复合函数求导

2024-08-04

复合函数求导（精选8篇）

复合函数求导篇1

摘要：复合函数的求导一直是全面掌握求导知识的一个难点和重点,分析清楚复合函数的定义和对复合函数的求解方法就显得至关重要.本文通过对复合函数定义的阐述和复合函数求导的讨论,进一步的解释了复合函数的求导问题.

关键词：复合函数,求导,分析

复合函数作为表达函数的一种重要形式，因为复合函数也由几个初等函数构成，所以对复合函数的求导比初等函数求导更为复杂.一般地，初等函数往往可以直接利用导数的四则运算法则，而复合函数的求导不但需要理解由哪些初等函数构成，而且求导时也要理清各初等函数之间的关系，这个过程往往需要若干步骤才能准确的求解.按照复合函数的求导法则，在计算复合函数时，最关键的是要找出一切中间变量及分解的初等函数，求导时要经过对中间变量的求导计算，这也构成了复合函数求导的难点.

对复合函数的定义的准确理解是掌握复合函数求导的根基，在此基础上，进一步的分析复合函数的求导方法及其推广应用，便于全面的理解复合函数的求导方法和培养严密的逻辑思维能力.

一、理解复合函数

遵循分析问题的规律，即分析问题首先是要认清问题的本质.在讨论复合函数求导问题时，首先应该理解复合函数的定义，便于认清复合函数的性质，以及对复合函数求导的关键点.

复合函数，从其字面意思理解可以表示为由多个函数通过复合的形式组成的新函数，即由多个简单的初等函数组合构成的复合型函数，那么要理解复合函数，就是要理解构成复合函数的初等函数.其中，初等函数是指幂函数、指数函数(y=xa,a为实数)、对数函数(y=ax,a>0且a≠1)、三角函数和反三角函数这五种函数.简单的初等函数是指对基本的初等函数和函数经过有限次的四则运算构成的函数，比如y=8+8sinx,y=ex-x+1等均为初等函数.复合函数则通过中间变量把有限个初等函数组合在一起的新函数.比如，有如下形式的复合函数:

这里的U,V依次称为一个中间变量、第二个中间变量，通过这两个中间变量的组合就构成了复合函数.

以上过程为正向分解复合函数的过程，若给定某个复合函数，要认识由哪几个简单初等函数构成，则需要逆向的分解复合函数，比如给定以下复合函数形式，y=ln(4+7x3)和y=5(cos6x)2，若分解成简单的初等函数，就可分别表示为y=lnu,u=4+7x3和y=5u2,u=cosv,v=6x.即一般方法是:从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析向里推进，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.理解复合函数的逆向分解对复合函数的求导至关重要，并且是对复合函数求导的关键所在.

二、复合函数的求导

由于复合函数是简单的初等函数复合而成，所以，对其求导关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.在求导过程中，逐步对复合函数的中间变量求导，比如形如y=ecosx的复合函数的导数，就包括以下过程:

第一，分清中间变量.可以把y=ecosx看成是由以下过程构成的复合函数，y=eu和u=cosx;

第二，逐步求导.即首先需对整体求导，即.接着对中间变量求导，y'=

以上两步是求解复合函数导数的一般步骤，但是若复合函数由较多的简单初等函数构成，那么这个过程就比较复杂，就需要一个一般的过程实现.一般地，把复合函数的求导法则写成并将其成为链式法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数.根据复合函数中间变量的形式，可以把对复合函数的求导分为中间变量均为一元函数的情形，中间变量均为多元函数的情形，中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形.

三、复合函数求导的应用

复合函数求导在物理学中得到广泛的应用，特别力学问题，在对过程建立数学关系后，就需要对力学过程求解，而这个过程往往是一种复合函数的形式.而且，复合函数求导的能力掌握得如何，是判定对求导知识掌握程度的重要标志.因为复合函数的求导法则给出了一个相当一般的求导方法，许多求导公式都可以通过该法则逐步的推广得到，可以说其他的求导公式都可以看成是它的特例.并且，表达函数的三种形式(显示表达、隐士表达和参数表达)，虽然各有不同的应用场合，但是对它们的求导都可以利用复合函数的求导法则实现，而且运算的难易和繁简程度也大相径庭，比如引用较多的隐函数求导、复合函数的全微分等.

所以，在学习时，通过各种题型的反复训练，然后归纳总结复合函数的求导法则，最后形成严密的关于复合函数求导的逻辑思维关系，就可以全面的掌握复合函数的求导法则，并可根据实际情况选择使用不同求导的方式.这对进一步的掌握全微分、偏微分等知识至关重要.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]孙家永.复合函数求偏导数法则的证明一般书中都有毛病[J].高等数学研究,2007,10(2):38-40.

[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2005.

[4]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京:北京大学出版社,2007.

利用二次求导判断函数单调篇2

min.

设g（x）=，则g′（x）=.为了判断g′（x）的正负，我花了很长时间终于将它因式分解，得到g′（x）=，但是接下来我还是无法判断其正负……

回答这位同学在求解过程中，由于不能判断一阶导函数g′（x）=的正负，所以无法得出函数g（x）的单调性.在这种情况下，通过二次求导来帮助解题是个好办法.

由于x∈［1，+∞）时≥0，所以可设h（x）=x+2-2lnx，则h′（x）=1-=.当x∈［1，2）时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0，函数h（x）单调递增，所以h（x）min=h（2）=4-2ln2>4-2lne2=0，h（x）=x+2-2lnx>0在区间［1，+∞）上恒成立.

由≥0，h（x）=x+2-2lnx>0可得g′（x）=≥0，当且仅当x=1时等号成立，所以函数g（x）=在区间［1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=-1，所以实数a的取值范围是［-1，+∞）.

复合函数求导法则教学浅析篇3

一、分析结构, 引入法则

复合函数的结构实际上是一种链式结构, 要研究其求导法则, 必须先把其结构搞清楚。以三层函数为例:其中y为x的函数, f、φ、g是运算符号 (即对应法则) , 其顺序是先对x进行g运算, 结果记为u;再对u进行φ运算, 结果记为v;最后对进v行f运算, 结果为y。事实上, 我们也可以写出该复合函数的分解式, 按照由外至内的顺序可分解为y=f﹙v﹚, v=φ﹙u) , u=g﹙x) , 其中u、v称中间变量, 此三个函数按顺序称为外层、中层、内层, 这样该复合函数就用三个相应层次的函数来表达。需要指出的是, 分解出来的每个函数都应为基本初等函数或基本初等函数与常数之间的四则运算, 其中, 还包含超越运算。提问:能否用函数和、差、积、商的求导法则来求这个复合函数的导数呢?答案是否定的, 显然四则求导法则失效。因此我们要寻求一种解决这类问题的有效的途径, 这就是本节课要讲的复合函数的求导法则。

整个上诉部分是课的引入, 同时分析了复合函数的结构。在这一过程中, 自始至终抓住“由外往里”这一分析复合函数的思想方法, 为下面介绍复合函数的求导法则奠定了基础。

二、分清层次, 明确法则

给出复合函数的求导法则:设函数u=g (x) 在点x可导, 函数y=f (u) , 在对应的点u可导, 且其含义是, 一个两层复合函数, 外层函数可导, 内层函数也可导, 则此复合函数也可导, 且其导数等于外层函数的导数与内层函数的导数之积。经过透彻分析, 使学生充分明确法则的应用条件, 分清层次, 理顺结论与复合函数的关系。

法则的证明是这节课的精华, 法则的证明涉及到这个导数的概念, 导数的定义求导, 函数的连续性, 以及无穷小的性质等几项内容。法则的证明能培养学生思维能力, 并使法则真实可信。笔者认为下述方法简明易行:想要证明这个函数在点x可导, 就是要证明导数是否存在, 也就是要证明极限是否存在。因此, 由定义求导法, 先求出Δy, 而y在u点可导, 即存在。根据具有极限的函数与无穷小量关系的定理就有就可以得出法则的正确性。

教材只是以两层复合函数为例给出求导法则, 而在课后作业中却出现了两层以上复合函数的求导, 这对理解不深刻的学生有一定的难度, 因此教师有必要做进一步的推广, 根据归纳法的逻辑推得有限次复合函数的求导法则。这样从知识讲授的角度来讲没有遗漏, 也为应用提供了理论依据。关于推论的证明可留给学生独立完成, 以培养学生的自学能力。

三、形象设喻, 熟练应用

熟练应用法则是本节课的关键。单从法则的结论来看, 貌似简单, 但学生往往似懂非懂, 在应用时更是频频出错。如何突破这道难关呢?只有让学生自己摸出规律, 才能提高解题速度和正确性。1

