指数函数课堂教学小结案例分析

指数函数课堂教学小结案例分析（精选10篇）

指数函数课堂教学小结案例分析 篇1

指数函数课堂教学小结案例分析

下面是“指数函数”一课的课堂小结：

〖案例2.4〗 指数函数1

T：通过这节课的学习你有哪些收获？好，有人举手了，你来说说看。

S1：今天认识了指数函数的定义域和值域，它的特殊性质，如单调性。

T：噢，他是这样想的。那其他同学呢？××，你来谈谈。

S2：我觉得是，以后研究函数的一个方法，就是结合数和形来研究。

T：噢，利用数和形来研究函数。还有吗？

S3：研究问题时，应先从特殊开始，举些例子，再进一步探究一般性质。T：噢，前几位同学都谈得很好，那其他同学呢？你们怎么想的？

S4：还可以从实际问题中提取数学模型，进行研究，可以先进行直观地

感受，提出猜想，归纳假设，再用数学方法证明。

〖案例评析〗

这是一节“指数函数”的起始课，在教学结束阶段，教师让学生成功总结出这节课的主要内容和研究方法。反映出学生具有很好的总结数学知识和归纳思想方法的水平，这与教师在平常的教学中善于归纳总结、惯于提炼数学思想方法是分不开的。

(1)开展多种形式的教学小结

以上的教学片段，是以学生为主体的教学小结，其目的是对指数函数研究过程中所涉及的数学思想方法和科学研究一般方法的归纳和概括。教学实践表明，教师放手让学生参与教学小结，可以收到很好的教学效果。

在数学教学中，教师应引导学生适时总结所学知识，这对发展学生的数学思维能力也是有帮助的。在数学学习中，学生不仅可以是数学探究活动的主体，也可以是课堂教学小结的主体。教师要敢于放手、善于放手，引导学生对教学内容进行小结。尽管学生分析得出的结论可能在表述上和方法上未能尽如人意，但通过小结可以理清学生的数学思维路线，发展他们的数学交流能力，有效地帮助他们在新旧知识之间建立联系，使得他们所学的知识得以强化、系统化和结构化。

数学课堂教学小结，可以是教师口头重复、强调重要的概念、原理，也可以是对思想方法的归纳概括，还可以通过列表比较或构造知识框图来加强新旧知识之间的联系。数学课堂教学小结，可以是某个教学环节的小结、一节课的总结，也可以是一个单元、一个学期的复习总结。这些不同阶段、不同形式的数学教学小结，只要是对发展学生的数学思维能力有帮助的，都可以成为数学教学思维导1 本案例选自南京师范大学涂荣豹教授的研课内容，本文作者也参加了讨论.向的方法和策略。

(2)提炼思想方法

上述教学片段中，教师并没有满足于让学生仅仅记住指数函数的概念、图像、性质等，而是重申了概念形成、性质探究时所涉及的数形结合、观察-归纳-猜想-证明、数学模型等常见的数学思想方法。通过对这些思想方法的回顾，学生深化了对函数的认识，获得了研究函数性质的一般方法：首先描点画图，再利用数形结合思想，借助图像研究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，且研究中通常是从特殊到一般、从直观到理性，先通过特例观察，得到一般规律，再用已有的数学知识和方法加以验证和说明。

这是一种提炼思想方法的过程，在这里不仅有具体的数学思想方法(数形结合等)，还有科学研究的一般方法(从特殊到一般、从直观到理性等)，这样的教学小结对后续课程(如：对数函数、三角函数等)的教学有启示意义，对学生的学习也有很好的方法论意义。

数学教学实践表明，只有教师在教学中长期坚持引导学生总结教学内容背后所隐藏的数学思想方法，从具体的、逻辑的、一般性的数学方法和科学研究的一般方法等层面进行归纳概括，才能加深学生对数学对象本质的理解和对科学研究一般规律的认识。从思维导向的角度看，这种在教学中提炼思想方法的做法，是发展学生数学思维能力的有效方式。

第二章函数知识小结(自制) 篇2

第二章函数知识小结

函数定义：一前提、三关键（映射）定义域（分母不为零、偶次根式被开方数为非负数、指数式的底数大于零、对数式的真数大于零、对数的底数对于零且不为

1、抽象函数的定义域两条、实际问题中函数的定义域）函数的概念、函数的三要素值域（观察法、单调性法、二次函数配方法图像法、一次的分式函数反解法分离常数法、反解法、二次分式函数分离常数法判别式法、分段函数图像法分段处理、无理函数单调性法换元法）解析式（待定系数法、换元法、配凑法、消元法）单调性（定义、证明步骤、基本函数的单调性、判断单调性的方法、求函数的单函数的性质调区间、复合函数的单调性）奇偶性（定义、判断步骤、奇偶性的性质、奇偶性、图像特征）函数恒成立问题（函数、分离变量）二次函数（定义三种形式、性质、最值、二次不等式解法恒成立）指数：根式两等式、分数指数幂、运算法则指数函数指数函数（定义；图像与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、定点、三类特殊函数值的分布、底数互为倒数的图像关系、底数与图像规律）对数：对数与指数互化、对数恒等式三性质、运算法则、换底公式、底数与指数的指数、交换底数和真数公式 对数函数对数函数（定义、图像与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、定点、值的分布、底数互为倒数的图像关系、底数与图像规律）分段函数（首选图像法、再考虑分段处理）三类特殊函数抽象函数（首选找具体函数模型、再令值法）复合函数（分解成小函数）

Lua字符串模式匹配函数小结 篇3

模式匹配函数

在string库中功能最强大的函数是：

代码如下:

string.find(字符串查找)

string.gsub(全局字符串替换)

string.gfind(全局字符串查找)

string.gmatch(返回查找到字符串的迭代器)

