分数问题的解题策略

2024-05-10

分数问题的解题策略(精选10篇)

分数问题的解题策略 篇1

概率是研究事件发生可能性大小的一门学问, 有的可用排列组合知识及加法原理与乘法原理计算, 有的却需另辟蹊径。下面就概率问题中可能出现的几种情形与大家一起讨论, 希望能引起同行的共鸣。

一、“化整为零”的战术

化整为零是数学解题的基本方略。其中, 对于比较复杂的概率问题, 化整为零——集零为整, 无可争议地成为解题的第一战略战术。对此, 通用的解题“三部曲”为: (1) 设:设出目标事件及其相关事件; (2) 寻:寻出目标事件与相关事件之间的联系; (3) 推:运用有关公式推理计算所求概率。

例1 (2005年江苏高考题) 甲、乙两人各射击一次, 击中目标的概率分别为。假定两人的射击相互之间没有影响: (1) 求甲射击4次, 至少一次击中目标的概率; (2) 求两人各射击4次, 甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (3) 假设某人连续2次未击中目标, 则停止射击。问:乙恰好射击5次后, 被中止射击的概率是多少?

分析:对于 (3) , 注意到这里的事件比较复杂, 故想到运用“化整为零”战术。

解析: (1) 、 (2) 从略; (3) 设“乙恰好射击5次后被中止射击”的事件为B, “乙第i次未击中目标”的事件为Bi (i=1, 2, …5) , 则由题设得, 且。

注意到以上各事件相互独立, ∴, ∴乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。

其中p+q=1, 于是可知, 在公式中pn (k) =Cnkpkqn-k (k=0, 1, 2, …, k) , 概率p、q所对应的两个事件必须为对立事件——此为运用这一公式计算概率的前提条件。

又注意到在 (2) 中, 构成事件D的子事件A与B并不对立 (即) , 因此不可运用这一公式求解, 而只能循着前述解题三部曲求索、寻觅。

正解:设这里的事件为D, 则由题意得

注意到事件A、C相互独立, 并且事件A·A·B+A·B·A+B·A·A两两互斥,

二、运用“正难则反”思想求概率

例2某种大炮击中目标的概率是0.3, 那么以多少门这样的大炮同时射击一次, 才可以使击中目标的概率超过95%?

分析:此例从正面考虑, n门大炮射击一次击中目标的可能情况很多, 其概率计算十分繁杂, 而从反面考虑, 采用排除法 (考虑某个问题中的一切情形, 去掉其中不符合要求部分, 从而得到符合要求部分) , 思路比较清晰。

解:设n门大炮同时射击一次, 就可以击中目标, 为了求这一事件的概率, 动用排除法, 先求出事件“n门大炮同时射击一次, 其中没有一门大炮击中目标”的概率, 即为 (1-0.3) n, 由题意1- (1-0.3) n>95%, 即0.7n<0.05, 所以, 取过剩近似值, 得n=9, 故只要以9门大炮同时射击一次就可以使击中目标的概率超过95%。

三、“整体”与“局部”的选择求概率

例3某人有五把钥匙, 但忘记了开房门的是哪一把, 于是他逐把不得重复地试开。

(1) 试求该人恰好第三次打开房门的概率; (2) 试求该人三次内打开房门的概率; (3) 如果五把钥匙中有两把是该房门的钥匙, 试求三次内打开房门的概率。

解: (1) 设“该人恰好第三次打开房门”这事件为A, 立足于考查这一随机试验的全过程, 五把不同的钥匙逐把试开, 共有A55种不同结果, 而恰好第三次打开房门的结果有A44种。

注意到上述结果出现的等可能性,

∴, 即所求恰好第三次打开房门的概率为。

(2) 设“该人三次内打开房门”的事件为B, 又三次打开房门的结果数为C31A44, 并且所有结果出现的可能性都相等, ∴, 即所求三次内打开房门的概率为。

(3) 设这种情况下三次内打开房门的事件为C。

解法一 (间接法) :将两把房门的钥匙视为不同元素, 则三次内打不开房门的结果数为A33A22, ∴三次内打不开房门的结果数为A55-A33A22, 又上述各种结果出现的可能性相等, ∴。

解法二 (直接法) :将两把房门钥匙视为不同元素, 则三次内恰有1次打开房门的的结果数为 (C21C32A33) A22, 三次内恰有两次打开房门的结果数为 (C21C31A33) A22, ∴三次内打开房门的结果数为 (C21C32A33) A22+ (C21C32A33) A22,

即当五把钥匙中有两把是该房门的钥匙时, 三次内打开房门的概率为。

点评:对于 (1) 、 (2) 、 (3) 的求解, 这里选择的是“我以‘全程’应‘半程’”;而对于 (3) 中两把房门的钥匙处理, 这里的做法是“且把‘相同’当‘不同’”, 以适应运用相异元素没有重复的排列数公式。

浅析分数应用题解题策略 篇2

【关键词】小学数学;分数应用题;教学策略

分数应用题是六年级数学教学中的一个重点内容,也是学生学习的一个难点。如何引导学生正确解答分数应用题成为众多数学老师较为棘手的问题。本人就近年来教学分数应用题的一些解题策略作以分析:

一、正确解答分数应用题的前提

引导学生正确理解分数乘法的意义:即一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是学生正确解答分数应用题的前提。例如:求80的3/4是多少?即用80×3/4=60。学生只有正确理解分数乘法的意义,才能正确理解分数应用题的数量关系并解答最基本的分数应用题。

二、正确解答分数应用题的基础

引导学生正确理解分数应用题各部分名称及数量关系是正确解答分数应用题的基础。分数应用题里的数量主要有三个,即单位“1”的量(标准量)、几分之几(分率)以及几分之几对应的多少(比较量)。如上例中80是单位“1”的量即标准量,3/4是分率,60是比较量。三者之间的数量关系式为:标准量×分率=比较量、比较量÷分率=标准量、比较量÷标准量=分率。

分数应用题的分类:分数应用题主要分为三类基本应用题和两类稍复杂的应用题。三类基本应用题为:①求一个数的几分之几是多少(求比较量)如:求80的3/4是多少?②已知一个数的几分之几是多少求这个数(求标准量)如:已知一个数的4/5是80,求这个数是多少?③求一个数是另一个数的几分之几(求分率)如:求80是100的几分之几?两类稍复杂的分数应用题为①稍复杂的“求比一个数多(少)几分之几是多少”的应用题(求比较量)如:甲数是120,乙数比甲数多1/6,乙数是多少?②稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几是多少,求这个数”的应用题(求标准量)如:已知甲数是120,比乙数多1/5,求乙数是多少?

