二元一次不等式(组)

二元一次不等式(组)（精选12篇）

二元一次不等式(组) 篇1

二元一次不等式的证明是高中数学的一个难点, 它将函数、导数、不等式等诸多知识融为一体, 充分考查了学生综合解决问题的能力及转化和化归的数学思想, 下面依托于一些具体问题谈谈二元一次不等式证明的两大策略.

策略一换元转化法

对二元一次不等式进行合理变形后实施代数换元, 进而实现二元向一元的转化, 这种方法本文称之为换元转化法.

分析:本题第 (1) 问是导数题中一类常规问题, 利用导数易求得参数a的取值范围是 (-∞, 2], 对于问题 (2) , 注意到目标不等式具有对称性, 可对其作合理的变化后进行“比值”换元.令进而将问题转化为关于t的一元不等式证明这一大家所熟知的问题上来.

解: (1) a∈ (-∞, 2] (过程略) .

评注:在换元转化法中, 着重于已知条件与目标式子结构形式上特点的分析是问题得以成功转化的关键, 其中通过对目标不等式合理变形后进行“比值”换元来实现二元向一元的转化是换元转化法中一重要处理手段.

例2已知函数f (x) =2lnx-x2.

(1) 若方程f (x) +m=0在内有两个不等的实根, 求实数m的取值范围 (e为自然对数的底数) ;

(2) 如果函数g (x) =f (x) -ax的图象与x轴交于两点A (x1, 0) , B (x2, 0) 且0

分析:本题第 (1) 问是函数中一类常规问题, 利用函数图象数形结合可得对于问题 (2) 其关键是消元, 在消元过程中要善于发现元与元之间的联系.为此, 可试着将A、B两点坐标代入方程, 将a用x1、x2表示出来, 然后对目标式子合理变形, 适当转化, 最后通过代数换元实现二元向一元的转化.

该类方法的关键是如何结合题目条件对目标不等式进行合理变形, 适当转化, 进而利用代数换元来实现二元向一元的转化.为此, 在问题的求解中, 多注重于题设条件与目标式子结构形式上的特征分析, 去差异, 找联系, 挖掘式子内在的函数关系.

策略二转换视角转化法

在证明二元一次不等式时, 通过转换视角, 将两个变量其中一个视为自变量, 另一个视为参变量, 进而将问题转化为一元不等式的证明, 这种方法本位称之为转换视角转化法.

分析:由于区间[b, a]的端点a, b就是所证不等式涉及的两个变量, 因此只要把其中一个端点设为自变量, 另一个端点视为参变量, 即可将问题转化为证明给定区间端点含字母参数的一元不等式.

点评:对于含有两个 (或多个) 参变量的不等式证明, 通过转换视角, 将其中一个视为主元, 其余的视为辅元, 进而实现二元 (多元) 向一元的转化, 最后借助已知函数的性质 (或新构造的函数的性质的探究) 来分析求解也是我们常见的解题套路.

二元一次不等式(组) 篇2

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，辅以新的例题巩固,再回归到先前的具体实例.整个教学过程，让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点 如何确定不等式Ax＋By＋C＞0（<0）表示Ax＋By＋C=0的哪一侧区域.三维目标

一、知识与技能

1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；

2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；

2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程

一：导入新课

建立二元一次不等式模型

实际问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部

应该如何分配资金呢？

把实际问题转化为数学问题：

设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为y万元，由资金总数为25 万元，得到x+y≤25.①

由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收0.3万元以上，所以(12%)x+(10%)y≥0.3.②

用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 x≥0,y≥0.③

将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：

xy25,(12%)x(10%)y0.3, x0,y0.二：推进新课

1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义：

二元一次不等式（组）： 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

从特殊到一般：

研究具体的二元一次不等式x＋y<6的解集所表示的图形。学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x＋y<6的解为坐标的点都在直线x＋y=6的左上方；反过来，直线x＋y=6左上方的点的坐标都满足不等式x＋y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x＋y<6表示直线x＋y=6的左上方的平面区域，如图（1）

类似的，二元一次不等式x＋y>6表示直线x＋y=6的右下方的平面区域，如图（2）。

直线叫做这两个区域的边界。

yy6606x06xx+y-6=0x+y-6=0

（图1）

（图2）

3．结论：

由特殊例子推广到一般情况：

二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个区域的判断方法：

由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的

平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）三：应用举例

【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.

