几何证明题解题口诀

几何证明题解题口诀（精选12篇）

几何证明题解题口诀 篇1

几何证明题解题口诀

（作者：河南省唐河县刘军义）

几何做题很容易，证明过程写详细。数学原理巧运用，前后贯通有条理！题目信息不放过，必与结果有联系。学科符号用恰当，统一规范又适宜： 因为所以单点对，大小符号尖相抵； 图形符号缩字同，角线名称字母替。证理恰切书规范，美观整洁又得体！解释：

1、题目信息：指题目中给的证明条件。

2、结果：指要证明的内容。

3、因为所以单点对：指“∵”和“∴”竖写时情况。

4、尖相抵：指“＞”和“＜”横写时的情况。

5、图形符号缩字同：指“□”“◇”“△”等代替图形名称时占一个汉字的位置。

——作于2014年8月17日

几何证明题解题口诀 篇2

一、读题

1. 读题要细心, 有些学生一看到某一题前面部分有

似曾相识的感觉, 就直接写答案, 这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思, 题目让你求证的是什么都不知道, 这非常不可取, 我们应该逐个条件的读, 给的条件有什么用, 在脑海中打个问号, 再对应图形来对号入座, 结论从什么地方入手去寻找, 也在图中找到位置.

2. 要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记, 在读题的时候每个条件, 你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等, 就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记, 题目给出的条件不仅要标记, 还要记在脑海中, 做到不看题, 就可以把题目复述出来.

3. 要引申.

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来, 所以我们要会引申, 那么这里的引申就需要平时的积累, 平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固, 平时训练的一些特殊图形要熟记, 在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论, 然后在图形旁边标注, 虽然有些条件在证明时可能用不上, 但是这样长期的积累, 便于以后难题的学习.

对于读题这一环节, 我们之所以要求这么复杂, 是因为在实际证题的过程中, 学生找不到证明的思路或方法, 很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件, 而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

二、分析

指导学生用数学方法中的“分析法”, 执果索因, 一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生, 学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择, 以及相应的分析、综合、概括等认识活动, 思考、探究, 小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题, 有三种思考方式:

1. 正向思维.对于一般简单的题目, 我们正向思考, 轻而易举可以做出.

2. 逆向思维.

顾名思义, 就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题, 能使学生从不同角度、不同方向思考问题, 探索解题方法, 从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中, 逆向显, 数学这门学科知识点很少, 关键是怎样运用, 对于初中几何证明题, 最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了, 证明题不好, 做题没有思路, 那一定要注意了:从现在开始, 总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后, 不知道从何入手, 建议从结论出发.例如:可以有这样的思考过程:要证明某两个角相等, 那么结合图形可以看出, 有可能是通过证两条边相等, 等边对等角得出;或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等, 结合所给的条件, 看还缺少什么条件需要证明, 证明这个条件又需要什么, 是否需要做辅助线, 这样思考下去……我们就找到了解题的思路, 然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.

3. 正逆结合.

对于从结论很难分析出思路的题目, 我们可以结合结论和已知条件认真的分析, 初中数学中, 一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的, 所以可以从已知条件中寻找思路, 比如给我们某个角的角平分线, 我们就要想到会得到哪两个角相等, 或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形, 我们就要想到是否要做辅助线, 是作高, 或平移腰, 或平移对角线, 或补形等等的辅助线.正逆结合, 战无不胜.

三、书写过程

分析完了, 理清思路了.就要根据证明的思路, 用数学的语言与符号写出证明的过程.

证明过程的书写, 其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程, 对数学符号与数学语言的应用要求较高, 在讲解时, 要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合, 不能无中生有、胡说八道, 要有根有据!证明过程书写完毕后, 对证明过程的每一步进行检查, 是非常重要的, 是防止证明过程出现遗漏的关键.

四、巩固提高

课后布置相应的练习, 让学生及时巩固, 再现所学知识, 并利用类比的方法进行新知识的求解证明, 进一步掌握求解证明的方法技巧, 从而提高学生的能力.

以上就是我们研究的初中数学几何证明题“读”、“析”、“述”、“练”的教学模式.虽然实践表明:“读、析、述、练”这种几何证明题教学模式, 有助于激发学生学习证明题的兴趣;有助于学生数学解题水平的提高;有助于学生数学学习能力的发展.但我们在以后的教学过程中, 还将不断改进、不断完善, 以便能更有效地提高我校初中数学教学的效率.

