如何做几何证明题专题

如何做几何证明题专题（精选8篇）

如何做几何证明题专题 篇1

如何进行初中几何证明题的教学

俗话说：“几何学、叉叉角角，老师难教、学生难学”我从多年的教学中得到：初中几何证明题即是学习的重点，又是难点。很多同学对几何证明题，不知从何做起，甚至部分同学知道了答案，但不知道怎么得出，叙述不清楚，说不出理由。对逻辑推理的过程几乎不会写，这样使大部分的学生失去了学习的信心。虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁，一切从简。但要求做到摆事实、讲道理的论证方法，方能完整。怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢？笔者根据多年的教学经验在教学中是这样做的：

树立学生的自信心

初中生具有可塑性，他们的心理是易改变的，教师要抓住他们的心理特征，对他们进行思想品德教育，树立学习的自信心。在教学中认真分析几何知识的重要性，并例举实际生活中的问题，用几何的知识来解决，引导学生掌握学习初中几何的学习方法，从而激发学生的学习兴趣，消除学生学习几何的障碍，树立学生学习的自信心。

格要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论

公理、定理、性质、判定、推论是过程中讲道理的依据学生要有充足的理论依据，才能准确无误地进行推理论证。因此，必须要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论，但在教学的过程中要让学生理解记忆，不要死记硬背，否则记住也不会应用。

大胆让学生说过程、说结论

很多同学在求解几何题是，只知道答案，不只从何得出，这时教师要启发学生，你的结果是怎样得来的？让学生探讨、合作交流，从结论到已知进行叙述，让学生大胆地说过程、说结果，教师做相应的补充、说明，理清整个思路，但不忙写出推理的过程，再让“中、差”生进行说过程，让80/00以上的学生都会叙述，让学生根据自己叙述的过程书写推理的过程，向学生说明这就是求解的过程，这时，学生的积极性高涨，也知道这求解的过程原来就是这样简单，从而激发学生学习的兴趣。

开阔学生视野、扩散学生思维

几何证明题都具备几种不同的求解证明方教师在教学时，要充分发挥学生的潜能，发散他们的思维，让他们大胆创新，寻找不同的路径进行求解证明，掌握一题多解的方法，让学生把几何学活、用活。

巩固提高、引申应用

“温故而之新”要把所学的知识进行复习巩固提高，课后布置相应的练习，让学生及时巩固，再现所学知识，并利用类比的方法进行新知识的求解证明，进一步掌握求解证明的方法技巧，从而提高学生的能力。

总之，初中几何求解证明题是整个初中的重点，又是难点，教学的方法形式多样，教师要采用有效的方法，才能提高学生解题的能力。

如何做几何证明题专题 篇2

一、读题

1. 读题要细心, 有些学生一看到某一题前面部分有

似曾相识的感觉, 就直接写答案, 这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思, 题目让你求证的是什么都不知道, 这非常不可取, 我们应该逐个条件的读, 给的条件有什么用, 在脑海中打个问号, 再对应图形来对号入座, 结论从什么地方入手去寻找, 也在图中找到位置.

2. 要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记, 在读题的时候每个条件, 你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等, 就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记, 题目给出的条件不仅要标记, 还要记在脑海中, 做到不看题, 就可以把题目复述出来.

3. 要引申.

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来, 所以我们要会引申, 那么这里的引申就需要平时的积累, 平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固, 平时训练的一些特殊图形要熟记, 在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论, 然后在图形旁边标注, 虽然有些条件在证明时可能用不上, 但是这样长期的积累, 便于以后难题的学习.

对于读题这一环节, 我们之所以要求这么复杂, 是因为在实际证题的过程中, 学生找不到证明的思路或方法, 很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件, 而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

二、分析

指导学生用数学方法中的“分析法”, 执果索因, 一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生, 学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择, 以及相应的分析、综合、概括等认识活动, 思考、探究, 小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题, 有三种思考方式:

1. 正向思维.对于一般简单的题目, 我们正向思考, 轻而易举可以做出.

2. 逆向思维.

顾名思义, 就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题, 能使学生从不同角度、不同方向思考问题, 探索解题方法, 从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中, 逆向显, 数学这门学科知识点很少, 关键是怎样运用, 对于初中几何证明题, 最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了, 证明题不好, 做题没有思路, 那一定要注意了:从现在开始, 总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后, 不知道从何入手, 建议从结论出发.例如:可以有这样的思考过程:要证明某两个角相等, 那么结合图形可以看出, 有可能是通过证两条边相等, 等边对等角得出;或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等, 结合所给的条件, 看还缺少什么条件需要证明, 证明这个条件又需要什么, 是否需要做辅助线, 这样思考下去……我们就找到了解题的思路, 然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.

3. 正逆结合.

对于从结论很难分析出思路的题目, 我们可以结合结论和已知条件认真的分析, 初中数学中, 一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的, 所以可以从已知条件中寻找思路, 比如给我们某个角的角平分线, 我们就要想到会得到哪两个角相等, 或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形, 我们就要想到是否要做辅助线, 是作高, 或平移腰, 或平移对角线, 或补形等等的辅助线.正逆结合, 战无不胜.

三、书写过程

分析完了, 理清思路了.就要根据证明的思路, 用数学的语言与符号写出证明的过程.

证明过程的书写, 其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程, 对数学符号与数学语言的应用要求较高, 在讲解时, 要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合, 不能无中生有、胡说八道, 要有根有据!证明过程书写完毕后, 对证明过程的每一步进行检查, 是非常重要的, 是防止证明过程出现遗漏的关键.

四、巩固提高

课后布置相应的练习, 让学生及时巩固, 再现所学知识, 并利用类比的方法进行新知识的求解证明, 进一步掌握求解证明的方法技巧, 从而提高学生的能力.

以上就是我们研究的初中数学几何证明题“读”、“析”、“述”、“练”的教学模式.虽然实践表明:“读、析、述、练”这种几何证明题教学模式, 有助于激发学生学习证明题的兴趣;有助于学生数学解题水平的提高;有助于学生数学学习能力的发展.但我们在以后的教学过程中, 还将不断改进、不断完善, 以便能更有效地提高我校初中数学教学的效率.

谈谈如何引导学生证明几何题 篇3

1.从题设和结论找思路

题目拿来，不要急于下手，仔细分析；从题设出发,看能推出什么结论；再看看结论：还需要什么条件，然后往中间凑，这种两头挤中间凑的方法是几何证明题的一种最常用的方法，也是一种很重要的方法。

如7．8节 切线的判定和性质(P91)

例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．

求证：直线AB是⊙O的切线．

这题由已知条件OA=OB，就可以推出△OAB是等腰三角形，又由CA=CB，就可以推出OC是等腰△OAB的底边AB边上的高,而结论是要求证直线AB是⊙O的切线，也就是要求证OC上AB,这就立马想到添辅助线连结OC,同已知推出的结论相吻合，到达了求解的目的。

又如7．11节 弦切角(P108)

例2、已知：如图，⊙O和⊙O'都经过A、B两点，AC是OO'的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O'于点D．

求证：AB2=BC·BD

这题先从结论来考虑，要求证四条线段AB、BC、BD、AB成等积式，就是看这四条线段所在的△ABC和△DBA是否相似，而要证明两三角形相似，主要是从角度考虑。再来看已知条件,AC是⊙O'的切线，则由弦切角定理，可以得到∠2＝∠D．AD是⊙O的切线，可以推出∠1=∠C，而这四个角又刚好分别是那两个三角形的角，这样问题就得到了解决。

再如7·8节 切线的判定和性质(P93)

例2、如图,AB为⊙O的直径。C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

求证：AC平分∠DAB．

这题要求证AC平分∠DAB,就是要求证∠1=∠2．而已知条件AD⊥DC，DC是切线C是切点，就想到DC垂直于过切点的半径，所以这题应该连结OC(同本节的例1综合在一起得到，在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径)，则可推出AD∥OC，．因此有∠2=∠3，而∠1=∠3，于是得出结论。

像这样的例子这一章还有不少，而且初一、初二的几何课本也有很多我在这儿就不一一赘述了．

2.从知识点找思路

如果上述的方法行不通，那我们就想一想：这个题目它考的是什么知识点?它是在哪一章节里出现的?那我们就从这一节的有关定理、定义入手。

比如P104如何去求证圆的外切四边形的两组对边的和相等这个题目好象不知从何下手，然而，这是7．10切线长定理这一小节的题，我们应该运用这一节的知识点，从切线长定理寻找突破口，于是不难得出AP=AL，BM=BL，CM=CN，DP=DN．再利用等式的性质，就得出了命题的结论．

再比如，P87习题7．2B组第5题

如图：⊙O和⊙O'都经过AB两点，过点B作直线交⊙O于点C，交⊙O于点D,G为圆外一点,GC交⊙O于点E,GD交⊙O'于点F．

求证：∠GEA+∠GFA=180°．

本题也是一样，要求证这两个角互补，那么这两个角是不是邻补角?是不是平行线的同旁内角?是不是圆内接四边形的两个对角?都不是，那怎么办?这个题是出在圆内接四边形这一节，而本节学了圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角这个定理。那么这两个角是不是圆内接四边形的外角?这个时候很多同学恍然大悟，纷纷抢着回答：“连结AB”则问题一目了然，∠GEA=∠ABC,∠GFA=∠ABD．于是得出结论。

还有7．4节圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(P72)

例1、如图：点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．

求证：AB=CD．

这题已经PO是∠EPF的平分线,就应该想到角平分线的性质定理：角半分线上的点到角两边的距离相等，而这题要求证的两条相等线段AB和CD又是⊙O的两条弦，结合这一节课所学的定理的推论马上就想到作出弦AB和CD的弦心距OM和ON，问题又解决了。

3.从辅助线寻找思路

我时常告诉学生，你们可以从一些辅助线寻找突破口。如：7．3节 垂直于弦的直径

在这一小节里，计算有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。作了这条辅助线后，那么这条弦的一半、以及弦的弦心距、还有过这条弦的端点的半径这三条线段就构成了一个直角三角形，再通过解直角三角形，得出我们所要求解的线段。如P61 例1、P65 例4、P67 习题7．1 A组第13题、第15题、第16题、以及B组第2、3、4题、P198 复习题七第1、2题等都可以通过三条特殊的线段，解直角三角形，得出我们所要求解的结论。在这里我就不再一一例举了。

以上三点是我在圆这一章的教学体会。笔者始终认为要想使学生学好数学，作为一个中学数学教师，应该从初一抓起，每一个例题都要给学生分析透彻，讲细、讲透，找一些精练的题目给学生做一做、练一练，让学生一步一个脚印，踏踏实实，把基础打扎实、打牢固，这样不至于到了初三，很多同学的几何学不下去。

初一几何证明题 篇4

(2)在直角三角形ABC中，角C=90度，BD是角B的平分线，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，过O作FG平行AB，交BC于F，交AC于G。求证CD=GA。

延长AE至F，使AE=EF。BE=ED，对顶角。证明ABE全等于DEF。=》AB=DF，角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。角ADE=BAD+B=ADB+EDF。AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。

题干中可能有笔误地方：第一题右边的E点应为C点，第二题求证的CD不可能等于GA，是否是求证CD=FA或CD=CO。如上猜测准确，证法如下：第一题证明:设F是AB边上中点，连接EF角ADB=角BAD，则三角形ABD为等腰三角形，AB=BD;∵AE是三角形ABD的中线，F是AB边上中点。∴EF为三角形ABD对应DA边的中位线，EF∥DA，则∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA。∵∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴△AFE∽△CDA∴AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得证第二题：证明:过D点作DH⊥AB交AB于H，连接OH，则∠DHB=90°;∵∠ACB=90°=∠DHB，且BD是角B的平分线，则∠DBC=∠DBH，直角△DBC与直角△DBH有公共边DB;∴△DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵DH⊥AB，CE⊥AB;∴DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO为等腰三角形，CD=CO=DH;四边形CDHO中CO与DH两边平行且相等，则四边形CDHO为平行四边形，HO∥CD且HO=CD∵GF∥AB，四边形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，则四边形AHOF为平行四边形，HO=FA∴CD=FA得证

有很多题

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于p,Q点.根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=Fp,EM=EN.过D点做BC上的高交BC于O点.过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可证Fp=2DJ。

又因为FQ=Fp,EM=EN.FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ΔCDE

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ΔCNE∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，p，Q分别为BC，CD边上的点。且角pAQ=45°，求证：pQ=pB+DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQAB=AD∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAp=∠MAB+∠pAB=45度=∠pAQ

∵∠MAp=∠pAQ

AM=AQAp为公共边

∴三角形AMp≌三角形AQp

∴Mp=pQ

∴MB+pB=pQ

∴pQ=pB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,Bp⊥MC于点p,求证Dp⊥Np

∵直角△BMp∽△CBp

∴pB/pC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴pB/pC=BN/CD

∵∠pBC=∠pCD

∴△pBN∽△pCD

∴∠BpN=∠CpD

∵Bp⊥MC

∴∠BpN+∠NpC=90°

∴∠CpD+∠NpC=90°

初二几何证明题 篇5

求证：角EMD=2角DAC

证明：

∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA

∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA

∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC

2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D

求证：∠AHE=∠BGE

证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：

∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点

∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF

∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF

∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题

这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受

如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC

证明:

BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)

==>BE=AB*BC/(BC+AC)

同理:CD=AC*BC/(BC+AB)

假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)

AB>AC==>BC+ACAC*BC

==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)

==>BE>CD

AB>AC==>∠ACB>∠ABC

∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/

2==>∠BEC>∠BDC

过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF

则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC.....(1)

BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFD

CF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD

==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC...(2)

(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立

所以AB=AC。

2、两地角的平分线相等，为等腰三角形

作三角形ABC,CD,BE为角C,B的角平分线，交于AB,BE.两平分线交点为O

连结DE,即DE平行BC，所以三角形DOC与COB相似。

有DO/DC=EO/EB,又EB=DC所以DO=EO,三角形COB为等腰

又角ODE=OCB=OED=OBC

中考数学几何证明题 篇6

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;

第一个问我会，求第二个问。需要过程，快呀！

连接GC、BG

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°

∴四边形ABCD为矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°，DF∥AB

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰Rt△

∵G为EF中点

∴EG=CG=FG

∵△ABE为等腰Rt△，AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB为等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

如何做几何证明题专题 篇7

1构造等边三角形证明不等式

例1设x, y, z是介于0与1之间的实数.求证:x (1-z) +y (1-x) +z (1-y) <1.

分析本题直接证明非常困难, 考虑到左边是两个因式乘积之和的形式, 而两因式乘积通常与几何中求图形面积的问题有关, 因此考虑构造等边三角形或矩形来解.

解构造如图1所示的边长为1的等边三 角形ABC, 分别在AB上取AD=x, BE=y, CF=z, 则BD=1-x, CE=1-y, AF=1-z.连DE, EF, FD, 则

2构造圆形证明不等式

例2已知a, b, m都是正数, 且a<b.求证:a+m/b+m>a/b.

分析待证的不等式可转化为a (b+m) <b (a+m) .若令a (b+m) =bx, 其中x<a+m, 这就使我们联想到相交弦定理, 因此, 可构造圆来解决.

证明如图2, 以a+b+m为直径作⊙O, 在直径AB上取点P, 使AP=a, PB=b+m.因为b>a, 所以P不是圆心, 过P做弦CD, 使PC=b.设PD=x, 由相交弦定理得

3构造长方形证明不等式

例3已知a, b, c, d都是正有理数, 求证:

分析此题初看, 似乎无从下手, 但仔细观察其整体结构与三角形中三边间关系相似, 再观察被开方数结构, 容易联想到勾股定理, 它们都是直角三角形的斜边, 凑在一起就构造出矩形.

4构造正方形证明不等式

例4已知x, y, z均为正数, 求证:

5构造梯形证明不等式

例5已知a, b, c, d均为正数, 求证:

6构造长方体证明不等式

例6已知:a>0, b>c, c>0, , 求证

分析由条件a2+b2+c2=1与长方体对角线的性质12=a2+b2+c2相似, 不妨构造出一个长方体, 其长、宽、高分别为a, b, c, 加以证明.

7构造正方体证明不等式

例7已知锐角α, β, γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1, 求证:

证明如图7, 由已知条件构造正方体ABCD-A1B1C1D1, 使∠C1AD =α, ∠C1AB=β, ∠C1AA1=γ, 又设AD=a, AB=b, AA1=c, 则易证

8构造四面体证明不等式

例8已知x, y, z为正数, 求证:

分析注意到x2+xy+y2=x2+y2-2xycos120°, 于是我们可以把看成以x, y为两边, 夹角为120°的三角形的第三边, 从而得到下面证法.

证明如图8, 在平面上任取点O, 作∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°, 截OA=x, OB=y, OC=z, 连AB, BC, CA, 则三边的长分别是由AB+AC>BC就得要证的不等式.

综上所述可知:注意构造几何图形证明代数不等式的专题研究, 符合新课程改革关于“……让学生的思维活跃起来”的理念要求, 有利于提高学生的专题总结水平, 有利于学生在研究总结的过程中, 拓展视野, 启迪思维, 有利于学生系统灵活地掌握所学的知识内容, 对于帮助学生理解课本内容, 培养探索精神和创新意识, 提高解题水平和发展思维能力, 均颇有益处.

练习1设x, y, z∈R+, 求证:

提示构造如图9所示的四面体, 设在三面 体V-ABC中, VA=x, VB=y, VC=z, 且∠AVB= ∠BVC=∠CVA=60°, 由余弦定理分别求得:

在△ABC中, 由AB+BC>AC即得所证.

练习2已知a, b, x, y均为正实数, 且a2+b2=1, x2+y2=1, 求证:ax+by≤1.

提示构造如图10所示的圆, 在直径AB=1的两侧任作Rt△ABC和Rt△ADB, 使AC=a, BC=b, BD=x, AD=y.由勾股定理, 知a, b, x, y满足题设条件, 根据托勒密定理, 得AC·BD+BC·AD=AB·CD, 因为CD≤AB=1所以ax+by≤1.

练习5同例2, 略.

提示构造如图13所示的Rt△DEC和Rt△ABC, 显然n>m, 所以a+m/b+n<a+m/b+m, 又因为a/b=a+m/b+n, 所以a/b<a+m/b+m.

练习6已知a, b, c都是正实数, 求证:

练习8设a, b, c, d都是正数, 满足a/b=c/d, 且a最大, 求证:a+d>b+c.

提示如图16, 取线段AC=a, 在AC上取B点, 使AB=d, 以BC为直径作圆O, 不妨设b≥c, 作割线AD=b, 交圆E, 作OF⊥AD.因为AC·AB=AE·AD, 即ad=b·AE, 所以AE=c, 又

参考文献

几何证明题学习方法指导 篇8

关键词：几何;分析方法;总结技巧

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）04-091-2

平面几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一个知识点。之所以难，是因为从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应;其次，概念、性质、定理比较多，而学生不能正确理解并掌握其几何语言;进而，遇到问题不会分析，予以解答。

众所周知，几何的证明就是要用合理的推断来说明因果关系的正确性，从而培养学生的逻辑思维能力。在几何证明教学中，教师对学生学习方法的指导和训练十分重要，要让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法和解题技巧，形成良好的思维习惯，最终达到能独立分析、解答问题的目的。通过实践教学反馈总结，我认为对几何证明学习方法的指导有以下四个方面：

一、学会读题

第一，很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，就开始动笔书写，这是不可取的，往往写下来也是不得分的。我们应该边读边想，给的条件有什么用，再对照图形来对号入座;思考所求结论从什么地方入手，也应在图中找到相应位置。

第二，在读题的时候每个条件要在所给的图形中标记出来。相等的边或角用相同的符号来表示;倍数关系的边或角用同类型的相应倍数来表示。

第三，图形复杂一点的题目往往有一些隐藏条件，我们读题时也要能挖掘出来。这就需要注重平时的积累，对基本知识点的掌握，对特殊图形的认识。有些是由已知条件所能直接得出的结论，也应标注在图形旁边，结合证明内容看需要用哪些。

二、学会分析

证明题的分析无非三种方法：第一，正向思维。对于一般简单的题目，从已知条件出发，通过有关定义、定理、性质的应用，逐步推导，证出结论。第二，逆向思维。从命题的结论考虑，逆推使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续往前倒推，直到已知条件。这种方法能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，拓宽解题思路。第三，正逆结合。从题目要你证明的结论出发往回推理，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，以利于缩短条件与结论的距离，最后达到证明的目的。

三、学会看图

所谓看图，是指观察，分析和认识几何图形。通过看图，不仅找到图形中的已知条件和证明内容，还要知晓几何图形的内在构成和联系，从而达到解一题通一类的效果。激发了学生的解题兴趣，迸发出创新思维。

初中数学几何板块的模型思想非常突出，如果学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是几何图形的本质“看”透彻，那么学习将会事半功倍。复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。有时还需要构造基本图形，添加辅助线，把大问题细化成几个小问题，逐一击破，从而解决问题。

例如：苏科版数学用书初二下册学习四边形的时候，有这样一个问题：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长;

（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长。

这道题目中，问题（1）由平行线加角平分线就能得等腰三角形。对于BF的长度的求解，借助于方程思想，设BF=x，利用“角落里的小勾”来完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在这里就不赘述了。

问题（2）中，同是翻折，但折痕不一样，得到的翻折图形自然不一样，但两张图形在结构模型上是完全一致的，都包含了全等图形和直角三角形，看透这一点，解题就会容易许多。和图（1）一样，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下来思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添辅助线GM⊥BC于点M，这样，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解题关键转化成求BM，而BM=AG，问题迎刃而解。想法二：GH看成四边形GBHD的对角线，因此连接GB和BD交于点O。继续由图（1）的积累，容易证四边形GBHD是菱形，对角线互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，两倍即是GH。

因此，我们认清图形的内在构成和联系，看清图形的本质，将复杂图形解析成几个基本图形，很多看似困难的问题都能轻松解答。

四、学会总结

当一道几何题证出来后，同学们会感到很高兴，事实上，这对今后的学习可以带来更大的信心。此时，如果同学们花上几分钟的时间，回顾总结一下自己在解题中所用的定理、性质，总结解题时的思路和方法，这将是学习的更高境界，也是自我升华的一个重要环节，今后会解的就不仅仅是这道题，而是这一类题。

例如：4.1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.

求证：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.

此题的证明较为简单，当我们边读题边把条件标注在图形上，题目读完，解题思路也就出来了。通过证明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再证△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，从而得出AB=BC+AD.

这时，我们是成功的，自然是开心的，但仍需静下心来，总结一下图形特点以及解题方法，我们说，图形中由平行线加线段的中点构成全等三角形是解题的关键。这样，遇到下面这道题，你就心中有数啦。

4.2如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何关系？请说明理由.

此题是个开放式问题，需要我们有一定的图形积累，要有基本知识储备。正因为对4.1的总结思考，我们遇到此题时，并不慌张。从图形看，此图继续有平行线加线段的中点，和4.1结构一样，图形本质相同，因此，为了构成全等三角形，那么延长AE交BC延长线于点F，图形就变成4.1，问题解决了。

做完这道题，我们对于平行线加线段的中点构成全等三角形已经足够掌握，此时不妨从换一个角度来思考本题的另一个重点。那就是对于两条线段之和等于第三条线段的证明方法，是将两条中的一条线段通过全等或等角对等边替换成与另一条在一直线上的线段，从而转化成证两条长线段相等的模型。