含参函数单调性

含参函数单调性（通用10篇）

含参函数单调性 篇1

函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

含参函数单调性 篇2

在讲解函数的单调区间时, 我按惯例, 找两位同学到黑板上演算, 然后介绍最典型的解法.结果发现两同学的方法完全不一样, 与我原计划只讲解最典型的解法不一致, 但是这也正好反映出了对复合函数单调性的不同理解, 给我在教学上启发很大.

过程

甲同学的解题过程:

解:设, 则

y=-3sinu的单调增区间为

, 即

y=3sin的单调增区间为

同理, y=3sin () 的单调减区间为

老师:甲同学做得很好, 在此处求y=Asin (ωx+φ) 中ω<0时的单调区间时, 我们一般将ω<0转化成y=Asin (|ω|x+φ) 的形式, 使x的系数为正, 然后利用三角函数的单调性去求解.这是一种常用的方法, 值得大家去学习.

乙同学的解题过程:

解：

当时, 是的增区间;

当时, 的减区间.

老师:乙同学的解法过程正确, 其方法主要也是将y=3sin () 中x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解, 但结果与甲的不一样, 为什么?

学生:其实两位同学都是将一个复杂的复合函数通过三角变换转化为一个较为简单的复合函数, 思路都是把x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解.其实, 这两种方法是统一的.当在乙的结果中取k=k'+1时, 增区间就转化为与甲的结果统一了.

教师点评

其实, 甲乙两同学的解法都是很典型的求解三角函数与一次函数复合而成的复合函数单调性的方法.但是, 从分析问题的切入点不同, 得到了不同的解题思路.由此, 只要我们在解决问题时, 能够充分认识问题的根源, 则不论我们用什么方法, 都会给我们带来思维上的前进.这才是我们数学课堂的真正收益.

教学反思

第一, 在教学观念上, 要大力提倡以学生为主体、教师为主导的教学宗旨.要转变教师的角色, 由“授业解惑”者逐渐变为组织者、引导者与合作者, 让学生自己去体会, 去感悟, 使学生真正成为主角.

第二, 采用合作学习、自主学习等以学生为主体的教学方法, 充分展示学生的思维过程与理解水平, 真正做到训练学生的思维.就上面的练习, 两位同学从不同角度应用化归的思想, 将问题转化, 这就真正体现了思维的升华.

第三, 从新课程的理念去理解.数学教学以训练学生的参与意识、实验意识, 提高学生的动手能力为主.因为有效的数学学习活动不单纯地依赖模仿与记忆.动手实践、自主探索与合作交流才是学习数学的重要方式.学生的数学学习活动应当是一个生动活泼和富有个性的过程.

分段函数的单调性 篇3

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.

函数的单调性反思 篇4

积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点，如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

函数的单调性教学反思 篇5

函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1f(x2)，给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间，明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般，从具体抽象、从简单到复杂的研究方法，让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换，并渗透数形结合的，分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中，我暴露了作为新老师的种种问题。（1）本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。然而在实际授课中，引导学生主动发现问题，主动解决问题的语言不够精炼，并不能很好的引导学生的思维，而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用，教学有法，教无定法，相信只要我们大胆探索，勇于尝试，课堂教学一定会更精彩！但是，在实际课堂中，在对概念的讲解时并没有强调到关键点，比如单调性中对“任意的”的理解，因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中，也没有引导学生对例题有一个整体的思考，引导学生学会读题，从哪里入手解题等等问题，而是直接给出了此类题型的一般解法，而由于学生的基础不扎实，因而对教师所给的解法不理解，导致在变式证明函数的单调性的时候，觉得无从下手。实际授课时，过度不自然，从创设情境到概念的讲解，最后到例题，过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。

函数的单调性教学设计 篇6

戴氏教育高中数学组

杜剑 【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】

重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】

（一）问题情境

遵义一天的天气

设计意图：用天气的变化，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新

1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究yx2时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义：

问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质 如：函数y上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2

1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域(,0)(0,)上xx1）。

2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生 一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明： 1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y|x1|

1、y|x21|的图象，写出他们的单调区间。

设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

高中函数单调性教学探析 篇7

一、函数单调性教学的重难点

高中数学与初中数学相比难度性大大增加, 但是它的知识点也是从生活中演变过来的, 能够在实际生活中得到有效应用。 初中数学作为高中数学的基础, 比较抽象, 难以理解, 但是学生在面对高中数学问题的时候, 大可不必过分害怕, 只要在学习中找到解题技巧, 就可以从中获取快乐。 函数单调性问题一直是基础较薄弱的学生的软肋, 它的区间概念也可以被称为局部概念, 无非就是区间内的增减性问题, 若是教师然学生牢记并理解这一概念, 那么学生在学习过程中就会快捷许多。

