矩阵不等式（共3篇）
矩阵不等式 篇1
(一) 引言
在文献[1]中叙述了正定厄米特矩阵的一个重要性质:
定理A设A1, A2, …, AK是k个n阶正定厄米特矩阵, 则有:, 且等号仅在Ai都是某个矩阵B的倍式时成立, 这里|Ai|是Ai的行列式.
文献[2]引申了这一性质, 证明了下面的不等式:
文献[3]推广了这一性质, 用极为繁琐的方法得到了下面的不等式:
本文将用两种简便方法给出这个不等式的证明, 同时, 还将证明在另一种条件下该不等式仍然成立, 另外, 还将对文献[3]中的引理1作些研究.
(二) 几个预备引理
为了讨论的需要, 先给出如下几个引理:
引理1设αi>0 (i=1, 2, …, k) , p为任意实数, 则当p>1时, 有
引理2 (Holder不等式) 设ai, bi, …, li (i=1, 2, …, m) , α, β, …, γ都是正的, 且α+β+…+γ=1, 则
引理3设A1, A2, …, AK是k个n阶正定厄米特矩阵, 则有|A1+A2+…+AK|>|A1|+|A2|+…+|AK|.
引理4假设Φ (t) 在区间[m, M]上二阶导数存在, 并且, Φ′ (t) >0, 那么对任意正数p1, p2, …, pn我们有下列Jenson不等式:
且等号当且仅当t1=t2=…=tn时成立.
(三) 定理C的两种简捷证明方法
(四) 新条件下的正定厄米特矩阵不等式
定理设A1j, A2j, …, Amj (j=1, 2, …, k) 都是n阶正定厄米特矩阵, 设α1, α2, …, αm都是正实数, 且, 则
所以B的坐标为
由式 (7) 得
定义映射f:Sn-{ (0, 0, …, 0, 1) }→Rn为:
定义映射g:Rn→Sn-{ (0, 0, …, 0, 1) }为:
而f莓g (y) =f (g (y) ) =f (g (y1, …, yn, 0) ) =
即f莓g=1Rn.
即g莓f=1Sn-{ (0, 0, …, 0, 1) }.
又由多元函数微积分知f, g都是一一映射和连续映射, 由引理1知结论成立, 即Sn-{ (0, 0, …, 0, 1) }≌Rn.
摘要：对有关文献中用繁琐方法证明的关于正定厄米特矩阵的一个不等式, 本文给出两种极为简捷的证明方法, 同时证明在另一个条件下, 此不等式仍然成立, 从而拓广了不等式的使用范围.
关键词：正定,厄米特矩阵,不等式,离散,连续
参考文献
[1]张远达.线性代数原理[M].上海教育出版社, 1981.
[2]郝雅传.关于厄米特矩阵的一个不等式.数学的实践与认识[C].1985 (4) .
[3]王淑贵.关于正定厄米特矩阵的一个定理[C].2001 (5) .
矩阵不等式 篇2
研究具有结构摄动系统的鲁棒H∞动态输出反馈控制问题.结构摄动系统的二次稳定解等价于辅助线性时不变系统H∞标准设计问题的.解.基于线性矩阵不等式(LMI)方法 ,给出了用3个线性矩阵不等式表征的这一问题的可解条件.通过求解3个线性矩阵不等式便可获得鲁棒控制解.该方法应用于某型双转子涡喷发动机稳态控制器的设计,取得了预期的效果.