解: 先画直线x＋4y＝4(画成虚线)。把原点(0，0)代入x＋4y－4，得0+4×0-4=-4＜0.所以原点在x＋4y<4表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域如图：

随堂练习：

① x+y-1≤0 ② 2x-3y>6 ③ x-2y＜0 ④ x+y-2＞0.y3x12【例2】 用平面区域表示不等式组x2y的解集.

x3解：不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12右下方的区域,x<2表示直线x=2y右上方的区域，x-3表示直线x=-3右方的区域，取三区域重叠的部分，如图阴影部分就表示原不等式组的解集。

y12x=-383x+y-12=04-3048X-2y=0x

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的区域的公共部分。随堂练习：

xy4xy20①xy0

②xy20

1y1x3

四：课堂小结

二元一次不等式Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0表示的平面区域.五：课后作业

课本P93习题3.3A组的第1、2题，B组的第1题。

板书设计

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

二元一次不等式定义

例1

“二元一次方程组”单元练习 篇3

1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）.

A. xy=1，x+y=2. B. 5x-2y=3，■+y=3. C. 2x+z=0，3x-y=■. D.x=5，■+■=7.

2. 若x=1，y=2是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）.

A. -5 B. -1 C. 2 D. 7

3. 由方程组x+m=6，y-3=m可得出x与y的关系式是（ ）.

A. x+y=9 B. x+y=3 C. x+y=-3 D. x+y=-9

4. 方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（ ）.

A. x=0，y=-1. B. x=0，y=7. C. x=1，y=5. D. x=2，y=3.

5. 若方程组3x+2y=a+2，2x+3y=a的解x与y的和是2，则a的值为（ ）.

A. -4 B. 4 C. 0 D. 任意数

6. 解方程组ax+by=2，cx-7y=8时，一学生把c看错而解得x=-2，y=2.而正确的解是x=3，y=-2.那么a、b、c的值是（ ）.

A. 不能确定 B. a=4，b=5，c=-2

C. a、b不能确定，c=-2 D. a=4，b=7，c=2

二、 精心填一填

7. 请写出方程x+2y=7的一个正整数解_______.

8. 若3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项，则x=_______，y=_______.

9. 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1，则这个方程可以是______.（只要写出一个）.

10. 若关于x、y的方程组4x+y=5，3x-2y=1和ax+by=3，ax-by=1有相同的解，则a=_______，b=_______.

11. 若（2x-3y+5）2+|x+y-2|=0，则x=_______，y=_______.

12. 一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_______.

三、 用心做一做

13. 解方程组：

（1） x+2y=9，y-3x=1. （2） x+4y=14，■-■=■.

14. 已知二元一次方程：（1） x+y=4；（2） 2x-y=2；（3） x-2y=1.

请从这3个方程中选择你喜欢的2个方程，组成一个方程组，并求出这方程组的解.

15. 若方程组ax+by=4，bx+a=2与方程组2x+3y=3，4x-5y=-5的解相同，则a，b的值分别是多少？

16. 已知方程ax+by=11，它的解是x=1，y=-4，x=5，y=2.求a，b的值.

17. 有黑白两种小球各若干只，且同色小球的质量均相同，在如图所示的两次称量中天平恰好平衡，若每只砝码的质量均为5克，则每只黑球和白球的质量各是多少克？

18. 夏季奥运会的比赛门票开始接受公众预订.下表为奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小王用8 000元作为预订下表中比赛项目门票的资金.

（1） 若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？

（2） 小王想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球3种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由.

