几何证明选讲目录

几何证明选讲目录（精选7篇）

几何证明选讲目录 篇1

几何证明选讲

2007年：

15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的 垂线AD，垂足为D，则DAC

A

2008年：

15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB=1，则圆O的半径R=

图

4l

2009年：

15.(几何证明选讲选做题)如下图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30，则圆O的面积等于

o

2010年：

14．（几何证明选讲选做题）如上图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=2

2011年：

15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，AB//CAD,B4,CD2,分别为E,F，上的点，且ADBC，

3EF，EFAB

则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

A

2012年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，PBADBA，若ADm,ACn，则AB

图3

2013年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD

中，ABBC3，BEAC，垂足为E，则ED

图3

几何证明选讲目录 篇2

中学数学新课标将原初中平面几何中的部分内容, 移到高中作为选讲内容.其中有些是现行初中课标教材删减的内容, 如:直角三角形中的射影定理, 圆的弦切角、相交弦、切割线定理.查阅2009年实施课标高考的各省平面几何选作题, 发现初中生也都能做.

例1 (2009年广东文) 如图1, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=30°, 则圆O的面积等于__.

解法1: (利用圆周角与圆心角的关系) 连结OA、OB, 因为∠ACB=30°, 所以∠AOB=60°, △AOB为等边三角形.因此圆O半径 r=OB=AB=4, 从而圆O的面积S=πr2=16π.

解法2: (用三角形中的正弦定理) 设△ABC外接圆圆O半径为 r, 则由正弦定理有

$2r=\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{4}{\sin 30°}=8$,

得 r=4.故圆O面积S=πr2=16π.

例2 (2009年广东理) 如图2, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=45°, 则圆O的面积等于__.

简析:可参考例1的两种解法, 求得圆O的半径$r=2\sqrt{2}$, 则圆O面积为8π.

点评:以上两例, 在初中平面几何中也属于基本题.可见高考题中的题目也有简单题, 甚至连初中生也很容易做出.

例3 (2009年江苏卷) 如图3, 在四边形ABCD中, △ABC≌△BAD.求证:AB//CD.

证明1:由△ABC≌△BAD, 得∠ACB=∠BDA, 则A、B、C、D四点共圆, 因而∠CAB=∠CDB.

再由△ABC≌△BAD, 又得∠CAB=∠DBA.

所以∠CDB=∠DBA, 从而AB//CD.

证明2:同上证得A、B、C、D四点共圆, 得∠ADC+∠ABC=180°.

又由全等三角形得∠DAB=∠ABC,

则∠ADC+∠DAB=180°, 所以AB//CD.

点评:证明1和证明2的关键是利用了四点共圆, 则同弧所对的圆周角相等.再由内错角或同旁内角的方法证得两线平行.实际上, 本例还有多种证法, 如分别由两个全等三角形的顶点C、D作底边AB上的高, 由高相等, 立得结论;又如过对角线的交点作AB的垂线, 可证四边形关于这条垂线成轴对称.

例4 (2009年宁夏海南) 如图4, 已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H, ∠B=60°, F在AC上, 且AE=AF. (1) 证明:B、D、H、E四点共圆; (2) 证明:CE平分∠DEF.

证明: (1) 在△ABC中, 由∠B=60°, 知

∠BAC+∠ACB=120°.

又AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠ACH=60°, 则∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EHD+∠B=180°, 所以B、D、H、E四点共圆.

(2) 由B、D、H、E四点共圆, 得∠AHE=∠B=60°.

再连结BH, 知BH平分∠B, 则

∠HED=∠HBD=30°.

又由AE=AF, AH平分∠EAF, 得AH⊥EF, 则∠HEF=30°.

可见∠HED=∠HEF=30°, 所以CE平分∠DEF.

点评:对于 (1) 小题, 也可利用三角形的外角关系来证∠BDH+∠BEH=180°.另外, (1) 小题的结论为 (2) 小题的证明提供了重要条件, 这是系列问中常见的情形.应注意在解证后一小题时, 不要忽视前一小题的结论.

例5 (2009年辽宁省) 如图5, 已知△ABC中, AB=AC, D是△ABC外接圆劣弧$\stackrel{⌢}{AC}$上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E. (1) 求证:AD的延长线平分∠CDE; (2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为$2+\sqrt{3}$, 求△ABC外接圆的面积.

解: (1) 由条件知ABCD是圆内接四边形, 则∠CDF=∠ABC, ∠EDF=∠ADB=∠ACB.

又AB=AC, 知∠ABC=∠ACB, 故∠CDF=∠EDF, 从而AD的延长线DF平分∠CDE.

(2) 如图6, 设△ABC外接圆的圆心为O, 连结AO并延长交BC于H.由AB=AC, 知AH⊥BC.连结OC, 则∠OCA=∠OAC=15°.又∠ACB=75°, 则∠OCH=60°.设圆半径为 r, 则${\rm O}{\rm H}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$.由$r+\frac{\sqrt{3}}{2}r=2+\sqrt{3}$, 得 r=2.从而外接圆面积为4π.

评析:上述各例都与圆有关.这是因为圆可与全等三角形, 相似三角形, 四边形等知识交汇, 构建成综合性较强的试题, 从而能较全面地考查学生分析探究、综合归纳、逻辑推理能力.下面一组高考题供研习.

1. (2008年广东) 已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA=2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B, PB=1, 则圆O的半径R=__.

2. (2008年宁夏、海南) 如图7, 过圆O外一点M作它的一条切线, 切点为A, 过点A作直线AP垂直直线OM, 垂足为P. (1) 证明:OM·OP=OA2; (2) N为线段AP上一点, 直线NB垂直直线ON, 且交圆O于点B.过点B的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.

3. (2008年江苏) 如图8, 设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E, ∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.

4. (2007年广东) 如图9, 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点, BC=3.过C作圆的切线 l, 过A作 l 的垂线AD, AD分别与直线 l、圆交于点D、E, 则∠DAC=__, 线段AE的长为__.

5. (2007年宁夏、海南) 如图10, 已知AP是⊙O的切线, P为切点, AC是⊙O的割线, 与⊙O交于B、C两点, 圆心O在∠PAC内部, 点M是BC的中点. (1) 证明A, P, O, M四点共圆; (2) 求∠OAM+∠APM的大小.

练习题提示与答案:

1.连AB, 用特殊直角三角形;也可用切割线定理.答:$\sqrt{3}.$

2.用直角三角形中射影定理.

3.用切割线定理.

4.用Rt△AEB≌Rt△BAC, 30°, 3.

5. (1) 连OP、OM, 用对角互补; (2) 90°.

4-1 几何证明选讲”简介 篇3

人民教育出版社 章建跃

几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今为止还没有其他课程能够替代几何的这种地位。另外，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养学生的创新意识也非常有利。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想象能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。

一、内容与要求

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。

2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。

5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会圆锥曲线的来历，并能证明交线为椭圆时的一些几何性质（如椭圆的焦点、准线、离心率e，等等。）

二、内容安排及说明

1．本专题分三讲，共18课时，具体分配如下（供参考）：

第一讲 相似三角形的判定及有关性质约６课时

第二讲 直线与圆的位置关系约８课时

第三讲 圆锥曲线性质的探讨约３课时

学习总结报告约１课时

2．知识框图

3．对内容安排的说明

上述内容的安排，注重了知识系统性与逻辑性．第一、二、三讲的内容相对独立，每一讲的内容自成体系，都依托于自身的逻辑起点而展开：第一讲以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用；第二讲以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理；第三讲以“平行射影”为起点，充分利用图形直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中没有涉及的内容．

同时，三者之间又有紧密的逻辑联系。例如，在讨论“与圆有关的比例线段”（相交弦定理、割线定理、切割线定理）时，用到了相似三角形的判定定理；证明第三讲中的定理

1、定理2时，用到了切线长定理．这样就形成了一个系统的知识体系．这个系统中的知识点，由逻辑关系相互关联而形成紧密的联系．

三、编写中考虑的几个问题

几何证明是培养学生逻辑思维能力的一条重要途径．围绕训练学生逻辑思维能力、发展空间想像能力的目标，本专题在编写过程中着重考虑了如下几个问题。

1．突出数学思想方法的渗透和理解

本专题中的主要数学思想方法包括：特殊化思想方法、化归思想方法、分类思想方法、运动变化思想方法，涉及到观察、实验、猜想等合情推理的方法，也涉及到演绎推理、反证

法、同一法等逻辑推理的方法．

我们知道，数学思想方法内涵于数学概念、公式、法则、定理、定义、公理等之中，是一种隐性知识。数学思想方法的教学讲究的是以知识为载体，在知识的教学过程中渗透与领悟、形成和发展．所以，在本专题内容的编写过程中，精心设计了数学思想方法的逐步渗透和理解过程。

例如，在“平行线等分线段定理”“平行线分线段成比例定理”的讨论中，教科书安排了如下过程：

首先，通过一组实例，采用“操作确认”的方法，让学生在观察、测量的基础上用合情推理发现结论，得出猜想．这个过程渗透了从特殊到一般、化归等方法。

在获得“平行线等分线段定理”的猜想后，又分如下步骤进行证明：先讨论特殊情形——直线构成平行四边形；再讨论一般情形——将一般情形化归为特殊情形。

在获得“等分”情形下的证明后，再推广到“非等分”，即“成比例”的情形。而“平行线分线段成比例定理”的证明采用“非等分”化归谓“等分”的方法。

上述过程，渗透了如下思想方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法；化归——先解决特殊位置关系下的证明，再把其他情形化归道特殊情形上。在内容的安排上，使合情推理与逻辑推理相得益彰，以使教材更加符合学生的认知规律。

又如，“弦切角定理”貌似简单，但它蕴含了非常丰富的数学思想方法的教育素材，教科书对此进行了充分挖掘。教科书先用运动变化的思想，从圆内接四边形运动到极端情形（有两个顶点重合），由“圆内接四边形的外角等于它的内对角”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”；获得猜想后，应用分类思想，把弦切角分为三类（以弦过圆心为分界点），先证明弦过圆心时命题成立，再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形。可以看到，在弦切角定理的内容展开过程中，渗透和明确了运动变化思想、特殊化思想、分类讨论思想、化归思想。这样一个定理的学习可以使学生接触和体会到如此众多的思想方法，说明弦切角定理内涵的数学思想方法的丰富性，它在数学思想方法教育中的地位的重要性。

2．强调知识的发生发展过程，培养学生的数学探究能力

我们知道，正确的数学结论的形成一般都需要经历“发现”和“证明”两个主要阶段，这两个阶段都具有“过程性”。为此，教科书在几何定理的引入和证明中都突出了其发生发展过程。教科书在融合知识的发生发展过程和学生的认知过程的基础上，通过展示“过程”，引导学生领悟定理产生的背景，经历知识发展的过程，从而提高学生观察问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生的数学探究能力。

例如，圆内接四边形的性质与判定定理，教科书安排了这样的过程：首先通过“思考”，类比“任意三角形都有外接圆”，提出“任意四边形是否都有外接圆”的问题，再引导学生从正方形、矩形等特殊四边形出发，考察内接于圆的四边形会有怎样的共同特征，从而得出圆内接四边形性质的猜想和证明。在得出性质定理后，再考察其逆命题是否成立，即证明圆内接四边形的判定定理。在证明过程中，应用分类思想对对角互补的四边形与圆的位置关系进行讨论，在每一种情形中都运用了反证法。这一过程的展示与以往教科书的编写有很大的不同：首先，知识的发生是在类比“任意三角形都有外接圆”而提出的，做到了自然而水到渠成；其次，从性质到判定，因为有较多的条件可以使用，使学生容易发现四边形内接于圆时的特征，再考察其“逆定理”——判定定理，就有更好的方向了，这就使认知台阶适合于学生的已有认知基础；再次，性质定理的考察中，运用了从特殊到一般的思路，因为正方形、矩形等特例中包含了更强、更突出的信息，使学生更容易发现相应的特点，为圆内接四边形性质的发现奠定了很好的基础，再推广到一般情形就容易了；第四，因为判定定理的证明中要同时用到分类讨论和反证法，这对学生来说比较困难，因此教科书采取启发式讲授法，先讲解定理的证明，再归纳总结思想方法；最后，让学生独立证明判定定理的推论。可以相信，在教科书的引导下，学生能够比较牢固地掌握圆内接四边形的判定定理和性质定理。

3．加强推理能力的培养

由于义务教育阶段在几何证明方面的要求降低，所以他们的推理能力的发展需要通过本专题的学习进行适当加强。如何在不进行大运动量的推理训练的前提下，用“课程标准”规定的内容训练学生的推理技能，提高他们的推理能力，也是教材编写过程中重点考虑的一个问题。

这里的“推理”即包含逻辑推理，也包含合情推理。众所周知，学习几何的主要目的之一是对学生进行比较严格的逻辑演绎法训练，还要使他们学会使用综合性的思维方法。几何问题的处理，不仅要用到许多几何概念、定理等专门知识，而且还要用到各种不同的推理形式、思维策略，还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法。在几何学习中，除了运用逻辑推理以外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理。所以集合学习中的思维是综合性的。也是如此，使得几何学习具有特殊的魅力，在培养学生推理能力中发挥了很重要的作用。

为了培养学生的推理能力，教科书采取了如下措施：

首先，加强几何定理的产生过程，使合情推理的成分得到有效渗透，使学生在得到几何定理的猜想中训练合情推理能力；

其次，给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程的示范，让学生有学习和模仿的范例；

再次，及时总结推理方法，概括推理思想，如分析法、综合法、反证法、同一法等，以及分类思想、化归思想、猜想与证明、从特殊到一般等等。

总之，本专题一方面在几何定理的呈现上突出过程性和探究性，让学生体会定理发现过程中的合情推理方法；另一方面在定理的证明、例题乃至一些习题中，积极渗透逻辑推理与合情推理相结合的思想，使学生有更多的机会应用综合思维进行推理的训练。

4．加强几何直观能力的培养

几何学有几何直观作为基础，因此，发现和证明几何定理需要依赖图形直观，而且学生的几何直观（空间想象）能力也能在这个过程中得到锻炼和提高。

为了培养学生的几何直观能力，教科书采取了如下几条措施：

首先，强调在直观图形背景中的直观思考，给学生提供观察图形、建立联系、获得几何定理猜想的基础。例如，在学习习近平行线等分线段定理时，首先给出一组图形，通过直观可以明显感知到“等分”的特征，从而为形成猜想打下基础。

其次，强调运动变化过程中的图形直观，引导学生观察运动过程中图形的不变性。例如，在“与圆有关的比例线段”中，通过平移、旋转等，观察图形变化过程中的特征，把相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理等统一在图形的变化过程中，不仅获得了定理，而且形成了联系，使学生建立起结构功能良好的“与圆有关的比例线段”的认知结构。

再次，在从平面到空间的推广过程中，通过图形的变异提供图形直观的机会，加强空间想象能力的培养。例如，在熟悉了平行线分线段成比例定理后，引导学生观察它的“空间推广图形”，其目的就是要求学生观察、想象出空间两条直线“共面”和“异面”两种可能位置关系对“等比”的影响。这个过程对学生的几何直观和空间想象能力的培养是很有好处的。

四、教学建议

1．把握教学要求，控制教学难度

本专题的教学目的是通过证明一些反映圆与直线关系的重要定理，以及对圆锥曲线性质的探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力，并不是要对几何证明进行全面的复习和提高，因此，教学中一定要注意控制难度，不在几何难题上做文章。应当把重点放在引导学生探索教科书中给出的平行截割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等几何定理的探究和证明上，使学生通过这些定理的探究，进一步学习几何证明的基本方法，培养数学能力。

2．加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处

高二数学几何证明选讲考点分析 篇4

一、几何证明选讲考点分析

①相似三角形的定义与性质；

②平行线截割定理；

③直角三角形射影定理；

④圆周角与圆心角定理；

⑤圆的切线的判定定理及性质定理；

⑥弦切角的性质；

⑦相交弦定理；

⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理；

⑨切割线定理；

但各地试卷对几何证明选读内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知识。特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频率极高。

2008年：

2009年：

2010年：习题2.4(1)及2.5例

52011年：2.2例

2三、命题方法实例剖析

几何证明选讲高考试题大多以课本中的例题、习题等为源题变化而来而来。这些题目中一些是利用课本 结论，赋予具体的数值而得到，可视为课本源题重现；一些题目是把题目中的条件或结论稍加得到，试题结构并没有改变，可视为课本源题简单变形；还有一些试题的主体结构和课本题目基本一致，但仅从题目外形很难将两者联系起来，可视为课本 源题深层次变形。

⒈课本源题重现：

（2010年广东省高考理科第14题）如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝

______________.2a，∠OAP＝30°，则CP＝

3无锡物流公司dbfq

源题：如图所示，点P为圆O的弦AB上的任意点，连结PO.PC⊥OP，PC交圆于C.求证：PA∙PB＝PC2（P40，习题2.5第3题）

此两题外形基本一致，两题的结构完全相同，该试题在其源题的结论基础上赋予了具体的数值而得到，是一种结论特殊化的过程。

⒉课本源题简单变形

（2010年陕西省高考（文）第15B题）如图，已知RT△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_________________

源题：如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD＝2，DB＝8，求CD、AC和BC的长（P21，1.4例1）

从命题的角度看，两题的外形稍有不同：在源题中，圆是以直角三角形的斜边为直径，在该试题中，圆是以直角三角形的直角边为直径。其相同之处，两题原理一致，本质直角三角形射影定理，只是射影定理的条件的推导方式不同。该试题是在其源泉题的基础上，把试题的条件圆心，本质内容不变，采用了变换条件的办法。该试题可视为课本源题的简单变形。

⒊课本源题深层次变形

（2010年广东省高考（文）第14题）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝

则EF＝________________

无锡物流公司dbfq a，点E、F分别为线段AB、AD的中点，2源题：如图，OA是圆O的半径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AB相交于D，求证：D是AB的中点（P26，习题2.1第1题）

分析命题方法，两题貌似毫无关联，实际上问题结构有共同之处。在源题中，连结OD、BE，很容易看出四边形OBDE为直角梯形，再取OE、BE中点分别为F、G，连结OB，显然GF＝OBOE＝。至此，可见梯形可以不要求OE＝2

2BE，这个对试题的结论不会产生影响。梯形ODBE内部结构是该试题结构的加强，该试题是从源题的问题结构中提出，并将其特殊化而得到的。

四、对教学的启示：

⒈试题对几何证明选讲内容的考查虽然考点多，但从各省市的试题来看，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主，可以说考查难度并不大，所以教学时我们不需要有太多的顾虑；

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难，这样，他们考试时对此部分的试题应该有把握正确解答；

⒊教学中应该紧扣课本中的例习题进行教学，要重视各个定理的教学，使学生弄清楚来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法；

⒋教学中要重视对课本例习题的拓展，要结合课本中的例题引导学生进行探究，特别是对题目条件、结论进行改编，将其特殊化或一般化，形成新的猜想，获得一些新的结论，在探究中提升学生对问题本质的理解，只有通过这样的训练，学生在解答高考试题时才能游刃有余；

⒌教师应该阅读《几何原本》等书籍，对教材中给出的一些定理、例习题的历史地位及重要作用要有一定的认识，使自己的教学能够站在一定的高度之上，只有这样，才能对高考的命题有更进一步的认识，才能在教学中对高考有更充分的准备。

兰州五十七中 汤敬鹏

几何证明选讲目录 篇5

一、填空题:

1.(2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

若CE与圆相切,则线段CE的长为.2【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DFAFFB,2即8x2,即x21722,由切割线定理得:CEEBEA7x,所以CE.442．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．

5【答案】.7

【解析】由题得EF是梯形的中位线，S梯形ABFE

S梯形EFCD1(23)h5 17(34)h23.（2011年高考陕西卷文科15)B.（几何证明选做题）如图，BD,AEBC,ACD900,且AB6，AC4，AD12,则AE=_______.【答案】

2【解析】：RtABERtADC所以

即AEABAE，ADACABAC642 AD12

二、解答题：

4.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)，第21-A图

圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。证明：由弦切角定理可得AO2CAO1B,ABO1Br1 ACO2Cr

5.（2011年高考全国新课标卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知C

EAEm,ACn,AD,AB

为方程x14xmn0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆； 2D第22题图

（2）若A90,m4,n6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

6.（2011年高考辽宁卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。

（I）证明：CD//AB；

几何证明选讲目录 篇6

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D

是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大

小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与

圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝3，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圆

O的直径为4.tan ∠AOP答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

几何证明选讲目录 篇7

高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理.方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几方面：