判定矩阵

2024-09-30

判定矩阵（通用4篇）

判定矩阵篇1

矩阵理论是线性代数的核心内容, 也是处理实际问题的重要工具。可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位。有关可逆矩阵的内容对于初学者来说是一个难点, 下面我们将教学中有关可逆矩阵的判定方法作一些总结, 并给出几种常用的求逆矩阵的方法。

一、可逆矩阵的判定

线性代数有概念多、联系紧密、关系隐蔽的特点, 比如一个可逆矩阵的概念就有若干个等价的命题, 贯穿了整个教材的各章节内容。下面列出一些n阶矩阵A可逆的充分必要条件:

由此可见, 矩阵可逆的概念可以转化为行列式、矩阵的秩、向量组、方程组、特征值等方面的知识来判定, 所以我们要时常梳理、归纳知识前后的联系, 弄清楚一个概念在不同的场合的具体含义, 注重衔接、转换, 做到有机联系、融会贯通。

二、求逆矩阵的方法

1. 利用定义求逆矩阵。根据逆矩阵的定义, 对于n阶矩阵A, 如果有一个n阶矩阵B, 使

则称矩阵A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵, 简称逆阵, 记作B=A-1。这里E为n阶单位矩阵。

由此可知, 利用定义可以求抽象矩阵的逆矩阵, 当条件中有矩阵方程时, 通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出AB=E (或BA=E) 的形式, 从而可得A-1=B。

2. 利用伴随矩阵求逆矩阵。若det A≠0, 则矩阵A可逆, 且

其中A*为矩阵A的伴随阵。这种方法比较适用于阶数较低且伴随矩阵容易求出的情形。

3. 初等行 (列) 变换求逆矩阵。

这两种方法可以任意选择其一, 但要注意一旦选定用初等行变换来计算则单位矩阵要写在右边并且自始至终都要用初等行变换;同样选定用初等列变换则单位矩阵要写在下方并且自始至终都要用初等列变换。

4. 利用分块矩阵求逆矩阵。

用水平和铅直的虚线将矩阵A中的元素分割成若干个小块, 每个小块称为矩阵A的一个子块, 则矩阵A称为以这些子块为元素的分块矩阵。应特别注意:进行加、减、乘与转置运算时, 子块当作通常矩阵的元素对待, 作乘法运算时, 左分块矩阵列的分法必须与右分块矩阵行的分法一致。对于零元素特别多的矩阵, 可以考虑用分块矩阵求逆。特别地, 设A、B为可逆方阵, 则有

这几类分块矩阵的逆矩阵可以作为公式记忆, 在做题过程中直接利用。

利用以上四种方法都能求出可逆矩阵的逆矩阵, 当然还可以用待定系数法、解方程组法, 特征多项式法求逆矩阵, 但相对而言, 初等行变换法应用起来更方便, 更简单, 而且不容易出错, 所以我们在解题过程中一般采取初等行变换法求逆矩阵。

摘要：可逆矩阵在矩阵的理论和应用中都占有很重要的地位, 本文总结了可逆矩阵的一些判定方法, 并给出几种常用的求逆矩阵的方法。

关键词：逆矩阵的判定,伴随矩阵,初等变换,分块矩阵

参考文献

[1]同济大学数学数学系.工程数学线性代数[M].高等教育出版社, 2007.

[2]陈逢明.逆矩阵的求法及其在证券投资组合中的应用[J].福建商业高等专科学校学报, 2006 (5) :111-114.

[3]郭亚梅.可逆矩阵的几种实例分析[J].安阳工学院学报, 2006 (3) :55-59.

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[5]刘新文, 王雪松.可逆分块矩阵的逆矩阵的求法[J].衡阳师范学院学报, 2008, 29 (3) :29-31.

一类广义矩阵的性质及判定篇2

关键词：次对角线,正定阵,凸集

引言

在本文中, 用Rm×n表示m×n阶实矩阵, In=I表示n阶单位矩阵, Jn=J表示次对角线上的元素全为1, 其余元素全为0的n阶方阵, AT表示A的转置阵, Dn+表示n阶正对角阵集。

定义1设A= (aij) ∈Rm×n, 令bij=am-j+1, n-i+1, 则称n×m阶矩阵 (bij) 为A的次转置矩阵, 记为AS= (bij) 。若AS=A, 则称A为次对称矩阵。

由定义1易知[1]:

(1) (AS) S=A, (AB) S=BSAS, (A-1) S= (AS) -1, (AS) T= (AT) S;