二、函数单调性的教学方法

在高中数学的函数单调性教学中, 概念作为解题的基础虽然是十分重要的, 但是在实际解决问题的时候, 方法却能够起到解题的决定性作用, 因此教师在教学的时候一定要重视解题方法的教学, 帮助学生更好更快地得出答案。 高考数学中, 每年都会出现的一个知识点中就包括函数, 题目的涵盖范围虽然小, 变化却是多样的。 不难发现, 虽然数学高考中函数的题目一直在变, 但是解题方法没有什么多大的变化, 所以教师在教学中要充分考虑到学生的解题思路, 帮助学生在函数单调性题目中快速地求得答案。

1.合理利用举例让学生学会举一反三

在高中数学的试卷中, 最常出现的题目就是让学生利用函数的导数求函数的单调性, 或者是求极值问题, 这类问题的问法多样, 教师在教学过程中需要举出一个最典型的题目进行详细解答, 让学生明白解题的原理, 通过公式概念来求。我们一般见到的函数题目都是由几个小问题组成一道大题, 这些小问题由易到难, 可利用的知识点越来越多, 教师在讲解题目的时候也要遵循这个顺序, 这样就可以帮助一些基础较薄弱的学生拿到函数问题的基础分, 基础较扎实的学生拿全分。

求函数单调性的最值问题及极值问题是高中数学教学中最基础的典型例题, 而教师可以利用这种典型例题让学生明白其中的公式原理, 帮助学生一步步地掌握知识点解题, 从而将混乱的知识点清晰化, 做到不失分、不丢分。 若是教师按照书本上的知识点进行讲解, 就过于抽象化。 例如, 设函数y=f (x) 在某个区间内可导, 如果f (x) >0, 则f (x) 为增函数;如果f (x) <0, 则f (x) 为减函数;若f (x) =0, 则f (x) 为常数函数。 这种抽象的概念虽然能够套用到每一个函数题目中, 但是学生在不理解的情况之下难以利用。

2.学会利用草图帮助解题

每一位高中数学教师在进行函数单调性教学的时候都会利用图形进行讲解, 但是每一位数学教师的画图方式都不同导致学生的学习方式也不同, 但是都需要了解的是, 图形要画的简单明了, 在较短时间内画出图形。 若是学生在利用草图解答的时候, 花在图形上的时间较长, 那么解题时间就会被缩短, 反而得不偿失。 例如, 一些简单的函数选择填空题就可以利用画图快速地得到正确答案。 例如, 题目中结合了其他的知识点定义区间, 要求学生利用所学知识点求区间, 学生就可以根据选项将区间定义出来, 画出草图, 知晓在某一区间的递增或是递减之后, 就可以求得这个函数在哪个区间递增或递减的速度最快, 从上升趋势中得到正确答案。

三、结语

在高中数学教学过程中, 函数单调性问题作为学生必须掌握的知识点受到学校、家长和老师的极大关注, 每一位高中数学教师在教授到函数知识点这一章节的时候都会遇到困难, 学生在学习的时候较吃力。 因此, 高中数学教师就要从不同角度思考问题, 从学生所难以理解的知识点出发, 帮助学生攻克问题, 只有教师和学生共同努力, 才能够在合理的时间内科学地完成教学任务。 高中数学教师在教学时不能故步自封, 在原有的基础上要进行教学方法创新, 本文主要是从比较常用的两种方法入手帮助学生解决函数单调性的问题, 教师要考虑到学生的不同接受能力, 有选择地开展教学活动, 帮助学生更有效地掌握相关知识点, 提高高中数学成绩。

参考文献

[1]周杰.高中数学函数内容教学研究[J].数理化解题研究 (高中版) , 2013 (12) .

