学习曲线（精选12篇）
学习曲线 篇1
众所周知, 随着累计产量增加, 个人的操作熟练程度不断提高, 效率也会越来越高, 促使单位产品中蕴含的人力成本以一定的比例下降。学习曲线 (t h e Learning Curve) , 也称为经验曲线, 提供了对以上现象定量化分析的框架, 该曲线的斜率反映了个人或者组织提升技能或效率的速度。
一、“学习曲线”释义
学习曲线是一种动态的生产函数, 最早发现于飞机制造业。它体现在产品生产过程中, 随着累积产量的增加, 单位产品消耗的工时会逐渐下降, 直至累积产量达到一定数量后, 单位产品消耗的工时将趋于稳定。
根据统计分析, 生产单位产品消耗的时间和累积产量之间呈指数关系, 如图1所示。这种反映单位产品工时与累积产量之间关系的图形称为“学习曲线”。学习曲线的特点是在开始阶段下降速度很快, 以后逐渐变得平坦。学习曲线反映出的这一生产规律也称为“学习效应”。
图1中所示的曲线就是学习曲线。包含两个阶段:一是学习阶段, 该阶段单位产品的生产时间随累计生产数量的增加而逐渐减少;二是标准阶段, 该阶段单位产品的生产时间基本稳定, 学习效应可以忽略不计。学习效应的大小, 通过“学习率”来体现。
单位产量在标准阶段与学习阶段耗用的平均工时之比称为“学习率”, 具体数值为等量产品在标准阶段耗用总工时与学习阶段耗用总工时之比, 通常用百分数表示。对于不同产品、不同组织或不同时间, 学习率不同。
除了在飞机制造业外, 在其它劳动密集型的产业, 如电子、汽车、合成橡胶、人造纤维织物等行业都发现了类似的学习效应。尽管不同产品耗用的工时下降速率不同, 即学习率不同, 但每当累积产量增加一倍时, 产品工时按一定的百分比有规律递减的现象却是相似的。
二、“学习曲线”理论的应用举例
学习曲线定量化地体现了“熟能生巧”的理念, 是一种分析预测成本、实现成本降低的重要工具和手段。在下文中, 笔者将通过实践来举例说明。
(一) 项目背景
某公司A项目的学习阶段共有三个串行任务, 自TL1开始标记到TL4, TL4
起开始进入标准阶段。预计共有1785名有各类人员参与项目的规划研发、试产导入、量产及后期管理。立项之初, 在并未考虑学习效应的情况下, 项目预算的人力成本共4, 387, 000USD, 比客户对人力成本的预期高出8%, 导致订单评审亮出红灯无法通过。考虑到A项目具有同类产品多批量的特点, 除了生产工人、设计师、工艺人员、生产技术和质量管理人员等, 都会随着项目的推进, 对客户需求、产品规格、项目流程越来越熟悉, 也会在不断的实践中提升配合协调效果, 提高工作效率, 能带来学习效应, 基本满足学习曲线发挥作用的条件。因此, 我们引入了学习曲线的概念, 再次进行了详细的项目人力成本预算, 争取满足客户的最终需要。
(二) 调研得出本项目的人力成本学习曲线基本图形
项目在学习阶段的工作时间遵循相应确定的公式, 表示如下:
式中Tn——生产第n个产品所需的时间
T1——生产第1单位产品所需的时间
n——累计生产的产品数量
r——学习曲线的斜率
根据文献和实践数据记录, 电子企业学习率一般在75-90%区间, 学习率百分比越高说明学习能力越弱, 资源相对消耗更多。在本项目人力成本预算过程中, 我们主要考虑:
(1) 在A公司, 工厂生产效率学习曲线的经验值为85%;
(2) 在考虑学习率时, 须为创造性工作预留时间。为了提升学习效果, 研发工程师、工艺人员、生产技术和质量管理人员均会在前期介入项目, 深入理解产品特性, 学习调试规格, 发现潜在失效模式并研究其纠正方法。尽管他们的学习曲线和生产人员一样, 有助于提升项目效率。但在考虑学习率时, 必须预留一定时间用于从事创造性工作 (效果不一定体现在本项目中) 。
综合以上考虑因素, 在本项目的人力成本学习曲线学习率取值为90%。即项目组成员在项目各阶段的学习率为90%, 从TL1到TL4各区间段的下降斜率为:
r=l g (0.9) /l g2=--0.046/0.3=-0.15, 从T L4开始, 斜率趋于平缓接近于0。
具体的人力成本消耗和项目进程关系见图2:
(三) 简化后的人力成本学习曲线图
尽管在理论上学习曲线实际存在, 但在实际工作中, 对于曲线的形状, 包括曲率是不可能模拟预测精准的。因而, 在实际工作中, 会兼顾快捷、可靠的要求, 形成简化的人力成本学习曲线图。
A项目中, 我们取各阶段的工时最大值, 而在每一个阶段内, 不再考虑学习效应的影响。即在T L阶段1开始时资源耗费为100%, 则在TL阶段2的任务资源耗费为90%, 在T L阶段3间的任务资源耗费为81%, 在T L阶段4及其后, 活动资源耗费为72.9%, 形成了如图3的简化时间-资源关系。
以此为基础对A项目人力成本做快速预算, 计算得出优化后人力资源成本为3, 983, 248U S D, 下降幅度为9.2%。可实现项目人力成本优化8%的目标。事实上, 该项目的实际人力成本最终满足了预算的要求。
三、学习效应的原因及运用该理论时的注意事项
根据上述分析, 笔者认为, 在实践中运用学习曲线时, 有以下几个方面是必须注意到的:
学习曲线发挥功能, 带来成本降低, 原因可以归结为以下几方面: (1) 随着生产经验的丰富, 操作人员的操作速度提高了; (2) 操作人员工作质量提升, 报废率和返修率降低了; (3) 在学习、实践和优化理念指引下, 操作程序改进了; (4) 因生产经验反馈, 促进了设计改进; (5) 价值工程和价值分析的应用, 有助于消除无效的成本投入。
使用学习曲线时: (1) 在实际工作中, 行业的平均学习率仅做参考。企业应根据项目的特点及具体情况进行分析, 以确定对应项目合适的学习率。 (2) 当根据过去类似项目的经验估计学习率时, 须考虑资本投入对学习率的影响。 (3) 注意“限度”。在实际应用时, 应根据生产规模、技术水平和管理水平、经济批量等情况, 综合分析确定学习阶段和标准阶段的产量范围。
学习曲线理论基于三个假设: (1) 完成重复的任务 (2) 完成重复任务, 后一次所需要的时间总少于前一次; (3) 单位产品完成时间的减少可以预测。一旦实现环境过于偏离理论假设的情况, 学习曲线理论将不再适用。
因此, 管理人员要深刻洞察环境动态变化, 对可能不适用学习效应的因素要加以考虑, 防止给企业带来损失。关于这一点带来的教训, 至今在网上流传着:道格拉斯飞机曾经根据学习曲线估计它的某种新型喷气式飞机成本能够降低, 于是对顾客许诺了价格和交货日期, 但是飞机在制造过程中不断地修改工艺, 致使学习曲线遭破坏, 未能实现成本降低, 最终遭遇了严重的财务危机, 不得不被唐纳德公司兼并。这在公司进行策略性报价时, 依旧具有现实意义。
四、结束语
学习曲线理论从产生到现在一直受到了广泛的关注, 企业找出符合自身特性的学习曲线, 有利于企业定量地了解自身的状况和潜力、定量地呈现管理中存在的问题。同时, 学习曲线有助于制定标准工时, 制定生产计划, 预测产品人力成本, 支持新产品报价, 或者用于人员学习能力和潜力考核等多个方面。可以看出, 学习曲线模型是企业必不可少的管理思路、工具。学习曲线的应用对现代企业管理来说有着重要的意义。
学习曲线 篇2
素质教育的一个重要特征是以学生的发展为本。在数学课堂上，从发展的角度，以问题解决为纽带，是努力培养学生的学习能力，开发学生自我发展潜能的重要途径。
教学：在研究中生成