初中数学几何证明题解题方法探讨 篇3

【关键词】树立信心  几何思想  答题思路  答题步骤

中图分类号：G4     文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058

几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。

一、树立面对几何证明题的信心

纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。

二、带领学生看图读图，培养几何思想

几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。

第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。

第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。

第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。

三、帮助学生理清答题思路

证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。

作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。

四、规范答题步骤

高中几何证明题 篇4

1、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6,OE//AD.D(I)求二面角BADF的大小；

(II)求直线BD与EF所成的角.AF图

5解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD

—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，2，0），B（32，0，0）,D（0，32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）所以，(2,32,8),(0,2,8)

cosBD,EFBD与01864EF 10设异面直线所成角为，则

cos|cosBD,EF| 10

10直线BD与EF所成的角为

2．（本题满分13分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；

（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

A1B

1C

1解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．

A1

ABC是正三角形，AEBC． 又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC

．1AE侧面BB1C1C．

B

C1

连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．……………2分 在RtAED中，tan45



AE

ED，解得x…………3分

此正三棱柱的侧棱长为……………………4分

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，AE侧面BB1C1C,AFBD．

AFE为二面角ABDC的平面角．……………………………6分 在RtBEF中，EFBEsinEBF，又

BE1,sinEBF

又AE

CDEF．

BD在RtAEF中，tanAFE

AE

3．…………………………8分 EF

故二面角ABDC的大小为arctan3．…………………………9分

解法2：（向量法，见后）

BD平面AEF,平面AEF平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG平面ABD．…………10分

在RtAEF中，EG

AEEF

AF



．…………12分 E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EGACB解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由C

．…………13分 10

ADB,D，易得平面ABD

平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由VCABDVABCD可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系

则AB(0,1,0),C(0,1,0),D(

设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．

yn10,由 得y0n02

取n1().…………6分



又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).…………7分

n1n2(6,3,1)(0,0,1)．…………8分 cosn1,n2

n1n21(6)2()21210

．…………9分 

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1(),CA(0,1…………10分

结合图形可知，二面角ABDC的大小为点C到平面ABD的距离d来源：（深圳家教）

(0,1,)(6,,1)(6)2(3)212

＝

初一几何证明题 篇5

1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。

A

B

D

C

2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

A

D

G

/

F

BEC

3.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。

D

P

/

C

OB

4.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

A

/

B

C

D

5.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。

A

B

C F D

E

6.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。

cd

a

b

7.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求

A

证：EF平分∠BED。

D

F

B

E

C8、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。

l3

l11 l2

4l59、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。

C

A

B10、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。

A

E

F

B G

C

H11、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900，求证：AE⊥DE，AB∥CD。

A

D

初中几何证明题 篇6

初中几何证明题

己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。

求证:BD+CE≥DE。

1.

延长EM至F,使MF=EM,连BF.

∵BM=CM,∠BMF=∠CME,

∴△BFM≌△CEM(SAS),

∴BF=CE，

又DM⊥EM，MF=EM,

∴DE=DF

而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°，

∴BD+BF>DF，

∴BD+CE>DE。

2.

己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。

求证:BD+CE≥DE

如图

过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF

因为CF//AB

所以，∠B=∠FCM

已知M为BC中点，所以BM=CM

又，∠BMD=∠CMF

所以，△BMD≌△CMF(ASA)

所以，BD=CF

那么，BD+CE=CF+CE……………………………………………(1)

且，DM=FM

而，EM⊥DM

所以，EM为线段DF的中垂线

所以，DE=EF

在△CEF中，很明显有CE+CF>EF………………………………(2)

所以，BD+CE>DE

当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE

综上就有：BD+CE≥DE。

3.

证明 因为∠DME=90°，∠BMD<90°，过M作∠BMD=∠FMD，则∠CME=∠FME。

截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。

易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME

所以BD=DF，CE=EF。

在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。

当F点落在DE时取等号。

另证

延长EM到F使MF=ME，连结DF，BF。

∵MB=MC，∠BMF=∠CME，

∴△MBF≌△MCE，∴BF=CE，DF=DE，

在三角形BDF中，BD+BF≥DF，

即BD+CE≥DE。

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的`方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

几何证明题解题口诀 篇7

一、设而不求, 整体化归

通过巧设坐标或参数, 应用性质进行化归, 整体消元, 绕开复杂的运算过程, 从而使问题得到迅速解决。

例1. (2011高考模拟) 如图1, 已知椭圆x2+2y2=8和定点P (4, 1) , 过P作直线交椭圆于A、B两点, 在线段AB上取点Q, 使AP/PB=-AQ/QB, 求动点Q的轨迹方程。

分析:B、Q、A、P在同一线段上, 且AP/PB=-AQ/QB, 故可设AP/PB=k, 于是B、Q、A、P坐标之间的联系就找到了, 把B、A点的坐标及k设而不求, 通过消元的办法找出Q点坐标的关系式, 即求出Q点的轨迹方程。

解:设Q (x, y) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , AP/PB=k, 则

两式相加得

所以Q点的轨迹方程为2x+2y=4 (在已知椭圆内)

点评:通过坐标或参数设而不求, 巧妙化归, 整体消元, 解题过程变得顺畅、完美。

例2. (2010高考模拟) P0 (x0, y0) 是双曲线的上的一点, 过点P作两渐近线的平行线, 分别与另一渐近线交于Q、R, 求证四边形ORPQ的面积为定值。

点评:本题巧设三角参数, 结合直线斜率与三角参数的关系, 通过转化后整体消元达到目的, 考查学生知识的迁移能力和整合能力。

例3. (2012年深圳二模20题) 如图6, 已知动圆M过定点F (0, 1) 且与x轴相切, 点F关于圆心M对称点为F′, 动点F′的轨迹为C。

(1) 求曲线C的方程; (略)

(2) 设A (x0, y0) 是曲线C上的一个定点, 过点A任意作两条倾斜角互补的直线, 分别与曲线C相交于另外两点P、Q。证明:直线PQ的斜率为定值。

解 (2) 由题意, 直线AP的斜率存在且不为零, 如图。

设直线AP的斜率为k (k≠0) , 则直线AQ的斜率为-k。

因为A (x0, y0) 是曲线C:x2=4y上的点,

点评:利用直线AP的斜率与直线AQ的斜率互为相反数的关系, 设而不求, 化归消元, 简化运算, 直达目标, 一气呵成。

二、设而不求, 巧用韦达定理

利用韦达定理将设出的坐标转化为可取得联系的式子, 通过有关性质进行设元消元, 达到目的。

例4. (2011北京高考) 已知椭圆, 过点 (m, 0) 作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A, B两点。

(I) 求椭圆G的焦点坐标和离心率;

(II) 将|AB|表示为m的函数, 并求|AB|的最大值。

解析: (Ⅰ) 由已知得a=2, b=1所以所以椭圆G的焦点坐标为

当|m|>1时, 设切线l的方程为y=k (x-m)

设A、B两点的坐标分别为 (x1, y1) (x2, y2) ,

例5. (2012北京高考) 已知曲线C: (5-m) x2+ (m-2) y2=8 (m∈R) ,

(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆, 求m的取值范围;

(2) 设m=4, 曲线C与y轴的交点为A, B (点A位于点B的上方) , 直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N, 直线y=1与直线BM交于点G。求证:A, G, N三点共线。

点评:此题难度在于运算, 思维含量适中, 对学生来讲易于解答。

三、设而不求, 代点相减

在解答平面解析几何中的某些问题时, 如果能适时运用点差法, 可以达到“设而不求”的目的, 同时, 还可以降低解题的运算量, 优化解题过程。

例6. (2011高考模拟) 抛物线x2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0 (常数p、q∈R) 的两个实根, 求直线AB的方程。

解:设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 则x12=3y1 (1) ;x12+px1+q=0 (2) 。

由 (1) 、 (2) 两式相减, 整理得px1+3y1+q=0 (3) ;同理px2+3y2+q=0 (4) 。

∵ (3) 、 (4) 分别表示经过点A (x1, y1) 、B (x2, y2的直线, 因为不共线的两点确定一条直线。

∴px+3y+q=0, 即为所求的直线AB的方程。

例7. (2010高考模拟) 过椭圆x2+4y2=16内一点P (1, 1) 作一直线l, 使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分, 求直线l的方程。

解:设弦的两端点为P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2) , 则x12+4y12=16, x22+4y22=16,

两式相减, 得 (x1-x2) (x1+x2) +4 (y1-y2) (y1+y2) =0,

∵x1+x2=2, y1+y2=2, ∴等式两边同除 (x1-x2) ,

有2+8k=0∴k=-0.25

故直线l的方程为y-1=-0.25 (x-1) , 即4y+x-5=0。

点评:这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

浅议几何证明题教学策略 篇8

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-084-01

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。如何针对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

蘇教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。

参考文献：

[1] 吴 卫.浅谈初中几何教学中直觉思维的培养[J]. 现代教学，2010（6）.

[2] 张奠宙.平面几何教学的回顾与前瞻[J].数学教学，2011（5）.

[3] 辛星林.基于初中几何证明题教学的引导[J]. 中小学数学（初中版）.2014（10）

[4] 张震康.浅谈几何证明方法及思路[J].语数外学习（数学教育）. 2012（04）

初中数学几何证明题 篇9

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可龋我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单)，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

几何证明题解题口诀 篇10

1、(肇庆2010)(8分)如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．

E

C2、（深圳2010）（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．

（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）

（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）

O

图8

A

二、平行四边形、特殊的平行四边形

1、（广州2010）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．

求证：∠A＋∠C＝180°

2、（佛山2010）已知，在平行四边形ABCD中，EFGH分别是AB、BC、CD、DA上的点，B F C3、(湛江2010)(10分)如图，在□ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．

求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)AE∥CF． D

C

4．(肇庆2010)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1＝∠2．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BOC＝120°，AB＝4cm，求四边形ABCD的面积． D5、（汕头2010）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

且AE=CG，BF=DH，求证：AEH≌CGF

E

B

C

第20题图

6、（茂名2010）如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，C 过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．

(1)证明：△OAB∽△EDA；

(2)当a为何值时，△OAB≌△EDA？*请说明理由，并求此时点 BD C到OE的距离．

O A E图

1C

D

B

O A E

图

27．（梅州2010）如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：PE＝PF；

(2)*当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；

AP

3(3)*若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且．求此时∠A的大

BC2小．

N

三、梯形

1．（深圳2006）如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC, ABDCAD，ADC120．（1）（３分）求证：BDDC

证明：

（2）（４分）若AB4，求梯形ABCD的面积． 解：

B

C2、（08年深圳中考）如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E． AB（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

EDC

图

5四、直角三角形的边角关系的应用

1．(湛江2010)如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD＝60º．求此时风筝离地面的高度（精确到0.1m，3≈1.73）．

2．（深圳2009）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米． 试求旗杆BC的高度．

D

A3、（深圳2007）如图5，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向



平面几何证明题教法新探 篇11

一、注重文字语言题，培养学生阅读理解能力

初学平面几何证明题的学生，对一个命题中条件与结论往往不能准确区分，证明时可能随意增加一些条件，或者证明出一些与问题无关的结论。因此培养学生区分命题的条件和结论是培养学生推理论证的先决条件。要使学生知道每个命题都可以分为条件和结论两部分，条件是命题中的已知部分，而结论是从命题所提出的条件，经过推理而得到的事项。所有命题都能写成“如果……那么……”的形式，即命题的条件部分用“如果”这个词开始，而结论部分用“那么”这个词开始。有的命题是由几个条件和几个结论组成的。例如：等腰三角形（条件一）顶角的平分线（条件二）平分底边，（结论一）并且垂直于底边（结论二）。在平面几何学习的启蒙阶段，就要坚持启发学生对命题的构成进行分析，这样既能帮助学生理解命题的意义，又能提高其充分利用条件推理论证的能力。

二、注重观察几何图形，培养学生的识图和抽象能力

几何命题是从几何图形的本质特征中抽象概括出来的，一旦完成了这种抽象概括，用准确的文字语言给出命题后，应根据命题准确地作出图形，然后通过对图形的观察和抽象去发现，分析、推测命题中的条件与所学过的公理、定理的内在联系，并运用有关的公理、定理去论证命题中的结论。学生的抽象能力反映在作图、看图能力上，看图能力就是把复杂图形剖析成简单图形，并根据简单图形的内在联系判断图形中的已知条件，在培养学生的作图、看图能力上多花一些工夫，对提高学生的证明题能力是十分有益的。为此在这方面利用形象的举例、恰当的表情和手势，准确、合理地画图，规范的论证和清楚的板书等能起到直观教学的作用。

三、注重几何图形画法，培养学生规范地用字母、数字、符号写出已知、求证

目前，虽然许多证明题都画出了图形，写出了已知、求证，只要进行分析、证明即可。但也常遇见文字语言题，需要准确地作出图形、写出已知、求证，这是教学的重点，也是教学的难点，又是完成证明题的一个重要环节，教师应有计划、有步骤地使学生掌握常用的几何术语。正确使用几何术语是提高推理论证能力的一个重要方面，也是规范地写出已知、求证的基础。例：自等腰三角形顶点向两底角的平分线所引的垂线相等。

四、注重证题思路分析，培养学生分析问题与解决问题的能力

用分析法寻找思路。分析法是执果索因，即从求证的结论入手，根据已有的定义、公理和定理，需哪些条件，能使这个结论的成立。在教学中，教师要教给学生掌握“化难为易”、“化繁为简”的证题思路。

初学证明题的学生，遇到较为繁难的问题，就感到千头万绪，无处下手。这是初学证明题时的一道难关。若让学生逐步学会“化难为易，化繁为简”的分解方法，这个难关是可以逾越的。在教学中，教师应经常地有计划地选入适量的、学生力所能及的、较难的例题，把它分解成若干简单的题，化整为零，各个击破，然后再集零为整，由简到繁，回到原题的证明上来。

五、注重过程分析及证明，培养学生逻辑思维、正确地叙述、规范书写的能力

学生开始写证明时，往往逻辑性较差，说不清楚，写不正确，颠三倒四，不能保持推理的逻辑性，甚至遗漏或增加某些步骤，填注理由，也往往漏填错填。因此培养学生推理论证能力的另一个重要方面，是使学生明确证明过程的书写要求，培养正确地思考，正确地叙述以及正确地书写的能力。教师在讲课中要做出示范。在学生开始自己写出全部过程时，要求他们每一步都注上理由，并使学生知道每一个的说明习惯后，才可以注明或不注明部分明显的理由。在证明过程的书写中，还要注意要求学生掌握基本的推理形式“因为……所以……”各部推理之间要有一定的逻辑顺序和逻辑联系，防止在写证明时，不管什么情况一开始就把全部已知条件都写上，因此，教师要注意引导，逐步培养学生规范证明格式和证题技巧，不能操之过急，要求过高。

立体几何题证明方法 篇12

1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

(1)证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。(2)证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。(3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若，则 的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]： 是异面直线，则过l外一点P，过点P且与l 都平行平面有一个或没有，但与 l距离相等的点在同一平面内.（或 在这个做出的平面内不能叫 与 l平行的平面）

3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行”）[注]：①直线l与平面内一条直线m平行，则l∥m.（×）（平面外一条直线）②直线 l与平面 内一条直线m相交，则 l与平面相交.（×）（平面外一条直线）

③若直线l与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

⑥直线l与平面、 所成角相等，则（、可能相交）∥.（×）

（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

4.平面平行与平面垂直.（1）.空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（4）.两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱侧面积：（c为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（c是斜棱柱直截面周长，h 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}.{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

（2）.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长c，斜高为h）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）

注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：.②球的体积公式：.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度.附：①圆柱体积：（r为半径，h为高）②圆锥体积：（r为半径，h为高）

③锥体体积：（为底面积，为高）

（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,.注：球内切于四面体：。

②外接球：球外接于正四面体，一、经典例题剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．

4、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC，求三棱锥P-ABC的体积.B

1P

B AD题3题4（第7题）

5、弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD外一点

F满足FC平面BED,FB=a（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.6．如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，CC1平面ABC，BC4，AB5,AA14，点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面

CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积。

7、如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD（1）证明：BD平面SAC；

（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；

（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。

8．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体0ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.（第题）（第9 题）

9．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,AB2，tanEAB（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记ACx，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；（3）当V(x)取得最大值时，求证：AD=CE．

10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1C1EBC1AB1．

2（Ⅰ）求证：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求证：平面D1B1E平面DCB1；（Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．

11、如图（1），ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．

（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积．

AA

DM

BBB

CC（第12题）（第11题）（第13题）11

112.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1．（1）求证：AB//平面PCD；的中点，求三棱锥M—ACD的体积．（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC

BC3.13.如图,在三棱柱ABCA侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点, A1B1C1中，1AAB2,（1）求证：AB1//平面BC1D；(2)求四棱锥BAAC11D的体积.13．如图，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

14．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE；(Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积.C