这些函数都是基于模式匹配的，与其他脚本语言不同的是，Lua并不使用POSIX规范的正则表达式[4](也写作regexp)来进行模式匹配。主要的原因出于程序大小方面的考虑：实现一个典型的符合POSIX标准的regexp大概需要4000行代码，这比整个Lua标准库加在一起都大。权衡之下，Lua中的模式匹配的实现只用了500行代码，当然这意味着不可能实现POSIX所规范的所有更能。然而，Lua中的模式匹配功能是很强大的，并且包含了一些使用标准POSIX模式匹配不容易实现的功能。

string.gmatch(str, pattern)

这是一个返回迭代器的函数. 实际的用例如下:

代码如下:

s = “hello world from Lua”

for w in string.gmatch(s, “%a+”) do

print(w)

end

这里是一个捕获并将配对字符分别存到不同变量的例子:

代码如下:

t = {}

s = “from=world, to=Lua”

for k, v in string.gmatch(s, “(%w+)=(%w+)”) do

t[k]=v

end

for k, v in pairs(t) do

print(k, v)

end

string.gsub(str, pattern, repl, n)

string.gsub()函数根据给定的配对表达式对源字符串str进行配对, 同时返回源字符串的一个副本, 该副本中成功配对的所有子字符串都将被替换. 函数还将返回成功配对的次数.实际的替换行为由repl参数的类型决定:

当repl为字符串时, 所有成功配对的子字符串均会被替换成指定的repl字串.

当repl为table时, 对每个成功配对的子字符串, 函数均会试图寻找以其为key值的table中的元素, 并返回该元素. 如果该配对包含任何捕获信息, 则以编号为1号的捕获作为key值进行查找.

当repl为函数时, 每个成功配对的子字符串均会作为参数被传入到该函数中去.

在repl是table或函数时, 如果该table或函数返回了字串或数字的值, 这个值依然会被用于替换副本字串中的配对子字串. 如果该table/函数返回的值为空, 将不发生替换.

n参数可选, 当它被指定时, string.gsub()函数只对源字符串中的前n个成功配对的成员进行操作.

以下是几个例子:

代码如下:

>print(string.gsub(“hello world”, “(%w+)”, “%1 %1”))

hello hello world world 2

>print(string.gsub(“hello Lua”, “(%w+)%s*(%w+)”, “%2 %1”))

Lua hello 1

>string.gsub(“hello world”, “%w+”, print)

hello world 2

>lookupTable = {[“hello”] = “hola”, [“world”] = “mundo”}

>print(string.gsub(“hello world”, “(%w+)”, lookupTable))

hola mundo 2

string.match(str, pattern, init)

string.match()只寻找源字串str中的第一个配对. 参数init可选, 指定搜寻过程的起点, 默认为1.

在成功配对时, 函数将返回配对表达式中的所有捕获结果; 如果没有设置捕获标记, 则返回整个配对字符串. 当没有成功的配对时, 返回nil.

代码如下:

string.match(“abcdaef”, “a”)

->a

string.reverse(str)

返回一个字符串的倒序排列

代码如下:

string.reverse(“abcde”)

->edcba

string.dump(function)

返回指定函数的二进制代码(函数必须是一个Lua函数，并且没有上值)

string.find(str, pattern, init, plain)

string.find的基本应用就是用来在目标串(subject string)内搜索匹配指定的模式的串。函数如果找到匹配的串返回他的位置，否则返回nil.最简单的模式就是一个单词，仅仅匹配单词本身。比如，模式‘hello‘仅仅匹配目标串中的“hello”。当查找到模式的时候，函数返回两个值：匹配串开始索引和结束索引。

代码如下:

s = “hello world”

string.find(s, “hello”)-->15

string.find(s, “world”)-->711

string.find(s, “l”)-->33

string.find(s, “lll”)-->nil

string.find函数第三个参数是可选的：标示目标串中搜索的起始位置。当我们想查找目标串中所有匹配的子串的时候，这个选项非常有用。我们可以不断的循环搜索，每一次从前一次匹配的结束位置开始。下面看一个例子，下面的代码用一个字符串中所有的新行构造一个表：

代码如下:

local t = {}-- 存放回车符的位置

local i = 0

while true do

i = string.find(s, “ ”, i+1)-- 查找下一行

if i == nil then break end

table.insert(t, i)

end

string.sub(str,sPos,ePos)

string.gsub的功能是截取字符串，他从指定起始位置截取一个字符串。string.sub可以利用string.find返回的值截取匹配的子串。

对简单模式而言，匹配的就是其本身

代码如下:

s = “hello world”

local i, j = string.find(s, “hello”)-->15

string.sub(s, i, j)-->hello

string.gsub(str, sourcestr, desstr)

string.gsub的基本作用是用来查找匹配模式的串，并将使用替换串其替换掉：

string.gsub函数有三个参数：目标串，模式串，替换串。

代码如下:

s = string.gsub(“Lua is cute”, “cute”, “great”)

print(s)-->Lua is great

s = string.gsub(“all lii”, “l”, “x”)

print(s)-->axx xii

s = string.gsub(“Lua is great”, “perl”, “tcl”)

print(s)-->Lua is great

第四个参数是可选的，用来限制替换的范围：

代码如下:

s = string.gsub(“all lii”, “l”, “x”, 1)

print(s)-->axl lii

s = string.gsub(“all lii”, “l”, “x”, 2)

print(s)-->axx lii

string.gsub的第二个返回值表示他进行替换操作的次数，

例如，下面代码涌来计算一个字符串中空格出现的次数：

代码如下:

_, count = string.gsub(str, “ ”, “ ”)

(注意，_ 只是一个哑元变量)

模式

你还可以在模式串中使用字符类。字符类指可以匹配一个特定字符集合内任何字符的模式项。比如，字符类%d匹配任意数字。所以你可以使用模式串‘%d%d/%d%d/%d%d%d%d‘搜索dd/mm/yyyy格式的日期：

代码如下:

s = “Deadline is 30/05/, firm”

date = “%d%d/%d%d/%d%d%d%d”

print(string.sub(s, string.find(s, date)))-->30/05/1999

下面的表列出了Lua支持的所有字符类：

单个字符(除^$()%.[]*+-?外): 与该字符自身配对

.(点): 与任何字符配对

%a: 与任何字母配对

%c: 与任何控制符配对(例如 )

