几何应用题（精选12篇）
几何应用题 篇1
审题是解题的第一步,有经验的教师常要求学生“先思考,后动笔”,这个思考过程就是审题.
在解(证)几何题方面,学生对简单题的审题只需把已知中的相等、垂直等逐一标在图上,因为这种图正好是他很熟悉的图形,就很快得出答案;对“难题”在做完以上步骤后,认为已经审完题,可又不知下一步该怎么想,使得几何的“难题”非常多.而学生认为的某些几何“难题”对熟悉“基本图形”的老师却是非常容易解决的,为此很有必要把这一类几何“难题”梳理出来,教会学生后续的审题步骤,即从图中剥离出有用的基本图,把不会做的题转化为熟悉的基本图形题来解决.
一、三角形全等中常见的基本图形
案例1.如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB边上,且BD=CE,∠1=∠2,那么AB=AC,你知道这是为什么吗?
分析:这是三角形全等的证明题,从已知条件,很容易从原题上剥离出证三角形全等中最常见的三类基本全等图形,可分别形象的称为:
联系要证的结论“AB=AC”,选用“剪刀形”的基本图案即可证出该题.
除此以外,很多证三角形全等的题中,还有以下常见的基本图形:
对于这些常见的基本图形可在教学中逐一分析每一个基本图形的特点:如相等的角、边,或隐藏的角或边,使学生熟悉它们,则在证题中只要联系各题的已知,就能快速解决问题.
二、四边形中常见的基本图形
案例2.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=120°,AD=4cm,(1)判断△AOD的形状;(2)求矩形对角线的长;(3)求矩形ABCD的面积.
案例3.已知,如图,菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1:2,求菱形的对角线的长和面积.
案例4.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DC=AD=BC,且对角线AC丄BC,求梯形的各个内角度数.
案例5.已知,如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC丄BD,AD=3cm,BC=7cm。求梯形的面积.
分析:对于案例2,由已知,很容易从整体剥离出∠ABD=30°的Rt△ABD(如图)是解决问题的关键.
对于案例3:由已知,连接菱形对角线得图;很容易看出∠ABO=30°的Rt△ABO是解决问题的关键.
对于案例4:由已知,列方程后可求出∠1=∠2=∠3=30°,这时从整体中剥离出的Rt△ABD(如图)是∠ABD=30°的直角△是解决问题的关键.
对于案例5:用梯形中常见的辅助线画法之一:过上底顶点做一腰的平行线,得△BDE,是∠E=45°等腰直角△BDE(如右图)是解决问题的关键.
以上4个四边形的问题都转化为三角形问题来解决,转化的方法一般是在四边形中连对角线或作高,对于梯形则按照常见的辅助线做法.
审题中,只要发现有这两种基本图形的特点,就有意识的从原题中剥离出基本图形,再利用这些基本图形的性质,问题就都很容易解决.
三、圆中常见的基本图形
圆是平面几何的基本图形之一,也是几何中的“集大成”者.圆的问题一般综合性较强,变化也比较多样.通过分析学生在做“圆”和“与圆有关的位置关系”这两节中的“难题”的各种图形,发现这些图形往往是这两节中的三个重要定理涉及到的图象的组合与变形,这三个重要定理及图象分别如下表:(注:基于定理的普遍性,以下定理只写名称及与定理配套的图形,不写具体内容)
案例6.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C，使DC=BD,连结AC,过点D作DE丄AC于E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
分析:根据已知,本题的图中已有基本图c的直角△ADB,又因为DC=BD,结合熟悉的等腰△三线合一,易证出(1)AB=AC,对于(2)求证:DE为⊙O的切线,只需连接OD转化为基本图d(如右图),用证切线的基本方法“连半径,证垂直”证明∠ODE=90°即可;对于(3),则用基本图形——“30°直角△”的性质,放在∠CAD=30°的直角△ACD中即可解决.
在审题中利用连半径,或连接弦的方法,就把很多圆的这类“难题”转化为基本图形a、b、c、d的题,或基本图形的组合题来解决.
无论面对三角形全等或四边形还是圆形中的几何“难题”,审题时不仅要从题目给的已知出发,而且还应联系已知以外的常见基本图形,这些基本图形启发我们“从最简单的做起”
几何应用题 篇2
2、已知E、D分别是三角形ABC中AC边、BC边之中点，且BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE交于点O，连接OC交AB于点F，CF与AB有什么关系？请说明理由
3、直角三角形ABC（∠C=900）和直角三角形ABD（∠D=900）共一条斜边AB，且两个三角形都在斜边AB的右侧，求证：∠ABD=∠ACD。
4、三角形ABC中，P、Q是BC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，（1）求证AB=AC（2）求∠BAC（3）比较三角形ABP、三角形APQ、三角形AQC的面积大小（4）比较点B到AC的距离和点C到AB的距离
5、三角形ABC中AB=AC，D和E分别是AC和AB边上两点，且BD=BC，AD=DE=EB，求∠A。
6、三角形ABC中AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，∠ABE与∠ACE有什么关系，请说明理由
07、三角形ABC中AB=AC，D和E分别是BC和AC边上两点，且AD=AE，∠BAD=40，求∠CDE
8、三角形ABC中∠C=900，D是AB上一点，且AC=AD，请问∠A与∠DCB有什么关系？请说明理由
9、三角形ABC中∠B=600，D和E分别是BC和AB边上两点，且AD、EC分别平分∠BAC、∠ACB，请问AE+DC与AC有什么关系？请说明理由
10、三角形ABC中AB=AC，P为BC上任一点，D、F是AB上两点，E是AC上一点，且PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，请问PD+PE与CF有什么关系？请说明理由
11、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，AD=2，求∠C和∠A
12、直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=2，AD=1，求∠C
13、三角形ABC中AB=AC，D为BC之中点，连接AD，求证AD⊥BC
014、三角形ABC中AB=AC，D和E分别是AC和AB边上两点，且∠A=40，BD平分∠ABC，DE∥BC，（1）求∠EDB（2）若ED=2，求BE（3）EC是否平分∠ACB，请说明理由
015、AD平分∠BAC，AB=AC，（1）求证：BD=CD（2）求证∠ABD=∠ACD（3）若AD=CD，∠BAC=40，求∠BDC
16、三角形ABC中AB=AC，D和E分别是AC和AB边上两点，且BD⊥AC，CE⊥AB（1）求证BD=CE（2）求证OE=OD（3）求证ED//BC
17、三角形ABC中AB=AC，D和E分别是AC和AB之中点，求证ED//BC
18、D、E分别是三角形ABC中AB、AC边之中点，已知三角形ABC的面积为24，求三角形ADE的面积。
19、三角形ABC中AB=AC，O为三角形ABC内一点，且OP=OB=OC=BC（1）求三角形ABC的三个内角（2）OB是否平分∠ABC，OB是否⊥AC，请说明理由。
20、已知直角三角形ABC中，∠B=900，∠A=300，BC=3（1）求证AC=2BC（用两种方法证明）（2）求AC
21、（1）三角形ABC的三个内角比为3：2：1，求三个内角，并说出此三角形的形状
（2）三角形ABC的三个内角比为2：1：1，此三角形是什么三角形？
22、已知直角三角形ABC中，∠B=900，∠A=300，D是AB上一点，且CD平分∠ACB，三角形ABC的面积为30，（1）求三角形ACD的面积（2）若B到AC的距离为a，则D到AC的距离为多少？（3）求AD
23、直角三角形ABC中，∠B=900，D、E分别是BC、AB边上两点，且∠BAC和∠BCA分别被AD、CE平分，AD、CE交于点O（1）求∠AOE（2）比较AE+CD和AC的大小
24、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？
25、甲乙两人从相距45千米的两地相向而行，如果甲比乙先动身2小时，那么他在乙动身2.5小时后相遇，如果乙比甲先动身2小时，那么他们在甲动身3小时候相遇，求甲乙两人的速度分别为多少
26、甲乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，求两人速度.27、甲、乙两人同时同向起跑，绕300米的环行跑，甲每秒6米，乙每秒4米，问第二次追上乙时，甲跑了几圈？
28、甲乙二人以各自不变的速度在环形路上跑，如果同时同地出发相向而行，每两分钟相遇一次;如果同向而行。每六分钟相遇一次，甲比乙快，甲乙每分钟各跑多少圈？
29、一个两位数的十位比个位数小2，若这个两位数大于21且小于36，求这两位数
30、在容器里有18摄氏度的水6立方米，现在要把8立方米的水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于30摄氏度，且不高于36摄氏度，求注入的8立方米的水的温度应该在什么范围？
31、某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？（2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。
32、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商场准备打折出售，但要保证利润不低于12%，至多可打几折？
33、打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，买50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少钱？
34、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？
35、张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元．已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？
36、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． ⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
37、汽车在相距70km的甲、乙两地之间往返行驶，因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时48分钟，已知汽车在平地每小时行30km，上坡路每小时行20km，下坡路每小时行40km，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少？
38、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金每辆220元，60座客车租金为每辆300元，试问： ⑴这批学生人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
⑵若租用同一种车，要使每位学生都有座位，怎样租用更合算？
39、某旅社在黄金旅游期间为一旅游团体安排住宿，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍，求该团体有多少人和宿舍间数．
40、有甲、乙两种债券，年利率分别是10％与12％，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？
41、李明与王云分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完 全程各需多少小时？
42、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？
平面几何知识在解析几何中的应用 篇3
当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，
可联系三角形的三边关系
例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .
分析： 使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.
解： 如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.
结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.
评注： 解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.
当问题中有正三角形、直角三角形时，
不妨考虑用其边角关系
例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .
（A） （B）
（C） （D） 8
分析： 例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.
解： 如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.
作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60° .因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.
因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案为A.
评注： 在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”. 思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.
当问题中含有相似三角形时，
用好相似比
例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.
分析： 首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.
解： 如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.
因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.
评注： 若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.
当问题涉及直线与圆的位置关系时，
应用圆心到直线的距离关系
例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.
分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.
解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y. 由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].
评注： 处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.
当问题涉及三角形的内心时，
考虑使用角平分线的性质定理
例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.
分析： 内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.
证明： 如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.
评注： 求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.
【练一练】
（1） 过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .
（2） 过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .
（A） （B）
（C） 2 （D）
（3） 求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.
【参考答案】
（1） 解： 如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.
设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.
（2） 解： 如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.
（3） 解： 如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.
结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.
由①②两式解得：a=，b=. 所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.
解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.
当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，
可联系三角形的三边关系
例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .
分析： 使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.
解： 如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.
结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.
评注： 解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.
当问题中有正三角形、直角三角形时，
不妨考虑用其边角关系
例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .
（A） （B）
（C） （D） 8
分析： 例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.
解： 如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.
作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60° .因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.
因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案为A.
评注： 在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”. 思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.
当问题中含有相似三角形时，
用好相似比
例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.
分析： 首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.
解： 如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.
因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.
评注： 若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.
当问题涉及直线与圆的位置关系时，
应用圆心到直线的距离关系
例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.
分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.
解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y. 由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].
评注： 处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.
当问题涉及三角形的内心时，
考虑使用角平分线的性质定理
例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.
分析： 内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.
证明： 如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.
评注： 求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.
【练一练】
（1） 过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .
（2） 过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .
（A） （B）
（C） 2 （D）
（3） 求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.
【参考答案】
（1） 解： 如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.
设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.
（2） 解： 如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.
（3） 解： 如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.
结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.
由①②两式解得：a=，b=. 所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.
解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.
当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，
可联系三角形的三边关系
例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .
分析： 使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.
解： 如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.
结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.
评注： 解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.
当问题中有正三角形、直角三角形时，
不妨考虑用其边角关系
例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .
（A） （B）
（C） （D） 8
分析： 例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.
解： 如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.
作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60° .因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.
因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案为A.
评注： 在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”. 思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.
当问题中含有相似三角形时，
用好相似比
例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.
分析： 首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.
解： 如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.
因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.
评注： 若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.
当问题涉及直线与圆的位置关系时，
应用圆心到直线的距离关系
例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.
分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.
解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y. 由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].
评注： 处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.
当问题涉及三角形的内心时，
考虑使用角平分线的性质定理
例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.
分析： 内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.
证明： 如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.
评注： 求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.
【练一练】
（1） 过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .
（2） 过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .
（A） （B）
（C） 2 （D）
（3） 求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.
【参考答案】
（1） 解： 如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.
设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.
（2） 解： 如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.
（3） 解： 如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.
结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.
几何应用题 篇4
关键词：高中数学,几何画板,教学
在高中数学教学过程中, 现在有一种全新的教学手段, 即几何画板, 这种教学手段主要就是一种计算机软件, 可以实现数学图形的有效展现, 这样软件的推出实现了使高中数学抽象的表达式具有了生机、使得立体几何图形不断运动起来, 使得学生更加容易地理解其中所包含的知识和内容.
一、几何画板的概念
几何画板是上世纪末进入我国的教育领域的, 是当时的教育部在中小学数学教学过程中重点推广的一种教学新软件, 这一软件实现了数学教学平台的有效升级[1]. 在随后的多年推广过程中, 这一教学软件得到了进一步的发展的普及. 这一软件主要由点工具等六种应用工具条组成. 主要的用途就是构建数学图形, 这一软件中的圆规和直尺可以实现高中数学所涉及的几乎所有的解析几何和立体几何中包括的所有图形.
二、几何画板的主要应用
1. 利用图形解决数学问题
高中的数学学习很多时候可能遇到相对抽象的问题, 这些问题使得思维发展相对较弱的高中生很难接受, 在教学过程中不能有效的理解相关问题. 几何画板将一些数学表达式使用图形表示出来, 很多的数学关系应用图形之间的关系进行解答, 这是最为直观形象的教学方式, 将抽象的问题化解为具体形象的问题解决.
例如, x+y-z=0, 7x+5y+3z=0 解的含义相对比较抽象, 有时一个表达式, 即10x+8y=0, 但是使用图形进行解释相对更加容易, 两个三元一次方程可以使用软件表述成两个平面, 这两个平面在三维坐标系中有着自己的位置, 但它们相交的时候, 会出现一条相交直线, 这一直线就是这两个三元一次方程的解所表达的图形, 图形和最终的解是相对应的, 即解是一个二元一次方程, 对应着一条直线. 这种问题使用图形解决相对比较具体形象, 有助于学生的理解.
