有理函数

有理函数（精选11篇）

有理函数 篇1

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

1 有理函数的积分

有理函数的积分是积分学中解决的最完善和最彻底的部分, 只是其中需要有两个国度步骤。

1.1 如果被积函数是假分式, 则需先化为有理整式与分式之和;

1.2用待定系数法将其真分式化为部分分式, 最后得到四个基本类型的积分。

其中A、M、N、a、p、q都是实数。

这四类积分都是初等函数的积分, 它们分别为:

将真分式化部分分式确定系数时, 一般可用两种方法:一是比较恒等式两端x同次幂系数法 (简称比较系数法) 另一种是在恒等式中代入特殊的x值。 (或经过化简后再代入特殊的x值) 简称代值法, 使用中往往第二种方法较为简便。

注:以上我们一般性地讨论了有理函数的积分法——先把加分式化为多项式与真分式的和, 再把真分式分解为部分分式, 然后逐项积分。在理论上, 这是普遍的方法, 但是这个方法具体使用起来, 其计算比较麻烦, 当其分式的分母这个多项式的次数较高时, 做因式分解非常困难, 甚至不大可能。因为高次方程求根还没有具体办法, 因此一般来说, 有理函数求积分时, 如果计算比较麻烦, 最好先试试其它简便方法。

2 三角函数有理式的积分

被积函数含有三角函数的不定积分一般比较复杂, 而且原函数通常不能用初等函数表示, 因此本方法仅就被积函数是三角函数的有理式情况进行讨论, 所谓三角函数的有理式, 即对三角函数施行四则运算而得到的式子, 因为、可以用、的商来表示, 故被积函数就是三角函数、的有理函数。即的情况。

对三角函数有理式积分一般有以下三种方法。

2.1 万能变换

例1:利用万能变换求不定积分。

2.2 三角恒等变换

利用三角恒等式进行积分计算的例子在前面已经遇见

10对于∫sia2mxdx、∫cos2mxdx可利用倍角公式来计算;

20对于fsinxmxdx, ∫sinmxcosnxdx, fcosxmxcosndx, (m≠n) 可利用积化和差来计算;

30对于∫sinmxcoxnxdx

1>当m, n中有一个奇数, 可拆开用凑微分法计算;

2>当m, n都是偶数, 可利用倍角公式:

40对于∫sinmxdx, fcosnxdx可利用分部积分法中导出的递推公式。除了这个方法以外, 还可以仿照30, 将n分为奇、偶分别计算。

参考文献

[1]丁家泰.微积分解题方法[M].北京:北师大出版社, 1989, 3.

[2]刘书田, 葛振之.微积分解题思路和方法, 1988, 7.

函数与函数的图象 篇2

◎ 函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域. 注意：函数是映射的特例（对应集合为非空数集）.

◎ 函数三要素：定义域、对应法则、值域

如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一个函数.

◎ 函数定义域的求法

由整体到局部，列出使函数有意义的自变量的不等关系式（组）并求解.常见依据为：

①分式中分母不为0；

②偶次根式（n为偶数）中被开方数x≥0；

③对数logax的真数x>0，底数a>0且a≠1；

④零指数幂x0的底数x≠0；

⑤求抽象函数定义域要认准自变量，如： f（x-1）的定义域为：x∈[2，3），则f（t）的定义域为：t∈[1，2）；

⑥应用题要考虑实际意义等.

【提醒】

①对于函数定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数f（x）和它对应.

②解定义域不等式组时注意利用图象和数轴等几何工具，确保不疏不漏，且定义域和值域都应写成集合或区间的形式.

③定义域是一个基本且重要的概念，不能只机械地掌握以上所列定义域的求解方法，要深刻理解定义域在函数问题中的作用，把对函数定义域的认识深化到任何与字母范围有关的问题中去，形成求定义域的意识.

易错情景有：解方程忽略方程本身要有意义；求函数解析式、函数值域、函数最值时忽视定义域；判断函数单调性、奇偶性时忽视定义域的影响；代数变形中扩大或缩小了定义域；换元过程忽视换元变量与原变量之间的关系，导致扩大或缩小变量取值范围；忽视新引入变量的取值范围等.

【自查题组】

（1） 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的个数有 个.

（2） 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数解析式为y=2x2+1、值域为{5，19}的“孪生函数”共有 .

（A） 10个 （B） 9个 （C） 8个 （D） 7个

（3） 下列四组中，函数f（x），g（x）表示同一函数的是 .