%d: 与任何数字配对

%l: 与任何小写字母配对

%p: 与任何标点(punctuation)配对

%s: 与空白字符配对

%u: 与任何大写字母配对

%w: 与任何字母/数字配对

%x: 与任何十六进制数配对

%z: 与任何代表0的字符配对

%x(此处x是非字母非数字字符): 与字符x配对. 主要用来处理表达式中有功能的字符(^$()%.[]*+-?)的配对问题, 例如%%与%配对

[数个字符类]: 与任何[]中包含的字符类配对. 例如[%w_]与任何字母/数字, 或下划线符号(_)配对

[^数个字符类]: 与任何不包含在[]中的字符类配对. 例如[^%s]与任何非空白字符配对

当上述的字符类用大写书写时, 表示与非此字符类的任何字符配对. 例如, %S表示与任何非空白字符配对.例如，‘%A‘非字母的字符

代码如下:

print(string.gsub(“hello, up-down!”, “%A”, “.”))

-->hello..up.down. 4

(数字4不是字符串结果的一部分，他是gsub返回的第二个结果，代表发生替换的次数。下面其他的关于打印gsub结果的例子中将会忽略这个数值。)在模式匹配中有一些特殊字符，他们有特殊的意义，Lua中的特殊字符如下：

代码如下:

( ) . % + - * ? [ ^ $

‘%‘ 用作特殊字符的转义字符，因此 ‘%.‘ 匹配点;‘%%‘ 匹配字符 ‘%‘。转义字符 ‘%‘不仅可以用来转义特殊字符，还可以用于所有的非字母的字符。当对一个字符有疑问的时候，为安全起见请使用转义字符转义他。

对Lua而言，模式串就是普通的字符串。他们和其他的字符串没有区别，也不会受到特殊对待。只有他们被用作模式串用于函数的时候，‘%‘ 才作为转义字符。所以，如果你需要在一个模式串内放置引号的话，你必须使用在其他的字符串中放置引号的方法来处理，使用 ‘‘ 转义引号，‘‘ 是Lua的转义符。你可以使用方括号将字符类或者字符括起来创建自己的字符类(译者：Lua称之为char-set，就是指传统正则表达式概念中的括号表达式)。比如，‘[%w_]‘ 将匹配字母数字和下划线，‘[01]‘ 匹配二进制数字，‘[%[%]]‘ 匹配一对方括号。下面的例子统计文本中元音字母出现的次数：

代码如下:

_, nvow = string.gsub(text, “[AEIOUaeiou]”, “”)

在char-set中可以使用范围表示字符的集合，第一个字符和最后一个字符之间用连字符连接表示这两个字符之间范围内的字符集合。大部分的常用字符范围都已经预定义好了，所以一般你不需要自己定义字符的集合。比如，‘%d‘ 表示 ‘[0-9]‘;‘%x‘ 表示 ‘[0-9a-fA-F]‘。然而，如果你想查找八进制数，你可能更喜欢使用 ‘[0-7]‘ 而不是 ‘[01234567]‘。你可以在字符集(char-set)的开始处使用 ‘^‘ 表示其补集：‘[^0-7]‘ 匹配任何不是八进制数字的字符;‘[^ ]‘ 匹配任何非换行符户的字符。记住，可以使用大写的字符类表示其补集：‘%S‘ 比 ‘[^%s]‘ 要简短些。

Lua的字符类依赖于本地环境，所以 ‘[a-z]‘ 可能与 ‘%l‘ 表示的字符集不同。在一般情况下，后者包括 ‘ç‘ 和 ‘ã‘，而前者没有。应该尽可能的使用后者来表示字母，除非出于某些特殊考虑，因为后者更简单、方便、更高效。

可以使用修饰符来修饰模式增强模式的表达能力，Lua中的模式修饰符有四个：

代码如下:

+匹配前一字符1次或多次

*匹配前一字符0次或多次

-匹配前一字符0次或多次

?匹配前一字符0次或1次

‘+‘，匹配一个或多个字符，总是进行最长的匹配。比如，模式串 ‘%a+‘ 匹配一个或多个字母或者一个单词：

代码如下:

print(string.gsub(“one, and two; and three”, “%a+”, “word”))

-->word, word word; word word

‘%d+‘ 匹配一个或多个数字(整数)：

代码如下:

i, j = string.find(“the number 1298 is even”, “%d+”)

print(i,j)-->1215

‘*‘ 与 ‘+‘ 类似，但是他匹配一个字符0次或多次出现.一个典型的应用是匹配空白。比如，为了匹配一对圆括号()或者括号之间的空白，可以使用 ‘%(%s*%)‘。( ‘%s*‘ 用来匹配0个或多个空白。由于圆括号在模式中有特殊的含义，所以我们必须使用 ‘%‘ 转义他。)再看一个例子，‘[_%a][_%w]*‘ 匹配Lua程序中的标示符：字母或者下划线开头的字母下划线数字序列。

‘-‘ 与 ‘*‘ 一样，都匹配一个字符的0次或多次出现，但是他进行的是最短匹配。某些时候这两个用起来没有区别，但有些时候结果将截然不同。比如，如果你使用模式 ‘[_%a][_%w]-‘ 来查找标示符，你将只能找到第一个字母，因为 ‘[_%w]-‘ 永远匹配空。另一方面，假定你想查找C程序中的注释，很多人可能使用 ‘/%*.*%*/‘(也就是说 “/*” 后面跟着任意多个字符，然后跟着 “*/” )。然而，由于 ‘.*‘ 进行的是最长匹配，这个模式将匹配程序中第一个 “/*” 和最后一个 “*/” 之间所有部分：

代码如下:

test = “int x; /* x */ int y; /* y */”

print(string.gsub(test, “/%*.*%*/”, “”))

-->int x;

然而模式 ‘.-‘ 进行的是最短匹配，她会匹配 “/*” 开始到第一个 “*/” 之前的部分：

代码如下:

test = “int x; /* x */ int y; /* y */”

print(string.gsub(test, “/%*.-%*/”, “”))

-->int x; int y;

