不等式证明一

2024-10-14

不等式证明一（通用11篇）

不等式证明一篇1

高三第一轮复习数学---不等式的证明(一)

一、教学目标：掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。

特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

二、教学重点：作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。

三、教学过程：

（一）主要知识：

1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0。b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

2.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。

a2b2ab2ab基本不等式：(1)若a0,b0,则当且仅当a=b时取

1122ab等号。

(2)a,bR,(3)a,b同号，a2b22abab2ba当且仅当ab时取等号

当且仅当ab时取等号

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

（二）例题分析：

例

1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a 证明：p= a2+b2+1-ab-a=[(a2abb)(a2a1)b1]=[(ab)(a1)b1] 显然p>0

∴得证

[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”.通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 12222212222a22b22例

2、设a0,b0,求证()()a2b2.ba1111【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边-右边=(a)3(b)3ab(ab)

=(ab)(aabb)ab(ab)ab(ab)(a2abb)ab =

(ab)(ab)2ab0 ∴原不等式成立。

【证法二】左边>0，右边>0。左边(ab)(aabb)(aabb)2abab 1∴原不等式成立。右边ab(ab)abab[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

anbncn例

3、已知a,b,c为正数n,是正整数,且f(n)=lg,求证2f(n)≤f(2n)

3证2f(n)=

2：anbncnanbncn2a2nb2nc2n2anbn2bncn2ancnlglg()lg

339f(2n)= nnlg2na2nb2nc2n3,由基本不等式知,2abab2n,2cnbnc2nb2n,2ancna2nc2n

三式相加得

[思维点拔] 利用某些已经证明过的不等式作为基础,分析求证式子间的特点证明例

4、设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x1332y2122

证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明xy只需x3y33xy122

x222y

2即2x3y33x2y2x2y2

3只需2xyxy

由条件,显然成立.∴原不等式成立

[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式练习:.若a、b、c是不全相等的正数，2求证：lgabcbaclglglgalgblgc 222abcbab0，cb0，【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】（综合法）：a,b,cR，22ac2ac0

又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有

ab2cb2ac2abc。∴lg(ab2cb2ac2)lgabc 即lgabcbac2lg2lg2lgalgblgc【证法二】（分析法）要证lgab2lgcb2lgac2lgalgblgc 即证lg(ab2cbacabcbac22)lgabc成立。只需证222abc成立。∵abcb2ab0，2cb0，ac2ac0。ab2cb2ac2abc0（*）又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。∴原不等式成立。

例

5、已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n

(I)证明niAim＜miAin；

门)证明(1+m)n>(1+n)m．

(I)证明:对于1im,有Aimm(mi1),Aimmm1mimmmi1m,同理pinnn1ni1ninnn,4分由于mn,对整数k1,2,,i1,有nknmkm,所以AiinAmiinimi,即miAnniAm6分 ∴(II)证明:由二项式定理有i(1m)miCn,ni0mi(1n)niCm,mi0n8分ii由(I)知miAnniAm(1imn),iiAmAni而C,Cn10分i!i!ii所以miCnniCm(1imn).imi因此mCniCm.iini2i20011i又m0Cnn0Cm,mCnnCmmn,miCn0(min).imCniCm.iini0i0mmmm即(1m)n(1n)m.（三）巩固练习：

12分

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 A．adbc 2

adbc

2（）

adbc 2B．

adbc 2C．D．2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的 A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

（）

D．必要或充分条件

ab2abab3．在a0，b0的条件下，①，②2ab2b2a2a2b2ab，③ab2其中正确的个数是

（）

A．0

B．1 C．2 D．3 4．下列函数中最小值是2的是

（）A．yx1

C．2x22

B．ysincsc, D．yx0,yxx2x21

（）5．设mn,xm4m3n,yn3mn4，则x，y的大小是

A．x>y

B．x=y

C．x

（）6．已知a、b、m是正实数，则不等式A．当a< b时成立

B．当a> b时成立 C．是否成立与m有关D．一定成立

（）17．函数yx(x0)有

xA．最大值是2 B．最小值是2 C．最大值是－2 D．最小值是2 8．如果a、b为不相等的非零实数，那么ab的值是

（）

baC．小于等于2

D．大于2或小于2

ab9．在ABC中，a,b,c分别是C,B,C所对应的边，则的取值范围是（）C90，cA．（1,2）

B．(1,2)

