指数函数求导公式

指数函数求导公式（共14篇）

指数函数求导公式 篇1

本节的授课内容为《复合函数的求导法则》，复合函数求导公式的证明高中阶段不需要掌握，所以我在讲课时，是由一个实例引出复合函数的求导公式，我觉得这样比较自然些，但经过实践发现，一个实例是不够的，至少应举两例，这样能给学生一个缓冲的时间，使结论的出现不至于太突兀，更有说服力。本节课还有一个缺点，在讲新课之前没有给学生复习复合函数的概念，此概念在必修1中已经学过，但时间太久，大部分学生已经忘记，此处教学要考虑到学生的学情，教师认为简单的学生不一定会，要结合学生实际进行教学。

本节的教学设计应该这样改一改，首先复习简单函数、复合函数的概念，然后给出一个函数（复合函数），让学生判断这个函数是简单函数还是复合函数，再问学生能否用学过的导数的四则运算来求导，如果能，所求的结果与原函数有什么联系，进而猜想出复合函数的求导法则，紧接着再用一个实例去验证，从而总结出复合函数的求导法则，最后再讲例题和做练习。这样的设计能让教学过程更自然一些，学生更易接受。

指数函数求导公式 篇2

当n为无穷大时:

这几个等式说明了什么呢?说明了e值是变化的.这些式子在指数函数求导过程中都会用到.

令z=aΔx-1,当Δx趋于零时,z趋于零时.

aΔx=z+1,

由z=aΔx-1,得:a=et时,z=tΔx.

e值第一错:e值是一个变量,当t=2时,用了第(2)式的结果;当t=3时,用了第(3)式的结果;也就是说a值越大,e值越小.因为Δx不能等于零,所以z的值随a值的增大而增大.

e值第二错:等式两边求极限的条件不一样.

二、指数函数的各阶导数都相等

y=etx的导数:

令z=tx,则有:

y=ez,因为有y=ez的各阶导数都相等,所以有

因为z=tx,所以有

从e值第二错来看

因为当Δx趋于零时tΔx=Δx,所以有:

三、e值第二错实例

当Δx趋于零时y=x2的导数:

四、指数函数还能求导吗

(1)y=x2的导数:

Δy=(x+Δx)2-x2,

Δy=2xΔx+Δx2,

当Δx=0时,

y'=2x.

从图1可以看出,直线AB成为彻线的必要条件是Δx=0,Δy=0,此时A,B两点合为一点.Δx趋于零但不等于零,直线AB都不是彻线.

(2)y=ax的导数:

等式的左边,直线AB成为彻线Δx=0,Δy=0是必要的.等式的右边Δx不能等于零导致Δy不能等于零,点A,点B不能重合,至此从几何意义上证明了

y'≠axlna.

五、图说e值

设:A=∝,B=∝+100.则有

六、函数在某一点处的极限

复合函数求导模版式教学尝试 篇3

关键词：复合函数求导 模版 画框

在高等数学的知识体系中，微积分是一个重要的模块，它的系统性主要表现在各个部分的知识的相互联系、不可分割。其中复合函数求导是这个模块中的重点内容之一，是高等数学学习中比较关键的部分，也一直是学生学习微积分中的一大难点，它掌握的好坏直接影响到高等数学的学习。如何在有限的课堂教学时间内让学生快速、准确地掌握求导方法和积分方法呢？我受两个重要极限的启发，在复合函数求导的教学中作了一些尝试——模板式教学。

1 模板式教学

“模板”在新华字典中的解释为：浇灌混凝土用的模型板，一般用木料制成。不过笔者认为这里所说的模板应该是指一种固定程序模式，在计算机软件中十分常见，在软件中又称为模版。如常用的工具软件Word、Powerpoint等都具有这项功能，通过直接调用设计好的格式，可以生成相应的文档或幻灯片版式，为人们的工作带来了极大的方便。现在“模板”的概念已经广泛应用于分子生物学、遗传学、网站等领域。