（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x

（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1

（4） 若函数y= f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是 .

知识要点：函数值域的求法

◎ 单调函数直接法：直接判断函数在给定区间范围内的单调性，常用于求定义在闭区间上函数的值域. 如：函数f（x）=2x-，x∈[1，3]在给定区间[1，3]上单调递增，所以值域为[f（1），f（3）]，即1，.

◎ 复合函数换元法： 将函数中的变量单元看作整体，转化为求常用基本函数的值域.这个过程重在对基本初等函数的模式识别以及换元后变量取值范围的求解和使用.

常见基本函数类型有：二次函数型、幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型、双勾函数型.要结合各自的函数图象来帮助记忆函数的性质、特点.

◎ 其他常用方法：

①利用导数求高次多项式等非基本函数类型的最值（极值）.（必修不作要求）

②利用函数与方程的思想，把函数转换为方程求解. 如二次函数型可利用一元二次方程求解、三角函数可利用其有界性求值域等.

③利用基本不等式或联系几何意义求解. 如利用均值不等式或根据题意联想斜率、距离等几何意义，含二元变量的问题也可作为线性规划问题来解决.

【提醒】

①求基本函数及其复合函数的值域是很重要的考查类型，采用换元法求值域时注意通过换元所设变量与原变量之间的函数关系，应求出所设变量的取值范围，在此范围内求解.

②求特定范围内的函数值域问题，在不清楚所求范围内的函数单调性情况时，切不可盲目代值求解，应结合函数图象，找出图象的最低点（最小值）和最高点（最大值）.

③形如y=（分式型函数）的最值是高考解析几何等综合问题常考的类型，求解时常常先转化为双勾型函数、反比例型函数或二次函数的形式，再求最值.

【自查题组】

（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域为 .

（6） y=2x+1-的值域是 .

（7） 若函数f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为 .

（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），则f（x）的最大值为 .

（9） 函数y=+的值域是 .

（10） 函数y=的值域是 .

知识要点：函数图象

◎ 两类易混淆的函数图象

①对称函数：若对于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数y=f（x）的图象关于直线x==对称，称为“自身对称”；

函数y=f（a-x）与y=f（b+x）的图象关于直线x=（由a-x=b+x求得）对称，称为“相互对称”.

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

恒等有理函数处理 篇3

处理恒等式的思路用函数的性质解决, 基本解题技巧为赋值法, 但赋值要恰当.本文从恒等式的特点来探讨用函数的观点解决相关问题.

对于函数y=f (x) 定义域内的任意自变量x满足的恒等式形式的结论有:

结论一:f (a+x) =f (a-x) 圳y=f (x) 的图像关于直线x=a对称.

特别地:f (x) =f (-x) 圳y=f (x) 是偶函数.

结论二:f (x) +f (2a-x) =2b圳y=f (x) 的图像关于点A (a, b) 对称.

特别地:f (x) +f (-x) =0圳y=f (x) 是奇函数.结论三:若f (x) 满足下列条件中的一个,

(1) f (x+a) =f (x-a) ,

(2) f (x+a) =-f (x) ,

(3) f (x+a) =

(4) f (x+a) = (a≠0) .

则f (x) 是以2a为周期的周期函数.

结论四: (1) f (x) +f (2a-x) =2c, f (x) +f (2b-x) =2c且a≠b, 则y=f (x) 是以2|a-b|为周期的周期函数.

(2) f (a+x) =f (a-x) , f (b+x) =f (b-x) , 且a≠b, 则y=f (x) 是以2|a-b|为周期的周期函数.

(3) f (x) +f (2a-x) =2c, f (b+x) =f (b-x) 且a≠b, 则y=f (x) 是以4|a-b|为周期的周期函数.

例1设f (x) 是定义在R上的奇函数, 且f (x+2) =-f (x) , 当0≤x≤1时, f (x) =x, 则f (7.5) 等于 ()

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解析:由f (x+2) =-f (x) 知y=f (x) 是周期为4的函数, 又f (x) 为奇函数,

所以f (7.5) =f (8-0.5) =f (-0.5) =-f (0.5) =-0.5, 故选B.

例2定义在R的函数y=f (x) 满足f (-x) =-f (x) 且f (1+x) =f (1-x) , 当x∈[-1, 1]时, f (x) =x3, 则f (2009) 的值是 ()

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析:由两个恒等式可知f (x) 的周期为4,

所以f (2009) =f (1) =13=1, 故选C.

