指数函数连续性证明

2024-07-12

指数函数连续性证明（精选9篇）

指数函数连续性证明篇1

1.根的存在定理

如果函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 并且f (a) f (b) <0, 则在区间 (a, b) 内至少存在一点c, 使得f (c) =0.

证明不妨设f (a) <0, 则f (b) >0.由连续函数的局部保号性定理, 存在δ>0与δ′>0, 使得∀x∈[a, a+δ) 时有f (x) <0, ∀x∈ (b-δ′, b]时f (x) >0.

设以a为左端点且使f (x) <0的任一区间为[a, b′) , 记所有这样区间的右端点集合为E, 则由∀x∈[a, b′) 时f (x) <0及∀x∈ (b-δ′, b]时f (x>0) 知:[a, b′) ∩ (b-δ′, b]=Ø, 从而得到b′≤b-δ′<0.于是E有上界, 由确界定理E有上确界, 记supE=c, 则必有f (c) =0, 且∀x∈[a, c) 时f (x) <0.

若f (c) ≠0, 又由连续函数的局部保号性定理, 存在δ1>0, 使得∀x∈ (c-δ1, c+δ1) 时, f (x) 与f (c) 同号.

若f (c) <0, 则在 (c-δ1, c+δ1) 内有f (x) <0.又在[a, c) 内f (x) <0, 所以在[a, c) ∪ (c-δ1, c+δ1) =[a, c+δ1) 内f (x) <0, 从而在闭区间 $[a, c + \frac{δ_{1}}{2}]$ 上每一点有f (x) <0.这与c是使f (x) <0所有区间[a, b′) 的右端点集合E的上界相矛盾.

若f (c) >0, 则在 (c-δ1, c+δ1) 内有f (x) >0, 从而在 (c-δ1, c) 内f (x) >0.据此及a<c和f (a) <0可推得a≤c-δ1, 从而得 (c-δ1, c) ⊆[a, c) , 由于∀x∈[a, c) , f (x) <0得在 (c-δ1, c) 内f (x) <0矛盾.证毕.

在上面证明第一段的基础上, 也可设以a为左端点且使f (x) <0的任一区间为[a, b′) , 记所有这样的区间长度构成的集合为E, 由于∀d∈E, 有d≤b-a, 所以E有界.由确界定理E有上确界, 记为r…可以证明c=a+r.证明留给读者.

2.最大值最小值定理

设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 则f (x) 在该区间上必有最大值和最小值.

证明只就最大值的情况予以证明, 最小值同理.

因为f (x) 在闭区间上连续, 所以f (x) 在[a, b]上有界.设在区间[a, b]上f (x) 的值域为E, 则E有界.由确界定理E有上确界, 设supE=M.只要证明M∈E, 便有 $f_{\max_{x \in [a, b]}} (x) = Μ .$

由于supE=M, 由上确界的定义, 对∀y∈E, 有y≤M, 且∀ε>0, ∃y0∈E, 使得y0>M-ε.这样, 便有y0∈E, M-ε<y0<M.∀n∈N, 取 $ε = ε_{n} = \frac{1}{n}$ , 则存在yn∈E, 使 $Μ - \frac{1}{n} < y_{n} < Μ$ , 显然有 $\lim_{n \to \infty} y_{n} = Μ .$

另一方面, ∀n∈N, 由yn∈E, 知道∃xn∈[a, b], 使得yn=f (xn) .由于xn∈[a, b], 所以{xn}有界.由致密性定理知{xn}必存在收敛子列{xnk}, 设 $\lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x_{0}$ .又由{xnk}⊂[a, b]及[a, b]是闭集知x0∈[a, b], 又由f (x) 在闭区间上连续得

$Μ = \lim_{n \to \infty} y_{n} = \lim_{k \to \infty} y_{n_{k}} = \lim_{k \to \infty} f (x_{n_{k}}) = f (\lim_{k \to \infty} x_{n_{k}}) = f (x_{0}) \in E .$

故有fmax (x) =M.

摘要：本文用确界定理证明了连续函数的两个与之等价的重要性质定理——根的存在定理和最大值最小值定理, 是一种全新的证明.方法简单巧妙, 不落俗套, 避免了传统的用闭区间套定理证明的啰嗦麻烦, 很有参考价值.

关键词：确界定理,最大值,最小值定理,证明

参考文献

[1]陈传璋, 等.数学分析[M].人民教育出版社, 1979.

[2]刘玉琏, 等.数学分析讲义[M].高等教育出版社, 2003.

[3]记乐刚.数学分析[M].华东师范大学出版社, 1993.

指数函数连续性证明篇2

一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

。④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则

⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1．求下列极限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又

∴

由

从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。，∴ f(x)在x=1处连续。，例4．已知函数

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。,(a,b为常数)。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限

①

②

解析：①。

②。

例6．设

解析：∵

要使存在，只需，问常数k为何值时，有存在？。，∴ 2k=1，故时，存在。

例7．求函数

在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。，三、训练题：

1．已知，则

2．的值是_______。

3.已知，则=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a与b的值。，求a的值。

参考答案：1.3

一元函数连续性的判定篇3

关键词：一元函数,连续性,间断点

一元函数的连续性是微积分的一个重要概念,而学生对这一知识掌握得不够全面,对于不同的题目往往不能正确地选择判定方法. 本文针对学生的这一实际情况,对一元函数连续性的概念、判定方法进行了系统的总结,希望对学生能有一定帮助.

函数连续的概念

定义一设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果在x0处,当自变量的增量 Δx趋于零时,对应的函数的增量 Δy也趋于零,即

则称函数y = f( x) 在点x0处连续,点x0称为函数f( x) 的连续点.

例1用定义证明y = sinx在点x0处连续.

分析此题不可犯循环论证的错误,连续是待证明的, 不能作为已知条件来用.