模板式教学就是让学生在一定的基础上，利用一些固定的套路来学习和掌握知识和技能的一种教学方法。比如说在乒乓球战术中最简单的战术运用：发球抢攻。模板教学对于学生来说并不陌生，事实上学生每次的数学课都在潜移默化地进行着模版式训练，老师所讲解的例题，其解答格式就是一种模版，学生在练习的时候自然而然的遵循着老师的格式，然后掌握技能。不过这是潜在的模版，也有明确提出来的模版，比如，两个重要极限，在具体应用时就形成了一个模版：

■■=1→■■=1

在这个模版中，只要把“□”中的形式写出来保持一致，并且让“□”趋于0，就可以得到相应的结果1。在具体操作中，只要按照模版去凑相应的式子形式，就能解决问题。模版好记，又有启发性，非常便于学生，尤其是初学者学习掌握。

2 复合函数求导过程中容易出现的问题

复合函数求导在整个求导运算中以及在解决一些现实问题上都处于重要的地位，能够熟练地掌握和应用，是衡量一个学生高等数学的学习质量的标志之一。然而，复合函数求导对于学生来说是既不容易掌握也极容易出错，因此弄清学生难以掌握的具体原因，是突破难点的关键。笔者从多年的教学经验中，总结了学生难以掌握复合函数求导的原因。

学生对复合函数求导难以掌握的原因主要有几个方面：①复合函数求导所涉及的函数关系比较复杂而且多变；②复合函数的概念前后交错；③复合函数的中间变量不容易准确的设出，即使能够设出，在计算的过程中也往往容易出现丢项落项的现象。具体体现如下：

一是求导不彻底，如：（sin32x）′=3sin22xcos2x；

二是求导顺序分不清，如：（sin32x）′=3cos22x；

三是书写不合逻辑，如：（sin32x）′=3sin22x（sin2x）′（2x）′。

3 模板式教学在复合函数求导中的实践

根据复合函数求导法则[f（φ（x））]′=f′[（φ（x）]·φ′（x），要准确应用法则，必须：①正确分解函数的复合过程；②准确选择函数的求导公式；③正确理解复合函数求导法则。而这几条有一条解决不好，就容易出现前面提到过的问题。为了一次性解决上述问题，我在讲解完复合函数的求导法则后，用最入门级的例子对法则做了具体化的转化，例如：

求函数y=e■的导数

y=e■是由y=eu，u=x3复合而成，所以

■

从而有（e■）′=e■·□′

于是，复合函数求导法则就具体化到一个基本初等函数的求导公式身上，记住了基本初等函数的求导公式也就记住了复合函数求导法则。我把每一个基本初等函数的求导公式都做这样的改变，如：把公式

（sinx）′=cosx改成（sin□）′=cos□·□′

改动后的公式中要求“□”中的式子形式要相同。这样，每次只使用一个基本初等函数的求导公式，求导时只需记住基本初等函数的求导公式即可。我把这个称为求导公式复合化。这样可以降低寻求中间变量的难度，尤其是复合层次较多的时候。

例1 求函数y=（2x+1）5的导数

解：y′=■

=5（2x+1）4（2x+1）′=10（2x+1）4

例2 求函数y=Insinx的导数

解：y′=

■

=■cosx=cotx

例3 求函数y=e■的导数

解：y′=■

■

■

■

=e■■

在求导过程中，画框是一个重要环节，画框使函数简单化，容易找准要使用的求导公式，也省去了设中间变量的麻烦，尤其是函数复合层次较多的时候；第二个环节是写出所用求导公式的复合化结构，这样可以加强复合函数求导法则的认识，同时还能强化公式的记忆。

4 结语

通过在不同班级的教学实践，以画框的方式求导，这样做下来的情况比以往的学生的学习效果要好，尤其是对基础相对较弱抽象能力较差的学生来说效果更明显。这部分学生习惯于按某种模式照搬，对于灵活性稍强的内容就倍感吃力，这时我就反其道而行之，把本来灵活的东西找出其规律后进行相对的固定以适应他们的思维习惯，让这部分同学掌握起来容易一些，使得在求导教学中的难点能顺利的突破，并很好地克服了前文中提到的几种常见毛病，让学生对复合函数求导法则能较好的掌握和运用，从而达到教学目的。

参考文献：

[1]赵振海.高等数学学习指导语习题全解[M].大连理工大学出版社，2004.