C．(1,2]

D．[1,2] A．大于2

10．设x0,y0,且x2y24,xy4(xy)10,则的最值情况是 A．有最大值2，最小值2(22)B．有最大值2，最小值0 C．有最大值10，最小值2(22)2

D．最值不存在

（）B．小于2或大于2 参考答案

ABCDA ACBCA

四、小结：

不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0 b综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

五、作业：

不等式证明一篇2

策略一换元转化法

对二元一次不等式进行合理变形后实施代数换元, 进而实现二元向一元的转化, 这种方法本文称之为换元转化法.

分析:本题第 (1) 问是导数题中一类常规问题, 利用导数易求得参数a的取值范围是 (-∞, 2], 对于问题 (2) , 注意到目标不等式具有对称性, 可对其作合理的变化后进行“比值”换元.令进而将问题转化为关于t的一元不等式证明这一大家所熟知的问题上来.

解: (1) a∈ (-∞, 2] (过程略) .

评注:在换元转化法中, 着重于已知条件与目标式子结构形式上特点的分析是问题得以成功转化的关键, 其中通过对目标不等式合理变形后进行“比值”换元来实现二元向一元的转化是换元转化法中一重要处理手段.

例2已知函数f (x) =2lnx-x2.

(1) 若方程f (x) +m=0在内有两个不等的实根, 求实数m的取值范围 (e为自然对数的底数) ;

(2) 如果函数g (x) =f (x) -ax的图象与x轴交于两点A (x1, 0) , B (x2, 0) 且0

分析:本题第 (1) 问是函数中一类常规问题, 利用函数图象数形结合可得对于问题 (2) 其关键是消元, 在消元过程中要善于发现元与元之间的联系.为此, 可试着将A、B两点坐标代入方程, 将a用x1、x2表示出来, 然后对目标式子合理变形, 适当转化, 最后通过代数换元实现二元向一元的转化.

该类方法的关键是如何结合题目条件对目标不等式进行合理变形, 适当转化, 进而利用代数换元来实现二元向一元的转化.为此, 在问题的求解中, 多注重于题设条件与目标式子结构形式上的特征分析, 去差异, 找联系, 挖掘式子内在的函数关系.

策略二转换视角转化法

在证明二元一次不等式时, 通过转换视角, 将两个变量其中一个视为自变量, 另一个视为参变量, 进而将问题转化为一元不等式的证明, 这种方法本位称之为转换视角转化法.

分析:由于区间[b, a]的端点a, b就是所证不等式涉及的两个变量, 因此只要把其中一个端点设为自变量, 另一个端点视为参变量, 即可将问题转化为证明给定区间端点含字母参数的一元不等式.

不等式证明技巧篇3

关键词：不等式证明技巧

不等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在数学的各个分支学科，有重要的应用。不等式的证明方法灵活多样，它可以和很多内容相结合，对不等式的证明进行探讨无疑是十分有益的。本文通过实例说明不等式证明的某些技巧，提高分析问题与解决问题的能力。

例1：设x，y，z是不全为零的实数，求证：

5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

证明：设二次型f（x，y，z）=5x +y +5z -8xz+4xy-4yz，则f的矩阵是

A=5 2 -42 1 -2-4 -2 5.

因为A的各阶顺序主子式为：

|5|=5>0;5 22 1=1>0; 5 2 -4 2 1 -2-4 -2 5=1>0;

所以，A正定，从而，二次型f（x，y，z）正定，当x，y，z不全为零时f（x，y，z）>0.即5x +y +5z -8xz+4xy-4yz>0，

因此5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

例2：求证：n x ≥（ x ） .

证明：令f（x ，x ，…，x ）=n x -（ x ），则f为二次型，其矩阵为

A=n-1 -1 … -1 -1-1 n-1 … -1 -1… … … … …-1 -1 … n-1 -1-1 -1 … -1 n-1，

将第2，3，…，n列加到第1列，则第1列元素全为零，故|A|=0;用同样的方法可求出A的i阶主子式为（n-i）n >0（i=1，2，…，n-1）.