(2) JS=J, JT=J, J-1=J, J2=I, JnASJm=ATJnATJm=AS。

定义2设D∈Dn+, 称A是广义次对称的, 如果A满足: (DA) S=DA。

记PD={A| (DA) S=DA, XSDAX>0;坌0≠X∈Rn×1}。若A∈PD, 则称广义次对称阵A是广义次正定的, 简称A是次对称的广义次正定阵。

由定义2知, A∈PD的充要条件是DA是次正定的。

主要结论:

在下文中, 若无特别说明, D∈Dn+。

1 关于A∈PD的几个性质性质1设A, B∈PD, 则

(1) c A∈PD, 坌c>0;

(3) t A+ (1-t) B∈PD, 坌t∈[0, 1], 因而PD是一凸集。

证明 (1) :由A, B∈PD, 有 (Dc A) S=c (DA) S=c DA=D (c A) ,

又XSD (c A) X=c (XSDAX) >0, 从而c A∈PD。

证明 (2) :由[D (A+B) ]S= (DA) S+ (DB) S=DA+DB=D (A+B) ,

又XSD (A+B) X=XSDAX+XSDBX>0, 从而A+B∈PD。

证明 (3) :由{D[t A+ (1-t) B]}S=D[t A+ (1-t) B],

又XSD[t A+ (1-t) B]X=t XSDAX+ (1-t) XSD-BX>0有, 从而t A+ (1-t) B∈PD, 即PD是一凸集。

为了说明性质2~4, 由 (1) , 若A是次对称的, 则有下面的结论:设A∈Rn×n, 且A是次对称的, 则下列条件等价:

(1) A次正定; (2) AT次正定; (3) AS次正定; (4) A-1次正定;

性质2 A∈PD圳AT∈P (D-1) S

证明:若AT∈P (D-1) S, 则A= (AT) T∈P ( ( (D-1) S) -1) S=PD,

若A∈PD, 为证AT∈P (D-1) S, 首先证明[ (D-1) SAT]S= (D-1) SAT。

因A∈PD, 有 (DA) S=DA,

两边取逆得 (D-1) S (A-1) S=[ (DA) S]-1= (DA) -1=A-1D-1,

两边再转置有 (D-1) T (A-1) T=[ (AS) T]-1[ (DS) T]-1,

因为D是正对角阵, 故 (D-1) T=D-1, [ (DS) T]-1= (DS) -1, 上式化为

D-1 (A-1) T=[ (AS) T]-1· (DS) -1

上式两边左乘 (AS) T, 右乘AT, 化为 (AS) T·D-1= (DS) -1AT, 从而

[ (D-1) SAT]S= (AT) SD-1= (AS) TD-1= (DS) -1AT= (D-1) SAT

其次, 因A∈PD, 故DA是次正定的。由结论2, 即DA的次对称性知, ATD=ATDT= (DA) T亦是次正定的。坌0≠X∈Rn×1, 有Y=D-1X≠0, 且有XS (D-1) SATX= (D-1X) SATD (D-1X) =YSATDY>0, 从而AT∈P (D-1) S。

性质3 A∈PD圳AS∈PD-1

证明:若AS∈PD-1, 则A= (AS) S∈P (D-1) -1=PD。

下证必要性。由性质2的证明, 有 (AS) TD-1= (DS) -1AT,

两边取转置得, (D-1) TAS=A[ (D-1) S]T, 此即D-1AS=A (D-1) S= (D-1AS) S。

又A∈PD, 故DA是次正定的。坌0≠X∈Rn×1, 有Y= (D-1) SX≠0, 且XSD-1ASX= (XSD-1ASX) S=XSA (D-1) SX=YSDAY>0, 其中第一个等号成立是因为XSD-1ASX是一阶的, 从而AS∈PD-1。

性质4A∈PD圳A-1∈PDS

证明:若A-1∈PDS, 则A= (A-1) -1∈P (DS) S=PD。

下证必要性。同样由性质2的证明知, (AS) TD-1= (DS) -1AT,

两边取逆得D[ (AS) T]-1= (AT) -1DS, 再转置得 (A-1) SDT= (DS) TA-1, 因为DT=D, (DS) T=DS, 故转置后的等式化为 (DSA-1) S= (A-1) SD=DSA-1。

令Y=DX, 由A-1∈PDS, 有DA是次正定的, 又由结论4, 即DA是次对称性可知, (DA) -1亦是次正定的。

这样XSDSA-1X=YSA-1D-1Y=YS (DA) -1Y>0, 从而A-1∈PDS。

2 关于A∈PD的三个充要条件

引理1[1]A为n阶次对称次正定阵的充要条件是:JA为n阶实对称正定阵。

定理1 A∈PD的充要条件是JDA是正定矩阵。

证明:由定义2, A∈PD当且仅当DA是次正定的。由引理1即证。

引理2[2]A, B都是n阶对称阵且B为正定的充要条件是:存在非奇异矩阵Q及可逆上三角矩阵R, 使 (1) QTBQ=I, (2) B=QTQ, (3) B=RTR。

定理2 A∈PD的充要条件是:存在n阶可逆矩阵P, 使PSDAP=J。

证明:A∈PD当且仅当JDA是正定的, 由引理2 (1) 知, 这等价于存在n阶可逆实矩阵P, 使PTJDAP=I, 即有JPTJDAP=JI=J, 由定义1 (2) 知JPTJ=PS, 代入前式即有PSDAP=J。

定理3 A∈PD的充要条件是:存在非奇异实矩阵B, 使DA=BSJB。

证明:A∈PD当且仅当JDA是正定的, 由引理2 (2) 知, 这等价于存在非奇异实矩阵B, 使JDA=BTB, 由J=J-1, 有DA=JBTB, 又J2=I, 故得DA= (JBTJ) JB=BSJB。

定理4 A∈PD的充要条件是:存在可逆上三角矩阵R, 使DA=RSJR。

证明:A∈PD等价于JDA是正定的, 由引理2 (3) 知, 这等价于存在可逆上三角矩阵R, 使JDA=RTR, 故有DA=JRTR= (JRTJ) JR=RSJR。

参考文献

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[2]袁晖坪.次正交矩阵与次对称矩阵[J].西南师范大学学报 (自然科学版) , 1998 (2) :147-151.

[3]刘建州, 谢清明.广义正定矩阵的Hadamard积和Kronecker积的一些性质[J].数学杂志, 1992 (2) :155-160.

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[6]曹莉莉.次Hermite阵的次正定性[J].西南师范大学学报 (自然科学版) , 1996 (3) :235-239.

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块广义严格对角占优矩阵的判定篇3

1定义及符号说明

2主要结果

定理2:设矩阵, 若A满足条件

则矩阵A为块广义严格对角占优矩阵。

往证矩阵A为块广义严格对角占优矩阵, 只须证明存在正对角矩阵X, 使AX为块严格对角占优矩阵。

由已知条件知存在, 使得

设矩阵, 则分两种情况讨论。

由 (ⅰ) 、 (ⅱ) 可得矩阵B为块严格对角占优矩阵, 从而矩阵A为块广义严格对角占优矩阵, 证毕。

参考文献

广义α-双对角占优矩阵的判定篇4

广义对角占优矩阵及α-双对角占优矩阵在矩阵理论和数值计算的研究领域起着非常重要的作用, 因此讨论这些特殊矩阵的判定条件及其性质有着重要的意义。文献[1,2,3]讨论了广义对角占优矩阵及α-双对角占优矩阵的判定条件, 文献[4,5,6,7,8,9,10]给出了非奇异H-矩阵的判定条件, 而这些条件大都是充分条件, 使得其实际使用受到一定的局限。本文在文献[9,10]的基础上给出了广义α-双对角占优矩阵的一个充分必要条件, 改进和推广了已有的结论。

设Cn×n表示n阶复方阵集合, 为讨论问题方便引入下列记号:设A= (aij) ∈Cn×n, 记N={1, 2, 3, …, n}, Ri (A) = $\sum_{t \neq i, t \in Ν}$ $| a_{i t} |, S_{i} (A) =$ $\sum_{t \neq i, t \in Ν}$ $| a_{t i} |$ ;对α∈ (0, 1) 。

N1={i∈N| 0<|aii|≤αRi (A) + (1-α) Si (A) };N′1={i∈N|0<|aii|<αRi (A) + (1-α) Si (A) }。

$Ν_{2} = {i \in Ν | | a_{i i} | > α R_{i} (A) + (1 - α) S_{i} (A)}$ ; $Ν_{2}^{´} = {i \in Ν | | a_{i i} | \geq α R_{i} (A) + (1 - α) S_{i} (A)}$ 。

$Ν_{0} = {i \in Ν | | a_{i i} | = α R_{i} (A) + (1 - α) S_{i} (A)}$ 。

定义1 设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) 使得|aii|≥αRi (A) + (1-α) Si (A) , 则称A为α-对角占优矩阵, 记为A∈D0 (α) 。若每个不等号严格成立, 则A为严格α-对角占优矩阵, 记A∈D (α) 。若存在正对角矩阵X, 使AX∈D (α) , 则称A为广义严格α-对角占优矩阵。A∈GD (α) 。

定义2 设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) 使得, 对∀i≠j (i, j∈N={1, 2, …, n})

|aii||ajj|≥[αRi (A) + (1-α) Si (A) ]×[αRj (A) + (1-α) Sj (A) ], 则称A为α-双对角占优矩阵, 记为A∈DD0 (α) 。若存在正对角矩阵X, 使AX∈DD0 (α) , 则称A为广义α-双对角占优矩阵, 记为A∈GDD0 (α) 。若A为不可约矩阵, 则A为不可约广义α-双对角占优矩阵, 记为A∈IGDD0 (α) 。

2 主要结论

定理1 设A= (aij) ∈Cn×n, N2≠∅ , α∈ (0, 1) 记 $δ_{i} = \frac{α R_{i} (B) + (1 - α) S_{i} (B)}{| b_{i i} |}$ , 若 $| b_{i i} | > α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (1 - δ_{j})] + (1 - α) S_{i} (B)$ , 对∀i∈N1 (B) , j∈N2 (B) 成立, 则A∈GDD0 (α) 的充分必要条件是存在正对角阵X, 使B=AX= (bij) ∈Cn×n满足

$\begin{array}{l} | b_{i i} | | b_{j j} | \geq \\ [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] \times \\ [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)] 。 \end{array}$

证明充分性对于∀i, j∈N1 (B) , i≠j。

$\begin{array}{l} 令 d_{i} = {| b_{i j} | - α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + \\ (1 - α) S_{i} (B)} / α \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | 。 \end{array}$

$\begin{array}{l} 由上式可得 ∶ | b_{i i} | | b_{j j} | = \\ [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (δ_{t} + d_{i})) + (1 - α) S_{i} (B)] \times \end{array}$

$[α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | (δ_{t} + d_{j})) + (1 - α) S_{j} (B)]$ ,

取 $d = \min_{i \in Ν_{1} (B)} d_{i}$ , 构造正对角阵 $X_{1} = d i a g {x_{i} | x_{i} = 1, i \in Ν_{1} (B) ； x_{i} = δ_{i} + d, i \in Ν_{2} (B)}$ ,

则B1=BX1= (b $_{i j}^{(1)}$ ) ∈Cn×n, 满足∀i, j∈N1 (B) , i≠j时, 若 $\sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | = 0 ‚ \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | = 0$ ,

$\begin{array}{l} | b_{i i}^{(1)} | \times | b_{j j}^{(1)} | = | b_{i i} | | b_{j j} | \geq [α \sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + (1 - α) S_{i} (B)] [α \sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{j t} | + (1 - α) S_{j} (B)] = \\ {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{i} (B)} \cdot {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{j} (B)} = [α R_{i} (B_{1}) + (1 - α) S_{i} (B_{1})] \cdot [α R_{j} (B_{1}) + (1 - α) S_{j} (B_{1})] 。 \end{array}$

若 $\sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | \neq 0, \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | \neq 0$ 。

$\begin{array}{l} | b_{i i}^{(1)} | | b_{j j}^{(1)} | = | b_{i i} | | b_{j j} | = \\ {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (δ_{t} + d_{i})] + (1 - α) S_{i} (B)} {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \\ \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | (δ_{t} + d_{j})] + (1 - α) S_{j} (B)} \geq \\ {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{i} (B)} {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \\ \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{j} (B)} = \\ [α R_{i} (B_{1}) + (1 - α) S_{i} (B_{1})] [α R_{j} (B_{1}) + (1 - α) S_{j} (B_{1})] 。 \end{array}$

当∀i, j∈N2 (B) , i≠j时,

|b $_{i i}^{(1)}$ ||b $_{j j}^{(1)}$ |=|bii| (δi+d) |bjj| (δj+d) =

(|bii|δi+|bii|d) (|bjj|δj+|bjj|d) >

$\begin{array}{l} {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B)} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B), t \neq i} | b_{i t} | (1 + d)] + (1 - α) S_{i} (B) (1 + d)} \times {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B)} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B), t \neq j} | b_{j t} | (1 + d)] + (1 - α) S_{j} (B) (1 + d)} > {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B)} | b_{i t} | + \\ \sum_{t \in Ν_{2} (B), t \neq i} | b_{i t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{i} (B) (δ_{i} + d)} \times {α [\sum_{t \in Ν_{1} (B)} | b_{j t} | + \end{array}$

$\sum_{t \in Ν_{2} (B), t \neq j} | b_{j t} | (δ_{t} + d)] + (1 - α) S_{j} (B) (δ_{j} + d)} =$ [αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ]×[αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ]。

综上所述:∀i, j∈N, i≠j, 有

|b $_{i i}^{(1)}$ ||b $_{j j}^{(1)}$ |≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj×

(B1) + (1-α) Sj (B1) ]成立。

B1=BX1=AXX1∈DD0 (α) , 于是A∈GDD0 (α) 。

必要性:因为A∈GDD0 (α) , 则存在正对角矩阵X, 使B=AX= (bij) ∈DD0 (α) ,

即满足|bii||bjj|≥[αRi (B) + (1-α) Si (B) ][αRj (B) + (1-α) Sj (B) ], 于是

$\begin{array}{l} | b_{i i} | | b_{j j} | \geq [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} |) + \\ (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \\ \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} |) + (1 - α) S_{j} (B)] \geq \end{array}$

$[α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)]$ 。

定理2:设A= (aij) ∈Cn×n不可约, α∈ (0, 1) , ∀i∈N′1 (B) , j∈N′2 (B) 。

$δ_{i} = \frac{α R_{i} (B) + (1 - α) S_{i} (B)}{| b_{i i} |}$ , 有 $| b_{i i} | > α [\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | (1 - δ_{j})] + (1 - α) S_{i} (B)$ , 则

A∈IGDD0 (α) 的充分必要条件是存在正对角阵X, 使B=AX= (bij) ∈Cn×n, 满足

$| b_{i i} | | b_{j j} | \geq [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)]$ ,

∀i, j∈N′1 (B) , i≠j, N2≠∅。

证明充分性:对于∀i, j∈N′1 (B) , i≠j, 当t∈N0 (B) 时, $δ_{i} = \frac{α R_{i} (B) + (1 - α) S_{i} (B)}{| b_{i i} |} = 1$ , $[α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)] = [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)]$ 。

令 $d_{i} = {| b_{i i} | - α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) - (1 - α) S_{i} (B)} / α \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} |$ 。

$\begin{array}{l} | b_{i i} | | b_{j j} | = {α [\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} | (δ_{t} + \\ d_{i})) + (1 - α) S_{i} (B)} {α [\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{j t} | (δ_{t} + d_{j})] + (1 - α) S_{j} (B)} 。 \end{array}$

取 $d = \min_{i \in Ν_{1}^{´} (B)} d_{i}$ 构造正对角矩阵X1=diag{xi|xi=1, i∈N′1 (B) ;xi=δi+d, i∈N′2 (B) }, 则B1=BX1= (b $_{i j}^{(1)}$ ) ∈Cn×n, 定理1的证明类似, 可知∀i, j∈N′1 (B) , i≠j时, 有|b $_{i i}^{(1)}$ ||b $_{j j}^{(1)}$ |≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ], 因为N2≠∅, 所以N′1 (B) ∪N2 (B) ∪N0 (B) ≠∅, ∀i, j∈N′1 (B) ∪N0 (B) , i≠j, 有|b $_{i i}^{(1)}$ ||b $_{j j}^{(1)}$ |≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ]。又因为A是不可约矩阵, 则B=AXX1亦为不可约矩阵。故B1∈IDD0 (α) , 由于XX1为正对角矩阵, 所以A∈IGDD0 (α) 。

必要性因为A∈IGDD0 (α) , 则存在正对角矩阵X, 使B=AX= (bij) ∈IDD0 (α) , |bii||bjj|≥[αRi (B) + (1-α) Si (B) ][αRj (B) + (1-α) ×Sj (B) ], ∀i, j∈N (B) , i≠j成立。当∀i, j∈N′1 (B) , i≠j时,

$\begin{array}{l} | b_{i i} | | b_{j j} | \geq [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} |) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{j t} |) + (1 - α) S_{j} (B)] \geq \\ [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq i} | b_{i t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{i t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{i} (B)] [α (\sum_{t \in Ν_{1}^{´} (B), t \neq j} | b_{j t} | + \sum_{t \in Ν_{2}^{´} (B)} | b_{j t} | δ_{t}) + (1 - α) S_{j} (B)] 。 \end{array}$

3 实例

摘要：设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) , 使i≠j (i, j∈N={1, 2, …, n}) , 有aiiajj>[αRi (A) + (1-α) Si (A) ]×[αRj (A) + (1-α) Sj (A) ], 则称A为严格α-双对角占优矩阵。首先推广严格α-双对角占优矩阵的概念到广义α-双对角占优矩阵;然后得到了判别广义α-双对角占优矩阵的一个充分必要条件, 改进和推广了已有的结论, 进一步丰富和完善了α-双对角占优矩阵的理论。最后举例说明了所给结果的优越性。

关键词：不可约矩阵,α-双对角占优矩阵,广义严格α-双对角占优矩阵

参考文献

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