[2]魏鉴，陈艳华.基于NCRE的C语言模版式教学的实践与思考[J].计算机教育，2010（4）.

[3]李海英.浅谈复合函数的求导方法[J].数学学习与研究，2011（23）.

作者简介：

三角函数公式 篇4

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

诱导公式记背诀窍:奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

多元函数的泰勒公式 篇5

内容分布图示

★ 二元函数的泰勒公式

★ 例1

★ 关于极值充分条件的证明

★ 内容小结

★习题8—9

★ 返回

内容要点：

一、二元函数的泰勒公式

我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数.对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数.现以二元函数为例叙述如下：

定理1 设zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到n1阶的连续偏导数,(x0h,y0k)为此邻域内任一点, 则有

1f(x0h,y0h)f(x0,y0)hkf(x,y)hk00xxf(x0,y0)y2!y2

11hkf(x,y)hk00x(n1)!yn!xynn1f(x0h,y0k)

(01).这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.推论1 设函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，且在区域D内，有fx(x,y)0,fy(x,y)0，则函数f(x,y)在区域D内为一常数.二、极值充分条件的证明

例题选讲：

高中三角函数公式 篇6

Sin2A=2SinA?CosA。

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1。

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）。

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）。

半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)。

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)。

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα。

降幂公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2。

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2。

幂指函数的和求导法 篇7

例1、求y=xx (x>0) 的导数。

解: (利用对数求导法) 两边取对数得:lny=lnxx=xlnx

比较上式右边与幂函数xμ和指数函数ax的形式 (其中a, μ为常量)

我们发现上式 (1) 中等号后面的x·xx-1就是把xx看作幂函数 (指数看作常量而把底数看作变量) 求导的结果, 而xxlnx就是把xx看作指数函数 (底数看作常量而把指数看作变量) 求导的结果。所以我们推断幂指函数的导数就是把指数看作常量的幂函数导数与把底数看作常量的指数函数导数之和。

又复合幂函数u (x) μ (μ为常量) 和复合指数函数av (x) (a为常量) 复合求导公式分别是:

我们根据上述结论可得出一般公式:

证明上述公式先介绍一个定理:

定理设u=u (x) , v=v (x) 在点x处可导, 在z=f (u, v) 对应的点 (u, v) 处有连续的偏导数。则一元函数z=f (u (x) , v (x) ) 在点x处可导, 称其为全导数。且

证明 (2) 式:

令y=u (x) v (x) , 设u=u (x) , v=v (x) , 则y=f (u, v) =uv, 由公式

原式得证。从上述证明可以看出 (3) 式中就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量μ转化为幂函数求导的结果, 而就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量α转化为指数函数求导的结果, 说明幂指函数求导可以看作幂函数求导和数函数求导之和。

例1.求函数y= (cosx) x的导数

例2.求函数y=xxx的导数

例3.求函数y= (1+sinx) x的导数, 则dy|x=π (2005考研题) 。

摘要：针对幂指函数的特点, 结合教学中实践, 给出了一个较为简便的和求导方法。和求导法不仅更方便地解决幂指函数的求导问题, 而且给我们节约很多解题时间, 特别适合学生在紧张的考试中应用。

关键词：幂指函数,复合函数,导数,和求导法

参考文献

[1]同济大学数学系主编.高等数学 (上、下册) (第五版) [M].高等教育出版社, 2005.

高中数学-三角函数公式 篇8

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)= sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)= cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3-3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式

sin(A/2)= √{(1--cosA)/2}cos(A/2)= √{(1+cosA)/2}

tan(A/2)= √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2)=(1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a)=-sin(a)cos(-a)= cos(a)sin(π/2-a)= cos(a)cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tanA = sinA/cosA 万能公式

sin(a)= [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a)= {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a)= [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)= [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)= [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）= cosαtan（-α）=-tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=-tanα公式六：

常用的Excel函数公式 篇9

1、单条件查找公式

公式1：C11

=VLOOKUP(B11,B3:F7,4,FALSE)

说明：查找是VLOOKUP最擅长的，基本用法

2、双向查找公式

公式：

=INDEX(C3:H7,MATCH(B10,B3:B7,0),MATCH(C10,C2:H2,0))

