函数图像的变换

函数图像的变换（精选10篇）

函数图像的变换 篇1

高中数学中函数图像变换是知识难点, 本文主要介绍一种函数图像变换的统一方法, 使我们更加深入理解函数变换和图像变换.

正弦函数图像变换有下面三种基本类型:

(1) 由y=sinx变到y=sin (2x+1) ;

( 2) 由y = sin ( 2x + 1) 变到y = sinx;

( 3) 由y = sin ( 2x + 1) 变到y = sin ( 3x + 2) .

注: 由于对纵坐标的变换较为好掌握, 这里不做讨论.

对于第 ( 1) 种类型, 我们知道老师教给的口诀是“左加右减”, 但不少同学还是糊里糊涂, 应用时搞不清加什么减什么. 尤其是此题还有两种方法: 先平移再伸缩; 或先伸缩再平移.

对于第 ( 2) 种类型, 乍一看, 与第一类问题很像, 但用“左加右减”似乎不知加多少减多少. 此题的难度高于第 ( 1) 类型, 如当作高考选择题, 根据出题难度, 则出题的位置大概在中后.

对于第 ( 3) 类问题, 则更是不知如何下手, 看似平常, 如找不到方法, 也是头昏脑涨, 此题有一些竞赛意味.

1. 三种变换举例

好了, 接下来我们娓娓道来如何解决上述问题.

例1 由函数y = sinx的图像, 经过怎样的变换得到y =sin ( 2x + 1) 的图像.

解步骤1: 将题目改为:

由函数y = sint的图像, 经过怎样的变换能到y = sin ( 2x +1) 的图像.

步骤2: 令t = 2x + 1.

由此产生两种解法:

1) x= (t-1) /2 (先平移后伸缩) .

看着此式x= (t-1) /2, 我们按照此式的运算顺序, 来叙述答案:原函数y=sint的图像先向左平移1个单位, 接着, 横坐标变为原来的1/2倍, 得到y=sin (2x+1) 的图像.注:这里看到加号“+”, 就是往右移, 看到1/2, 就是乘以1/2倍, 与“左加右减”相反.

2) x=t/2-1/2 (先伸缩再平移) .

看着此式x=t/2-1/2, 我们按照此式运算顺序, 来叙述答案:原函数y=sint图像的横坐标变为原来的1/2倍, 再向左平移1/2个单位, 得到y=sin (2x+1) 的图像.

好了, 问题就这样被简单地解决了. 我们没有用到“左加右减”, 上述过程似乎给我们灵光一闪, 上述方与跟“左加右减”这一法则的应用似乎有某种联系.

例2 由函数y = sin ( 2x + 1) 的图像, 经过怎样的变换得到y = sinx的图像.

解步骤1: 将题目改为:

由函数y = sin ( 2t + 1) 的图像, 经过怎样的变换能得到y = sinx的图像,

步骤2: 令2t + 1 = x.

步骤3: 解出x, x = 2t + 1.

对于x = 2t + 1, 有两种看法:

由此产生两种解法:

1) (先平移后伸缩) .

看着表达式, 我们按照此式的运算顺序, 来叙述答案:函数y=sin (2t+1) 的图像先向右平移1/2个单位, 横坐标再变为原来的2倍, 就得到y=sinx的图像.

2) x = 2t + 1 ( 先伸缩再平移) .

看着表达式x = 2t + 1, 我们按照此式的运算顺序, 来叙述答案: 函数y = sin ( 2t + 1) 的图像横坐标变为原来的2 倍, 再向左平移1 个单位, 可得到y = sinx的图像.

由上知, 原来用第 ( 1) 种类型类似的解题方法, 也可解出第 ( 2) 种类型的题, 但老师的“左加右减”用起来就不是那么轻松了. 话到这里, 能想到如何解第 ( 3) 种类型吗?

例3 由函数y = sin ( 2x + 1) 的图像, 经过怎样的变换能得到函数y = sin ( 3x + 2) 的图像.

解步骤1: 将题目改为:

由函数y = sin ( 2t + 1) 的图像, 经过怎样的变换能到y =sin ( 3x + 2) 的图像.

步骤2:令2t+1=3x+2.

由此产生两种解法:

1) (先平移后伸缩.如果采用先平移的方法, t前面需紧跟系数1, 故提出系数2/3) .

看着等式, 我们按照此式运算顺序, 来叙述答案:原图像y=sin (2t+1) 先向左平移12个单位, 横坐标再变为原来的23倍, 即可得到y=sin (3x+2) 的图像.

2) x=2t/3-1/3 (先伸缩再平移) .

看着等式x=2t/3-1/3, 按照此式的运算顺序, 来叙述答案:原图像y=sin (2t+1) 的横坐标先变为原来的2/3倍, 横坐标再向左平移1/3个单位, 就得到y=sin (3x+2) 的图像.

现在通过以上方法解决了函数的图像变换, 此方法有以下几个优势.

1) 将三种不同类型的图像变换方法统一起来.

2) 比“左加右减”更贴近问题本质.

3) 好记忆.

4) 解决了“左加右减”所难解决的第 ( 1) 、 ( 2) 种类型的图像变换问题.

5) 便于有潜力的学生理解函数和函数变换.

能把上述三类问题完美解决, 对于其他函数如cosx, logx, ex的函数图像变换, 也可采取类似的方法.

好了, 有读者可能要问, 这种方法的原理是什么, 我想把这个问题少留一会儿, 留一个撞钟余音.

在这里特意配上函数变换的图像, 使上述过程具体形象.

2. 三种变换举例图示

例1的图示:

由函数y = sinx的图像, 经过怎样的变换得到y = sin ( 2x + 1) 的图像.

例2 的图示:

由函数y = sin ( 2x + 1) 的图像, 经过怎样的变换得到y = sinx的图像.

例3 的图示:

由函数y = sin ( 2x + 1) 的图像, 经过怎样的变换得到函数y = sin ( 3x + 2) 的图像.

3. 变换的实质

下面以例题3 的第一种方法为例, 来说明变换的“撞钟余音”.

已知函数为y=sin (2x+1) , 设恒等变换x=t, 函数图像上的点为 (t, y) .根据变换方法一, 原图像y=sin (2x+1) 先向左平移个单位, 则点 (t, y) 变为.再横坐标变为原来的23倍, 则点, 其横坐标就是所求函数图像上点的横坐标, 也是所求函数y=sin (3x+2) 的自变量x, 即, 因而得到所求点 (x, y) .在变换过程中, 纵坐标不变.

整个变换过程可以简化为:

若一般化, 已知函数y = f ( x) , 求函数y = g ( x) 与y =f ( x) 的图像关系, 就可采用上述方法.

令y = f ( x) , 因函数值相同, 则有f ( t) = g ( x) , 解出x =g- 1 ( f ( t) ) , 通过变换g- 1 ( f ( t) ) 把点 ( t, y) 变为点 ( g- 1 ( f ( t) ) , y) , 即得所求点 ( x, g ( x) ) .