三、正确解答分数应用题的策略

(一)解答三类基本分数应用题的策略

(1)“找”即找题目中的单位“1”的量(标准量)。一般题目中“某某的几分之几”中“的”字前面的那个量就是标准量。

(2)“看”即看标准量是已知还是未知,同时看该题要求的是什么量。

(3)“判断”即判断该题是用乘法解答,还是用除法解答。如题目中已知标准量和分率,求比较量则用乘法解答(标准量×分率=比较量);如果题目中已知比较量和分率求标准量则用除法解答(比较量÷分率=标准量)或设标准量为ⅹ用方程解答;如果题目中已知标准量和比较量求分率则用除法解答(比较量÷标准量=分率)。

(4)列式计算、检验答题。例如:据统计2003年世界人均耕地面积为2500㎡,我国人均耕地仅占世界人均耕地面积的2/5,求我国人均耕地面积是多少平方米?根据以上四个步骤:①找标准量:题目里世界人均耕地面积的2/5中“的”字前面是世界人均耕地面积,则世界人均耕地面积为标准量即2500㎡,2/5为分率;②看:本题中标准量是已知的,要求的我国人均耕地面积为比较量;③判断:根据比较量=标准量×分率,故本题用乘法计算;④列式解答:即2500×2/5=1000(㎡)。

又如:小明体内有28千克水,水分占体重的4/5,小明体重多少千克?根据以上四个步骤:①找标准量:题目里体重的4/5中“的”字前面是体重,则小明的体重为标准量,4/5 为分率,28千克水为比较量:②看:本题中标准量是未知的,要求的就是标准量;③判断:根据比较量÷分率=标准量,故本题用除法计算或设标准量为ⅹ用方程解答;④列式解答:28÷4/5=35(千克)。

再如:已知甲数是20,乙数是30,求甲数是乙数的几分之几?根据以上四个步骤:①找标准量:题目中“甲数是乙数的几分之几”中“的”字前面为乙数,则乙数是标准量,甲数是比较量;②看:本题中标准量和比较量是已知的,要求的是分率;③判断:根据比较量÷标准量=分率,故本题用除法解答;④列式解答:20÷30=2/3。

(二)解答稍复杂的分数应用题的策略

(1)“找”即找题目中的单位“1”的量(标准量)。一般题目中“谁比谁多(少)几分之几”中“比”字后面的量就是标准量。

(2)“看”即看标准量是已知还是未知,同时看该题要求的是什么量。更重要的是看比较量对应的分率比单位“1”多还是少。

(3)“判断”:①判断该题分率是用“1+几分之几”还是用“1-几分之几”,如果比较量对应的分率比单位“1”多,则用“1+几分之几”; 如果比较量对应的分率比单位“1”少,则用“1-几分之几”。②判断该题是用乘法解答,还是用除法解答。如题目中已知标准量和分率,求比较量则用乘法解答(标准量×分率=比较量);如果题目中已知比较量和分率求标准量则用除法解答(比较量÷分率=标准量)或设标准量为ⅹ用方程解答;如果题目中已知标准量和比较量求分率则用除法解答(比较量÷标准量=分率)。

(4)列式计算、检验答题。例如:青少年心跳每分钟约75次,婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5。婴儿每分钟心跳多少次?解答时根据以上四个步骤:1找标准量:题目里“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5”中“比”字后面的量是青少年心跳次数,故青少年心跳次数为标准量,婴儿心跳次数为比较量;2看:本题中标准量是已知的,要求婴儿心跳次数是求比较量,而且比较量对应的分率比单位“1”多4/5;3判断:①因为该题比较量对应的分率比单位“1”多4/5,所以分率为(1+4/5);②根据比较量=标准量×分率,故本题用乘法计算;4列式解答:75×(1+4/5)=135(次)或75+75×4/5=135(次)。

再如:美术小组有25人,美术小组的人数比航模小组多1/4。航模小组有多少人?解答时根据以上四个步骤:1、找标准量:题目里“美术小组的人数比航模小组多1/4”中“比”字后面的量是航模小组人数,故航模小组人数为标准量,美术小组人数为比较量;2、看:本题中标准量是未知的,要求就是标准量,而且比较量对应的分率比单位“1”多1/4;3、判断:①因为该题比较量对应的分率比单位“1”多1/4,所以分率为(1+1/4);②根据比较量÷分率=标准量,故本题用除法计算或设标准量为ⅹ用方程解答;4、列式解答:25÷(1+1/4)=20(人)或设美术小组有ⅹ人,列方程:(1+1/4)ⅹ=25解答。

再如:一双鞋降价1/5后是160元,求原价是多少元?首先引导学生理解降价的含义(指现价比原价降低了),然后根据四个步骤:1找标准量:“现价比原价”中“比”字后面是原价,故原价为标准量,现价为比较量;2看:本题中标准量是未知的,要求就是标准量,而且比较量对应的分率比单位“1”少1/5;3判断:①因为该题比较量对应的分率比单位“1”少1/5,所以分率为(1-1/5);②根据比较量÷分率=标准量,故本题用除法计算或设标准量为ⅹ用方程解答;4列式解答:160÷(1-1/5)=200(元)或设原价为ⅹ元,列方程:(1-1/5)ⅹ=160解答。

“钟表问题”的解题策略及思考 篇3

初中阶段在测试中会经常看到类似这样的题:“小明下午6点多出门时看表,时针和分针间的夹角恰为110°,快7点的时候回来, 此时刚好时针和分针的夹角也为110°,问小明出去的时间是?”像这类求钟表时针和分针夹角、重合、垂直等的问题一般统称为 “钟表问题”.新课标强调“让学生从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力”.[1]

钟表问题与现实生活联系紧密,涉及到时间和角度的多重关系,纵贯初中的诸多知识点,需要多种数学思想方法和解题策略结合来求解,对学生数学建模思想,数形结合思想、转化思想及综合能力的培养有积极意义. 但该类题思维难度较大,分类复杂,是学生学习的难点,也是教师讨论的热点.因此,对该类问题的解题策略做一分析总结,以期对教师教学和学生的学习有所帮助.

2钟表问题的教学分析

2.1学情分析及知识准备

钟表问题是在七年级上册“基本平面图形”(北师大)一章中,学习了角的概念、表示以及大小比较之后,为加深学生对角的理解和应用而首次提出.在后续学习了一元一次方程、图形的平移与旋转等内容之后,题目难度和综合性明显增加.钟表问题的解决首先需要理解时针和分针之间的特定关系:整个钟盘看作是圆心角为360°的角,12个小时点将钟面分成12等份,即时针每小时转30°(一般指顺时针旋转),每分钟转0.5°.分针每小时转1圈,即每分钟转6°,分针和时针每分钟的速度差为5.5°.也可以认为钟面被分为12大格,每个大格又分为5小格,时针每小时转5小格,则每分钟转1/12小格.分针每小时转1圈,每分钟转1小格,分针和时针每分钟的速度差为11/12小格.

2.2学生的认知特点及思维难点

根据皮亚杰的认知发展理论,初中生还处于少年期,他们的思维能力超出了只感知具体事物而进入形式运算阶段,抽象逻辑思维开始占优势,可以在头脑中把形式和内容分开,离开具体事物,根据假设来进行逻辑推演,但他们的抽象逻辑思维还需要感性经验的直接支持.钟表问题的难点在于“静”的角在时间的背景下“动”起来,而且时针和分针在同时同向又不同速的转动,这不但给学生的理解造成很大的困扰,甚至产生恐惧和排斥的心理,给教师教学也提出更高的要求.调查一些初一学生的解题过程,发现主要存在的问题有:无法将钟表问题和所学角度联系起来;很难理解时间关系与角度之间的转换关系;对钟表时针与分针旋转的规律和联系不易掌握;一元一次方程和追及思想应用的不熟练等等.

2.3解题策略

通常我们将抽象的时间问题转化为具体的平面几何问题,再根据角度间的等量关系利用方程求解,或者利用时针和分针的不同运动速度转化为行程问题中的追及问题来解决.多种思路并不孤立而是相互结合,不过设未知量解方程是基础.

下面通过几道典型例题将钟表问题的主要题型和相应解题策略做以详解.

2.3.1任意时间时针与分针的夹角问题

例1 3时多少分时,时针和分针所成角是60°?

情形1设3时x分时,时针和分 针所成角 是60°.如图1,3点整时,时针在分针的前面,两针垂直. x分钟内,分针转(6x)°,时针从OC转到OD,故 ∠AOB=(6x)°,∠COD=(0.5x)°,由图1得,∠BOD = ∠AOC + ∠COD+∠AOB,即60=90+0.5x-6x,解得x=60/11.所以在3时60/11分时,时针和分针成60°夹角.

情形2如图2,时间继续,分针超过 时针走在 前面,此时仍有 ∠AOB= (6x)°,∠COD= (0.5x)°, ∠BOD=∠AOB-(∠COD +∠AOC),故60=6x0.5x-90.解得x=300/11.即在3时300/11分时,时针与分针的夹角再次成60°夹角.

进一步将该问题推广到一般情形:若a时b分时,时针转过的角度为30a+0.5b,分针转过的角度为6b,两针间的夹角θ=|6b(0.5b+30a)|,化简得θ=|30a-5.5b|.由此,文章开头的问题中θ=110°,a=6,得b= 140/11或b=580/11,便容易算出小明出门时的时11 11间是6时140/11分,回来时是6时580/11分,出去了40分钟.

2.3.2两针垂直、重合、成直线的问题

除了两针的夹角问题,有关时针和分针重合、垂直、反向成一条直线的讨论也是教学的重点.如“6时开始,过多少分钟时针和分针重合、垂直或反向成一条直线?”对于这类问题,只需令上述公式中a=6,θ分别为0°, 90°和180°,即可.而在研究过程中,发现在a与θ 一定时,b具有规律性.

2.3.2.1一般思路求两针垂直、重合、成直线

例2如果某个时刻钟面上的两针所成的角为α(0°<α<90°),那么经过多长时间他们所成的角再次为α?

情形1如图3, ∠AOB=α=∠A′OB′,设经过的时间为x分钟,则分针从OA到OA′,旋转 (6x)°,时针从OB到OB′ 旋转 (0.5x)°,故有 (6x)° =2α+ (0.5x)°,得x= 4α/11 .即经过4α /11分钟,两针夹角变为α.

情形2图4是在情形1的基础上,设经过y分钟两针 夹角再次 为 α,则360-6y =2α0.5y,得y=72-4a/11.

进一步验证钝角,可将结论推广到任意角:设在某一时刻,时针和分针所成的角是α∈[0,180].[2]

(ⅰ)若时针在分针的前面,那么经过4α/11分,两针所成的角再次为α.

(ⅱ )若分针在 时针的前 面,则再过720-4α/11 分钟之后,两针所成的角再次为α.

可见,该结论不仅适用于垂直、重合等问题,还对任意角求解类似问题有重要意义,文章开头的问题也可直接由以上结论得出.

2.3.2.2转化为追及问题求两针垂直、重合、成线

将钟面上的周期性圆周运动转变为学生熟悉的匀速直线问题,认为时针的速度为每分钟1/12小格,分针的速度为每分钟1小格,时针和分针在钟盘上划过的圆弧为各自运动的路程,再利用追及问题的思路解决.[3]

例3在4点和5点之间,时针和分针恰好成一条直线(不重合)?

思路1如图5,在4:00时,时针在分针前,两者间隔20小格,x分钟后, 分针追上且超过时针成一条直线,两针间隔30小格 (180°),而在x分钟里,时针行1/12x小格,分针行x小格.由此可得等量关系:分针走的小格=20小格+时针走的小格+30小格.即x=20+1/12x+30,得x=600/11.

思路2在追及问 题中,追及时间 = 路程差/速度差.显然分针和时针的路程差是50小格,而速度差是每分钟11/12小格,所以追及时间为600/11 .若按角度来算同样也是600/11 .

利用追急问题的思路再看文章开头的问题 (如图6),分针从OB顺时针旋转至OB′,时针从OA到OA′,路程差为220°,追及时间=速度差/路程差=220°/5.5°=40min,看似无从下手的问题便可轻而易举的解决了.

进一步分析,当时针与分针重合时,时针与分针的路程差为零;当时针与分针垂直时, 时针与分针 相距15格或45格 (有两种情 况);当时针与分针成一条直线时,时针与分针相差30格.由路程差 = 追及时间 × 速度差,如果设a时开始x分钟后,可得出时针与分针重合、垂直、成直线及它们的夹角关系公式:

(a)重合:11 /12x=5a;

(b)垂直:11/ 12x=5a+15,或者11 /12x=5a+ 45;

(c)成直线:11/ 12x=5a+30(0≤a<6),或11/ 12x=5a-30(6≤a<12);

(d)由于每分格的角度为6°,设时针与分针的夹角为θ,则有公式θ=|11 /12x-5a| × 6°(11/ 12x-5a有时为负值,故需取绝对值).[4]

不难看出,这与我们前面的结论是一致的.将“钟表”问题转化为学生非常熟悉的行程问题中的追及问题来解决更简单,学生更容易理解.通过熟悉的东西来解决不熟悉的东西也是我们用数学思想在解决实际问题时应遵循的原则之一.

可见,掌握了这些解题策略,问题就轻而易举地解决了.钟表问题的深入探讨取得的成果对教学有积极意义,但研究不会止于此,结合多种数学思想,寻求更加全面简洁的解题策略,体会探索过程中的思想文化,是我们的价值追求. 在个别竞赛题中已出现钟表问题扩展到三角形求最大面积,函数图像、分段函数等领域.新旧知识之间的融会贯通不仅有助于学生的理解掌握,也有利于知识的建构.

3经验反思与教学改进

分析已有研究以及学生学习中存在的问题和困难,反思目前研究和教学中存在的问题,对教学提出一下改进建议:

3.1引导学生经历探求过程:加强抽象到具体的思维缓冲

有关钟表问题现已取得较为全面的解题策略,但研究多从如何“解”的角度展开,而对 “教”的研究不足,问题未能充分挖掘,这便使教与学中断,学生不能充分体会策略形成的过程,不利于从特殊到一般的归纳逻辑中渗透数学建模、转化等思想,也不利于数学能力的提高,情感、态度和价值观的培养.钟表问题本身就比较复杂,刚刚步入初中的学生抽象逻辑思维还不强,因此教学需要转变思路, 化抽象为具体,层层深入.用追及问题的思路解决钟表问题是一条好策略,但不是惟一的途径.根据问题内容,可以结合函数图像、圆、 直角三角形等已有知识,寻求多种解法.在问题解决的过程中体验数形结合思想,转化思想,培养创新意识和时间观念,并能体会到数学在生活中的运用,提高数学思维能力.

3.2教学联系现实生活:充分挖掘“好的数学问题”

郑毓信认为一个好的数学问题应该具有较强的探究性、具有一定的启示意义、具有多种不同的解法、具有一定的发展余地、具有一定的现实意义且问题的表述通俗易懂.[5]由此看来,与现实生活密切相关的钟表问题不失为一个好的数学问题,而学生却无法将它与所学内容联系起来,未能发现小小钟表中隐藏的大智慧,这说明有关教学脱离现实生活.数学学习离不开现实生活,学生要善于观察身边的事物,善于思考,学以致用.通过钟表问题的学习让学生感悟时间的流逝,进而教育学生珍惜时间、培养时间观念.一个好问题的深度挖掘对数学学习有事 半功倍的 作用,教师在教学中要充分挖掘 “好的数学 问题”,并通过知识技能的教学上升到对情感态度的教育.

3.3习题选择重视现实逻辑:不要为数学而数学

物理平衡问题的解题策略 篇4

一、平衡问题的常规处理方法

1. 整体隔离法:有多个物体参与相互作用,结合问题灵活选取研究对象,可使问题的处理简单化。

例1:(2016年甘肃白银模拟)如图所示,ACB是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的“∧”形框架,其中CA、CB边与竖直方向的夹角均为θ。P、Q两个轻质小环分别套在CA、CB上,两根细绳的一端分别系在P、Q环上,另一端和绳套系在一起,结点为O。将质量为m的钩码挂在绳套上,OP、OQ两根细绳拉直后的长度分别用L1、L2表示,若L1︰ L2=2︰3,则两绳受到的拉力之比F1︰F2等于( )

A. 2︰3 B. 1︰1 C. 4︰9 D. 3︰2

解析:因ACB是光滑的足够长的框架,故挂上重物后P、Q环只受绳的拉力和垂直于杆的弹力作用,如图所示。设重物平衡时两线的拉力与竖直方向的夹角分别为α和β,由同位角相等知β与θ互余,由四边形内角和为360°知α与θ也互余,即α=β。再以结点O为对象,它在三个力作用下平衡时,OP、OQ两绳拉力在水平方向上的分量等大反向,故F1=F2,答案选B。

点评:因处于平衡态下的物体所受合外力为零,解题时一般先将研究对象从系统中隔离出来,分析其受力情况后建立坐标系,用正交分解法建立平衡方程;对于有多个物体组成的系统,一般用整体隔离法分析,适时调换研究对象,再运用平衡条件列式求解。

2. 正交分解法:在明确物体受力情况后将各力进行正交分解,把矢量运算转化为标量运算,可使问题处理简单化。

例2:(2016年新课标Ⅰ卷)如图所示,一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点;另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态。若F方向不变,大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则( )

A. 绳OO′的张力也在一定范围内变化

B. 物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C. 连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D. 物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

解析:在F大小变化时,物体a、b均保持静止,因此各物体的位置不变,绳间夹角保持不变,而a受到拉绳的拉力等于其重力,致使绳OO′的张力不变,即A、C错;若设F与水平面的夹角为θ,绳的拉力T与水平面的夹角为α,对b建立水平和竖直方向的直角坐标系,由平衡条件知x轴上Fcosθ=Tcosα+f,y轴上Fcosθ=Tsinα+N=mbg,当F在一定范围内变化时,由平衡方程知支持力和摩擦力在一定范围内变化,即B、D对。

点评:解答此类题目时,一般是在受力分析的基础上,建立直角坐标系,分别写出x轴和y轴上的平衡方程,再根据相关参量的变化情况进行分析。

3. 假设法:处于平衡状态下的物体受多个力的作用,当某个力的方向不好确定时,可依据各力的产生条件,假设一个方向,再用平衡条件进行推断。若能平衡则假设成立,否则假设不成立。

例3:(2016年山西右玉模拟)如图所示,物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接,滑环B套在与竖直方向成θ=37°的粗细均匀的固定杆上,连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内,滑环B恰好不能下滑。滑环与杆间的动摩擦因数为0.4,设滑环与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则A和B的质量之比为( )

A. B. C. D.

解析:滑环B平衡时,若杆的弹力垂直于杆斜向下,由mBgcosθ=μ(mAg-mBgsinθ)知 =;若杆

的弹力垂直于杆斜向上,由mBgcosθ=μ(mBgsinθ-mAg)知 =-,故选C。

二、平衡条件的变通与应用

平衡问题涉及的范围宽,题型全,囊括的知识多,难度也各不相同。学习时除了要掌握常规的处理方法,对于一些具体问题还要采取相应措施,这样才能在考场上快速地做出决策。

1. 矢量三角形法:物体在三力作用下平衡时,平移三力可构成一个同一绕向的封闭的三角形,再由题设条件寻找边角度关系,运用三角形来求解。

例4:(2014年安徽屯溪联考)如图所示,将两个质量均为m的小球a、b用细线相连悬挂于O点,用力F拉小球a,使整个装置处于平衡状态,且悬线Oa与竖直方向的夹角为θ=30°,则F的大小( )

A. 不可能为mg

B. 可能为mg

C. 可能为mg

D. 可能为mg

解析:以两个小球组成的整体为研究对象,在重力、拉力和张力的作用下平衡,平移三个力可得到如图所示的矢量三角形,显见F与T垂直时,F有最小值2mgsinθ=mg,而当F转至竖直向上时F=2mg,当F转到右下方时也可以,即拉力大于最小值均可,对比知B对。

2. 三角形相似法:当物体在三力作用下平衡,若某个力的大小和方向都发生变化时,可在对物体进行受力分析的基础上平移各力构成一个矢量三角形,再在图中寻找与之相似的几何三角形,运用对应边成比例进行推断。

例5:(2014年中原名校联考)粗铁丝弯成如图所示半圆环的形状,圆心为O,半圆环最高点B处固定一个小滑轮,小圆环A用细绳吊着一个质量为m2的物块并套在半圆环上。一根跨过小滑轮的细绳一端拴着物块m1,另一端系在小圆环A上。设小圆环、滑轮、绳子的质量以及其相互之间的摩擦均不计,绳子不可伸长。若整个系统平衡时角AOB为α,则两物块的质量比m1︰m2为( )

A. cos B. 2sin C. sin D. 2cos

解析:以环A为对象,受重物m2的拉力m2g,AB绳的张力m1g,铁丝环沿OA方向的弹力为N,平移三力恰构成一个矢量三角形与OAB相似,对应边成比例=,又AB=2Rsin,得 =2sin,故选B。

3. 图解分析法:对于一些定性分析问题,或动态变化问题,可采用图解法,利用矢量三角形的边角关系,在动态中把握力的变化情况。

例6:(2016年新课标Ⅱ卷)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O,如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小,在O点向左移动的过程中( )

A. F逐渐变大,T逐渐变大

B. F逐渐变大,T逐渐变小

C. F逐渐变小,T逐渐变大

D. F逐渐变小,T逐渐变小

解析:在缓慢拉动轻绳的过程中,结点O处于动态平衡。它受到的重力mg恒定,拉力F方向不变,绳的拉力T斜向右上,平移各力构成矢量三角形如图所示。在O点左移的过程中相当于绳OA顺时针旋转,故F和T逐渐变大,即选A。

例7:如图所示,将一根不能伸长、柔软的轻绳两端分别系于A、B两点上,一物体用动滑轮悬挂在绳子上,达到平衡时,两段绳间的夹角为θ1,绳子张力为F1;将绳子由B端移至C点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为θ2,绳子张力为F2;将绳子由B端移至D点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为θ3,绳子张力为F3,不计摩擦,则( )

A. θ1=θ2=θ3 B. θ1=θ2<θ3

C. F1>F2>F3 D. F1=F2解析:滑轮下悬一物体平衡时,若反向延长其中一侧绳子发现水平线OB所分的ΔAOB与ΔCOB是全等的,故悬线与OB的夹角与动滑轮所处的位置无关,只取决于绳长和两杆间距(如图所示),由图知θ1=θ2,F1=F2。当将绳子由B端移至C点时,因两绳的合力恒等于物重,且在C点时两绳成钝角,故张力随两绳间夹角的增大而增大,故选B、D。

点评:通过对滑轮受力分析发现,只上下移动B点,滑轮在任意位置平衡时,两绳间的夹角仅由绳长和AC间距决定,而同一根轻绳内部的拉力处处相等,由此推知θ1=θ2,F1=F2。这种方法能得出一些基本结论,再运用到习题中可达到触类旁通的效果。

4. 运动性质推断法:通过对物体运动性质的分析,推断其受力情况,再运用平衡条件分析周边物体的受力情况,可收到事半功倍的效果。

例8:(2016年安徽三次联考题)如图所示,一圆环套在竖直光滑的杆上,杆的直径比圆环的内径略小,圆环通过轻弹簧与放在地面上的物块相连,开始时弹簧处于原长。现由静止释放圆环,到圆环向下的速度达到最大的过程中(物块一直保持静止)( )

A. 圆环受到的合力在减小

B. 杆对圆环的作用力在减小

C. 地面对物体的摩擦力在减小

D. 地面对物体的支持力在减小

解析:环沿杆下滑过程中受重力、弹簧的弹力和杆的支持力而做加速运动,随着θ的增大,弹簧变短,弹力变大,环的合力变小,故环做加速度逐渐减小的加速运动,即A对;弹力增大时它沿水平方向的分量增大,使杆对圆环的支持力增大,m2静止,故地面对它的摩擦力增大,即B、C错;就整体而言,由于环的加速度减小,整体的合力向上且在增大,即D错。

5. 临界状态处理法:通过对过程的分析,找出变化过程中的临界极值点,再将平衡方程和假设推断相结合,找出相关力的变化范围。

例9:如图所示,质量m=2kg的物体由两根轻绳AB和AC拉着,另一端连在竖直墙上。现对物体另施一个与水平方向成θ=60°角的拉力F,求两绳都能伸直的力F。

解析:设AB和AC的张力分别为F1和F2,对A进行受力分析如图,由平衡条件得Fsin60°+ F1sin30°= mg+F2sin30°和Fcos60°= F1cos30°+ F2cos30°。

显见,当F较小时,绳AC的张力较小,当F2=0时绳AC刚刚处于松弛状态,此时F =10;当F较大时,绳AB的张力较小,当F1=0时绳AB刚刚处于松弛状态,此时F =20,故力F的变化范围是10≤F ≤20。

6. 交汇法:物体在三力作用下平衡时不易确定的第三个力,可以用交汇原理处理,即三力作用下的平衡物其所受三力必交于一点。解题时要在受力分析的基础上,找出两个力的交点,再判断第三个力的方向,然后建立直角坐标系求解。

例10:如图所示,木板AB的重力不计,A端用铰链与墙壁连接,木板与墙壁间的夹角为30°,圆柱体重为G,D是AB的中点,若各触点的摩擦均不计,求木板A端所受的作用力。

解析:先以圆柱体为研究对象,它在重力G、板的弹力N1和墙的弹力N2共同作用下处于平衡态,由拉密原理知=,解得N1=2G。

再以板为对象,它受绳的拉力T、圆柱体的弹力N1′和铰链的作用力F而平衡,由交汇原理知F的方向如图所示,由平衡条件知=,代入

中考运动型问题的解题策略 篇5

一、基本解题策略分析

1.认真审题, 明确研究对象.

2.明确对象的运动过程, 注意数形之间的相互转化. 主要体现在: (1) 要弄清点、线或者面的运动的开始位置、运动路线、终止位置、运动速度, 运动路程与图形中线段的对应关系、坐标与线段的对应关系等等. (2) 弄清在运动过程中形状是否变化、线段与面积的表示方法是否变化、图形的各元素 (等腰三角形是底还是腰, 直角三角形中哪个角是直角、相似时对应顶点) 是否变化等, 如有变化就需分类讨论, 并确定变化的临界点.

3.根据运动过程, 把几个阶段的动态情形转化为静态情形, 即化“动”为“静”, 运用相关的数学知识解决, 在此过程中, 常用作辅助线的添加方法, 比如作高、平行线等.

二、运用解题策略来解决几类典型的运动型问题

1.运动中的“最大 (小) 值”问题.

如图1, 已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E, 顶点M的坐标为 (2, 4) ;矩形ABCD的顶点A与点O重合 , AD、AB分别在x轴、y轴上 , 且AD=2, AB=3.

(1) 求该抛物线的函数表达式;

(2) 将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图2所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动, 同时一动点P也以·相·同·的·速·度从点A出发向B匀速移动, 设它们运动的时间为t秒 (0≤t≤3) , 直线AB与该抛物线的交点为N (如图2所示) . 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S, 试问S是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值;若不存在, 请说明理由.

通过这个问题需要我们注意的是:在解答“运动型”最值问题的关键是写出反映最值的变量和另一个相关变量 (自变量) 的表达式;难点是用自变量表示图形中相关线段的长度 (尤其是注意坐标系中点的坐标与线段长度之间的相互转化) .

2.运动中的“存在性”问题.

如图3, 四边形ABCD是平行四边形, AB=4, OB=2, 抛物线过A、B、C三点, 与x轴交于另一点D. 一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动, 运动到点A停止, 同时一动点Q从点D出发, 以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动, 与点P同时停止.

(1) 求抛物线的表达式;

(2) 若抛物线的对称轴与AB交于点E, 与x轴交于点F, 在点P的运动过程中, 存在四边形POQE可能是等腰梯形吗?若存在, 求出这个运动时间t的值;若不存在, 请说明理由.

(3) 在点P的运动过程中, 存在以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似吗?若存在, 求出这个运动时间t的值;若不存在, 请说明理由.

含参数的线性规划问题解题策略 篇6

一、目标函数中含有参数

目标函数中含有参数,往往与直线的斜率有关,而且往往是已知其最优解是一个或无穷多个,求参数的问题.

(一)目标函数中x的系数为参数

A.3B.2C.-2D.-3

解析线性约束条件所表示的平面区域如图1阴影部分所示:

目标函数z=ax+y可化为y=-ax+z,由图像可知,要使z=ax+y取得最大值,则直线y=-ax+z在y轴上的截距z必须最大.

若-a>0,即a<0,则直线过点O(0,0)时,z取得最大值0,不符合题意;

若-1<-a<0,即0<a<1,则直线过点B(1,1)时,z取得最大值,所以zmax=a+1=4,即a=3,不符合题意;

若-a<-1,即a>1,则直线过点A(2,0)时,z取得最大值,所以zmax=2a+0=4,即a=2.

综上所述m=2,故选B.

点评根据线性约束条件画出可行域,再结合图像确定z=ax+y在何处取得最大值.

(二)目标函数中y的系数为参数

解析线性约束条件所表示的平面区域如图2阴影部分所示:

综上所述m=2.

(三)目标函数中x和y的系数均含有参数

解析线性约束条件所表示的平面区域如图3阴影部分所示:

点评利用数形结合思想确定目标函数z=ax+by在何处取得最小值,再借助点到直线的距离公式即可求解.

二、约束条件含参数

约束条件含参数指的是约束条件中的某一条件含有参数,这意味着约束条件是变动的,这种变动导致了目标函数最值的变化.

A.-2B.-1C.1D.2

解析线性约束条件所表示的平面区域如图4中阴影部分所示:

目标函数z=2x-y可化为y=2x-z,

点评根据图形特征确定最优解在何处取得是解题的关键.

三、约束条件和目标函数均含参数问题

解析约束条件表示的平面区域如图5阴影部分所示:

分数问题的解题策略 篇7

策略一分解法

策略二数量积法

策略三坐标法

解析3: 如图3, 以A为原点, 以AB所在直线为x轴, 建立如图3所示的直角坐标系. 则A ( 0, 0) , B ( 2a, 0) , C ( -1/ (2a) , 31/2/a) .

因为O为三角形ABC的外心, 所以O在AB的中垂线m: x =a上, 又在AC的中垂线n:上, 联立方程组可得, 由条件可得

所以x +y =4/3+1/3 ( a2+1/a2) ≥2. 当且仅当a = 1时取等号.

浅谈自由落体运动问题的解题策略 篇8

一、结合逐差法处理自由落体运动

在解答物体自由落体运动习题的时候, 我们可以根据习题的特点, 选用相应的解题方法。而在这些方法当中, 较为常见的是逐差法。而在利用逐差法解题时, 首先要用到一个定值, 在相同时间内, 匀加速运动的位移之差与时间的比值, 即为运动的加速度, 其计算公式为:a= (x2-x1) /T2。

为了进一步确定这种解题法的有效性, 我们可以借相关习题来验证。

【例1】在实验课中, 教师为学生演示重锤自由落体运动 (结合打点计时器和一条纸带) 。在这个过程中, 教师选用了频率为50 Hz的交流电, 并以三个点为单位充当计数点, 然后在相邻两个计数点之间标记上得出的距离数值。当实验完成之后, 这些距离数值依次为:37.5 mm (x1) 、69.0 mm (x2) 、100.5 mm (x3) 、131.5 mm (x4) 、163.0 mm (x5) 、193.5 mm (x6) 。结合这些已知条件, 求出本题的重力加速度。

当学生看到已知条件时, 他们很容易根据公式g= (xn+1-xn) /T2进行演变, 最后得出重力加速度的平均值公式:g= (x6-x1) /5T2。

其实整体来看, 学生这样的计算并无错误, 值得肯定。不过在解答这道习题时, 可以引导学生推出这样一个公式, g= (x6+x5+x4) /9T2- (x3+x2+x1) /9T2

这时, 不要急于让学生计算出结果, 而是让学生对这两个算式进行对比。当学生对比之后发现, 第二个算式比起他们总结出的算式更加合理, 因为第二个推理出的公式不仅包含了所有测量数据, 同时还可以降低计算后的误差。

二、巧用v0=0处理自由落体运动

众所周知, 自由落体运动是:初速度为0, 加速度等于g的匀加速直线运动, 即v0=0, a=g, 有效利用v0=0, 可以简化解题过程。

【例2】有一个矿井, 其深度为130 m, 假设以n秒为单位, 每过一个单位, 便会有一颗石头自由落入矿井中。当第13颗石头开始下落的时候, 第一颗石头正好抵达井底。请计算出n秒的具体数值?这时, 第4颗石头和第6颗石头之间的距离为多少米?

解答这道习题, 首先要弄清这个石头下落的过程, 也就是将这13颗石头想象成是同一个石头在相等的时间内的13个不同位置。这样一来, 我们便可以对整体列出位移方程, 进而将n秒的具体数值求出来。之后再结合初速度v0=0时, 分别对第4颗石头和第6颗石头列出的位移公式进行计算, 从而得出两个公式结果的差, 即两颗石头间的距离。

【例3】一颗弹珠沿着房檐向下自由下落, 1 s时通过了房子的窗檐, 当弹珠坠落到地面的时候, 所需时间为2.3 s, 问这个房子的高度为多少?

这道题的隐含条件为v0=0。本题可结合匀加速运动的规律, 及速度-时间公式得出弹珠到达窗檐时的速度, 然后再结合速度-位移公式得出房子的高度。

整体来讲, 这类习题结合了自由落体运动的速度-时间、位移-时间, 以及速度-位移的关系, 灵活运用这些规律进行分析解答, 将会让习题的解答变得更加简单明了。

三、结合图像法处理自由落体运动

图像法是解答自由落体运动习题的重要方法之一。由于高中物理概念、规律较为抽象, 而图像恰恰可以对物理概念、规律的生成过程给予直观展现。另外, 合适的图像可以更好地将物理量之间的关系及变化情况呈现在学生的面前, 更方便学生审题、思考、解答。

【例4】雨滴自屋檐自由下落, 经过1.2 m高的窗户时用了0.2 s, 请求出窗顶到屋檐的高度。 (g=10 m/s2)

首先画出雨滴下落过程中的v-t图像 (如下图) 。

如上我们不难发现, 利用图像法来解析问题, 不仅清晰地呈现出了路程、速度、时间等变量间的关系, 而且还让学生对习题中的各要素一目了然, 从而让他们的解答轻而易举。因此, 在以后的习题解答中适当结合图像法, 必会让物理学习变得更加轻松自如。

四、结束语

利用线段图解决分数问题的策略 篇9

解决分数问题是令小学生最头疼的内容之一,但不管多么复杂的分数问题,都是建立在简单分数知识基础之上的。下面以四个案例引导学生学会用线段图的方式解决分数问题,通过类似题目对比练习进一步提高学生推理分析能力。

【基本案例】

1、学校舞蹈队有60人,合唱队比舞蹈队多 ,合唱队有多少人?

2、学校舞蹈队有60人,比合唱队多 ,合唱队有多少人?

3、学校舞蹈队有60人,合唱队比舞蹈队少 ,合唱队有多少人?

4、学校舞蹈队有60人,比合唱队少 ,合唱队有多少人?