例3已知函数f (x) 对一切x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) +f (y) , 若f (-3) =a, 用a表示f (12) .

解析:依题意, 令x=y=0得f (0) =2f (0) ,

所以f (0) =0.

令y=-x得f (0) =f (x) +f (-x) ,

所以f (-x) =-f (x) .

又因f (-3) =a所以f (3) =-a,

所以f (12) =f (6+6) =f (6) +f (6) =2f (3+3)

有理函数 篇4

主备人

张灵芝

总第9期

§2.6幂函数

一、填空题 1.设α∈{-1,1,12α ,3}，则使函数y=x定义域为R且为奇函数的所有的α值为.α2.幂函数f(x)=x(α是有理数）的图象过点（2，m2m214），则f(x)的一个单调递减区间是.3.如果幂函数y=（m-3m+3）x

2的图象不过原点，则m的取值是.4.如图所示，曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次为.21x,5.设函数f(x)=2xx2,312四个值，则相应的曲线C1，C2，x1,x1，则f（1)的值为.f(2)6.设f(x)=x+x,则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 条件.127.当0

2121D上封闭.若定义域D=（0，1），则函数①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封闭的是.（填序号即可）

二、解答题 9.求函数y=x

1m2m1(m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性.

10.已知f(x)=x n22n3（n=2k,k∈Z）的图象在［0，+∞）上单调递增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x24x5211.指出函数f（x）=2的单调区间，并比较f（-）与f(-)的大小.

x4x42

12.已知函数f(x)=xx51313，g(x)=

xx51313.

（1）证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x）的单调区间；

函数、一次函数概念透析 篇5

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

3. 实际问题中的k，b的含义

一、 函数的概念及表达形式

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

3. 实际问题中的k，b的含义

一、 函数的概念及表达形式

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

有理函数 篇6

1 Doc/View结构

(1)文中新建工程My Project1

(2)新建单文档类

(3)访问框架类,获得框架类指针

CMain Frame*p Frame=(CMain Frame*)

Afx Geta Min Wnd();

(4)需要访问单文档类和视类的话,运用CFrame Wnd Get Active Document CFrame Wnd::Get Active View即可。

(5)新建多文档类,获得框架类指针

(6)需要访问多文档类和视类的话,首先获得上述活动框架类指针,然后应用CFrame Wnd::Get Active Document和CFrame Wnd::Get Active View即可,具体操作如下:

获得了文档和视类的指针,就可以应用指针访问文档和视类中的成员函数。

当然访问应用程序类成员函数,可直接运用应用程序类全局变量the App,不过需要在其头文My Project1.h中添加extern CMy Project1App the App。在其他需要运用the App访问类中成员函数的.cpp文件中,添加#include“My Project1.h”就可以访问应用程序类成员函数。

为了方便使用,一般在Doc里面定义一个相应的View类的指针,在View类中的On Initial Update()函数给Doc类中的View指针赋值,这样在Doc类中需要用到视类函数时,不用每次都去获取视类的指针。而在视类中使用Doc类的函数时,利用Get Document()可以轻松得到Doc类的指针。

2 Dialog based结构

新建工程My Project2,需要在自己新添加的X.cpp文件中访问对话框程序中的成员函数(X.cpp文件中的类是CX),可以采用传递指针的办法。

2.1 利用构造函数传递指针变量

在新添加的X.h文件中,添加构造函数

CX(CMy Project2Dlg*p Dlg);

在相应的X.cpp中添加其实现函数:

此处m_p Dlg是在X.h中定义的类成员函数:CMy Project2Dlg*m_p Dlg;

这样通过在CMy Project2Dlg中定义CX的指针,就可以在X.cpp中实现访问CMy Project2Dlg中的构造函数,具体操作如下:

在CMy Project2Dlg.h中添加

CX*m_p X;

在CMy Project2Dlg.cpp中添加

m_p X=new CX(this)

则实现了传递对话框指针给m_p Dlg,这样就可以通过m_p Dlg实现对CMy Project2Dlg中成员函数的访问。

2.2 直接在对话框类中实现访问

采用直接在对话框创建时,在对话框显示之前初始化对话框的时候传递指针。

第2种方法较第1种方法简单,在实际应用中比较常用的一种方法。

访问应用程序类成员函数,可直接运用应用程序类全局变量the App,方法类似Doc/View结构下的实现。

3 回调函数中访问函数

回调函数是系统自动调用的函数,相当于该函数由系统来管理。它类似于消息处理函数,由系统调用,但其中的处理过程,需要写代码来实现。程序中常常需要实现回调,在开发视频应用程序过程中用到了回调函数以实现视频数据的导出。当设置回调后,只要设备处于运行状态,每一场/帧数据到达时回调函数被调用。这样就可以在回调函数中进行数据的处理。