说明：利用MATCH函数查找位置，用INDEX函数取值

3、查找最后一条符合条件的记录。

公式：详见下图

说明：0/(条件)可以把不符合条件的变成错误值，而lookup可以忽略错误值

4、多条件查找

公式:详见下图

说明:公式原理同上一个公式

5、指定区域最后一个非空值查找

公式;详见下图

说明：略

6、按数字区域间取对应的值

公式：详见下图

指数函数求导公式 篇10

关键词：变限积分函数,求导方法,被积函数

引言

变限积分函数是高校高等数学中的重要内容, 与其他函数不同, 它不但由定积分定义, 而且自变量多出现在积分上限或下限. 变限积分函数具有产生新函数的功能, 可用以表示非初等函数, 也能够实现积分学到微分学的转化, 在诸多领域都发挥着重要作用. 然而实际教学中, 由于函数自身过于抽象, 求导方法不好掌握, 令许多学生都觉得十分困难. 为此结合实例对其求导方法进行深入研究.

一、变限积分函数求导定理及实例分析

1. 定理 Ⅰ

假设有函数f (x) , 且该函数在区间[a, b]上连续, 则积分上限函数是被积函数f ( x) 的一个原函数, 从而可求得

例 1 若

解题思路:显然该题的被积函数难度较小, 可根据牛顿—莱布尼茨公式先计算出有关x的表达式, 然后求导;更简便的方法就是利用定理Ⅰ直接求导.

解法1:

解法2:

根据以上定理, 用自变量x替换被积函数中的积分变量t, 可直接求出结果Φ' ( x) = 2x.

2. 定理 Ⅱ

假设有函数f (x) , 且该函数在区间[a, b]上连续, 积分下限函数可导, 且导数为

解法2:

根据定理Ⅱ的内容, 用自变量替换被积函数中的积分量, 然后在被积函数前加负号, 可直接求出结果: Ψ' (x) =- 2x

3. 定理 Ⅲ

该定理的证明过程显示, 前两个定理是该定理的特例.

二、被积函数为复杂函数的变限积分函数的导数

此处的复杂函数指的是被积函数包含有积分变量及自变量的函数复合体.

1 当被积函数是自变量与积分变量可分离型的变限积分函数的导数时, 可得出定理:

假设有被积函数f (t, x) , 且函数满足可积条件, 并能够表示为f (t, x) = m (x) ·n (x) , 那么变限积分函数t的导数为:

2 当被积函数仍然是变限积分函数型的变限积分函数的导数, 则可得以下定理:

若变限积分函数的被积函数f (p) 满足可积条件, 并且可表示为:

三、结束语

前辈学习Excel函数公式心得 篇11

前辈学习Excel函数公式心得

怎样学习函数公式

这是很多新手最想知道的事，函数那么多，要从哪儿学起呢。我个人谈点小体会：

1、“学以致用”，用才是目的——就是你要和将要用到的东西先学。比如你根本用不上财务、工程函数，没必要一下子就去看那些专业性很强的东西（嘿嘿，那些我基本不会），这样就容易入门了。基本上函数用得最多的逻辑判断和查找和引用这2类函数了。先不要急于学会“数组”，自己常用函数的普通用法有个大致的用法了解之后再去看它的数组用法。

2、善于搜索，见置顶帖在中文Excel应用论坛的最佳学习方法。搜一下，能找到更多的解答；善于求助发帖求助要描述清楚附上必要的图文并茂的附件，容易得到解答，而且锻炼了自己的表述能力。

3、除了“求助”式学习，还要“助人”式的学习，相信这一点是众多论坛高手们都经历过的。只要有时间，少看一会儿电视少聊一会儿QQ少跟同事吹一会儿牛，到论坛上看看有没有别人不懂而你懂的，别怕出糗，是驴是马牵出来遛遛，相信你热心帮人不会被嘲笑的，况且，抛砖引玉，说不定你抛的对别人甚至对高手来说也是块宝玉呢。而，助人助己，有了越来越多的“求助 ”者给你免费提供了练习的机会，练得多了再综合各种思路的比较，自己就有了一些想法，你的水平肯定与日俱增。