参考答案

1. D 2. D 3. A 4. D 5. B 6. B

7. 答案不唯一，如：x=1，y=3. 8. x=2，y=-3 9. 答案不唯一，如x+y=1.

10. a=2，b=1 11. x=■，y=■ 12. 35

13. （1） x=1，y=4. （2） x=3，y=■.

14. （1）（2）组合的解为x=2，y=2.（1）（3）组合的解为x=3，y=1.（2）（3）组合的解为x=1，y=0.

15. a=2，b=4.

16. a=3，b=-2.

17. 黑球是3克，白球是1克.

18. （1） 男篮门票6张，乒乓球门票4张.

（2） 男篮门票3张，足球门票5张，乒乓球门票2张.

二元一次不等式(组) 篇4

一、点在直线“左右侧”的判定

记直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) , 设P (x0, y0) 是l“左侧”区域内任意一点, 过P作y轴的垂线交l于Q (x, y) , 则x00时, 得Ax0+By0+C<0;当A<0时, 得Ax0+By0+C>0.综上, A (Ax0+By0+C) <0, 反过来也成立.若设P (x0, y0) 是l“右侧”区域内任意一点, 类似可得, A (Ax0+By0+C) >0.

结论P (x0, y0) 在l“左侧与Ax0+By0+C异号A (Ax0+By0+C) <0.

P (x0, y0) 在l“右侧”与Ax0+By0+C同号A (Ax0+By0+C) >0.

二、点在直线“上下方”的判定

记直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) , 设P (x0, y0) 是l“上方”区域内任意一点, 过P作x轴的垂线交l于R (x, y) , 则x0=x, y0>y, 又当B>0时, 得Ax0+By0+C>0;当B<0时, 得Ax0+By0+C<0.综上, B (Ax0+By0+C) >0, 反过来也成立.若设P (x0, y0) 是l“下方”区域内任意一点, 类似可得, B (Ax0+By0+C) <0.

结论P (x0, y0) 在l“上方”与Ax0+By0+C同号

P (x0, y0) 在l“下方”与Ax0+By0+C异号B (Ax0+By0+C) <0.

三、不等式Ax+By+C>0表示直线一侧的平面区域的判定

对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点 (x, y) , 把它们的坐标 (x, y) 代入Ax+By+C, 所得的实数符号都相同, 所以只需要考察A, B与Ax+By+C的符号就够了.

记D=Ax+By+C, 若D>0, 则Ax+By+C>0表示的区域如下表:

若D<0, Ax+By+C>0表示的区域如下表:

类似, 可判定不等式Ax+By+C<0表示的平面区域.

四、应用

例1画出不等式2x-y+1>0表示的平面区域.

解由2· (2x-y+1) >0得2x-y+1>0表示直线2x-y+1=0右侧的区域, 又由-1· (2x-y+1) <0得2x-y+1>0表示直线2x-y+1=0下方的区域.综上, 得2x-y+1>0表示直线2x-y+1=0右下方的区域 (画图略) .

例2若不等式 (1-a) x+ay+2>0表示的是直线 (1-a) x+ay+2=0右上方的区域, 求实数a的取值范围.

解由题意得解得0

例3画出下列不等式组表示的平面区域:

二元一次方程组 篇5

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组.

3.通过二元一次方程组的.解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题.

七、教学步骤

(-)明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解.

(二)整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们;同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔;最后学会检验二元一次方程组解的问题.

(三)教学过程

1.创设情境、复习导入

(1)什么叫方程?什么叫方程的解和解方程?你能举一个一元一次方程的例子吗?

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

(2)列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克?

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉 千克，那么苹果买了 千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢?

设买了香蕉 千克，买了苹果 千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点?

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识―二元一次方程组.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

(1)关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

① ② ③

④ ⑤ ⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗?学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数( 或 )每取一个值，另一个未知数( 或 )就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对 、的值满足方程 .

-2

0

0.4

2

-1

0

3

师生共同总结方法：已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ;已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 .

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的;并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础.

(2)关于二元一次方程组的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知 、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组?

① ②

③ ④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识.