定义二设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果函数f( x) 当x→x0时极限存在,且等于它在x0点的函数值,即

则称函数y = f( x) 在点x0处连续,点x0称为函数f( x) 的连续点.

由上述定义分析可得:

( 1) 若函数y = f( x) 在点x0处连续,则f( x) 在x0处的极限一定存在; 但是f( x) 在x0处的极限存在,函数y = f( x) 在点x0处不一定连续.

( 2) 若函数y = f( x) 在点x0处连续,当求f( x) 在x0处的极限时,只需求出函数y = f( x) 在点x0处的函数值即可.

( 3) 若函数y = f( x) 在点x0处连续,极限符号和函数符号可以互相交换,即:

定义三单侧连续

如果函数y = f( x) 在点x0处的左极限等于f( x) 在该点的函数值f( x0) ,即,则称函数y = f( x) 在点x0处左连续.

如果函数y = f( x) 在点x0处的右极限等于f( x) 在该点的函数值f( x0) ,即,则称函数y = f( x) 在点x0处右连续.

定理函数y = f( x) 在点x0处连续的充要条件是: f( x) 在点x0处既右连续,又左连续. 即:

分析该定理一般适用于判定分界点处函数的连续性.

∴ 由定理可知,函数y = f( x) 在点x =π/2处左、右连续, 从而y = f( x) 在x =π/2处连续.

解 ∵ f( x) 在点x = 0处连续,

指数函数连续性证明篇4

一．多元函数的基本概念 1.引例

在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：

例1矩形面积S与边长x，宽y有下列依从关系：

Sxy(x0,y0)．

其中，长x与宽y是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x，y取定值后，矩形面积S有一个确定值与之对应．

例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：x2y2x2y2z22，双曲抛物面的方程为z22，这里的z坐标既跟x有关，又跟ababy有关，它是x，y的二元函数.2.多元函数的概念

定义1设D是R2的一个非空子集，映射f ：DR称为定义在D上的二元函数，记为

zf(x，y)(x，y)D(或zf(P)PD)其中，点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.上述定义中，与自变量x、y的一对值(x，y)相对应的因变量z的值，也称为f 在点(x y)处的函数值，记作f(x，y)，即zf(xy).函数f(x，y)值域：f(D){z|zf(x，y)，(x，y)D}.函数的其它符号zz(x，y)，zg(x，y)等.类似地可定义三元函数uf(x y z)，(x y z)D以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f ：DR称为定义在D上的n元函数，通常记为uf(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)D，或简记为uf(x)，x(x1，x2，...，xn)D，也可记为uf(P)，P(x1，x2，...，xn)D.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数它的定义域不再特别标出.例如：

函数zln(xy)的定义域为{(x，y)|xy>0}(无界开区域) 函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x，y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形点集{(x，y，z)|zf(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如zaxbyc是一张平面，而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数z9x2y2的定义域．解容易看出，当且仅当自变量x，y满足不等式

x2y29, 函数z才有定义．其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z的定义域为

x2y29．

图7.1.1 图7.1.2

例2求函数zln(xy)的定义域．

解函数的定义域为xy0，其几何图形是xOy平面上位于直线yx上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．

x2y2arcsec(x2y2)的定义域．例3求函数zarcsin2解函数z是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分．函数的定义域由不等式组

22xy2 22xy1构成，即1x2y22．

定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．

图7.1.3 图7.1.4

例5求函数z11xy22的定义域．

解函数的定义域为

1(x2y2)0，即x2y21.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示．二多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在P(x，y)P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限

定义2设二元函数f(P)f(xy)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点.如果存

(,)DUP(,)0时，在常数A，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当Pxy总有

|f(P)A||f(xy)A|

成立，则称常数A为函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限，记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A，或f(x，y)A((x，y)(x0，y0)也可简记为

PP0limf(P)A或f(P)A(PP0)上面定义的极限也称为二重极限.定义用两个正数，和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为—语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P(x，y)改为P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设f(x,y)(x2y2)sin证因为

|f(x,y)0||(x2y2)sin10| |x2y2||sin1| x2y2，x2y2x2y21，求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y2可见 >0，取，则当

0(x0)2(y0)2 即P(x,y)DU(O,)时，总有

|f(xy)0|，因此(x,y)(0,0)limf(x,y)0

sin(x2y).例6求极限limx0x2y2y0sin(x2y)sin(x2y)x2ylim22,令u=x2y，则解 lim222x0xyx0xyxyy0y0x2ysinu1sin(x2y)12xylimx1,lim=而x22222x0u0xyu2xy2xyy0x00，sin(x2y)0.所以limx0x2y2y0例7证明limxy不存在.x0x2y2y0证取ykx(k为常数)，则 limx0y0xyxkxklim，x2y2x0x2k2x21k2ykx易见，所要求的极限值随k的变化而变化，故limx3y例8证明lim6不存在.x0xy2y0xy不存在.x0x2y2y0kx3yx3kx3,其极限值随k的不同而变证取ykx,lim6limx0xy2x0x6k2x61k233y0ykx化，故极限不存在.例9证明lim(1xy)x0y01xy极限不存在.证取xn0,ynlim(1xnyn)n1xnyn1(n为自然数)，则当n时，yn0,且 nlim(10)n101/n1.11,则当n时，xn0,yn0,且取xn,ynnn1lim(1xnyn)n1xnyn1lim1nn(n1)n(n1)1, e1xy因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故lim(1xy)x0y0不存在.三多元函数的连续性 1.多元函数连续性概念

定义3设二元函数f(P)f(x，y)的定义域为D（1）P0(x0，y0)为D的聚点且P0D.如果

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.（2）设D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x，y)在D的每一点都连续 则称函数f(x，y)在D上连续 或称f(x，y)是D上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f(x，y)cosx，证明f(x y)是R2上的连续函数.证对于任意的P0(x0，y0)R2，因为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)(x,y)(x0,y0)limcosxcosx0f(x0,y0)