《函数的单调性》课例研究 篇8

【摘 要】 函数的单调性是函数的几大重要性质之一，它直观且有效地反映了函数的变化趋势，是我们研究函数问题的重要内容和研究其它性质的重要手段，它的应用非常的广泛，比如我们可以应用函数的单调性来估计生活中的股票和经济情况的变化趋势，从而更准确的抓住这些信息，有利于帮助投资者作出决策和选择；在数学中，利用单调性求函数的最值往往是最直观和最容易的方法；单调性的题目在各种考试和高考中经常的出现，尤其是有关单调性的证明，复合函数的单调性的应用等，更是让许多考生苦不堪言，所以学好函数的单调性至关重要。本文结合我的教学课堂，以课后总结式的形式写此文章，重在体现新课标和新课改的大环境和要求下的教学新观念，将课堂还给学生，学生是教学的主体，老师要变教为导，变教授为自学，多设置情境和问题，激发学生的学习热情和探究问题的能力，由于经验不多，还在学习摸索中，本文权当记录一次课堂教学的同时，总结经验和不足促使我以后的课堂教学更有效。

【关键词】 增函数减函数；单调性；单调区间

【中图分类号】G63.25【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）18-0-02

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，因此如果我们掌握了函数的变化规律，也就基本掌握了相应事物的变化规律。函数的单调性的学习，就是要学生通过观察已知的熟悉的函数的图象，得出函数图象的上升和下降的整体直观的感受，并且能够根据图象口头叙述函数的上升和下降的情况。下面是教学教案中的一部分，主要记录的是课堂实际的实施情况。

请同学们做出的图象。

观察函数的图象，请你说出它们的上升和下降的情况。

生：的图象一直在上升，而的图象先是下降后是上升。

师：好。能否说的更具体和完整一点？

生：的图象由左至右一直在上升，而的图象在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的。

师：很好。大家的叙述很准确。结合我们以前学过的函数，我们知道函数中有许多函数的图象具有这样的上升和下降的性质，我们把函数在图象上表现出来的这种上升和下降的性质叫做函数的单调性。这就是我们今天要研究的函数课题。

那么，请同学们结合图（2），我们如何描述函数图象的上升和下降呢？

生：图象在y轴的左侧下降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着减小；图象在y轴的右侧上降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。

师：很好，这是我们的纯粹的自然语言来叙述，是我们在图象的基础上直观的表达出图象特征。在我们以后的学习中，我们会遇到很多函数是以解析式的形式给出，其中有些还不一定能够用手工作出函数图象，我们又怎样来判断其单调性呢？为此我们就要用数学语言来给函数的单调性下个定义。

请同学们研究函数的图象，计算f（1）、f（2）、f（3），并将它们标在函数的图象上。

生：发现f（1）

师：那么a>b>0时，f（a）与f（b）的大小关系是？

生：f（a）>f（b）。

师：思考一般的结论是什么？

生：在区间上，只要，就有。

师：同学们回答的很好。我将大家的叙述总结起来就是：对于二次函数，我们可以这样描述：在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。也就是在区间上任取，得到，当时，总有。这时我们就说函数在区间上是增函数。

请同学们试着用我们的数学语言定义函数f（x）的单调性。

生：对于函数f（x），如果对于任意的，当时，有，则称函数f（x）为单调增函数。

师：请同学们对照教材中增函数的定义，看看有什么不同？为什么？

生：教材定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：教材定义中为什么要说“对于定义域I内某个区间D”呢？

这是因为函数在其定义域内其单调性并不是一成不变的。如的定义域为，当时是减函数，而时却是增函数，显然，其单调区间。这也说明了函数的单调性是函数的局部性质。

请同学们仿照增函数的研究方法，研究并定义减函数。

生：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=（x）在这一区间具有单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间，其对应的区间D称之为单调增区间或单调减区间。

例1：下图是定义在[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上是增函数还是减函数？

解：函数y=f（x）的单调区间有（-5，-2），[-2，1），（1，3），[3，5]。其中y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数；在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。

生甲：老师，在两个区间的公共端点处，比如x=1处，这个函数是增函数还是减函数？

师：这个问题提的很好，请大家对照我们的定义想一想这个问题，有没有哪位同学可以回答这个问题？

生乙：我认为在x=1处，不具有单调性，因为由定义知函数的单调性是在某个区间D上具有单调性。

师：回答正确。这里我还要补充说明一点，虽然对于这个函数y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数，但我们不能说函数在区间上是减函数。

这次教学采用师生问答的形式，老师旨在引导，学生充分自主，以学生自主的学习为主，意在适应新课改理念下的课堂教学，以突出平等、合作与交流、相互理解、转变角色等新观念，使师生间的教与学相互促进。具体的突出了研究函数时我们常用的数形结合的思想和研究函数性质的步骤，即第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号的语言定义函数的性质。在增函数的研究过程中，让学生自己用自己的语言描述，再用数学语言定义，大胆的让学生去尝试，重在锻炼学生的将实际问题抽象成数学语言的概括能力、语言的严密性和准确性。在研究减函数时完全将课堂交给了学生，让学生学会用类比的思想方法处理问题的技巧和能力，例题的目的在于使学生能够结合定义，根据图象能够用数学语言解决问题，进一步巩固知识和加强应用能力。在学生参与的同时有效地完成了教学目标。

参考文献：

1.汪江松主编，重难点手册高中数学1，华中师范大学出版社；

2.人民教育出版社数学教材必修1；

3.人民教育出版社数学教材必修1教师教学用书.