‘?‘ 匹配一个字符0次或1次。举个例子，假定我们想在一段文本内查找一个整数，整数可能带有正负号。模式 ‘[+-]?%d+‘ 符合我们的要求，它可以匹配像 “-12”、“23” 和 “+1009” 等数字。‘[+-]‘ 是一个匹配 ‘+‘ 或者 ‘-‘ 的字符类;接下来的 ‘?‘ 意思是匹配前面的字符类0次或者1次。

与其他系统的模式不同的是，Lua中的修饰符不能用字符类;不能将模式分组然后使用修饰符作用这个分组。比如，没有一个模式可以匹配一个可选的单词(除非这个单词只有一个字母)。下面我将看到，通常你可以使用一些高级技术绕开这个限制。

以 ‘^‘ 开头的模式只匹配目标串的开始部分，相似的，以 ‘$‘ 结尾的模式只匹配目标串的结尾部分。这不仅可以用来限制你要查找的模式，还可以定位(anchor)模式。比如：

代码如下:

if string.find(s, “^%d”) then ...

检查字符串s是否以数字开头，而

代码如下:

if string.find(s, “^[+-]?%d+$”) then ...

检查字符串s是否是一个整数。

‘%b‘ 用来匹配对称的字符。常写为 ‘%bxy‘ ，x和y是任意两个不同的字符;x作为匹配的开始，y作为匹配的结束。比如，‘%b()‘ 匹配以 ‘(‘ 开始，以 ‘)‘ 结束的字符串：

代码如下:

print(string.gsub(“a (enclosed (in) parentheses) line”, “%b()”, “”))

-->a line

指数函数课堂教学小结案例分析 篇4

（加强基础知识练习，祝你数学学习进步）

1、形如y=（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

自变量的取值范围是。

2、二次函数y=ax(a≠0)的图象是，它关于对称，顶点是。当a＞0时，抛物线的向上，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

函数y=(ax+m)(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象向（当m＜0）或向（当m＞0）平移个单位得到。

函数y=(ax+m)+k(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象先向右（当m＜0）或向左（当m＞0）平移个单位，再向上（k＞0）或向下（当k＜0）平移个单位得到，顶点是，对称轴是直线。

3、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条，它的对称轴是直线，顶点坐标是。当a＞0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

对于二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，若a＞0，则当x≥时，y随x的增大而增大，当x ≤时，1 2222222

y随x的增大而，当x=时，y最小值=；若a＜0，则当x≤时，y随x的增大而，当x≥时，y随x的增大而减小，b当x=时，y最大值=。2a4a4、主要方法和和技能

（1）用描点法画二次函数的图象。

（2）利用图象求一元二次方程的解。

（3）求二次函数的最大值或最小值。

课堂小结案例点滴 篇5

金川区双湾中学 陆进义

课堂小结是授课结束时，教师以精练的语言，对所学知识及时地巩固、升华，使新知识有效地纳入学生的认识结构中的过程。但是，在目前历史课堂教学中，许多老师非常重视导入的艺术，却往往忽视结课艺术，有的干脆把小结这一教学环节省略，顾此失彼，虎头蛇尾。一堂好的历史课，不但要有引人入胜的开头，也要有回味无穷的结尾。

因为课堂小结有整合知识、深化知识、反馈信息、承前起后、加深印象、发展智力、培养能力等功能，所以我们必须重视课堂小结的研究。

课堂小结的形式应是千姿百态、灵活多样的。以下是我结合自己的教学实践、借鉴他人成功之经验，归纳、总结的几种小结形式。

1.总结式小结，这是一种传统的归纳结尾方式。采用这种方式教师要以准确简洁的语言，提纲挈领地进行归纳，概括本课的知识结构和主要内容，促使学生加深对所学知识的理解，培养他们的总结概括能力。如教《三国鼎立局面的形成》一课后，可总结为：从公元前220年到589年的三国两晋南北朝，是我国封建国家的分裂和民族大融合时期，东汉末年各地军阀为争夺地盘进行混战，经过官渡之战，曹操统一北方；经过赤壁之战，奠定了三国鼎立的基础。魏、蜀、吴的建立，标志着三国鼎立局面的形成。为了入主中原，它们各自发展本地区经济。分裂是短暂的，统一是历史发展的必然趋势。

2.串联式小结，在一课或几课基础知识、几个历史时期学完之后,常常可以把一些相关的知识内容重新整合,前后贯穿,有机的融合在一起。这种小结能使学生在头脑中形成一个系统的知识网络,有利于学生对知识的掌握和运用。常用的方法有串讲、列表、画图等。如讲完《郑成功收复台湾》这一内容之后。可以挂出了自制图表由学生讨论、填空和小结:如

台湾自古以来就是中国的领土:三国:吴国卫温到台湾；元朝:设澎湖巡检司对台湾澎湖进行管理；清朝:1662年郑成功收复台湾,1684年设台湾府。这种小结方式,使学生对旧知识温故知新,对新知识又有新的认识,提高了教学效果。

3.点题式小结，适用于标题能体现主题的新课。教师用描述课文的主要内容的形式导入课后，可以很自然地引导学生学习新内容。这类课可以用点题式结课。如教《和同为一家》一课，可小结为：唐朝是我国统一的多民族国家进一步发展的重要时期，唐朝与周边少数民族大多数关系友好，“和同为一家”。由于开明的民族政策，强盛的国力和先进的文化，唐朝吸引着各族人民与之交往，在交往中与唐朝加强了政治、经济、文化诸方面的交流。这正如“画龙点睛”，深化了教学内容的思想内容。

4.比喻式小结，教师通过比喻,将抽象的理论变成生动形象的语言和事例。如《战国七雄》的小结语:“纵观战国时期250多年的历史发展脉络,如果把它比作一次长跑比赛,起跑最快的是魏国,结果李悝变法,魏国一马当先称雄中原。一直到马陵之战之后,齐国赶了上来。超到了魏国前面。秦国经过商鞅变法,也超了过去。齐秦两国你追我赶,难分先后的跑了一段,终于秦国愈跑愈快,在七个比赛中遥遥领先。比赛最后的结果是,秦国一统天下。不过,临近终点的这最后一圈,秦国是怎样奋力冲刺,怎样实现他灭六国一统天下的,这是最精彩最紧张的一幕,我们今后再学”。贴切的比喻,生动的语言,既整理了前课,又引导了后一课,起到了承上启下的作用,使学生在轻松愉快的氛围中接受知识,并主动积极地探求新知识。

5.数字式小结，就是师生共同参与，用数字把当堂课所学的重点内容加以整理、总结。如讲《隋朝大运河》时，可把大运河总结为：它是一条由二百万人参与开凿的，由三点连接，由四段构成，沟通五水贯穿六省的功利古今的大工程。如此一来，学生经过自己动脑，既提高了归纳、概括能力，又增强了记忆能力。

6.激励期待式小结，适用于文化成就、中国近代屈辱史一类的课目。这类小结可使学生

在为先人创造的辉煌灿烂的人类文明倍感自豪、为苦难的旧中国饱受西方列强蹂躏、欺辱而倍感愤慨的同时，激发他们强烈的爱国主义激情以及奋发向上、努力学习的决心，从而对学生进行了思想品德教育，使知识得以升华。如讲完《七七事变》，针对南京大屠杀可以小结为：罄南山之竹，书罪无穷；决东海之波，流恶难尽。如果没有真实的镜头、详尽的文字、残破的遗迹，我们简直难以相信。虽然历史已经过去，但不会消逝，历史流下的不仅仅是一堆资料、几块碑刻，数处遗址。时光的流逝也许会磨灭人们心头的许多记忆，但充满着“血与火”的往事历历在目，警示人们永远引以为戒。

再如：悬念式小结，列表式小结，探索式小结，趣味式小结等等，不一而足。

指数函数课堂教学小结案例分析 篇6

1.复习。

反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

求出函数y=x3的反函数。

2.新课。

先让学生用几何画板画出y=x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象(图1)：

教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。

生2：这是y=x3的反函数y=的图象。

师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。

(学生展开讨论，但找不出原因。)

师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。

(生1将他的制作过程重新重复了一次。)

生3：问题出在他选择的次序不对。

师：哪个次序?

生3：作点B前，选择xA和xA3为B的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为(xA3，xA)，而不是(xA，xA3)。

师：是这样吗?我们请生1再做一次。

(这次生1在做的过程中，按xA、xA3的次序选择，果然得到函数y=x3的图象。)

师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?

(学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。)

师：我们请生4来告诉大家。

生4：因为他这样做，正好是将y=x3上的点B(x，y)的横坐标x与纵坐标y交换，而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。

师：完全正确。下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?

(多数学生回答可由y=x3的图象得到y=的图象，于是教师进一步追问。)

师：怎么由y=x3的图象得到y=的图象?

生5：将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y=的图象。

师：将横坐标与纵坐标互换?怎么换?

(学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。)

师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系?

(学生重新开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。)

生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。

师：能说说是关于哪条直线对称吗?

生6：我还没找出来。

(接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：)

学生通过移动点A(点B、C随之移动)后发现，BC的`中点M在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y=x。

生7：y=x3的图象及其反函数y=的图象关于直线y=x对称。

师：这个结论有一般性吗?其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗?请同学们用其他函数来试一试。

(学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。)

还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象(图3)：

教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y=x2(x∈R)没有反函数，②也不是函数的图象。

最后教师与学生一起总结：

点(x，y)与点(y，x)关于直线y=x对称;

函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。

二、反思与点评

1.在开学初，我就教学几何画板4.0的用法，在教函数图象画法的过程中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4.04中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板4.0进行教学。

2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。

计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果;如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。

当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。

指数函数课堂教学小结案例分析 篇7

——杨嘉伟 盛泽二中

今年我有幸学习了《数与代数内容分析及教学建议》这门功课，受益匪浅，其中：数与代数内容结构分析、数与式内容分析与教学，让我学到了很多东西。阐述如下：

《标准》在课程内容栏目下列出了10个核心概念，其中与初中代数课程密切相关的主要包括：符号意识、运算能力、推理能力、模型思想。核心概念是一类课程内容的核心或聚焦点，它们是数学课程、特别是数学课堂教学的主要目标点。《标准》在课程目标就明确提出了：建立符号意识、初步形成运算能力等内容。但对于广大教师而言，首先需要弄清楚的可能是这些核心概念的主要内涵。按照《标准》的界定，所谓核心概念，本质上体现的是数学的基本思想，即关于数学抽象、数学推理和数学模型的思想。比如，符号意识和运算能力与数学抽象、数学推理联系较为密切，推理能力与数学推理直接相连，而模型思想就反映了数学模型的思想。

符号意识

具体说，数学符号包括数字、字母、图形、关系式等，数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，数源于对数量本质（多与少）的抽象，数的运算也是对具体操作步骤的抽象；进一步，代数的出现使得字母可以像‘数’那样进行运算，而且通过符号运算得到的结果具有一般性。符号意识

就是学生在认识、运用数学符号方面的主动性反应。所以教学过程中培养学生符号意识的重心就应当是让学生：

运算能力

运算包括精确计算和估算。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，它是运算技能与逻辑思维等的有机整合。应用面非常广。

蕴含在运用数学概念、法则、公式解决问题的过程中。

但需要明确的是，运算能力的形成不能一蹴而就，它的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地进行。这个发展要表现出适度性和层次性。

按照课程标准的设计，在初中阶段，数与代数学习的主要内容有：数的概念、数的运算，字母表示数、代数式及其运算，方程、方程组、不等式、函数等内容。其中数的概念是学生在小学学习自然数、分数、小数基础上从有理数开始的，从有理数逐步扩充到无理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。数的运算也伴随着数的形成与发展不断丰富，从字母的引入，代数式和方程的出现，是数及运算的进一步抽象。了解数与代数内容的本质与发展，从整体上认识相关概念的发展脉络，有助于把握初中阶段的内容结构，理解有关内容的本质及关系，有助于数与代数内容的教学设计和目标的实现。