回调函数就相当于一个中断处理函数,由系统在符合设定的条件时自动调用。为此,需要做3件事:(1)声明;(2)定义;(3)设置触发条件。下面以笔者所做的视频图像数据导出程序为例。

回调函数声明:

void WINAPI CALLBACKFUNCT(PVOID p Data,IMAGEINFO p Image Info,PVOID p User Data,ULONG Index);

视频当前图像数据指针p Data,用户传递给回调函数的上下文数据p User Data。

回调函数的定义:

设置触发条件,也就是在函数中把回调函数名称作为一个参数,以便于系统调用。

回调函数只能声明为类的静态成员函数或全局变量,而不能声明为类的普通成员函数,因为若声明为类的普通成员函数,则系统在调用回调函数时需要先生成类的对象,以便调用类的成员函数,然而运行时代码根本不知道如何去产生一个类的对象。

将类名定义为CCamera,下面讨论如何在回调函数中调用类的成员函数进行数据的处理。回调函数中访问类的成员函数,此时可以设置回调函数为全局函数,定义中添加如下:

这样就可以在回调函数中采用p This访问CCamera类中的成员函数(注意此处把类的this指针作为传递的上下文数据)。

也可以采用下列形式,首先定义一全局变量g_p Camera,具体实现如下:

CCamera*g_p Camera=NULL;

g_p Camera=this;

这样就可以利用g_p Camera实现对类的成员函数的访问。如果回调函数被定义成类中的静态成员函数:

Static void WINAPI CALLBACKFUNCT(PVOID p Data,IMAGEINFO p Image Info,PVOID p User Data,ULONG Index);

则在静态回调函数中调用类的成员函数与上述全局回调函数实现类似,但在定义一全局变量g_p Camera时需要定义一静态的全局变量,具体实现如下:

Static CCamera*g_p Camera=NULL;g_p Camera=this;

这样,就可以利用静态全局变量g_p Camera访问类中的成员函数。

4 结语

给出VC++中关于MFC各类间成员函数的访问方法和回调函数中访问其他函数的技巧,希望对大家编程方面,特别是视频应用方面的开发有所帮助。

参考文献

[1]孙鑫,余安萍.VC++深入详解[M].电子工业出版社,2006.

[2]陆宏伟.MFC程序中类之间变量的互相访问.电脑编程技巧与维护,2001.

函数、一次函数概念透析 篇7

函数是初中数学“数与代数”的重要内容,是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念,也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中,函数的概念是:在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于x的每一个值,变量y都有唯一的值与之对应,那么我们称y是x的函数.其中,x指的是自变量,y指的是因变量. 在这个定义中,“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系,而是变化的数量关系、变化的位置关系.“两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中,“x指的是自变量,y指的是因变量”,即在变化的过程中,由于x的变化从而引起y随之发生变化.“对于x的每一个值,变量y都有唯一的值与之对应”,即自变量x每取一个不同的数值,因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种:(1)表格;(2)图像;(3)关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念:

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表:

从表中可以看出,在这个变化的过程中,有两个变量:边长x和面积y,其中x是自变量,y是因变量. 边长x每取一个值,面积y都有唯一的值与之对应,如x=1时,y=1与之唯一对应;x=2时,y=4与之唯一对应……所以,正方形的面积y是边长x的函数.

2. 图像

下面是某港口从0时到12时的水深情况图.

在这个变化的过程中,有两个变量:时间和水深,其中时间是自变量,水深是因变量. 时间每取一个值,水深都有唯一的值与之对应,如时间取1、3、5、8、11时,水深分别是8、5、3、2、7米,与之唯一对应……所以,水深是时间的函数.

3. 关系式

长方形的面积是20,长是a,宽是b,则b=20/a. 在这个变化过程中,有两个变量a和b,a每取一个值,b都有唯一的值与之对应,如a取1、2、4、5…,b分别等于20、10、5、4…,与之唯一对应. 故b是a的函数.

函数的这三种表达形式不是孤立的,对于一些特殊的函数,通常可以将它们统一起来. 如,汽车在公路上以100 km/h的速度匀速行驶. 用t表示行驶的时间,s表示行驶的路程. s与t之间的关系:

(1)可以用表格表示.