在双曲线几何性质的教学中，考虑到学生已有椭圆几何性质研究的经验，我采用了让学生主动参与、相互协作的方式，较好地达到了使学生自主获取知识的目的。 我引导学生按如下程序展开――― 第一步，提出问题： “请学生回顾前几节课研究过什么曲线？是从哪几个方面进行了怎样的研究？今天我们该接着研究什么内容了？” 课堂上由三个学习小组的学生分别回答了上述三个问题，在回答有误或不全面的情况下，允许其他学生提出质疑或补充。通过问答，学生对椭圆定义、标准方程、几何性质及其研究方法，双曲线的定义、标准方程作了较为全面的回顾，克服了重结论轻过程的倾向，并仿照椭圆的研究顺序自行确定了本节课的学习任务。 复习不是单纯地进行知识的回顾，而是要通过对知识产生过程的反思起到承上启下的作用。而把课堂教学内容的决定权交给学生是尊重主体地位、强化主体意识的体现。 第二步，研究双曲线的几何性质： 根据椭圆性质的研究经验，类比地，学生很快想到运用研究椭圆几何性质的方法研究双曲线的性质。我提出如下要求： 1．在不看课本的情况下先自己独立研究； 2．每位学生把各自的研究结果在组内交流； 3．请小组代表在全班发布本组研究成果（学生获得了双曲线的范围、对称性、顶点、离心率）。 第三步，在上面的研究中，学生都未注意到双曲线的渐近线，我又提出问题： “我们清楚地看到双曲线的两支向左、右上方，左、右下方无限延伸，那么能否用数学语言较为确切地刻画这种延伸的发展趋势？比如在延伸过程中和哪条直线可以无限接近？请同学们先讨论解决，再对照课本确认。” 围绕我的提问，学生分组进行了较为热烈的讨论，进而获得了双曲线的两条渐近线方程。 学生想不到双曲线还有渐近线这一性质是正常现象。这时教师不必将它直接奉送给学生，而应适时设问，才能起到启导点拨的作用。 第四步，进一步提出如下问题：“双曲线和椭圆虽然都是圆锥曲线，但它们有着本质的区别，请从性质的角度，说出它们的异同。” 通过比较，学生进一步掌握了双曲线和椭圆各自的几何性质。 第五步，请其中一组的`五名学生（由组长指派），围绕双曲线的性质上黑板每人设计一道练习题。由组长指定题目涉及的性质，要求各不相同，可以独立命题，也可以协作设计。然后由另一组组长指派该组五名学生板演求解，其余学生在座位上完成。最后师生集体评判：先学生，后教师，包括评价题解的正确与否，题目设计的优劣，改进设计方案等。 整堂课充满了学生积极参与，自主学习的气氛。在这样的课堂教学中，学生既独立自主，又互相协作，求知的欲望被不断激活，探索的勇气在不断增强，自我学习的能力得到了较好的培养。而教师的主导作用则体现在创设问题情境，适时点拨、引导和调控上。
课堂内外：有机结合创设环境
学习曲线 篇3
【关键词】学习曲线 英语学习 策略
随着我国社会经济的发展，不断加大了与世界各国的经济联系和人际沟通，英语作为全世界的通用语言，成为当今社会人们必须掌握的一门技巧，越来越多的学生开始走出国门，留学深造，以更加卓越的才能来服务祖国的建设，所以实现英语效果的最优化教学就成为当前英语教师的主要责任。怎样才能激发学生的学习兴趣，因材施教的进行英语教学，是困扰着我国高校英语教师的难题。近年来，随着学习曲线学习模式的研究，我国高校的英语教师开始基于学习曲线探讨来研究英语学习的学习模式，从而更好的提升学生的学习成绩，完成教学目标。本文以目前我国留学学生低龄化的现状，来分析在英语教学中如何才能实现英语效果的最优化，给中国广大的英语教师、家长和学生提供一定的理论建议。
一、基于学习曲线的英语学习模式
所谓的学习曲线的定义是在一定时间内获得的技能或知识的速率，具体来说就是在学习的过程中建立起来的学习时间和学习质量之间的曲线关系。通常来说，人们在学习某一个知识的过程中，由于长时间的练习和记忆，学习知识的效率会随着学习时间的增长而不断加快，然后进一步趋于稳定。拿英语学习过程来说，人们在学习英语的过程中，从开始的不熟练到慢慢有一定的知识积累，单位时间内掌握的英语知识会随着学习时间的增加而增加，最终趋于稳定，形成一定的英语水平，提升学生的学习质量。学习曲线和学习效应是分不开的，常见的学习效应有个人学习和组织学习，所谓的个人学习就是单独进行某一科知识的学习，所谓的组织学习就是和别人组成小组共同学习，个人学习的学习曲线主要是通过长时间的练习而掌握一定的窍门，而组织练习的学习曲线则是通过小组之间不断的磨合，从而增加团队意识，互相帮助，进而提升团队的学习成绩。
基于学习曲线的英语学习模式，在每个年龄段所呈现的曲线都不一样，相关数据表明，学习英语的关键时期是1-6年级，这个时间段学习英语的效率最高，而8年级之后，个人学习英语的时间大大延长，且很难够达到同母语一样的水平，只能将英语学习的目标调整为工作水平，甚至只为了过四六级证书。另外，学习英语的效率还和性别、个性和家庭状况有一定的联系，一般来说性格开朗、喜欢说话、家里有成员说英语、喜欢文科的女生学习英语较好。
二、基于学习曲线的英语学习的策略
1.国内高等院校学习。要想提高学生的英语成绩，家长和教师要在学生上幼儿园就开始传授学生学习英语的意识，从小孩培养，因为这个阶段是学生学习能力最强的时刻，1-6年级作为学生学习英语的关键时期，要注重对学生听力和口语的练习，将汉语和英语的学习分开，先学习发音，然后再从系统的音标开始学习，家庭条件好的学生可以在这个阶段选择在国外留学2-3年，这样不仅可以全面提升学生的口语能力，而且能够帮助学生纠正口音问题。对于错过关键时期的学生而言，在高中或者大学的学习英语的过程中可以将重点放在阅读和写作上，适当的降低自己的学习标准，特别是对于那些非英语专业的学生而言，如果将过多的时间和精力用于英语的学习而忽略自己的专业，往往得不偿失，因此在教学的过程中教师要适当的提醒学生，注意把握学习重点，从而更好的实现自己的全面发展。
2.留学策略。留学是学习英语最快速的方法，因为语言环境的改变，迫使留学生必须学会英语口语，否则难以和别人进行沟通。在我国的英语学习中通存在两种现象，一个是在国外完成高中和大学的课程然后回国就业，一种是在国内完成大学学业，然后留学国外读研或者博士。在这个过程中，我们会发现如果在国内上完高中参加美国大学考试则能够考到好的大学，而高中就在美国念书的学生在美国可以找到很好的工作，这主要是因为前一类被视为国际学生，而后一类对美国的文化和社会融合较好，容易被美国雇主接受。
三、结束语
学习好英语是在当今社会是一项非常重要的技能，而对英语的学习过程是一个长期的过程，需要从小学开始就制定学习计划，通过国内学习和国外留学的相互配合，在好的英语环境中提很给自己的学习成绩，对于那些没有能力留学错过关键机会学习英语的学生，要适当的调整自己的学习目标，根据自己的专业情况选择合适的内容和侧重点进行学习，以便为自己将来的工作增加优势。总之，英语学习的效率是随着时间增长而不断提高的，要想学好英语，就必须下功夫。
参考文献：
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[2]包晓峰，韩艳.默会知识与课堂活动——基于学习策略的英语教学模式研究[J].疯狂英语（教师版），2008，06：40-42.
学习曲线 篇4
我国页岩气资源储量丰富、开发潜力巨大。2011 年4 月,EIA评估中国页岩气技术可采储量达36. 1 万亿立方米,占全球总量的19% ,居世界第一位。2012 年国土资源部初步评估我国页岩气资源的技术可采储量为25. 08 万亿立方米( 不含青藏地区) ,其中勘探开发地区可采资源量达15. 95 万亿立方米。储量丰富的页岩气资源为我国应对日益突出的天然气供需矛盾以及逐渐攀升的天然气对外依存度提供了崭新的思路。然而,页岩气开发在我国还是一个全新领域,具有投入大、技术难、风险高的特点。在国内两轮 “热火朝天”的招标过后,由于技术、资金等问题,页岩气行业频频遇冷,致使原本应该在2013 年底启动的第三轮招标一再搁浅。美国页岩气开发经验表明技术攻关和成本控制是制约页岩气资源快速实现规模化商业开发的关键因素。本研究在对涪陵页岩气田实地调研的基础上,借助学习曲线理论剖析了技术学习与页岩气开发成本变动之间演进规律。这对推动我国页岩气产业化发展,加快页岩气气等非常规油气资源开发利用具有重要的现实和理论意义。
1 我国页岩气开发技术工程化实现的内涵
页岩气赋存于富有机质泥页岩及其夹层中,以吸附和游离状态为主要存在方式,具有自生自储、无气水界面、大面积连续成藏、低孔、低渗等特征[2]。页岩气在成藏机理、赋存状态、分布规律、开采方法等方面极大的区别于常规油气( 见表1) ,这决定了页岩气在勘探开发方式上有着特殊的技术要求,不确定性问题发生的概率远大于常规油气田,开发成本也远高于常规油气。
从勘探启动阶段到早期开采阶段,再到商业化开采阶段,美国大概用了30 年的时间。技术突破与成本控制是实现美国页岩气资源规模化商业开发的关键。依据美国经验,页岩气开发的经济可行性很大程度上依赖于钻完井费用的支出,专家访谈信息也表明页岩气钻完井成本支出占据开发总成本的60% ~ 80% 左右,因此,本文以页岩气钻井成本作为开发成本的参考指标并依此来进行分析。页岩气钻完井技术体系常由储层评价( 甜点) 技术、水平钻井技术、完井技术、水平井分段压裂技术、体积改造技术以及微地震裂缝监侧技术等构成,这些技术不同于常规油气开发技术,处于初始试验应用阶段,技术学习特征明显。基于Ferioli等对成本与技术关系的研究[3],本文把我国页岩气开发工程化实现的内涵定义为: 随着开发进程的推进,技术经验不断累积、技术学习效应不断提升技术能力,促进钻井成本不断降低,并最终实现系列开发技术的商业化应用与推广( 见图1) 。其中,是勘探评价阶段的单位钻井成本区间,对应的开发规模区间为; 是早期开采阶段的单位钻井成本区间,对应的开发规模区间为; 为商业化开发成本,此时的开发规模为,常被学者称为累计平衡规模( break - even) ,为技术工程化实现临界点。如图1 所示,页岩气开发工程化实现不仅包括开发规模维度( 用钻井数量来衡量) ,还包括开发成本维度。只有突破工程化开发临界点,我国页岩气开发技术才能复制推广,实现规模化商业开发。