《二元一次方程组》复习指导 篇6

1. 二元一次方程组的解法主要有代入消元法、加减消元法.代入消元法，是将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.加减消元法，是通过两方程相加（减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.

2. 二元一次方程组还可以用“图象法”去解.图象法，是把方程组中的两个方程转化成一次函数，作出两个一次函数的图象，求出交点坐标，则交点的横坐标与纵坐标就分别是方程组中的x、y的解.

3. 解二元一次方程组应用题，实际上就是正确地找出问题中的两个等量关系.

4. 二元一次方程（组）与一次函数之间的关系：

①一次函数y=kx+b中的两个变量x、y看成未知数，则这个解析式可以看做是一个关于x、y的二元一次方程，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程组的解与函数图象交点的坐标等同，可利用图象法求二元一次方程组的解.

二、典型题解析

例1 二元一次方程组

2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一个方程 y 的系数被遮住，第二个方程x的系数被遮住，但知道x=2，y=1是这个方程组的解.你能求出原来的方程组吗？

解：设遮住的y的系数为m，x的系数为n.

因为x=2，y=1是方程组的解，所以将x=2，y=1分别代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

所以，原来的方程组为2x-y=3，x+y=3.

评注：求解此类题目可利用方程（组）及其解的定义，把解直接代入，求出方程中的待定系数的值.

例2 解方程组x+3y=4，①x+y=0. ②

解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程组的解为x=-8，y=4.

评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解.消元时要观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程进行变形.本题若从①入手，比较麻烦.

例3 已知x、y是实数，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

解：原方程可化为+（y-3）2=0.

∵≥0，（y-3）2≥0，

∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

∴xy=-3.

评注：几个非负数之和等于0，则这几个非负数都等于0.

例4 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个.一个盒身与两个盒底配成一套.现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，正好制成都配套的罐头盒？

解：设需要x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底.

根据题意得x+y=150，43y=2×16x.

解这个方程组得x=86，y=64.

∴用86张铁皮做盒身，64张铁皮做盒底.

评注：列二元一次方程组的步骤和列一元一次方程的步骤大致相同.随着问题的复杂性的增加，列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更加直接、简单.本题也可用一元一次方程解，同学们不妨试试.

例5 某工厂去年的总产值比总支出多500万元.今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少？

解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出为y万元.

根据题意得x-y=500，（1+15%）x-（1-10%）y=950.

解这个方程组，得x=2 000，y=1 500.

（1+15%）x=2 300，（1-10%）y=1 350.

∴今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元.

评注：当直接设未知数列方程比较困难时，可以采用设间接未知数的方法.

例6 甲火车长92 m，乙火车长84 m.若相向而行，两车从相遇到完全离开，时间为1.5 s；若同向而行，两车从相遇到完全离开，时间为6 s.假设甲车速度比乙车快，求甲、乙两车的速度.

解：设甲车速度为x m/s，乙车速度为y m/s.

根据题意有1.5（x+y）=92+84，6（x-y）=92+84. 解这个方程组得x=73y=44.，

∴甲、乙两车的速度分别为73 m/s和44 m/s.

评注：两车相向而行，属相遇问题，两车间距离等于速度和乘以时间；两车同向而行，属追及问题，两车间距离等于速度差乘以时间.

例7 已知直线y=k1x+b1经过原点和点（-2，-4），直线y=k2x+b2经过点（1，5）和点（8，-2）.

（1）求两直线的解析式.

（2）若两直线相交于M点，求M点的坐标.

（3）若直线y=k2x+b2与x轴交于点N，求△MON的面积.

解：（1）y=2x，y=-x+6.

（2）解方程组y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

∴M点坐标为（2，4）.

（3）当y=0时，得-x+6=0，x=6.

∴N点坐标为（6，0）.

∴ON=6.

又知ON边上的高为点M的纵坐标的绝对值，是4，

∴S△MON=×6×4=12.

评注：二元一次方程与一次函数可以视题目要求互相转换.

三、深刻领会各种数学思想

用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组时，我们能体会到“化未知为已知”的化归思想.

在二元一次方程与一次函数的关系中，体会到了“数形结合”思想的美妙之处，建立了方程与函数的联系.

“四步法”解二元一次方程组 篇7

一、代入消元法

代入消元法 (简称代入法) 是常用的消元法, “四步法”步骤为:

(1) 变形:从方程组中选一个系数较简单的方程, 将其中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来;

(2) 代入:把所得代数式代入另一个方程中, 从而消去一个未知数化二元一次方程组为一元一次方程;

(3) 求元:解一元一次方程, 求出一个未知数的值, 并把该值代入一个方程, 求得另一个未知数的值;

(4) 组解:写出二元一次方程组的解。

例1.用代入消元法解方程组:

undefined

分析:按“四步法”易知①中未知数x系数简单, 可把①变形为x=3y-1, 将其代入②可消去x, 求得y的值, 再代入①可求x的值。

解:由①得:x=3y-1 ③

将③代入②得:2 (3y-1) +5y=9

整理得: 11y=11

y=1

将y=1代入①得:x=2

所以原方程组的解是

undefined

二、加减消元法

加减消元法 (简称加减法) 比代入法要方便一些, “四步法”步骤为:

(1) 乘数:将两个方程中的同一个未知数的系数化为同一数或互为相反数;

(2) 加减:将该未知数的系数相加或相减, 得到一元一次方程;

(3) 求元:解方程求出一个未知数的值, 代入较简单的一个方程求出另一未知数的值;

(4) 组解:写出原方程组的解。

例2.解二元一次方程组

undefined

分析:按“四步法”的步骤易知, ①和②中x的系数分别为3和2, 2和3的最小公倍数为6.可得①×2, ②×3可使①、②式中x的系数相同.

解:将①×2得: 6x-4y=22 ③

将②×3得: 6x+9y=48 ④

由④-③得: (6x+9y) - (6x-4y) =48-22

整理得:y=2

将y=2代入①得:x=5

所以原方程的解为

undefined

三、图像法

二元一次方程组的每个方程都对应着一个一次函数, 每个方程的解就对应的一次函数图像上点的坐标, 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图像交点的坐标。按“四步法”也可将图像法分为四个步骤:

(1) 变形:将方程组的两个方程化为y=k1x+b1, y=k2x+b2的形式;

(2) 作图:画出图像 (在同一坐标系内) ;

(3) 找点:找到交点坐标;

(4) 组解:根据交点坐标写出方程组的解。

例3.解方程组

undefined

解:由3x-y=4得:y=3x-4.由2x-3y=-2

得:undefined

如图所示, 在同一坐标系中作出一次函数y=4-3x的图像l1和一次函数undefined的图像l2, 观察图像得l1和l2的交点为A (2, 2) .

所以原方程组的解为

undefined

二元一次方程组的灵活解法 篇8

例1

解方程组

分析方程 (1) 中的未知数y的系数绝对值为1, 故用“代入消元法”.

解由 (1) 得:y=2x-2. (3)

将 (3) 代入 (2) , 得3x+2 (2x-2) =3,

解得x=1.

将x=1代入 (3) , 得y=0.

例2

解方程组

分析方程组中x, y的系数分别相反和相同, 故用“加减消元法”.

解 (1) + (2) , 得6y=12, y=2.

(1) - (2) , 得4x=-8, x=-2.

∴原方程组的解为

例3

解方程组

分析方程 (1) 中左边为5 (x+1) , 而方程 (2) 中右边也含有5 (x+1) 这一项, 故用“整体代入消元法”.

解将 (1) 代入 (2) , 得3 (y-1) =5+y+2.

解得y=5.

将y=5代入 (1) , 得5 (x+1) =5+5,

解得x=1.

∴原方程组的解为

例4

解方程组

分析本例虽具有例3的特征, 但将方程 (2) 代入 (1) 达不到消元的目的, 故不能用整体代入消元法, 应先将它化简再解之.

解原方程组化简为

(4) - (3) , 得3y=3, y=1.

学生如何巧解二元一次方程组 篇9

例如:解二元一次方程组大部分学生用常规方法, 但会比较繁杂, 有几名学生用如下的解法相对比较简单一些:

(1) + (2) , 得8x-8y=16即x-y=2. (3) ;

(1) - (2) , 得2x+2y=16即x+y=8. (4)

(3) + (4) , 得2x=10, 所以x=5.把x=5代入 (3) , 得y=3

所以原方程组的解是

当k为何值时, 方程组中x, y互为相反数?求出此时x, y的值?

解法一:依题意得, 因为x, y互为相反数, 所以x=-y, 原方程组变形为

将 (5) 代入 (6) , 得y=-2.

所以x=2, k=8.

当k为8时, 原方程组中x, y互为相反数.

解法二:将 (2) ×2得4x+14y=2k-36 (3) ; (3) - (1) , 得x+19y=-36.

又因为x, y互为相反数, 所以x+y=0, 所以x+y+18y=-36, 18y=-36, y=-2, 所以x=2, k=8.

当k=8时, 原方程组中x, y互为相反数.

趣谈生活中的二元一次方程组 篇10

一、怎样计算水费?

例1为了强化公民的节水意识,合理利用水资源. 某市采用价格调控手段达到节约用水的目的.规定:每户居民每月用水不超过6 m3时,按基本价格收费;超过6 m3时,不超过的部分,仍然按基本价格收费,超过的部分要加价收费. 该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示,试求用水收费的两种价格.

【分析】解决问题的关键是找到能反映该问题全部含义的相等关系,本题的相等关系有两个:

(1)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=21元;

(2)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=27元

若设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,可列表如下:

解:设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,根据题意列方程组:

解这个方程组,得:

答:基本水价为1.5元/m3,超过6 m3的部分6元/m3 .

聪明的你能接着解决下列问题吗?

1. 上述问题中,如果某居民1月份用水4 m3,那么需要交水费______元,如果某居民6月份用水11 m3,那么需要交水费______元.

2. 在上面的问题中,如果某居民某月交水费45元,那么用水量为______m3.

二、如何确定成本?

例2甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价. 在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按九折出售,这样商店共获利157元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

【分析】本题是销售问题,涉及成本、利润、利润率、定价、售价等基本概念.它们之间有如下关系:

(1)利润=售价- 成本;

(2)利润率=利润/成本;

(3)定价=成本×(1+利润率);

(4)售价=定价×90%.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)甲服装的成本 +乙服装的成本=500元;

(2)甲服装的利润 +乙服装的利润=157元.

解:设甲服装的成本为x元,乙服装的成本是y元,根据题意,得

解这个方程组,得

答:甲服装的成本每件300元,乙服装的成本每件200元.

三、怎样分配?

例3某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?

【分析】这是一个工程问题,涉及工作量、工作时间、工作效率三个基本量,它们之间的关系是:

(1)工作效率=工作量/工作时间;

(2)工作时间×工作效率=工作量;

(3)工作时间=工作量/工作效率.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)精加工的天数+粗加工的天数=15天;

(2)精加工的蔬菜量+粗加工的蔬菜量=140吨.

解:设应安排x天精加工,y天粗加工,根据题意,得

解这个方程组,得

答:应安排10天精加工,5天粗加工.

四、怎样设计才能配套?

例4一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请你设计一下,用多少木料制作桌面,多少木料制作桌腿,恰好配套?求出配成的方桌的张数.

【分析】本题隐含两个相等关系:

(1)桌腿数=4×桌面数;

(2)用于做桌腿的木料+用于做桌面的木料=5立方米.

解:设用x立方米的木料制桌腿,用y立方米的木料制作桌面,根据题意,得

解这个方程组,得

当y=3时,50y=150.

答:用3立方米的木料制桌面,用2立方米的木料制桌腿,恰好配套. 共配成150张桌子.

五、怎样测量火车速度?

例5某铁路桥长1 000 m,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min,整列火车完全在桥上的时间共40 s.求火车的速度和长度.

【分析】这是行程问题,涉及路程、速度、时间三个基本量之间的关系:

(1)路程=速度×时间;

(2)速度=路程/时间;

(3)时间=路程/速度.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)火车从上桥到完全过桥用1 min(图1).

(2)整列火车完全在桥上的时间是40 s(图2).

解:设火车的速度为x m/s,火车的长为y m,根据题意,得:

解这个方程组得:

《二元一次方程组》综合测试题 篇11

——爱因斯坦（1879-1955）

一、填空题（每小题5分，共40分）

1. 已知x=5，y=-3是方程2x+ky=7的解，则k=.

2. 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，则mn=.

3. 已知x=-y=1，是方程组ax-3y=5，2x+by=1的解，则a=，b=.

4. 方程3x+2y=8的正整数解为.

5. 一次函数y=3x-5与 y=2x+7图象的交点坐标为（12，31），则方程组3x-y=5，2x-y=-7的解为.

6. 若|x-2|+y2+4y+4=0，则x-y=.

7. 如图1，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的2倍多10°，设∠1，∠2的大小分别为x°，y°.那么可以求出这两个角的度数的方程组是.

8. 直线y=x+1与两坐标轴围成的三角形面积是.

二、选择题（每小题5分，共40分）

9. 直线y=3x+1与直线y=3x-1的位置关系是（）.

A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 不能确定

10. 已知方程组a+2b=3，2a+b=7，则a-b的值等于（）.

A. -B. 2C. -4D. 4

11. 六年前哥哥的年龄是弟弟的3倍，现在哥哥的年龄是弟弟的2倍，哥哥现在的年龄是（）.

A. 6岁 B. 12岁 C. 18岁 D. 24岁

12. 函数y=8-3x与y=2x-7的图象交点的坐标是（）.

A. （3，-1） B. （14，-37） C. （-1，11） D. （-1，5）

13. 如图2，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE.∠BAD比∠BAE大39°.设∠BAE和∠BAD的大小分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（）.

A. y-x=39，y+x=90 B. y-x=39，y=2x

C. y-x=39，y+2x=90D. x-y=39，y+2x=90

14. 若方程组3x+5y=k+2，2x+3y=k的解x与y的和为0，则k的值为（）.

A. -2 B. 0 C. 4 D. 2

15. 如图3，可以以直线l1和l2的交点坐标为解的方程组是（）.

A. x-2y=-2，2x-y=2 B. y=-x+1，y=2x-2

C. x-2y=-2，2x-y=-2 D. y=2x+1，y=2x-2

16. 如图4，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x、y的二元一次方程组y=ax+b，y-kx=0的解是（）.

A. x=-4，y=-2 B. x=-2，y=-4

C. x=2，y=4D. x=4，y=2

三、解答题（每题10分，共40分）

17. 解方程组=2y，2（x+1）=y+11.

18. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A，经过直线y=-2x+4与y=3x-6的交点B. （1）求B点坐标；（2）如果A点坐标为（-5，7），求k、b的值.

19. 汶川大地震后，某学校组织学生捐款支援灾区.八（3）班55名同学共捐款274元.捐款情况如表1.表中捐款2元和5元的人数被墨水污染，看不清楚.请帮助确定表中的数据.

20. 某移动公司开设了甲、乙两种市内业务.甲种业务，使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种业务，使用者不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元.设一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.

（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.

（2）根据一个月的通话时间的多少，确定选用哪种业务更优惠.

二元一次不等式(组) 篇12

一、二元一次方程组的概念

1. 二元一次方程的定义

定义:含有两个未知数(形如x和y),并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

【注解】(1)方程中的“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数;

(2)“一次”是指含有未知数的项的次数是1;

(3)二元一次方程等号的左边和右边都必须是整式.

例1方程:12x-y/3=1;22/x+y =3;35(x+y)=7(x-y);41/x+y=4中是二元一次方程的有______.(填写序号即可)

【分析】1和3是只含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1的整式方程;而2和4中虽然也含有两个未知数,但是左边的代数式不是整式,所以不是二元一次方程.

【答案】13.

2. 二元一次方程的解

定义:适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.

【注解】二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个数值,要用大括号联立起来,即二元一次方程的解通常表示为的形式.

例2下列各组数中,不是方程3x-2y1=0的解的是().

A. x=1,y=1 B. x=2,y=5/2

C. x=0,y=-1/2D. x=2,y=1

【分析】分别把A、B、C、D四个答案代入到方程3x-2y-1=0中,如果左边≠右边,那么这个答案成立.

【答案】D.

3. 二元一次方程组的定义

定义:含有两个未知数(形如x和y)的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组. 要注意的是,组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 例如二元一次方程组

【注解】(1)二元一次方程组的一般形式为(想一想,a,b,d,e的取值有什么限制?)

(2)如果两个一次方程合起来共有两个未知数,那么它们组成一个二元一次方程组.

(3)其中符号“{”表示同时满足,相当于“且”的意思.

例3下列方程组中,不是二元一次方程组的为().

A.(1)(2) B.(2)(5)

C.(3)(5) D.(2)(4)

【分析】(1)(3)(5)方程组中含有两个未知数,并且每个方程中未知数的次数都是1.方程组(2)和(4)虽然都含有两个未知数,但(2)中的第二个方程的次数是2,(4)中第二个方程是分式方程,所以它们都不是二元一次方程组.

【答案】D.

4. 二元一次方程组的解

定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

【注解】(1)方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程,所以检验是否方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一个解不一定是方程组的解;

(2)方程组的解要用大括号联立;

(3)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,如方程组无解,而方程组的解有无数个,同学们可以思考一下为什么.

例4下列各组数中,既是方程2x+3y=6的解,又是方程3x+2y=-1的解的是().

【分析】可以将A、B、C、D四个答案分别代入到方程2x+3y=6和方程3x+2y=-1中,如果每个方程都成立,那就是两个方程的解.

【答案】B.

二、二元一次方程组的解法

1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程

例5用代入消元法解方程

【分析】(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有y(或x)的代数式表示x(或y),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;

(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程(不能代入原变形方程)中,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元一次方程.

解:由2,得

y=x+5,3

将3代入1,得

2x+3(x+5)=40,

解这个一元一次方程,得x=5,

将x=5代入3,得y=10.

∴原方程组的解是

【注解】(1)用代入法解二元一次方程组时,应先观察各项系数的特点,尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形.

(2)变形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程组中的另一个方程.

(3)要善于分析方程的特点,寻找简便的解法. 如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示,代入另一个方程,或直接将某一方程代入另一个方程,这种方法叫做整体代入法. 整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一,它的运用可使运算简便,提高运算速度及正确率.

2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程

例6用加减消 元法解方 程组 :

【分析】(1)根据“等式的两边都乘(或除以)同一个不等于0的数,等式仍然成立”的性质,将原方程组化成其中一个未知数的系数的绝对值相等的形式;

(2)根据“等式两边加上(或减去)同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程”的性质,将变形后的两个方程相加(或相减),消去一个未知数,得到一个一元一次方程.

解:由2×3,得

3x-3y=-15,3

1+3,得5x=25,

解这个方程得x=5,

将x=5代入2得y=10.

∴原方程组的解是

【注解】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时,用加减消元法较简单.

三、用方程组解决实际问题

例7某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图1),利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片,长方形的宽与正方形的边长相等. 150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒,可以做成甲、乙两种小盒各多少个?

【分析】甲种纸盒用正方形纸片1张,长方形纸片4张;乙种纸盒用正方形纸片2张,长方形纸片3张.

解:设可供制作甲种纸盒x个,乙种纸盒y个.

根据题意,得

解这个方程组,得

答:可供制作甲种纸盒30个,乙种纸盒60个.

【注解】(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;

(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;

(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组;