第八节 函数的单调性教案 篇9

北京师范大学附属实验中学 曹付生 张蓓

教学目标：

1．知识与技能：理解函数的单调性。学会运用函数图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。学会运用单调性的定义来判断函数的单调性。

2．过程与方法：以基本函数的图象为素材，由形到数，引导学生自主发现函数图象变化规律，再推广到一般得出单调性的概念，使学生体会由特殊到一般、具体到抽象的研究方法。培养学生数形结合的思想，及分析问题、解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：培养学生善于观察、勇于探索的良好思维习惯和严谨的科学态度。

教学重点：函数的单调性概念

教学难点：函数单调性的判断及证明 教法：引导、讲授

学法：观察、归纳、抽象、概括 媒体：几何画板、投影 教学过程：

一、问题情境

情境1：典型冬季日温度变化曲线图

问：随时间的推移，气温如何变化？

1情境2：观察yx,yx2,y，回答，随x的增大，y值如何变化？

x654321-4-3-2-101-1-2-3234y65432y4321yx2345x51-4-3-2-101-1-2-3234x5-4-3-2-101-1-2-3-4 二 形成概念

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA。如果取区间M中的任意两个值x1、x2，当改变量xx2x10时，有yf(x2)f(x1)0，那么就称函数yf(x)在区间M上是增函数。

如果取区间M中的任意两个值x1、x2，当改变量xx2x10时，有yf(x2)f(x1)0，那么就称函数yf(x)在区间M上是减函数。

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）三 例题分析

例1．如图是定义在闭区间[-5,+5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数。

例2．证明函数f(x)1x2在(,0]上是增函数。

巩固练习： 证明：函数yx探索：函数f(x)x1在（0,1]上是减函数。x1的定义域是{x|x0}，我们对图象也不太熟悉，如何寻x找这一函数的其他单调区间？（用几何画板画出其图象）

四 小结

1．一组概念：增函数、减函数、单调性、单调区间

2．判断单调性的两个方法：

通过图象观察（从“形”的角度），用定义证明（从“数”的角度）3．证明函数单调性的步骤 五 作业

含参函数单调性 篇10

1．复合函数的概念

如果y是的函数，又是x的函数，即yf()，g(x)，那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数yf()和g(x)的复合函数，其中是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数y()x1322x是由y()，x2x复合而成立。

221函数ylg(34xx)是由ylg，34xx复合而成立，、是中间变量。

2．复合函数单调性

一般地，定理：设函数g(x)在区间M上有意义，函数yf()在区间N上有意义，且当xM时，N

有以下四种情况：

（1）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数；

（2）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（3）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（4）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数。

即：同增异减

注意：内层函数g(x)的值域是外层函数yf()的定义域的子集。

例

1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）

（1）y()

解：

213x22x（2）ylg(34xx)

练习1：

1．求下列函数的单调区间。

（1）y

2（3）y

例

2、已知yf(x)，且lglgylg3xlg(3x)。

（1）求yf(x)的表达式及定义域；

（2）讨论yf(x)的单调性。

练习2 1．已知f(x)82xx，g(x)f(2x)，求g(x)的单调区间。

2．讨论函数yloga(x4x3)的单调性。2x25x2

（2）ylog1(x2x3)

22xx1（4）y(3xx)221222

练习题

1．若函数yf(x)的图象过点(0,1)，则yf(x4)的图象必过点（）

A．(4,1)

B．(1,4)C．(4,1)

D．(1,1)

2．函数ylog2x在区间,00,上（）2A.是奇函数，且在0,上是增函数 B.是偶函数，且在0,上是增函数 C.是奇函数，且在0,上是减函数 D.是偶函数，且在0,上是减函数

3．函数y166xx2(0x4)的最大值与最小值分别是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 11x4．函数y321值域为（）

A．(,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,)5．函数f(x)log1(6xx)的单调递增区间是()31313132A．[11,)

B．[,2)22x22(a1)x1C．(,)

D．(3,)

12126．函数f(x)2在区间[5,)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[6,+)

B.(6,)

C.(,6]

D.(,6)7．已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.0,1

B.1,2

C.0,2