2 页岩气开发技术工程化实现的机理分析
页岩气开发是个复杂的系统工程,技术要求高,不确定风险大,资金投入多。技术体系不成熟、技术成本高昂是开发成本大幅度高于常规油气开发的主要原因。页岩气作为一种新兴的非常规能源,其开发技术具有显著的学习效应。开展技术学习活动是降低开发成本的重要途径,正是不断开展技术学习,使开发涪陵焦石坝地区埋藏在页岩层中储量可观的页岩气资源在经济上变得可行( 见表2) 。
中国石油化工股份有限公司高级副总裁王志刚[4]指出,全过程、技术与经济一体化 “学习”可以提高钻井速度、提升施工效率以及促进了工艺技术进步和工程成本下降,对加快该非常规油气资源开发进程起到了积极的推动作用。此外,实地调研发现由于技术体系不成熟,导致不确定性问题发生的可能性不能有效控制在经济开发效益范围内,这是制约我国页岩气规模化、商业化开发的核心问题。页岩气开发过程中的不确定性问题是指在未来开发进程中会遇到的一些挑战或者无法预知的障碍,增大了开发成本投入的可能性。不确定性问题发生可能性的大小取决于现有的技术能力水平的高低,技术能力主要包括技术创新能力和技术改进能力。技术创新和技术改进可以有效降低各种不确定性问题发生的可能,减小了钻井工程停止、放弃以及出现“干井”的概率。其中,“弃井 “和 “干井”是产生巨大沉没钻井成本根源。
以上分析可知,技术学习不仅可以直接降低开发成本,还能通过提升技术能力降低不确定性问题发生的可能性,减小沉没钻井成本,间接降低开发成本( 见图2) 。
通过技术学习降低开发成本是实现页岩气工程化开发重要途径。如图1 所示,技术学习对开发成本的作用途径有两条: 一条是基于Wright[5]学习曲线理论,随着技术规模的不断扩大,技术成本不断降低; 另一条技术学习提升技术能力,主要包括技术创新能力和技术改进能力,降低了页岩气开发过程中各种不确定性问题发生的可能性,起到间接降低开发成本的作用。
2. 1 技术学习对开发成本的直接影响
根据以往学者的研究结果,技术学习对成本的影响可以用技术学习曲线来描述。技术学习曲线来表示技术成本的规模效应或学习效应,即随着技术规模的不断扩大,技术成本不断降低的过程[6]。在过去的几十年,技术学习曲线的应用显著提高了人们捕捉技术采用、研发活动和技术成本降低之间复杂关系的能力。涪陵页岩气田实地调研还发现一个重要现象,即新兴技术相比成熟技术,技术学习效应对成本的影响更加明显。这是因为新兴技术往往比成熟技术具有更高的技术学习速率所导致的。根据页岩气钻完井技术学习速率随着开发进程的演进特征,可把页岩气开发技术学习曲线划分为3 种技术学习形态,以便更准确的描述技术学习对开发成本的影响( 见图3) 。
在风险探井阶段,由于多项技术处于研发试验时期,技术学习速率高,技术学习效果非常明显,开发成本下降迅速。此阶段表现出以技术创新为主导的技术学习,本文把其定义为创新型技术学习形态( 如上图a) 。进入勘探评价阶段,由于风险探井阶段先验技术经验累积,开发成本被控制在一定水平,技术研发投入减少,主要通过开展多项技术调整或改进活动来提高钻完井效率来,降低钻完井成本,技术学习速率变小,开发成本下降趋缓。此阶段表现出以技术改进为主导的技术学习,本文把其定义为改进型技术学习形态( 如上图b) 。当进入开发井阶段时,系列开发技术经过不断创新和改进已趋于成熟,技术学习对成本变动的影响较小,学习速率较低,单位钻井成本也已经下降到可复制推广的水平。此阶段表现出以成熟技术为主导的技术学习,本文把其定义为成熟型技术学习形态( 如上图c) 。
2. 2 技术学习对开发成本的间接影响
对已实现规模化商业开发的涪陵页岩气田的实地调研结果显示,钻井过程中发生不确定性问题引发大量的沉没钻井成本。技术学习如何不断减小不确定性问题发生的可能性,降低沉没钻井成本,是分析技术学习间接影响开发成本投入的关键。实地调研发现,页岩气开发过程中对成本影响较大的不确定性问题主要有三类,即地质问题、技术问题以及环境问题。在不同的开发阶段,各种不确定性问题发生的可能性大小具有很大差异。本文依据实地访谈信息,对页岩气开发过程中对应井别的各种不确定性问题发生的可能性等级进行了评价( 见表2) 。
注: 1) 评价标准依据为专家访谈; 2) ****到* 分别代表非常高到低的4个等级
地质问题是由于地层构造、储层结构以及地质规律认识水平的制约而导致页岩气井不具经济开发价值而弃用,甚至出现 “干井”的可能性,从而引起钻井沉没成本的增加。技术问题主要包括技术研发问题、技术替代问题以及技术应用问题,其中:技术研发问题是指在技术研发过程中,由于钻完井工程本身的复杂性、技术攻关者的能力有限,导致技术研发项目的失败或终止,产生巨大的沉没成本;技术替代问题是指随着时间的演进,不断涌现的新技术必然取代现有技术,增加了技术成本的投入;技术应用问题是指由于地质条件差异所需要的技术系列也不同的 “水土不服”现象,或在采用新技术的适应过程中出现操作失误的可能,额外增了开发成本; 环境问题是指在钻完井的施工过程中可能引发的生态破坏、地下水及地表水污染、空气污染等问题,处理这些环境问题往往成本高昂,甚至导致“封井”的可能,极大地增加了钻完井的成本支出。表2 中的各种不确定风险评价等级也表明,随着开发进程的推进,各种不确定风险等级是不断下降的,这与上述成本变动机理分析相吻合。
降低各种不确定性问题发生的概可能性需要技术能力不断提升予以保障,然而技术能力的提升又得益于各种技术的不断学习,因此,技术学习对开发成本的间接影响的作用机理如图4 所示。
从图4 可以看出,如果把在风险探井阶段之前的技术水平定义为初始技术水平,那么在风险探井阶段,不确定性问题发生的可能性极高,需要进行的技术攻关项目最多,技术学习强度最大,技术能力提升最快,一旦风险探井取得成功,技术能力将大幅度提升。当进入勘探评价井阶段,由于技术能力的提升能够掌握部分不确定性问题的发生规律,各种不确定性问题发生的概率显著降低。进入开发评价井阶段,技术能力进一步提升,各种不确定性问题发生的可能性又进一步减小。进入开发井阶段,由于之前各个阶段的不断探索,各种技术难关不断被攻克,技术能力达到一定水平,各种不确定性问题发生的可能性已基本控制在可接受范围内。实地调研发现页岩气的开发进程中,通过技术学习,技术能力从初始技术水平到开发井水平,经历了4 次显著的提升,不确定性问题发生的可能性也发生了显著的递减变动,相应的钻井成本也发生了4 次显著的递减变动。
3 页岩气钻井成本学习曲线———以涪陵页岩气为例
页岩气作为一种新兴的非常规能源,开发技术新,不确定性问题多,开发成本高[7],技术学习曲线特征明显。基于以往学者对技术学习曲线理论的研究,技术学习曲线刻画的是技术成本的规模效应或学习效应。页岩气开发过程中有可能发生地质、技术以及环境方面的问题,以至于增大了开发成本投入。通过开展技术学习来提升技术能力,降低不确定性问题发生的可能性这一间接作用在以往学者定义的技术学习曲线上并没有体现出来。基于此,本研究以涪陵页岩气气田为案例,不仅考虑了技术学习的规模效应,还考虑了不确定性问题发生的可能性大小对开发成本的影响,并把发生不确定性问题导致钻井工程失败所引发的成本定义为页岩气开发的沉没钻井成本。
通过实地调研并结合专家建议,本文给出了不同开发阶段成功取得具有经济利用价值钻井的概率区间,根据钻井成功概率和不考虑不确定性问题下的单位成功钻井成本,推算出不确问题引发的钻井沉没成本。为了更加准确地描述不确定性问题下的页岩气开发成本变动规律,将不确定性问题引发的沉没钻井成本分成所有井型都按最小钻井成功概率测算的悲观钻井沉没成本、按最大钻井成功概率测算的乐观钻井沉没成本以及按成功概率区间中值测算的中性钻井沉没成本( 见表4) 。
在不考虑不确定风险对页岩气开发成本的影响,依据专家访谈信息,以不同开发阶段对应井别的单位钻井成本为研究对象,可以刻画涪陵地区页岩气开发成本的学习曲线( 见图5) 。
从图5 可以看出,在不考虑各种不确定性问题对钻井成本的影响,只考虑技术学习的规模效应对钻井成本的影响,涪陵页岩气开发成本从风险探井阶段的钻井成本1 亿元下降到开发井阶段的5 000 万元,钻井周期已也从风险探井阶段的150 天缩减至开发井65 天。依据上述的成功钻井成本数据并结合专家访谈获得的不同开发阶段对应井别的成功概率区间,根据成功概率区间的最大值、中值和最小值,测算出了不确定性问题下涪陵页岩气开发总成本随着技术学习的变动趋势( 见图6) ,其中包括以最小成功率考量的悲观钻井总成本、以成功率概率区间中值考量的中性钻井总成本以及以最大钻井成功概率考量的乐观钻井总成本。
如图6 所示,若以中性态度看待涪陵页岩气田沉没钻井成本,单位钻井总成本由早期的风险探井阶段的80 000 万元下降到勘探评价井阶段的22 222万元左右,下降幅度达到72. 22% ,到开发评价井阶段的单位钻井总成本为12 727 万元,下降幅度为42. 73% ; 进入开发井阶段,单位钻井总成本下降到6 667 万元,降幅为47. 62% 。由此可知,早期的风险探井阶段到勘探评价井阶段钻井成本变动趋势更为剧烈,而从勘探评价井阶段到开发井阶段钻井成本变动相对平缓。这主要是因为早期的技术学习速率较高,之后技术学习速率递减所造成的。只考虑技术学习的规模效应( 由图6 中的现实成本表示) ,风险探井阶段到勘探评价井阶段的钻井成本变动幅度为50% 左右,勘探阶段阶段到开发评价阶段,钻井成本变动幅度为30% 左右; 开发评价井阶段到开发阶段,钻井成本变动幅度为28. 57% 。比较而言,只考虑技术学习的规模效应的钻井成本变动更为平缓,技术学习对钻井成本的间接影响显著增大了技术的学习效应。
4 小结
页岩气规模化商业开发对保障我国能源供应,缓解天然气供应压力,优化能源结构[8]以及促进经济增长具有重要的战略意义。页岩气开发技术工程化是规模化商业开发的前提,技术攻关与成本控制一直是掣肘我国实现页岩气开发技术工程化的关键。针对以往对技术学习曲线理论主要侧重考察技术规模与成本变动之间的影响关系,本文以已经宣布实现规模化商业开发的涪陵页岩气田为案例,以学习曲线理论为基础,研究了页岩气开发从风险探井阶段到开发井阶段的钻井成本变动规律。研究发现:页岩气开发具有显著的技术学习曲线特征,通过开展技术学习活动,不仅可以直接发挥技术学习的规模效应,还可以提升技术能力,降低钻井过程中地质、技术及环境问题发生的可能性,提升钻井工程的成功率,从而降低开发成本; 风险探井阶段到勘探评价井阶段钻井成本变动趋势更为剧烈,而从勘探评价井阶段到开发井阶段钻井成本变动相对平缓;当只考虑技术学习的规模效应,钻井成本变动更为平缓; 与前者相比,技术学习对钻井成本的间接作用显著地增大了技术的学习效应。
参考文献
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[7]葛洪魁,王小琼,张义.大幅度降低页岩气开发成本的技术途径[J].石油钻探技术,2013,41(6):1-5
学习曲线 篇5
珠三角城际轨道交通最小曲线半径及缓和曲线长度研究
由广东省单独投资建设并负责运营管理的`珠江三角洲地区城际轨道交通网,运行速度、车辆选型、运营组织模式等既不同于地铁制式,又不同于国铁制式,现行有关轨道交通方面的设计规范均不能完全适用,线路平纵断面设计参数需要另行研究选定.根据珠江三角洲地区城际轨道交通线网特点、运营特点、车辆选型和服务功能,参考现行有关轨道交通的设计规范或设计暂行规定的原理、原则、理论依据和计算公式,对珠江三角洲地区城际轨道交通平面最小曲线半径及缓和曲线长度进行了分析研究,提出了有关参数选择意见.
作 者：黄远清 Huang Yuanqing 作者单位：中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北武汉,430063刊 名：铁道勘察英文刊名：RAILWAY INVESTIGATION AND SURVEYING年，卷(期)：36(3)分类号：U212.33+2关键词：珠三角 城际轨道交通 设计参数 曲线长度
学习曲线 篇6
【关键词】 数学 探究性学习 双曲线 函数
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-105-01
在数学教学中，我们常常面临着学生在学习上“讲讲都会，做做不对”的通病。如何处理好这个问题，让学生变被动学习为主动学习，是我们教学中要长期思考的主旋律。笔者认为，我们不妨进行“诱导型探究学习”和“发现型探究学习”。
在双曲线习题课的教学中，笔者给出了下面系列问题链：
教师：我们已经学习了圆锥曲线，猜猜反比例函数y=■属于哪类曲线？
学生：好像是双曲线。
教师：如果y=■是双曲线，则y=■的焦点是 和 。
学生：y=■的图像可以看成双曲线x2-y2=1的图像绕原点逆时针旋转■的结果， y=■的焦点应该是F1（-■，-■）和F2（■，■）.
教师：曲线y=■为什么表示双曲线？
学生：证明y=■是双曲线，必须满足曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。 双曲线的两个焦点分别为F1（-■，-■）、F2（■，■），设P（x，y）是双曲线上任一点，
PF1-PF2=
■-■
=■-■
= x+■+■-x+■-■=2■
奥苏伯尔提出的“先行组织者”教学策略，就是激活新旧知识的实质性联系，提高已有知识对新知识的有效影响，实施“引导型探究学习”，让学生自己去弄清反比例函数y=■的本质。
在这里，双曲线的定义是学生探究反比例函数y=■是双曲线的“先行组织者”，双曲线x2-y2=1和反比例函数y=■图像的一致性是学生探究反比例函数y=■是双曲线的桥梁，也是学生探究性学习的动力源泉。在课堂教学过程中，通过设置“问题连”，搭建“脚手架”，利用问题的驱动，引导学生自觉地利用双曲线的定义来探究反比例函数y=■的本质，促使知识水平的拓展。这时，我们称为“诱导型探究学习”。
在验证了反比例函数y=■的本质是双曲线后，笔者趁热打铁，给出了下面问题：y=ax+■（a>0，b>0）是教材中不经常见到的一类函数，我们都称它是双沟曲线或耐克曲线。那么，他们是双曲线吗？请大家探讨该函数的图象和性质。
教师：请同学们思考 y=ax+■（a>0，b>0）的定义域、值域；函数的性质（单调性和奇偶性）等等。
学生：可以看出， y=ax+■（a>0，b>0）是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），不妨先考察函数在x∈（0，+∞）的图象。当x→0时，y=ax+■→+∞；当x→+∞时，y=ax+■→ax，预见在第一象限内图象介于y轴和ax之间。当x∈（0，■）时，可以证明y=ax+■在（0，■）是减函数，当x∈（■，+∞）时， 故y=ax+■在（■，+∞）上是增函数。
学生：利用y=ax+■≥2■基本不等式，即y=ax+■≥2■，此时x= ■，ymin=2■.
教师：猜测y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，它的渐近线是什么呢？
学生：设P（x，y）是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象上的任一点，因为函数y=ax+■是奇函数，所以不妨设x>0，点P到直线y=ax的距离为d=■=■■.当x逐渐增大时，d逐渐减小，x无限增大时，d接近于零，这就是说，函数y=ax+■（a>0，b>0）的图象在第一象限内无限接近于直线y=ax，故直线y=ax是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象的渐近线。
教师：上述的知识还不能严谨地论证y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，由于知识的限制，这里不再用定义证明。
相对y=■而言，函数y=ax+■（a>0，b>0）结构复杂，函数图像不明确。在课堂教学中，我们为学生预留了较为开放的空间，任由学生自由发挥，自主探究，教师进行适当地引导。
学习曲线 篇7
“十一五”期间, 新疆石油化工行业按照“支持上游、介入中游、发展下游”的原则, 利用新疆石油、天然气、煤炭三大优势资源, 延伸石油加工产业链主线, 形成了准噶尔盆地、塔里木盆地和吐哈盆地三大石油天然气生产基地和独山子、克拉玛依等不同规模、各具特色的石油化工产品生产加工基地, 石油加工产业发展格局已基本形成。而石油加工及炼焦业作为石油化工行业的一个重要子行业, 在人民生活和经济发展中发挥着极其重要的作用, 同时, 它也是石油化工行业中能耗及污染物排放的重点。新疆石油加工及炼焦业经过改革开放三十多年来的发展, 取得了巨大的成就, 已然成为自治区国民经济重要的支柱产业, 同时也是最具资源优势和发展潜力的产业之一。
新疆石油加工及炼焦业将在“十二五”进入跨越式发展的重要时期。通过对新疆“十五”、“十一五”期间石油加工及炼焦业在发展过程中万元产值水耗及污染物排放环境学习曲线的分析, 及其环境负荷和节能减排潜力的分析, 为构建新疆环境友好型石油加工及炼焦业的发展提供科学依据。
1 环境学习曲线概念
环境学习曲线是指在学习曲线的基础上, 企业 (或行业) 在生产过程中, 随着产量的增加, 而导致单位产品 (或产值) 资源消耗 (或废弃物质排放) 量而呈现的有规律的变化, 它反映了随着经验的积累和技术的进步, 企业 (行业) 在环境保护方面取得的积极进展, 对构建资源节约型和环境友好型社会具有积极意义[1]。
2 指标的选取与数据来源
本文选取2000~2010年新疆石油加工及炼焦业万元产值水耗、废气排放、SO2排放、烟尘排放、NH3-N排放、废水排放、COD排放、固废排放为指标, 反映石油加工及炼焦业对环境的影响, 以行业人均GDP反映整个行业的经济发展水平。
单位产值 (产品) 环境负荷计算公式如下:
其中, EGij为电力工业第i时段第j个指标的环境负荷, 单位:万元产值消耗量或排放量;Eij为该时段第j个指标的能源消耗 (或污染物排放) 总量;IGPi为该时段工业生产总值, 单位:万元[2]。
节能减排潜力以人均GDP每增加0.1万元时, 万元产值污染物现实的减排值表示。其具体的计算步骤如下: (1) 以新疆电力工业万元产值污染物排放的环境学习曲线为基础, 对模拟方程求一阶导数d Y/d X, 乘以不同时段的人均GDP; (2) 以假定人均GDP增长0.1万元为ΔX的共同取值, 计算随着经济的发展各个时段主要污染物的减排 (节能) 潜力[3,4]。
本文所选用的数据主要来源于2000~2011年的《新疆环境状况公报》[5]和《新疆统计年鉴》[6]。
3 结果与分析
3.1 新疆石油加工及炼焦业万元产值水耗的环境学习曲线分析
石油加工及炼焦业对水资源的耗费是十分严重的, 水资源的消耗量是反映新疆石油炼焦行业经济发展和环境发展协调发展的重要指标。从图1中可以看出, 随着经济的不断发展, 新疆石油加工及炼焦业万元产值水耗整体呈现下降趋势。2008年之前下降趋势明显, “十五”期间, 万元产值水耗共下降了402.57t;“十一五”前三年, 万元产值水耗下降了113.07t, 而后两年则有所增加, 较2008年分别增加了137.66t/万元和152.67t/万元, 这主要是因为行业
3.2 新疆石油加工及炼焦业万元产值污染物排放的环境学习曲线分析
从图2中可以看出, 新疆石油加工及炼焦业万元产值废气排放随着经济的发展总体上呈现下降趋势, 年均下降率为3.56%, 2000到2003年万元产值废气排放量下降了4969.12标m3/万元, 但在2004年出现了一次大的增长, 随后又呈现下降趋势, 2005到2008年排放量下降了5063.71标m3/万元, 在2009年和2010年时又出现增加现象, 分别比2008年增加了2544.90标m3/万元和3370.56标m3/万元。
图3显示, 新疆石油加工及炼焦业万元产值SO2排放总体上呈现下降趋势, 年均下降率为3.86%, 2000~2003年万元产值SO2的排放量下降了4.68kg/万元, 但在2004年时有所增加, 较前一年增加了18.21kg/万元, 之后又呈现下降趋势, 2005~2008年下降了5.38kg/万元, 2009年排放量有所增加, 较前一年增加了3.17kg/万元。
新疆石油加工及炼焦业万元产值烟尘排放环境学习曲线与SO2的相似, 从图4中可以看出, 整体上呈现下降趋势, 但在2004年时万元产值排放量有所增加, 较2003年增加了6.21kg/万元;2009年和2010年又分别较2008年增加了0.74kg/万元和2.19kg/万元。
统计数据中没有2000年NH3-N的排放数值, 故新疆石油加工及炼焦业万元产值NH3-N排放从2001年开始记起。由图5中可以看出, 随着经济的发展, 万元产值NH3-N排放呈现下降趋势, 年均下降率为8.22%。从散点数值的变化来看, 在2009年和2010年时万元产值NH3-N排放出现了两次增长, 分别较前一年增长了55.23%和49.25%。
从图6中可以看出, 新疆石油加工及炼焦业万元产值废水排放呈现十分规律的下降趋势, 年均下降率为8.2%, 其减排程度从2000年的16.27t/万元, 下降到2010年的1.61t/万元, 下降了14.66t/万元。
图7可以看出, 新疆石油加工及炼焦业万元产值COD排放的环境学习曲线规律同废水排放的相似, 随着经济不断发展, 万元产值COD排放呈下降趋势, 年均下降率为7.53%, 从2000年的0.9538kg/万元, 下降到2010年的0.1638kg/万元, 下降了0.79kg/万元。
图8表明, 从整体上看, 新疆石油加工及炼焦业万元产值固体废物排放随着经济的发展呈现下降趋势, 年均下降率为3.81%, 但在2002年时有所增加, 较前一年增加了66.04kg/万元;2009年和2010年排放量又出现了两次增加, 分别较2008年增加了21.50kg/万元和65.23kg/万元。
3.3 不同时段新疆石油加工及炼焦业环境负荷的变化
环境学习曲线能揭示单位产值环境负荷随经济发展有规律的变化, 通过对环境学习曲线的分析, 可以看出随着经济的发展, 各指标排放均呈现下降趋势, 基于以上各指标模拟的环境学习曲线方程, 分析在不同时段新疆石油加工及炼焦业环境负荷的变化。
以2000年作为基础年, 以后每两年为一个时段共5个时段, 分析新疆石油加工及炼焦业的环境负荷, 其结果见下表 (表1) 。
由表1可以看出, 新疆石油加工及炼焦业万元产值水耗及各污染物的排放量总体上呈现逐年下降趋势, 即环境负荷逐年减小。其中万元产值废水排放量下降幅度最大, 年均下降率为8.14%;万元产值SO2排放量下降幅度最小, 年均下降率为3.66%;其余各指标年均下降率在3.75%~7.61%之间。
3.4 不同时段新疆石油加工及炼焦业节能减排潜力分析
以2000年作为基础年, 2001~2010年每两年为一个时段共5个时段, 分析新疆石油加工及炼焦业的节能减排潜力, 其结果见表2。
由表2可以看出, 新疆石油加工及炼焦业的节能减排潜力是逐年下降的, 其中万元产值水耗节能减排潜力最大, 万元产值NH3-N减排潜力最小, 从整体来看, 各指标减排潜力基数都很小, 万元产值NH3-N排放的减小潜力基数最小, 但其潜力变化率最大, 达到了98.27%, 而万元产值SO2排放的减小潜力变化率最小为89.80%, 这说明在“十五”、“十一五”期间新疆石油加工及炼焦业采取的节能减排措施均得到了较好的效果。
4 结论与讨论
(1) 新疆石油加工及炼焦业资源依赖性强, 通过对环境学习曲线的分析, 发现随着经济水平的提高, 模拟曲线均呈现幂指数衰减趋势, 但万元产值大气污染物相关系数不高, 这说明“十五”、“十一五”期间新疆石油加工及炼焦业在节水和水污染防治上采取的措施是有很大成效的, 而大气污染物防治水平还有待提高;这期间万元产值废气、SO2、烟尘排放量在2004年都有一次增长, 除了万元产值废水和COD排放, 其它各指标在2009年、2010年时都有增长, 这主要是由于在2004年、2009年时全疆石油加工及炼焦业企业单位数增加迅速, 造成污染物排放量增加;此外市场产品产值及供需量在这些年有所变化, 导致该行业人均GDP起伏变化过于显著。
(2) 依据环境学习曲线, 发现新疆石油加工及炼焦业环境负荷及其节能减排潜力均呈下降趋势, 以现阶段工艺技术水平来看, 优化的布局、先进的技术, 是节能减排效果愈发明显的根本。而想要优质完成节能减排目标, 新疆石油加工及炼焦业不仅需要进一步优化产业结构, 坚持产业基地化发展模式, 还要不断推行新型、高效的节能节水工艺及减排措施。
参考文献
[1]侯步蟾.基于环境学习曲线的我国重点工业节能减排潜力分析[D].华北电力大学, 2011.
[2]张旭, 孙根年.中国电力工业的环境学习曲线与节能减排潜力分析[J].哈尔滨工业大学学报 (社会科学版) , 2008, 4 (2) :1~7.
[3]张倩, 朱建雯, 黄韶华.新疆二氧化硫排放环境学习曲线及减排潜力研究[J].环境与可持续发展.2012 (3) :82~85.
[4]王丽琼.基于环境学习曲线的中国省际COD排放及减排潜力分析[J].生态环境学报, 2009, 18 (5) :1741~1745.
[5]新疆环境保护厅.新疆环境状况公报[Z].新疆环境保护厅, 2001~2011.