函数图象变换 篇2

【关键词】函数  图像  变换

【中图分类号】G623.5                           【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）05-0188-03

很多教师在归纳函数图象变换时，把函数图象变换中的平移变换归纳为：左加右减，上加下减。这对简单的平移变换没有问题，但如遇到下面这个问题：“如何把函数y=f（2x）的图像平移得到函数y=f（2x+1）的图像？”，往往学生会回答：“把函数y=f（2x）的图像向左平移1个单位就得到函数y=f（2x+1）的图像”，这里平移的方向对了，但平移的单位是不对的，正确的应该是平移个单位。之所以会出现这样的错误，是因为平移变换的规律“左加右减，上加下减”只说明了平移方向，没有说明平移几个单位，没有抓住变换的实质。函数图象变换的实质就是“替换”，每一步变换只要考虑把原式中的x、y分别替换成什么。具体的规律如下：

一、平移变换

①把原式中的小x替换成x+a（其中a>0），表示函数图像沿x轴负方向平移 个单位即向左平移a个单位;

②把原式中的x替换成x-a（其中a>0），表示函数图像沿 x轴正方向平移 个单位即向右平移a个单位;

③把原式中的y替换成y+a（其中a>0），表示函数图像沿y 轴负方向平移a个单位即向下平移a个单位;

④把原式中的y替换成y-a（其中a>0），表示函数图像沿y轴正方向平移a个单位即向上平移a个单位;

这里的规律是：替换后的表达式x+a、y+a中是x、y加上正数a表示向负方向平移，替换后的表达式x-a、y-a中是x、y加上负数-a（其中a>0）表示向正方向平移。其要点是：加上正数向负方向平移，加上负数向正方向平移。为了便于记忆，我们可以把平移变换律归纳为四个字“正负相反”。

二、伸缩变换

①把原式中的x替换成ωx，如果ω>1，表示把函数图像的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）;

②把原式中的x替换成ωx，如果0<ω<1，表示把函数图像的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）;

③把原式中的y替换成ωy，如果ω>1，表示把函数图像的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）;

④把原式中的y替换成ωy，如果0<ω<1，表示把函数图像的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）;

这里的规律是：x替换成ωx、y替换成ωy后，x、y的系数都从1变成了ω，如果ω>1，即系数变大了，表示相应的坐标缩小为原来的;如果0<ω<1，即系数变小了，表示相应的坐标伸长为原来的倍。其要点是：系数变大相应的坐标是缩小，系数变小相应的坐标是伸长。为了便于记忆，我们可以把伸缩变换规律归纳为四个字“大小相反”。

为了便于理解上述规律，下面举例说明。（为了便于说明，下文中的符号用到的“”，其中→表示替换，如x→x+1就是表示x替换成x+1;其中符号表示推出;其中文字“右移1个单位”表示原图像向右平移1个单位得到新图像，其余的符号类似。）

1.从简单表达式到复杂表达式

问题1：如何由y=f（x）的图象变换得到y=3f（2x-1）+2的图像？

思路1：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（x-1），第二步由y=f（x-1）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1），第四步由y=3f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=f（x）的图像向右平移1个单位得到y=f（x-1）的图像，再把y=f（x-1）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）的图像，最后把y=3f（2x-1）的图像向上平移2个单位得到y=3f（2x-1）+2的图像。

思路2：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到，第四步由变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可以表述为：先把y=f（x）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x）的图像，再把y=f（2x）的图像向右平移单位得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像向上平移个单位得到的图像，最后把的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）+2的图像。

思路3：将其变换方法分五步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=f（2x-1）+2，第四步由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+6，第五步由y=3f（2x-1）+6变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可以表述为：先把y=f（x）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x）的图像，再把y=f（2x）的图像向右平移单位得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像向上平移2个单位得到y=f（2x-1）+2的图像，再把y=f（2x-1）+2的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）+6的图像，最后把y=3f（2x-1）+6的图像向下平移4个单位得到y=3f（2x-1）+2的图像。

显然，思路3的变换方法比较麻烦，思路3的第四步是由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+6，能否由y=f（2x-1）+2直接变换得到y=3f（2x-1）+2呢？如果可行，那就不需要第五步了。答案是否定的。因为每一步的变换都是考虑把原式中的x、y替换成什么，所以要由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+2，必须使f（2x-1）的系数变为3，那就必须把y=f（2x-1）+2中的y用y 替换，这样替换后的表达式为y=f（2x-1）+2，两边同乘3，得到的表达式是y=3f（2x-1）+6，而不是y=3f（2x-1）+2。

以上3种思路比较典型，还有其他的变换思路，这里不一一罗列。

比较以上3种变换思路，思路1较为简单，因此由简单表达式到复杂表达式的变换比较简捷的思路为：横坐标的变换是“先平移再伸缩”，纵坐标的变换是“先伸缩再平移”。

2.从复杂表达式到简单表达式

问题2：如何由y=4f（2x+1）-3的图象变换得到y=f（x）的图像？

思路1：将其变换方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3变换得到y=4f（2x+1），第二步由y=4f（2x+1）变换得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）变换得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）变换得到y=f（x），可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=4f（2x+1）-3的图像向上平移3个单位得到y=4f（2x+1）的图像，再把y=4f（2x+1）的图像纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）得到y=f（2x+1）的图像，再把y=f（2x+1）的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=f（x+1）的图像，最后把y=f（x+1）的图像向右平移1个单位得到y=f（x）的图像。

思路2：将其变换方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3变换得到y=f（2x+1）-，第二步由y=f（2x+1）-变换得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）变换得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）变换得到y=f（x），可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=4f（2x+1）-3的图像的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）得到y=f（2x+1）-的图像，再把y=f（2x+1）-的图像向上平移个单位得到y=f（2x+1）的图像，再把y=f（2x+1）的图像向右平移个单位得到y=f（2x）的图像，最后把y=f（2x）的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=f（x）的图像。

问题2还有其他的变换思路，这里不一一罗列。

从复杂表达式到简单表达式的变换比较简捷的思路为：纵坐标的变换是“先平移再伸缩”，横坐标的变换是“先伸缩再平移”。

三、对称变换

《三角函数图像的变换》教学设计 篇3

函数y=Asin (ωx+φ) 一节是人教版高一下册的内容, 是在学习正弦函数图像的基础上进一步学习的内容。借助几何画板对教学内容的直观呈现, 帮助学生更加深刻的理解并掌握本节课的知识, 从而更有效地提高学生的课堂学习效率。

二、学习者分析

本节课的教学对象是高一年级的学生, 学生已经掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质, 对五点法作三角函数图像有一定的认识。从认知特点看, 学生对静态的函数图像缺乏兴趣, 难有理性认识, 对抽象的变化规律更是不易理解, 难以上升为理性认识。对于这种问题, 充分利用信息技术的强大作用, 使静态的图像、抽象的数学规律变得生动起来, 能够大大激发和调动学生学习的积极性和主动性。通过教师演示数学实验, 让学生自主观察, 在很大程度上激发学生的学习兴趣。这样, 学生不仅体验了数学知识及规律的发现、总结过程, 而且进一步提高了学生的学习效果和效率。

三、教学目标

(一) 知识与能力

1. 使学生会用五点法作函数y=Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0) 的简图, 理解并掌握与函数y=Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0) 相关的基本变化。

2. 培养学生观察、分析、概括、归纳等数学能力以及进一步提升学生的语言智能。

3. 培养学生自主动手主动获取知识的能力, 并在此基础上进行再创新的意识和能力。

(二) 过程与方法

培养学生从特殊到一般, 从具体到抽象的思维方法, 从而达到从感性到理性认识的突破, 又从一般到特殊, 把抽象的数学规律应用到具体实践中去。

(三) 情感、态度与价值观

通过信息技术的运用, 培养学生对探索数学问题的兴趣, 并学会用联系发展的观点认识问题, 解决问题。

四、教学重点和难点

(一) 教学重点

由函数y=sinx的图像经过振幅变换———周期变换———相位变换得到函数y=Asin (ωx+φ) 的图像。

(二) 教学难点

经过振幅变换———周期变换———相位变换由函数y=sinx的图像得到函数y=Asin (ωx+φ) 的图像过程中相位变换时图像的平移量。

五、教学策略

本节课坚持以“学生为主体, 教师为主导”的指导思想, 通过教师的提问来引导学生逐步总结出数学规律。教师先创设情境, 揭示课题, 学生通过观察多媒体课件演示的数学实验, 对一系列动态数据进行分析、联系对比、同学交流、教师指导帮助下进行归纳总结, 从而得到变换规律。在教学过程中, 在以前所学知识的基础上, 采用教师指导与学生自主探索相结合的方法, 利用形象直观的动态多媒体演示, 引导学生通过观察分析图像的变化, 使学生在旧知识与新知识之间所产生的联系中主动思考, 自己归纳出变化规律。在观察思考过程中不仅能巩固旧知识, 而且理解并记忆了新知识, 从而完成了对新旧知识之间的有效学习, 进一步提升了学习的效率。

六、教学过程

(一) 复习导入, 巩固旧知识

师:前面我们学习了正弦函数y=sinx的图像和性质, 并通过“五点法”作出正弦函数的图像, 请大家说出y=sinx在0-2π内的图像上起关键作用的是哪五个点?

