函数连续

函数连续（共10篇）

函数连续 篇1

引言

在高等数学中，对于函数在一点的连续的定义是十分清晰的，即函数在该点极限存在且有定义且函数值等于极限值;对函数在域内的连续的定义也是十分明确的，即以域内逐点连续定义域连续．但令人疑惑的是，函数的连续是以函数的点连续结合域连续加以说明的，反而缺乏对函数连续的直接定义．这样的方式固然可以较好的建立符合“连续”的直观认识的函数连续的说明，但作为对函数连续的定义，并不够本质和直观，使得函数连续这样一个最基本的概念无法形成清晰严谨的定义．

一、基础定义

设D是n维欧氏空间Rn的一个子集，即DRn，那么映射f:D→R称为n元函数，其中D称为函数f的定义域，f(D)R称为函数f的值域．

(一)函数的极限

如上所述，对于点a∈D(DRn)，有数l，对于任意给定的小数ε>0，总是存在正数δ，当0<‖x-a‖<δ(x∈D)(以下用“Bδ(a)”表示)时，有|f(x)-l|<ε，则称函数f在点a处有极限l，也就是说，当x趋向于a时，f(x)趋向于l，记作

或者简记为:x→a:f(x)→l

(二)函数的连续

在函数极限存在的前提下，对于DRn,f:D→R,a∈D，如果任意给定小数ε>0，总有正数δ，使得在Bδ(a)内，|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f在点a连续．

当函数f(x)在区域D内每一个点都连续，则称f(x)在域D内连续，f(x)也称为域D上的连续函数．

如上所述，函数连续以函数在一点的点连续为基础，进而建立“逐点连续”的域连续，从而说明函数连续．

二、关于函数“点连续”和“域连续”概念的再认识

和数学(也包括其他科学分支)中的其他基础概念一样，“连续”的概念也来自于客观存在和人的感官意识，江水川流，山脉逶迤，草原绵延，等等……这也是对函数连续的一般认识，在人们的潜意识里，连续甚至(基本或者叫“几乎”)等同于可微．如果我们考察下雨这个现象，用“(单位区域的)降雨量”这个概念去描述降雨的大小，我们会发现降雨量在降雨的时间域内是连续的(甚至是关于时间可微的)，但在考察区域的子域内(例如，几何尺度比考察区域小一个量级的范围内)，降雨量既非均匀也非连续．实际上，雨是一滴一滴下的．函数“连续”这个概念虽然以点连续为基础，进而定义域连续，但仍然是一个宏观的连续概念，仍然建立于人对自然界连续现象的直观感知;在“微观的尺度”上，连续不一定或者不必要成为一个“概念”，从根本上讲，ε-δ定义体系无法排除函数趋近某一定值过程的非一致性．

也正是在这个意义上，函数连续有其内在的本质特征，所谓点连续或者域连续不过是函数连续的具象而已．关于函数点连续的定义与“连续”的一般认识之间需要建立逻辑性的理解，而所谓的函数域连续是点连续的“叠加”，是点连续的“机械论”，缺乏对“连续”递进性的理解．

三、关于函数点连续和域连续的内在一致性

如上所述，将函数的连续性认为是以函数的点连续为基础，将一个区域内所有点的点连续集合在一起，加以延伸来定义函数的域连续，即域连续是一定区域内点连续的集合和自然延展，从而说明了函数的连续性．这样关于“函数连续”的认识使得函数点连续和域连续的内在关系受到了曲解(参照前一节关于降雨的讨论):一方面，函数域连续必需基于点连续，则域连续对函数连续的界定受到限制;另一方面，没有通过域连续推导点连续的途径，则点连续对函数连续的描述显得缺乏必然的“连续性”．

正是对函数点连续和域连续这种定义的局限(从某种意义上说，也是函数连续内涵表达的局限)，使函数连续性的内涵变得感性化，而非理性化．

那么，函数点连续和域连续有何内在一致性呢?首先我们还是从函数点连续的基本定义出发(参看“1．基础定义”)，设DRn,f:D→R,a,x∈D，对于任意的小数ε，总存在正数δ，在a点的邻域Bδ(a)内，有不等式|f(x)-f(a)|<ε成立，则函数在a点连续．

极限的趋近过程是一种函数过程，而不简简单单是一个数值，描述了函数趋近某一定值的过程、趋势及其相关的性质．从这个意义上说，极限取得定值，并不意味着其自变量取得相应的定数．函数的连续(特别是点连续)本质上就是极限函数．因此，依据函数点连续的基本定义，构造任意的小数序列εi:ε1>ε2>…εi>εi+1>…>ε∞→0，相应的，存在正数序列δi:δ1>δ2>…δi>δi+1>…>δ∞→0，且0<‖xi-a‖<δi，则在a的该邻域Bδi(a)内，不等式|f(x)-f(a)|<εi成立．这样的理解与函数点连续在本质上是一致的．

对于任意一组εi-δi，存在正数mi>1，在域Bδi(a)内存在以a为中心的子域Zδi(a):0<‖x-a‖<δi/mi，该子域内任意点Xi均满足不等式|f(x)-f(Xi)|<εi．这说明，在定义函数点连续的同时，也定义了该点邻域内每个点的连续，也就是该点邻域的域连续．当序列εi-δi趋于0时(即δ∞→0)，显然δ∞/m∞→0，但相应子域Zδ∞(a)仍然不是单个“点”的概念．综上所述，函数点连续的定义说明该点的邻域也是连续的，函数点连续和域连续在本质上是同一事物(概念)的不同表述而已．

这不仅符合对“连续”现象的直观认识，也是函数连续的本质特征的最直接和朴素的表达．

其实，函数点连续研究的是以该点为中心的一个邻域，而并非仅仅是这个孤立的点，函数在该点的连续性依靠该函数在该点邻域的区域性来表征，反映了该点邻域的特性(该邻域趋于无穷小)．函数在一点所体现出来的性质，并不能有力的表征其局域特性，局域所有点(无穷多)的集合特性才是函数性质的完整体现，当然也包含了“个体”点的函数性质．

综上所述，函数连续的概念基于极限的概念，函数点连续本质上反映了该点邻域的连续性，函数在无穷多个连续相交的邻域(注意:是邻域，不是“点”)范围内所表现的连续性构成了该函数的区域连续性．相比于以点连续构建区域连续，从点邻域的连续构建区域的连续，显然更为严谨和合乎逻辑．从这个意义上讲，函数的点连续就是域连续，域连续就是点连续，两者共同构建了函数连续性的“大厦”．函数连续本质上就是域连续，而域连续必然是域内逐点的点连续，域连续和点连续的概念并不是必要的．

四、结束语

本文通过对函数“连续”的直观认识，以数学的基本定义―极限、点连续和域连续―为基础，讨论了函数的点连续和域连续，说明在“连续”这个概念上，“点”和“域”在概念上有区别但本质上是统一的，没有截然对立、相互排斥的“点连续”和“域连续”的概念;点连续的概念具有域连续的性质，而域连续是点连续对域的描述的明示化，也就是说点连续和域连续是相对的和相应的．更重要的是，函数连续其本质就是区域连续，从这个角度，传统的点连续和域连续是函数连续的一种反映．本文的讨论对培养研究问题的方法，训练解决问题的思路，激发思考和学习兴趣，都是十分有益的．

函数连续 篇2

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

函数连续 篇3

1由题设条件和均值不等式连续放缩两次

由题目直接或间接给出的条件和均值不等式连续放缩两次，将多元变量最值问题转化为一元变量最值问题，并兼顾等号同时成立的条件.

例1（2014年全国高中数学联赛一试（A卷）第2题）设集合{3a+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M-m的值为.

2由题设条件和不等式性质连续放缩两次

根据题目直接或间接给出的条件和不等式性质，通过逐步连续放缩两次，将多元变量最值问题转化为单元变量或双元变量最值问题，并兼顾等号同时成立的条件.

3由题设条件和柯西不等式连续放缩两次

根据题目直接或间接给出的条件和柯西不等式，通过逐步连续放缩两次，减少变量的个数，实现直接求解最值的目标.

例3（2012年全国高中数学联赛一试（A卷）第3题）设x，y，z∈[0，1]，则M=|x-y|+|y-z|+|z-x|的最大值是.

4由题设条件连续放缩两次

根据题设条件连续放缩两次，减少变量的个数或将多元变量转化为单元变量，并兼顾等号同时成立的条件.

例4（2013年全国高中数学联赛湖北省预赛第10题）已知a，b，c，d∈[-1，+∞），且a+b+c+d=0，则ab+bc+cd的最大值为.

解析问题涉及四个变量，且各变量不具对称性，使用不等式手段解决的可行性比较小，因此考虑逐步降元的方式处理.由于ab+bc+cd=b（a+c+d）+cd-bd=-b2+cd-bd=-b2+（c-b）d，此时无法进行恒等消元，我们考虑放缩性消元，则必须考虑c-b及d的正负性.

故ab+bc+cd≤-b2+b+1，等号成立的条件为b≥c，d=-1，c=-1.从而，当a=32，b=12，c=-1，d=-1时，ab+bc+cd取得最大值54.根据b，c的对称性，类似可得，当a=-1，b=-1，c=12，d=32时，ab+bc+cd也取得最大值54.

5由基本不等式连续放缩两次

根据基本不等式、柯西不等式及不等式性质连续放缩两次，减少变量的个数或可直接求解最值.

关于连续函数的讨论 篇4

大家知道, 如果函数f (x) 和g (x) 都在点x0处连续, 那么它们的和、差、积、商 (分母不等于零) 也都在点x0处连续, 即$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}[f(x)+g(x)]=f(x{}_0)+g(x{}_0)‚\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}[f(x)\cdot g(x)]=f(x{}_0)\cdot g(x{}_0)‚\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x{}_0)}{g(x{}_0)}$, 其中g (x0) ≠0.

但是, 有时往往会提出如下问题:对于连续函数与非连续函数 (这里均指在点x0处, 下略同) , 非连续函数与非连续函数组成的新函数或复合函数, 它们的连续情况怎样呢?事实上, 根据不同的情况, 它们在点x0处有些连续, 有些不连续.由于现行教材上很少提到, 所以许多学生往往感到惘然, 甚至不能理解, 这里就作一下粗浅地介绍.

1.设f (x) 在点x0处连续, g (x) 在点x0处不连续, 那么f (x) ±g (x) 在点x0处一定不连续.现在证明和的情形, 差的证明类似.

采用反证法:如果f (x) +g (x) 在点x0处连续, 那么g (x) =[f (x) +g (x) ]-f (x) 在点x0也连续, 这与g (x) 在点x0处不连续相矛盾, 因此f (x) +g (x) 在点x0处不连续.

2.设f (x) 在点x0处连续, g (x) 在点x0处不连续, 那么f (x) ·g (x) 在点x0处可能连续, 也可能不连续, 在讨论时需要看具体函数而定.

例1 f (x) =2x在点x=0处连续,

$g(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续, 而f (x) ·g (x) =|2x|在点x=0处连续.

例2 f (x) =x+2在点x=0处连续,

$g(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续, 而

$f(x)\cdot g(x)=\{\begin{array}{l}x+2‚x\ge 0,\\ -x-2,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续.

3.设f (x) 和g (x) 在点x0处都不连续, 则f (x) ·g (x) 在点x0处同样存在连续与不连续的两种情况.

例

$3f(x)=\{\begin{array}{l}x,x\le 0,\\ 1,x>0\end{array}$

与

$g(x)=\{\begin{array}{l}-1,x<0,\\ x,x\ge 0\end{array}$

在x=0处均不连续, 但f (x) ·g (x) =|x|在点x=0处连续.

例$4f(x)=\frac{1}{x}$与$g(x)=\frac{1}{x{}^2}$在点x=0处均不连续, 而$f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{x{}^3}$在点x=0处也不连续.

4.不连续函数平方后, 在点x0处可能连续, 也可能不连续.

例

$5f(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续, 但[f (x) ]2=1在点x=0处连续.

例$6f(x)=\frac{1}{x}$在点x=0处不连续, 而$[f(x)]{}^2=\frac{1}{x{}^2}$在点x=0处仍然不连续.

5.不连续函数取绝对值后仍为不连续函数吗?不一定, 这里两种情况都会出现.

例

$7f(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在x=0处不连续, 但|f (x) |=1在x=0处连续.

例

$8f(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -2,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续, 而

$|f(x)|=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ 2,x<0\end{array}$

在点x=0处仍不连续.

6.设函数u=g (x) 在点x0处连续, 且u0=g (x0) , 函数y=f (u) 在点u0处连续, 则复合函数y=f[g (x) ]在点x0处连续. (证明略)

7.设g (x) 在点x0处不连续, 且g (x0) =u0, 而f (u) 在点u0处连续, 那么复合函数f[g (x) ]在点x0处一定不连续吗?不一定.

例

$9g(x)=\{\begin{array}{l}x,x\le 1,\\ 5,x>1\end{array}$

在点x=1处不连续, g (1) =1, f (u) =1在点u=1处连续, 但f[g (x) ]=1在点x=1处连续.当然也有f[g (x) ]不连续的情形.

例

$10g(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续, g (0) =1, f (u) =u-1在点u=1处连续, 而

$f[g(x)]=\{\begin{array}{l}0,x\ge 0,\\ -2,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续.

8.设g (x) 在点x0处不连续, 且g (x0) =u0, f (u) 在点u0处不连续, 那么f[g (x) ]在点x0处一定不连续吗?不一定.

例

$11g(x)=\{\begin{array}{l}1,x\le 1,\\ 2,x>1\end{array}$

在点x=1处不连续,

$g(1)=1‚f(u)=\{\begin{array}{l}u,u\le 1,\\ 3u-5,u>1\end{array}$

在点u=1处不连续, 但f[g (x) ]=1在点x=1处连续.当然也存在f[g (x) ]不连续的情形.

例

$12g(x)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续,

$g(0)=1‚f(u)=\{\begin{array}{l}1,x\ge 1,\\ -1,x<1\end{array}$

在点x=1处不连续, 而

$f[g(x)]=\{\begin{array}{l}1,x\ge 0,\\ -1,x<0\end{array}$

在点x=0处不连续.

当然, 题设的不同, 还可以得出其他一些不同的结论, 这里就不再介绍了.

摘要：初等函数的连续性是高等数学中的基本知识.连续函数的和、差、积、商在其定义区间内是连续函数.而连续函数与非连续函数 (在点x0处) 的和、差、积、商可能是连续函数, 也可能是非连续函数 (在点x0处) .

关键词：高等数学,函数,连续

参考文献

[1]喻德生, 关华盛.高等数学学习引导[M].北京:化学工业出版社, 2008 (7) .

二元函数的极限与连续 篇5

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

函数一致连续性的判别方法 篇6

函数一致连续性的判定是一致连续学习中的重点和难点.对函数一致连续性的判定一般都是按照定义或使用康托定理.用定义判定比较复杂, 而使用康托定理又限于有限闭区间, 寻找较好的判定方法对判定函数一致连续性非常重要.目前已有大量文献对一致连续判别方法进行了研究, 得到了一系列深刻的结果.

最近文献【1】就有限或无限开区间上的连续函数, 具有单调性的连续函数, 可导的连续函数, 具有渐进性质的连续函数, 以及具有周期性质的连续函数给出了一致连续的充分条件或充要条件;文献【7】给出了用导数判别函数一致连续性的比较判别法;文献【9】研究了函数的一致连续性问题, 提出函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理;文献【12】利用定积分证明了判定单个函数一致连续的定理, 给出并证明了判定2个函数的四则运算的一致连续性的定理;文献【6】对函数一致连续性证明方法进行了研究, 针对函数一致连续证明问题, 给出了证明方法的流程图.

本文在前人已有工作的基础上, 分十二个方面, 系统归纳、分类总结了连续函数一致连续性的判别方法, 分类给出了函数一致连续的充分或充要条件, 是对文献【6】中判定方法的一个完善, 可以更好地解决一致连续性判定问题, 弥补了相关文献资料关于函数一致连续性问题判别方法的一些不足, 大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围, 使得一致连续性的判别方法更系统、更便于应用.

一、函数一致连续性的定义

定义[15]:设f (x) 为定义在区间I上的函数.若对任意的ε>0, 存在δ=δ (ε) >0, 使对任何x′, x″∈I, 只要|x′-x″|<ε, 就有|f (x′) -f (x″) |<缀, 则称函数f (x) 在区间I上一致连续.

二、有限区间上连续函数的一致连续性条件

结论1[1].设f (x) 在有限开区间 (a, b) 上连续, f (x) 在 (a, b) 上一致连续⇔极限存在.

推论1.设f (x) 在有限开区间[a, b) 上连续, f (x) 在[a, b) 上一致连续⇔极限存在.

推论2.设f (x) 在有限开区间 (a, b]上连续, f (x) 在 (a, b]上一致连续⇔极限存在.

结论2[15]. (Cantor定理) 若函数f在区间[a, b]上连续, 则f在[a, b]上一致连续.

三、无限开区间上连续函数的一致连续性条件

结论3[1].设f (x) 在[a, +∞) 上连续, (有限) , 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

推论3.若f (x) 在 (-∞, b]上连续, (有限) , 则f (x) 在 (-∞, b]上一致连续.

推论4.f (x) 在 (a, +∞) 上一致连续的充分条件是f (x) 在 (a, +∞) 上连续且f (a+) 和f (+∞) 都存在.

推论5.f (x) 在 (-∞, b) 上一致连续的充分条件是f (x) 在 (-∞, b) 上连续且f (b-) 和f (-∞) 都存在.

结论4[17].函数f (x) 在上一致连续, 则f (x) 在上一致连续, 其中<, >表示可开可闭区间, a, b可为有限数也可为∞.

四、具有渐进性质的连续函数的一致连续性条件

结论5[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 上连续, 函数g (x) 在[a, +∞) 上一致连续, 且, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论6[3].若连续函数可在无穷远处贴近一个一致连续函数, 则其必一致连续.

特别的, 因为线性函数必一致连续, 所以如果某连续函数在无穷远处贴近一个线性函数, 则其一定一致连续在[a, +∞) 上一致连续.

推论6[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 上连续, 且有斜渐近线y=ax+b, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

五、具有单调性质的连续函数的一致连续性条件

结论7[1].若函数f (x) 在有限或无穷区间 (a, b) 上连续、单调、有界, 则函数f (x) 在 (a, b) 上一致连续.

六、具有可导性质的连续函数的一致连续性条件

结论8[7].f (x) 在区间I (I可开, 半开, 有限或无限) 可导, 且f′ (x) 在I有界, 则函数f (x) 在I上一致连续.

推论7[1].函数f (x) 在上有连续的导函数, 且均存在, 则f (x) 在 (a, b) 上一致连续.

结论8[2].若函数f (x) 在区间I上有定义, 对∀x∈I, f′+ (x) , f′- (x) 都存在且有界, 且有有限个角点, 则f (x) 在I上一致连续.

推论8[2].若f (x) 在区间I上光滑, f′ (x) 有界, 则f (x) 在区间I上一致连续.

结论9[21].若函数f (x) 在开区间I (有限或无穷) 上单调, 拟导数[14]在I内处处存在且有界, 则函数f (x) 在开区间I上一致连续.

推论9[21].若f (x) 是开区间I (有限或无穷) 上的凸函数, 且拟导数存在且有界, 则f (x) 在I上一致连续.

推论10[21].若函数f (x) 是开区间I (有限或无穷) 上满足条件:

(2) ∀x∈I, f- (x) 和f+ (x) 都存在;

(3) 在I上处处拟可导, 且拟导数有界;

则f (x) 在区间I上一致连续.

结论10[7].若f (x) 、g (x) 在I上可导, 且|f′ (x) |≥|g′ (x) |>0, 则

(1) 当f (x) 在I上一致连续时, g (x) 在I上一致连续.

(2) 当g (x) 在I非一致连续时, f (x) 在I上非一致连续.

结论11[3].设f (x) 在[a, +∞) 上可导, 且 (常数或+∞) , 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续⇔λ为常数.

结论12[4].设f (x) 在区间[a, +∞) 上局部可积, 且f (x) 在[a, +∞) 上有界, 则F (x) =ʃaxf (s) ds在区间[a, +∞) 上一致连续.

七、具有周期性质的连续函数的一致连续性条件

结论13[1].连续的周期函数一定一致连续.

八、具有确界或振幅性质的连续函数的一致连续性条件

结论14[1].函数f (x) 在区间 (a, b) 上一致连续的充要条件是, 其中ωf (δ) =sup|f (x1) -f (x2) |, 而x1, x2为 (a, b) 受条件|x1-x2|≤δ限制的任意两点.

推论11.函数f (x) 在区间I (有限或无穷) 上一致连续的充要条件是, 其中ωf (δ) =sup|f (x1) -f (x2) |, 而x1, x2为I受条件|x1-x2|≤δ限制的任意两点.

结论15[5].设f (x) 是区间I上的函数, 那么f (x) 一致连续⇔Ǝr>0, 以及定义在[0, r]上满足的函数g (x) , 使对坌h∈[0, r]和x∈I, 只要x+h∈I, 就有|f (x+h) -f (x) |≤|g (h) |.

推论12[5].若, 则f (x) 在I上非一致连续.

九、一般函数的一致连续性条件

结论16[1].若对于定义在区间X上的函数f (x) 和g (x) , ƎL>0, ∀x′, x″∈X且|f (x′) -f (x″) |≤L|g (x′) -g (x″) |成立, 则f (x) 在X上也一致连续.

推论13[1]. (Lipschitz条件) 若函数f (x) 在区间X上满足下述Lipschitz条件, 即埚L>0, ∀x′, x″∈X, 有

|f (x′) -f (x″) |≤L|x′-x″|成立, 则f (x) 在X上一致连续.

推论14[3].若f (x) 在区间I可导, 且f′ (x) 有界, 则函数f (x) 在区间I上一致连续.

结论17[5].设f (x) 是区间I上的函数, 那么f (x) 一致连续⇔Ǝr>0, 以及定义在[0, r]上满足的函数g (x) , 使对∀h∈[0, r]和x∈I, 只要x+h∈I, 就有|f (x+h) -f (x) |≤|g (h) |.

推论15[5].若, 则f (x) 在I上非一致连续.

结论18[6].设区间I1的右端点c∈I1, 区间I2的左端点c∈I2, 若f (x) 分别在区间I1, I2上一致连续, 则f (x) 在I=I1∪I2上也一致连续.

结论19[20].设函数f (x) 在[a, +∞) (a为任意实数) 上连续, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续的充要条件是在[a, +∞) 上存在一个一致连续的函数g (x) , 使得.

结论20[3].若连续函数可在无穷远处贴近一个一致连续函数, 则其必一致连续.

特别的, 因为线性函数必一致连续, 所以如果某连续函数在无穷远处贴近一个线性函数, 则其一定一致连续在[a, +∞) 上一致连续.

推论16[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 连续, 且有斜渐近线y=ax+b, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论21[16].设则函数I为有限区间, f (x) 在I上有定义, f (x) 在I上一致连续的充要条件是f (x) 把Cauchy序列映射为Cauchy序列 (即当{xn}为Cauchy序列时, {f (xn) }亦为Cauchy序列) .

结论22[19].函数f (x) 在I上一致连续⇔∀{xn}, {yn}⊂I, 只要.

推论17[11].设f (x) 在 (-∞, +∞) 上有定义, 若Ǝη>0, 又存在两个均由不同的数组成的数列{xn}, {xn′}, 使得|xn′-xn|=η, (n=1, 2…) , 且, 则f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

结论23[8].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ∀x′, x″∈I, ƎN>0, 使当|f (x′) -f (x″) |>N|x′-x″|时, 恒有|f (x′) -f (x″) |<ε.

结论24[19].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ∀x1, x2∈I, ƎN>0, 当, 有|f (x1) -f (x2) |<ε.

结论25[17].若{fn (x) }一致收敛于f (x) , f (x) ∈ (-∞, +∞) , 且每个fn (x) 都在R上一致连续, 则f (x) 也在R上一致连续.

结论26[19].设f (x) 定义在[a, b]上, 且任给闭区间[x1, x2]⊂[a, b], 对介于f (x1) 与f (x2) 的任意常数l, 方程在[x1, x2]上有且仅有有限个解, 则f (x) 在[a, b]上一致连续.

结论27[17].设f (x) 在[a, +∞) (a>0) 上满足lipschitz条件, 即ƎM>0, ∀x, y∈[a, +∞) , 有|f (x) -f (y) |≤M|x-y|, 则在[a, +∞) 上一致连续.

结论28[16].设f (x) 在[0, +∞) 上满足Lipschitz条件, 则设f (xα) (0<α<1为常数) 在[0, +∞) 上一致连续.

结论29[10].函数f (x) , g (x) 在区间I=[a, +∞) 上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论30[10].函数f (x) , g (x) 在区间I= (a, b]上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论31[10].函数f (x) , g (x) 在区间I=[a, b) 上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论32 (10) .函数f (x) , g (x) 在区间I= (a, b) 上连续, 若满足成立 (其中:A, C为非零定值, B, D为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论33[4].设f (x) , g (x) 均在[a, +∞) 上连续, 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论34[4].设f (x) 在[a, +∞) 上连续, g (x) 在[a, +∞) 上一致连续且, 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论35[10].函数f (x) , g (x) 在I=[a, +∞) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论36[10].函数f (x) , g (x) 在I= (-∞, b]上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论37[10].函数f (x) , g (x) 在I= (-∞, +∞) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论38[10].函数f (x) , g (x) 在I=[a, b) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论39[10].函数f (x) , g (x) 在I= (a, b]上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论40[10].函数f (x) , g (x) 在I= (a, b) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A, B为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论41[11].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ƎA>0, 使得∀x′, x″∈I, 恒有|f (x′) -f (x″) |≤A|x′-x″|+ε.

结论42[11].若f (x) 在 (-∞, +∞) 上可微, 若, 则f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

结论44[11].设函数f (x) , g (x) 在 (-∞, +∞) 上有定义, 且满足:

(1) f (x) 是周期函数, 且存在x0, 有f (x0) =0;

(2) , 则F (x) =g (x) ·f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

十、两个函数四则运算的一致连续性的判定定理

结论45[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上有有界的导数, 则f (x) ±g (x) 在区间I上一致连续.

结论46[13].设φ (x) 与ψ (x) 在区间I上一致连续, 则αφ (x) +βψ (x) 在区间I上一致连续 (其中α, β是任意的常数) .

结论47[12].函数f (x) , g (x) 都在闭区间I上有有界的导数, 则f (x) g (x) 在I上一致连续.

结论48[13].设φ (x) 与ψ (x) 在区间I上一致连续且有界, 那么φ (x) ψ (x) 在区间I上一致连续.

结论49[17].设f (x) ∈C[a, +∞) , 在[a, +∞) 上有界, 则f (x) g (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论50[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上一致连续, 且在I内有界, 则在区间I上一致连续.

推论18[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上一致连续, f′ (x) , g′ (x) 在I内有界, 且存在α>0, β>0, 使得对于任意x∈I, 有|f (x) |≤α, |g (x) |≤β, 则在区间I上一致连续.

推论19[19].设f (x) 在区间I上一致连续, 且在I上也一致连续.

十一、复合函数一致连续性的判定

结论51[17].设f (x) 在上一致连续, 且∀x∈, f (x) ∈, 又g (y) 在上一致连续, 则复合函数F (x) =g (f (x) ) 在上一致连续.

结论52[16].设z=g (y) 于J, y=f (x) 于I都是一致连续的, 且f (I) ⊂J, 则z=g (f (x) ) 在I上一致连续.

推论20[11].设f (x) 是连续的周期函数, φ (x) 是可微函数, 且, 则复合函数f (φ (x) ) 在 (-∞, +∞) 上一致连续.

十二、等度连续函数列的一致连续性的判定

结论53[17].设{fn (x) }在区间I上等度连续[17], 则对∀n, {fn (x) }在I上一致连续.

一致连续函数的探讨与研究 篇7

一、一致连续函数与连续函数的定义的区别

对一致连续函数的研究应当始于对其和连续函数的定义探析上, 从而更好地对一致连续函数进行理解.

1. 一致连续函数 f ( x) 的定义

设f ( x) 是D上的单变量函数. 若存在任意常数k > 0, r > 0, 使得当x1, x2∈D, 且| x1- x2| < k时, | f ( x1) - f ( x2) |< r总会成立, 则将称f ( x) 为D上的一致连续函数. 即一致连续的本质在于当该区间内两个极其靠近的点的差值可以任意小, 而且函数的一致连续性的定义域必须是区间, 不能是孤立某个定点.

2. 连续函数的定义

首先, 函数f ( x) 在定点x处连续的定义. 即设若f ( x) 在点x0的某一邻域内有定义, 并且满足) , 则0称f ( x) 在点x0处连续. 也就是函数在点x0处的极限值与函数值相等时, 点x0是函数的连续点, 表现在函数的图像上就是函数在这一点的图像是没有断开的, 与其他点的图像接连在一起的. 函数在一点只能是连续或不连续, 不能是一致连续的.

其次, 函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内连续的定义, 即若f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每一点上都连续. 函数f ( x) 在开区间内连续, 并不一定在开区间内是一致连续的.

再次, 如果f ( x) 在 ( a, b) 内连续并且在开区间的左端点a是右连续而在右端点b是左连续, 这时可以说f ( x) 在闭区间[a, b]是连续的.

f ( x) 在[a, b]内连续, 则f ( x ) 在[a, b]内是一致连续的.

二、一致连续函数的运算性质

在一致连续函数中其运算和性质的联系较为紧密, 因此以下从几个方面出发, 对一致连续函数的运算和性质进行分析.

性质1设函数f ( x) 与g ( x) 在区间I上具有一致连续性, 并且a, b为任意常数, 则af ( x) + bg ( x) 在区间I上具有一致连续性. 即一致连续函数的线性组合还是一致连续的.这个性质与连续函数的性质是类似的, 比较容易理解.

性质2设函数f ( x) , g ( x) 在区间I上具有一致连续性并且具有有界性, 则f ( x) ·g ( x) 在区间I上也具有一致连续性.

性质2中, f ( x) 与g ( x) 的有界性是必不可少的条件, 如若缺少, f ( x) ·g ( x) 不一定是一致连续的. 例如, y = xμ, μ∈ ( 0, 1]是[1, + ∞ ) 上的一致连续函数. ( 证: 对于任意的1≤x1≤x2, 存在不等式x1- x1μ= x1 ( 1 - xμ - 11) ≤x2- xμ2= x2 ( 1 xμ - 12) , 即| xμ2- xμ1|≤| x2- x1| . 故存在任意的k > 0, 令r =k > 0, 则当x1, x2∈ [1, + ∞) 且x2- x1≤r时, | xμ2- xμ1|≤| x2- x1| < r总是成立的. )

若μ = 1时, y = f ( x) = x在[1, + ∞ ) 上连续但是不具有有界性, 则f ( x) ·f ( x) = x·x = x2在[1, + ∞ ) 上并不存在一致连续性.

性质3设函数f ( x) 在区间I上具有一致连续性并且0) , 那么f- 1 ( x) 在区间I也具有一致连续性.

通常来说, 一致连续函数的反函数往往不具有一致连续性. 但若果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上是严格单调连续的函数, 则其反函数具有一致连续性.

例如, 函数, x∈ ( 0, + ∞ ) 在 ( 0, + ∞ ) 单调, 一致连续, 且, 所以反函数y = lnx, x∈ ( 1, + ∞ ) 在 ( 1, + ∞ ) 内一致连续.

性质4在计算一致连续函数的复合运算时, 如果函数u = v ( x) 在区间D上具有一致连续性, 则函数y = f ( u) 在U = { u u = v ( x) , x∈D} 上具有一致连续性, 并且其复合函数y = f[v ( x) ]在区间D上也具有一致连续性.

例如, 当函数u = sinx, 这一函数在 ( - ∞ , + ∞ ) 上具有一致连续性, 复合函数y = u2在 ( - 1, + 1) = { u | u = sinx, x∈ ( - ∞ , + ∞ ) } 上具有一致连续, 即y = sin2x在 ( - ∞ , + ∞ ) 这一区间上具有一致连续性.

在研究这一性质和运算规律时应当注意, u = v ( x) 和y = f ( u) 都必须在各自相应的区间内一致连续, 若这两个函数至少有一个在相应的区间上并不一定具有一致连续性, 则其复合函数y = f[v ( x) ]并不一定具有一致连续性.

三、结 语

本文通过对一致连续函数定义与连续函数定义进行比较, 并且对一致连续函数的运算性质进行了简单的探讨和分析.

参考文献

[1]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社, 1981.

[2]陈纪修, 等.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2000.

[3]胡雁军, 李育生, 邓聚成.数学分析中的证明方法和难点选题[M].郑州:河南大学出版社, 1989.

关于高职数学函数连续性的教学 篇8

关键词：高职数学,函数连续性,连续本质,研究方法

函数连续性是高等数学的一个基本概念, 把握好这个概念有助于理解和掌握一元函数微积分中导数、定积分等概念。高职学生在学习这个概念时, 感觉很抽象不易理解, 特别对函数连续本质特征的把握不到位, 疑惑为什么函数的连续性要取决于函数在一个个点上的连续, 为什么函数y=f (x) 在点x0满足了时, 函数在该点就连续了等等。

究其原因有以下几点;一是学生抽象概括能力欠缺。从客观世界的现实中抽象概括出数学概念, 对接受过高中教育的人而言, 应该初步具备了这种能力。但目前高职学生这方面能力普遍较差。二是学生对极限思想和方法的不适应。由于高等数学是建构在极限理论的基础上、以极限为基本工具研究函数的一门数学学科, 因此, 研究问题的思维方式总体上由“静态”变成了“动态”。而函数的连续性是运用极限理论定义的第一个概念, 学生对于运用极限思想刻画函数的这种动态特性, 需要一个适应过程。三是教材的简化。现在选用的高职高专《高等数学》规划教材, 在“必需、够用”原则的指导下, 降低了理论难度、简化了知识内容。多数教材的“函数连续性”一节直接给出函数在点连续的定义, 缺少必要的例证加以辅助。学生很难通过阅读教材理解函数连续的概念。针对上述原因, 教师在教学时应着重抓住以下几点, 帮助学生建立起函数连续性的概念。

函数连续性的本质特征

要理解函数连续的概念, 首先要抓住连续的本质特征。自然界中植物的生长、河水的流动、温度的变化等等现象, 都是连续变化着的, 把这种现象进行抽象, 反映在函数关系上就是函数的连续性。如果只是这样概括, 学生对连续本质特征的把握是不到位的。此时可再从以下现象分析:两个人几天不见, 再次见面时并没有感觉到彼此的变化, 难道这几天俩人真是都没有变化吗?显然不是。人从出生到衰亡, 时时刻刻都处在连续变化之中, 尽管这种变化很微小, 不宜察觉, 但它是不间断的。如果我们从函数的角度分析, 上述现象就相当于函数的自变量在某一区间段上连续变化时, 因变量也随之连续变化, 即使自变量的变化很微小, 因变量也会随之有微小的变化。经过的这样分析, 学生就能较好地把握函数连续性的本质特征了。

函数连续性的研究方法

函数的连续性反映了现实世界中连续的动态变化现象, 如同一个动点能够沿着一条延绵不断的曲线运动。如何才能使学生认识到, 研究函数的连续问题必须先从研究函数在一点上的连续开始呢?我们从自然界的连续现象中很容易认识到一个断点就能打破一条连续链。同样, 观察函数的图像也会发现函数的曲线也呈现这个规律, 如动点在曲线y=sinx上可以顺畅地移动, 而在曲线y=tanx或上移动时, 会在点, (k∈Z) 或x=0处被“卡住”。通过这样的观察分析, 学生就很容易归纳出:曲线上一个点便可决定一个函数在某个定义区间上的连续性。这样, 函数连续的问题就归结到了研究函数在一点上的连续。

用什么方法确定函数在一点上的连续呢?函数在一点上的连续是一个局部概念, 反映了函数在一点处两个变量增量间的变化关系, 即当函数的自变量有一微小变化时, 因变量也随之有一微小变化。如果利用初等数学的方法刻画这种关系, 显然是行不通的, 只有借助于极限工具进行深入的分析研究。通过教师适当引导, 学生便会知道要想解决函数在一点上的连续的问题必须运用极限的思想方法。

函数连续性的定义

一个数学概念的形成过程, 是人们对客观现象进行探索归纳、抽象概括的过程。教学上如果对这一过程进行情境再现, 不仅可以使学生了解概念的形成背景, 而且对学生理解掌握概念的本质及其应用大有益处。若只是“填鸭式”传授, 把概念直接灌输给学生, 效果可想而知, 也失去了通过数学教学过程对学生进行观察分析、抽象概括能力培养的作用。

讲授“函数连续性”一节时, 可以先借助多媒体给学生播放植物的生长、河水的流动、汽车在高速路上奔跑等连续现象, 再播放一棵大树被拦腰截断、一条大坝截住河水流动、一座断裂的桥梁造成车辆停滞不前等不连续现象, 与学生一起分析探索上述现象引出函数连续尤其是在一点上的连续的问题, 并形成定义。

通常, 关于函数y=f (x) 在点x0连续的定义有两种形式:

定义1:设函数y=f (x) 在点x0的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量△x=x-x0趋于零时, 对应的函数的增量△y=f (x0+△x) -f (x0) 也趋于零, 即, 那么就称函数y=f (x) 在点x0连续。

定义2:设函数y=f (x) 在点x0的某一邻域内有定义, 如果函数f (x) 当x→x0时的极限存在, 且等于它在点x0处的函数值f (x0) , 即, 那么就称函数y=f (x) 在点x0连续。

不同的教材, 给出两个定义的顺序不同。无论哪种顺序, 关键是使学生理解并掌握函数y=f (x) 要在点x0连续, 必须满足条件△y=0。为了使学生搞清楚条件的含义, 教学时可以从反例入手, 借助函数的图像加以分析。

若先讲定义2可以列举以下实例:

例1:考察函数在点x=1处的变化情况。

如图1所示, 函数的图像是直线y=x+1去掉了点 (1, 2) , 显然函数在点x=1处就像一条绳子被剪断为两截不再连续, 究其原因是函数在此点没有定义。

例2:考察函数在点x=0处的变化情况。

如图2所示, 函数在点x=0处出现了“跳跃”断开了, 这种断开不是因为没有定义造成的。学生要问是什么原因造成的呢?这时应引导学生从极限角度进行分析, 由不存在, 由此便知, 函数在有定义无极限的点处不连续。

例3:考察函数在点x=1处的变化情况。

如图3所示, 函数在点x=1处遇到了“陷阱”。直观观察, 函数在处的函数值不是f (1) =12+1=2, 而是f (1) =0.9。再进一步观察发现, 函数在点x=1处有定义极限也存在, 可是, 与函数值f (1) =0.9不相等, 所以出现了“陷阱”。

三例过后进行小结, 得出函数y=f (x) 在点x0处若遇到下列三种情况之一就会不连续: (1) 没有定义; (2) 有定义、极限不存在; (3) 有定义、极限存在、但极限值与函数值不相等。这时善于思考的学生就会产生下列想法:“当函数y=f (x) 在点x0处同时满足了有定义、极限存在、极限值与函数值相等三个条件时, 情况会是怎样呢?”这时教师可以引导学生观察连续函数曲线在一点上的状况。

例4:考察函数y=x2在点x=2处的连续情况。

通过看该函数的图像发现, 函数y=x2在点x=2处没有断开是连续的, 并且同时满足上述三个条件。这样学生就可以比较充分地认识到:函数要在一点上连续, 必须满足条件, 以及其中的含义。从几何角度分析, 动点在经过曲线上的一点时, 经历了沿着曲线无限接近于这一点的过程, 如果函数在此点连续, 动点就能到达此点并顺利通过, 否则就会被“卡住”。

函数连续性的整体概念

如果只将函数的连续性局限在一点上连续的层面上, 还不能全面把握函数连续的概念。如当考察函数y=sinx在点x=0处的连续性时, 根据函数在一点连续的定义, 由等式便知函数y=sinx在点x=0处是连续的。而当考察函数y=sinx在其定义域 (-∞, +∞) 上的连续性时, 该如何进行呢?这需要进一步建立起函数连续性的整体概念。

一般的, 知道了怎样判定函数在一点上连续后, 应给出函数在开区间 (a, b) 上连续的概念, 即在开区间 (a, b) 内连续的函数y=f (x) , 必须在开区间 (a, b) 内每一点都连续。根据上述要求, 在探讨函数y=sinx在 (-∞, +∞) 上连续的问题时, 要说明y=sinx在 (-∞, +∞) 内的“每一点”都连续, 显然逐点验证是不可能的, 如果能够寻找到可以“代表”每一点的“点”, 通过证明函数在此点连续, 进而就可说明函数在区间上连续。

经分析发现, 只要在区间 (-∞, +∞) 上设出任意一点, 用“任一点”代替“每一点”加以证明即可使问题得到解决, 这也正是数学简约美之所在。如果考察函数y=f (x) 在闭区间[a, b]上的连续性, 不仅要求它在区间 (a, b) 上连续, 而且还要满足在区间的左端点a处右连续, 右端点b处左连续。至此, 关于函数连续性的概念就完整了, 学生就会达成这样的共识:函数的连续是动态变化的, 是通过函数在其定义区间上的每个点上的连续实现的。连续函数的图形呈现为一条连绵不断的曲线。

参考文献

[1]曹之江.谈数学及其优教 (名师谈数学) [M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]罗韵蓉.浅谈函数的连续性与间断点的教学体会[J].科学咨询, 2009, (4) .

[3]张景中.数学与哲学[M].大连:大连理工大学出版社, 2008.

[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

一类函数连续与可导概念的局部性 篇9

连续和可导是函数的两个重要性态。我们通常研究的函数一般都是处处连续和可导的。本文利用Riemann函数构造一类新函数描述连续和导数概念的局部性。

Riemann函数是如下形式定义的函数。

设R(x)是定义在[0 ,1]上的函数

$\begin{array}{l}R(x)=\\ \{\begin{array}{l}\frac{1}{q}\text{当}x=\frac{p}{q}(p、q\in \mathit{{\rm N}}{}^{+}‚\frac{p}{q}\text{为}\text{既}\text{约}\text{真}\text{分}\text{数})；\\ 0\text{当}x=0,1\text{和}(0,1)\text{内}\text{的}\text{无}\text{理}\text{数}。\end{array}\end{array}$

下面由Riemann函数给出一般定理。

1 两个定理及其证明

定理1 设函数g(x)在R上连续,f(x)=g(x) R(x), 则

(1) 当g(x0 )=0时, x0 是f(x)的连续点;

(2) 当g(x0 )≠0时,x0 是f(x)的第二类间断点.

证明: 由已知条件得, f(x)=g(x) R(x)=

$\{\begin{array}{l}g(x)\frac{1}{q}‚(R(x)\text{中}x=\frac{p}{q}\text{为}\text{有}\text{理}\text{数})；\\ 0‚(x\text{为}0,1\text{或}\text{无}\text{理}\text{数})。\end{array}$

1) 当x0是g(x)的零点时,即g(x0)=0时, 易得 f(x0)=0 则│f(x)-f(x0) │= │f(x)│≤│g(x)││R(x)│。

由于g(x)在x0上连续, 故对∀ε>0,∃δ>0当│x-x0│<δ 时总有∣g(x)–g(x0)∣< ε成立, 又R(x)为有界变量,故有f(x)在x0连续。

2) 当x0不是g (x)的零点,即g(x0)时, 则在x0的右侧取有理数列$\left\{x{}_n\right\}$和无理数列$\left\{y{}_n\right\}$。

使得$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}x{}_n=x{}_0,\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_n=x{}_0$。因 g(x)在(0,1)上连续,故$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x{}_n)=\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}g(x{}_n)\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}R(x)\ne 0$

而$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(y{}_n)=0$,根据归结原则 得$\underset{x\to x{}_0^{+}}{{\displaystyle \lim }}f(x)$不存在,因此,x0是f(x)的第二类间断点。