作 者：谢光华 曾庆福 Xie Guanghua Zeng Qingfu 作者单位：西北工业大学数据处理中心,西安,710072刊 名：推进技术 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF PROPULSION TECHNOLOGY年，卷(期)：20(4)分类号：V233.7关键词：航空发动机 控制系统 动态控制 鲁棒控制
矩阵不等式 篇3
最近几年, 学者们对倒立摆的研究成果是层出不穷［1，2］。文献[1]设计了基于滑模的全鲁棒控制器对三级倒立摆系统实施了闭环控制仿真, 此设计虽然具有较强的鲁棒性, 但是, 在系统稳定时控制输入容易产生抖振现象; 文献[3, 4]改进了滑模趋近律, 缩短了趋近运动时间, 大幅地削弱了控制器输出的抖振。但是, 仍然不能实现系统的全局鲁棒性; 文献[5]设计了一种能量函数, 并用LMI方法设计优化了滑模面, 使得能量函数最小, 提高了控制精度并削弱了抖振; 文献[6]设计了动态非线性滑模面, 使控制器在稳定条件下, 具有全局的鲁棒性。在传统的滑模控制中, 系统处于趋近运动阶段时不具有对外界的抗干扰能力, 致使滑模控制不具有全局的鲁棒性, 若鲁棒性增强则会出现强烈的抖振现象, 反之若减小抖振现象则系统的鲁棒性会降低, 所以鲁棒性和抖振是一对矛盾［7，8］。而状态反馈控制则贯穿整个系统的运动阶段, 使得系统始终能够拥有某种特性。针对此, 本文提出了滑模鲁棒状态反馈H∞控制, 使系统从开始到稳定都处于具有较强鲁棒性的状态中, 同时兼具滑模控制的响应速度快的优点。在设计过程中使用了线性矩阵不等式优化方法［9，10］优化了滑模面和状态反馈增益, 在鲁棒性和抖振这对矛盾中取得折中点, 使得系统抖振现象得到改善而且有很强的全局鲁棒性。
1 直线二级倒立摆
1. 1 倒立摆系统结构
图1 是直线二级倒立摆的系统结构图, 它由三部分组成: 计算机、电气部分和机械部分。计算机部分有A/D、D/A转换模块, 运动控制卡和PC机; 电气部分主要有: 光电编码盘、直流功率放大器、伺服电机和保护电路; 机械部分有摆杆、轨道、运动小车和皮带轮等。
1. 2 倒立摆系统数学建模
忽略空气阻力、各种摩擦和一些不确定因素之后, 可将直线二级倒立摆系统抽象成由小车和匀质杆组成的系统, 如图2 所示。
Lagrange方程为
式 ( 1) 中, L为拉格朗日算子, q为系统广义坐标, i =1, 2, 3, …, n; fi为系统沿第i个广义坐标方向上的外力。
式 (2) 中, T是系统的动能, V是系统的势能。设系统的广义坐标为x、θ1、θ2。
首先, 系统的总动能为
式 ( 3) 中, TM、Tm1、Tm2、Tm3分别为小车、摆杆1、摆杆2 和质量块的动能。
小车的动能为
摆杆1 的动能为
摆杆2 的动能为
质量块的动能为
故系统的总动能为
第二, 系统的总势能为
所以, 可以算出拉格朗日算子为L = T - V, 将式 ( 8) 、式 ( 9) 带入即可。
由于系统在 θ1、θ2广义坐标下只有摩擦力作用, 并没有外作用力, 所以有
从式 ( 10) 可以解出 θ1、θ2分别为
在平衡位置附近进行泰勒级数展开并线性化, 可以得到:
取平衡位置时各变量的值为零, 即 ( x, θ1, θ2, x1, θ1, θ2, ¨x) = ( 0, 0, 0, 0, 0, 0) , 则有
将上述参数带入到式 ( 12) 中得到
考虑系统的扰动输入W, 则可得到如下方程
式 ( 14) 中, W为外界加载在摆杆或者小车上的干扰输入, M'为各部分质量之和。由式 ( 13) 和式 ( 14) 可得到系统的状态空间模型为
式中: x、θ1、θ2分别是小车位移、摆杆1 与铅垂线夹角、摆杆2 与铅垂线夹角;分别是小车速度、摆杆1 角速度、摆杆2 角速度; u是控制输入量, W是外界加载在小车或者摆杆上的干扰输入。
2 控制方法设计
在传统的滑模控制中, 系统不具有全局鲁棒性, 而且存在抖振现象。为了实现系统的全局鲁棒性, 将滑模控制看做是系统的前馈, 在此基础上引入鲁棒状态反馈。系统在前馈和反馈的控制下不仅具有了全局鲁棒性而且快速性也很好。系统的抖振与鲁棒性一直是一对矛盾, 通过线性矩阵不等式优化了滑模面和反馈增益, 进而缓解了矛盾。系统控制结构图如图3 所示。
2. 1 滑模鲁棒状态反馈H∞控制设计分析
定义滑模面为
式 ( 15) 中, Q是n × n维的正定对称阵, 待定。则选取一般趋近律
所以基于LMI等效控制的前馈滑模控制量为
对于如下系统