生:起点 (0, 0) , 峰点 (π/2, 1) , 拐点 (π, -1) , 谷点 (3π/2, -1) , 终点 (2π, 0) 。

师:很好, 那么如何利用这五个关键点作出y=sinx的简图?

生:用平滑的曲线将这五个点连起来左右分别扩展。

师:因此, 在我们知道正弦函数图像特征的前提下, 便可以通过“五点法”来作图。

(二) 情境创设, 揭示课题

演示课件:《小球简谐振动位移与时间的图像》。

师:刚才我们所看到的是小球作简谐振动时弹簧振子位移和时间的图像, 在物理教学和日常生活的许多问题中都要遇到形如y=Asin (ωx+φ) , x∈R (其中A>0, ω>0) 的函数解析式。又如:钟摆时间和位移的关系, 波在传播过程中时间和位移的关系等, 都可以用这类函数来表示, 那么, 这类函数的图像如何作呢?它与我们前面学过的正弦函数y=sinx的图像有何关系?

生:……

师:大家不要着急, 今天我们就一起来学习讨论这个问题。

(三) 教师引导, 学生动手实验

师:在三角函数y=Asin (ωx+φ) 中, 有几个参数?

生:三个, 分别是A、ω、φ。

师:那么对于正弦函数y=sinx我们每次只改变其中一个参数能得到怎样的三角函数呢?

生:分别是y=Asinx, y=sinωx, y=sin (x+φ) 。

师:很好, 那么下面我们就以这三个函数的实例函数图像分别与正弦函数y=sinx的图像作比较。

师:下面请大家用“五点法”绘制以下几组三角函数图像, 并观察每一组图像相互之间的关系、特点。

第一组:y=sinx, y=2sinx;

第二组:y=sinx, y=1/2sinx;

第三组:y=sinx, y=sin2x;

第四组:y=sinx, y=sin1/2x;

第五组:y=sinx, y=sin (x+π/4) ;

第六组:y=sinx, y=sin (x-π/3) 。

学生动手绘制。

(四) 师生交流, 共同得出变换规律

1. 教师通过几何画板演示数学实验给出学生第一、二组函数的图像, 如图1、图2。

师:观察图1, 你有什么体会?

生:y=2sinx的周期与y=sinx的一样还是2π, 最大值变为+2, 最小值变为-2.

师:不错, 再看图2, y=1/2sinx呢?

生:y=1/2sinx的周期还是2π, 最大值为1/2, 最小值为-1/2。

师:很好, 那么通过观察这两个图, 它们三者的图像有什么关系呢?

生:图1中y=2sinx是在y=sinx的图像上伸长了, 图2中y=1/2sinx是在y=sinx的图像上压缩了。

师:这个伸长和压缩是对哪个值来说的?

生:是对y值而言的。

师:伸长了多少?压缩了多少?

生:图1中y值伸长为原来的两倍, 图2中y值压缩为原来的1/2。

师:很好, 那你能概括地说一下三角函数y=2sinx, y=1/2sinx是怎样由正弦函数y=sinx变换而来的?

生:函数y=2sinx的图像可看作把y=sinx, x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得 (横坐标不变) , 函数y=1/2sinx的图像可看作把y=sinx, x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的1/2而得 (横坐标不变) 。

师:回答得非常好。

(通过教师的逐步引导, 学生用自己的语言描述了振幅变换的规律, 这一问题引导过程有助于培养学生主动探索的能力)

教师总结:

一般地, 函数y=Asinx, x∈R (其中A>0且A≠1) 的图像, 可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的A倍 (横坐标不变) 而得到的, 函数y=sinx, x∈R的值域是[-A, A], 最大值是A, 最小值是-A。

2. 教师通过几何画板演示数学实验给出学生第三、四组函数的图像, 如图3、图4。

师:和前两组图像一样, 通过观察图3、图4, 你有什么体会?

生:y=sin2x的最大值是+1, 最小值是-1, 这与正弦函数y=sinx是一样的, 但是周期变成了π, 而y=sin1/2x的最大值和最小值与正弦函数也是一样的, 但是周期却变成了4π。

师:那么当y=1时, 三角函数y=sin2x、y=sin1/2x以及正弦函数y=sinx相应的x值分别是多少, 并且他们之间存在怎样的关系呢?

生:分别是π/4, π, π/2, 其中y=sin2x的横坐标变成了y=sinx横坐标的一半, 而y=sin1/2x的横坐标则变成了y=sinx横坐标的二倍。

师:也就是说, 对于同一纵坐标横坐标发生了变化, 那请你说出三角函数y=sin2x、y=sin1/2x的图像是怎样由正弦函数y=sinx的图像变换而来的?

生:函数y=sin2x, x∈R的图像, 可看作把y=sinx, x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标不变) 得到的, 函数y=sin1/2x, x∈R的图像, 可看作把y=sinx, x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变) 得到的。

师:很好, 这是一组具体实例的变换, 那么谁能把y=sinωx图像与y=sinx的图像作比较, 说出它们之间的关系?

生:函数y=sinωx, x∈R (ω>0且ω≠1) ) 的图像, 可看作把y=sinx的横坐标伸长 (ω>1) 或缩短 (0<ω<1) 到原来的1/ω倍 (纵坐标不变) 而得到的。

(通过前两组的变换特点、类比的方式得到变换规律, 在此教师鼓励学生用自己的语言进行归纳总结。)

教师总结:

一般地, 函数y=sinωx, x∈R (其中ω>0且ω≠1) 的图像, 可以看作是把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长 (ω>1) 或缩短 (0<ω<1) 到原来的1/ω倍 (纵坐标不变) 而得到的。

3. 教师通过几何画板演示数学实验给出学生第五、六组函数的图像, 如图5、图6。

师:这两组图中, 函数y=sin (x+π/4) 和y=sin (x-π/3) 的周期以及最大值、最小值分别是多少?

生:周期是2π, 最大值都是+1, 最小值都是-1, 和正弦函数的一样。

师:那它们的图像又有什么样的关系呢?生:应该是平移的关系。

(因为学生在高一学过一些简单的平移, 因此能很快说出平移这一关系)

师:很好, 那么大家依据前面两个变换规律的推论过程, 能不能说出这两组函数的变换规律?

生:函数y=sin (x+π/4) , x∈R的图像可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平行移动π/4个单位长度得到的, 而函数y=sin (x-π/3) , x∈R的图像可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向右平行移动π/3个单位长度得到的。

师:回答得很好, 同样请同学再将这一特殊实例转化成一般情况, 也就是函数y=sin (x+φ) 与正弦曲线的关系?

生:函数y=sin (x+φ) , x∈R (其中φ≠0) 的图像, 可以看作是把正弦曲线上所有的点向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平行移动φ个单位长度而得到的。

师:很好。

(教师再次鼓励学生用自己的语言总结变换规律, 这一启发引导过程, 不仅培养了学生主动学习的能力, 而且使学生更加深刻地理解并记忆新知识。)

教师总结:

一般地, 函数y=sin (x+φ) , x∈R (其中φ≠0) 的图像, 可以看作是把正弦曲线上所有的点向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平行移动φ个单位长度而得到的。

4. 循序渐进。

师:在我们学习完了三种单一的变换之后, 大家想一想函数y=2sin (2x-π/3) 的图像是由y=sinx如何变换得到的?

生:y=sinx→y=2sinx→y=sin2x→y=sin (2x-π/3)

师:有不同意见吗?

生:应该就是这样的吧。

师:从y=sin2x→y=sin (2x-π/3) 一定是向右平移π/3个单位吗?

生:……

师:那我们看一下几何画板的演示。

师:大家通过观察图7, 发现了什么呢?

生:应该是向右平移π/6, 而不是π/3。

师:不错, 应该是向右平移π/6, 这是我们经常会犯的错误, 一般地, 函数的平移是指变量的变化量, 所以要把函数y=2sin (2x-π/3) 化为y=2sin2 (x-π/6) 从中可以看出x→x-π/6, 所以应该是向右平移π/6。

(这是本节课的重点也是难点, 应引起足够的重视)

师:由特殊到一般, 那请你说一下函数y=Asin (ωx+φ) 的图像是如何由正弦函数y=sinx的图像变换而来的?

生:先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长 (ω>1) 或缩短 (0<ω<1) 到原来的1/ω倍 (纵坐标不变) , 再把所有得到的点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的A倍 (横坐标不变) , 再把正弦曲线上所有的点向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平行移动φ个单位长度。

师:很好, 看来同学们已经掌握了三角函数的前三种变换, 能够灵活地将它们综合在一起来阐述。

教师总结:

一般地, 函数y=Asin (ωx+φ) , x∈R (其中A>0, ω>0) 图像, 可以看作是用下面的方法得到的:先把正弦曲线上所有的点向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平行移动φ/ω个单位长度, 再把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长 (ω>1) 或缩短 (0<ω<1) 到原来的1/ω倍 (纵坐标不变) , 再把所有得到的点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的A倍 (横坐标不变) 。

(五) 课堂小结

师:通过这节课的学习, 相信大家已经掌握了三角函数图像的变换规律, 那么下面请大家相互讨论, 将这些内容再重复一遍, 以加深理解。

生:……

(开始讨论, 并由老师点名让学生对本节课的内容进行小结)

三角函数·恒等变换 篇4

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]则[tan（α+π4）]的值为（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°<α<360°]，则三角函数式[12+1212+12cos2α]的化简结果为（ ）

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[△ABC]的内角，当[cosA=725]，则[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化简[1-sin20°]的结果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 设[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，则[2cos2x+sin2x1+tanx]的值为（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函数[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的图象关于直线[x=φ]对称，则[x=φ]可以为（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 设[α，β]都是锐角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，则[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，则[sin（α-π4）=] .

12. 已知对任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，则[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ]，[cosθ]是关于[x]的方程[2x2+px-1=0]的两根，则[θ]等于 .

14. 若[0<α<π4]，[β]为[fx=cos（2x+π8）]的最小正周期，[a=（tan（α+β4），-1）][b=cosα，2]，且[a?b=m]，则[2cos2α+sin2α+βcosα-sinα=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]为锐角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[a⊥b.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α]，[β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点，已知点[A]的横坐标为[210]，点[B]的纵坐标为[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求证：

（1）[1-sin2α2sinα-π4=sinα-cosα]；

（2）已知[1-tanα2+tanα=1]，求证[3sin2α=-4cos2α].

函数图像的变换 篇5

一、一点法作图

高中数学对三角函数y=Asin (ωx+φ) 的图像常采用五点法作图, 其中要求学生对正弦函数的图像有所熟悉.笔者认为既然学生作图时需要对正弦函数的图像有一定的认识, 那么作函数y=Asin (ωx+φ) 的图像时只需确定一点即可, 故称“一点法作图”.即令ωx+φ=0, 求得在平面直角坐标系中确定点 (x1, 0) , 并在对正弦函数图像熟悉的基础上, 可迅速作出y=Asin (ωx+φ) 的图像.如若需要知道该图像中 (x2, A) , (x3, 0) , (x4, -A) , (x5, 0) 的坐标, 可借助周期简单求得

二、点的定义

函数y=Asin (ωx+φ) 中, 在一点法作图的基础上定义点 (x1, 0) 为函数y=Asin (ωx+φ) 的第一个点, 并分别定义点 (x2, A) , (x3, 0) , (x4, -A) , (x5, 0) 为函数y=Asin (ωx+φ) 的第二, 三, 四, 五个点.

三、“点”的妙用

例1 (2008天津卷) 把函数y=sinx (x∈R) 的图像上所有的点向左平行移动个单位长度, 再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变) , 得到的图像所表示的函数是 ( ) .

分析可设变换后的函数解析式为y=sin (ωx+φ) , 由题意可知:ω=2.而变换前后的两函数的第一个点必定重合, 原函数第一个点的横坐标为0, 经平移后变为经伸缩变换后变为

变式函数的图像经过怎样的伸缩平移变换后可得到函数的图像?

例2为得到函数的图像, 只需将函数y=sin2x的图像 () .

A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位

分析在了解函数y=sinx和y=cosx图像的基础上可知, 将正弦函数的第二个点与余弦函数的第一个点平移至重合, 即可解决正弦函数, 余弦函数之间的平移问题.

函数图像的变换 篇6

函数图像变换问题, 一直是中学数学的重点和难点内容, 也是高考必考的热点题型.常有学生诉说如下困惑:图像就是点的集合, 图像的平移怎么与点的平移方向相反呢?这不是自相矛盾吗?这次考试我又将平移长度搞错了;伸长还是缩短我还是区分不清等.对于函数图像平移和伸缩变换的理解, 学生全靠死记硬背, 并没有真正理解函数图像的变换.

函数有列表法、解析法、图像法3种表示方法, 它们都能独立地表达出函数的三要素, 函数图像的变换, 其本质是用图像的形式表示的一个函数变化到另一个函数, 那么前后两个图像所表示的函数解析式是什么?这就是函数图像变换与解析式变化之间的对应关系.要实现这两种对应, 实际上就是实现图像语言与符号语言之间的相互转化.图像语言易产生清晰的视觉形象, 它能直观地表示函数, 而符号语言比较简洁严谨, 但有时会很抽象.

如何真正理解函数图像的变换呢?笔者通过普通高中课程标准实验教科书A版·必修·数学4中《三角函数的图像变换》的课堂实录来帮助理解这个问题的实质, 不当之处, 敬请批评指正.

1 课堂实录

1.1 课前作业

利用“五点法”在同一坐标系中分别作出下列4组函数的图像, 并附列表. (以便点的特征来分析)

1.2 教学过程

师:前面我们已经研究了y=sin x的图像与性质, 上节课我们又学习了“五点法”作y=Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0) 的图像, 今天我们就来研究这些函数图像之间的关系, 从这些图像中我们能发现什么规律呢?

(“规律”引起学生学习的兴趣, 板书课题)

师:请同学们与同桌“共享”你们的图像, 仔细观察同一坐标系中图像的变化.首先来看第一组图像中y=sin x与y=sin 2x的图像, 你有什么发现?

生1:我发现y=sin 2x的图像比y=sin x的图像压缩了一半.

师:为什么会有这样的变化呢?

生2:列表 (表略) , y=sin x上的点是$\left(\frac{\text{π}}{2}‚1\right)$时, y=sin 2x上对应的点是$\left(\frac{\text{π}}{4}‚1\right)$, 纵坐标没变, 但横坐标变为了原来的一半.