例1、求函数的导数。

方法一:设中间变量, 则外层函数y=cos u, 内层函数由法则得

即这种方法的步骤是一设二求, 写出中间变量u, 简单称它为比设法。也可以不写出中间变量u, 从而简化计算程序。

方法二:把内层函数盖起来 (配以适当的手势) , 心理设它为中间变量u, 再按照法则求解, 结果相同。如上

法概括起来就是:覆盖内层, 求导, 回代, 作积。因此又把心设法形象的比喻为覆盖法。这是一个两层复合函数, 用了一次覆盖法, 对于两层以上的复合函数就是反复使用覆盖法。并且可以与四则求导法则结合使用。

例2、求函数的导数。

(2x+ex) 不是复合函数, 可以直接用和, 差, 积, 商的求导法则和求导公式来求导。

复合函数的求导就像锁链一样, 必须一环套住一环, 不能脱落任何一环, 求导时, 按照由外至内, 一层一层往里求, 一直到最里层, 而不能漏掉任何一层。

指数函数求导时代结束篇4

当n为无穷大时:

这几个等式说明了什么呢?说明了e值是变化的.这些式子在指数函数求导过程中都会用到.

令z=aΔx-1,当Δx趋于零时,z趋于零时.

aΔx=z+1,

由z=aΔx-1,得:a=et时,z=tΔx.

e值第一错:e值是一个变量,当t=2时,用了第(2)式的结果;当t=3时,用了第(3)式的结果;也就是说a值越大,e值越小.因为Δx不能等于零,所以z的值随a值的增大而增大.

e值第二错:等式两边求极限的条件不一样.

二、指数函数的各阶导数都相等

y=etx的导数:

令z=tx,则有:

y=ez,因为有y=ez的各阶导数都相等,所以有

因为z=tx,所以有

从e值第二错来看

因为当Δx趋于零时tΔx=Δx,所以有:

三、e值第二错实例

当Δx趋于零时y=x2的导数:

四、指数函数还能求导吗

(1)y=x2的导数:

Δy=(x+Δx)2-x2,

Δy=2xΔx+Δx2,

当Δx=0时,

y'=2x.

从图1可以看出,直线AB成为彻线的必要条件是Δx=0,Δy=0,此时A,B两点合为一点.Δx趋于零但不等于零,直线AB都不是彻线.

(2)y=ax的导数:

等式的左边,直线AB成为彻线Δx=0,Δy=0是必要的.等式的右边Δx不能等于零导致Δy不能等于零,点A,点B不能重合,至此从几何意义上证明了

y'≠axlna.

五、图说e值

设:A=∝,B=∝+100.则有

六、函数在某一点处的极限

关于分段函数的求导问题篇5

分段函数的求导, 关键在于分段点处的导数, 常用方法有: (1) 不连续则不可导; (2) 导数或左右导数的定义; (3) 导数单侧极限定理:设f (x) 在 (a, b) 内连续, x0∈ (a, b) , 在 (a, x0) 及 (x0, b) 内可导且都存在, 则

导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证, 此处从略.下面仅作几点说明:

1.定理中若f+′ (x0) =f-′ (x0) , 则f (x) 在x0处可导, 若不相等, 则f (x) 在x0处不可导.

2.定理中条件缺一则不可 (即 (1) f (x) 在x0处连续; (2) f (x) 在x0的某空心邻域内可导; (3) lxi→mx0+f′ (x) 、lxi→mx0-f′ (x) 都存在) , 否则, 结论并不一定成立.

3.左、右导数f+′ (x0) 、f-′ (x0) 与f′ (x) 的左、右极限并不是一回事, 一般来说, 当f′ (x) 在x0处左连续时有当f′ (x) 在x0处右连续时有

二、分段函数的导数实例

1.盲目地利用上“分段函数的导数在分段点处连续”的条件

例1设函数问f′ (0) 是否存在?

解法一按导数定义, f (x) 在x=0处的左、右导数分别为

由于f-′ (0) =f+′ (0) =0, 所以f′ (0) 存在, 且f′ (0) =0.

解法二当x<0时, f′ (x) = (x2) ′=2x;

所以且有f′ (0) =0.

