初中数学代数最值问题常用解决方法

初中数学代数最值问题常用解决方法（通用2篇）

初中数学代数最值问题常用解决方法 篇1

初中数学代数最值问题常用解决方法

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。一.配方法

例1.（2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）

可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当二.设参数法

例2.（《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数的最大值为________。解：设由，易知，得

满足

。则

时，有最小值。

从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得。故的最大值为2。

例3.（2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若可取得的最小值为（），则A.3 B.C.D.6 解：设，则

从而可知，当三.选主元法

时，取得最小值。故选（B）。

例4.（2004年全国初中数学竞赛）实数。则z的最大值是________。解：由代入得。

满足

消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。

即整理得，解得。

所以，z的最大值是四.夹逼法。

例5.（2003年北京市初二数学竞赛复赛）最大值。则解：由

。设__________。

得

是非负实数，并且满足，记为m的最小值，y为m的 解得由

是非负实数，得

从而，解得又

。，故

于是，因此，五.构造方程法

例6.（2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程根，则因为所以。的两个实数解得

所以k的最小值是

四.由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7.（2006年全国初中数学竞赛）已知

。若解：由而由所以，当得和时，可知，则，代入的整数。取得最大值，为

为整数，且的最大值为_________。得。

。

七.借助几何图形法

例8.（2004年四川省初中数学联赛）函数值是________。解：显然，若，则

。因而，当的最小

取最小值时，必然有。

如图1，作线段AB=4，令OA=x，则

。，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1 设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时。作EF//AB与DB的延长线交于F。在易知所以，因此，函数八.比较法。的最小值为5。中，例9.（2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包成，需付180000元；由乙、丙两队承包

天完

天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 解：设甲、乙、丙单独承包各需

天完成，则

解得

元，则 又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付

解得

于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。

初中数学代数最值问题常用解决方法 篇2

一、认识函数的最值

1. 函数最值的定义

一般地,函数的最值分为最小值和最大值:设函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0).

如果对于定义域内任意x,不等式f(x)≥f(x0)都成立,那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0).

如果对于定义域内任意x,不等式f(x)≤f(x0)都成立,那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0).

2. 函数的最值一般有两种特殊情况

(1)如果函数f(x)在[m,n]上单调增加(减少),则f(m)是f(x)在[m,n]上的最小值(最大值),f(n)是f(x)在[m,n]上的最大值(最小值).

(2)如果连续函数f(x)在[m,n]区间内有且仅有一个极大(小)值,而没有极小(大)值,则此极大(小)值就是函数在区间[m,n]上的最大(小)值.

二、严格单调函数的最值的求法

对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数,若定义域是闭区间,如x∈[m,n],则f(m)与f(n)中较大者为最大值,较小者为最小值.

首先我们给出单调函数的定义.一般地,设f(x)为定义在D上的函数.若对任何x1、x2∈D,当x1

(1)f(x1)≤f(x2),则称f为D上的增函数,特别当成立严格不等式f(x1)

(2)f(x1)≥f(x2),则称f为D上的减函数,特别当成立严格不等式f(x1)>f(x2)时,称f(x)为D上的严格减函数.

给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性.用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法.利用定义来证明函数y=f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤:

(1)设元,任取x1,x2∈D,且x1

(2)作差f(x1)-f(x2).

(3)变形(普遍是因式分解和配方).

(4)断号(即判断f(x1)-f(x2)差与0的大小).

(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法.函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用.对于一些常见的简单函数的单调性如表1.

对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论:

(1)f(x)与f(x)+C单调性相同.(C为常数)

(2)当k>0时,f(x)与kf (x)具有相同的单调性;当k<0时,f(x)与kf(x)具有相反的单调性.

(3)当f(x)恒不等于零时,f(x)与具有相反的单调性.

(4)当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)在D上是增(减)函数.

(5)当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于0时,f(x)g(x)在D上是增(减)函数;当f(x)g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于0时,f(x)g(x)在D上是减(增)函数.

(6)设y=f(x),x∈D为严格增(减)函数,则f必有反函数f-1,且f-1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数.

我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性.

例1一次函数f(x)=3x+5在区间[-1,8]上的最大值是多少.

解析:如果x1,x2∈[-1,8]且x1

则f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0.

所以f(x1)

所以函数f(x)=3x+5在区间[-1,8]上是增函数.

所以函数f(x)=3x+5在区间[-1,8]上的最大值是f(8)=29.

二、二次函数的最值求法

求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值时,先判定对称轴是否属于[m,n],若,则中较大者是最大值,较小者是最小值,若,则f(m)与f(n)中较大者为最大值,较小者为最小值;若二次函数f(x)=ax2+bx+c的定义域为R,当a>0时,有最小值若a<0时,有最大值

例2f(x)=ax2+bx+c中,若a,b,c成等比数列,且f(0)=-4,则f(x)有最_____值(填“大”或“小”)且该值为______.

解析:因为f(0)=-4,所以c=-4

因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac=-4a,

因为b≠0,则有a<0.

从而函数f(x)=ax2+bx+c的图像的开口向下,故有最大值,其最大值为:.

三、借助导函数求最值

1. 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数式的最值,通常都用该方法.导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视.

对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性,当f'(x)>0时,f(x)在[n,m]上是增函数,当f'(x)<0时,f(x)在[n,m]上是减函数,从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值.

例3解答下列各题

(1)求函数的最小值.

(2)求函数的最小值.

分析:若均值定理的某一端为常数,则当不等式的等号能取到时,这个常数就是另一端的最值,如,当ab为常数m>0时,则当且仅当a=b时,a+b有最小值,若a+b为常数n>0,则当且仅当a=b时,有最大值,解这些问题的关键是构造“定和”或“定积”.

解:(1)因为.

所以当且仅当,即(因为x>0)时,ymin=3.

(2)因为x>0,所以

所以

所以当且仅当,即x=1时,ymin=6.

四、利用数形结合

例4求函数的最值.

解:原函数可变形为.这可看作点A (cosx,sinx)和B(-2,0)的直线的斜率,而A是单位圆x2+y2=1上的动点.由图1可知,过B(-2,0)作圆的切线时,斜率有最值.由几何性质,.

五、利用三角函数求最值