因为A的主子式都大于或等于零，所以A是半正定的;从而二次型f（x ，x ，…，x ）半正定，所以f（x ，x ，…，x ）≥0，即

n x ≥（ x ） .

例3：设A，B，C是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x，y，z，都有

x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC.

证明：记f（X）=X′AX=x +y +z -2xycosA-2xzcosB-2yzcosC，其中

X=（x，y，z）′，P= 1 -cosA -cosB-cosA 1 -cosC-cosB -cosC 1，A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）.

对P做初等行变换得：

P～1 -cosA -cosB0 sinA -sinB0 0 0，

于是P的特征值為0，1，sinA，从而得二次型f（X）是半正定的，即对于任意实数x，y，z，f（X）≥0，即x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC成立.

例4：设A是实对称矩阵，其特征根为λ ≤λ ≤…≤λ ，则对任意的实向量X有

λ X′X≤X′AX≤λ X′X.

证明：A是实对称矩阵，存在正交矩阵T，使

T AT=λ λ ？埙 λ ，

于是T AT-λ I特征根非负，即矩阵A-λ I半正定.这样

X′（A-λ I）X≥0.

因此

X′AX≥λ X′X.

同理可证

X′AX≤λ X′X.

例5：设a ∈R，（i=1，2，…，n）证明：

n（a +a +…+a ）≥（a +a +…+a ）

证明：设D=n（a +a +…+a ）-（a +a +…+a ），只要证D≥0.

由于

D=a +a  +…+a a +a +…+a a +a +…+a n

= a a +a +…+a a   n

= a a a 1= a a a 1 1

所以

D= a a a 1 1= （-a ）a a 1 1，

因此

2D=D+D= （a -a ）a -a 1 1= （a -a ） ≥0.

這就证明了D≥0.

参考文献：

[1]张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识，2007，37（20）：224-226.

[2]高淑娥.不等式证明中辅助函数的构造[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2013，27（1）：79-81.

[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.

不等式证明一篇4

一选择题。

1．已知xy，则下列不等式不成立的是（）．

A．x6y6B．3x3yC．2x2yD．3x63y6

2．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（）．

A {x

1x

3A B C D

3．函数y＝kx＋b（k、b为常数，k0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（）．

A．x>0B．x<0C．x<2D．x>

24．如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）

A．x>1B．x<1C．x>2D．x<

25、下列命题错误的是（）

A．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；

B．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°

C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。

6、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是()

A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D.钝角三角形

7、将一张长方形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点.知AB=2,∠DEC′=30°, 则折痕DE的长为（）

A、2B、23 C、4D、18、使两个直角三角形全等的条件是（）

A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等D。一直角边和斜边对应相等

9、到三角形各个顶点距离相等的点是（）

A 这个三角形三条角平分线的交点B 这个三角形三条高线的交点 C这个三角形三边的垂直平分线的交点D这个三角形三条中线的交点

10、两个等腰三角形全等的条件是（）

A、有两条边对应相等。B、有两个角对应相等。

C、有一腰和一底角对应相等。D、有一腰和一角对应相等。

二填空。

1．请写出解集为x3的不等式：．（写出一个即可）

2．不等式93x0的非负整数解是．

3．已知点P（m－3，m＋1）在第一象限，则m的取值范围是

4、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为.5、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为.6、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于O，则∠AOB=_________；

7、等边三角形的高为2，则它的面积是。

8．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度．

三、解答题

1．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）

x11x（2）2(3x)3(x2)

2（3）

{1x02(x5)4x3(x2)4（4）12xx13{

2x2x1≥ 2373x12xx2（2） 05

2、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.3．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD．

求证：BE⊥AC．

D（第3题）

4.如图已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E，（1）已知CD=4cm，求AC的长

（2）求证：AB=AC+CD

CDB

5.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D 求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线

6．已知A、B两个海港相距180海里．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从A港出发到B港航行过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）。根据图象解答下列问题：

（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）快艇出发多长时间后能超过轮船？

不等式的证明篇5

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

赋值法证明不等式篇6

1、已知函数f(x)=lnx

（1）、求函数g(x)(x1)f(x)2x2(x1)的最小值；

（2）、当0

222a(ba).a2b22、已知函数f(x)=xlnx, g(x)= axx(aR)

(1)求函数f(x)的单调区间和极值点；

(2)求使f(x)g(x)恒成立的实数a的取值范围；

(3)求证：不等式ln(e1)nn1(nN)恒成立 ne3、设函数f(x)axn(1x)b(x0),n为正整数,a,b为常数.曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为xy1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)证明:f(x)1 ne4、已知函数f(x)=lnx-x+

1（1）、求函数f(x)的最大值；

111ln(1n),n.23n

2x5、已知函数f(x)=alnx1, x1（2）、求证： 1

（1）、若函数f(x)在单调递增，求实数a的取值范围；

12lnx12x4,x2;x

111111（3）、求证：lnn1(nN,n2).462n2n1（2）、当a=2时，求证：1

6、已知函数f(x)eax1(a0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)0对任意的xR恒成立，求a的取值范围； x

e12n1n（3）在（2）的条件下，证明：（其中nN）nnnne1

8、已知函数f(x)=eaxa, xnnnn

（1）、若a0,f(x)0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

（2）、设g(x)f(x)a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，xe

若对于任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求实数m的取值范围。

(3)、求证：135(2n1)

2、已知函数f(x)(xa)7blnx1,其中a，b是常数，且a0，（1）若b1时，f(x)在区间上单调递增，求a的取值范围； 2nnnn(2n)n(nN).e

14a

2（2）当b时，讨论f(x)的单调性； 7

（3）设n是正整数，证明ln(1n)(1

5、已知函数f(x)=xlnx-axx(aR)

(1)若函数f(x)在处取得极值，求a的值；

(2)若函数f(x)的图像在直线的图像的下方，求a的取值范围；

(3)求证：ln(234n)n1(nN).。

解:(Ⅰ)因为f(1)b,由点(1,b)在xy1上,可得1b1,即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn,所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1,所以a1,即a1.故a1,b0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)xn(1x)xnxn1,f(x)(n1)xn1（令f(x)0,解得x

在(0,nx).n12n27111111)7(1).22223n23nnn,即f(x)在(0,)上有唯一零点x0.n1n1n)上,f(x)0,故f(x)单调递增;n1

n,)上,f(x)0,f(x)单调递减.n1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,)上的最大值为f(.)()(1)n1n1n1(n1)n1

111t1(t0),则(t)2=2(t0).tttt

在(0,1)上,(t)0,故(t)单调递减;

而在(1,)上(t)0,(t)单调递增.(Ⅲ)令(t)lnt1+

故(t)在(0,)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1),1即lnt1(t1).t

令t11n11n1n1,得ln,即ln()lne,nnn1n

nn1n1n1所以(.)e,即(n1)n1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x),故所证不等式成立.(n1)n1ne

已知函数f(x)alnxax3.(aR)

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为450，且方程f(x)m至少有一个实根，求实数m的取值范围；

例谈不等式的证明篇7

一、比较法

1. 差比法。

作差法:M>N或M=N或M<N, 即证明M-N>0或M-N=0或M-N<0;作比法:先建立差式, 再将差式变形为积、商形式或平方和形式, 常用的方法有通分、配方和分解因式等。

例1.已知a<b<c, 求证a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b

证明:a2b+b2c+c2a- (a2c+b2a+c2b)

= (a2b-b2a) + (b2c-a2c) + (c2a-c2b)

=ab (a-b) +c (b+a) (b-a) +c2 (a-b)

= (a-b) [a (b-c) -c (b-c) ]

= (a-b) (b-c) (a-c) <0

所以, a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b。

例2.已知a>b>c>0, 求证

证明

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0,

2. 商比法:

若M>0, 要证明M>N, 只需证明, 即首先建立商式, 再进行商式变形, 证明商值大于1。

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0, a b>1

所以,

同理可证:

所以,

二、综合法

从已知条件或基本不等式出发, 运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式。常用的基本不等式有:

(1) a2≥0 (a∈R) , (a±b) 2≥0 (a, b∈R)

(2) a, b∈R, a2+b2≥±2ab, a2+b2≥2|ab|

(3) a, b, c∈R+时, 有 (当且仅当a=b时, 等号成立) , (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

(4) 当a, b, c∈R时, 有a2+b2+c2≥ (a+b+c) 2≥ab+ac+bc (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

例4.若x>0, y>0, x+y=1, 求证:

三、分析法

从求证的不等式出发, 寻求此不等式成立的充分条件, 只要使不等式成立的条件具备, 就可断定不等式成立, 一种“执果索因”的方法, 运用时注意格式。要证明不等式A, 只需证不等式B, 又要证C, 要证C, 又要证D, 即证不等式D成立。由不等式D成立, 推出不等式A成立。

例5.已知a>b>c>0, 求证:

所以, 原不等式成立

四、“放”“缩”技巧

在不等式的证明中, “放”“缩”是常用的推证技巧, “放”和“缩”的方向和量的大小都是由分析得出的。

例6.求证当α1, α2, α3∈[0, π]时, 有sinα1+sinα2+sinα3≤

所以sinα1+sinα2+sinα3≤

此题是利用函数的单调性, 变换公式的分母 (或分子) , 还有添加或舍去某些项, 利用有界性将不等式放大或缩小。用“放缩法”证明不等式, 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中, 适当地进行放缩, 可以化繁为简、化难为易, 达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握, 常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此, 使用放缩法时, 如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标, 就必须根据欲证结论, 抓住题目的特点。掌握放缩技巧, 真正做到弄懂弄通, 并且还要根据不同题目的类型, 采用恰到好处的放缩方法, 才能把题解活, 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力, 分析问题和解决问题的能力。

五、反证法

从假设求证不成立入手, 推出与已知条件和定理相矛盾的结论, 从而判定假设错误, 求证结论成立。

例7.已知a+b+c>0, ab+bc+ac>0, abc>0, 求证:a>0, b>0, c>0。

下面用反证法证明:

证明:假设a<0, 由abc>0, 知bc<0

又a+b+c>0得b+c>-a>0

于是ab+bc+ac=bc+a (b+c) <0与已知相矛盾

故a>0

同理:b>0, c>0。

六、数学归纳法

主要用来证明一些与自然数有关的不等式。

例8.当n>1, n∈N时, 求证:

证明:1.当n=2时, 左=

2.假设n=k时, 命题成立。即:

所以, 当n=k+1时, 命题成立。

综合1、2得:当n>1, n∈N时, 不等式成立。

不等式证明的若干方法篇8

关键词：不等式；证明；若干方法

G634.6

一、不等式证明的重要性

数学是大家对客观世界定性掌握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛运用的进程。数学能够协助大家非常好地讨论客观世界的规则，并对现代社会中很多纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断。在高中数学教学中，作为不等式知识的重要内容，不等式的证明是教学中的重点和难点地方。不等式的证明是高中数学的一个重要内容，高考中通常呈现在问答题中，涉及到代数运算、函数思路、数列、几何、逻辑推理等知识，证法多样，思路谨慎，若能根据标题特征，灵敏地运用相应的数学方法，通常能快速断定解题思路，然后使问题简捷、精确地获解。

二、不等式证明的概述

17世纪之后，不等式的理论变成数学理论的重要组成部分。根据高斯、柯西、切贝晓夫等对不等式问题的研讨，该理论得到非常快的发展，大家也一直在对不等式进行不断的完善，获得很多重要作用。不等式不仅有重要的理论含义，在实践方面运用于工程技术领域对生产有很大的作用。证明不等式的方法不仅有丰富的逻辑推理、还需要对不等变形和恒等技巧问题进行思考，为何不等式证明的问题教师觉得难讲、学生不会做呢？很大的因素是因为我们常见和常用的方法经常不知道怎样用，因而，我想有必要对不等式的证明方法进行总结概括。

三、不等式证明的若干方法

（一）比较法

这是一种证明不等式的最基本的方法，具体有“作差法”和“作商法”两种。此法表现了简化了思路方法，其基本证明思路是把难以比较的式子变成其差与0比较，或者其商与1比较。通常状况下，若求证的不等式两头是分式时，常用作差法；若求证的不等式两头是乘积方式或幂指数方式时，常用作商法来比较。

（二）归纳法

由已知条件出发，凭借某些现已证明过的不等式和不等式的性质及其有关定力，根据逐渐的逻辑推理，处处所要证明的不等式建立。此法的特点是“由因导果”，即从“已知”看“已知”。

（三）研究法

研究法是用研究证明，“若A则B”这个问题模式是：欲证B的真，只需证明B1的真，然后又……，只需证明A为真，故B真。可见研究法是拿果索因，步步寻求上一步建立的充分条件。

这即是假定不等式建立，然后运用不等式的基本条件，逐渐推演，变形，最终得到一个简单显着建立或已证明建立的不等式；而推证又可逆，我们就能够断定不等式建立，这种方法是我们证明不等式的基本方法之一。

总结：从求证的不等式出发，研究使这个不等式建立的充分条件，把证明不等式转化为断定这些充分条件是否建立的问题。如果能够相应这些充分条件建立，那么就能够判断原不等式建立，这即是研究法。通常状况是直接推理不容易，就从定论找条件来推理。

（四）换元法

这是一种使很多实践问题处理中化难为易，化繁为简的方法，有些问题直接证明较为困难，若根据换元的方法去解则很简便，常用于条件不等式的证明，常见的是“三角换元法”和“比值换元法”。

①三角换元法：这是一种常用的换元方法，在处理代数问题时，运用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分运用三角函数的性质去处理问题；②比值换元法：此法对于在已知条件中富含很多个等比式的问题，通常可先设一个辅佐不知道数表明这个比值，然后代入要求证的式子即可。

（五）放缩法

这种方法是在证明不等式时，把不等式一边适当扩展或减小，运用不等式的传递性来证明不等式。此法是证明不等式的重要方法，技巧性强。通常用到的技巧有：①舍去一些正项或负项。②在和或积中换大或换小某些项。③扩展或减小分式的分子或分母等。

（六）反证法

某些不等式从正面出发，不容易下手，能够思考反证法。即先否定定论不建立，然后再根据已知条件及其有关概念、定理、正义等，逐渐推导出与这些相或自相的定论，然后相应原有定论是准确的。通常状况下，但凡呈现“最少”、“仅有”或者富含否定的出题，适用反证法。此法的过程为：反设定论找出相应定论。

（七）数学概括法

此法通常用来证明与自然数N有关的不等式，在证明进程中需求分两个过程，这两个缺一不可。

（八）判断式法

此法凭借于二次函数中，判断式恒小于0，得出二次函数恒大于0，或者恒小于0。

（九）运用函数单调性证明

理论根据：若函数在区间内可导，则在內单调递加（或单调递减）的充要条件是（或）。

因为不等式与函数有密切关系，因而，据求证的不等式构造出函数，运用函数的单调性能够证明某些不等式，此方法特别适用于函数不等式的证明。

运用定积分的性质证明不等式。理论根据：设f，g为概念[a，b]在上两个可积函数，若，则有。

定积分是凭借于积分学的知识，证明不等式的一种方法，它重要运用积分的基本公式、基本性质、基本定理证明不等式。

四、结束语

不等式的证明是多变的，因题而异。但万变不离其宗，大都需从运用概念及基本性质下手，寻求处理之道。在平时教学中，高中数学教师仍是要根据很多的练习，协助学生掌握常见的方法的运用。希望这篇文章在这方面能起到抛砖引玉的作用。文章总结了运用高等数学的知识证明不等式的若干方法，指出每一种方法的适用范围和运用时应注意的事项及具体过程。

参考文献：

[1]蔡兴光，郑列.高等数学应用与提高[M].北京：北京科学出版社，2012.