课程标准较实验稿结构变化不大，只是对一些具体内容作了删改：如删除了能对含有较大数字的信息作出合理的解释与

推断，了解有效数字的概念，能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题等；增加了两部分内容：一是必学内容有知道n的含义（这里n表示有理数），最简二次根式和最简分式的概念，能进行简单的整式乘法运算（一次式与二次式相乘），能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，会利用待定系数法确定一次函数坐标的解析表达式等，二是选修内容有能解简单的三元一次方程组，了解一元二次方程的根与系数的关系，知道给定不共线的三点可以确定一个二次函数等。

代数式及运算：这一内容要求教师借助现实情境和简单问题中数量关系的分析，使学生进一步理解用字母表示数的意义，先后形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，并重点讨论整式、分式和根式的运算法则、运算律和相关的运算性质，使学生能熟练并准确地进行各种运算，提升运算能力，建立数感与符号意识。

与数的内容相类似，先引入符号，即用字母表示的符号。这个符号一个是用它去表示数，二是对它进行运算，叫代数运算。由于在式中所接触到的代数式，就是由数字、字母和运算连接起来的式子，所以，代数式及运算就是研究字母代表的数和运算这两个知识。而且代数运算，主要就是加减乘除四则运算、乘方和开方运算，所以，对代数式的分类就按照运算的种类来进行。这就形成大家很熟悉的代数式的体系结构。由此可

知，在代数式的教学中，字母表示数是基础，是运算的核心，要按照运算的分类来研究代数式的运算。

代数式的运算主要包括代数式的四则运算和代数式求值。具体地讲，代数式的四则运算包括化简、因式分解，其本质上都是根据运算法则和运算律，对代数式进行的恒等变形。化简也是一种运算上的要求。比如，把一根式化成最简二次根式，只是说对运算的结果要达到一个目标表述上的要求。因式分解也仅仅是针对整式而言，把整式变换成乘积的形式，这也是整式的一种恒等变形。

方程与不等式：方程与不等式是初中代数的一个重点。它是刻画数量关系、分析解决实际问题的重要数学模型，有着极其广泛的应用，是代数的核心内容之一。方程用以表示含有未知数的数量间的等量关系，是含有未知数的等式。不等式是用以表示数量间的大小关系，是含有未知数的不等式。初中涉及方程和不等式的学习内容主要有：方程与方程组的概念、表示方法,一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、一元二次方程；不等式与不等式组的概念、表示方法,一元一次不等式、一元一次不等式组的求解及应用相关的知识和方法解决实际问题等。其中方程与不等式是相互联系、相互渗透、相互为用、相辅相成的，教学中教师既要通过类比方程与不等式的异同，引入新的知识和方法，又要通过类比方程与不等式的异同，揭示知识和方法之间的内在联系，这有助于构建知识网

络，有助于把握实质，探究和发现规律。下面就方程与不等式的结构作简要介绍。

对于各类方程（组）与不等式（组）的解法，具有明确的方法与步骤，操作性强，有一定的训练数量和时间，对绝大多数学生，理应能够达到课程标准中规定的知识与技能的目标要求。需要特别强调的是要重视求解过程中所体现的数学思想的渗透和提炼，数学能力的培养和提高。每一类方程（组）与不等式（组）的解法，都充分体现出转化与化归的数学思想，特别是解二元一次方程组的“消元”，解一元二次方程的“降次”，都是转化与化归的典型；不等式的解集的概念所体现的集合与对应的思想、数形结合的思想，也具有典型的意义，应当引导学生充分思考和体验，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实。

函数

函数是研究运动变化的重要数学模型，它与方程、不等式模型相比区别在于，它所刻画的是变量之间的变化关系，而方程和不等式所刻画的是常量之间的固定关系。函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。函数的内容包括：常量和变量；函数的概念和三种表示法；正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质 第二部分内容，关于代数式的求值，它是指给定某些具体的字母，对组成的整式进行化简，然后根据赋予字母特定的数值，最终求得一个代数式的值。

指数函数课堂教学小结案例分析 篇8

摘 要：二次函数是初中数学教学的重要内容，它不仅关系到相关数学知识的整体应用，而且可以解决实际生活中的很多问题，是理论性和实践性都非常突出的数学教学内容。“苏教版”初中数学教材中关于二次函数教学内容的编排实践性很强，并且对相关知识的梳理也比较系统，这对初中数学教师的教学水平和能力提出了相应的挑战。基于此，文章对“苏教版”初中数学二次函数的相关教学活动进行分析和探究，以期为二次函数教学组织开展提供一定的参考。

关键词：“苏教版”；初中数学；教材策略；二次函数

作者简介：陈洁，江苏省苏州市相城实验中学教师，研究方向为中学数学教学。（江苏 苏州 215131）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）13-0069-02

二次函数在生活中的应用非常广泛。在新课改背景下，二次函数教学的设计和策略要体现出系统性、综合性和实践性的特点，通过教学培养学生运用数学思维发现问题、解决问题的能力。

一、“苏教版”初中数学二次函数教学内容的特点分析

“苏教版”初中数学教材中关于二次函数教学内容的设计和编排主要有两个方面的突出特点：一是教学内容与实际生活联系更加密切，运用的教学例子基本是生活实例，这不仅在某种程度上拉近了学生与二次函数学习之间的情感关系，而且让学生更加深刻地认知到“数学来源于生活、服务于生活”的学科教学理念；二是“苏教版”初中数学教材中关于二次函数教学内容的设计具有突出的系统性、逻辑性特点，尤其是突出强调了二次函数与其他数学知识，如一元二次方程、一次函数等相关知识之间的联系，这有利于学生更好地构建数学知识体系，提高数学教学活动的整体效能。因此，基于上述对教材内容特点的认知，建议初中数学教师从多个方面，运用灵活多变、形象丰富的教学方式开展二次函数相关内容的教学。二、二次函数教学设计和具体实践分析