师:图像上的所有点都是这样吗?

生2:是的.

师:很好.我们知道函数图像实际上就是点的集合, 他的这种方法从列表中找到了依据.

师:接下来请同学们仔细观察大屏幕 (用《几何画板》演示y=sin x图像变换为y=sin 2x图像的动态过程) .看完演示后, 同学们考虑y=sin 2x图像如何由y=sin x图像变换得到?

生2:图像上各点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的$\frac{1}{2}.$

师:同学们继续观察y=sin x与$y=\sin \frac{1}{2}x$的图像, 看如何由y=sin x的图像变换到$y=\sin \frac{1}{2}x$的图像?

生3:图像上各点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的2倍.

师:很好.现在我们把结果推广一下, 如何由y=sin x的图像得到y=sin ωx (ω>0) 的图像, 请同学们讨论.

(学生激烈讨论)

师:现在请一位同学归纳一下.

生4:图像上各点的纵坐标不变, 若ω>1, 横坐标缩短为原来的$\frac{1}{\omega }$, 若0<ω<1, 则横坐标伸长为原来的$\frac{1}{\omega }$倍.

师:不管是“伸长”还是“缩短”, 实际上都是纵坐标不变, 横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega }$, 参数ω只对横坐标有影响.

师:对于一般函数, y=f (x) 的图像如何变换到y=f (ωx) 的图像?

$y=f(x)\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{\omega }\text{倍}}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}y=f(\omega x).$

(用屏幕给出归纳后的结果) .

师:按照刚才的方法, 请同学们研究③的图像, 总结如何由y=f (x) 的图像得到y=Af (x) 的图像? (生自主探究)

$\begin{array}{l}\text{生}5:y=f(x)\underset{\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}A\text{倍}}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{横}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}\\ y=Af(x).\end{array}$

(有了前面作基础, 得到这个结论并不困难)

师:我们再来看②的图像, 有什么发现?

生6:我发现$y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像就是y=sin x的图像向左平移了$\frac{\text{π}}{3}$个单位;

$y=\sin \left(x-\frac{\text{π}}{4}\right)$的图像就是y=sin x的图像向右平移了$\frac{\text{π}}{4}$个单位.

师:那如何由y=sin x的图像得到y=sin (x+φ) 的图像?

(生思考)

生7:根据φ与零的大小关系分情况:当φ>0时, 将y=f (x) 的图像向左平移φ个单位, 当φ<0时, 将y=f (x) 的图像向右平移φ个单位, φ=0时, 没发生平移.

师:我补充一点, 向左平移实际上就是“沿x轴负方向平移”, 是吗?

生7:是, 向右平移也可以看作是“沿x轴正方向平移”.

师:我现在把刚才这位同学说的总结为一句:沿x轴平移了-φ个单位.

$y=f(x)\stackrel{\text{沿}x\text{轴}\text{平}\text{移}-\phi \text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=f(x+\phi ).$

师:那你们再研究④的图像, 总结如何由y=f (x) 的图像得到y=f (x) +k的图像?

生8:$y=f(x)\stackrel{\text{沿}y\text{轴}\text{平}\text{移}k\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=f(x)+k.$

师:对于一般函数y=f (x) , 函数的图像是如何变换的?

(用屏幕显示)

1.伸缩变换:

$\begin{array}{l}y=f(x)\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{\omega }\text{倍}}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}y=f(\omega x)‚\\ y=f(x)\underset{\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}A\text{倍}}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{横}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}y=Af(x).\end{array}$

2.平移变换:

$\begin{array}{l}y=f(x)\stackrel{\text{沿}x\text{轴}\text{平}\text{移}-\phi \text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=f(x+\phi )‚\\ y=f(x)\stackrel{\text{沿}y\text{轴}\text{平}\text{移}k\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=f(x)+k.\end{array}$

师: (总结) 前两个变换都是图像的伸缩变换, A, ω决定的是函数图像的形状;后两个是图像的平移变换, φ, k决定的是图像的位置.

师:不画图像, 你知道函数y=sin x的图像经过怎样的变换可以得到函数$y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像? (学生充分思考、尝试)

$\begin{array}{l}\text{生}9:y=\sin x\stackrel{\text{向}\text{左}\text{平}\text{移}\frac{\text{π}}{3}\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }\\ y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{2}}{\overset{\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}\\ y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{生}10:y=\sin x\stackrel{\text{向}\text{左}\text{平}\text{移}\frac{\text{π}}{6}\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }\\ y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{6}\right)\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{2}}{\overset{\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}\\ y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{生}11:y=\sin x\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{2}}{\overset{\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}y=\sin 2x\\ \stackrel{\text{向}\text{左}\text{平}\text{移}\frac{\text{π}}{3}\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{生}12:y=\sin x\underset{\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{2}}{\overset{\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚}{\to }}y=\sin 2x\\ \stackrel{\text{向}\text{左}\text{平}\text{移}\frac{\text{π}}{6}\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right).\end{array}$

师:同学们基本形成了上述4种观点, 其中哪些观点正确呢?请同学们相互讨论, 找出其中正确的观点. (合作探究)

生13:生11的观点是错误的.如:在函数y=sin 2x的图像上取点A (0, 0) 左平移$\frac{\text{π}}{3}$个单位, 得到点$B\left(-\frac{\text{π}}{3}‚0\right)$, 但B不在函数$y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像上, 而生12的结论在这一点上是成立的.

生14:我赞同生13的观点, 如果设sin 2x=f (x) , 则$\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)=f\left(x+\frac{\text{π}}{6}\right)$, 即$y=\sin 2x\stackrel{}{\to }y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的过程, 实质上是$y=f(x)\stackrel{}{\to }y=f\left(x+\frac{\text{π}}{6}\right)$的过程.

由此可见, 生11的观点是错误的, 而生12的观点是正确的.

师:太精彩了, 你找到了问题的实质.

(教师借助《几何画板》在计算机上演示的动画过程, 从直观上肯定生14的观点)

(生9、生10观点的研讨过程类似, 略)

师:实际上, 函数的变换的各种变换, 都是对自变量x或函数值y进行的变换, 关键是找出其中的替换关系. (总结)

$\begin{array}{l}y=f(x)\underset{\text{以}\omega x\text{替}x}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚\text{横}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}\frac{1}{\omega }\text{倍}}{\to }}\\ y=f(\omega x)‚\\ y=f(x)\underset{\text{以}\frac{y}{A}\text{替}y}{\overset{\text{图}\text{像}\text{上}\text{各}\text{点}\text{的}\text{横}\text{坐}\text{标}\text{不}\text{变}‚\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{变}\text{为}\text{原}\text{来}\text{的}A\text{倍}}{\to }}\\ y=Af(x)‚\\ y=f(x)\underset{\text{以}x+\phi \text{替}x}{\overset{\text{图}\text{像}\text{沿}x\text{轴}\text{平}\text{移}-\phi \text{个}\text{单}\text{位}}{\to }}y=f(x+\phi )‚\\ y=f(x)\underset{\text{以}y-k\text{替}y}{\overset{\text{图}\text{像}\text{沿}y\text{轴}\text{平}\text{移}k\text{个}\text{单}\text{位}}{\to }}y=f(x)+k.\end{array}$

生15:老师, 我感觉你的结论有问题?

生15:你说过图像的变换归根结底是点的变化, 将一个点 (x, y) 向右平移2个单位是 (x+2, y) , 按你的结论是以x-2替x, 这对吗?

(很多同学也有同样疑问)

师:你说的点的平移没有任何错误, 但我讲得结论也没错.我从求图像解析式的角度给你说明.设向右平移2个单位后图像上任意一点的坐标为 (x, y) , y=f (x) 的图像上任意一点的坐标为 (x′, y′) , 则y′=f (x′) , 由得将其代入得到y=f (x-2) , 这就是平移后的函数解析式, 明白了吗? (生恍然大悟)

师:明确了函数图像的变换规律后, 请同学们来看下面的练习:

(1) 将函数$y=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{5}\right)$上各点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的$\frac{2}{3}$倍, 得到函数的解析式是___.

(2) 将函数y=sin x图像沿x轴向右平移1个单位, 再将图像上各点的横坐标不变, 纵坐标变为原来的3倍, 得到函数的解析式是___.

(3) 函数$y=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{5}\right)$的图像经过怎样的变换可以得到函数$y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像?

(4) 要得到函数y=sin 2x的图像, 可由函数$y=\cos \left(2x-\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像经过怎样变换得到?

$\begin{array}{l}\text{答}\text{案}:(1)y=\sin \left(3x-\frac{\text{π}}{5}\right)\\ (2)y=3\sin (x-1)\end{array}$

(3) 沿x轴向左平移$\frac{4\text{π}}{15}$个单位

(4) 沿x轴向右平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位

师: (点评) (2) 中出现了两步变换, 这种类型的题分步进行就可以了. (3) 中若无法直接看出平移了多少, 可以通过以x+φ替x, 则由$2(x+\phi )-\frac{\text{π}}{5}=2x+\frac{\text{π}}{3}$, 得$\phi =\frac{4\text{π}}{15}$, 故沿x轴向左平移$\frac{4\text{π}}{15}$个单位. (4) 将$y=\cos \left(2x-\frac{\text{π}}{3}\right)$用诱导公式化成$y=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{6}\right)$再进行变换:向右平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位.

错因分析 ①未能找准谁是目标函数;②未化为同名函数再进行变换.答案“向右平移$\frac{13\text{π}}{12}$个单位”或“向左平移$\frac{11\text{π}}{12}$个单位”均正确 (因为三角函数的周期性) .

师:通过这节课的学习, 你有什么收获?

生16:我明白了函数图像的横纵变换互不影响, 无论是横向还是纵向的变换, 都是针对变量本身进行的, 解决图像变换的关键是找出其中的替换关系.

师:我们知道函数有3种表示形式:解析式、图像和表格, 函数图像变换也外显为3种形式:代数变换 (以ωx+φ替x) 、图像变换 (平移或伸缩) 和数值变换 (在列表中体现函数y=f (x) 与y=Af (ωx+φ) +k的关系在数值上的变化) .图像变换与函数解析式变化紧密相连, 联系的纽带就是自变量x (函数值y) 的替换关系.

一句话就是“变换名不变, 替换是关键, 平移相反数, 伸缩变倒数”.

(用屏幕显示)

1.3 布置作业 (略)

2 教学反思

在进行函数变换教学时, 应从对函数变换的实际操作开始, 再研究解析式 (作为对象) 的变化, 最后形成函数变换作为整体结构关系的概念, 只有这样才符合先过程后对象的认知顺序.函数图像进行伸缩、平移变换时, 该图像上的点的坐标必然发生变化——进行相应的运算, 若能着眼于二者的联结点, 进一步探究挖掘出它们之间内在实质性联系, 并归纳抽象为一般抽象性结论, 用这样的结论, 可以从坐标关系去把握图像变换过程;反之, 也可以把图像变换过程转化为坐标运算关系, 两者相互为用, 能很方便准确地解决正、反各种类型的题目.

学生理解错误的理论根源:

1) 认识论障碍.

这个概念是由法国科学家和数学家Gaston Bachelard提出的, 他认为, 科学知识的发展受内在的、有时未被认识到的, 与理解过程相关的因素制约的, 而不是受现象的复杂性制约.上世纪70年代Bachelard将“认识论障碍”的思想引入数学教育之中, 在数学学科知识的发展以及个体学习者的概念发展, 如历史上的负数、虚数等概念发展的困难都是数学学科发展中的认识论障碍, “两数相乘, 结果变大”是个体在学习过程中的认识论障碍, 这种障碍源于学生的“正整数乘法”的概念, 当学生将这种经验推广到分数或一般整数运算时就产生了困难.

对数轴上数字运算的过度一般化, 就导致了学生在函数在平移和伸缩上的认识论障碍.

将变量x加上$\frac{\text{π}}{3}$, 在数轴上就表示向正 (右) 方向平移$\frac{\text{π}}{3}$个单位, 所以就认为函数y=sin x向正 (右) 方向平移$\frac{\text{π}}{3}$个单位就得到函数$y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)$的图像;将x乘以2, 在数轴上表示伸长2倍, 所以将函数y=sin x的横坐标伸长为原来的2倍, 就得到函数y=sin 2x的图像.

2) 降低抽象程度.

Hazzan研究发现, 学生学习抽象代数时, 关注的往往是集合中的单个元素而不是整个集合.也就是说, 他们注意的往往是更简单的对象, 而不是更复杂的对象.在函数变换的情形中, 学生关注的往往是自变量x这个对象, 而不是f (x) 这是更为抽象的对象.对于函数y=sin x和函数$y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)$, 学生能够正确看出$y=\sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)$是由y=sin 经过$x\to x+\frac{\text{π}}{3}$的代换后导出来的, 因此他们会将$\sin x\to \sin \left(x+\frac{\text{π}}{3}\right)$“降低抽象程度”, 归结为更简单的变换$x\to x+\frac{\text{π}}{3}$, 从而根据数轴上数字运算经验, 得出错误的平移方向.

参考文献

[1]刘兼, 孙晓天.数学课程标准解读[M].北京:北京师范大学出版社, 2002.

[2]钟启泉.基础教育课程改革纲要 (试行) 解读[M].上海:华东师范大学出版社, 2001.

[3]郝澎, 康晓东.一节以理性思维为主的研究课[J].中学数学教学参考, 2004, (9) .

三角函数式的变换 篇7

一、一题多解、开阔思路

三角函数式的变形公式,包括同角的三角函数关系和不同角的三角函数关系两大类,含有非常丰富的知识内容.大量的公式虽然使理解和记忆增加了一些困难,但由于它揭示了众多三角函数间的内在联系,从而为我们进行恒等变形,提供了较多可选择的途径.因此要注意在学习中采用一题多解的方法,积累解题经验,提高正确、灵活使用公式的能力.

此例题告诉我们学习数学不是仅满足于会做几道题,一个题会做了,绝不是学习的完结.要从解一个题中探索得到更多的收获.不能单纯去追求所谓的“高难”题目,而忽视从“简单”的题目中体会更深刻的道理.一题多解可以开阔思路,有助于复习和应用所学的知识,特别是能在“灵活”应用公式上做文章,有利于能力的培养、智力的开发,是一种行之有效的学习方法.

二、吃透公式,灵活应用变形公式

要在解题中做到思路广、方法多,首先要吃透公式,了解各组公式所揭示的三角函数间的关系,掌握它们的使用条件和方法.

下面着重剖析两组公式:

1.余弦的倍角公式

三、应用和差与积的互化变换三角函数式

和差化积与积化和差公式给出了三角函数式(正弦、余弦)和积互化的一般规律,即正弦函数、余弦函数进行加、减、乘运算法则.因此它们在三角函数式的恒等变形中起着重要的作用.为了化简,常把函数式化为连乘积的形式,除了利用代数式因式分解的一般方法,和差化积公式给出了重要的办法.这两组公式是互逆的,它们也揭示了不同角的三角函数关系.经常也用它把不同角的函数关系转化为同角的函数关系.

此外,和差公式、倍角公式、半角公式、万能置换公式等也揭示了不同角之间所具有的特殊关系,要深入领会,注意它们的使用,特别是余弦的倍角公式常用于把函数式降次或升幂.

四、对于具体角度的三角函数式的变形,要注意分析角之间的关系,变形中,通常尽量化为特殊角的函数值,使问题简化

角之间的特殊关系一般有两种:一是和差为,这时注意用诱导公式;二是和差为60°、45°、30°,这时用特殊角函数值.

例4求tan(29°-α) tan(57°+β) tan(61°+α)tan(147°+β)的值.

解:因为(29°-α)+(61°+α=90°,(147°+β)-(57°+β)=90°,

所以原式=tan(29°-α)cot(29°-α)tan(57°+β)[-cot(57°+β)]=-1.

五、善于总结、掌握方法

吃透公式,掌握公式的使用条件和方法,是熟练进行恒等变形的重要前提.同时,还要善于在练习过程中多思考、勤总结,掌握常见的基本类型题目的解题方法,为解决综合性题目打下坚实的基础.

三角恒等变形也是证明三角不等式的重要基础,这里不再一一列举.

函数图像的变换 篇8

FFT被提出后在工程背景当中起着巨大的作用。20世纪以来随着计算机技术的迅猛发展进而对DFT和FFT产生了深刻的影响, 进而使得FFT在通信领域应用更加广泛。虽然分数FFT的定义及数学理论很早就被提出, 并且逐渐完善, 但是它在通信领域的应用却迟迟到来。究其因有两方面:一方面是分数FFT的现实应用还清楚, 分数域的量纲含义不清晰;另一方面是没有出现像FFT这样易于快速算法。但是随着分数FFT在信号通信领域的研究逐渐深入, 近年来将其与通信结合的研究逐渐兴起。

1.图像矩阵的线性变换

正交变换和酉变换都是线性变换, DFT、DCT等都是变换核矩阵的不同特列。为了讨论二维傅里叶变换, 下面先给出变换的一般表达式, 然后讨论傅里叶变换。

1.1标量表达式

图像[f (m, n) ]M×N线性变换的标量表达式为:

图像线性反变换的标量表达式为:

其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1;=0, 1, …N-1, g和h分别称为正变换核和反变换核, 不同的线性变换其变换核也不同, 变换核集中反映了变换的性质。

1.2矢量表示

为了便于书写, 把线性变换表示为:

其中:G称为变换矩阵, , f是行向量或是列向量。当f是行向量时, 标量对应的关系式为:

其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1

1.3矩阵表示

如果变换核是可分的, 即:

则上式可以改写为:

1.4基平面

如果变换是可你的, 则有:

如果A和B分别用矢量表示出来, (7) 可以改写为:

把矩阵αiβj′称为一个基平面, F (i, j) 是f在平面上的坐标。

当图像的尺寸确定后。傅里叶变换的中基图像也就确定了, 以上是探讨图像变换的一般表达式, 下面探讨二维傅里叶变换的表达式。

2.傅里叶变换技术

是非常重要的数学工具, 它在工程领域到广泛的应用。在数字图像分析中, 二维傅里叶变换技术同样有着非常重要的作用。数字图像是一个空间域上的二维函数, 同时包含周期性成分、非周期性成分、噪声及背景。因为在空间领域中, 各种成分往往紧密交织在一起, 所以有时在空间领域上分离和处理这些成分是很困难, 有时是不可能实现。因此利用FFT技术可以将空间领域的图像转变为复频域的函数, 然后根据图像灰度特征的变化寻找反映空间领域中具有周期特征的点。

已知, 信号f (x) 的经典傅里叶变换形式如下:

如果信号f (x) 是实函数, 则变换后就变为复函数, 即:

这里, R (ω) 为F (ω) 的实部, I (ω) 为F (ω) 的虚部。

或将其表示为指数形式:

把 (12) 式进行推广, 使其维数扩展到二维, 就能得到:

而在实际的图像处理操作时, 应用到的往往都是傅里叶变换的离散形式。

下面, 给出经典傅里叶变换的一维离散表达形式:

将其维数推广到二维, 得到:

其中:k1=0, 1, 2…M-1;k2=0, 1, 2…N-1

其中:n1=0, 1, 2…M-1;n2=0, 1, 2…N-1

在对二维离散傅里叶变换进行运算时, 可将其转变为一维DFT的形式求解, 即先按行进行一维傅氏变换, 然后再按列进行一维FT。而在变换时, 如果人工计算其计算量可想而知, 因此人们开发了FFT, FT的结果得以图像的形式表现出来。

3.图像在傅里叶变换域的幅度和相位信息

对于人眼而言, 对相位变化比幅值信息变化更为直观, 然而相位信息比幅值信息更加重要, 而且相位信息在传输过程中容易受到影响, 相位的变化实质上反映图像的频率大小变化。下面我们一个离散矩形函数并做出其DFT的幅度对数图和相位图。在计算离散函数的DFT时, 可以对该函数进行补零来提高高高分分分辨辨辨率率率如如如图图图333所所所示示示。。。

4.实验结果及分析

在图像处理的广泛领域中, FT起着相当重要的作用, 包括图像的效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等。在图像数据的数字处理中常用的是二维FFT, 它能把空间领域的图像转变到复频域上进行研究, 从而能容易地对图像的各空间频域成分进行计算处理。在这里图像分析中的图像定位做本篇文章的实验结论, 首先用户期望在图像text.png中找到字母“a”, 如图5所示, 可以应用下面的办法来定位:将包含字母“a”的图像与图像text.png进行“与”运算, 也就是对包含字母“a”的图像和图像text.png进行FT, 同时利用快速卷积的办法, 处理字母“a”和图像text.png的卷积, 提取卷积运算的峰值, 即得到在图像text.png中对应字母“a”的结果。其次所谓将模板“a”和图像text.png进行相应运算, 就是先分别对其作FFT, 然后利用快速卷积的方法, 计算模板和图像text.png的卷积, 如图7所示, 并提取卷积运算的最大值, 即图8的白色亮点, 即得到图像text.png中字母“a”的定位结果。

参考文献

[1]张德丰等著.MATLAB数字图像处理[M].机械工业出版社, 2012.3第2版

[2]丁玉美、高西全编著.数字信号处理[M]西电出版社, 2005.5第二版

[3]孟凡文, 吴禄慎.基于FTP的二维傅里叶变换的研究[J], 激光与红外, 2008.9第9期

[4]田瑞卿, 基于分数傅里叶变换的图像数字水印[D], 北京化工大学硕士论文, 2006.6

[5]孔令军编著.MATLAB小波分析超级学习手册[M], 人民邮电出版社, 2014.5

函数图像的变换 篇9

【关键词】二维信号 二维离散 傅里叶变换 傅里叶反变换 图像压缩 MATLAB

一、引言

对信号的分类，可以从不同的角度进行，通常可以分为时域信号、频域信号，一维信号、二维或多维信号，连续信号、离散信号等。将信号采用数学函数表达式表示，给信号的连续性、确定性的研究提供了必要的研究基础，而常见的一维或二维的信号，如连续的一维声音信号、连续的二维图像信号，它们在时域上离散表示时，通常采用相关的数据表示。本文研究的内容，主要是时域上离散的二维图像信号数据与其频域信号的变换、处理问题。

二、二值化离散

对于二维离散数据可以理解为：它们原先是时间函数在一定采样频率下离散的结果。对一张图像、一个指纹、一个汉字等二维平面上的信息采样，可得到二维离散数据。离散后的数据，一般为正实数内的数据，为简便起见，下面对一个汉字进行二维数据进行二值化离散，即非0即1的离散。

将汉字“王”字的二维二值化数据，可用如图1(a)所示的矩阵描述，在f(m，n)矩阵中，将汉字中的笔画上的点用“1”表示，无笔画的地方用“0”表示。图1(b)为将图1(a)中“0”去掉以后的情形，由此可见，图1(a)所示的矩阵能基本表示出“王”字的信息。当然，点阵数越多，所描述出的汉字信息也越多，准确性越好，失真越小。

图1 “王”字的16*16点阵矩阵

对二维连续信号的傅里叶变换，定义为

(1)

其中p、q为空间频率，通常f(m，n)为空间频率的复数值函数，它也有模值与相角，其模值为二维幅度谱(能量谱、密度谱)。由于式(1)可表示为

因此，对二维连续信号f(m，n)的傅里叶变换可视为先沿一个方向进行一维的傅里叶变换，再沿另一个方向进行一维的傅里叶变换。同理，对傅里叶反变换也可以两次按一维进行。

与一维连续傅里叶变换相似，式(1)为二维连续信号的傅里叶变换，要想用计算机处理，必须将其离散化，二维离散傅里叶变换为

(2)

式(2)中，离散矩阵f(m，n)的行与列为M行、N列，M与N可以不相等，但都为正整数。如在图1中M=N=16。

三、软件实现

在MATLAB软件中，对一维数组a进行傅里叶变换使用函数fft(a)进行，对二维数组c进行傅里叶变换，可以利用对一维数组进行傅里叶变换的函数，进行二维数组的傅里叶变换函数，其形式为：fft(fft(c).′).′，也可以直接利用对二维数组的傅里叶变换函数fft2(c)进行；对二维数组c的傅里叶反变换函数，其形式为ifft2(c)。下面的MATLAB程序实现对图1所示的二维离散数据的进行显示、傅里叶变换、能量谱的显示、频谱压缩、傅里叶反变换、还原显示等处理，程序行右边以“%”开头的是程序的注释。

imshow(f，'notruesize')%显示矩阵f点阵图，如图2所示。

a=input('aaaaa=')%等待从命令窗口输入任意数，目的是看清图2结果。

F = fft2(f)；%对矩阵f进行2维傅里叶变换，赋值到F中

F0=F；%将F保存到F0中，后续还要用到F

F1 = log(abs(F))；%对变换结果取模值，并取常用对数，数越大，幅度越强

imshow(F1，[-1 4]，'notruesize')；%以五种颜色显示频谱，

colormap(jet)； colorbar%结果如图3所示

a=input('bbbbb=') %等待从命令窗口输入任意数

由图3可知，频谱的中心部分对应图像的高频分量，其能量较低，它们在傅里叶变换反变换中作用较小，为此，可将中心部分的频谱去掉，清空为零，，然后进行傅里叶变换反变换，得到点阵图案。为此，可继续执行如下程序。

for i=8：1：10；%对第8到第10行

for j=6：1：12；%对第6到第12列

F( i，j )=0；%频谱的中间清空(为0)

end%列循环结束

end%行循环结束

f1=ifft2(F)%对中空的频谱做傅里叶反变换

f2=abs(f1)%对变换结果取绝对值，因为变换结果为有正、负的实数

imshow(f2，'notruesize') %将矩阵f2中的数据显示出来，结果与图2完全相同

a=input('cccccc=')%等待从命令窗口输入任意数，目的是看清图的结果

从中空的频谱的反变换所得到的点阵图像与原点阵图像相同这一点说明，二维数据的频谱从能量上看，主要分布在边缘部分，如果将原频谱F0的四角重新组织在一起，从16*16频谱矩阵F0生成一个新的8*8频谱矩阵F2。

这样处理，实际上就是实现了频谱压缩，将压缩的频谱进行傅里叶变换反变换，得到压缩一般的点阵图案，为此，可继续执行程序(程序略)。

由图4可见，这是一个非二值化的灰度图象，已基本上看不清是一个“王”字，因为在f4矩阵中的数据尽管是实数，但并非是非0即1的数据，为此，要进行二值化处理，将高于某个数值的认为是1，而低于某个数值的认为是0，这个数值即阈值。对阈值的选择，可取f4矩阵中的数据的平均值。

四、结论

通过程序执行发现，用平均值作阈值所得到的图像并不是十分理想，而当阈值y=2.53~2.71时，形成的压缩图像保持一致，如图6所示。比较图2原16*16点阵图与图6压缩8*8点阵图，压缩图笔画信息稍有失真。可见，还原阈值的选择十分重要。

以上例子显示了利用傅里叶变换与反变换函数，对二维图像信息的压缩处理与还原的具体应用，展示了傅里叶变换与反变换在信号的时域、频域处理方面的作用。

参考文献：

[1]程佩青.数字信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2001，8.

函数变换在大学数学中的应用 篇10

大学中，数学是重要的基础课，其概念和理论高度抽象，解题复杂，其证明又难于构建．大一新生，刚进入大学，就开始大学数学的学习，其在中学的学习过程中，形成的固定的思维方式和学习方法，对于高度抽象的概念的理解，新理论的学习，以及数学解题以证明方法的掌握面临较大的困难．为了让学生尽快掌握新的学习方法，学好数学课，在大学数学教学中，灵活运用函数变换法，有利于学生对数学的基础知识、基本理论、常规数学方法的理解和掌握．函数变换法有多种，本文就数学课程教学中遇到的各种函数变换法，逐一加以介绍，供人参考，希望通过这文章，能够给同行的教学以及学生学习数学带来一点用处．

数学中为了需要，常常采用函数变换的方法，来简化计算和证明，或一个复杂的难于用简单常规方法解决的问题，通过运用函数变换的方法，将其转换成另一形式，使其变得容易解决．函数变换的方法在数学分析中主要有两种，一种用来简化计算，另一种是转换解题的方法．思路是:将问题中的y=f(x)经过一种可逆的函数变换，转换成定义域和值域都不相同的另一类函数F(x)，然后较为容易地解出F(x)来，从而得到原来函数y=f(x)的解．下面本文分两类来进行阐述．

二、函数变换

1．数学中简化计算的函数变换

函数变换的方法在数学分析中常见于用来简化计算，如求极限、求导算、求积分、简单的证明等等．将无理化有理问题:就是将含有无理式的问题转化为有理式的问题来解决．如:无理式的求极限、无理函数的积分、无理函数的求导问题;也可以将乘幂的问题转换成一般的乘法问题来完成，等等．

将无理式的积分转化为了有理函数的积分，这就比较容易计算了．

求y=u(x)v(x)(u(x)>0)的导数，直接求导比较繁琐，利用两边取对数:有lny=v(x)ln[u(x)],

无穷级数的证明或判别其敛散性问题，有的也可以运用函数变换法，来找到解题的方法．如证明:调和级数是发散的．利用函数变换，令固调和级数发散．这种方法可以类比到其他的很多问题中．

2．数学中转换问题形式的函数变换

有的问题用以前的常规的方法无法解决，使得求解过程很困难，或者问题的解无法用精确的解来表示，则我们可以考虑用函数变换的方法来进行．

求∫lnxdx的解，我们用分部积分∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C.

通常我们用初等积分法来解常微分方程，但众多的微分方程是无法用初等积分法来解决的．有些方程的解无法用初等函数来表示，我们可以首先将函数通过函数变换的方法，将函数转换成幂级数，再来求解微分方程．

求微分方程y″+ysinx=ex2的通解．先将sinx和ex2利用幂级数的展开，展为:

设其解具有形式:

y=a0+a1x+a2x2+…，ai(i=1,2，…)，是待定的常数，把y,y',y″代入原方程，得原方程的通解为

这种方法，也为求解微分方程的近似解提供了一种有效的方法，这种方法对分析微分方程的实际问题是很有用的，而且根据泰勒公式的理论，其误差估计也很方便．利用这种方法我们还可以解一般的非线性微分方程．