定理2 设f(x)=g(x)R(x),g(x)是定义在区间上的连续函数。

(1) 若x0是g (x)在区间上的零点,且x→x0时,g(x)是比x→x0高阶无穷小,则f(x)在x0处可导,且f′(x0)=0。

(2) 若x0是g (x)在区间上的零点,且f(x)→x0时,g(x)不是比x→x0高阶无穷小,则f (x)在x0处不可导。

(3)若x0不是g (x)在区间上的零点,则f(x)在x0不可导。

证明 (1)g(x0)=0时,显然有f(x0)=0。

$\begin{array}{l}\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x)-f(x{}_0)}{x-x{}_0}=\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x)}{x-x{}_0}=\\ \underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x)R(x)-g(x{}_0)R(x{}_0)}{x-x{}_0}=\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x)R(x)}{x-x{}_0}。\end{array}$

由x→x0时,g(x)=O(x-x0),R(x)为有界变量,故$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x)-f(x{}_0)}{x-x{}_0}=0$即f(x)在x0处可导,且 f′(x0) =0。

(2)当g(x0)=0, g(x)≠O(x-x0)时,若$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x)}{x-x{}_0}$不存在, 则f(x)在x0处不可导。

若$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x)}{x-x{}_0}$存在,且$\underset{x\to x{}_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x)}{x-x{}_0}\ne 0$,此时可在x0的右侧分别取有理数列{xn}和无理数列$\left\{y{}_n\right\}$,使得,$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}x{}_n=x{}_0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_n=x{}_0$。则当x以有理数列趋近于x0时,有

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x{}_n)-f(x{}_0)}{x{}_n-x{}_0}=\\ \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x{}_n)R(x{}_n)-g(x{}_0)R(x{}_0)}{x{}_n-x{}_0}=\\ \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{g(x{}_n)R(x{}_n)}{x{}_n-x{}_0}\ne 0(1)\end{array}$

当x以无理数列$\left\{y{}_n\right\}$趋于x0 时,

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{f(y{}_n)-f(x{}_0)}{y{}_n-x{}_0}=\\ \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{g(y{}_n)R(y{}_n)-g(x{}_0)R(x{}_0)}{y{}_n-x{}_0}=\\ \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{g(y{}_n)R(y{}_n)}{y{}_n-x{}_0}=0(2)\end{array}$

由式(1)、式(2)知f(x)在x0 不可导。

(3)当g(x0 )≠0时,根据命题1知,x0 为f(x)的第二类间断点,即f(x)在x0 不可导。

2 定理的应用

根据命题1,利用 Riemann函数构造具有以下性质的函数。

例1定义在(-∞+∞)上仅在x=0处连续的函数: f(x)=xkR(x) (k>0)。

例2定义在(-∞+∞)有且仅有n个连续点的函数, n为自然数。

f(x)=(x-1)k1(x-2)k2(x-3)k3…(x-n)kn×R(x), k1,k2,k3…,kn>0。

例1说明函数f(x)在点x0连续不能推出它在x0附近连续,例2可知函数f(x)有n个孤立的连续点,而在被这些连续点所隔的每个开区间内,函数是处处间断的,这反映的是函数连续概念的局部性.

根据命题2,利用 Riemann函数构造具有以下性质的函数:

例3 定义在(-∞+∞)上仅在x=0处可导的函数:f(x)=xα+1·R{x}(α>0);

例4 定义在(-∞+∞)上有且仅有n个可导点的函数:

f(x)= (x-1)1+k1(x-2)1+k2(x-3)1+k3…(x-n)1+knR(x), k1,k2,k3,…,kn>0;

例3和例4都说明了函数仅仅在x= x0 一点处可导,但在x= x0 附近任何一点都不可导,这反映的是函数导数概念的局部性。

3 基本结论

综上可得,利用Riemann函数构造的两类函数可以得出结论: 函数f(x)在x0 点连续不能得出f(x)在x0 附近连续(即f(x)在x0 附近处处间断); 函数f(x)在x0 可导不能推出f(x) 在x0 附近可导(即f(x)在x0 附近处处不可导)。这些函数能帮助我们准确理解函数连续、可导的局部性态提供了新的具体模型,它对全面认识函数的性质也不无裨益。

参考文献

[1]张东红.利用Dirichlet函数制作的几种反例.数学通报,2004;(5):43—44

[2]同济大学数学教研室.高等数学(第四版).北京:高等教育出版社,1996

[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京:高等教育出版社,2001

函数连续 篇10

关键词：复变函数,一致连续,有界闭区域

连续是函数的一个非常重要的性质, 闭区域上连续函数的性质具有很高的研究价值。闭区间上的一元连续实函数具有有界性、一致连续性等非常重要的性质, 多元连续实函数在闭区域上也有类似的性质, 这些很多数学教材中都有详细的讲解, 但是对于复变量函数的一致连续性定义, 以及在闭区域上的有界性和一致连续性, 作者在很多有关复变量函数的教材中均未见到。在此, 我们加以研究并给予补充。

定义1:设复变函数) 在区域上有定义, 如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于区域上的任意两点时, 就有那么称在区域上是一致连续的。

定理一 (一致连续性定理) :若) 在有界闭区域B内连续, 则必然一致连续。证明:由于) 在B上连续, 所以取, 对于B上任意一点都存在δz (此δ不仅依赖于还依赖与故记作δz) , 使得当立。对于B内每一点z都用与之相应的的一半为半径作开邻域显然, 开邻域族覆盖了区域B, 由有限覆盖定理知, 从上述开邻域族中可以选出有限个将B覆盖, 不妨设为m个, 记作:并

今设为B中满足条件的任意两点, 由于上述m个开邻域覆盖了B, 所以z必然属于其中某一个

这就是说, 对于B内任意两点只要满足就有所以f (z) 在有界闭区域B上一致连续。

定理二 (有界性定理) :在有界闭区域B上的连续函数ω=f (z) 具有有界性 (即存在常数

证明:由一致连续性定理知, 对于上任意两点, 即取一存在一个常数使得只要

下面我们证明函数ω=f (z) 在有界闭区域B上是有界的, 对于B中每一个点z, 都取一个以z为中心, 半径为δ的开邻域U (z, δ) , 则此开邻域族必然将B覆盖, 由有线覆盖定理可知, 可从中选出有限个开邻域将B覆盖, 不妨设为k个, 并记作:

并且取中最大的一个记作则在B中任意取一点z, 它必然属于中的某一个开邻域, 记此邻域为所记, 便得

因此, 连续函数ω=f (z) 在有界闭区域B上是有界的。

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数.第四版.高等教育出版社.