量之和÷对应份数之和

1、探究、指导，验证数量关系。

出示问题：

一家销售公司9月份销售小轿车、小客车、小货车的比是7：2，这三种车共销售了24辆，每种车各卖了多少辆？

学生解答：

总数量：24辆 总份数：7+3+2=12 单一量：24÷12=2（辆）分配量：

轿车分配量：2×7=14（辆）

客车分配量：2×3=6（辆）

货车分配量：2×2=4（辆）

2、师生共同验证关系式：

①单一量=分配量÷对应份数

：3轿车：14÷7=2（辆）客车：6÷3=2（辆）货车：4÷2=2（辆）②单一量=分配量之差÷对应份数之差。

轿车销量比客车多（14－6）辆，轿车所占份数比客车多（7－3）份。（14－6）÷（7－3）=2（辆）

货车销量比客车少（6－4）辆，货车所点份数比客车少（3－2）份。（6－4）÷（3－2）=2（辆）

货车销量比轿车少（14－4）辆，货车所点份数比客车少（7－2）份。（14－4）÷（7－2）=2（辆）

③单一量=分配量之和÷对应份数之和。

轿车与客车共销售（14＋6）辆，共占（7＋3）份。（14＋6）÷（7＋3）=2（辆）

轿车与货车共销售（14＋4）辆，共占（7＋2）份。（14＋4）÷（7＋2）=2（辆）

客车与货车共销售（6＋4）辆，共占（3＋2）份。（6＋4）÷（3＋2）=2（辆）

3、归纳整理，概括关系式。

单一量=分配量÷对应份数

单一量=分配量之差÷对应份数之差 单一量=分配量之和÷对应份数之和

4、合作、巩固，运用提高。

①甲、乙两数之比5：6，甲是10，乙是多少？

②同学们分3个组采集树种。第一小组、第二小组、第三小组的工作效率的比是5：3：4，第一小组采集15千克，二组、三组各采多少千克？

③A、B、C三个数的比是3：5：1，B比C多20。则A、B、C各是多少？

④小明的钱数比小红少30元，小明与小红的钱数比是2：5。两人各有多少元？

⑤甲、乙、丙、丁四数的比是3：5：7：1，甲与丙的和是100，乙、丁各是多少？

⑥小兵、小红、小强捐款钱数比是2：7：4，小兵、小强共捐款30元。小红捐款多少元？

(四)“分比”转“连比”，省繁就简。

“分比”转“连比”，就是通过“分比”中的中间量，求得其最小公倍数，将“分比”转化成“连比”，再按照前边所学的关系式解决问题。

1、示例教学

（1）甲：乙=2：3，乙：丙=4：3。甲是丙的几分之几？丙比甲多几分之几？

甲：乙=2：3=8：12 乙：丙=4：3= 12：9 甲：乙：丙=8：12：9 则：

甲是丙的：8÷9=8/9 丙比甲多：（9－8）÷8=1/8

（2）A是B的1/3，B：C=2：3。A是C的几分之几？A比C少几分之几？

A：B=1：3=2：6 B：C=2：3= 6：9 A：B：C=2：6：9 则：

A是C的：2÷9=2/9

A比C少：（9－2）÷9=7/9

（3）甲比乙多1/4，甲：丙=2：3。甲是丙的几分之几？丙比甲多几分之几？

甲比乙多1/4，甲是乙的（1＋1/4）=5/4 甲：乙=5：4=10：8 甲：丙=2；3=10：6 甲：乙：丙=10：8：6 则：

甲是丙的：10÷6=5/3

丙比甲多：（10－6）÷10=2/5

2、拓展、指导，内化知识。

①甲数和乙数的比是2：3，乙数和丙数的比是4：5，甲是丙的几分之几？

②甲：乙=3：4，乙：丙=2：3，丙-甲=45。乙是多少？

③爷爷的工资比爸爸少800元，是妈妈工资的4/5，妈妈工资和爸爸工资的比是2：3，三个人的工资各是多少？

④小明、小强和小刚一起集邮。小明比小刚少集100枚，比小强少1/8，小强的邮票枚数与小刚的比是8：9。小刚有多少邮票？

⑤四、五、六年级的同学举行献爱心活动。四年级捐款钱数是五年级的3/5，五年级捐款钱数是六年级的3/4，四、六年级共捐款2900元。三个年级共捐款多少元？

⑥商店运来苹果、桔子和梨三种水果。苹果和梨共有600千克，苹果的千克数是桔子的1/2，桔子与梨质量比是6：1。运来多少桔子？

（五）“单一量法”的推广、应用。

①商店运来的苹果是梨的5/6，苹果是25千克，梨运来多少千克？

②商店运来的苹果是梨的5/6，梨是30千克，苹果运来多少千克？

③等腰三角形的顶角度数是底角的1/2，底角是多少度？

④学校里有银杏树45棵，杨树的棵数是我银杏的2/3，又是柳树的3/7。柳树有多少棵？

⑤春季运动会上，六、一班参加比赛的女生占全班的1/6，参加比赛的男生占全班的1/4，参加比赛的男生比女生多4人，参加比赛的男生多少人?

(六)、实际快速运用。人教十一册 77页：

3、一种电视机原价1260元，现在比原来降价4/15，现价多少元？ 1260÷15×(15－4)

4、一种电视机现价924元，比原来降价4/15，原价多少元？

924÷(15－4)×15 78页：

7（1）甲乙两地公路长216千米，一辆汽车从甲地到乙地，行了全程的3/8，离乙地还有多少千米？

216÷8×(8－5)

（2）一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的3/8，离乙地还有135千米，两地之间的公路全长多少千米？ 135÷(8－3)×8 134页：

13、曙光小学六年级学生的5/6参加了冬季锻炼，其中女生有45名，占参加锻炼人数的3/7。六年级共有学生多少人？

45÷3×7÷5×6 136页：

24、张师傅加工一批零件，第一天完成了个数是与零件总个数的比是1：3。如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半，这批零件共有多少个？

1:3=2:6

1/2=3:6

15÷(3－2)×6

27、商店运来橘子、苹果和梨一共320千克。橘子和苹果的比是5：6，梨的重量是苹果的3/10。橘子比梨多多少千克？

5:6=25:30

3/10=9:30

橘子:苹果:梨=25:30:9

320÷(25＋30＋9)=5(千克)

橘子比梨多:

5×(25－9)=80(千克)

借助线段图，分数问题整数解 篇3

【例1】甲、乙两仓库共有大米1680袋，其中甲仓库大米袋数的与乙仓库大米袋数的相等，两个仓库各有大米多少袋？

【分析与解】根据题意画出线段图：

从图中可以看出，把甲、乙两仓库的大米袋数平均分成3+4=7（份），其中甲仓库大米袋数占4份，乙仓库大米袋数占3份。所以，甲仓库的大米袋数为=960（袋），乙仓库的大米袋数为=720（袋）。

【例2】 幼儿园买花毛巾和白毛巾共128条，花毛巾用去，白毛巾用去，余下的正好相等。花毛巾和白毛巾各买了多少条？

【分析与解】从用去的分率关系推算出余下的分率关系：花毛巾？。用线段图表示如下：

从图中不难看出，把毛巾平均分成8份，其中花毛巾占3份，白毛巾占5份。所以，花毛巾的条数为128=48（条）；白毛巾的条数为128=80（条）。

【例3】甲、乙两人共有人民币85元，甲的与乙的 相等。甲、乙两人各有人民币多少元？

【分析与解】因为=，=，所以甲的等于乙的，用线段图表示如下：

从图中可看出，把甲、乙两人共有的人民币分成8+9=17（份），其中甲有8份，乙有9份。所以，甲有人民币85€？7€？=40（元）；乙有人民币85€？7€？=45（元）。

【例4】 一辆汽车从甲地开往乙地，行驶全路程的以后，离乙地还有108千米。甲、乙两地间的路程是多少千米？

【分析与解】先依题意画出线段图：

再谈分数教学的三个本原性问题 篇4

一、什么是分数

分数是怎样的一类数?只要教过和学过的师生都能把定义说出来,但定义背后的“本质”却不一定知道,这是关于分数教学的本原问题。从数系衍生的角度看,分数产生于自然数之后,来源于等分或测定一个连续的量的需要,正如自然数来源于计量不连续的量一样,都是产生于人类实际的生产与生活。

分数的本质在于真分数,其现实背景一是表达整体与等分的关系,二是两个数量之间的整比例关系。分数虽然可以看成是除法运算与比的另一种表示形式,但其本质是“数”,而不是运算,具有“量”与“率”两重意义,是“率”的确定性与“量”的不确定性的统一,是一种无量纲的数。

在现行的小学数学教材中,分数的引入都是从平均分一块蛋糕等具体的实物开始的,这是分数的“量的导入法”,是分数概念的经验根源。即用分数来直接表示“平均分”的结果,平均分几份和需要表示几份都是通过直观图直接呈现的,需要平均分几份是已知的,无需测量、计算并调整确定,学生头脑中建立的分数概念的模型是“饼图式”的,是基于上述分数的现实背景一展开的。

需要特别说明的是,从分蛋糕引入分数不是对“个(块)数”的平均分,而是对蛋糕“属性”——质量(重量)、体积的平均分,“个(块)数”是不连续的量,“体积”、“质量”是连续的量。打个比方,把100元平均分成两份,每份是50元,而不能说把100元面值的纸币二等分就是50元。在实际教学中,很多教师都误认为平均分的是“个(块)数”。

二、“单位‘1’”要不要教

“单位‘1’”的概念是分数的“份数”定义的基础,也是学生理解分数意义的起点概念。著名特级教师华应龙先生曾经精彩演绎过不教“单位‘1’”的概念来引导学生认识分数的课例,并且著文阐述了他的思考。其实,“单位‘1’”与“一个整体”、“一个单位”是大同小异的不同说法,理解了后者也就理解前者。不出现“单位‘1’”的称谓,不等于没有教学“单位‘1’”。笔者觉得应该给学生讲什么是“单位‘1’”。

之所以要有“单位‘1’”,一是它涵盖了一个物体、一个计量单位、一个整体等多种类型的情况,体现了元素、集合辩证统一的思想,明确了分数是相对于“1”作为比较标准的数,突出了数学的抽象与概括、简约与形式化的特点。二是“单位‘1’”这一概念的表示方式已经数学符号化了,有利于数学表达、数学交流,促进数学理解。比如,后续的解决分数具体问题的学习与探讨,“单位‘1’”概念的运用有利于学生将具体问题进一步概括、简约,从而抽象为数学问题,建立数学模型。三是可以强化“单位‘1’”的工具作用,有利于在数轴上对分数作直观的解释。既然是“单位‘1’”,已经有了用数轴表示自然数的基础,用0至1之间的线段来表示它,学生觉得是顺理成章的事,易于理解,这比用图形和实物来感知分数的含义要抽象得多,虽然仍是几何直观,但可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的载体。用线段的长度来表示分数,可以显示分数是充斥于两个自然数之间的新数,学生很自然地想到0和1之间分布着密密麻麻的真分数。

教学“单位‘1’”不是要让学生记住形式化的概念,而是为了让学生更好地理解和掌握分数的意义。先哲说,凡是合乎理性的东西都是现实的,凡是现实的东西都是合乎理性的。“单位‘1’”从现实而来,也是合乎理性的。教学中讲不讲“单位‘1’”,不是为了区分对错和教学的优劣,而是对现实存在的教材及教学内容表明教者的价值判断和选择。

三、分数难学、学生没有分数思维原因在哪儿

学生缺乏分数思维,是因为学生在生活和学习过程中接触到的整数、小数都是与具体的量相联系的,是绝对意义上的多与少的问题,而分数除了表示“量”的意义外,更多地用在表示“率”的意义上,是相对意义上的多与少的问题。学生习惯于在“量”的意义上认识新数,所以用“份数”来定义分数存在先天不足。一份或几份的说法,是通过平均分和计数操作基于整数知识来生成分数意义的,没有充分显示出分数的特殊性。分数的“份数”定义是认识分数的起点,直观明了,必须先教。但要让学生具备分数思维,分数的“份数”定义不宜过多的强化,后续的教学应该迅速向分数的“商”的意义、“比”的意义转移、靠拢。分数意义中的“份数”的定义表达体现“过程”,“商”的定义表达侧重于表示“结果”。运用“比”的定义可以加深理解,是“过程”与“结果”的兼顾。

前面说过,分数概念具有经验的起源,是从连续量的等分或测量中产生的。然而,历史上随着数学的发展,特别是数理研究的逐步深入,或出于把“数”从“量”中分离、独立出来的考虑,或出于对各种“数”系统性讨论的需要,人们从数学本身的角度用各种方法来研究分数的起源及其性质与计算规则,其中方法之一——“解析法”就认为分数由于两个自然数不能整除而产生的数,这是分数的本质所在,符合数系扩张的思想,由“份数”的定义到“商”的定义是一次质的跨越和升华,是分数思维确立的关键。学生具备不具备分数思维与其对后两种分数意义(商的意义、比的意义)的理解程度密切相关。

事实上,分数的“商”和“比”的意义在现行教材中不是作为分数本身的意义来认识的,而是作为分数与除法、比的关系来教学的,客观上也影响了学生对分数本质意义的理解与把握。

学生没有分数思维的另一个客观原因,是因为分数本身既不是“十进制”的,也不是“位值制”的,与学生丰富的自然数、小数生活经验相冲突。分数计数单位的“任意性”与自然数、小数计数单位的“确定性”不同,任何一个分数都有无数与之有等价关系的分数,分数等价类中的每一个分数都有特定的用处和价值,分数的这一特点也是学生难以理解之处。

从教学的实践来看,学生形成分数思维要经历三个阶段 :第一个阶段借助图形直观来理解分数——图形思维阶段 ;第二阶段借助于除法运算或按比例分配的方法来解决涉及分数意义的、顺向思维问题——智力动作思维阶段 ;第三个阶段能综合运用分数的份数定义、商的定义、比的定义和分数的基本性质,会根据具体的问题情境灵活选择和确定适合的分数单位,正确回答涉及分数意义顺向、逆向思维的问题——概念(意义)思维阶段。

《分数解决问题》教学反思 篇5

张敏茹

今天，我上了教研课《分数解决问题》，这是孩子们第一次接触用分数知识实际问题，因而本节课我将重点放在了解决实际问题的模型建构上，能用清楚地表述出条件和所求问题，搞清什么时候用加法计算，什么时候用减法计算。

上完这节课，我有以下几点感受：

1.教材在这个地方让学生明白将两部分合起来求一共是多少用加法计算，从总数里面去掉一部分求另一部分用减法计算。在描述图意时，不能再让学生用动态的情境去说，而应进行规范。

利用线段图解决分数问题的策略 篇6

解决分数问题是令小学生最头疼的内容之一，但不管多么复杂的分数问题，都是建立在简单分数知识基础之上的。下面以四个案例引导学生学会用线段图的方式解决分数问题，通过类似题目对比练习进一步提高学生推理分析能力。

【基本案例】

1、学校舞蹈队有60人，合唱队比舞蹈队多 ，合唱队有多少人？

2、学校舞蹈队有60人，比合唱队多 ，合唱队有多少人？

3、学校舞蹈队有60人，合唱队比舞蹈队少 ，合唱队有多少人？

4、学校舞蹈队有60人，比合唱队少 ，合唱队有多少人？

【基本法则】

求一个数（单位1，标准量）的几分之几是多少（比较量）用乘法计算；已知一个数的几分之几是多少（比较量），求这个数（单位1，标准量）用除法计算。

【基本步骤】

1、认真读题确定单位“1”：通过第1、3题中的“合唱队比舞蹈队多（少） ”可以确定两题都是以“舞蹈队人数” 为单位“1”；而第2、4题则通过“比合唱队多（少） ”可以确定是以“合唱队人数” 为单位“1”。

2、利用线段图理清数量关系（依次如下）：

3、深入分析确定算法：利用线段图深入分析后，我们会发现：

（1）第1、3题都已知了标准量（单位1：舞蹈队60人），要求的都是比较量（合唱队人数），不同的是合唱队分别比舞蹈队多或少 ，应该用乘法计算。

（2）第2、4题都已知了比较量（舞蹈队60人），要求的都是标准量（合唱队人数），不同的是舞蹈队分别比合唱队多或少 ，应该用除法计算。

4、列式解答（答略）：

（1）60×（1+ ）=72（人）

（2）60÷（1+ ）=50（人）

（3）60×（1- ）=48（人）

（4）60÷（1- ）=75（人）

【策略反思】

1、解决分数问题的基本步骤是：首先审题确定单位“1”的量；然后运用线段图理清数量关系；再深入分析明确要求的量，以及应该采用的方法（求标准量用除法，求比较量用乘法）；最后列式解答。

2、教会学生审题。看似类似的题目，由于某个条件的细微变化会导致解题思路和方法也不一样（所举案例中就一个条件发生了变化，解题的思路却不相同），因此不能仅凭猜测或浏览式的读题去解题。只有通过字斟句酌的分析和推理才能提高学生解决问题的能力。

分数问题 篇7

一、练习题的设计

分数乘法“解决问题”部份的教学要求有二：一是紧密联系分数乘法的意义，理解和掌握解决问题的思路与方法。教学中要抓住关键的句子，找到两个相比较的量，弄清哪个量是单位“1”，要求的量是单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义解答，从而帮助学生理解和掌握解决这类问题的基本思路。二是借助线段图帮助学生理解数量关系。因为这类问题的数量关系比较特殊，而用线段图可以比较清楚的表示出数量之间的关系。教学时要充分运用这一工具，帮助学生理解题意，分析数量关系，从会看线段图入手，逐步学会画出线段图分析数量关系。

分数除法“解决问题”部分，教师要通过教材，引导学生运用所学的分数除法，解决一些日常生活中的实际问题。这部分内容的主要特点是单位“1”的量是未知的。这些问题过去用算术方法解，较难理解，学生往往难于判断究竟把哪个数量作为单位“1”，特别是遇到应当把较小的数量看作单位“1”时，更容易出错。就是找对了看作单位“1”的数量，还要把数量关系归结为“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。其中的“几分之几”，可能是已知的，也可能是需要计算才能得到的，比较复杂。现在可以直接根据数量之间的相等关系和分数乘法的意义列出方程。这部分内容的教学要求是：一要正确处理解决问题方法的多样化与优化的关系。一些学生觉得用方程解需要写设句，比较麻烦，因此喜欢用算术解法。对此，教师一方面应肯定学生自己想到的正确解法，另一方面又要因势利导，从进一步学习的需要与方程解法的特点等角度，使学生初步了解学习列方程解决问题的重要性，从而提高学习用方程解决问题的自觉性和积极性。二要适当加强列方程的思维训练。列方程的基础，一是学会找等量关系，二是会写代数式。教学时，要根据学生的实际情况，适当地组织这方面的专项训练。根据课程标准要求和教材内容，在完成这部分的教学任务之后，教师可设计如下的诊断性练习，以便了解学生具体的错误所在。

1. 先用线段图把下面各题的意思表示出来，再列出算式或方程。

(1) 一堆煤120kg，用去总数的，用去多少kg?

(2) 一堆煤120kg，用去总数的，还剩多少kg?

(3) 一堆煤用去120kg, 用去总数的, 这堆煤有多少kg?

(4) 一堆煤用去120kg, 还剩总数的, 这堆煤有多少kg?

(5) 一堆煤用去120kg, 剩下的比用去的多, 剩下的是多少kg?

(6) 一堆煤用去120kg, 剩下的比用去的少, 剩下的是多少kg?

(7) 一堆煤用去120kg, 用去的比剩下的多, 剩下的是多少kg?

(8) 一堆煤用去120kg, 用去的比剩下的少, 剩下的是多少kg?

这组题中第 (1) (2) 题和第 (5) (6) 题反映的是一个已知数量中几个部份数量之间的关系，实质是求“一个数的几分之几是多少”的问题，这是诊断的要点之一。所求数量随着其对应分率的变化而变化，能否找出所求数量的对应分率是解题的关键，这是诊断的要点之二。第 (3) (4) 题和第 (7) (8) 题反映的是一个未知数中的几个部份数之间的关系，实质是“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，这是诊断的要点之一。随着已知数量的变化，其对应分率在变化，能否找出已知数量所对应的分率是解题的关键，这是诊断的要点之二。

2. 先用自己的话把下面各图的意思说出来，再列出算式或方程。

上面这组题主要是从识图的角度来诊断。其中，第 (1) (3) 题和第 (5) (6) 题都是“求一个已知数的几分之几是多少”的问题。诊断的重点是了解学生是否掌握“求一个数的几分之几是多少的问题”的方法，了解学生是否能够找出所求问题的对应分率。第 (2) (4) 题和 (7) (8) 题都是“己知一个的几分之几是多少，求这个数”的问题。诊断的重点是了解学生能不能解答“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，了解学生会不会找出已知数的对应分率。另外，第 (1) (2) 题，第 (3) (4) 题，第 (5) (6) 题，第 (7) (8) 题都是两个易混的问题，诊断的要点是单位“1”已知和单位“1”未知时，解题方法的区别。上述几组练习，数量不多，既没有加重学生负担，又较全面地涵盖了分数乘除法“解决问题”的知识要点。通过练习，可以很清楚地发现学生存在的细节问题，以便教师重点解析。

二、练习题的处理

1. 及时收集信息。

在学生练习的过程中，教师要注意观察学生的行为表现，及时到有困难的学生身边，收集信息。收集信息的方式很多，可以让学生讨论后，由代表汇报;可以让学生直接举手向教师提问;还可以让学生把具体困难写成字条传交教师。每次诊断练习，首先要做的事就是及时把每道题不会做的人数统计清楚，尽可能统计到哪些同学对哪个词不懂，哪些同学对哪句话不明白，或者哪些同学对哪条线段的段数、长短有疑问等等。

2. 适时给予解析。

诊断练习中要给足学生读题、思考、练习、讨论的时间和空间，在多数学生切盼教师指点时给予解析，才有效果。要针对具体问题的难度和困难学生所占比例的大小，确定解析的方式、时间。多数学生有困难的题要先解析，面向全班解析，多花时间解析;少数学生不懂的题可放到后面解析，面向部份学生解析或课后个别解析。解析的任务，可以让成绩好的同学承担，可以让不懂的同学自请同伴承担，教师不要总是霸着讲。最重要的是让学生成为练习的主人，学习的主人，让学生学会解决问题的方法。

3. 认真进行对比。

练习过程中，要在学生反复读题的基础上，启发学生找出易错易混题的共同点和不同点。让学生清楚地认识到：在什么情况下，要首先找出所求数量的对应分率，从而求出一个数的几分之几是多少;在什么情况下，要首先找出已知数量的对应分率，从而列出已知一个数的几分之几是多少求这个数的方程式。

分数问题 篇8

一、提供土壤, 促思维飞翔

求异思维是一种从不同的方向、途径和角度去设想, 探求多种答案, 最终使数学问题获得圆满解决的思维方法, 其特色表现在思维活动的多向性和变通性, 也即是从不同角度来考虑解决问题的多种可能性的思维过程。在教学中, 有意识地让学生探讨问题解决的各种可能的途径, 或者把命题适当变化后, 让学生探讨有什么结论出现, 这样会有利于求异思维能力的培养。实践证明, 学生的“超级联想”越丰富, 越宽泛, 解决问题的能力越强。

二、以生为本, “观众”成“主演”

生本的理念于2008年进入我校, 迄今已有五年, 倡导的“以学生为中心, 给学生充足的时间在课堂上进行自主探索、合作交流的机会, 让学生参与知识的形成过程, 使学生真正成为学习的主人”理念也已生根开花。教师的角色发生了根本性转变, “师本课堂”也逐渐转化为“生本课堂”;以往的课堂中教师是主角, 少数学生是配角, 大多数学生只是观众。而生本的数学课堂, 教师以训练学生思维能力为目的, 不但训练学生的笔头表达能力, 而且更加注重口头表达能力的训练, 保留学生自己的空间, 尊重学生的爱好、个性和人格, 以平等、宽容、友善的态度对待学生, 使学生在教育教学中能够与教师一起参与教和学, 真正做学习的主人, 形成一种宽松和谐的教育环境。

三、一题多解, 妙思巧想

例1:两袋大米, 第一袋比第二袋少15千克, 已知第一袋的1/3恰好与第二袋的2/7相等, 第二袋大米多少千克?

学生初看此题, 沉思一会儿, 董一航同学就提出自己的想法:

2.同学们的掌声还没有停下, 陈雅婷同学的方法也娓娓道来。

解:设第二袋为x千克

3.庄可心同学也提出了自己的解法。此题的解法竟有三种, 已经超出了我的备课预设, 当我高兴地宣布下课后, 很少回答问题的黄逸童同学却拉住了我, 并轻声地问, 老师, 我这种方法可以吗?我一看, 惊呆了, 她的列式只是:15×7=105 (千克) , 我惊讶地说:你是怎么想的?黄逸童说:我是画图思考出来的。还边说边在黑板上画了起来。

第一袋的1/3可以用2/6表示, 它和第二袋的2/7相等, 6份和7份相差1份, 刚好是15千克, 那么7份就是105千克, 也就是第二袋的重量是105千克。多么好啊!那一刻的我突然感觉很幸福, 很轻松, 其实, 老师的快乐有时就在孩子们的巧思妙想中啊。思维的广阔性是求异思维的又一特征。反复进行“一题多解”、“一题多变”的训练, 是帮助学生克服思维狭窄性的有效途径。

四、变换角度, 优化顺逆思维

赞可夫说:“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维, 培养学生思维的灵活性和创造性。”一些数学问题, 尤其是思考题, 它所呈现的条件和问题的方法与平时所说的有一定的差异, 学生在思考的时候往往不能透过文字把握语言的实质, 这时, 不妨引导学生转换思维的角度, 从另一个角度看问题, 就会使一些问题迎刃而解。

例2:某校选出男教师的1/11和12名女教师参加集体舞比赛, 剩下的男教师人数是剩下的女教师人数的2倍, 已知学校共有教师156人, 男教师有多少人?

此题是分数解决实际问题中较难的题型, 教学时, 大多数老师会选择用找等量关系列方程的方法来引导学生思考, 这属于顺向思维。我在教学时着力引导学生画图思考, 另辟蹊径, 优化逆向思维。 (图略, 下为思考过程)

1. 先找到带有分率的那句话“某校选出男教师的1/11”, 判定男教师的人数是单位“1”, 男教师的人数被平均分为11份, 其中有1份参加比赛, 还剩下10份, 女教师选出12人参赛后, 剩下的人数是男教师剩下人数的一半, 可以用5份来表示, 列式是: (156-12) ÷ (10+1+5) =9 (人) …1份是9人, 11×9=99 (人) ——男教师人数为99。

这样的训练, 防止了片面、孤立、静止地看问题, 使所学知识有所升华, 从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系。在教学中, 我们经常发现一部分学生只习惯于顺向思维, 而不习惯于逆向思维。教师要注意在题目的设置上进行顺逆向的变式训练。

伟大的教育家陶行知说:“处处是创造之地, 天天是创造之时, 人人是创造之人。”所以当我们的学生说出意料之外的算理时, 我们不要急于去判断对与否, 不如给他们一些表现的机会, 让他们表述得清楚具体些, 说不定一个精彩的求异思维的火花就产生了。

摘要：数学思维训练在学生数学学习活动中具有重要作用, 没有数学思维, 就没有真正的数学学习。数学教学的一个重要任务是培养学生的思维能力, 运用多种形式加强思维训练。如果说小学低年级数学教学以学习习惯为主, 中年级以培养计算能力为主, 小学高年段数学教学就要以思维训练为主。其中, 教者如能对学生的求异思维加强引导, 会直接增强学生学习数学的兴趣, 促进其学习能力的提高。

关键词：求异思维,超级联想,一题多解,生本,画图

参考文献

分数问题 篇9

1.大家知道, 我们今天上的是数学课, 数学课就是和数打交道, 这些数大家认识吗? (出示1, 2, 3, 4, 5)

2.不要小看了1, 生活中好多事都可以归到1的上面, 如:一张桌子、一块黑板、一个人。3张桌子怎样用1来表示?50个苹果呢?

3.你还能举这样的例子吗?

4.像一个人、一箱苹果、一排桌子等, 我们在数学上可以看做一个整体。 (出示一个整体的概念, 并齐读)

5.这里的“1”为什么要加双引号?

6.如果要把4个苹果看成一个整体, 我们要在圆的外面套1个圈 (叫集令圈) , 这样圈起来它就表示一个整体了。生活中可以把什么看做一个整体?

(这个教学环节里的问题, 我们可以发现两个特点:一是非常简洁明白, 到底要问什么, 老师交待得非常清楚, 二是层层收拢, 为最后引出单位“1”做了充分的铺垫, 所有的问题都最后指向同一个教学知识点)

【教学片段二】

1.把1个圆看做一个整体, 我把这个圆对折, 你能用一个分数来描述吗?

2.这里我听到了一个词, 很重要。 (平均分) 分数都要平均分 (并板书) 。

4.小结并揭题:分母表示平均分的份数, 分子表示取的份数。今天我们进一步地来揭开分数的神秘面纱 (揭示课题) 。

(这个部分的问题呈现, 和前面又有不同, 第一个特点是根据学生的认知能力, 在思维深度和广度上有了一定的提升, 此外, 教师善于倾听学生的回答, 能根据学生的回答及时追问)

【教学片段三】

2.把8个圆看成一个整体, 平均分成4份, 这里再一次验证了一个整体, 可以是多个物体。 (出示“一个物体, 一些物体等都可以看作一个整体”, 并齐读)

4.你能把这些作品中的空白部分用一个分数来表示吗?

7.把谁平均分成若干份? (形成板书:把这个整体平均分成若干份)

(这部分的内容是教学重点和难点, 为了突破重难点, 我们看到, 老师在设问时是层层推进和展开, 用了“对比式”、“刨根式”、“求同式”等不同的提问方式, 引领学生在分析、比较、归纳概括中找出分数的共同特征, 概括出分数的意义)

【教学片段四】

1.带着对分数更多的认识, 在小组内任意写一分数, 并描述它的含义。

3.想接受更高的挑战吗?用12个磁扣, 创造出不同的分数, 你们可以用O来表示磁扣, 在草稿纸上画一画。

(学生动手画, 指名学生在黑板上摆一摆, 摆完后汇报)

师:对了, 一个是平均分成6份, 一个是平均分成12份, 这是它们在意义上的不同。

(教师面向全体学生提出创造分数的问题, 接着让学生自主介绍, 为了帮助学生更深刻地理解分数的意义, 老师又适时的提出“1/6可否用2/12来表示”这个问题, 从数量看, 1/6也是两个磁扣, 2/12也是两个磁扣, 但从分数的意义来分析, 这两个分数又是不一样的, 这两个分数到底有什么不一样?老师“自成靶子式”的提问, 激发了学生的求知欲, 收到了预期的效果)

【教学反思】

纵观本课教学提问, 可以发现以下特点:

1.目的明确, 问题指向性强。本节课的问题, 方向清楚, 表述清晰, 较好地做到了课堂提问为教学要求服务。

2.情境创设与课堂问题伴生, 课堂提问在通过具体生动的操作活动中生成和显现, 把抽象的分数意义教学变得直观形象, 让学生的数学学习变成了一个快乐的旅程。

3.问题呈现由易到难, 渐渐深入。《学记》曰:“善问者, 如攻坚木, 先其易者, 而后其节目。”本节课, 老师在问题的设计上由易到难, 层层递进, 使学生的理解层次不断深入, 逐步实现由知识向技能再到能力的转化。

分数问题 篇10

(1) 脱离实际生活。分数乘除法应用题教学侧重在结构、解题思路和做题程序上, 而且题目给的条件是必备的。至于是否符合实际, 题目里的数据是哪儿来的, 解决一个问题需要什么数据, 怎样得到这些数据, 教学中则很少考虑。在这种封闭的教学目标、封闭的教学方法、封闭的教学内容的熏陶下, 学生除了考试时感到学习数学有用, 平时不仅感觉不到数学的存在, 而且真正遇到生活中的数学问题需要解决时, 就连学过的知识都用不上。

(2) 机械训练, 思路刻板。部分教师认为学生通过多做练习, 就会知道如何解分数乘除法应用题这类题型。虽然经过大量地分析和计算训练, 但是学生仍然会经常出错。在小学阶段的应用题中, 学生最难以理解和掌握的就是分数乘除法应用题。这类应用题地分析、解答方法与以前所学应用题截然不同。这种教法, 解题方法呆板单一, 以致于学生只能死套公式、机械学习、不会思考、不会分析。这种教法不利于学生智力、思维的发展。

(3) 忽视数学思想方法的挖掘。教师在探究问题时, 缺乏对图与式的有效对照。部分教师教学生判断题目属于哪种类型的题就可以套用哪种解题模式解决问题。在教学过程中, 课堂枯燥乏味, 缺乏深度, 只重视对算法的探究, 忽视了计算教学以外的数学思想的渗透。其实, 教师如果将分数乘除法应用题与线段图结合, 在教学中适当地渗透数形结合思想、数学建模思想、比较思想, 可以将抽象的分数乘除法应用题形象化。学生就可以知其然并且知其所以然。

二、小学教师克服小学分数乘除法教学问题的策略

(1) 针对脱离生活实际, 采取情境教学法。在分数乘除法应用题的教学中, 教师应该结合教材提供的实例, 或者选择学生身边的生活事例, 甚至可以利用多媒体技术创设学生所熟悉的问题情境, 更好地激发学生学习的兴趣。学生可以体会到数学知识与实际生活应用的密切联系, 学生的数学应用意识和综合运用知识解决问题的能力也会得到提高。

在教学中, 教师应根据小学生的思维特点, 具有一定难度的分数乘除法应用题就应该努力贴近学生的生活实际, 尽量舍弃那种远离学生生活的应用题情境。

(2) 针对机械训练问题, 采取灵活多样的训练方式。采取自主建构新知的训练方式, 让学生有效地建构知识。解决“求一个数的几分之几是多少”“一个数的几分之几是多少, 求这个数”的问题都与分数乘法的意义、分数乘除法计算有着紧密的联系。因此, 教师在教学过程中, 应加强分数乘法的意义、分数乘除法这部分内容的教学, 使学生在已有知识的基础上, 自主建构新知识, 正确地理解并解决分数乘除法应用题。学生更应该清楚理解分数乘法的意义是正确分析、解答分数乘除法应用题的重要前提。理解分数乘法的意义与学习分数乘法应用题又是相互促进的。分数乘法应用题是一个数乘分数意义的具体体现。学生只有通过学习分数乘法应用题, 才能深入理解一个数乘分数的实际含义, 才能够领悟到:求一个数的几分之几是多少, 就是把这个数平均分成若干份, 求这样的几份是多少, 可以直接用一个数乘以几分之几来计算。在教学分数除法应用题, 同样可以用一个数乘以分数的意义列方程解题。

抓住分数乘法的意义进行教学, 为解决分数乘除法应用题奠定基础。分数乘法这一单元的教学很重要, 特别是学生对分数乘法意义的理解对解决分数乘除法应用题起着很重要的作用。

(3) 针对忽视教学思想方法问题, 采取注重思维方式的训练。抓住线段图进行数形转换的思维训练方式有利于学生正确地理解分数乘除法应用题。数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质。在一开始接触分数乘法应用题时, 借助线段图有利于理解题意。虽然解题时间会长点, 但是方便理解题意, 尤其是遇到复杂的分数乘除法应用题, 线段图的作用越突出。因为分数乘除法应用题比较抽象, 直接阅读题目, 很难理解。借助线段图, 就可以更加形象地理解题意, 可以将解题难度降低。

分数问题 篇11

关键词：小学数学    分数教学

小学分数教学对于学生的数学学习质量有着重要的影响，分数的学习为学生进一步学习小数和整数打下了坚实的基础。在小学数学中，分数充当了小数和整数桥梁的重要作用。因此，广大小学数学教师要正确认识分数教学的重要性，做好分数教学工作，努力提高小学分数教学的质量。

一、小学分数教学存在的问题

虽然分数教学对学生学习数学具有极其重要的作用，但是在当前的小学数学教学中，分数教学仍然存在一些问题。首先，小学分数教学因为知识点比较分散、学习范围较广，所以学生学习起来会比较吃力，不能很好地理解和掌握分数的概念;其次，学生在平常生活中很少有机会接触到分数，所以在理解分数的概念时必然会存在一些问题。分数学习是整数学习向小数学习过渡的一个重要步骤，要想保证小数学习的质量，首先就必须保证分数学习的质量。由于生活中很少使用分数，所以大多数学生对分数会感到陌生，这就影响了学生分数学习的质量;最后，在分数教学的时候，教师没有考虑到学生的实际情况，没有科学地选择和使用教学方法，不能帮助学生很好地理解分数概念，在课堂教学过程中也没有和学生进行良性的互动，导致不少学生只知道上课记笔记、背公式，但是对于分数的真实含义却“一问三不知”，这样的学习效果必然对学生以后的学习和发展造成极其严重的不良影响。

二、小学分数教学的改善建议

1.通过科学的教学方法降低学生的学习难度

为了提高分数教学质量，教师首先要帮助学生克服畏难心理，在一定程度上降低分数学习的难度，增强学生学习的自信心，提升学生的学习效率。在教学分数时，笔者一般会通过直观教学法帮助学生更好地理解和掌握分数的概念。如在上课时，笔者会带四根香蕉到课堂上。开始上课之前，笔者会问学生：“同学们，我要把这四根香蕉平分给四个同学，那么一个同学能得到几根香蕉呢？”学生们很容易就算出一个学生能得到一根香蕉。然后，笔者接着问：“如果我想平分给两个同学，那么一个同学能得到几根香蕉呢？”学生们也很容易算出一个学生能得到两根香蕉。接下来，笔者拿走三个香蕉，只剩下一个香蕉，然后问学生：“如果我要把它平分给两个同学，那么一个同学能得到几根香蕉呢？”学生们会说一个学生只能得到半根香蕉。这个时候，笔者顺势引入分数的概念：“其实，半个就是二分之一个。”在日常生活之中，其实也存在分数知识，只要我们有一双会观察、去发现的慧眼。

2.注意调动学生的学习积极性

俗话说得好：“兴趣是最好的老师。”因此，教师要注意激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。数学知识本身是比较抽象的，而书本知识相对来说更加抽象难懂。这就要求教师把书本知识具体化，结合生活中的常见现象进行讲解，这样可以有效激发学生的学习热情，提高学生的学习积极性。

三、总结

总而言之，在小学数学教学中，分数教学具有极其重要的作用和意义，广大教师应该予以高度重视，努力提高分数教学的质量，为学生的长久发展打下坚实的基础。

参考文献：

[1]谭燕.让多彩生活融入数学课堂——小学数学教学要从实际出发[J].中小学电教（下），2011，（3）.

[2]孔庆国，李延更.注重操作，关注生成——“认识分数”教学片段及点评[J].湖南教育（数学教师），2012，（4）.

分数问题 篇12

本文研究了非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题

这里0<p, q<1, cDp, cDq是两个分数阶导数, f, g:[0, ∞) ×E→E]和w:C ([0, ∞) ×E) →E是已知的满足假设条件的函数, u0, v0是Banach空间E中的元素.

Oldham和Spanier[1]中系统的陈述了分数阶微分方程的应用, 详细请参阅Miller和Ross[2]和Kilbas等人的[3]

分数阶微分方程耦合系统的研究是相当重要的, 很多人做了研究参阅参考[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].最近, Fang[15]研究了非线性分数阶微分方程奇耦合系统正解的存在性.Su[16]讨论了分数阶微分方程耦合系统边界值问题.Ahmad和Nieto[17]研究了三点边界问题的分数阶微分方程耦合系统存在性结果.

在本文中, 假设E是范数为|·|的Banach空间.令JR, C (J, E) 是从J到E, 范数为的连续函数Banach空间, 这里x∈C (J, E) .

对于E上的任意强连续半群 (即C0半群) {T (t) }t≥0, 在E上定义算子:

其定义域D (A) 是所有E上极限存在的x集合, 且是稠密的, A是闭的, 详情请参阅[13].

1预备知识

在本节中, 我们将介绍文中涉及到的空间、基本定义及用到的引理 (详见[18])

设B (E) 是E到E范数为||Q||B (E) =sup{|Q (u) |:|u|=1}的所有有界线性算子构成的空间, 这里Q∈B (E) , u∈E.全文中, 设A是E中一致有界算子C0半群{T (t) }t≥0上的无穷小生成元.明显的,

定义1.1函数的次数为α, 极限为0的分数阶积分定义如下:

假设右边是定义在[0, ∞) 上的点态, 其中Γ (·) 是gamma函数.

定义1.2下界为0的阶数为α函数f∈AC[0, ∞) 的Riemann-Liouville导数能够被写为:

定义:1.3阶数为α函数f∈AC[0, ∞) 的Caputo导数表示为:

注记1.1 (1) 如果f (t) ∈C1[0, ∞) , 则:

(2) 常数的Caputo导数等于0;

(3) 如果f是值域在E的抽象函数, 则:1.1—1.3中积分定义是在Bochner意义下得到的.

假设JR, 1≤p≤∞, 对于可测函数m:J→R, 定义范数

其中上的Lebesgue测度.令Lp (J, R) 是所有范数||·||LpJ<∞的Lebesgue可测函数m:J→R构成的Babach空间.

引理1.1 (H觟lder不等式) 如果|H|是Lebesgue可积的, 则可测函数H:[0, a]→E是Bochner可积的.

引理1.2 (Bochner'定理) 如果|H|是Lebesgue可积的, 则可测函数H:[0, 1]→E是Bochner可积的.

引理1.3 (Schauder不动点定理) 如果B是Banach空间E中的有界闭凸子集, F:B→B完全连续, 那么F在B内有一个不动点.

2主要结果

定义空间X={u (t) |u (t) ∈C ([0, 1], E) }和Y={v (t) |v (t) ∈C ([0, 1], E) }.依据[15]中的结论, X和Y是Banach空间.

对 (u, v) ∈X×Y令

显然 (X×Y, ||·||X×Y) 是一个Banach空间.

基于以上的论证, 给出方程组 (1.1) mild解的定义.

定义2.1若非局部的柯西问题 (1.1) 的解 (u, v) ∈X×Y满足下式:

称 (u, v) 是方程组 (1.1) 的mild解.

定义算子F:X×Y→X×Y,

其中

对任意的常数k, 设:

显然Uk在Banach空间X×Y中是有界闭凸子集.

在证明主要结果之前, 先介绍下面的假设.

(H1) 对任意t>0, T (t) 是一个紧算子;

(H2) 对每个t∈[0, 1]函数f (t, ·) :X→X和g (t, ·) :Y→Y是连续的, 任意 (u, v) ∈X×Y函数f (·, u) :[0, 1]→E和g (·, v) :[0, 1]→E是强可测的;

(H3) 对所有的 (u, v) ∈X×Y和几乎所有t∈[0, 1], 存在常数p1∈[0, p) 和q1∈[0, q) , 使得|f (t, u) |≤m1 (t) 和|g (t, v) |≤m2 (t) 成立;

(H4) w:C ([0, 1], E) →E是一致连续, 以及对所有x∈C ([0, 1], E) , 存在正常数L1, L2使得|w (x) |≤L1||x||+L2.

以下非局部柯西问题 (1) 的存在性结果是以Schauder不动点定理为基础.

定理1

定理2.1如果 (H1) - (H4) 满足, ML<1, 那么方程组 (1) 有mild解.

证明:对任意 (u, v) ∈Uk, 由于, 于是:

直接计算得到, 当t∈[0, 1]和p1∈[0, p) , 令:

利用引理:1.1 (Hlder不等式) 和 (H3) , 当t∈[0, 1], 得到:

类似的, 有:

因此, 对所有t∈[0, 1], 当s∈[0, t], |0∫∞θ (t-s) p-1hp (θ) T ( (t-s) pθ) f (s, v (s) ) dθ和0∫∞θ (t-s) q-1hq (θ) T ( (t-s) qθ) f (s, v (s) ) dθ|是Lebesgue可积的.由引理1.2 (Bochner'定理) , 对所有的t∈[0, 1], s∈[0, t], 可知0∫∞ (t-s) p-1hp (θ) T ( (t-s) pθ) f (s, v (s) ) dθ和0∫∞θ (t-s) q-1hq (θ) T ( (t-s) qθ) f (s, v (s) ) dθ是Bochner可积的.

接下来用Schauder不动点定理, 证明结果.

定义

其中

观察, Uk1显然是Banach空间X×Y中的有界闭的凸子集.

下面分两部分证明F在Uk1内有一个不动点.

第一步:F:Uk1→Uk1.

对所有的 (u, v) ∈Uk1和t∈[0, 1], 有:

类似的, 有:

因此, 对所有的 (u, v) ∈Uk1, 有F:Uk1→Uk1.

第二步:F是全连续算子.

因此, 推断出:

另一方面, 当t∈[0, 1]

即F1是连续的.同样的, 得到F2也是连续的.也就是, 算子F:Uk1→Uk1是连续的.

其次, 证明{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是相对紧的.这就可以证明函数族{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是一致有界和同等连续的.

对任意 (u, v) ∈Uk1有||F1v||≤k1, ||F2u||≤k1, 从而||F (u, v) ||≤k1.因此{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是一致有界的.在下文中, 将证{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是同等连续函数族.

对每个 (u, v) ∈Uk, 0≤t1<t2≤1, 得到:

其中:

运用 (11) 和 (12) 式中类似的证明, 得到:

当t1=0, 0<t2≤1, 很容易得到I3=0.当t1>0, ε>0足够小, 当θ∈ (0, ∞) , 有:

由于 (H1) 表明T (t) (t>0) 连续, 推断出F1是同等连续的.类似的F2也是同等连续的, 因此, F (Uk1) 是同等连续的.当t2-t1→0, 与 (u, v) ∈Uk1无关, | (F1v) (t1) - (F1v) (t2) |趋近于零.这意味着{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是同等连续的.