设计闭环系统的控制器为:
式 ( 18) 中, usm ( t) 是滑模控制部分。ul ( t) = Kx, 是鲁棒状态反馈H∞控制部分, 满足干扰传递函数的H∞范数小于正数 γ, 即
对于系统 ( 17) 存在状态反馈H∞控制器ul ( t) =Kx = MN－1x, 使得系统渐进稳定而且满足式 ( 19) 性能指标, 当且仅当存在一个矩阵M ( 1 × n维) 和一个对称正定阵N ( n × n维) , 并且 γ 最小时, 使得下列不等式成立
2. 2 全局系统的稳定性条件
由控制律 ( 18) 得闭环系统为
通过K的优化使得A珚= A + B2K是Hurwitz稳定矩阵。该系统既具有最小干扰抑制能力为槡γ 的鲁棒性, 又具有滑模控制快速响应的特性, 兼备二者的优点。闭环控制器使得在整个系统在处于趋近运动阶段就有鲁棒状态反馈控制量的输入, 从而实现了闭环系统的全局鲁棒性。
取Lyapunov函数
因为Q是正定的, 显然L > 0 是恒成立的。则L对时间t求导为
由滑模控制的性质知, 当t ≥ t0时系统处于滑模运动阶段, 就是说滑模函数s = 0, 即sT=x ( t) TQB2= 0, 所以, 式 ( 23) 可以写为
若是负定的, 则 L < 0 恒成立。所以得到:
联立式 (20) 和式 (25) 得式 (26)
式 ( 26) 就是能够满足期望要求的矩阵不等式组, 利用线性矩阵不等式算法优化求解式 ( 26) , 可得滑模面矩阵Q和状态反馈矩阵K, 使得系统具有全局鲁棒性。
3 系统仿真及结果
实验对象是倒立摆系统装置, 实际物理参数如表1 所示。
利用MATLAB中LMI工具箱求解优化组合式 ( 26) , 得到 γ 的最小值为0. 563 5, 即系统的最小干扰抑制能力为
优化的状态反馈矩阵为
优化的滑模面矩阵为
不确定性和干扰信号取为: f ( t) = 0. 5sint, 采样时间T = 20 ms, 系统初始状态取为x = [0 0.2 0. 2 0 0 0]T, δ = 0. 25, ε = 0. 05,
仿真实验结果如图4 和图5 所示。系统在2 s内达到稳定。在10 s时人为地加入f ( t) = 5 的外界干扰后, 系统状态轨迹稍做调整后就恢复了稳定, 可见系统有很强的鲁棒性, 而且控制输入的高频抖振现象得到很大的改善。
4 结论
本文首先运用Lagrange数学方法对倒立摆系统建立了带有干扰输入的数学模型。然后对直线二级倒立摆进行了滑模鲁棒状态反馈H∞控制设计, 结合滑模控制和鲁棒控制的优越性能设计了复合控制器, 对倒立摆这样的欠驱动系统成功地实现了新的滑模控制方法, 设计过程中不仅得到了滑模面的优化, 而且在鲁棒状态反馈的加入下实现了系统的全局鲁棒性, 利用LMI优化算法求得系统拥有最小干扰抑制能力, 同时优化了滑模面矩阵和鲁棒状态反馈增益矩阵, 结果削弱了控制输入的抖振现象。仿真结果表明, 在较大的不确定性和干扰信号的作用下, 整个系统具有响应速度快、超调量小和全程鲁棒性强的特点。说明所设计的控制器对于高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。
参考文献
[1] 张克勤, 苏宏业, 庄开宇, 等.三级倒立摆系统基于滑模的鲁棒控制.浙江大学学报 (工学版) , 2002;36 (4) :404—409
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[3] 张袅娜.终端滑模控制理论及应用.北京:科学出版社, 2011
[4] 姚中华, 孙跃, 唐春森, 等.连续时间系统滑模趋近律的改进.重庆大学学报, 2013;36 (4) :51—55
[5] Edwards C.A practical method for the design of sliding mode controllers using linear matrix inequalities.Automatica, 2004;40 (10) :1761—1769
[6] Liu Jinkun, Sun Fuchun.A novel dynamic terminal sliding mode control of uncertain nonlinear systems.Journal of Control Theory and Application, 2007;5 (2) :189—193
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