(2)可以用关系式表示:s=100t.

(3)可以在直角坐标系中用图像表示.

二、一次函数的概念

一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示为y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数. 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.

1. 形式上辨析

这里的x、y是两个变量,k、b是两个常量,且自变量x的指数是一次.如:1y=-x+1;2y=2x;3y=3x2+2;4y=2/x+1. 这里的1、2是一次函数,3、4不是一次函数,因为它们的次数分别是2次和-1次.

2. 关于常数k,b

一次函数y=kx+b中,k≠0. 为什么k≠0?如果k=0,则y=b就没有指数是一次的自变量,则不符合一次函数的定义. b可为0,也可不为0. 若b=0,则y=kx是特殊的一次函数,即正比例函数.

3. 实际问题中的k,b的含义

有理函数 篇8

关键词：函数,反函数,定义域

我们知道, 只有定义域和值域一一映射的函数才有反函数.原函数的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域;同时函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称.也就是说f (a) =bf-1 (b) =a.在解决有关问题时, 充分利用这些性质, 将会使问题迎刃而解.

1. 求函数的反函数

分析由函数解析式可知, 当x≥0时, y≥0;当x<0时, y<0.由原函数和反函数关系可知:在x<0时, y<0, 则根号前面要有负号, 故可排除A, B两项, 再比较C, D, 易得答案为C.

2. 求函数的值 (值域)

例2已知函数f (x) =4x-2x+1, 求f-1 (0) .

分析要求f-1 (0) , 只要求f (x) =0时自变量x的值.

解令f (x) =0, 得4x-2x+1=0.

∴2x (2x-2) =0.∴2x=2或2x=0 (舍) .

故f-1 (0) =1.

点评求反函数的函数值可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值, 反之亦然.

例3求函数的值域.

分析由于原函数的值域就是其反函数的定义域, 因此可以通过求出函数的反函数的定义域来解决.

解由, 得y (x+3) =2x-1,

因此 (y-2) x=-3y-1.∴x=

由于y-2≠0, 即y≠2,

所以原函数的值域是{y|y≠2}.

点评形如的函数都可以用反函数法求它的值域.

分析可以把x2用y来表示, 利用x2≥0这一特点来解.

所以原函数的值域是{y|0

例5若函数f-1 (x) 为函数f (x) =lg (x+1) 的反函数, 则f-1 (x) 的值域为.

分析常规方法是先求出f (x) 的反函数f-1 (x) =10x-1, 再求得f-1 (x) 的值域.若利用f-1 (x) 的值域即为f (x) 的定义域这一性质, 即可得f-1 (x) 的值域为 (-1, +∞) .

3. 求函数的解析式

例6若函数f (2x-1) =x+1, 求f-1 (x) 的解析式.分析利用f (a) =bf-1 (b) =a这一性质使问题简化.解因为f (2x-1) =x+1, 所以f-1 (x+1) =2x-1.令t=x+1, 则x=t-1, 代入上式可得

例7已知函数与其反函数的图像都经过点 (-2, 1) , 求此函数的解析式.

分析由函数得点 (-2, 1) 和 (1, -2) 都在原函数的图像上, 由此可想到利用待定系数法求函数的解析式.

解由题意得

4. 求函数与其反函数图像的交点

例8求函数的图像与其反函数图像的交点.

分析用常规方法先求反函数, 再联立方程组求解比较麻烦.用原函数图像与其反函数的图像关于直线y=x对称这一性质求解较易, 只要原函数与其反函数不是同一函数, 它们的交点必在直线y=x上.

有理函数 篇9

一般地, 函数y=f (x) 的图像和它的反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称, 并且y=f (x) 与y=f-1 (x) 具有相同的单调性.因此, 利用这一特征, 在解决函数y=f (x) 与函数y=f-1 (x) 的交点问题时, 常将问题转化, 使解题过程得以简化.

性质1 单调增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

证明 用反证法.

假设函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 存在不在y=x上的交点A (a, b) , 由互为反函数图像性质, B (b, a) 也为y=f (x) 与y=f′ (x) 的交点.

不妨设点A (a, b) 在y=x的左上方, 则a<b=f (a) , B (b, a) 在直线y=x的右下方, 且b>a=f (b) .故有a>b时f (b) >f (a) , 即y=f (x) 为单调减函数.这与y=f (x) 单调递增矛盾, 假设不成立.