所以，函数f(x，y)cosx在点P0(x0，y0)连续，由P0的任意性知 cosx作为x y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f(xy)的定义域为D P0(x0y0)是D的聚点.如果函数f(xy)在点P0(x0y0)不连续 则称P0(x0，y0)为函数f(xy)的间断点.注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.xx2y2x2y2z2例如 cos(xy+z)都是多元初等函数.e1y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

pp0limf(P)f(P0)

例11讨论二元函数

x3y3,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y2

0,(x,y)(0,0)在(0,0)处的连续性.解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：令

xcos,ysin,则

(x,y)(0,0)limf(x,y)lim(sin3cos3)0f(0,0)，0所以函数在(0,0)点处连续.y例12求极限limln(yx).x021xy1y1解 limln(yx)ln(10)1.x021x10y1exy.例13求limx0xyy1exye01exy2.解因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故 limx0xy01xyy12.多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界且在D上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f(P)在有界闭区域D上连续，则必存在常数M0，使得对一切PD，有|f(P)|M，且存在P1、P2D，使得

f(P1)max{f(P)|PD}，f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：

1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定2.讨论函数

xy2,x2y2024f(x,y)xy

20,xy20(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A? 的连续性.3.你能否用—语言证明

sin(x2y)lim220.x0xyy0

本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即-语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.1 y1.设fxy,x2y2,求f(x,y).xx22已知函数f(x,y)xyxycot2，试求f(tx，ty).y3求下列各函数的定义域(1)zln(y25xy1)(2)z11 22xyxyxy(3)z(4)uR2x2y2z21(Rr0)

2222xyzr(5)uarcsinzxy22

4 求下列各极限

1x2y(1)lim(x,y)(0,3)x3y3(2)limln(yex)xy22(x,y)(1,1)(3)2xy4 xy(x,y)(0,0)limlimxy

xy11(4)(5)(x,y)(0,0)sin(xy)

(x,y)(0,2)xlim1cos(x2y2)(6)lim22(x,y)(0,0)(x2y2)exy5证明下列极限不存在(1)xy

(x,y)(0,0)xylim(2)xy

(x,y)(0,0)xyxylimeyax6函数z（a为常数）在何处间断？

y2x7用 - 语言证明

关于高职数学函数连续性的教学篇5

关键词：高职数学,函数连续性,连续本质,研究方法

函数连续性是高等数学的一个基本概念, 把握好这个概念有助于理解和掌握一元函数微积分中导数、定积分等概念。高职学生在学习这个概念时, 感觉很抽象不易理解, 特别对函数连续本质特征的把握不到位, 疑惑为什么函数的连续性要取决于函数在一个个点上的连续, 为什么函数y=f (x) 在点x0满足了时, 函数在该点就连续了等等。

究其原因有以下几点;一是学生抽象概括能力欠缺。从客观世界的现实中抽象概括出数学概念, 对接受过高中教育的人而言, 应该初步具备了这种能力。但目前高职学生这方面能力普遍较差。二是学生对极限思想和方法的不适应。由于高等数学是建构在极限理论的基础上、以极限为基本工具研究函数的一门数学学科, 因此, 研究问题的思维方式总体上由“静态”变成了“动态”。而函数的连续性是运用极限理论定义的第一个概念, 学生对于运用极限思想刻画函数的这种动态特性, 需要一个适应过程。三是教材的简化。现在选用的高职高专《高等数学》规划教材, 在“必需、够用”原则的指导下, 降低了理论难度、简化了知识内容。多数教材的“函数连续性”一节直接给出函数在点连续的定义, 缺少必要的例证加以辅助。学生很难通过阅读教材理解函数连续的概念。针对上述原因, 教师在教学时应着重抓住以下几点, 帮助学生建立起函数连续性的概念。

函数连续性的本质特征

要理解函数连续的概念, 首先要抓住连续的本质特征。自然界中植物的生长、河水的流动、温度的变化等等现象, 都是连续变化着的, 把这种现象进行抽象, 反映在函数关系上就是函数的连续性。如果只是这样概括, 学生对连续本质特征的把握是不到位的。此时可再从以下现象分析:两个人几天不见, 再次见面时并没有感觉到彼此的变化, 难道这几天俩人真是都没有变化吗?显然不是。人从出生到衰亡, 时时刻刻都处在连续变化之中, 尽管这种变化很微小, 不宜察觉, 但它是不间断的。如果我们从函数的角度分析, 上述现象就相当于函数的自变量在某一区间段上连续变化时, 因变量也随之连续变化, 即使自变量的变化很微小, 因变量也会随之有微小的变化。经过的这样分析, 学生就能较好地把握函数连续性的本质特征了。

函数连续性的研究方法

函数的连续性反映了现实世界中连续的动态变化现象, 如同一个动点能够沿着一条延绵不断的曲线运动。如何才能使学生认识到, 研究函数的连续问题必须先从研究函数在一点上的连续开始呢?我们从自然界的连续现象中很容易认识到一个断点就能打破一条连续链。同样, 观察函数的图像也会发现函数的曲线也呈现这个规律, 如动点在曲线y=sinx上可以顺畅地移动, 而在曲线y=tanx或上移动时, 会在点, (k∈Z) 或x=0处被“卡住”。通过这样的观察分析, 学生就很容易归纳出:曲线上一个点便可决定一个函数在某个定义区间上的连续性。这样, 函数连续的问题就归结到了研究函数在一点上的连续。

用什么方法确定函数在一点上的连续呢?函数在一点上的连续是一个局部概念, 反映了函数在一点处两个变量增量间的变化关系, 即当函数的自变量有一微小变化时, 因变量也随之有一微小变化。如果利用初等数学的方法刻画这种关系, 显然是行不通的, 只有借助于极限工具进行深入的分析研究。通过教师适当引导, 学生便会知道要想解决函数在一点上的连续的问题必须运用极限的思想方法。

函数连续性的定义

一个数学概念的形成过程, 是人们对客观现象进行探索归纳、抽象概括的过程。教学上如果对这一过程进行情境再现, 不仅可以使学生了解概念的形成背景, 而且对学生理解掌握概念的本质及其应用大有益处。若只是“填鸭式”传授, 把概念直接灌输给学生, 效果可想而知, 也失去了通过数学教学过程对学生进行观察分析、抽象概括能力培养的作用。

讲授“函数连续性”一节时, 可以先借助多媒体给学生播放植物的生长、河水的流动、汽车在高速路上奔跑等连续现象, 再播放一棵大树被拦腰截断、一条大坝截住河水流动、一座断裂的桥梁造成车辆停滞不前等不连续现象, 与学生一起分析探索上述现象引出函数连续尤其是在一点上的连续的问题, 并形成定义。

通常, 关于函数y=f (x) 在点x0连续的定义有两种形式:

定义1:设函数y=f (x) 在点x0的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量△x=x-x0趋于零时, 对应的函数的增量△y=f (x0+△x) -f (x0) 也趋于零, 即, 那么就称函数y=f (x) 在点x0连续。

定义2:设函数y=f (x) 在点x0的某一邻域内有定义, 如果函数f (x) 当x→x0时的极限存在, 且等于它在点x0处的函数值f (x0) , 即, 那么就称函数y=f (x) 在点x0连续。

不同的教材, 给出两个定义的顺序不同。无论哪种顺序, 关键是使学生理解并掌握函数y=f (x) 要在点x0连续, 必须满足条件△y=0。为了使学生搞清楚条件的含义, 教学时可以从反例入手, 借助函数的图像加以分析。

若先讲定义2可以列举以下实例:

例1:考察函数在点x=1处的变化情况。

如图1所示, 函数的图像是直线y=x+1去掉了点 (1, 2) , 显然函数在点x=1处就像一条绳子被剪断为两截不再连续, 究其原因是函数在此点没有定义。

例2:考察函数在点x=0处的变化情况。

如图2所示, 函数在点x=0处出现了“跳跃”断开了, 这种断开不是因为没有定义造成的。学生要问是什么原因造成的呢?这时应引导学生从极限角度进行分析, 由不存在, 由此便知, 函数在有定义无极限的点处不连续。

例3:考察函数在点x=1处的变化情况。

如图3所示, 函数在点x=1处遇到了“陷阱”。直观观察, 函数在处的函数值不是f (1) =12+1=2, 而是f (1) =0.9。再进一步观察发现, 函数在点x=1处有定义极限也存在, 可是, 与函数值f (1) =0.9不相等, 所以出现了“陷阱”。

三例过后进行小结, 得出函数y=f (x) 在点x0处若遇到下列三种情况之一就会不连续: (1) 没有定义; (2) 有定义、极限不存在; (3) 有定义、极限存在、但极限值与函数值不相等。这时善于思考的学生就会产生下列想法:“当函数y=f (x) 在点x0处同时满足了有定义、极限存在、极限值与函数值相等三个条件时, 情况会是怎样呢?”这时教师可以引导学生观察连续函数曲线在一点上的状况。

例4:考察函数y=x2在点x=2处的连续情况。

通过看该函数的图像发现, 函数y=x2在点x=2处没有断开是连续的, 并且同时满足上述三个条件。这样学生就可以比较充分地认识到:函数要在一点上连续, 必须满足条件, 以及其中的含义。从几何角度分析, 动点在经过曲线上的一点时, 经历了沿着曲线无限接近于这一点的过程, 如果函数在此点连续, 动点就能到达此点并顺利通过, 否则就会被“卡住”。

函数连续性的整体概念

如果只将函数的连续性局限在一点上连续的层面上, 还不能全面把握函数连续的概念。如当考察函数y=sinx在点x=0处的连续性时, 根据函数在一点连续的定义, 由等式便知函数y=sinx在点x=0处是连续的。而当考察函数y=sinx在其定义域 (-∞, +∞) 上的连续性时, 该如何进行呢?这需要进一步建立起函数连续性的整体概念。

一般的, 知道了怎样判定函数在一点上连续后, 应给出函数在开区间 (a, b) 上连续的概念, 即在开区间 (a, b) 内连续的函数y=f (x) , 必须在开区间 (a, b) 内每一点都连续。根据上述要求, 在探讨函数y=sinx在 (-∞, +∞) 上连续的问题时, 要说明y=sinx在 (-∞, +∞) 内的“每一点”都连续, 显然逐点验证是不可能的, 如果能够寻找到可以“代表”每一点的“点”, 通过证明函数在此点连续, 进而就可说明函数在区间上连续。

经分析发现, 只要在区间 (-∞, +∞) 上设出任意一点, 用“任一点”代替“每一点”加以证明即可使问题得到解决, 这也正是数学简约美之所在。如果考察函数y=f (x) 在闭区间[a, b]上的连续性, 不仅要求它在区间 (a, b) 上连续, 而且还要满足在区间的左端点a处右连续, 右端点b处左连续。至此, 关于函数连续性的概念就完整了, 学生就会达成这样的共识:函数的连续是动态变化的, 是通过函数在其定义区间上的每个点上的连续实现的。连续函数的图形呈现为一条连绵不断的曲线。

参考文献

[1]曹之江.谈数学及其优教 (名师谈数学) [M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]罗韵蓉.浅谈函数的连续性与间断点的教学体会[J].科学咨询, 2009, (4) .

[3]张景中.数学与哲学[M].大连:大连理工大学出版社, 2008.