学习曲线 篇8
一、不会恰当运用圆锥曲线的定义来解题
例如, 人教A版《高中数学选修2-1》教材中的习题2.2A组的第1题:“如果点M (x, y) 在运动的过程中, 总满足关系式, 点M的轨迹是什么曲线?为什么?请写出它的方程。”
(一) 常见的存在问题
在解该题的时候, 绝大多数的同学都是从方程入手, 对所给的方程两边平方、简化、整理, 最后花了大量的时间, 经过大量的运算, 才能得出曲线方程。而用这种方法时, 又常常会因为计算能力的问题做不下去。
其实, 只要利用所给方程式子右边所反映的几何意义, 再结合椭圆的定义, 很快就能求解。由题意可知, 由于点M (x, y) 是到两个定点F1 (0, -3) 与F2 (0, 3) 的距离之和等于定值10, 且定值10大于两定点的距离6, 所以点M的轨迹是以F1 (0, -3) 与F2 (0, 3) 为焦点, 长轴长为的椭圆, 因此它的轨迹方程为:。
(二) 存在问题的分析
由此可见, 圆锥曲线的定义在这一章中的重要位置。可是很多同学对定义不够重视。
再如, 课本教材的习题2.2A组的第7题、课本习题2.3A组的第5题等, 都是运用定义就可以简化运算的题目, 可以很多同学都不会恰当结合定义来解题。这种现象可能与教师在教学过程中过于重视讲完定义后如何推导标准方程, 而对变式理解定义不够有关。
(三) 解决问题的对策
教师在讲授圆锥曲线的概念时, 突出圆锥曲线定义的重要性, 多点强调圆锥曲线的定义, 多给出定义的变式练习。学生在解轨迹题时, 首先要想到所求的点的轨迹是否满足圆锥曲线的定义, 多点从定义入手。将定义放到首要位置来考虑。
二、直线与圆锥曲线的问题的解题模式不够熟练
(一) 常见的存在问题
这类问题反映在直线与圆锥曲线的综合题上, 也是学生解题时经常见到的题目。例如:过椭圆内一点M (2, 1) 引一条弦, 使弦被M点平分, 求这条弦所在直线的方程。
学生对解析几何题的解题模式不够熟练, 不知从何入手, 常常找不到突破口, 对解析几何题常感到困难。作业考试时, 会出现交空白卷的。
(二) 存在问题的分析
从解题思路上来说, 解决直线与圆锥曲线问题的主要有两种方法:
第一种方法是韦达定理, 也是通法。因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程间关系问题, 最终转化为一元二次方程问题。将直线设为含斜率的方式比较好:若是已知直线过某些点 (比如圆锥曲线的顶点、焦点、其他定点等) 可以设为y-y0=k (x-x0) , 或是y=kx+b, 但是设成这两种形式都要考虑到直线斜率不存在的问题即x=x0, 在解题中不妨先考虑这种情况, 以免忘记。将直线方程与圆锥曲线方程联立后, 就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是参数与已知量之间的关系, 即结合图形, 分析已知和所求, 将已知条件或图形特征翻译成等式或不等式, 化简解决。这时一般会用到韦达定理进行转化, 但应注意不要忽视判别式的作用。通法中有的时候需要用到对称的技巧, 如用-K代替K, 得到对称的式子, 使问题得到解决。
第二种方法是设而不求法。解析几何的运算中, 常设一些量而并不解出这些量, 利用这些量过渡使问题得以解决, 这种方法称为“设而不求法”。与弦的中点有关的问题, 常用“点差法”, 即设弦的两个端点 (x1, y2) 、B (x1, y2) , 弦AB中点为M (x0, y0) , 将点A坐标代入圆锥曲线方程, 作差后, 产生弦的中点与弦斜率的关系, 这是一种常见的“设而不求”法, 这类题的计算量一般不大, 在解题时可以使用一些小技巧简化计算。
但是, 在解有关直线和圆锥曲线的解答题时, 学生总会感觉比较繁难, 其原因主要是对这类解题模式的理解掌握不够好, 不知解题方向。
(三) 解决问题的对策
教师在讲解时, 将此类题目的解题过程与步骤讲得要透彻;学生在上课时要认真听讲, 认真领悟与总结解题的过程与步骤, 多做一些此类题目。
三、不习惯结合几何性质解题
(一) 常见的存在问题
例如:如图, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线l交抛物线于点A, B, 交其准线于点C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3, 则此抛物线的方程为___________。
学生解题时总是希望求出点的坐标, 可是在用距离关系求点的坐标时, 运算常会出错。
(二) 存在问题的分析
其实, 若从图形反映的平面几何性质来考虑, 只要发现, 再结合抛物线的定义便可快速求解。
圆锥曲线的图形是平面图形, 可是有的同学对平面几何图形的性质不够熟练, 或者是在解圆锥曲线题时, 不会想起相关的三角形, 平行四边形等性质。
(三) 解决问题的对策
圆锥曲线的图形是平面图形, 圆锥曲线上的点可构成平面图形。所以, 对平面图形中的三角形性质, 平行四边形性质, 菱形的性质, 正方形的性质等等平面几何图形的性质都可能要考虑到。教师在讲题时, 可提示学生考虑平面图形的性质;学生平时训练时, 也要加强平面几何图形的意识。
四、对圆锥曲线与方程的一些综合问题求解的“整体”意识不强
(一) 常见的存在问题
例如:已知双曲线的左、右顶点分别为A1, A2, 点P (x1, y1) , Q (x1, -y1) 是双曲线上不同的两个动点。求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;在解题时, 学生的运算能力本来就不算强, 尤其时在运算中也要体现整体思想时, 学生更加不会。因此, 很多同学虽然知道解题思路, 但是不会算出结果。
(二) 存在问题的分析
其实, 本题中, 只要在运算时运用整体思想, 就可解决。
(三) 解决问题的对策
在解圆锥曲线题时, 常常在解题时用到整体思想来解方程, 提高解题速度。同时加强整体思想的训练。
五、不会用特殊化来解定值问题
(一) 常见的存在问题
例如:已知圆的方程x2+y2=25, 过M (-4, 3) 作直线MA、MB与圆交于点A, B, 且MA, MB关于直线对称y=3, 则直线AB的斜率等于 (摇摇) 。
此题中, 虽然点A, B关于直线对称, 但是由于A与B是圆上的任意点, 所以感觉到不知如何下手。
方法一。用传统的解法是:
依题意, 直线MA与直线MB的斜率都存在, 且互为相反数。设直线MA的斜率为k, 则MB的斜率为-k, 因为点M (-4, 3) , 则直线MA方程为:y-3=k (x+4) , 直线MB的方程为:y-3=k (x+4) 。
同理, 联立直线MB与圆的方程, 得方程组
因此, 过点A (x1, y1) 与B (x2, y2) 的直线的斜率为:
将 (1) , (2) 代入上式得, , 所以答案为A选项。
(二) 存在问题的分析
对于定值问题, 可从特殊性 (特殊位置, 特殊值) 来考虑。
方法二用特殊思想巧解。
借助图形可以看出, 当A, B在圆上相关运动时 (如图1) , 直线AB的斜率保持不变 (如图2) 。可以想象, 当A与B两点重合时, A, B点就是点M关于y的对称点M' (4, 3) (如图3所示) 。因此, 直线AB就变为过点M' (4, 3) 做圆x2+y2=25的切线 (如图4所示) 。
(三) 解决问题的对策
在解有关解析几何的定值问题时, 常用特殊法 (包括特殊值、特殊位置等) , 来提高解题效率。
以上几种都是学生的常见问题, 需要通过题组形式加强训练和形成基本的模式来解决。教师在平时应有意识地加强类似题的训练, 让学生多做相关内容的题目。
摘要：圆锥曲线是高考的必考内容, 在高考的考题中, 以大题的形式出现, 近年来都处于压轴题的地位。同学们在学习这一内容时, 普遍感到困难。常会出现不会恰当运用圆锥曲线的定义来解题;直线与圆锥曲线的问题的解题模式不够熟练;不习惯结合几何性质解题;对圆锥曲线与方程的一些综合问题求解的“整体”意识不强;不会用特殊化解定值问题“等五方面的问题。
关键词：圆锥曲线,整体,特殊化,定义,几何性质
参考文献
学习曲线 篇9
1 对象和方法
一般资料:收集2010年1月到2011年12月由上述作者连续诊治的40例神经内镜下经鼻蝶入路垂体瘤切除术的患者,其中男性19例,女性21例,年龄自28岁-67岁,平均为51岁。术前病程从2.8个月-4.1年,肿瘤大小自1.8cm-4.0cm,均为第一次接受手术病例。术后进行6个月的跟踪随访。
方法:将每位主刀医生的前5例病例归为初学组(n=20),后5例归为成熟组(n=20)。比较两组在内镜操作成功率、操作时间、出血量、鼻粘膜损伤程度、垂体瘤切除率和死亡率等方面的差异,并进行统计学分析,采用t检验。
肿瘤残留体积以术后2个月的加强头颅MRI影像为标准计算。手术医生均使用德国产的卡尔-史托斯神经内镜系统(Karl Storz-endoscope)。
2 结果
两组一般情况比较:经统计学分析,初学组和成熟组在性别、年龄、病程和肿瘤体积上均无显著统计学差异(P>0.05)。
神经内镜手术操作时间:初学组神经内镜手术操作成功率为80%(16/20),有4例因为内镜下寻找蝶窦开口困难和鼻粘膜出血过多而失败,改用显微镜手术;而成熟组神经内镜操作成功率为100%(20/20),术者的器械配合熟练程度、目标寻找和处理均已达到平稳。初学组鼻粘膜损伤面积约为成熟组的两倍。初学组神经内镜手术平均操作时间为(205±64)min(n=16),成熟组为(96±37)min(n=20);两组比较,P<0.05。
手术出血量:初学组平均出血量为(150±43)mL(n=16);成熟组为(75±20)mL(n=20)。两组比较有显著不同(P<0.05)。
肿瘤切除率:40例患者肿瘤的切除方式为全切或次全切。2月后随访见部分肿瘤残留病例在初学组为7例,成熟组为2例。手术后均建议病人作γ刀治疗,6个月跟踪随访预后良好。
死亡率:两组病人均无手术死亡。
3 讨论
“微侵袭(内窥镜)神经外科”是1992年德国学者Bauer和Hellwig首先提出的名称,指应用内窥镜技术治疗中枢神经系统疾病[5]。中国微侵袭神经外科的热潮兴起于20世纪90年代后期,其基础是国外先进的神经内镜的引进和国内微创理念的提升[6]。我国三级医院的多数神经外科医生具有较好的显微神经外科操作技术,但是,这些经验技术丰富的医生在使用神经内镜时遇到了不小的困难,原因之一是在“眼-手”的配合上。“直接视物-手”的配合不能有效地转化为“视屏幕-手”的配合;原因之二是,不少神经外科医生应用内窥镜对鼻粘膜的处理欠妥,造成粘膜的出血影响视野,手术无法进行下去。
分析此类手术的学习曲线有助于解决初学医师在手术中碰到的问题,最快掌握和最大程度发挥神经内镜的优势。在初学组,发现手术入路的大部分时间(多达2/3左右)花在鼻甲粘膜止血和寻找蝶窦开口上;而在成熟组,这部分时间则为1/3左右,并且粘膜出血明显减少,手术野干净。两组在磨除蝶窦前壁、蝶窦间隔等骨性结构上所花时间差别不大。
切开鞍底后鞍内肿瘤的显露和更彻底的切除是神经内镜的另一大优势[7]。学习曲线显示,成熟组这段时间亦明显短于初学组。不过,这可通过训练积累,提高“视屏幕-手操作”的配合效率得以提高。
只有在较好地掌握了手术技巧、尽可能减少了手术并发症,才能充分显示神经内镜下经鼻蝶垂体瘤切除术的优势。“医学模拟训练”(medical simulation training)是解决此类问题的关键。作者的实践体会,以下两种方法具有高效率:一是“地图箱”训练(map box training),该设计作者正在申请专利中,模拟神经内镜对路线和标识的发现与处理;另一是尸颅的入路练习,尽可能使用较新鲜的标本。
实践表明,具有丰富显微神经外科经验的医生,完全可以通过有效学习很快、很好地使用神经内镜。在进行经鼻蝶入路垂体瘤切除手术中,后者对鼻粘膜的保护及肿瘤的切除程度两方面具有优势,从而进一步提高垂体瘤的治疗效果,有利于病人。
摘要：回顾我院神经内镜下经鼻蝶垂体癌切除术的40个病例,比较分析了初学期和成熟期两组主刀医生的操作成功率、操作时间、出血量、鼻粘膜损伤程度、垂体肿瘤切除程度和死亡率方面的差异。结果发现初学组内镜操作成功率为80%,而成熟组操作成功率为100%,操作失败的原因为蝶窦开口寻找困难和鼻粘膜出血过多;两组在内镜操作时间、出血量、肿瘤切除程度方面有显著差异(P<0.05)。因此,操作医师在进行神经内镜下经鼻蝶垂体瘤切除手术的前5例为学习阶段,需要在经验丰富的上级医师的指导下完成,才能保证手术质量。进行医学模拟技术训练(包括“地图箱”的神经内镜操作训练和尸颅的鼻蝶解剖入路研究)是提高手术成功率的快速、有效的手段。
关键词：神经内镜,微创,学习曲线,医学模拟训练
参考文献
[1]Jankowski R,Auque J,Wayoff M,et al.Endoscopic pituitarytumor surgery[J].Laryngoscope,1992,102:198.
[2]Dheporrarat RC,Anq BT,Sethi DS,et al.Endoscopic surgeryof pituitary tumors[J].Otolarynqol Clin North Am,2011,44:923.
[3]张亚卓.中国神经内镜技术发展10年概况与未来发展[J].中华神经外科杂志,2009,25:577.
[4]翟瑄,何大维,傅跃先.对开展儿童微创外科技术培训的若干思考[J].西北医学教育,2011,19(2):618.
[5]Bauer BL,Hellwig D.Minimally invasive neurosurgery I[J].Acta Neurochir(Wien)[suppl],1992,54:245.
[6]金伟,蔡林,陶敏.显微外科和腹腔技术的教学设计与实践[J].西北医学教育,2008,16(6):1250.
浅谈曲线的切线与曲线的位置关系 篇10
关键词：曲线切线,位置,交点
对学生来说, 切线概念最早是在初中提出来的, 其中, 圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”。这样, 在学生的头脑中, 就形成了一种关于切线的思维定势———与曲线只有一个交点且曲线在切线的一侧。高中阶段引入极限与导数概念后, 切线被定义为“曲线割线的极限位置”, 应该说, 切线的定义更加准确、内涵更加丰富。但学生理解起来还是有一定难度的, 通过多个函数的切线来说明曲线的切线与曲线的各种位置关系。
1 曲线切线定义的回顾
如图1, M (x0, f (x0) ) 和P (x0+△x, f (x0+△x) ) 分别是函数y=f (x) 上的定点和动点, △x是自变量x在x0的一个改变量, MP是函数y=f (x) 的割线, 当△x→0时, 割线MP的极限位置MT为曲线y=f (x) 在点M (x0, f (x0) ) 处的切线, 其斜率为, 因此, 对于可导函数y=f (x) 来说, 在点M (x0, f (x0) ) 处的切线方程为:y-f (x0) =f' (x0) (x-x0) 。
2 曲线切线与曲线的位置关系
通过引进由极限与导数定义的切线概念后, 对切线的认识不应仅停留在曲线与切线只有一个交点且曲线在切线的一侧 (圆的切线) , 重要的是切线并不是通过其与曲线的交点个数来定义的, 切线的实质是割线的极限位置。实际上, 不同函数其切线与曲线的位置关系呈现出“多姿多彩”的情形。
2.1 曲线的切线与曲线只有一个交点
以函数y=x2, y=x3, y=tanx为例, 其图像分别见图2、图3、图4。
按照上面切线方程求法, 容易得到函数y=x2, y=x3在 (0, 0) 点的切线均为x轴。y=tanx在 (0, 0) 点的切线为y=x, 可以看到, 其中曲线y=x2在其切线的一侧, 而y=x3, y=tanx的切线“竟然”穿过各自的曲线本身, 另外y=x3, y=tanx的图像似乎“差不多”, 但是其切线却完全不同, 那是因为其割线的极限位置不同。
2.2 曲线的切线与曲线有两个交点
有的时候曲线的切线会与曲线有两个交点。例如, (1) 函数y=x3-x2-x+2 (见图5) , 在点 (1, 1) 处, 容易得到其切线是直线y=1, 这个切线与函数曲线还有另一个交点 (-1, 1) 。
再如 (2) 函数y=x3 (见图6) , 在点 (a, a3) (a≠0) 处的切线。
2.3 曲线的切线与曲线有无数个交点
甚至有的时候曲线切线与曲线有无数个交点。例如 (1) 函数y=cosx (见图7) , 在点 (0, 1) 处的切线y=1与函数y=cosx有无数个交点 (2kπ, 0) , k∈Z, 实际上y=1是这些点的公用切线。
再如 (2) 函数 (见图8) 在点 (0, 0) 处的切线。
∴函数在点 (0, 0) 处的切线为x轴, 与曲线本身有无数个交点。
2.4 不可导点处切线也可能存在
对于函数f= (x) , 若在其上的点M (x0, f (x0) ) 处不可导, 但是, 则函数的切线是经过点M (x0, f (x0) ) 且平行于轴的直线。
例如函数 (见图9) 在点 (0, 0) 处的切线。函数在此点导数并不存在, 但是, 其切线是y轴 (割线的极限位置) 。
2.5 切线不存在的情况
对函数y=f (x) , 若在其上的点M (x0, f (x0) ) 处不可导, 且, 则在此点处不存在切线。
例如 (1) 函数y=|x| (见图10) 在点 (0, 0) 处
不存在, 曲线在 (0, 0) 处没有切线。
再如 (2) 函数 (见图11) 在点 (0, 0) 处。
函数在x<0时没有定义, 当然f' (0) 也不存在, 故函数在此点没有切线。
再如 (3) 函数 (见图12) 在点 (0, 0) 处。
不存在, 函数在此点也不存在切线。
参考文献
[1]迈克尔斯皮瓦克.微积分 (上册) [M].北京:高等教育出版社.
学习曲线 篇11
关键词: 铁路曲线 正矢 缓和曲线超高 布置方法
中图分类号: U21 文献标识码: A文章编号: 1007-3973 (2010) 04-042-02
随着铁路第六次大提速的结束,行车速度已有很大的提高,即对既有铁路线路的技术标准有了更高的要求,尤其是对既有铁路曲线的维修提出了更高的要求。同时原来的铁路线路维修方式日益被机械化维修所取代,尤其是大型养路机械的广泛使用,这就要求维修人员改变观念,改变传统的维修方式,运用机械化进行线路维修养护,特别是曲线正矢和超高的维修养护,曲线正矢和超高的维修养护关键在于合理的对曲线正矢和超高进行布置,达到高标准、精益化,同时便于机械化维修和人工养护。
1 概述曲线正矢及缓和曲线超高布置方法
1.1 传统的曲线正矢布置方法
传统的曲线正矢布置方法是曲线对称布点和曲线头尾与ZH点或HZ点重合的布点方法,这两种曲线布点方式也是目前我们兰新线采用较为普遍的布置方法。
1.2 传统的缓和曲线超高的布置方法
传统的缓和曲线超高的布置方法是从直缓点(ZH)或缓直点(HZ)开始到缓园点(HY)或园缓点(YH)按一定的递增方式顺至园曲线超高,缓和曲线超高点从直缓点(ZH)或缓直点(HZ)开始每隔5米布置一个点,同样这种缓和曲线超高布置方法也是目前我们兰新线采用较为普遍的布置方法。
1.3 另一种曲线正矢、缓和曲线超高布置方法
这种曲线正矢布置方法是结合传统的曲线正矢布置方法,将曲线头尾分别与ZH点和HZ点重合利用对称布置的方法,在本文中简称重合对称布置法;另一种缓和曲线超高布置方法是从ZH点或HZ点开始至HY或YH超高每递增1mm布置一个超高的的布置方式,在本文中简称超高毫米递增布置法,通过实践该布置方法在我们兰新线上可广泛使用,对于曲线半径R小于300米,超高大于缓和曲线长的曲线不建议使用该方法。
2 三种曲线正矢布点方法的介绍
2.1 曲线对称布点方法
以QZ点为中心向QZ两侧分别向ZH、HZ对称等距布点,并按里程增加依次编号,该方法又分为QZ点与测点重合(如图1所示)和QZ点与测点不重合(如图2所示)两种情况,下面例举说明:
例1,某曲线全长L=245.2米,缓和曲线长l0=70米,则L/2=122.6米,测量点间距10米。
2.2 曲线头或尾分别与ZH或HZ点重合时的布置方法
以ZH或HZ点为起点等距布点,两测点间距10米,并按里程增加依次编号,同样以例1为例举例说明,如图3所示:
2.3 重合对称布置法
曲线正矢点自ZH、HZ向QZ排列(正矢点由ZH向HZ连续编号),至QZ点不足10m时交叉过渡,且将不足10m的余量放在圆曲线中间。下面举例说明:
例如,某曲线全长L=563.74m,直缓ZH=k0+548.63,缓直HZ=k1+112.37,缓和曲线长l1=l2=160m;
则,曲线长的一半=L/2=563.74/2=281.87 m,用10m弦长从ZH(F1)点开始布设28个正矢点到F29点,F29点到QZ点的距离为281.87m-28×10m=1.87m,缓圆HY=F17=ZH+l1=k0+708.63,F29=ZH+280m=k0+828.63,曲中QZ=ZH+(L/2)=k0+830.5,F30=QZ+1.87m=k0+832.37,F42=YH=HZ-l2=k0+952.37,F29-F29A=10 m,F30-F30A=10 m(说明:F29A、F30A为辅助测量点,在测量F29、F30正矢时使用),具体布设如图4所示:
3 两种缓和曲线超高布置方法的介绍
3.1 传统的缓和曲线超高布置方法
缓和曲线超高点从直缓点(ZH)或缓直点(HZ)开始每隔5米布置一个点,到缓园点(HY)或园缓点(YH)按一定的递增方式顺至园曲线超高。由于该布法递增量不一定,且布法有很多种,同一点用不等的递增量布出的超高也不一样,故不在累赘举例说明。
3.2超高毫米递增布置法
缓和曲线超高设置必须满足相邻两超高点的超高之差为1mm,即:缓和曲线相邻两超高点相差为1mm的距离为缓和曲线长l(m)/曲线超高h(mm)。下面举例说明:
例如,某曲线缓和曲线长l1=l2=160m,半径R=3500m,曲线超高h=45mm;则,超高每增加1mm时相邻两超高点的距离为缓和曲线长l(m)/曲线超高h(mm)=160m/45mm=3.56m,即:从ZH(HZ)点开始到HY(YH)点每隔3.56m布设一个超高点,超高依次为0mm、1mm、2mm、3mm、4mm……44mm、45mm,具体布设如图5所示:
4三种曲线正矢布置方法的比较
4.1计算计划正矢方面
对称布点法和重合对称布点法计算计划正矢时,只需计算出ZH到QZ曲线正矢,HZ到QZ的对称布置,尤其是重合对称布点法,由于其ZH、HY、YH、HZ都在整测点上,计算计划正矢时就更加方便,而曲线头尾分别与ZH或HZ重合的布点法,由于曲线布点不能形成对称,计算正失时必须把ZH到QZ和HZ到QZ的正矢都要计算出来,这就使工作量增加一倍。
4.2正矢布点方面
对于重合对称布点法,只要准确定ZH或HZ、QZ、HY、YH任一点,就可很方便的通过计算对整个曲线进行布点,并且使HY点和YH点落在整测点上,而其它两种方法尽管同样只要准确确定ZH点或HZ、QZ、HY、YH任一点位置,也可通过计算对称布点,但这两种方法使ZH、HZ、YH、HY不全在整测点上,且计算正矢比重合对称布点法的计算要繁琐。
4.3维修、养护方面
对于正矢重合对称布置法,其ZH、HY、YH、HZ都在整个测点上,便于工区日常运用绳正法进行养护维修,尤其是便于大型养路机械的维修,如果在曲线ZH、HZ、HY、YH标桩缺失的情况下,很容易根据测点正矢判断ZH、HZ、HY、YH的位置,便于大型养路机械维修和工区日常养护,而其他两种正矢布置方法则没有这样的优点。
5两种缓和曲线超高布置方法的比较
5.1计算计划超高方面
超高毫米递增布置法,计算计划超高简单容易,其超高递增量就是1毫米,而传统的缓和曲线超高布置方法,计算计划超高时需按一定的递增量,而且这种递增量在一条缓和曲线中可能不止一个。
5.2维修养护方面
超高毫米递增布置法,由于其在缓和曲线内超高递增量仅为1mm,便于工区设备检查和日常维修养护,同时也便于大型养路机械维修,便于超高的顺坡,而传统的超高布置方法,相邻两超高点的递增量大,有时递增量还不相等,这就不便于工区日常检查和养护,更加不便于大型养路机械维修时超高的顺坡。
5.3适应精细化管理方面
通过六次大提速,行车速度有了很大的提高,这就要求线路设备管理进入精细化管理状态,超高毫米递增法,就达到了精细化管理的要求,而传统的超高布置方法距精细化管理还有一定的差距。6结束语
由此,综上所述,曲线正矢重合对称布点法与缓和曲线超高毫米递增布置法,比较符合既有铁路曲线提速要求,便于大型养路机械精确维修和工区日常维修养护,适应现场生产实际,使工区职工易于掌握运用,符合高标准、精细化管理要求的曲线正矢布点和缓和曲线超高布置方法。
参考文献:
[1] 申国祥.铁路轨道(第二版)[M].中国铁道出版社,2007.
用曲线的区域讨论二次曲线的切线 篇12
1二次曲线的区域
定义1平面上含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的内部, 不含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的外部[2].
由此定义可知, 二次曲线把平面分成了两个区域, 二次曲线本身是这两个区域的公共边界.
定理1平面上二点M1 (x1, y1) , M2 (x2, y2) 同属于二次曲线f (x, y) =0的内部 (或外部) 的充要条件是[2]
f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0.
证明先证条件的必要性.
设若M1, M2同属于内部 (或外部) , 但f (x1, y1) ·f (x2, y2) <0, 过M1, M2连一条与f (x, y) =0不相交的曲线l (对圆、椭圆、抛物线, l显然存在, 对双曲线, 可将平面视为扩充平面, 则双曲线两支构成一条封闭曲线, 于是l存在) .因f (x, y) 的连续性, 在l上至少存在一点M0 (x0, y0) 使得f (x0, y0) =0, 即M0既在l上, 又在二次曲线f (x, y) =0上, 这和l与f (x, y) =0不相交矛盾.故M1与M2不都属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 即一点在内部, 一点在外部.
再证条件的充分性.
设f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0. (1)
要证M1 (x1, y1) 与M2 (x2, y2) 同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) .
由于f (x, y) =0, 故由f (x, y) 的连续性可知, 在平面上至少存在两点P1 (x1*, y1*) , P2 (x2*, y2*) 使
f (x*1, y*1) ·f (x*2, y*2) <0. (2)
由必要性知, P1与P2必不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 设若M1与M2也不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 则内部与外部各有一点.不妨设P1与M1属于内部, P2与M2属于外部.由必要性便有
由此可得
但由 (1) 与 (2) 却有
(3) 与 (4) 矛盾, 故M1与M2必同属于内部 (或外部) .
根据上述定理, 我们就可以得出如何判断平面上一点 (除曲线上的点外) 是属于二次曲线的内部还是外部.圆是椭圆的特例, 故我们只就标准化了的椭圆、双曲线、抛物线进行讨论.
1.1平面上一点是属于椭圆的内部或外部的判断
由此得出, 对点M (x0, y0) , 若
则M点属于椭圆内部, 否则属于外部.
1.2平面上一点是属于双曲线的内部或外部的判断
则M点属于双曲线内部, 否则属于外部.
1.3平面上一点是属于抛物线的内部或外部的判断
抛物线f (x, y) =y2-2px.可类似1.1的推导过程得到对点M (x0, y0) , 若
y20-2px0<0.
则M点属于抛物线内部, 否则属于外部.
2二次曲线的切线条数的判定和切线方程
2.1过平面上一点作椭圆的切线
由于过点M (x0, y0) , 故有
即 (x20-a2) k2-2x0y0k+ (y20-b2) =0. (6)
由 (6) 解出k, 代入 (5) , 即得过点M (x0, y0) 的给定椭圆的切线.
由于 (6) 中关于k的二次方程有
所以, 当
时, 方程 (6) 分别有二不等实根、二等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.
考虑到前面判定点属于椭圆的内部还是外部的方法, 由 (7) 可得出如下结论:
过椭圆外部的点给椭圆可作两条切线;过椭圆上的点可作一条切线;过椭圆内部的点不能作切线.
2.2过平面上一点作双曲线的切线
由于过点M (x0, y0) , 故有
由 (9) 解出k, 代入 (8) , 即得过点M (x0, y0) 的给定双曲线的切线.
由于 (9) 中关于k的二次方程有
所以, 当
时, 方程 (9) 分别有二不等实根、二相等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.
于是根据同样的理由, 由 (10) 可得出如下结论:
过双曲线外部的点给双曲线可作两条切线;过双曲线上的点可作一条切线;过双曲线内部的点不能作切线.
2.3过平面上一点作抛物线的切线
过点M (x0, y0) 给抛物线y2=2px (p>0) 作切线.
由文[3]中定理2的证明方法可推出, 所给抛物线的切线为
由于过点M (x0, y0) , 故有
由 (12) 解出k, 代入 (11) , 即得过点M (x0, y0) 的给定抛物线的切线.
对于抛物线可进行类似的讨论, 得出同样的结论.总之, 过二次曲线的外部任一点, 给二次曲线可作两条切线, 过二次曲线上的点, 给二次曲线只能作一条切线, 过二次曲线内部的点不可能给二次曲线作切线.
参考文献
[1]邓兴琪, 李原.关于圆锥曲线切线的判定与求法[J].中学数学, 1990, (21) :24-26.
[2]周华生.二次曲线切线方程的进一步讨论[J].数学通讯, 1983, (11) :25-26.