剖析解法一是正确的, 解法二虽然得到的结论也和解法一的相同, 但是在最后一步中, 由如何能推得f′ (0) =0呢?这是需要说明的.

2.片面地认为, 分段函数的导函数在分段点处的不连续, 则函数在分段点处的导数也一定不存在

例2 问f′ (0) 是否存在?

解法一按导数定义, 可得

不存在, 即f′ (0) 不存在.

解法二当x≠0时,

不存在, 所以f′ (0) 不存在.

剖析解法一是正确的.但是解法二缺乏理论依据, 其实, 即使分段函数的导函数f′ (x) 在f (x) 的分段点x0处的极限不存在, 也并不能断定f′ (x0) 不存在.请看下例.

例3设问f′ (0) 是否存在?

解按导数定义, 得

这表明f′ (0) 存在, 且f′ (0) =0.但是, 当x≠0时, f (x) 的导函数为

显然, f′ (x) 在x=0处的极限不存在, 而f′ (0) 却存在, 且f′ (0) =0.

3.错误地认为, 分段函数的导函数在分段点处的单侧极限不存在, 则函数在分段点处的导数也一定不存在

例4 问f′ (0) 是否存在?

解法一在x>0时, 由于不存在, 所以此函数在x=0处的导数f′ (0) 不存在

解法二在x=0处, 因为

按导数的定义知, 此函数f′ (0) 是存在的.

剖析解法一, 此题不满足导数单侧极限定理的条件解法二是正确的, 此例表明, 导数在x0处的单侧极限不存在, 但在x0处导数仍有可能存在.

摘要：对分段函数, 我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性.按常规的做法, 分段函数在分界点处的导数应用定义, 并利用导数存在的充要条件, 才能确定函数在分段点处的导数是否存在.但在学生学习中, 有不少学生不愿也不易接受这种方法, 因而常常出错, 这里通过一些实例分析加以阐述.

幂指函数的和求导法篇6

例1、求y=xx (x>0) 的导数。

解: (利用对数求导法) 两边取对数得:lny=lnxx=xlnx

比较上式右边与幂函数xμ和指数函数ax的形式 (其中a, μ为常量)

我们发现上式 (1) 中等号后面的x·xx-1就是把xx看作幂函数 (指数看作常量而把底数看作变量) 求导的结果, 而xxlnx就是把xx看作指数函数 (底数看作常量而把指数看作变量) 求导的结果。所以我们推断幂指函数的导数就是把指数看作常量的幂函数导数与把底数看作常量的指数函数导数之和。

又复合幂函数u (x) μ (μ为常量) 和复合指数函数av (x) (a为常量) 复合求导公式分别是:

我们根据上述结论可得出一般公式:

证明上述公式先介绍一个定理:

定理设u=u (x) , v=v (x) 在点x处可导, 在z=f (u, v) 对应的点 (u, v) 处有连续的偏导数。则一元函数z=f (u (x) , v (x) ) 在点x处可导, 称其为全导数。且

证明 (2) 式:

令y=u (x) v (x) , 设u=u (x) , v=v (x) , 则y=f (u, v) =uv, 由公式

原式得证。从上述证明可以看出 (3) 式中就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量μ转化为幂函数求导的结果, 而就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量α转化为指数函数求导的结果, 说明幂指函数求导可以看作幂函数求导和数函数求导之和。

例1.求函数y= (cosx) x的导数

例2.求函数y=xxx的导数

例3.求函数y= (1+sinx) x的导数, 则dy|x=π (2005考研题) 。

摘要：针对幂指函数的特点, 结合教学中实践, 给出了一个较为简便的和求导方法。和求导法不仅更方便地解决幂指函数的求导问题, 而且给我们节约很多解题时间, 特别适合学生在紧张的考试中应用。

关键词：幂指函数,复合函数,导数,和求导法

参考文献

[1]同济大学数学系主编.高等数学 (上、下册) (第五版) [M].高等教育出版社, 2005.

函数求导的几种常见类型剖析篇7

一、分式型

例1:设 $f (x) = \frac{3 x^{2} - x \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} - 9}{\sqrt{x}}$ , 求f′ (x) 。

解:由 $f (x) = \frac{3 x^{2} - x \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} - 9}{\sqrt{x}}$ , 可得 $f (x) = 3 x^{\frac{3}{2}} - x + 5 - 9 x^{- \frac{1}{2}}$ ,

所以 $f^{'} (x) = \frac{9}{2} x^{\frac{1}{2}} - 1 + \frac{9}{2} x^{- \frac{3}{2}} = \frac{9}{2} \sqrt{x} (1 + \frac{1}{x^{2}}) - 1$ 。

评析:先对分式型进行化简, 将函数转化为几个单项式的和、差形式, 再利用和、差的导数公式来解决。本题如果直接求导, 必须利用商的求导法则, 然后将导数化简, 计算过程较为烦琐。

二、积式型

例2:求函数f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) 的导数。

解:由f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) , 可得f (x) =x3-6x2+11x-6,

所以f′ (x) =3x2-12x+11。

评析:对于多个整式积型函数求导, 可考虑先利用乘法公式将其转化为和、差的形式, 然后再对其求导。

在例2的基础上引伸。

例3:求函数y= (x-1) (x-2) (x-3) … (x-10) 的导数。

解:在原等式两边同时取对数, 得lny=ln (x-1) (x-2) (x-3) … (x-10) ,

故lny=ln (x-1) +ln (x-2) +…+ln (x-10) , 两边再对x求导,

得 $\frac{1}{y} y^{'} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \dots \frac{1}{x - 10}$ , 所以 $y^{'} = y (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \dots + \frac{1}{x - 10})$ ,

即 $y^{'} = (x - 1) (x - 2) \dots (x - 10) (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \dots + \frac{1}{x - 10})$ 。

评析:如果函数的表达式中因式个数较多, 再利用乘法公式将其转化为和、差的形式, 然后再对其求导, 就显得异常烦琐, 这时可采用两边同时取对数法, 将“积”的形式转化为“和”的形式。

三、根式型

例4:设函数 $f (x) = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$ , 求f′ (x) 。

解:由 $f (x) = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$ , 可得 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{7}{8}}$ ,

所以 $f^{'} (x) = \frac{7}{8} x^{- \frac{1}{8}}$ 。

评析:对于根式型函数, 常常利用 $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ , 将其转化为指数形式, 然后再对其求导。

四、三角函数型

例5:求函数 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{c o s x + s i n x}$ 的导数。

解:由 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{c o s x + s i n x}$ , 可得 $f (x) = \frac{\cos^{2} - \sin^{2} x}{c o s x + s i n x} = \cos x - \sin x$ ,

所以f′ (x) =-sinx-cosx。

评析:如果对函数直接求导, 不仅要用到商的求导法则而且还要用到复合函数求导法则, 运算过程就比较烦琐。但是根据三角函数的性质先对函数进行化简, 然后再求导, 就变得比较简单了。

五、复合函数型

例6:求函数y=ex2-2x的导数。

解:令u=x2-2x, 则y=eu,

所以y′x=y′u·u′x=ex2-2x· (2x-2) =2 (x-1) ex2-2x。

复合函数求导篇8

关键词：变限积分函数,求导方法,被积函数

引言

变限积分函数是高校高等数学中的重要内容, 与其他函数不同, 它不但由定积分定义, 而且自变量多出现在积分上限或下限. 变限积分函数具有产生新函数的功能, 可用以表示非初等函数, 也能够实现积分学到微分学的转化, 在诸多领域都发挥着重要作用. 然而实际教学中, 由于函数自身过于抽象, 求导方法不好掌握, 令许多学生都觉得十分困难. 为此结合实例对其求导方法进行深入研究.

一、变限积分函数求导定理及实例分析

1. 定理 Ⅰ

假设有函数f (x) , 且该函数在区间[a, b]上连续, 则积分上限函数是被积函数f ( x) 的一个原函数, 从而可求得

例 1 若

解题思路:显然该题的被积函数难度较小, 可根据牛顿—莱布尼茨公式先计算出有关x的表达式, 然后求导;更简便的方法就是利用定理Ⅰ直接求导.

解法1:

解法2:

根据以上定理, 用自变量x替换被积函数中的积分变量t, 可直接求出结果Φ' ( x) = 2x.

2. 定理 Ⅱ

假设有函数f (x) , 且该函数在区间[a, b]上连续, 积分下限函数可导, 且导数为

解法2:

根据定理Ⅱ的内容, 用自变量替换被积函数中的积分量, 然后在被积函数前加负号, 可直接求出结果: Ψ' (x) =- 2x