根据上述对“苏教版”初中数学二次函数教学内容特点的分析，笔者建议从以下方面进行教学：

1.以生活实际为基点激发学生对二次函数教学的探究兴趣。初中生仍然以具象思维为主，但二次函数知识的抽象性和理论性比较强，运用生活实例对学生的探究兴趣进行激发符合初中生认知规律的特点，这需要教师特别注意。例如，教师可以运用篮球运动进行教学导入，问学生：“你们喜欢打篮球吗？谁能说一下篮球运动的路线是什么曲线？通过什么方式能够计算出篮球达到的最高点呢？”以学生比较感兴趣的问题设置悬念导入教学，能够有效激发学生对二次函数新知识的主动探究，奠定良好的教学基础。其中，概念理解是二次函数的重要教学内容，同时也是学习二次函数图像、性质、与方程关系及相关应用的重要基础。概念本身具有很强的抽象性，单纯地讲解难以让学生理解，建议教师应用对比教学、情境创设的方式引导学生正确理解二次函数的相关概念。

首先，通过回顾旧知识，如对比一次函数，引导学生再次认识函数、自变量、因变量等概念，然后通过问题情境导入概念教学。例如，将一粒石子投入水中，水面的波纹会不断扩展，你能尝试着列一下扩大的圆形与半径之间的关系式吗？又如，动物园打算用160米长的篱笆围成长方形来圈养动物，面积用y表示，围成的长方形的长用x表示，它们之间的函数关系是什么？通过这些具体的问题事例来引导学生列出关系式，也可以将学生分成不同的学习小组，根据列出的关系式来探究一下一次函数与二次函数之间的关系。

2.运用数学思维方式开展二次函数图像性质教学。二次函数的图像和性质是教学的重点和难点，建议初中数学教师充分应用数形结合的方式进行教学，这不仅能够有效凸显该节教学内容的本质，还能够在教学的过程中将代数问题与几何问题进行有机结合，有利于增强教学效果。具体地说，在图像和性质教学的过程中，教师要充分利用多媒体教学手段，有条件的可以将几何画板引入课堂进行辅助教学。首先，教师可以利用一次函数图像和性质的旧知识进行新课导入，带领学生再次复习画函数图像的描点法。然后，对学生进行分组，引导学生按照描点法的作图步骤做出“y=x2”图像，这里教师就可以借助多媒体对作图步骤进行演示。连线时，一次函数是通过直线连接的，但二次函数需要用平滑的曲线连接，学生就会对此产生疑惑，教师可以针对这个问题引导学生进行探究。图像画出之后，教师引导学习小组对画出的图像形状、特点、变化趋势等进行观察、总结。最后，教师要做好总结和归纳，进行二次函数抛物线的图像和性质教学。当然，在教学设计方面，教师也可以根据学生的实际特点进行改进，数形结合的教学方式是该内容教学的重要思想基础。

3.师生互动更好地认知函数与方程之间的关系。二次函数与一元二次方程是教学的重点和难点，函数和方程都是十分重要的数学概念，两者之间的关系是教学和考试的焦点。在这节内容教学方面，建议教师多利用师生互动和多媒体，营造良好的课堂氛围，开展高效教学。具体地说，教师可以根据教材中设计的教学例子进行知识探究引导，通过步骤解析函数、方程、x轴交点之间的关系。首先，以一次函数和一元一次方程之间的联系为切入点进行知识导入教学，通过旧知识的回顾思考来为二次函数与一元二次方程相关知识学习奠定基础；其次，对学生进行连续提问，如“你觉得二次函数与一元二次方程之间有关系吗？会有什么样的关系？”“从上述知识的迁移学习你觉得用什么方式能够推导出二次函数与一元二次方程之间的联系？”等等，可以让学生分组探究，更要注重与学生之间的互动交流。

4.设置游戏环节做好二次函数应用教学。二次函数在实际生活中有着广泛的应用，在进行该节内容的教学过程中，生活实例应用是这节教学的重要内容和手段。为了强化数学教学的趣味性，激发学生的学习兴趣，教师可以将这些实际问题转化为推理游戏、竞赛游戏等，通过设置相关游戏开展二次函数的应用教学。例如，对学生进行分组，给出最值问题、利润最大方案、最节省方案等多种题目，看看哪个学习小组能够快速、准确地解决这些问题。又如，教师可以围绕着双十一购物节这个热门的社会话题设置问题，引导学生进行解答，通过趣味的方式开展二次函数的实际应用教学。

“苏教版”初中数学二次函数教学是整个初中数学教学阶段的重点和难点，本文从教材内容设计的角度出发，简单地分析了二次函数教学的措施和方法。在实际教学过程中，教师要结合学生的学习需求和特点，科学高效地开展教学活动，提高二次函数内容教学的效果和质量。

参考文献：

指数函数课堂教学小结案例分析 篇9

教材分析

函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．

教学目标

1.通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．

2.掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．

任务分析

这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．

教学设计

一、问题情境

1.如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2.分别作出下列函数的图像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x2．

根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？

二、建立模型

1.首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？ 以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝

．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．

注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．

2.在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括 设函数f（x）的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］． 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？

（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．

（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．

三、解释应用 ［例 题］

1.证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数． 注：要规范解题格式．

2.证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．

思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？ 3.设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．

证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．

［练习］

1.证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．

（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．

2.判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．

3.如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．

四、拓展延伸

1.根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．

2.判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明． 3.如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

4.函数值的改变量与自变量的改变量的比的平均变化率．

叫作函数f（x）在x1，x2之间（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．

（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？

点 评

这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．

这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面： 1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．

2.注重联系，提高对数学整体的认识

数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性． 3.注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