[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

指数函数连续性证明篇6

一、函数连续性教学探讨的必要性

首先,由于在自然界中存在很多常见的连续现象,如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是连续地变化着的,尽管连续性的物理意义和几何直观都比较浅显,但在学习中仍需要给连续性下一个明确的数学定义,这是因为在实际问题中常要遇到很复杂的函数,在考察它们的性质包括连续性时,它们不一定都有清晰的物理背景和简单的几何直观,因而仅靠感觉是无法进行准确的运算和推理的. 在学习这节内容之前,学生对这一概念并不完全陌生,但他们头脑中的连续完全是由上述一些原形形成的生活中的概念,如何让学生去寻求这些现象的共性,结合这些现象去理解数学中连续的概念,是函数连续性这节教学的重点.

其次,在《高等数学》第一章学习了极限概念之后给出连续的概念,是高数中第一处运用极限的知识去研究函数的性质,具有非常重要的地位,也是学生学好高等数学后续内容的基础.

二、函数在一点连续教学过程的具体实现

高等数学中,函数在一点连续有两个等价的定义式,分别为:在教学过程中,我们如果仅仅是照本宣科地依次讲解、推导这两个概念,并不一定能起到学生加深理解的作用和效果. 我们可以更形象的将这两个定义分为“静态定义”和“动态定义”两种形式,分别从静态和动态两个角度结合图像来讲述“函数在一点连续”这一重要概念的含义. 使学生从多角度加深对连续性概念的理解.

1. 静态定义

大部分课本上,静态定义式是由动态定义式推导出来的,在此,我们可以运用一种更形象的分析方法: 研究函数在某一点是否连续,可以先让学生观察函数图像,一般意义上我们理解的函数在一点x0处连续对应到图像上就是函数图像在这点处不间断. 如果函数图像在x0处断开了,那么,对于断开处的点f( x0) 本身而言,我们可以把它归到图像的左边部分,也可以归到右边部分. 若将这点归到左侧图像,则能得到函数在这一点的左极限恰好等于这一点的函数值,即:如图1) ; 若将此点归到右侧图像,则得到函数在这一点的右极限恰好等于这一点的函数值,即:如图2) .

如果函数图像在这点处没有发生间断,则这点既可以归到左侧图像,也可以归到右侧图像,根据左右极限的定义,我们就得到关系式成立( 如图3) . 此时,0函数在这点处是连续的. 因此,函数在一点连续的定义可叙述为:

定义1设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果存在,且等于f ( x0) ,即x→x0x→x0则称函数y = f( x) 在点x0处连续,点x0称为函数的.连续点.

由于在这个研究过程中,我们把x0点看作是相对静止的,所以这个定义我们把它称为“静态定义”. 结合上述定义以及函数左右极限的定义,我们得到,当成立时,称函数f( x) 在x0点左连续,成立时,0称函数f( x) 在x0点右连续. 因此,函数在点x0连续的充分必要条件是: 函数在点x0既左连续,又右连续.

而且,由静态定义我们可以分析得出,函数f( x) 在点x0处连续须下述三个条件皆满足: ( 1) f( x) 在点x0的某邻域内有定义; ( 2) 极限存在; ( 3) 极限的值等于该点函数值f( x0) . 我们常用上述三个条件来讨论函数在f( x) 某点处是否连续. 这样,就可以引导学生在理解概念的基础上,学会通过三步具体步骤来掌握利用静态定义判断函数在一点处是否连续.

不同分段函数的分段方式不同,对于分段点两侧表达式不同的分段函数,我们可以分别研究函数在一点是否左、右连续,来判断函数在该点是否连续. 因此,讲完例1,我们可以再给出学生一个此类例题加以分析对比.

分析由于f( x) 在x =π/2处的左、右表达式不同,所以先讨论函数f( x) 在π/2处的左、右连续性.

分析了这两个例题后,引导学生比较两个题目的解法,使学生通过差异对比,灵活掌握判断函数在一点连续的方法.

2. 动态定义

函数在x0处连续的定义还可以用在几何上更为直观的动态定义来叙述. 我们把x表示成x = x0+ Δx,这样变量x可以看成在x0处有了一个增量Δx,相应的,函数值f( x0+Δx) 与f( x0) 也相差一个增量Δy = f( x0+ Δx) - f( x0) ,按这种记法,在x0处,当|Δx |很微小时,Δy也很微小. 特别当Δx→0时,也有Δy→0,即当自变量发生微小改变时,函数的相应变化也非常微小. 这就是函数y = f( x) 在x0处连续的实质,由此函数在一点连续的定义也可以叙述为:

定义2设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果在x0处,当自变量的增量Δx趋于零时,对应的函数的增量Δy也趋于零,即:,则称函数y = f( x)在点x0处连续,点x0称为函数f( x) 的连续点.

这个定义过程,体现了函数在x0点自变量和因变量的动态变化的过程,因此我们称为函数在一点连续的“动态定义”.

根据动态定义,我们引导学生观察下列两图: 由图4可以看出,函数y = f( x) 是连续变化的,它的图像是一条不间断的曲线. 当x0保持不变而让Δx无限趋近于零时,曲线上的点N就沿着曲线趋近于点M,即Δy趋近于零. 符合连续的动态定义. 而由图5可以看出,函数y = φ( x) 不是连续变化的. 它的图像是一条在点x0处间断的曲线. 当x0保持不变,让Δx无限趋近于零时,曲线上的点N就沿着曲线趋近于点N',Δy不能趋近于零,不符合连续的动态定义,所以函数y = φ( x) 在点x0处不连续.

借助图像的直观性,学生能进一步深入理解动态定义的实质.

3. 静态与动态的等价关系

静态定义和动态定义只是从不同角度、运用不同方法来研究的函数在一点的连续性,两个定义的实质是等价的,可以互相推导得到. 课堂上,我们可以给学生推导从动态定义式推出静态定义式的过程,让其在课下推导其反过程,加深对定义的理解巩固.

在动态定义式中,若记x = x0+ Δx,则Δx = x - x0,相应的函数的改变量为Δy = f( x) - f ( x0) ,当Δx→0时,即x→x0时,Δy→0,即[f( x) - f( x0) ]→0,也就是f ( x) →f ( x0) ,于是就得到,反之,由静态定义式也可以推导出动态定义式,可以让学生自行推导. 由此,通过授课教师的分析和学生的实践,得出两个公式是完全等价的. 在不同的情形下,可以根据已知条件灵活选择不同的公式来判断函数在一点是否连续.

函数连续的新概念篇7

在高等数学中，对于函数在一点的连续的定义是十分清晰的，即函数在该点极限存在且有定义且函数值等于极限值;对函数在域内的连续的定义也是十分明确的，即以域内逐点连续定义域连续．但令人疑惑的是，函数的连续是以函数的点连续结合域连续加以说明的，反而缺乏对函数连续的直接定义．这样的方式固然可以较好的建立符合“连续”的直观认识的函数连续的说明，但作为对函数连续的定义，并不够本质和直观，使得函数连续这样一个最基本的概念无法形成清晰严谨的定义．

一、基础定义

设D是n维欧氏空间Rn的一个子集，即DRn，那么映射f:D→R称为n元函数，其中D称为函数f的定义域，f(D)R称为函数f的值域．

(一)函数的极限

如上所述，对于点a∈D(DRn)，有数l，对于任意给定的小数ε>0，总是存在正数δ，当0<‖x-a‖<δ(x∈D)(以下用“Bδ(a)”表示)时，有|f(x)-l|<ε，则称函数f在点a处有极限l，也就是说，当x趋向于a时，f(x)趋向于l，记作

或者简记为:x→a:f(x)→l

(二)函数的连续

在函数极限存在的前提下，对于DRn,f:D→R,a∈D，如果任意给定小数ε>0，总有正数δ，使得在Bδ(a)内，|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f在点a连续．

当函数f(x)在区域D内每一个点都连续，则称f(x)在域D内连续，f(x)也称为域D上的连续函数．

如上所述，函数连续以函数在一点的点连续为基础，进而建立“逐点连续”的域连续，从而说明函数连续．

二、关于函数“点连续”和“域连续”概念的再认识

和数学(也包括其他科学分支)中的其他基础概念一样，“连续”的概念也来自于客观存在和人的感官意识，江水川流，山脉逶迤，草原绵延，等等……这也是对函数连续的一般认识，在人们的潜意识里，连续甚至(基本或者叫“几乎”)等同于可微．如果我们考察下雨这个现象，用“(单位区域的)降雨量”这个概念去描述降雨的大小，我们会发现降雨量在降雨的时间域内是连续的(甚至是关于时间可微的)，但在考察区域的子域内(例如，几何尺度比考察区域小一个量级的范围内)，降雨量既非均匀也非连续．实际上，雨是一滴一滴下的．函数“连续”这个概念虽然以点连续为基础，进而定义域连续，但仍然是一个宏观的连续概念，仍然建立于人对自然界连续现象的直观感知;在“微观的尺度”上，连续不一定或者不必要成为一个“概念”，从根本上讲，ε-δ定义体系无法排除函数趋近某一定值过程的非一致性．

也正是在这个意义上，函数连续有其内在的本质特征，所谓点连续或者域连续不过是函数连续的具象而已．关于函数点连续的定义与“连续”的一般认识之间需要建立逻辑性的理解，而所谓的函数域连续是点连续的“叠加”，是点连续的“机械论”，缺乏对“连续”递进性的理解．

三、关于函数点连续和域连续的内在一致性

如上所述，将函数的连续性认为是以函数的点连续为基础，将一个区域内所有点的点连续集合在一起，加以延伸来定义函数的域连续，即域连续是一定区域内点连续的集合和自然延展，从而说明了函数的连续性．这样关于“函数连续”的认识使得函数点连续和域连续的内在关系受到了曲解(参照前一节关于降雨的讨论):一方面，函数域连续必需基于点连续，则域连续对函数连续的界定受到限制;另一方面，没有通过域连续推导点连续的途径，则点连续对函数连续的描述显得缺乏必然的“连续性”．

正是对函数点连续和域连续这种定义的局限(从某种意义上说，也是函数连续内涵表达的局限)，使函数连续性的内涵变得感性化，而非理性化．

那么，函数点连续和域连续有何内在一致性呢?首先我们还是从函数点连续的基本定义出发(参看“1．基础定义”)，设DRn,f:D→R,a,x∈D，对于任意的小数ε，总存在正数δ，在a点的邻域Bδ(a)内，有不等式|f(x)-f(a)|<ε成立，则函数在a点连续．

极限的趋近过程是一种函数过程，而不简简单单是一个数值，描述了函数趋近某一定值的过程、趋势及其相关的性质．从这个意义上说，极限取得定值，并不意味着其自变量取得相应的定数．函数的连续(特别是点连续)本质上就是极限函数．因此，依据函数点连续的基本定义，构造任意的小数序列εi:ε1>ε2>…εi>εi+1>…>ε∞→0，相应的，存在正数序列δi:δ1>δ2>…δi>δi+1>…>δ∞→0，且0<‖xi-a‖<δi，则在a的该邻域Bδi(a)内，不等式|f(x)-f(a)|<εi成立．这样的理解与函数点连续在本质上是一致的．

对于任意一组εi-δi，存在正数mi>1，在域Bδi(a)内存在以a为中心的子域Zδi(a):0<‖x-a‖<δi/mi，该子域内任意点Xi均满足不等式|f(x)-f(Xi)|<εi．这说明，在定义函数点连续的同时，也定义了该点邻域内每个点的连续，也就是该点邻域的域连续．当序列εi-δi趋于0时(即δ∞→0)，显然δ∞/m∞→0，但相应子域Zδ∞(a)仍然不是单个“点”的概念．综上所述，函数点连续的定义说明该点的邻域也是连续的，函数点连续和域连续在本质上是同一事物(概念)的不同表述而已．

这不仅符合对“连续”现象的直观认识，也是函数连续的本质特征的最直接和朴素的表达．

其实，函数点连续研究的是以该点为中心的一个邻域，而并非仅仅是这个孤立的点，函数在该点的连续性依靠该函数在该点邻域的区域性来表征，反映了该点邻域的特性(该邻域趋于无穷小)．函数在一点所体现出来的性质，并不能有力的表征其局域特性，局域所有点(无穷多)的集合特性才是函数性质的完整体现，当然也包含了“个体”点的函数性质．

综上所述，函数连续的概念基于极限的概念，函数点连续本质上反映了该点邻域的连续性，函数在无穷多个连续相交的邻域(注意:是邻域，不是“点”)范围内所表现的连续性构成了该函数的区域连续性．相比于以点连续构建区域连续，从点邻域的连续构建区域的连续，显然更为严谨和合乎逻辑．从这个意义上讲，函数的点连续就是域连续，域连续就是点连续，两者共同构建了函数连续性的“大厦”．函数连续本质上就是域连续，而域连续必然是域内逐点的点连续，域连续和点连续的概念并不是必要的．

四、结束语

关于连续函数的讨论篇8

大家知道, 如果函数f (x) 和g (x) 都在点x0处连续, 那么它们的和、差、积、商 (分母不等于零) 也都在点x0处连续, 即 $\lim_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)] = f (x_{0}) + g (x_{0}) ‚ \lim_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = f (x_{0}) \cdot g (x_{0}) ‚ \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f (x_{0})}{g (x_{0})}$ , 其中g (x0) ≠0.

但是, 有时往往会提出如下问题:对于连续函数与非连续函数 (这里均指在点x0处, 下略同) , 非连续函数与非连续函数组成的新函数或复合函数, 它们的连续情况怎样呢?事实上, 根据不同的情况, 它们在点x0处有些连续, 有些不连续.由于现行教材上很少提到, 所以许多学生往往感到惘然, 甚至不能理解, 这里就作一下粗浅地介绍.

1.设f (x) 在点x0处连续, g (x) 在点x0处不连续, 那么f (x) ±g (x) 在点x0处一定不连续.现在证明和的情形, 差的证明类似.

采用反证法:如果f (x) +g (x) 在点x0处连续, 那么g (x) =[f (x) +g (x) ]-f (x) 在点x0也连续, 这与g (x) 在点x0处不连续相矛盾, 因此f (x) +g (x) 在点x0处不连续.

2.设f (x) 在点x0处连续, g (x) 在点x0处不连续, 那么f (x) ·g (x) 在点x0处可能连续, 也可能不连续, 在讨论时需要看具体函数而定.

例1 f (x) =2x在点x=0处连续,

$g (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续, 而f (x) ·g (x) =|2x|在点x=0处连续.

例2 f (x) =x+2在点x=0处连续,

$g (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续, 而

$f (x) \cdot g (x) = {\begin{cases} x + 2 ‚ x \geq 0, \\ - x - 2, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续.

3.设f (x) 和g (x) 在点x0处都不连续, 则f (x) ·g (x) 在点x0处同样存在连续与不连续的两种情况.

例

$3 f (x) = {\begin{cases} x, x \leq 0, \\ 1, x > 0 \end{cases}$

与

$g (x) = {\begin{cases} - 1, x < 0, \\ x, x \geq 0 \end{cases}$

在x=0处均不连续, 但f (x) ·g (x) =|x|在点x=0处连续.

例 $4 f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 在点x=0处均不连续, 而 $f (x) \cdot g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 在点x=0处也不连续.

4.不连续函数平方后, 在点x0处可能连续, 也可能不连续.

例

$5 f (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续, 但[f (x) ]2=1在点x=0处连续.

例 $6 f (x) = \frac{1}{x}$ 在点x=0处不连续, 而 $[f (x)]^{2} = \frac{1}{x^{2}}$ 在点x=0处仍然不连续.

5.不连续函数取绝对值后仍为不连续函数吗?不一定, 这里两种情况都会出现.

例

$7 f (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在x=0处不连续, 但|f (x) |=1在x=0处连续.

例

$8 f (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 2, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续, 而

$| f (x) | = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ 2, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处仍不连续.

6.设函数u=g (x) 在点x0处连续, 且u0=g (x0) , 函数y=f (u) 在点u0处连续, 则复合函数y=f[g (x) ]在点x0处连续. (证明略)

7.设g (x) 在点x0处不连续, 且g (x0) =u0, 而f (u) 在点u0处连续, 那么复合函数f[g (x) ]在点x0处一定不连续吗?不一定.

例

$9 g (x) = {\begin{cases} x, x \leq 1, \\ 5, x > 1 \end{cases}$

在点x=1处不连续, g (1) =1, f (u) =1在点u=1处连续, 但f[g (x) ]=1在点x=1处连续.当然也有f[g (x) ]不连续的情形.

例

$10 g (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续, g (0) =1, f (u) =u-1在点u=1处连续, 而

$f [g (x)] = {\begin{cases} 0, x \geq 0, \\ - 2, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续.

8.设g (x) 在点x0处不连续, 且g (x0) =u0, f (u) 在点u0处不连续, 那么f[g (x) ]在点x0处一定不连续吗?不一定.

例

$11 g (x) = {\begin{cases} 1, x \leq 1, \\ 2, x > 1 \end{cases}$

在点x=1处不连续,

$g (1) = 1 ‚ f (u) = {\begin{cases} u, u \leq 1, \\ 3 u - 5, u > 1 \end{cases}$

在点u=1处不连续, 但f[g (x) ]=1在点x=1处连续.当然也存在f[g (x) ]不连续的情形.

例

$12 g (x) = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续,

$g (0) = 1 ‚ f (u) = {\begin{cases} 1, x \geq 1, \\ - 1, x < 1 \end{cases}$

在点x=1处不连续, 而

$f [g (x)] = {\begin{cases} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

在点x=0处不连续.

当然, 题设的不同, 还可以得出其他一些不同的结论, 这里就不再介绍了.

摘要：初等函数的连续性是高等数学中的基本知识.连续函数的和、差、积、商在其定义区间内是连续函数.而连续函数与非连续函数 (在点x0处) 的和、差、积、商可能是连续函数, 也可能是非连续函数 (在点x0处) .

关键词：高等数学,函数,连续

参考文献

[1]喻德生, 关华盛.高等数学学习引导[M].北京:化学工业出版社, 2008 (7) .

一致连续函数的探讨与研究篇9

一、一致连续函数与连续函数的定义的区别

对一致连续函数的研究应当始于对其和连续函数的定义探析上, 从而更好地对一致连续函数进行理解.

1. 一致连续函数 f ( x) 的定义

设f ( x) 是D上的单变量函数. 若存在任意常数k > 0, r > 0, 使得当x1, x2∈D, 且| x1- x2| < k时, | f ( x1) - f ( x2) |< r总会成立, 则将称f ( x) 为D上的一致连续函数. 即一致连续的本质在于当该区间内两个极其靠近的点的差值可以任意小, 而且函数的一致连续性的定义域必须是区间, 不能是孤立某个定点.

2. 连续函数的定义

首先, 函数f ( x) 在定点x处连续的定义. 即设若f ( x) 在点x0的某一邻域内有定义, 并且满足) , 则0称f ( x) 在点x0处连续. 也就是函数在点x0处的极限值与函数值相等时, 点x0是函数的连续点, 表现在函数的图像上就是函数在这一点的图像是没有断开的, 与其他点的图像接连在一起的. 函数在一点只能是连续或不连续, 不能是一致连续的.

其次, 函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内连续的定义, 即若f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每一点上都连续. 函数f ( x) 在开区间内连续, 并不一定在开区间内是一致连续的.

再次, 如果f ( x) 在 ( a, b) 内连续并且在开区间的左端点a是右连续而在右端点b是左连续, 这时可以说f ( x) 在闭区间[a, b]是连续的.

f ( x) 在[a, b]内连续, 则f ( x ) 在[a, b]内是一致连续的.

二、一致连续函数的运算性质

在一致连续函数中其运算和性质的联系较为紧密, 因此以下从几个方面出发, 对一致连续函数的运算和性质进行分析.

性质1设函数f ( x) 与g ( x) 在区间I上具有一致连续性, 并且a, b为任意常数, 则af ( x) + bg ( x) 在区间I上具有一致连续性. 即一致连续函数的线性组合还是一致连续的.这个性质与连续函数的性质是类似的, 比较容易理解.

性质2设函数f ( x) , g ( x) 在区间I上具有一致连续性并且具有有界性, 则f ( x) ·g ( x) 在区间I上也具有一致连续性.

性质2中, f ( x) 与g ( x) 的有界性是必不可少的条件, 如若缺少, f ( x) ·g ( x) 不一定是一致连续的. 例如, y = xμ, μ∈ ( 0, 1]是[1, + ∞ ) 上的一致连续函数. ( 证: 对于任意的1≤x1≤x2, 存在不等式x1- x1μ= x1 ( 1 - xμ - 11) ≤x2- xμ2= x2 ( 1 xμ - 12) , 即| xμ2- xμ1|≤| x2- x1| . 故存在任意的k > 0, 令r =k > 0, 则当x1, x2∈ [1, + ∞) 且x2- x1≤r时, | xμ2- xμ1|≤| x2- x1| < r总是成立的. )

若μ = 1时, y = f ( x) = x在[1, + ∞ ) 上连续但是不具有有界性, 则f ( x) ·f ( x) = x·x = x2在[1, + ∞ ) 上并不存在一致连续性.

性质3设函数f ( x) 在区间I上具有一致连续性并且0) , 那么f- 1 ( x) 在区间I也具有一致连续性.

通常来说, 一致连续函数的反函数往往不具有一致连续性. 但若果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上是严格单调连续的函数, 则其反函数具有一致连续性.

例如, 函数, x∈ ( 0, + ∞ ) 在 ( 0, + ∞ ) 单调, 一致连续, 且, 所以反函数y = lnx, x∈ ( 1, + ∞ ) 在 ( 1, + ∞ ) 内一致连续.

性质4在计算一致连续函数的复合运算时, 如果函数u = v ( x) 在区间D上具有一致连续性, 则函数y = f ( u) 在U = { u u = v ( x) , x∈D} 上具有一致连续性, 并且其复合函数y = f[v ( x) ]在区间D上也具有一致连续性.

例如, 当函数u = sinx, 这一函数在 ( - ∞ , + ∞ ) 上具有一致连续性, 复合函数y = u2在 ( - 1, + 1) = { u | u = sinx, x∈ ( - ∞ , + ∞ ) } 上具有一致连续, 即y = sin2x在 ( - ∞ , + ∞ ) 这一区间上具有一致连续性.

在研究这一性质和运算规律时应当注意, u = v ( x) 和y = f ( u) 都必须在各自相应的区间内一致连续, 若这两个函数至少有一个在相应的区间上并不一定具有一致连续性, 则其复合函数y = f[v ( x) ]并不一定具有一致连续性.

三、结语

本文通过对一致连续函数定义与连续函数定义进行比较, 并且对一致连续函数的运算性质进行了简单的探讨和分析.

参考文献

[1]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社, 1981.

[2]陈纪修, 等.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2000.

[3]胡雁军, 李育生, 邓聚成.数学分析中的证明方法和难点选题[M].郑州:河南大学出版社, 1989.

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