所以单调递增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

例1 解方程$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}.$

解 令$y=\sqrt{2x+3}$, 则$x=\frac{x{}^2-3}{2}‚$

∴其反函数为$y=\frac{x{}^2-3}{2}.$

∵原方程的解为函数$y=\sqrt{2x+3}$与其反函数$y=\frac{x{}^2-3}{2}$的交点横坐标,

又$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定义域是$\left[-\frac{3}{2}‚+\infty \right)$,

则函数$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}$可转化为

∴x=3或x=-1.经检验x=3是原方程的根.

例析 利用这种方法对方程的求解达到最简化, 但必须注意的是y=f (x) 必为增函数, 否则不成立.

性质2 单调减函数与其反函数若有交点, 则交点在直线y=x上或交点关于直线y=x对称.

例2 求y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点.

解 ∵y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点横坐标为方程$-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根, 因此若设-x3=x, 得x=0, 交点为 (0, 0) .

事实上, $-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根为x=0或x=±1.

∴交点为 (-1, 1) , (0, 0) , (1, -1) .显然二者不一样.

究其原因是函数y=-x3为R上的减函数造成.

由上可知, 求函数y=f (x) 与其反函数的交点 (或相关) 问题时, 我们首先判断函数y=f (x) 的单调性, 若为增函数时, 可将原题简化为求f (x) =x的根来确定交点的横坐标, 从而简化计算过程.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.

有理函数 篇10

本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.

命题特点

结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.

1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.

例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 （1）法一：∵函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，

故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，

又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）·f（1）<0

故f（x）在（0，1）上有惟一零点.

法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.

在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.

（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.

答案 （1）B （2） B

点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.

2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.

例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；

（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.

解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.

∵α，β是方程f（x）=0的两个根，且α<2<β，

∴f（2）<0，即22+2（2m-1）+4-2m<0，得m<-3.

（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.

由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2<-1，]∴[22≤a<3].

点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.

3. 利用函数零点求解参数的取值范围.

例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0

（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=

f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .

解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0

（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].

答案 （1）[0，12] （2）[0，14]

点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.

4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.

nlc202309032007

例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

[y（千米）][x（千米）][O]

解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].

由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].

∴[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵[a>0]，∴炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.

即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.

由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].

此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.

∴当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.

备考指南

1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.

2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.

限时训练

1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）

A. （1，2） B. （[32]，2）

C. （2，[52]） D. （[52]，3）

2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）

[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]

3. 若a

A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上

C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上

4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）

A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点

6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）

A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]

[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]

（第6题） （第7题）

7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）

[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]

A B C D

9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）

nlc202309032007

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.

[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]

12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .

13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

14. 将一个边长分别为a，b（0

15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；

（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.

16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.

（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；

（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；

（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.

17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]

一个重要的函数——绝对值函数 篇11

首先我们将函数做一下处理:其图像很简单, 如下

从图形来看, 这个函数比较特殊, 它是一、三象限角分线的一部分, 图形关于原点对称, 是一个偶函数, 在上单调递减, 在上单调递增。

在讲函数在一点处的左右极限核函数在该点处极限的关系的时候, 这个函数是一个很好的参考例题, 因为我们讲左右极限时通常举两个例子来对比, 其中之一就是绝对值函数

接下来我们研究一下该函数在零点处的极限问题:

另一个对照例题一般也是分段函数, 常用的类似下面例题:

二者的区别在于绝对值函数在零点处的左右极限都存在并且相等, 对照例题在零点处的左右极限虽存在但不相等, 所以绝对值函数在零点出有极限且等于0, 对照例题在零点处的极限不存在。

极限问题解决后我们可以研究该函数的连续性和间断点的问题时又会引入绝对值函数:

从而得到在零点处连续。同时我们任然可以用刚才的对照例题研究其在零点处的连续性问题。

由于。显然函数在该点处左右极限都存在, 所以属于第一类间断点, 又左右极限虽存在但不相等, 所以进一步细化为零点为第一类间断点中的跳跃间断点。

有了极限这个工具我们可以进入微分学的研究, 即进一步研究函数的可导性, 此时我们仍然可以列举该例题来研究连续和可导之间的关系。

首先我们可以由定义推出:函数在一点处可导必定在该点处连续, 推导如下:

分析如下:

从而得到在零点处不可导, 而我们已知该函数在零点处连续, 从而可得, 连续不一定可导的结论。