2. 动画可以演示更多的立体几何问题
在高中阶段的立体几何问题中, 很多的知识点都需要进行动画的演示, 实现更为直观形象的展示. 在几何画板上, 可以实现很多的立体几何的图形, 它们之间的相对关系表示就变得更加容易. 在传统的教学过程中, 如果将一个圆锥从不同角度截开, 得到不同的截面形状, 但是这种演示相对比较困难, 需要教师使用相应的教具进行比划, 学生没有形象的理解. 在几何画板的教学过程中, 可以实现立体几何图形的运动, 一个圆锥图形可以实现与一个平面的相交, 不同角度的相交, 将出现圆形、椭圆形、三角形等多种截面形状. 几何画板可以将这些形状一一展示出来, 有效的帮助学生更好的理解相关的问题.
例如, 在教学解析几何的抛物线的定义和开口方向都是很多学生理解难点. 在教学过程中可以实现其定义和开口方向的动画演示, 实现学生更为直观的认识 ( 如图1) .
三、几何画板的应用建议
几何画板是一种现代化的教学工具, 教学过程中需要进一步加强应用的针对性, 保证教学效果的实现.
1. 服务教学目标的实现
高中数学的知识点学习理解相对比较难, 很多学生认知的过程中存在一定模糊概念. 图形的解释是最直观的教学思路, 教师需要本着帮助学生理解的教学目的, 使用更多的图形解释相关的数学几何问题, 有效的实现抽象问题的形象具体化. 教师所设计的图形和动画需要围绕教学的内容展开, 针对教学过程中可能出现的问题进行有效的设定图形和动画, 实现教学目标的有效实现. 例如, 已知圆x2+ y2= 4, 直线y = x + b, 当b为多少的时候, 圆有三个点到直线的距离为1. 几何画板利用动态的变化, 可以实现学生对于问题的理解, 如图2.
2. 教师加强练习, 熟练掌握几何画板
教师是教学的引导者, 在教学过程中实现整个教学过程的走向, 几何画板软件是一种很好的教学工具, 教师熟悉其使用技巧, 在教学过程中才能灵活使用. 教师要想充分使用好几何画板, 在教学过程中充分使用这一软件, 就需要在平时认真练习, 掌握软件的使用技巧, 这一软件在使用过程中掌握起来相对比较容易, 只要教师加以练习, 就可以有效掌握, 最终保证教师在教学过程中有着更加灵活的使用[2]. 例如, 本地区的教师在几何画板的认识上存在一定的误区, 很多教师使用这样软件的熟练程度都不是很高, 因此教研所针对这一问题进行了软件的集中培训, 手把手的教会教师使用这样软件.
3. 拓展学生对于几何画板的使用
学生是现代高中几何教学的主体, 他们参与教学的主动性是现代教学质量提升的基础和前提, 加强学生对于这一软件的学习. 学生只有掌握这一软件的使用, 在教学过程中才能更好地参与教学之中, 几何问题不同于其他的教学过程, 需要学生更加主动参与其中, 才能更好的理解相关问题, 只有学生学会使用这一软件, 才可以在课后使用这一软件进行几何问题的解决, 为他们更加积极主动的参与几何教学提供保证. 同时这一软件也需要加强学生使用的人性化考虑, 更多的实现一些动画功能, 保证学生在自己演示的过程中, 更加容易的操作过程. 例如, 开设专门的上机实验课, 对学生进行集中软件培训, 软件使用过程中需要工具条进行重点讲解, 同时列举椭圆、圆柱等解析和立体几何图形进行案例教学, 实现学生更好地掌握软件的使用.
高中几何问题相对比较抽象, 主要目的在于构建学生的空间想象能力. 这一素养的实现需要教师使用更多的教学手段实现. 几何画板实现几何图形的有效展示, 同时可以实现图形的运动, 保证学生更加形象的理解相关问题, 构建学生的空间想象能力.
参考文献
[1]郭衎, 曹一鸣, 等.数学课程中信息技术运用的国际比较研究[A].全国数学教育研究会2014年国际学术会议, 2014 (6) :123-124.
几何画板在教学中的应用 篇5
新都区龙安中学
骆春梅
几年来我在数学学科的”整合”实践中，应用”几何画板”的辅助教学实验获得了一些经验，尤其在培养学生”创新思想”和”实践能力”方面，取得了一些成效。下面我将作一些介绍。
1.在动态中表达几何关系的图版
“几何画板”是美国软件“The Geometer’s Sketchpad”的汉化版，打开“几何画板”后我们看到的界面，就像一块黑板。图版的左侧是一列工具图标：移动、画点、画圆、画线、和文字工具。可以用这些工具按照尺规作图的法则画出各种几何图形。
画出的图形与黑板上的图形不同是动态的,在动态中保持设定的几何关系不变。在画板上任意取A、B、C三点，连接成三角形同时作出AB边上的中点D。此时利用“移动”工具拉动A点就看到了一个变化着的三角形，在变化中D点保持为AB线段的中点。
同样可以拉动B、C两点或是移动三角形的边（亦能运用一些技巧让某几个元素同时移动）。如果作出三角形ABC三条边上的中线，就可以在这种动态变化中清楚观察到“任意三角形三中线交于一点”的现象。过去讨论这一条几何定理是必须依靠逻辑证明的，现在利用“几何画板”可以根据观察来确认这个事实。
还可以利用系统提供的其它功能(例如度量的功能,动态地观察有关的数据)，来发现图形中存在的规律和各种关系。就是可以用一种区别于传统手段的，全新的、更加直观的过程来学习几何。
2.探索性学习的直观环境
过去我们讨论同一个圆内，对应一段弧的圆周角与圆心角的关系，必需要靠证明。现在可以：在圆O上任意作出C、D、E三点，得到圆周角CDE和圆心角COD；度量出它们的角度，就能看出是圆周角为圆心角的一半。然后在圆上移动E点，度量的值将随着E点的移动而变化，总能看到圆周角是圆心角的一半的关系。我们还可以移动D点，将看到所有的度量值不变化。其实这也是一个定理：“同弧上的圆周角相等”。当D点移动到与C、O在同一直线上时，就是证明圆周角有关定理的特殊位置。这说明利用“几何画板”对图形观察的过程中，也是可能启发我们得到进行逻辑证明的思路。圆O的大小和位置也是能够变化的，从而保证了动态观察和分析的普遍性。
上述过程可以是在教师的指导下，由学生独立或分组进行观察和分析，不必用教师讲学生听的传统教学方式进行。这就实现了又充分发挥教师的主导作用、又使学生成为学习的主体，是一个探索性学习的直观环境，是一种新型的教学模式。
其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。在圆O上任取一点E和圆外一点F作一线段，过线段中点G作垂线，若E点在圆上运动则垂线将跟随着运动，我们想知道垂线的运动规律。在这个设定的条件下，是可以讨论（推导）出某些结果的，但是对一般的学生（甚至对教师）来讲实在是要求太高了，在传统的学习环境下无论是观察和推导都很困难。
现在就不一样了，可以在“几何画板”上让E点在圆上移动，同时跟踪（使垂线现出轨迹）观察垂线的运动看看出现什么，然后再作进一步的分析和思考。分别让F点在圆外较远处、较近处、F点在圆内，三种不同位置在图上留下的垂线轨迹。看到这些直观图不难产生一些猜想：直线轨迹的包络线是二次曲线族（椭圆、双曲线、抛物线）？同学和教师可能有能力进一步的分析和讨论，发现这组图形中许多有趣的现象和规律。
学生还可以在平时解几何问题时，根据给定的已知条件，用“几何画板”作出草图然后去求解。由于在“几何画板”上作出的草图不但准确而且是“动态的”，学生可能在它的动态变化中的某些特殊位置，找到求解的思路。
3.培养创造性能力的实践园地
在使用“几何画板”给予学生探索性学习的环境以后，我们看到了培养他们创新精神和实践能力的奇特效果。其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。
初中几何课本中的一个习题，从圆O任意一条弦的中点E作两根直线与圆交得四个点，连接两条线段后得图形像一只蝴蝶，两线段与弦分别交于L、M两点则有：LE=EM，即蝴蝶两翼截得的线段相等，称为“蝴蝶定理”。