《函数性质的运用》案例分析 篇10

《函数性质的运用》案例分析

一、相关背景介绍建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识(包括思想、观点、方法)进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。二、本节课教学目标1 、知识与技能 ① 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。 ② 学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。 2 、过程与方法 通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。 3 、情感、态度、价值观 使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。 4 、重点：综合运用函数性质解题 难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。三、设计理念1 、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换 2 、例 1 的设计的意图是： 加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号;学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。 3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答 探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。 要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。四、下面是课堂实录《函数性质的运用》师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题： ① 若函数 f ( x )是奇函数，如何用符号表示?用图形表示? ② 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示? ③ 若 f ( x+2 ) =f ( x )，你能有何结论?如何用文字语言叙述，用符号表示? 生 1 ： ① f ( -x ) =-f ( x ) 生 2 ： ② 函数 f ( x )关于 x=1 对称，即 f ( 1+x ) =f ( 1-x ) 生 3 ： ③ f ( x )是周期函数，周期为 T=2 ，示意图： 师：由 f ( x+2 ) =-f ( x )你能说出什么信息? 生： f ( x )的周期是 T=4 师：为什么?能否用图象解释? 生：将式中的 x 用 x+2 来替代，得到： f ( x+4 ) =-f ( x+2 ) 又因为 -f ( x+2 ) =f ( x )，所以 f ( x+4 ) =f ( x )即： T=4 但是不太用图像来解释 师：提示： 从图示看出 f ( x+4 ) =f ( x )的周期为 4 。 总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。 好，下面我们来看例 1 例 1 ：设 f ( x )是( -∞ ， +∞ )上的奇函数， f ( x+2 ) =-f ( x )，当 0≤x≤1 时， f ( x ) =x ，则 f ( 7.5 ) =? 生 1 ：利用周期性 由 f ( x+2 ) =-f ( x )可得到 f ( x+4 ) =f ( x ) 所以 f ( 7.5 ) =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5 生 2 ：直接利用 f ( x+2 ) =-f ( x ) f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5 师：还有其他方法吗? f ( x )是奇函数且 f ( x+2 ) =-f ( x )，除了能说出周期 T=4 外，还能说出哪些信息?(师提示) 生： f ( x+2 ) =-f ( x ) =f ( -x ) 而 f ( x+2 ) =f ( -x )得到 f ( x )关于直线 x=1 对称 师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象?从而利用图象来解题呢? 生： 从图中可以看出 f ( 7.5 ) =f(-0.5)=-0.5 师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。 师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息 方法二：利用 f ( x+2 ) =-f ( x )，通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想 方法三：利用函数的.几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。 下面我们来将这道题目进行变化： 变化 1 ：已知条件不变，问题变为当 x ∈ [-1 ， 0] 时，求 f ( x )的解析式 生 1 ：设 x ∈ [-1 ， 0] 则 -x ∈ [0 ， 1] ∴ f ( -x ) =-x ，又 ∵ f ( -x ) =-f ( x ) ∴ f ( x ) =x ∴ 当 x ∈ [-1 ， 0] 时， f ( x ) =x 师：能否总结一下解题步骤? 生 2 ：小结：首先要 “ 问啥设啥 ” ，不要把变量设错了区间; 第二，把变量转化到已知区间上去 最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出 f ( x )的解析式。 变化 2 ：当 -1≤x≤1 时， f ( x )的解析式 生：由已知和变化 1 可知当 -1≤x≤1 时， f ( x ) =x 变化 3 ：当 x ∈ [3 ， 5] 时，求 f ( x )的解析式 生：设 x ∈ [3 ， 5] ，则 x-4 ∈ [-1 ， 1] ∴ f ( x-4 ) =x-4 ∵ T=4 ∴ f ( x ) =x-4 变化 4 ：当 x ∈ [1 ， 3] 时，求 f ( x )的解析式 生：设 x ∈ [1 ， 3] ，则 x-2 ∈ [-1 ， 1] ∴ f ( x-2 ) =x-2 ∵ T=4 ∴ f ( x-2 ) =f ( x+4-2 ) =f ( x+2 ) =-f ( x ) ∴ -f ( x ) =x-2 ∴ f ( x ) =2-x 师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。 例 2 ：定义在( -∞ ， +∞ )上的偶函数 y=f ( x )满足关系 f ( x+2 ) =-f ( x )且 f ( x )在区间 [-2 ， 0] 上是增函数，那么以下结论正确的有 ① y=f ( x )是周期函数 ② y=f ( x )的图象关于直线 x=2 对称 ③ y=f ( x )在区间 [2 ， 4] 上是减函数 ④ f ( ) =f ( ) 生 1 ： ① f ( x )是周期函数， T=4 师： ② 分析：要证明直线 x=2 是 y=f ( x )图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立? 生：只需证 f ( 2-x ) =f ( 2+x ) 或证 f ( -x ) =f ( 4+x ) 或证 f ( x ) =f ( 4-x ) 师：那我们选择证第三个等式 f ( x ) =f ( 4-x )成立 生： ∵ f ( x )的周期 T=4 ，且 f ( x )是偶函数 ∴ f ( 4-x ) =f ( -x ) =f ( x )即 f ( x ) =f ( 4-x ) ∴ y=f ( x )图象的对称轴 x=2 ③ ：生 1 ：有已知在区间 [-2 ， 0] 上， y=f ( x )是增函数，由于 y=f ( x )是偶函数，其图象关于 y 轴对称，那么在 [0 ， 2] 上 y=f ( x )是减函数，又由于 y=f ( x )图象关于直线 x=2 对称，所以 y=f ( x )在区间 [2 ， 4] 上是增函数 所以结论错误 生 2 ：也可以借助于图象(示意图)证明 ③ 是错误的 ④ ：生 3 ：由于 f ( x )在区间 [0 ， 2] 上是递减的 ∴ f ( ) >f ( ) ∴ 结论错误 师：请同学们课后对问题进行延伸思考： 通过以上两个例题，我们发现这样一个结论： 如果 f ( x )具备奇偶性，同时 f ( x )的图象还关于某条直线对称，则 f ( x )是周期函数，你认为这个结论成立吗?请证明。 课堂总结：(师生共同完成) 要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化 掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用 进一步培养学生的抽象思维能力 课堂检测： 已知定义在 R 上的周期函数 y=f ( x )，周期 T=4 ，若 y=f ( x )的图象关于直线 x=2 成轴对称图形 求证： y=f ( x )是偶函数五、课后反思这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。 例 1 的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的 学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的 从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实 课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊!