最小公倍数矩阵

最小公倍数矩阵（共4篇）

最小公倍数矩阵 篇1

0 引言

Excel具有强大的数据分析和处理功能以及丰富的函数计算功能，在数学计算中发挥着重要的作用。如可以利用TRANSPOSE(array)函数是返回转置单元格区域，利用MMULT(array1,array2)函数返回两数组的矩阵乘积，利用MINVERSE(array)函数返回一个数组所代表的矩阵的逆等等。

应用最小二乘法进行等精度和不等精度测量的数据处理是一个相当繁琐的过程，然而利用Excel软件中的内置函数使这一处理过程得以简化。

1 等精度测量线性参数最小二乘法处理的矩阵算法

1.1 正规方程解法

根据线性参数的偏差方程式求出估计量1x,2x，…，tx，然后设向量

则偏差方程的矩阵表达式为V=L-，最小二乘条件为VTV=最小。利用求极值的方法，得到正规方程TA V=0，正规方程解为。

1.2 精度估计

1)测量数据的标准差为：(若求直线的最小二乘法，t=2。);

2)估计量的标准差为：

在Excel中，利用矩阵计算的过程：首先输入数据。计算矩阵转置时，要先选择输出区，然后输入公式=TRANSPOSE(区域)，同时按下Ctrl+Shift+Enter键。在计算矩阵相乘A’A时，要先选择输出区，然后输入公式=MMULT(区域)，同时按下Ctrl+Shift+Enter键。同样的方法，计算A’L输出在指定区域，计算(A’A)-1A’L输出在指定区域。

1.3 实例应用

已知任意温度t时的铜棒长度yi,0℃时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数α具有线性关系y(t)=y0(1+αt)。现测得在不同温度ti下铜棒长度li如下表，试估计y0和α的最可信赖值。

首先列出误差方程υi=li-(y0+y0αti)，设a=y0,b=y0α，Y的测值用l表示，有a+bt-l=0，将表中的相应系数值代入方程得到正规方程，然后按矩阵形式解算过程如图1所示。

2 不等精度测量线性参数最小二乘法处理的矩阵算法

2.1 正规方程

2.2 矩阵表示

由ATPV=0,V=L-，得到参数的最小二乘解为

2.3 实例应用

某测量过程有误差方程式及相应的标准差如下，试求x1,x2。

首先确定各式的权，然后利用Excel处理的过程如图2所示。

3 结论

本文利用Excel内置函数的计算功能，同时结合测量计算的原理方法，使测量数据后的处理工作变得简单高效，并使结果更为准确。如果此矩阵计算方法得以推广，会有很好的实用价值。

摘要：本文介绍了利用Excel的矩阵函数和最小二乘法进行等精度和不等精度测量线性参数的矩阵算法,并结合具体实例介绍了测量数据的处理过程。

关键词：Excel,矩阵函数,最小二乘法

参考文献

[1]许弟春.关于最小二乘法的参数估计问题探讨[J].长春师范学院学报(自然科学版),2009(4).

最小公倍数矩阵 篇2

给定矩阵Y, X和B,得到了矩阵方程YAX=B的`反中心对称最小二乘解.利用矩阵的标准相关分解给出解存在的充要条件及其解的一般表达式.

作 者：周硕 吴柏生 Zhou Shuo Wu Baisheng 作者单位：周硕,Zhou Shuo(东北电力大学理学院,吉林,13;吉林大学数学研究所,长春,130012)

吴柏生,Wu Baisheng(吉林大学数学研究所,长春,130012)

最小公倍数矩阵 篇3

关键词：罗德里格矩阵,结构总体最小二乘平差,坐标转换

0 引言

在测绘数据处理中,经常需要进行两坐标系之间的转换,不同的空间直角坐标系之间的转换算法在理论研究和实际计算中起着重要的作用。文献[1 ~ 3] 推导了基于罗德里格矩阵坐标转换模型,其处理坐标转换时利用了反对称矩阵和罗德里格矩阵的性质,把传统的三个旋转角参数用反对称矩阵的三个独立元素代替,推导了用三个公共点计算任意旋转角情况下的7个参数的计算公式,避免了旋转参数的线性化,计算过程简单。文献 [4] 推导了基于总体最小二乘的坐标转换模型,其计算转换参数时不直接解算旋转角,而以旋转矩阵中的9个元素为未知数,取代原先的3个旋转角,建立相关的13个未知参数的观测方程,再利用正交条件建立6个条件方程,按附加约束条件的总体最小二乘平差和加权总体最小二乘平差计算,但其计算量大,过程繁琐。由于坐标系的三维坐标都是通过测量手段得到的,不可避免地存在误差,导致系数矩阵也存在误差。所以本文提出先按基于罗德里格矩阵坐标转换模型进行处理,针对其系数矩阵的结构特性,采用结构总体最小二乘法 ( STLS) 计算,因为STLS不仅同时考虑到系数矩阵和观测向量的误差,还能保证矩阵中不同位置的同一元素有相同的改正值。这样既可以计算大旋转角的坐标转换,又可以得到更高精度的计算结果。

1 罗德里格矩阵坐标转换模型的基本原理

1. 1 罗德里格矩阵

设三阶矩阵R为具有3个自由度的正交旋转矩阵,S为反对称矩阵[1~3]:

其中a,b,c为三个独立的未知数。矩阵R可以看作由S构成的罗德里格矩阵,有如下关系:

罗德里格矩阵和反对称矩阵具有如下性质[1~3]:

其中I为3阶单位阵。

1. 2 罗德里格矩阵坐标转换模型

不同的空间直角坐标系之间的转换有7个参数: 3个平移参数、3个旋转参数和一个尺度因子。点在原坐标系中用 ( x,y,z) 表示,点在目标坐标系用( u,v,w) 表示。尺度因子用λ表示,ΔX,ΔY,ΔZ为平移参数,R为旋转矩阵,可得三维坐标转换模型为[1~3]:

尺度因子计算取两个坐标系的两个对应公共点,反算对应的边长之比[1~3]。

也可以求出所有公共点对应边长之比,然后取平均值。

计算旋转矩阵时利用罗德里格矩阵和反对称矩阵,对式 ( 3) 做如下变换:

将已知点1和已知点2的坐标代入式 ( 3)可得[1~3]:

两式相减消去平移因子可得[1~3]:

将式 ( 2) 代入式 ( 6) 得[1~3]:

最后将S和I代入式 ( 7) ,整理得[1~3]:

式 ( 8) 只有两个独立方程,无法解出3个未知数,所以还需将3号点代入式 ( 3) 中,再与1号点代入得到的方程相减,得到与式 ( 8) 相类似的方程组,将两组方程组联立起来得[1~3]:

解方程即可求出a,b,c三个参数,再根据式( 1) 和式( 2) 求出旋转矩阵R。

求出尺度因子和旋转矩阵后,按式 ( 10) 可以求出平移参数[1~3]:

也可以对每个点求平移参数,然后取平均值。

综合分析,传统的坐标转换需要7个参数参与平差计算,且当出现大的旋转角时,其估计结果将出现很大的偏差。而基于罗德里格矩阵坐标转换模型只需要3个参数参与平差,适用于大旋转角的坐标转换,只要有不在一条直线上的3个或3个以上的点,都可以根据该模型求解出两坐标系间的7个转换参数,求解过程简单。

2 结构总体最小二乘在罗德里格矩阵坐标转换模型中的应用

从罗德里格矩阵坐标转换模型的原理可以看出,罗德里格矩阵坐标转换主要是对式 ( 9) 的平差计算,得到旋转矩阵。观察式 ( 9) 的系数矩阵和观测向量,可以看出系数矩阵中随机项由4个元素组成,不同的项有相同的元素存在,从实际理论来讲,相同的元素应该有相同的改正数,而结构总体最小二乘能够很好地解决这一问题。

将式 ( 9) 简写如下[5]:

则相应的总体最小二乘的函数模型如下[5]:

其中,L∈Rm×1是观测值向量,e∈Rm×1是观测值向量的误差改正值; A∈Rm×n是系数矩阵,EA∈Rm×n是系数矩阵误差改正矩阵,eA= vec( EA) ,vec(·) 表示按行拉直变换,ξ∈Rn×1是待估计参数。

令

其中,M为系数矩阵A中各项对原坐标系和目标坐标系的每个点的三维坐标求导,N为观测向量L中各项对原坐标系和目标坐标系的每个点的三维坐标进行求导,ΔX为三维坐标改正值组成的列向量。

则可以得到:

由于

其中

将式 ( 16) 代入式 ( 18) 得:

由文献 [6] 可知:

将式 ( 20) 代入式 ( 21) 得:

将Γ在

处展开得:

为了方便讨论,假设系数矩阵的权和观测值的权均为单位矩阵,则总体最小二乘平差准则的目标函数为[5]:

线性化后式 ( 25) 等价极值条件变为:

将式 ( 24) 表达成间接平差的形式为:

其中D是三维坐标元素在增广矩阵[A L]中的重复出现次数组成的对角权矩阵[6]。

由间接平差计算公式得:

单位权中误差计算公式为:

总结计算步骤如下:

( 1) 根据式 ( 9) 构建总体最小二乘函数模型。

( 2) 列出重复次数对角矩阵D,根据式( 13) 计算矩阵M,根据式( 14) 计算矩阵N,并假设ΔX0= 0,采用最小二乘法计算初始参数估计值ξ0。

( 3) 按式 ( 19) 计算矩阵G,根据式( 27) 计算和

( 4) 根据计算新的迭代值。

( 5) 根据计算的新值重复第 ( 3) 步和第 ( 4)步,直到和小于指定的限差值ε停止迭代。

( 6) 计算,按式( 28) 计算单位权中误差,并反算系数矩阵的误差改正矩阵

3 算例

采用模拟的大旋转角三维基准转换坐标数据进行计算,坐标转换参数为: ( ΔX,ΔY,ΔZ) = ( 0,0,0) ,λ = 1,旋转角( α1,α2,α3) = ( 30°,45°,60°) ,在坐标值的模拟过程中,分别对原坐标系的三维坐标值( x,y,z) 和目标坐标系的三维坐标值( u,v,w) 加入中误差为3cm、均值为零的服从正态分布的随机误差。重复次数对角矩阵D = diag( [9,9,9,3,3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,3,3,3,3,3,3,3,3,3]) 。为了比较分析,采用最小二乘 ( LS) 、总体最小二乘 ( TLS) 和结构总体最小二乘 ( STLS) 三种方法计算。模拟的两套坐标系下的对应点坐标如表1所示,将计算得到的待估参数ξ^和单位权中误差列于表2。

从表2可以发现三种方法计算的参数估计完全相同,就参数估计而言,总体最小二乘的优势并没有体现出来。比较单位权中误差,可以发现STLS计算结果的单位中误差最小,计算结果精度最高。将TLS和STLS计算得到的系数矩阵误差改正矩阵列于表3。

从表3中可以发现,采用STLS方法计算,系数矩阵中不同位置的同一个元素可以得到相同的改正数,符号相反的项也能得到符号相反的改正数,且常数项的改正数为零,而TLS则不能。这也说明了为什么STLS计算的单位权中误差要小,计算结果精度更高。

4 结论

最小公倍数矩阵 篇4

关键词：坐标转换,迭代法,线性化,罗德里格矩阵,最小二乘法

0 引言

不同空间直角坐标系之间的转换问题在理论研究和实际计算中扮演着重要的角色[1]。常用的坐标转换模型有7参数Bursa-Wlof模型、Molodensky模型和武测模型[2]。通常旋转矩阵R由坐标轴之间的夹角θ、Φ、ψ表示,不仅表示繁琐,而且在参数求解时需要处理判断象限的问题,操作复杂,有一定的精度损失。罗德里格矩阵由3个独立的参数表示,它组成旋转矩阵在计算转换参数时,具有稳定性好、精度高和计算速度快等优点。

本文主要工作是在理论上推导了基于罗德里格矩阵的坐标转换模型,以及基于该模型的最小二乘迭代法坐标转换的严密公式。迭代法计算空间直角坐标转换参数的主要步骤:①确定初值;②迭代运算:线性化和粗差剔除;③精度评定。

1 基于罗德里格矩阵的坐标转换公式计算初值

一对点pi和qi的坐标关系可由旋转矩阵R和位移矢量T表示为[4]:

此处把两个坐标处理为同等长度基准,没有考虑尺度因子。旋转矩阵R可由3个旋转参数(坐标轴的夹角)表示,同样可由罗德里格矩阵3个独立参数a、b、c表示[3]。

反对称矩阵S由a、b、c构成的表达式为[4]