【基本法则】

求一个数(单位1,标准量)的几分之几是多少(比较量)用乘法计算;已知一个数的几分之几是多少(比较量),求这个数(单位1,标准量)用除法计算。

【基本步骤】

1、认真读题确定单位“1”:通过第1、3题中的“合唱队比舞蹈队多(少) ”可以确定两题都是以“舞蹈队人数” 为单位“1”;而第2、4题则通过“比合唱队多(少) ”可以确定是以“合唱队人数” 为单位“1”。

2、利用线段图理清数量关系(依次如下):

3、深入分析确定算法:利用线段图深入分析后,我们会发现:

(1)第1、3题都已知了标准量(单位1:舞蹈队60人),要求的都是比较量(合唱队人数),不同的是合唱队分别比舞蹈队多或少 ,应该用乘法计算。

(2)第2、4题都已知了比较量(舞蹈队60人),要求的都是标准量(合唱队人数),不同的是舞蹈队分别比合唱队多或少 ,应该用除法计算。

4、列式解答(答略):

(1)60×(1+ )=72(人)

(2)60÷(1+ )=50(人)

(3)60×(1- )=48(人)

(4)60÷(1- )=75(人)

【策略反思】

1、解决分数问题的基本步骤是:首先审题确定单位“1”的量;然后运用线段图理清数量关系;再深入分析明确要求的量,以及应该采用的方法(求标准量用除法,求比较量用乘法);最后列式解答。

2、教会学生审题。看似类似的题目,由于某个条件的细微变化会导致解题思路和方法也不一样(所举案例中就一个条件发生了变化,解题的思路却不相同),因此不能仅凭猜测或浏览式的读题去解题。只有通过字斟句酌的分析和推理才能提高学生解决问题的能力。

分数问题的解题策略 篇10

在恒成立问题解答中, 函数最值法的应用较为常见, 在恒成立相关问题解答中, 此解题方式较为适用。 在教学中, 教师需注意依照题意, 运用函数最值法来解决一些实际问题, 可充分发挥简捷省时的作用。

例1 假设函数为f ( x) = ( x+1) ln ( x+1) , 如果在所有的x≥0的情况之下, f ( x) ≥ɑx公式是成立着的, 那么求解 ɑ 的取值范围。

解: 设置函数g (x) = (x+1) ln (x+1) - ɑx, 对函数g (x) 求解导数为: g’ ( x) =In ( x+1) +1- ɑ, 并令g’ ( x) 公式为0, 得出结果x=eɑ-1- 1。 当x>eɑ-1- 1 时, 那么g’ ( x) 会大于0, 而g ( x) 在 ( eɑ- 1- 1, + ∞) 之上为增函数。 而当x<eɑ- 1- 1 时, 那么g’ ( x) 会小于0, 而g (x) 在 (- ∞, eɑ-1- 1) 之上为减函数。 因此, 需对所有x≥0都存在g (x) ≥g (0) 的充分必要条件为eɑ-1- 1≤0。 由此可得出结论, ɑ≤1, 也就是说, ɑ 的取值范围为 (- ∞, 1]。 整体而言, 在对恒成立问题应用函数最值法处理时, 需注意对整个题目做变形处理。

2 数形结合法的应用

在恒成立问题的解答中, 数形结合法的应用也可帮助获取较好效果。 首先需做到的是, 构造好函数, 并制作出满足已知条件的函数图形。 之后再将函数与函数图形在各区间之上的关系予以明确, 之后得出最终的结论, 并求取到参数范围值。

例2 如果不等式x2- logmx<0 在内是恒成立的, 求解实数m的取值范围。

3 主参换位法的应用

针对一些已明确给出参数范围类型的恒成立问题, 需将参数作为主体, 而将主体作为已知数, 也就是说将原题作为参数的附属函数, 站在函数角度上进行问题的解答, 此种解题法被称为主参换位法。

例3 假设不等式2x- 1>m ( x2- 1) 对于满足|m|≤2 的一切实数m均成立, 求解实数x的取值范围。

分析, 在此不等式中, 出现的字母为m与x, 而解题的重点在于变量与常数字母的明确。 很显然的是, 在此不等式中, 自变量应为m, 那么则可将上述问题直接转化为在[- 2, 2]内, m相关一次函数大于0是恒成立的问题。

针对一些含参数的不等式恒成立问题, 在做分离参数处理时, 会遭遇讨论麻烦或是参数、 变量较易分离, 但函数最值较难求得的问题。针对于此, 可在解题中, 适当学会转化思维方向, 将参数与变元更换位置, 并有机结合其它的知识, 以此获取到极佳的效果。

4 判别式, 韦达定理及根分布的应用

如果二次函数y=ɑx2+ bx+ c ( ɑ≠0) 的值是恒定大于0 的, 那么则有 ɑ>0, △<0。 针对二次函数处于指定区间之上的恒成立问题, 可应用韦达定理及根与系数的分布知识进行解答。

例4 已知函数f ( x) =x2+ ɑx+ 3- ɑ, 在R上, f ( x) ≥0 是恒定成立的, 求解 ɑ 的取值范围。

分析y=f ( x) 公式的函数图像均处于x轴及其上方, 如图2 所示。

解△=ɑ2- 4 ( 3- ɑ) =ɑ2+4ɑ- 12≤0, - 6≤ɑ≤2。 变式如果x∈[- 2, 2]时, 那么f ( x) ≥0 是恒成立的, 求解 ɑ 的取值范围。 分析如果想要在x∈[- 2, 2]的情况之下, 满足f ( x) ≥0 恒成立的的要求, 那么只要是f ( x) 的最小值g ( ɑ) 即好。

此类恒成立的问题属于含有参数的二次函数, 在求得最值是, 轴变区间定的清醒, 对于轴与区间的位置问题进行分析讨论。 而对于一些情况与其完全相反的, 轴动区间定, 解题方法是类似的。

5 结语

对于恒成立类问题的解答, 由于其题目类型所涉及的知识较为丰富, 可采用的解题方式也较为灵活多样化, 本文提到的函数最值法; 数形结合法; 主参换位法; 判别式, 韦达定理及根分布都是较为常用的解题方式。 因此无论是在哪个阶段的教学中, 均需注意渗透恒成立问题内容, 促使学生在日常的学习训练中学会总结, 进一步提升其自身的解题能力, 促进其良好发展。

摘要:本文主要对恒成立问题的科学合理解题策略及技巧进行了分析探究, 以此帮助更好的教导学生学习了解恒成立问题, 提升其数学学习质量及效率。

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