有这样一位同学，他不满足于一般的证明完成这个练习。首先他使用“几何画板”的”度量”功能，通过移动E点观察两线段长度确实相等，“看到了”定理是成立的。他加了一个同心圆，两圆与直线交得八个点，连接得一扩展的蝴蝶，其两翼与弦交得四点。他猜想左侧线段SE、TE与右侧线段EU、EV也应该有某种等式关系。他猜想可能有SE + TE = EU + EV 或SE * TE = EU * EV 这样的猜想并不稀奇，但在传统的学习环境下这些猜想很难证实或否定，最后只能不了了之掩灭了创造的火花。现在他利用“几何画板”度量了这些线段的长度，并进行了计算，计算的结果否定了他的两个猜想。这位同学没有停止探求，在他锲而不舍的努力下终于找到了它们之间的等式关系。利用“几何画板”的度量和计算，找到了这个有趣的关系式并完成了证明，他命名其为“广义蝴蝶定理”。此后他还对这个图形进行了更多的扩展和深入的分析研究，这是一个多么令人兴奋的成果啊！
中学生在学习的过程中的发现是否有价值并不重要,运用”智能教学工具平台培养了他的创新精神和创造性思维的能力，是很有意义的。其实，在目前已经知道的学生或学生与教师共同运用“几何画板”安排探索性教、学的过程中，一些创新的命题和成果，也有很多是有价值的。
几何应用题 篇6
关键词 几何画板；轨迹；解析几何；探究性学习
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1671-489X（2009）04-0096-02
探索动点的运动规律是解析几何教学的重点、难点。由于中学生的逻辑思维能力较差，往往很难从已知条件中发现动点的相互联系和运动规律。几何画板中的动画、追踪、轨迹等功能，弥补了传统教学的不足，可以让学生在动态的研究中启发直觉思维，很多数学问题可以及时得到验证。在建构主义理论的指导下，研究运用几何画板轨迹功能开展探究性学习，设计相应的课件并进行应用。
1 运用几何画板开展探究性学习的理论基础
建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用[1]。
从建构主义出发，数学不是独立的、绝对可靠的、天衣无缝的真理，它是一种经验或拟经验的活动。数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历。数学研究和数学学习是一个思想实验或“准实验”，要在投入者的亲身实践和体验的过程中进行设计。学生的思维不一定真实地重演了人类对轨迹探索的全过程，但确确实实通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中学习数学，可以培养学生学习数学的兴趣。
2 运用几何画板开展探究性学习的优势
几何画板不同于其他绘图工具的突出特点，在于几何图形在运动时能动态保持几何关系，在图形变化的过程中，发现恒定不变的几何规律[2]。运用几何画板可以把概念的形成过程暴露出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化或不变。它可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态地显现在屏幕上，而且这个过程可以根据需要进行控制。几何画板是进行探索、验证的好帮手，是创设“情景”的极好工具。运用几何画板开展探究性学习有4个方面的优势。
2.1 容易激发学生提出问题通过研究、探索不断产生新的问题，已解决的问题又成为新问题的起点，从而引发在更深层次的层面进行研究、发现、解决问题，最终达到数学问题的彻底解决。
2.2 使学生真正成为学习的主人学生能够通过对数学知识的学习，理解几何画板的运用，从中不断进行猜想、论证并得出结论，从而不断增强研究数学的积极态度。教师的角色也由课堂教学的主宰转变为教学活动的组织者、指导者、参与者和研究者。
2.3 使问题的开放性增强运用几何画板有效地拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题和解决问题的能力。运用几何画板开展探究性学习有两个显著的特征：1）“活”，表现为学生的学习积极性、主动性有明显的增强。学生往往会迸发出智慧的火花；2）“动”，表现为让学生真正的动手操作、观察、研究、思考。
2.4 提供丰富的变换功能包括平移、旋转、缩放、镜像等图形变换功能。几何画板还能对动态图形进行“跟踪”，并能显示跟踪的“轨迹”，帮助学生充分理解图形变换的规律，为平面解析几何中的轨迹教学提供很好的工具。可以把几何画板看成是一块“动态的黑板”。几何画板的这种特性有助于学生在图形变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所做不到的，真正体现了计算机的优势[3]。
3 运用几何画板轨迹功能开展探究性学习的实验
运用几何画板开展探究性学习要遵循“问题—研究—交流—反思”的认知规律。运用几何画板开展探究性学习主要有教师引导式、学生自主研究式、小组合作研究式等具体模式。
数学学习不应是一个被动吸收知识、记忆、反复练习强化的过程。一个有意义的学习过程，是学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决问题，同化新知识并建构新的认知结构的过程。所有的新知识只有通过学生再创造的活动，使其纳入原有的认知结构中，才可能成为有效的知识。只有这样，学生获得的才是真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。几何画板提供了一个十分理想的“做数学”的环境，完全可以运用它来做数学实验。下面以一道人人皆知的解析几何题为例，研究如何运用几何画板的轨迹功能开展探究性学习。
B是半径为r的定圆A内的一定点，M是圆上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与半径交点为P，求P的轨迹。
如图1所示，P的轨迹显然是一个椭圆，这是因为 。
实验1 放弃“E是线段BM的中点”这一条件，奇妙的现象出现了：当E到M的距离小于点E到B的距离时，点P的轨迹是“鸭蛋”形（图2）。
实验2 用鼠标缓缓拖动点E向B移动，当E到M的距离大于点E到B的距离时，点P的轨迹成了“导弹”形（图3）。
实验3 继续下去，把线段BM换成直线，使点E在MB的延长线上，点P的轨迹变成了“肾脏形”（图4）[4]。
4 结束语
运用几何画板开展探究性学习，其着眼点就是改变学生的学习方式，即改变学生在应试教育模式下所形成的偏重记忆、模仿，以接受教师的知识灌输为主的单一的学习方式，创设一种有助于探究性学习的情景和途径，建构一种有利于学生终身发展的学习模式。但由于几何画板软件比较灵活、具有开放性，学生往往会沉迷于对几何画板的研究，而忽略对数学问题的研究、解决。教师应告诉学生几何画板只是一种辅助学习的工具，对数学问题的研究、解决才是学习的核心任务，千万不要舍本逐末。
参考文献
[1]何克抗.教学系统设计[M].北京:北京师范大学出版社,2002
[2]方其桂.几何画板4：课件制作方法与技巧[M].北京:人民邮电出版社,2004
[3]屈清明,季久峰.几何画板数学课件制作范例教程[M].北京:人民邮电出版社,2004
平面几何知识在解析几何中的应用 篇7
由直线AB过点F1(-c,0),设其方程为y=k(x+c),代入椭圆方程,得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,
例3如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P在底面ABCD内运动,且满足∠DPD1=∠CPE,则点P的轨迹为()
(A)圆的一部分
(B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分
(D)抛物线的一部分
思路:如图4,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.
在△MAN,△MBN中,由三角形中位线性质,得|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,所以,|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=4a=12.
二、特殊三角形与四边形性质
例5 如图5,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线l作垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,求抛物线的标准方程.
例7已知直线4x-3y+m=0与圆x2+y2=16交于不同两点A、B,O为坐标原点,C为圆外一点.若四边形OACB是平行四边形,求实数m的取值范围.
三、圆的弦与切线性质及两圆相切问题
例8△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心P在直线x=3上,求点C的轨迹方程.思路:如图8,设圆P与△ABC三边的切点为D、E、F,则直线x=3过点D,由圆的切线长定理,得|AE|=|AD|=8,|BF|=|BD|=2,|CE|=|CF|,所以,|CA|-|CB|=(|CE|+|AE|)-(|CF|+|BF|)=|AD|-|BD|=6.由双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(顶点除外),方程为.
例10已知圆M:(x+2)2+y2=4,圆N:(x-2)2+y2=16,动圆P与圆M、圆N均外切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.
思路:由已知得圆M的圆心为M(-2,0),半径r1=2,圆N的圆心为N(2,0),半径r2=4.设圆P的圆心为P(x,y),半径为r(图略).
四、对称性
例11点P是以F1、F2为焦点,长轴长为2a的椭圆上一点,过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是＿.
思路:如图10,设F2Q的延长线与F1P的延长线交于R,则由∠F2PQ=∠RPQ,PQ⊥F2R,知Rt△PRQ≌Rt△PF2Q,即点R与F2关于直线PQ对称,所以,|PR|=|PF2|,则|F1R|=|PF1|+|PF2|=2a.
连接OQ,则OQ为△RF1F2的中位线,|OQ|=12|F1R|=a.所以,点Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.
例12如图11,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=3,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,求AP的长度.
思路:由光的几何性质,易知∠PQB=∠RQC.延长RQ至P1,使QP1=PQ,则∠P1QB=∠RQC=∠PQB,且△PQP1为等腰三角形,于是,BC为PP1的垂直平分线,即点P1、P关于直线BC对称,所以,点P关于直线BC的对称点P1在直线QR上.同样,点P关于直线AC的对称点P2也在直线QR上,从而,P1、P2与△ABC的重心G共线.
参考文献
六年级几何应用题教学随想 篇8
一、化曲为直
化曲为直是一种转化, 转化思想是数学思想的重要组成部分, 更是一种解决数学问题的重要策略。 我们的测量工具一般都是直的, 测量曲线不方便也不太准确, 如果能在等量的条件下, 把曲线转化成直线, 链接到学生熟悉又接触较多的知识, 学生容易接受, 解决问题就不难了。
例:杂技演员表演独轮车走钢丝, 车轮的直径为40cm, 要骑过50.24m长的钢丝, 车轮大约要转动多少周?
分析:通过动手操作, 让学生明白, 轮子每滚动一周, 就前进一段钢丝, 从而知道, 一周与一段的等价, 曲转直的等价, 50.24m长的钢丝有多少段, 就有多少周。
解答:50.24m=5024cm
C=
502440 (周)
答:略。
这题通过化曲为直, 让学生从纷乱的数据中容易找到数量间的关系, 从曲与直的联系, 转化成一小段与一大段的联系, 从而顺利解决问题。
二、对号入座
生活中蕴藏着大量的数学信息, 学生在做题时常用错条件, 且不知道错在哪里, 糊里糊涂的。 因此当解决几何应用题时, 把公式里的名称与实物的名称对号入座, 进行联系, 能尽量减少错误, 达到很快解决问题的目的。
例:公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m, 它能喷灌的面积是多少?
分析:还原实物图, 水龙头是圆心, 喷射出的水的长度是圆的半径, 也就是射程, 水喷射到的地方形成一个圆面, 求喷灌的面积就是求圆的面积。
解答:S=3.14314 ()
答:略。
这两个例子都是利用实物还原图, 把实物与我们学的公式名称与条件问题对号入座, 进行理解, 从而达到顺利解决问题的目的。
三、动手操作
心理学家鲁宾斯说:“任何思维, 不论它是多么的抽象和多么理论的, 都是从观察分析经验材料开始的。 ”操作就是为了更好地观察。 操作分为实物操作到画图操作两种, 最开始使用实物操作, 给学生直观感知, 过渡到画图操作的提升, 从而能快、准、不错漏地解决问题。
例:广告公司制作了一个底面直径是1.5m, 高2.5m的圆柱形灯箱。 可以张贴多大面积的海报?
操作:学生小组动手做一个灯箱, 然后摆放好, 再观察哪些地方可以贴海报, 让路人看得清楚。 并进行讨论, 结果得出结论, 圆柱的上下底面不宜贴海报, 贴了是浪费, 看不到, 圆柱的侧面贴海报看得清楚, 效果好。 所以只要求出圆柱的侧面积就求出了海报的面积。
解答:3.14×1.5×2.5=11.775 ( )
答:略。
操作过程中学生手脑并用, 兴趣盎然, 思维活跃。 对物体的特征有更深刻的理解, 并将积累丰富的直观经验和活动经验, 发展为有条理的思考能力和解决问题能力, 能更顺利地解决实际问题。
四、公式推理法
推理是数学的基本思维方式, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。目前的推理是简单地从已给的条件中推出有效的结论, 从而达到目的, 解决问题。
例:一个圆锥形沙堆, 底面积是28.26, 高2.5m。用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面, 能铺多少米?
分析:根据公式, 有了底面积和高就可以求圆锥的体积, 就是所铺路面的体积, 有了体积、长方体的宽、高, 根据长方体体积公式就可以求长, 也就是能铺的长度, 从而解决了问题。
2cm=0.02m
解答:28.26×2.5÷ (10×0.02) =11.775 (m)
答:略。
根据公式, 看公式需要的量, 缺什么, 就直接求什么, 用公式进行推理, 简单直接效果好。
教学是一种艺术, 尤其是教学方法的运用, 更是一种艺术创造。 在充满生命活力的课堂上, 运用之妙, 存乎一心。 不断从直观到抽象, 从陌生到熟悉, 从不懂到理解, 再到灵活运用, 不断形成技能、发展能力, 形成个性化学习策略, 才能创造性地解决实际问题。
摘要：六年级几何都与曲面曲线有关, 根据学生的年龄特征, 他们对六年级几何很不理解, 解答有关应用题困难重重, 因此要将一些易学易懂的方法教给学生, 便于学生顺利地解决实际问题。
关键词：六年级,几何应用题,教学方法
参考文献
[1]学生学习内容疑难问题解析.东北师范大学出版社, 2013, 7.
[2]教师怎样设计一堂好课.东北师范大学出版社, 2012, 5.
趣谈一个几何模型的应用 篇9
一、几何模型的引入及分析
(一) 几何模型的引入
北师大版教材七年级下册第228页“问题解决”如下:如图1所示, 要在街道旁修建一个奶站, 向居民区A、B提供牛奶, 奶站应建在何处, 才能使从A、B到它的距离之和最短?
作法:1.作出点A关于直线l对称点A′;
2. 连接A′B, 交l于点P, 点P就是奶站的位置。
(二) 几何模型分析
1. 特点:已知一定直线同旁有两定点, 可以从此直线上确定一点到两定点的距离之和最短。
2. 理论基础:轴对称的性质、三角形三边关系 (两点之间, 线段最短。)
3. 基本性质。观察此图形 (图2) , 不难发现其中的多种关系, 姑且归纳为“1、2、3”。
1——一对全等三角形:Rt△AOP≌Rt△A′OP;
2———两组相等线段:OA=OA′, AP=A′P;
3——三个相等的角:∠1=∠2=∠3。
二、几何模型的应用
(一) 基本运用
由基本图形可以看出, 点P为一动点, 可以从直线L上任取, 但“最佳位置”却只有一个, 当“最佳位置”确定下来以后, 问题便化动为静。因此, 在解决一些问题时, 往往需要先确定“最佳位置”即作图后, 再进行推导与计算, 下面举几例加以说明。
1. 与三角形相关。
把此模型与三角形, 特别是特殊三角形 (如直角三角形、等腰三角形) 的性质相结合解决问题。
例1:如图3, 一牧童在小河南4千米的A处牧马, 河水向正东方向流去而他正处于他的小屋B西8千米、北7千米处。他想把他的马牵到小河边去饮水, 然后回家, 他完成这件事所走的最短距离是多少千米?
分析: (1) 首先解定保证牧童所走的路程最短的饮马点。作点A关于小河的对称点A′, 连接A′B, 交小河于点O, 点O即为饮马点。
(2) 弄清楚应如何恰当使用题目中的数量进行计算。
连接AO, 则牧童所走的路程为AO+BO=A′O+OB=A′B。
所以, 牧童完成这件事所走的最短距离为17千米。
点评:本题紧扣原型, 赋予了实际情境与新意, 同时在计算时用到了重要定理———勾股定理, 真可谓独具匠心。
2. 与四边形相关。巧妙地把菱形、矩形、正方形的轴对称性作为本模型的有效载体。
例2:如图4, 在边长为6的菱形ABCD中, ∠DAB=60°, E为AB的中点, F为AC上一动点, 则EF+BF的最小值是多少?
点评:本题恰当地运用了菱形的轴对称性。
3. 与圆相关。
小结:通过以上几例不难看出, 当模型与常见的平面图形相结合时, 通常以计算题的形式来呈现。在解决此类问题时, 往往先确定动点的“最佳位置”, 然后借助直角三角形的重要性质———勾股定理来解决。
4. 与平面直角坐标系相关。
例4:设想用电脑模拟台球游戏, 约定:
(1) 每个球或球袋都视为一个点, 若不遇障碍各球均沿直线前进;
(2) A球击中B球, 意味着B球在A球前进的路线上, 且B球被撞击后沿着A球原来的方向前进;
(3) 球撞击桌边后的反射角等于入射角。
如图6, 设桌面上只剩下白球A和6号球B, 希望A球撞击桌边上点C后反弹再击中球B, 请给出一个算法 (在电脑程序中把解决问题的方法称为算法) , 告知电脑怎样找到点C, 并求出点C的坐标。
解得k=3, b=-180。所以y=3x-180。令y=0, 即3x-180=0, x=60。所以点C的坐标为 (60, 0) 。
点评:此题构思精巧, 综合考查了轴对称的性质, 平面直角坐标系中点的坐标的特征、一次函数的知识。表面看来, 题目无从下手, 问题的突破口就在于如何实现与“基本图形”的沟通。
(二) 跨学科应用
此模型不仅可以用来解决许多数学问题, 也可以解决其他学科中的相关问题, 如物理学中的光线反射问题。例如, 如图7, 一光源从点A发出光线, 经平面镜L反射后过点B, 请确定入射点O、入射光线、反射光线的位置。这一问题就需要借助于模型中的“角相等”这一性质来准确作图。
(三) 拓展应用
例5:如图8, 已知牧马营地在M处, 每天牧马人要赶着马群先到小河L的河边饮水, 再到草地m吃草, 然后回到营地M。试设计出最短的放牧路线。
分析:分别作出点M关于小河L及草地边沿M的对称点P和Q, 连接PQ, 分别交小河及草地边沿于点D、E, 放牧路线应为M-D-E-M。
几何应用性问题浅析 篇10
一、 观察与推断
数学定理公式法则等结论, 都是具体的判断, 其形成大致分成两种情况:一是经过观察、分析, 用不完全归纳法或类比等方法得出猜想;二是从理论推导出发得出结论.总之, 这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例.
【例1】 某种牙膏上部的圆的直径为3 cm, 下部底边的长度为4.8 cm.现要制作长方体的牙膏盒, 牙膏盒的上面是正方形.以下列数据作为正方形边长制作牙膏盒, 既节省材料又方便取放的是
A. 2.4 cm B.3 cm C. 3.6 cm D.4.8 cm
简析:通过日常生活的观察与分析, 可知牙膏一般是沿对角线位置放入牙膏盒的, 所以利用勾股定理便可以求出相应牙膏盒边长.
二、 测量与计算
数学的任何题目必然带有一定的目的性和指向性, 即题目的设计和设置必须反映教学内容的基础知识、基本技能、基本经验和基本方法, 必须符合教学目标, 服从教学要求.
【例2】 一个啤酒瓶高度为30 cm, 瓶中装有高度为12 cm的水, 将瓶盖盖好后倒置, 这时瓶中水面高度为20 cm , 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 ( ) . (圆柱体的体积等于底面积乘以高, 瓶底厚度不计)
A.5∶11 B.1∶2 C.6∶11 D.5∶6
简析:设底面积为Scm2, 则V水=12S , V空=10S, V瓶= V水 +V空=22S, ∴V水∶V瓶=12∶22.
三、 思考与探究
此类题型是通过对命题式子的结构特征、相应的图形等进行观察、实验、类比、归纳, 从而提出结论或论断, 或者是整体观察题设和结论, 从而猜想出解决问题的方案或方法.
【例3】 “白日依山尽, 黄河入海流.欲穷千里目, 更上一层楼.”现在假如你的视力非常好, 能够看见很远很远的地方, 你必须登上几层楼高才能看见千里以外的景物?
简析:这是一道跨学科应用题, 题目很好地考查了学生把几何知识转化为几何实际的能力.
分析结果如下:如右图, 地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离, 它就是弧BC的长, 假设弧BC的长是500千米 (即1000里) , OB=6400 (千米, 近似数) , 求高度AB. (温馨提示:tan4.5°=0.079, cos4.5°=0.997, tan6.2°=0.109, cos6.2°=0.994 , 弧长公式
解:依题意AB为最小楼高, AC切圆O于C.
通过对上面类型的分析与分解可以发现, 充分了解几何应用题的分类对于更快了解和解决几何题型有很大的促进和启发作用, 其中也夹杂一些解题思想, 也就是解题方法.其中最本质的方法我们可以归结为:
如果细分几何应用题解题方法, 我们还可以进一步分为四类:
导数几何意义的应用分类解析 篇11
关键词：导数的几何意义；应用；分析
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-01
导数的几何意义是高中数学的一个重要知识点，也是每年高考的必考内容。利用导数的几何意义解决的问题较多，归纳起来常见的类型有：（1）求切线方程及切点坐标；（2）求参数的值；（3）其它的综合问题。下面就导数几何意义的应用进行分类解析。
类型一：求切线方程及切点坐标
问题1. 已知函数f（x）=ax2-x2，其中a∈R。当a=1时，求曲线y=f（x）的在点（1，f（1））处的切线方程。
解析：求曲线的方程，要看已知的点是否为切点。这里的点（1，f（1））显然是切点。
当a=1时，f（x）=x2-x2，因此f（1）=，切点为（1，），又 f'（x）=2x2-x+1，故k=f'（1）=2+1-1=2，曲线f（x）在点（1，）处的切线方程为y-=2（x-1）：，可得12x-6y-5=0.
问题2.（已知切线过某点求曲线的切线方程）
已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l过（0，0）与曲线C相切，求直线l的方程.
解析：由题意知切线过原点，但原点不一定是切点。故先设切点，再求解。
设切线为y=kx，切点为（x0.y0）则y0=kx0.................①
由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03-3x02+2x0.................②
又y'=3x2-6x+2，则k=3x02-6x0+2.................③
∴由①、②、③得x0=0或x0=-
∴切点为（0，2）或（ ，- ）.
∴当切点为（0，2）时，直线l的方程为y=2x；当切点为（ ，- ）.时，直线的方程为y=-x.
点评：利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，学生往往忽视已知点是否为切点，而造成错误。要分清在点p处的切线与过p点的切线的不同。曲线y=f（x）在点p（x0.y0）处的切线是指p为切点；曲线y=f（x）过点p（x0.y0）的切线是指切线经过点。
类型二：求参数的值
问题3： 已知直线y=x+1与曲线y=In（x+a）相切，求a的值.
解析：设出切点后再求导，利用导数的几何意义求解。
设直线y=x+1与曲线y=In（x+a）的切点为（x0，y0），将点（x0，y0）代入直线与曲线方程得y0=x0+1，y0=In（x0+a） ∵y'=，y'x-x0==1， ∴x0+a=1， ∴y0=0 ，x0=1 ∴a=2.
点评：高考中常考查“已知曲线的切线求参数”问题，这类问题有可能出现在小题中，也有可能出现在解答题第一问。该类问题综合考查函数解析式的求解、导数的几何意义、直线方程的求解、及其方程组的解法。解决这类问题的关键是建立函数在切点处的导数与斜率的关系，其实质是导数几何意义的逆用。
类型三：其他综合问题
问题4 ：如果y=f（x）的导函数的图像是开口向上，顶点坐标为（1，-）的二次函数，求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围.
解析：求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围，先求切线的斜率范围。
设曲线y=f（x）上任一点P（x0，y0），在该点的切线斜率为k，因为y=f（x）的导函数f'（x）的图像是开口向上，顶点坐标（1，-）为的二次函数，∴f'（x）≥-。由此f'（x0）≥-，k≥-。由正切函数的图像可知倾斜角α的取值范围是[0，）∪[，π）.
点评：本题综合考查导函数的概念、二次函数的图像及值域、导函数与函数在某一点的导数的关系、三角函数的图像、直线的倾斜角与斜率的关系。解决综合性问题的关键是理清思路，将复杂的问题分解成小问题，逐个击破。
问题5 ：已知函数fn（x）=xn+1，n∈N*的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值.
解析：求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值，即求x1x2x3…x2011x2012的积，进而转化为求xn.由fn'（x）=（n+1）xn，曲线fn（x）=xn+1在点P（1，1）处的切线斜率k=n+1，故在x=1处的切线方程为y-1=（n+1（x-1）），
令y=0得xn=，所以x1x2x3…x2011x2012=××…××=.
故log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log20132013-1=-1.
点评：本题综合考查应用导数求曲线的切线方程及对数的运算公式的应用。
几何应用题 篇12
随着我国教育体制的改革, 人们越来越重视教育与实践的结合, 提倡教育应当与生活联系起来.几何应用题就是与生活实践紧密相联、需要依据图形运用几何定义或定理进行数学运算的几何应用性题目, 是数学应用题的一种[1].解应用题的关键是进行问题表征, 所谓问题表征是人们在解决问题时所使用的一种认知结构[2].美国认知心理学家西蒙 (Herbert A.simon) 认为表征是问题解决的一个中心环节, 它说明问题在头脑里是如何呈现、如何表现出来的.如果一个问题得到了正确表征, 可以说它已解决了一半[3].问题表征是对问题的一种理解状态, 理解有程度的深浅, 因而问题表征则有水平的高低之分.
本研究主要通过对部分高中生在数学几何应用题解决过程中的表征层次及其水平进行实证研究, 试图探讨不同年级和不同水平学生的表征差异原因以及他们解几何应用题时的表征特点, 希望能对中学数学教学提供参考.
2 研究测试
2.1 方法
2.1.1 被试
第1组被试:南宁沛鸿民族中学高一年级15名同学, 已经学完高中一年级课程, 以平时成绩为标准选择优等生、中等生各5人 (名次位于前5名的为优等生, 名次位于中间5名的为中等生) .
第2组被试:南宁沛鸿民族中学高一、高二、高三各年级以平时成绩为标准选择优、中、差生各5人, 为防止对实验结果造成影响, 高一年级优等生与中等生的选择不同于第一组被试的10名同学.
2.1.2 材料
4道高中数学几何应用题, 它们都选自2010年高考试题, 部分经过改编而成.
2.1.3 程序
第1组被试:要求15名学生尽量将自己的思考过程通过语言表达出来.然后把被试解题的口语材料通过录音机记录下来, 以备分析之用.同时研究者随时记录被试学生的特征行为, 结束之后对被试进行访谈, 以便确切了解并进一步证实被试的解题思路, 以弥补口语报告的不足.
第2组被试:要求被试者看懂题意后立即动笔写出思维过程和解题步骤, 并要求其尽量不停笔思考或跳过一些步骤.同时研究者在旁边进行观察、计时, 笔试完后再对各被试分别进行访谈, 以便确切了解并进一步证实被试的解题思路.
2.2 结果分析与讨论
2.2.1 第1组被试结果分析
为讨论方便, 首先以试题1为例, 分析学生对数学几何应用题的表征层次, 以及优等生和中等生表征的差异.
题1:某兴趣小组要测量电视塔的高度, 该组所拥有的仪器有长度为4米的标杆和可以测仰角的测角仪, 请你设计方案测电视塔的高度. (用字母表示)
逐一分析第1组被试的书面解决问题过程与录音材料, 对他们的口语报告资料进行重新整理、转译以及编码等, 将其整理后分解为一系列连贯的解决问题情节, 并考察每一个情节内容的正确性及其在整个问题解决过程中的作用[4], 分析被试在具体数学几何应用题解决过程中的表征层次, 下面以优等生A与中等生B对题1的口语报告为例进行对比分析如下:
口语报告——A:
第1句话:题中给出一个长度和角度, 所求塔的高度必定用标杆的长度和角度来表示.
第2句话:做这类题通常用的方法是三角形相似, 但是只知道一条边, 显然问题不能解决, 但测角仪可以测出多个角, 所以要建立多个角与一条边的关系. (边思考边画出图1)
第3句话:这样就简单了, 用我们所学过的正弦定理, 然后用角来表示边就可以了.
口语报告——B:
第1句话:有一个高度和测角仪, 可以根据边和角的关系来求出塔的高度.
第2句话:记得初三时做过这类题用的是三角形相似的知识. (稍做思考, 画出图2)
第3句话:可是只知道一条边, 相似比求不出来.
第4句话:对了, 另一个边能不能用4米的标杆来量呢?
第5句话:不过距离如果不是标杆长度的整数倍, 就不精确了. (思索几分钟, 最终放弃解答)
从以上两位被试的口语报告中可以看出虽然问题解决的结果不一样, 但他们都通过阅读理解了题目中的已知条件与所要解决的问题, 即文字表征;然后将应用题的背景条件及问题和自己熟悉的图形三角形联系起来, 使问题变得易于理解和解决, 即对问题进行了形象表征;被试B由于形象表征错误, 导致问题解决失败, 而被试A经过把问题转化为正弦定理来完成抽象表征;最后对题目隐含条件进一步挖掘, 找出明确的数量关系, 实现数量表征.由A, B两被试知道数学几何应用题表征都经过了文字表征、形象表征, 抽象表征、数量表征4个阶段.并且这4个阶段是按顺序依次进行的, 由被试B解决问题失败可知, 抽象表征是建立在形象表征基础之上的, 而数量表征的正确与否也完全取决与形象表征与抽象表征正确与否.
在他们表征的过程中, 两位同学都有把问题表征为他们在初三最熟悉的相似三角形的过程, 说明优等生和中等生在解题的过程中都存在思维定势, 即按照某种固定的思路和模式去思考问题所表现出来的思维倾向.
2.2.2 第2组被试结果分析
首先我们通过作业分析和访谈对高二某优生和某差生解试题2的过程进行分析.
题2:某港口O要将一件贵重物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时, 轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处, 并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过t小时与轮船相遇.
(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的大小应为多少?
(Ⅱ) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时, 试设计航行方案 (即确定航行方向和航行速度的大小) , 使得小艇能以最短的时间与轮船相遇, 并说明理由. (高一学生仅做第1问)
从各个层次的表征时间来看, 优等生表征的时间较短, 特别是在初级表征阶段如文字表征和形象表征等;相反, 差生在各个层次的表征时间都比较长.从解题过程上看, 优生解题的特点:在解题前, 能仔细审题, 全面、深入地分析理解题意, 找出题目中的已知条件 (轮船与港口的距离和方位、轮船和小艇的航行速度) 和隐含条件 (求小艇的航行距离最小, 即是小艇航行方向与轮船航行方向垂直, 时间最短即是用长度和角度表示时间求最值) , 能将题目所给条件与所学的知识联系起来, 同时画图帮助理解, 总耗时较少, 能迅速领悟问题的本质与关键——余弦定理.从其解题策略分析, 优等生较倾向于模型转换策略, 能敏锐地注意到隐含信息而且能顺利建立几何模型, 实现问题之间的有效的转化, 为问题的解决提供了必要条件.至于差生, 没有充分、全面地审题, 对题意不能完全理解, 不能挖掘出题目中的隐含条件.如该生看到题目中的第2问“小艇以最短的时间与轮船相遇”时, 就仅从时间角度去思考问题, 最终发现条件不够, 于是问题解决失败, 可见该生在审题过程中存在片面性和主观性, 没有全面、深入地理解题目.与优生相比较可知, 差生解决问题的策略更倾向于直接转化策略, 较注重题目中的数字和一些关键词, 对数字进行加工, 仅仅强调运算过程.
然后我们分别对高一、高二、高三年级的中等生进行作业分析, 发现随着年级的升高, 学生的表征能力逐渐加强, 尤其在抽象表征方面高年级学生明显优于低年级学生, 并且表征时间随年级的升高逐渐减少, 可知随着年级的升高, 学生的表征能力逐渐加强, 表征时间逐渐减少.并且发现高一学生有3名学生用到解直角三角形, 高二学生有1名学生用到解直角三角形, 高三学生没人用解直角三角形而全部用余弦定理来解题, 说明随着年级的升高, 解直角三角形的思维定势逐渐解除, 取之而代的是余弦定理的思维定势.
3 讨论
从被试的口语报告和访谈中了解到, 高中生解决几何应用题的表征经过文字表征、形象表征、抽象表征、数量表征4个层次.优生在建立文字表征的同时明显地开始建立初级表征, 具体来说就是边读题边画图, 将整个问题解决过程通过画图显示出来, 他们能将4个层次的表征有机的结合, 抓住问题的本质, 所以能在审完题后便可顺利建立数学模型, 进行形象表征, 接下来进行的便是通过数量表征推出最后结果.由此可见, 优生在解决问题的过程中偏向于使用模型转化策略, 并且能将4种表征形式进行灵活转化.
而差生其文字表征和初级表征是先后建立的 (如读完题后再画图) , 并且在初级表征上耗时较长, 其注意力集中在问题的表面特征上, 没有深入到问题的本质, 而问题得不到解决的原因不在于初级表征, 而在深层表征上, 由于差生没有建立良好的知识结构体系, 他们常常不能有效的转化问题, 也不习惯在几种表征方式之间转换.所以表征停留在较浅层次的表征上, 在整个问题解决过程中表现偏向于使用直接转化策略.
从被试的作业分析中可以发现高一、高二、高三3个年级的学生在解题均存在思维定势, 思维定势既有积极的意义, 也有消极的影响.积极的思维定势能把学生已有的思维方式恰当的运用到新的数学情境中去, 帮助学生快速解题.消极的思维定势则把学生头脑中已有的思维方式不恰当的运用到新的数学情境中去, 不善于变换思考的角度.
4 结论
研究结果表明:高中学生对几何应用题的表征层次分4类:文字表征、形象表征、抽象表征、数量表征, 进行正确的深层表征是问题解决的关键.优差生表征层次存在差异, 优等生较侧重于深层次的表征, 倾向于使用模型转换策略, 差生停留在较浅层次的表征上, 倾向于使用直接转换策略.学生随着年级的升高, 表征层次也逐渐加深.学生在解题过程中都存在思维定势, 它可能对问题产生积极的影响, 也可能产生消极的影响.因此, 在数学问题中, 要善于运用多角度来创设数学情景, 对数学问题形成多角度, 全方位的分析, 从而使学生获得丰富全面的认识, 增强问题解决的能力.
摘要：本文以高中几何应用题为载体, 以口语报告法、作业分析法和访谈法对高中学生在几何应用题的表征层次进行探索和研究, 以及对不同水平学生的表征差异进行实证研究.结果表明:高中学生解决几何应用题的表征有4种层次———文字表征、形象表征、抽象表征、数量表征.不同水平学生在解决几何应用题上表征层次存在差异, 优生侧重于形象表征和数量表征, 而中等生则以文字表征和形象表征为主.另外, 高中生解几何应用题存在一定的思维定势.
关键词：几何应用题,解题能力,问题表征层次,思维定势
参考文献
[1]路会卿.谈数学应用题的分类[J].吉林教育, 2010, (2) :99.
[2]CHI M T H, FELTOVICH R G, GLASER R.Categorization and Representation of Physicsproblems by experts and Novices[J].CognitiveScience, 1981, 5:121-152.
[3]Simon H.A.人类的认知—思维的信息加工理论[M].荆其诚, 等译.北京:科学出版社, 1986.
[4]鲍曼.高中学生运用FDI认知方式解决数学应用问题的表征及策略关系研究[J].数学教育学报, 2002, 11 (3) .