其中,a、b、c相互独立。R可由S构成罗德里格矩阵

其中,I是3阶单位矩阵。

反对称矩阵与罗德里格矩阵的性质有

基于上述理论,可以推导基于罗德里格矩阵的坐标转换模型。

由点对1和点对2分别按照(1)式构建方程组,做差消去位移矢量得

将(2)式、(3)式带入式(5)得

即

将方程组展开,把a、b、c提取出来,写成向量的形式。整理可得

该方程组中只有两个方程独立,要解出三个参数需要另外建立一个方程组。由点对1和点对3再建立方程组,同理可得

联立(8)、(9)式得[3]

求解a、b、c,结合(2)、(3)式得到旋转矩阵R的初值R0。R0带入(1)式解得位移矢量初值T0,此处以点集的质心坐标参与计算精度会更高。

2 线性化

旋转矩阵R一般由坐标轴之间的夹角θ、Φ、ψ表示为[5]

其中,θ、Φ、ψ分别是绕X、Y、Z轴旋转的角度。

在参数θ、Φ、ψ的求解以及R的线性化等过程中需考虑θ、Φ、ψ的象限判断问题,难以操作,精度损失较大[6]。如果用罗德里格独立参数a、b、c表示R,其线性化过程将十分简单。

由(3)式可知

将(2)式带入式(12)可得

对于任意对应的一组点,转换关系式为

这里的未知参数共有6个,即a、b、c、T1、T2、T3,将(14)式线性化得到误差方程如下

因此可解得

其中,

系数阵A的表达式为

其中,

常数项l=(l1l2l3)T,分别为

3 精度评定

由(15)、(16)式可以实现迭代计算,单位权中误差μ为[7,8]

直到计算出符合精度要求单位权中误差,即可得到最小的改变量Δx,并由此解算出参数a、b、c、T1、T2、T3的最终值。再根据(13)式即可求出旋转矩阵R。

4 算例

将十组实测点的三维坐标数据带入计算,如表1所示,首先基于罗德里格矩阵的转换模型计算出初值R0、T0,并结合(1)式将点集1转换得到P′=R0P+T0,总体转换精度则可表示为

将初值带入线性化方程进行迭代计算,同样可计算出每次迭代后的转换误差。

通过上述计算可以得到总体误差,见表2。

表2

可以看出,基于罗德里格矩阵的转换模型计算出的转换参数R0、T0具有较高的准确度,其转换误差达到了10-4。经过两次迭代后精度就达到了10-5,完全满足了坐标转换要求。

表1

5 总结

(1)基于罗德里格矩阵的最小二乘迭代法优缺点如下:

缺点:理论较为复杂,不易实现;

优点:精度灵活可靠、便于控制、计算速度快;考虑全面、稳定性好、可融合其它更多完善的理论和算法,具有很好的理论可拓展性,应用面广泛,理论深刻,具有很好的研究价值。

(2)该方法还有一些需要完善的地方:

1)确定初值的方法有很多,比如罗德里格矩阵模型、SVD法、四元组法等,什么样的方法才是最快速、准确的,需要进一步探讨。

2)在求解罗德里格矩阵3个独立参数时需要从点集中提取出3组点。提取方法有很多,哪种方法能避免粗差影响、精度最好,需要深入研究。本文采用随机提取的方法,不能很好地保证精度。更科学的办法是融合一些完善的采样算法,比如RANSAC算法,使得采样更科学,计算得到的初值精度更高。

本文推导了基于罗德里格矩阵3参数的空间直角坐标转换模型的严密公式、其线性化误差方程,以及最小二乘迭代计算公式。最后通过实测数据计算,验证了该理论的可行性。

参考文献

[1]秦世伟,谷川,潘国荣.任意旋转角坐标转换的简便模型[J].工程勘察,2009,(6):62～65.

[2]姚吉利.三维坐标转换参数直接计算的严密公式[J].测绘通报,2006,(5):7～10.

[3]原玉磊.三维激光扫描应用技术研究[D].郑州:解放军信息工程大学测绘学院,2009.

[4]姚吉利,韩保民,杨元喜.罗德里格矩阵在三维坐标转换严密解算中的应用[J].武汉大学学报(信息科学版),2006,31(12):1094～1097.

[5]黄浴,袁保宗.一种基于旋转矩阵单位四元组分解的运动估计算法[J].电子科学学刊,1996,18(4):337～343.

[6]张宏.布尔莎—沃尔夫转换模型的几何证明[J].测绘与空间地理信息,2006,29(2):46～51.

[7]隋立芬,宋力杰.误差理论与测量平差基础[M].北京:解放军出版社,2004.