基本不等式的证明篇9

教学目的

(1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式．

(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？

生：求差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？

生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．

二、推导公式

1．奠基

师：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左边展开，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式叠加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．

3．再探索

师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，启示我们把②式变成

a2－ab＋b2≥ab，两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？

生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式叠加，并应用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．

师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究．

4．推论

师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式．

⑦

(当且仅当a=b时取“=”号)．

这就是课本中定理1的推论．

⑧

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．这就是课本中定理2的推论．

当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)

⑨

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

何平均数．⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即⑦和⑧．

三、小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下：

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

四个公式中，②、⑦是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明．

几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a＋b=c表示以斜边c为边的正方形的面积．而

如上左图所示，显然有

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号)．

2三、应用公式练习

1．判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就对了．这时需令α是第一、三象限的角．]

改条件使a、b∈R+；②改变证法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)．

2．填空：

(1)当a________时，an＋a－n≥________；

(3)当x________时，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如

表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半．

四、布置作业

略．

教案说明

1．知识容量问题

这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容．这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案．实践证明是可行的，效果也比较好．对于普通班级则应另当别论．补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩．但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的．还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的．同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反

三、触类旁通，获取更多的知识．知识容量增加了，并未增加学生的负担．从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间．反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的．由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系．我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教学目的问题

近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果．在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识．据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力．当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的．它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果．考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果．

3．教材组织与教法选用问题

实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来．教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应．但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法．事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n＞3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式)．因此不具有一般性．而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称)．现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式：

和它的等价形式当

n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化)．在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的．由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础．同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性．这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法．

这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后经迭代、叠加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，这种方法具有一般性．事实上，引入一个一般的辅助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式

正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真．可见配方法的重要作用．它的重要性应在上一节比较法中就予以强调．

基本不等式与不等式基本证明篇10

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式：若

a,bR则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

浅谈证明不等式的方法篇11

构图法，即构造几何图形，利用几何图形的性质来帮助说明不等式.构图法出现已经有很长的历史，可以追溯到十二世纪的古代中国，希腊和印度.一些数学家认为构图法不是一种严格的证明，构图法对于实际证明毫无价值，证明有且只有一种方式——推理，构图证明是不能够接受的.但还有一部分数学家认为，数学不仅是逻辑的，还是图形的，作为数学教育工作者，必须把培养学生的想象能力作为重要的能力之一.数学教育家波利亚指出画图帮助理解题意，被认为是经典的教育学建议.爱因斯坦和庞加莱都认为，我们应该利用好我们的直觉；美国数学家加德纳指出，许多情形下，一个平淡的证明加上一个几何类似图形，使得证明更加简单和漂亮，定理的准确性立见.所有的这些，都说明了构图法对帮助证明的重要性.

2几个不等式的构图说明

高中数学选修模块45《不等式选讲》中的不等式主要有：基本不等式，绝对值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式.中学阶段很多不等式的证明可以利用构图法来理解，下面列举几个不等式的构图.

2.1不等式a+b2≥ab（a，b为正数）的构图

不等式表明：两个正数的算术平均数a+b2不小于它们的几何平均数ab，即a+b2≥ab（a，b为正数），教材中一般构造如下的几何图形来加强理解.

图1图2如图1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一种构图，如图2所示，把半径不等的两圆水平放置，且都与直线AB相切，两圆外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因为OF>EF，所以a+b2≥ab.图1～2都说明了不等式a+b2≥ab的几何意义，并且能直观地感知当且仅当“a=b”时“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如图3所示，M为圆A外一点，MA与圆A分别相交于P、Q两点，MG，MR分别为圆A的切线和割线，PM=a，QM=b，a>b>0，则有HM2.3不等式xr-1>r（x-1）的构图

当n为正整数，x>-1时，（1+x）n≥1+nx成立，称为贝努利不等式（Bernoulli inequality），其证明方法通常有数学归纳法和利用二项式定理进行放缩.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用类似于证明贝努利不等式的方法进行证明，可采用构图法帮助证明.构造如图4所示的图形，在同一坐标系中分别作出函数y=xr-1和y=r（x-1）的图象，函数y=xr-1为经过（1，0）点的凸函数，函数y=r（x-1）的图象是斜率为r，经过点（1，0）的直线，且直线y=r（x-1）与y=xr-1的图象相切，切点为（1，0）.因此，当r>1，x>0，x≠1时，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.

2.4不等式ab

构图来帮助证明分布在数学中的各个方面，如代数，几何，三角，微积分和动态几何，不等式，数列，排列、组合等等.数学上许多的定理和概念，都可以用优美、简洁的图形来表示.老师们应该在平时教学中多注意总结，设计更多的图来帮助学生直观地理解数学知识，学好数学，让数学变得更为直观.

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