如何解读公式

我也谈点小体会吧：

1、多看函数帮助。各个函数帮助里面有函数的基本用法和一些“要点”，以及对数据排序、引用类型等等的要求。当然，函数帮助并不囊括所有函数的细微之处，不然，也就不会有那么多求“解释”的帖了。

2、庖丁解牛——函数的参数之间用逗号隔开。（别笑话，这是最最基本的基本功，单个函数没啥，组合多个函数的公式就是靠它了），这些逗号就是“牛”的关节，先把长公式大卸八块之后逐个看明白了再拼凑起来读就容易多了。

3、独孤九剑——开个玩笑啦，这里是取谐音“F9键”。F9键用来“抹黑”公式对解读尤其是数组公式有非常强的作用，不过如果公式所含数据区域太大（比如上百行）你可以改变一下区域。具体方法：比如下面这个简单数组公式

=sum(if(A1:A3& gt;0,B1:B3))，用鼠标在编辑栏把把A1:A3>0部分“抹黑”，按下F9键，就看到{True;True;False}（假设A3不满足），表示if的条件是这么3行1列的逻辑值数组。——别忘了，看完之后按ESC取消哦，否则公式就变了。

4、公式审核——就是工具〉公式审核〉公式求值那个有fx的放大镜，与F9功能基本相同，能一步步看公式运行的结果（但两者效果均有一定限制，具体情况尚未明了，fx有

蓝紫星影

时会造成Excel的重启）。配合着用吧。

高中数学--三角函数公式doc 篇12

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

成都家教济南家教

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

高考数学常用三角函数公式总结 篇13

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)

(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

三角函数辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A2+B2)’(1/2)

cost=A/(A2+B2)’(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

三角函数推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos2α

1-cos2α=2sin2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a

cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函数半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角函数三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

三角函数两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

三角函数和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

三角函数积化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

三角函数诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA=sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]

cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]

其它公式

(1)(sinα)2+(cosα)2=1

(2)1+(tanα)2=(secα)2

(3)1+(cotα)2=(cscα)2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2,第二个除(cosα)2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及

sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高考数学记忆方法

一、分类记忆法

遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。求导法则有7个，可分为两组来记：(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。

二、推理记忆法

许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。

三、标志记忆法

在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，再记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的看了，只要看划重点的地方并在它的启示下就能记住本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。

四、回想记忆法

在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。

高考数学复习建议

初次学习和再次复习不同。绝大部分考生在高一高二两年的时间中进行的都是新知识新理论的学习，这是初次认识初次接触的过程，我们称之为初次学习，这个过程强调的是认知、接受和掌握。而高三将近一年的时间考生几乎接触的都是之前两年当中见过的理解了的但是很多已经遗忘的内容，我们将这个过程称之为再次复习。再次复习除了恢复考生对相应知识点的记忆之外，更重要的在于将知识点升华为考点，这个过程重视的是理解、综合与应用。两个过程截然不同，必然导致我们应对的策略也要有所变化。

学习和复习的主线不同。学习的主线我们应该都很熟悉，看一看教材的目录就非常明确了：高一高二两年当中一定是以章节为单位，一个知识点接一个知识点按部就班地介绍和学习。每个章节内部也是基本遵循“定义—定理—公式—经典例题—实际应用—练习”这样由简到繁的内容安排。而二次复习如果也采用这样的模式，导致的直接结果就是，考生按知识点分块的模式分章节去解题会很顺利，一旦拿过来一份高考试卷，遇到里面的综合性题目却无从下手，这就是平时考生经常遇到的问题——没有解题思路。

最有效的复习模式——以题型为主线。结合以上讨论的两点内容，建议考生在复习过程中尤其是最后一轮复习中一定要以当地高考常考题型为主线，以题型为主线逐步建立自己在考试当中的解题思路。以题型为主线的复习方式有以下三点优势：

第一，可以将零散的知识点从题型的角度进行二次深入的梳理，把知识认知阶段进化为知识应用阶段，达到高考要求。

第二，题型为主线可以简化思维过程，头脑中不再是孤零零的点，而是形成模块化的解题套路。

复变函数中的欧拉公式的证明 篇14

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a)将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b)将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c)将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d)将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix