矩阵对策（共12篇）
矩阵对策 篇1
0 引言
矩阵对策也叫二人零和对策, 其对策中有两个局中人, 每个局中人仅有有限个策略可供选择。每一局的对策均有确定的得失值 (赢得值) , 且同一局的两个局中人的得失值之和为零, 局中人双方针对对方所采取的策略相应地制定最有利于自己的应对策略, 双方激烈对抗。在矩阵对策中, 如果局中人的支付矩阵中有鞍点, 选择鞍点对策是最优的策略, 若无鞍点, 则需要选择混合策略, 混合策略是纯策略在空间上的概率分布。
1 矩阵对策中混合对策问题的数学模型
设局中人A分别以x1, x2, …, xm的概率混合使用他的m种策略, 设局中人B分别以y1, y2, …, yn的概率混合使用他的n种策略。
当A采用混合策略, B采用纯策略bj (j=1, 2, …, n) , A的赢得为, 依据最大最小原则, 有
其中C= (cij) m×n为局中人A的支付矩阵, vA为A的赢得值。可以将该问题转化为线性规划问题, 则局中人A、B的最优策略的数学模型为:
该线性规划问题的求解运用lingo非常方便。
2 lingo求解举例
甲乙两人用“石头, 剪刀, 布”游戏决定胜负, 双方规定:石头胜剪子, 剪子胜布, 布胜石头。问他们两人如何做, 才能使自己获胜的可能性更大。
分析:该问题是日常生活中常见的游戏, 通常在客观条件无法定胜负的时候采用。游戏中甲的支付函数如表1。
容易看出, 该问题是一个二人零和对策问题, 没有纯最优策略, 只能求相应的混合策略。
甲的支付矩阵, 依照上述模型, 求甲的最优策略的LINGO程序如下:
结果表明, 甲以1/3的概率出石头、剪刀、布中每种策略的一种, 其赢得值为0, 用同样的方法求乙的最优策略可以得出同样的结论。这个结果说明, 在“石头、剪刀、布”游戏中, 如果不考虑参与者的习惯、互相了解程度等其他因素, 游戏是绝对公平的。
3 结束语
运用lingo求解矩阵对策中混合对策问题非常方便。不同的矩阵对策问题只是支付矩阵不同, 只改变支付矩阵即可求解。另外, 无论矩阵对策有无鞍点, 都可以用线性规划的方法, 运用lingo软件求解。
参考文献
[1]曾庆红, 杨桥艳.基于LINGO软件的数学规划模型求解[J].保山学院学报, 2010 (02) .
[2]钱业洪.矩阵对策混合策略解法概述[J].数学学习与研究, 20113 (5) .
[3]白国仲, 朱小琨.求解矩阵对策的直接线性规划法[J].武汉大学学报 (理学版) , 2010 (10) .
矩阵对策 篇2
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A.Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1,..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
L2.闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。接着理解矩阵。
上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述。”
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by)= aT(x)+ bT(y)，那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
“矩阵”缘何变“蛛网” 篇3
作为明悦集团全新事业部的新任总经理，一向踌躇满志的沈溪澄如今却面临着空前的压力和困惑。
2009年2月的一天下午，明悦集团广东分公司和上海分公司的总经理一起找到了集团董事长钱若思，这简直就是一次公开发难，剑锋直指沈溪澄领导的华悦事业部。
“所谓的新事业部不过是新瓶装旧酒，用新品牌来卖老产品。这么做等于自己人和自己人竞争。”
“华悦这个新品牌走的是加盟和网店渠道，和你们的国美、苏宁渠道没有冲突。”钱若思回答。
“但卖的是同样的产品，公司居然没有和我们商量就这么做，实在令人寒心。”广东分公司总经理毫不客气地说。长期以来，广东就是各地方子公司的销售冠军，广东分公司的经理一贯财大气粗，钱若思不免被噎住一口气。
谈话不欢而散，但这还不过是开始，紧接着各地方分公司的不配合与刁难纷至沓来，就连财务、人力、IT等职能部门也处处与沈溪澄作对，新事业部的业务开拓一时举步维艰。
都是“矩阵式管理”惹的祸!钱若思原本希望通过他这个新事业部来“削藩”，但是令他没想到这种黏稠的阻力竟然这么大。所谓的“矩阵”简直就像蛛网一般捆绑着，他越是用力，就越是收紧。
沈溪澄过去在MBA课程中学过，矩阵式管理在西方成熟企业中十分常见，可以让企业更有效率、更得心应手地利用各种资源。但是在这家中国公司里，矩阵式管理却成了一桶糨糊，现在想变革一下，都无比艰难。
半熟的“矩阵式管理”
沈溪澄原本担任一家民营日化企业的营销副总经理，两年前因工作关系认识了钱若思。几次沟通，二人相谈甚欢，尤其是沈溪澄对于新兴渠道营销建设的见解，给钱若思留下了深刻的印象。不久后，在一次企业论坛上二人再度相遇，年近花甲、在商场厮杀半生的钱若思向小老弟倾吐了自己对公司现状的不满和无奈……
明悦集团是国内一家著名的厨电类产品制造公司，主要生产橱柜、抽油烟机、电热水器等厨房用品，品牌知名度和销量均位列国内同类企业前茅，2008年的销售额约为10亿元人民币。
早在多年前，明悦集团就开始实行矩阵式管理，公司在纵向层面按照产品线分为电热水器、抽油烟机、橱柜和消毒柜四大事业部，将全国20多个省市划分为华北、华东、华南、华西和华中五大区，事业部实行总经理负责制，五大分公司也分设总经理。按规定，分公司总经理每月需要向各事业部的总经理汇报工作进展情况，事业部总经理还分别向各地区派驻“大区经理”，以直接向集团总部汇报各地的业绩情况。另一方面，集团总部也设有财务部、人力资源部、品牌运营部和lT部四个职能部门，区域分公司的相关职能部门成员需要各自向总公司的职能部门负责人定期汇报情况。
按照钱若思最初的构想，这种纵横结合的管理架构应该有助于实现组织资源效用的最大化。然而，施行的结果却恰恰相反。
事实上，明悦既有的销售和售后服务资源一直以来掌握在各地分公司总经理手上，至今实行着“承包制”——只要各地分公司每年完成总部的销售指标，剩余的资源分配都是分公司经理说了算。而四大事业部的总经理往各地方分公司派驻的所谓“大区经理”，由于在地方上没有话语权，几乎被完全架空，对各地分公司的各种情况难以置喙。各地分公司总经理如同土皇帝，中央管理系统常常也奈何他们不得。
2008年以来，总部与分公司之间“权力倒置”的问题已经十分严重。有不少事业部的总经理向钱若思投诉，大家都反映明悦集团实际上是“天大地大没有分公司总经理的权力大”。集团的HR总监王朋也多次向钱若思表示：“集团的人力资源部成立快2年了，但许多制度和政策根本推行不下去，分公司的人力资源部经理根本就不听我的。总部设计的招聘流程，培训体系，他们一概不用。整个分公司的绩效考核说到底是分公司的总经理一个人说了算。这样下去，管理混乱不说，公司的业务顶多维持在现有水平，很难再往前发展。”
在集团各职能部门总监的倡议下，为了统一整个公司制度，形成统一的企业文化，最大效率地调配资源，钱若思开始有意识地将各分公司的权力收归总部。然而，这种意图很快就被“识破”。“诸侯”们纷纷以销售业绩作为筹码向钱若思施压，“收权运动”被迫搁置下来。
“没有监督的权力不仅产生腐败，而且这种权力会让企业不能正常地发展。”当钱若思明白这一道理的时候，距离明悦第一次的“矩阵式”组织调整已有3年时间了。
一拍即合的变革构想
时光荏苒。钱若思注意到，近年来蓬勃发展的电子商务正在成为全新的渠道，宝洁等知名跨国公司也已经开始尝试把“渠道”作为“矩阵式”架构调整的第三条划分维度。“这说明渠道的力量在未来会越来越强大。也许到了明悦打破‘总部’与‘地方’权力僵局的时候了。”钱若思心想。
为此，他几欲试水电子商务，希望通过新的渠道力量来实现“削藩”。但以往的销售模式仍在无形中成为了渠道转型的障碍——想要各地分公司总经理乖乖交出经销权、支持明悦从线下往线上转型，显然是不可能的。
钱若思急需找到这样一名“急先锋”，一方面开拓新的业务空间，同时也能把明悦的控制权收归总部。而沈溪澄的出现，让钱若思看到一丝转机。
以此同时，与钱若思的促膝对谈，也令沈溪澄心潮起伏。平心而论，自己目前供职的日化公司无论在销售额还是知名度上都无法与明悦集团相提并论。而多年淫浸于市场拓展和产品销售，沈溪澄不仅经验丰富，而且很有想法。他不甘于平庸，一直希望能找到更广阔的舞台施展才华，搞电子商务恰恰也是自己的兴趣所在。反复权衡后，沈溪澄接受了钱若思的邀请。
“放心，我一定给你充分尊重和授权，让你放开手脚干事业。你先在总裁助理的位子上干一段时间，充分了解公司情况再作定夺。但你这个人才我要定了。”2008年11月，沈溪澄低调赴任一直空缺的总裁助理之职。经过两个月的观察，沈溪澄意识到，要想不成为傀儡，必须把销售权和销售渠道掌握在自己手中。
思前想后，沈溪澄向钱若思提出了自己的“改革”思路：重新注册一个品牌“华悦”，脱离传统的国美、苏宁式渠道，不再采用各地分公司的销售渠道，而是邀请经销商加盟。经销商加盟之后，首先在自己所在的城市开设实体专营店，
出售华悦牌的厨电和橱柜产品。同时这些经销商也在淘宝、百度等B2C网站开设网店，推广华悦品牌的产品。在此基础上，改变经销商的销售提成比例：通过不同的方法卖出产品，经销商获得的提成比例不同，在经销商实体店或网店出售产品，经销商获得全额提成；通过网店异地出售产品，当地送货的经销商和拥有网店的经销商各提成一半。按照沈溪澄的思路，完全依靠明悦公司一己之力建设新渠道的投入太大，风险过高，而采用经销商加盟，卖出产品给经销商提成、线上线下一起抓的方法，能够四两拨千斤，快速把渠道做大。
这些新颖的想法得到了钱若思的赞同。2009年春节后不久，他便召开内部中层以上干部会议宣布实行“改革”。此外，公司董事会决定建立“华悦事业部”，任命沈溪澄为事业部总经理。按照沈溪澄的规划，在渠道方面，“华悦”这个新品牌将两条腿走路——实行实体店的营销，同时大力推广电子商务。在资金投入方面，华悦事业部也获得了总部约8 000万元预算的投入支持。
新事业部遭遇下马威
然而，钱若思话音刚落就掀起了千层浪。明悦集团各地分公司的总经理们得知这一消息纷纷表示不赞同，于是就出现了开篇公开叫板的那一幕。
对于各地分公司总经理的反应，沈溪澄起初也没想太多，但很快，他就发现问题不断冒出来。过去，为了节省费用，总部所有人员出差都在当地分公司办公。新事业部成立之后，他派往广东、上海等地进行经销商加盟工作的销售员们常常抱怨说，他们受到地方分公司的刁难，甚至出现了不给华悦事业部销售员提供办公桌的情况；需要用车的时候也常常遭到“现在没有车”之类的拒绝。
沈溪澄意识到，这是地方分公司经理们的无声抗议，这种抗议既微妙又致命，搞不好会毁坏全盘计划。这些分公司都是些水泼不进的独立王国，这一现状几乎已经成为了明悦集团的公司生态，况且，在这些“小事”上钱若思也不会直接插手。左思右想之下，沈溪澄找到钱若思，对他提出了一个新建议。
“老板，对于华悦事业部的运作，有一个地方可能需要作出调整。”
“哪个方面呢?”
“按照原计划，我们要建立一个第三方的售后服务公司，对华悦品牌的所有产品进行售后服务。但我建议这一步暂缓，把华悦产品的售后服务先交给各地方分公司。由公司总部与分公司定期结算费用。”
沉默了半晌之后，钱若思说：“这是一个权宜之计，可以让地方分公司更配合你的工作。不过从长远来讲，还是要成立一个独立的售后服务公司，把明悦和华悦的售后服务全部接收过来。”
“是的，战略没变，战术上可以小小迂回一下。”
不久，公司就公布了把华悦旗下所有产品售后服务交给各地分公司的决定，由公司财务部每季度与各地方分公司结算服务费用。很快，沈溪澄的人马在地方办公室里得到了“平等”的待遇。
并不弱势的职能部门
刚刚摆平地方分公司，沈溪澄很快又发现来自原有矩阵结构的另一个维度——公司总部职能部门的挑战。
明悦总部有四个职能部门——财务部、人力资源部、品牌运营部和IT部。虽然每个事业部都有一定的人事、财务和品牌建设权，但最终仍要通过总部职能部门的允许和授权才能进行。沈溪澄发现，四个职能部门的头头都非常强势，对各个事业部的干涉力度很大。但凡召开任何相关会议，都必须有这些部门的人到场。矛盾很快就出现了。
对于沈溪澄来说，新品牌立足于电子商务，首先就需要建立自己的网站。沈溪澄原本打算将网站外包给一个和自己一直有业务来往的IT公司。但很快，他就接到了IT部部长陈博的电话。
“沈总，网站的建设，包括购买服务器，都将由IT部来帮您完成。有什么要求尽管沟通。”
“我这里已经有了个意向公司，陈部长看看是否可以?”
“按照规定，程序上还是要走招投标的流程。”
沈溪澄暗暗叫苦。他和那家IT公司以前有过合作，业务做得挺不错，如果将这笔业务交给那家公司，可以大大方便工作。但陈博坚持要走招投标的程序，估计他已经物色了中意的候选人了。
果然，最终陈博胜出。中标的那家公司报价最低，但仅仅比沈溪澄朋友的公司低了2000元。尽管从表面上看，最低价符合公司利益，但后来沈溪澄却听说，中标公司与陈博关系密切，陈博个人在里面有股份。
事实上，在网站建设的过程中，中标公司并不太理会沈溪澄，倒是常常征求IT部的意见。沈溪澄提出的很多想法也没有在网站中得到体现，对此沈溪澄十分恼火，陈博怎么可以这么目中无人?
另一方面，品牌运营部也和沈溪澄龃龉不断。沈溪澄想按照自己的思路进行品牌推广和运营，却屡屡遭到品牌运营部部长张志的反对。张志在公司已经工作了10年，一直从事品牌建设工作。过去明悦集团和中央电视台合作过一个收视率较高的平民选秀节目，明悦聘请选秀出来的草根明星给公司做广告，效果不错。对此，张志一直深以为傲，并打算在未来几年内沿用这种营销方法。但沈溪澄认为，华悦的定位和明悦不同，是一款定位于电子商务、集中于年轻人群的产品。年轻人对央视那种“比较土”的选秀节目并不感兴趣，因此，沈溪澄想把市场费用集中投放在能吸引年轻人的购物、门户和视频网站上。
为此，在一次整合传播方案的讨论会上，沈溪澄提出，降低华悦在传统电视和报纸上的曝光率，提高和各门户网站的合作，可以考虑在新浪这样的门户网站上面植入视频广告；在土豆网等视频网站上发布一些点击广告。话音未落，张志立刻表示反对，他坚持沿用以前的发布渠道——央视选秀节目，同时请选秀明星担任主持人。在张志看来，沈溪澄不懂得考虑市场费用的投入产出，纸上谈兵，一味追求“时髦”；而在沈溪澄看来，张志倚老卖老，不能容忍新鲜事物。两人在会上一番争论，不欢而散，华悦的品牌建设方案也因此被“暂时”搁置了。
不顺畅的“内包”制
烦恼远没有结束。除了地方子公司和总部职能部门，来自平行的各事业部的压力也接踵而至。
从明悦集团的矩阵式管理效果看，事业部这一维度始终处于比较尴尬的位置，并没有联动生产、销售、售后、产品管理等实际功能。与此同时，新成立的华悦事业部虽然与四大传统事业部平级，却又不得不与它们时时发生关系——另外几个事业部等于是华悦事业部的“代工厂”，它们生产的产品贴上“华悦”的牌子后，再以内部价卖给华悦事业部。
与在市面上销售的价格相比，各个事业部给华悦事业部供货的利润很低。而各事业部每年是按照利润来进行业绩考核的。也就是说，给华悦事业部供货虽然会增加各个
事业部的销售量，但由于利润率低，各事业部并没有很强的动力进行这样的内部供货。更何况，华悦相当于是一个和它们竞争的品牌，一旦华悦品牌的销量上去，明悦各产品的市场空间会受到一定程度的挤压，这种局面显然是各事业部的总经理最不愿看到的。
很快，沈溪澄就感受到了这种“不情愿”和“不配合”。一次，他接到了本部门销售经理的电话，“沈总，热水器事业部只肯给我们供应去年和前年的货品。很多都是积压在仓库超过半年的货，今年的新款产品他们不肯供应，说是没货。”
沈溪澄只好亲自给热水器事业部总经理黄韬打电话。“黄总，你看我们网店快要上线了，实体加盟店也都筹备得差不多了。能不能给我匀几款最新的即热式热水器产品?”
“真不好意思啊沈总，新款的即热式热水器卖得很好，国美、苏宁我们都供不上来了。你这里先用着仓库的存货，等生产线稍微松一点之后再给你贴牌生产好吧?”
“黄总，我们新成立的部门不容易。你能不能专持一下?”
“沈总，新的事业部我当然大力支持，但也要在能力范围之内嘛!现在你的要求超出了我的能力范围，我没法答应你。”
“代工厂”没有动力供货，即便供货，也不供最新最好的货，这让沈溪澄着实难以容忍。万般无奈之下，他再次找到钱若思。
“钱总，各个事业部作为华悦的代工厂，这一思路看似可行，但最大的问题在于由于内部价偏低，事业部又是以利润来考核业绩的，所以大家没有动力给我供货。”
“那你有什么好办法?”
“我想去外面找一家厨电工厂给华悦代工，价格比内部代工价更便宜，而且也更好管理。”
“目前不可行。我们有现成的生产资源，技术、生产线都是现成的，外包给外面的工厂太说不过去了。”
“可是各事业部不太配合……”
“小沈啊，没有什么事情是一帆风顺的，否则我也不会请你这种人才来做这件事了。你要多和各部门老总沟通、平衡，让他们配合你。”
地方分公司、总部各职能部门、各事业部……沈溪澄感到，每个维度都得罪不起、摆脱不了。几番拉锯战下来，沈溪澄深感疲惫，彷徨之际，他找到明悦集团的财务总监易平川沟通。
易平川不仅是整个集团公司的财务总监，同时也兼任华悦事业部的财务负责人。在沈溪澄看来，好歹算半个“自己人”，而且易平川在公司是元老级人物，对各个层面的人都说得上话，或许能通过易平川在内部斡旋平衡，为自己争取更多的主动权。易平川倒也爽快，他直接告诉沈溪澄，这个公司就是这样，地方上诸侯割据，奈何不得；中央系统里面各职能部门和事业部之间互相牵制，既有像沈溪澄这样有业务能力、想做事情的人，也有老板的亲信或心腹。
“老板对你的授权算是最大了，你的事业部也是所有事业部中最独特的一个。在这样一个管理体制中，你只能学会妥协、容忍、中庸，同时完成业绩指标，这样就够了。”易平川告诫说。
矩阵对策 篇4
关键词：围标,矩阵对策,虚拟参与人,报价区间
0引言
长期以来, 由于市场环境不完善, 围标现象一直存在于国内建设工程市场, 导致投标人或主动或被动地处于围与被围的市场困局中。在这种不完全竞争条件下, 部分围标人以其灵活的手段和雄厚的资金长期占据市场主动权;与此相比, 大部分投标人由于种种条件的限制, 往往在与其竞争时落于下风。那么, 投标人有没有一种智慧的方法, 来突出重围以破解其所面临的市场困境呢?运用对策论中矩阵对策原理或许能给那些仍处于“围城”中的投标人带来一点有益的启示。
1矩阵对策原理
矩阵对策原理简而言之就是劣中选优, 以不变应万变, 将局中人的不利因素降低到最小程度。投标人在遇到围标情况时, 可把围标方看成虚拟参与人, 这时, 局中人为投标人I和围标方II。局中人之间报价竞争, 实际上就是连续对策问题。但在实际工作中, 可以将拟定的报价范围每隔一定区间, 适当划分为若干个方案, 于是连续对策变成了非连续对策。设投标人I有m个纯策略α1, α2, ……, αm, 围标方I有n个纯策略β1, β2, ……, βn, 投标人I和围标方II的策略集分别为:S1={α1, ……αm}, S2={β1, ……βn}。
当投标人I选定纯策略αi和围标方II选定纯策略βj后, 就形成了一个纯局势 (αi, βj) , 这样的纯局势共有m×n个。对任一纯局势 (αi, βj) , 记投标人I赢得值 (或失分值) 为αij, 则称 (1) 式为投标人I赢得矩阵, 亦称矩阵对策模型[1]。
2对策模型设定
2.1相关定义
2.1.1投标最高限价设定为1, 所有报价用投标限价为基数的相对数表示;
2.1.2投标人报价处于[a, 1]时为有效报价, 0
2.1.3采用无标底评标法, 名义投标人平均报价按下浮系数计算评标基准价;
2.1.4定义以下变量, n:名义投标人数量;xi:投标人I报价;Zj:围标方IIn-1个成员平均报价;fk:下浮系数;Hk:所有名义投标人平均报价按下浮系数fk计算的评标基准价;Pij:报价偏离率;lij:扣分系数。
2.2矩阵对策模型
2.2.1评标基准价
2.2.2报价偏离率
2.2.3根据报价偏离率, 可计算投标人I在各种报价水平下的报价扣分矩阵:
根据 (2) 式, 投标人I报价xi和围标方II平均报价Zj形成了一个纯局势 (xi, Zj) , 将各种可能扣分结果列成m×n阶矩阵, 就形成了投标人I的报价扣分矩阵。设, 函数Pij=F (Zj) 在[Zmin, Zmax]上连续, 在[Zmin, Zmax]内可导。由于在[Zmin, Zmax]内, , 函数F (Zj) 在[Zmin, Zmax]上单调递减。从而证明对于投标人I每一报价xi, 扣分最大值在Zj的两个端点得到。
2.3决策原则对策的策略是:在报价扣分矩阵每一行元素中, 找出一个绝对值最大的元素, 然后将这些元素排成一个列矩阵, 再从该列矩阵中选出绝对值最小的元素, 设这个最小的元素为
, 这个元素对应的行即为投标人I的最佳报价。
3参数估计
3.1围标方II平均报价区间上限的估计
使用矩阵对策模型需要对围标方II平均报价Zj区间范围做出判断, 为估计区间上限不妨设投标人I报价xi≥Zj, 可证明:
函数H (xi) 在[Zj, 1]上连续, 在 (Zj, 1) 内可导。已知在一般条件下n≥3, fk≤1, n-2fk>0, 所以在 (Zj, 1) 内, , 函数H (xi) 在[Zj, 1]上单调递增, 函数最小值在xi=Zj取到, 。由 (3) 式可得:, 从而, 其中l>>l<, 分别为[Hk, 1]和[a, Hk]上的扣分系数;同理, 若xi
如果理性决策是投标人I和围标方II双方共同知识, 以上结论说明投标人I应避免其报价xi≥Zj, 因为投标人I知道围标方II只要安排某一成员报价等于平均报价Zj, 就能保证投标人I在xi≥Zj情况下扣分高于围标方II, 从而杜绝投标人I在此情况下的中标机会;相反, 投标人I应尽量使其报价xi
假设投标人I和围标方II的成本c均服从[0, 1]区间上的均匀分布, 双方报价分别为其成本c的严格递增可微函数G (c) , 可近似认为投标人I在低价中标原则下的期望利润为[3]-[4]:
其中是G的逆函数, 将 (5) 式代入 (4) 式, 得:
由于=ci, (6) 式最大化一阶条件为:
解 (7) 式得:
围标方II对投标人I报价xi的期望, 其中E (ci) 为围标方II对投标人I成本ci的期望, 故围标方II平均报价区间上限近似为
3.2围标方II平均报价区间下限的估计为确保中标, 围标方II理论上应使其k个成员报价分别等于按k个不同系数fk下浮后计算的评标基准价Hk。虽然不能完全做到这一点, 但由于对局势具有较大控制力, 围标方II平均报价Zj按k个不同系数fk下浮后得到的报价Zjfk仍将接近于评标基准价Hk, 故其可安排成员报价等于Zjfk以作为评标基准价Hk的近似。因此不妨设围标方II有k个成员报价Zjfk=Hk, 平均报价Zj满足下式:
其中Qj∈[Qmin, Qmax]为围标方II剩余n-1-k个成员平均报价, 由 (8) 式得:
由 (9) 式得, 其中。由于区域D:a≤xi≤1, Qmin≤Qj≤Qmax内部没有点 (xi, Qj) 使得同时成立, 函数Z (xi, Qj) 不存在驻点, 最小值在边界点 (a, Qmin) 取得, 代入 (9) 式得:。
由于围标方II知道:如果投标人I报价xi≥Zj, 那么只要安排某一成员报价等于其平均报价Zj, 就能使得投标人I没有胜出机会, 所以围标方II投标时的合理做法是安排某一成员报价等于平均报价Zj, 以应对xi≥Zj这种情况;同时, 围标方II也知道:xi
由 (10) 式可知, 虽然围标方II占优报价策略为Zj≤xi, 但其并不能保证这种策略一定实现, 故为了应对xi
4案例分析
本例根据某项目实际投标情况进行模拟, 此项目主要投标情况如下: (1) 设投标最高限价1, 有效报价区间规定为最高限价的[0.7, 1]; (2) 采用无标底评标法, 下浮系数fk={0.95, 0.96, 0.97, 0.98, 0.99, 1}; (3) 已知标的物在一般水平下的成本估价约为最高限价的0.5; (4) 名义投标人数量n=14, 市场出现围标方买断除投标人I外的投标人。
由已知条件得围标方II平均报价区间上限, 平均报价区间下限。已经证明扣分最大值在Zj两个端点得到, 那么只需在扣分矩阵A中考虑Zmin=0.7363和Zmax=0.75。投标人I报价xi, 从0.7开始, 每隔0.05%取一次值, 一直取到0.75。代入扣分矩阵, 得投标人I对应不同下浮系数fk的报价xi。围标方II开标报价和投标人I模拟报价分别见表1和表2。
从表2可以看出, 投标人I对应不同下浮系数确定的模拟报价与评标基准价十分接近, 如应用于实际投标, 所有模拟报价在不同下浮情况下都将排名第一, 充分说明了此种报价决策手段的有效性。
5结语
本文提出的报价决策方法依赖于投标人对市场成本的有效估计, 当市场成本估计出现较大偏差时, 会导致对围标方平均报价区间估计的偏离, 影响矩阵对策报价方法的有效使用, 这就要求投标人要尽可能及时研究掌握市场成本动态, 以发挥模型最大功用。退一步来说, 目前国内部分建设工程市场推出诚信排名体系, 诚信分在评标总分中占一定权重。就算投标人对围标方平均报价估计有所偏差, 导致模型最后报价结果无法达到最优, 但只要通过该模型将偏离控制在一定范围之内, 投标人仍可以通过诚信分予以弥补, 从而加大在围标局势下的中标可能性。
参考文献
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[4]埃尔玛·沃夫斯岱特.高级微观经济学——产业组织理论、拍卖和激励理论[M].上海:上海财经大学出版社, 2003.
可逆矩阵教案 篇5
★ 教学内容：
1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。
★ 教学目的：
通过本节的学习，使学生
1.理解可逆矩阵的概念；
2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：
本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。可逆矩阵的概念； 可逆矩阵的判定；
利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 可逆矩阵的性质。
★ 教学设计：
一
可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得ABBAE则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。
3.可逆矩阵的例子：
（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A11010，B，则A可逆； 1111100（3）例3 对角矩阵A020可逆；
003111110（4）例4 A011，B011，则A可逆。
0010014.可逆矩阵的特点：
（1）可逆矩阵A都是方阵；
（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；
1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则ABEAB。二
可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆
1.方阵不可逆的例子：
11111
例5 A不可逆；
00
例6 A12不可逆； 242.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆
（1）引入转置伴随矩阵
1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论
ai1As1ai2As2D,is
(i1,2,n,，)ainAsn0,isD,jt(j1,2,anjAnt0,jtA21A22A2nAn1AAn20Ann00A0,n)； a1jA1ta2jA2t
2）写成矩阵乘法的形式有：
a11a21an1a12a22an2a1nA11a2nA12annA1n00AE A
3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A(aij)nn的行列式中aij的代数余子式，则
A11A*A12A1n称为A的转置伴随矩阵。
（2）转置伴随矩阵求逆：
1）AAAE； *A21A22A2nAn1An2 Ann
2）定理1.4.1 A可逆的充分必要条件是A0（或A非奇异），且
A11*A； A
3）例7 判断矩阵A12是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。35223
4）例8 设A110，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
121三
可逆矩阵的性质
1.性质1(A1)1A；
2.性质2(AB)1B1A1；
3.性质3(A)1(A1)；
4.性质4(kA)
5.性质5 A1111A； k1； An1
6.性质6 AA
7.(AB)1*；
A1B1。
11，B3，求(2BA)。2
例9 设A，B均为三阶方阵，且A四
可逆的应用——解矩阵方程
矩阵型组织人才策略 篇6
如果你想跳槽到一个企业，你必然希望了解它的组织结构，从上下左右，看看你自己的位置、职责、工作关系，预测自己在这样一个企业里，有什么发展空间。
在一个组织中的发展过程，一个组织对人才的培养过程，也是一个人的成长过程。
一个组织的变革过程，也是对人的需要的变革过程。
组织战略，影响人才战略。
杜裴然，曾就职于咨询巨头麦肯锡的职业经理人，她的工作经历曾涉及采购、销售、供应链、管理等多领域。正是这样多元化的咨询背景，让西门子聘任其为可持续发展官，直接参与集团内部跨业务单元，多部门的管理，确保获得可持续发展的优势。
事实上，她是西门子160多年历史中第一位进入西门子管理委员会的女性。
至此，选择什么样的组织，决定了你的职业发展路径。
组织变革——从“大佬”+“兄弟”到“各路群英荟萃”
组织结构的变革能否实施有效，一个关键的影响因素，就是人。每种架构都需要不同的人。一个组织结构图可以按照公司的战略豪情挥洒，一张纸就画出来了。但每每想到要开始实施了，老总总开始蹙眉。人呢？然后不得不分步实施，人力资源部便先得令，急急地去四处撒网，急招！××职位。
图1是没有变革前的公司组织结构图。这是一个相对扁平化的组织，管理层次少，管理幅度大。这种组织架构灵活，富有柔性，是公司创业初期形成的模式，总裁、副总裁，几个股东，带着一帮兄弟，就是图里的华东、华北、华南……一些区域的销售经理去市场里打拼。总体来讲，基本属于直线管理的方式，几个总裁也没有明确分工，直接领导各经理，直接决策。
但是现在公司开始具备一定的规模、客户、品牌，以及长期发展的方向了，创业初期形成的组织模式已经不适应了。因此，要做一个组织变革，以适应未来的发展需要。于是，产生了这张变革后的组织结构设计图，如图2所示。
这是一个新的矩阵式的集团组织结构图。各大区负责人，东北、华北、华东区等，不再只是简单地各自面向总裁进行直接汇报—决策，而是有各区域的定位和责任分工，也有集团总部的各机构的定位和责任分工，项目部的新品研发、推广，市场营销与客户服务，各专业职能中心，人力资源、财务等。
这个组织方案实施，面临的两个关键问题。
在新的这个矩阵集团组织里，和之前的直线管理的模式的一个核心差别，就是跨部门的协作职责多了。对原来的核心人员，如各销售负责人，独立活动、独立决策的方式，要变成和多个线条的部门合作，发挥他们的专业作用，支持区域销售、区域平台的建设。
而之前的各区域销售经理，都是各方诸侯，组织变革的最大阻碍就是这些封疆大吏的管理思维，要有团队协作意识和流程管理意识。关于这一点，在后面的梅奥案例里，会进一步说明。这里还涉及一个问题，一个跨国际、跨区域的矩阵型集团，是怎么建立这张组织的人才策略和行为考核评价的？
公司在目前的总裁直接管理、决策的直线模式下，管理决策快，对市场应变性好，但慢慢地没有积累形成清晰的工作流程，所以业务流程不清晰、不规范，影响公司的运行效率。图3是对公司员工的一项调研，可以看出他们日常的工作状态。
还有一个问题，就是人才。扩大上升到新的矩阵型集团，对人员的要求。主要集中在三类人。
第一类是，市场人员兼创业元老。人员结构单一、思维经验同质。
目前公司的核心人员比较单一，都是各区域的销售经理，公司的主要活动也是以做市场为主。销售经理们，都是和公司一起起家做业务的，年龄、工作阅历、素质、学历等等，都很接近。对新组织的要求，大家的视野、认识都跟不上，都没有其他企业的经验，思维同质。在讨论新的组织工作流程时，总是不自觉地陷于原有业务模式的影响。
另一类是职能人员。
公司的一些专业职能一直缺乏，人才匮乏，基本是没有专业和富有经验的人员，如HR、财务……这极大影响这个组织架构中的相关部门能否发挥作用。
第三类是岗位规划上的核心高层人员、创始人的重新定位、职责分工。
一方面，这个高层班子，需要把原来的没有明确的责任分工，按照职位明确职责与授权。总裁主要是开拓市场，需要增加战略规划的时间和责任；两个副总裁，需要增加内部运营的能力。
这是一个很大的人事变革。也是影响这个组织效率的一个重要阻碍点。
另一方面，适当引入职业经理人，有经验、有专业能力的人。
另外，公司目前的决策机制不健全，随意性较大。图4是对实际情况的一个调研，可窥见一斑。
围绕公司的组织变革前后，人力资源不同层次、不同职能类型的人员，都要围绕原来的组织模式和人员基础进行，还要结合新的组织模式和人员要求，考虑HR人员规划。
这个组织模式配套的HR规划的重点就是：建设核心人才的结构化发展，打破单一素质结构、经验结构、思维视野结构等，引入不同行业、更大规模、更多专业的人才。
而这种人力资源的规划，短期看可能会影响一些老员工的利益，因此，老板在引入新人，打破这个人员结构盘子时，往往可能会表现得过于保守和怯懦，怕影响业务运转。
长期来看，新的人员结构会使周围的人“被提升”。
在做岗位价值评估时，有一个衡量要素“管理难度”——下属的素质。现在下属和周边人的素质在不断提升，意味着你在“被提升”。所以，管理高素质的下属，这是面临的挑战，人才辈出，这是面临的不断发展变化的人才环境。
这就是，鲶鱼效应。
这就是，你不能是保位，而是必须“水涨船高”。如果你不能跟着提升的话，就难免被踢出局。
矩阵型组织与合作型人才
如上面这个矩阵组织的案例，成功的矩阵组织也在寻找着合格的人才。尤其是一些可以在矩阵组织中生存下来的人员。这些人通常没有权力却可以对他人施加影响，通常具有很强的合作意识，愿意成为团队的一分子，并有能力建立起高度信任和和谐的人际关系。为矩阵组织选择合适的员工，也意味着放弃另外一类人，包括那些喜欢单干的人，有强烈的创业意识的人，有很强控制欲的人，喜欢做自己事情的人和非常独立的人，这些人是很难融入其中的。
因此，招聘和选拔往往围绕着那些有强烈的合作意识和合作能力的人进行。如咨询公司更需要这类人才，翰威特咨询公司的文化之一“友好”，意味着那些业务人员需要具备团队协作和互相配合的精神。
矩阵组织需要选拔、发展和奖励那些有协作精神的员工。见图5。
案例：梅奥诊所的跨部门协作人才的选拔
Mayo Clinic（梅奥医学中心）简介：
Mayo Clinic（梅奥医学中心），历经百年依然存在的全球最有影响力和最具价值的服务品牌之一，全球第一家非营利性的综合型医疗服务组织，也是规模最大的非营利医院之一。梅奥代表着美国医学的最高水平，无论一家医疗诊所多么优秀，也很难改变或者推翻梅奥的诊断结论。因此，有些人对梅奥诊所怀有一种敬畏之情。在医疗专业人员心目中，梅奥就是医学的圣殿，是医学诊断的最高法院。
梅奥诊所作为一所历经百年、服务精良的医疗组织，堪称世界医学和护理领域的圣地。梅奥对于高水准服务质量的追求，对于细节近乎苛刻的要求，对于招聘员工价值观的重视程度，都表明梅奥是一所具有丰厚组织文化和价值观底蕴的医疗组织，“患者至上”的核心价值观成为梅奥经久不衰的源泉。
梅奥诊所是吸引和选拔人才的优秀范例，梅奥的一个竞争优势是，它为客户提供整合的跨科室服务。它们为病人专门组成专家团队和医疗服务。要理解梅奥诊所，就要了解它建立和保持协作文化的过程。
首先，梅奥依赖于应聘者的自我选择。
他们会在医学院去推广他们的理念。如果你是一个喜欢独立、贪恋对个人的赞美、缺乏人际交往技巧并且希望挣很多钱的人，那你就不要去梅奥应聘。如果你不指望有超额的奖金，希望通过跨科室的整合服务来完成最好的医疗实践，梅奥就是一个很好的选择。当一个应聘者经历应聘程序时，梅奥会安排一个跨科室的面试团队对他进行面试。以团队的方式来进行面试，让应聘者形象地看到公司的运作体系，这样应聘者可以再次自我选择。招聘过程把公司文化形象地摆在了应聘者面前，应聘者可以问自己：这是我希望的工作模式吗？我会适应这样环境吗？
梅奥同时也在选拔过程中投入大量的资源。它们详细的研究了什么样的人可能在这种强调合作的文化中生存。它希望吸引那些致力于对病人护理的人才，不喜欢那些为了追求利益而疯狂工作的人。梅奥关注应聘者的个性和性格，因为这些是不太容易改变的，却是对于维护梅奥的团队文化至关重要的特质。因此，梅奥花费大量的精力来选拔那些可以在组织内部生存下来的应聘者。就像前面提到的一样，应聘者会接受群体面试，梅奥的方法是让多人参与招聘，以求更深入的了解应聘者。此外，梅奥还采用行为面试的技巧，来识别应聘者的价值观。应聘者被要求描述他曾经工作过的项目和他比较自豪的成就，如果应聘者的描述中使用了大量的“我”而不是“我们”，他就不会被录取。
梅奥还有一套非常严格的聘用标准，并一直沿用。它们经过了好几轮集体面试，被问了各种各样的问题，新聘员工的性格和诊所文化相吻合，这一原则得以贯彻，这个招聘过程本身也在向应聘者传达着这样的信息。如果招聘合适的人要投入如此多的时间、精力，那么公司确实对人力资源给予了高度的重视。经过严格筛选最终成功被录用的人，会非常有自豪感，也会对组织更有认同感。
对于那些希望在跨国公司工作、喜欢与多文化的团队共事、追求轮岗的安排以及希望在一个有成长性的公司工作的人来说，矩阵组织就提供了很有吸引力的机会。
可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法 篇7
一、可逆矩阵的判定
线性代数有概念多、联系紧密、关系隐蔽的特点, 比如一个可逆矩阵的概念就有若干个等价的命题, 贯穿了整个教材的各章节内容。下面列出一些n阶矩阵A可逆的充分必要条件:
由此可见, 矩阵可逆的概念可以转化为行列式、矩阵的秩、向量组、方程组、特征值等方面的知识来判定, 所以我们要时常梳理、归纳知识前后的联系, 弄清楚一个概念在不同的场合的具体含义, 注重衔接、转换, 做到有机联系、融会贯通。
二、求逆矩阵的方法
1. 利用定义求逆矩阵。根据逆矩阵的定义, 对于n阶矩阵A, 如果有一个n阶矩阵B, 使
则称矩阵A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵, 简称逆阵, 记作B=A-1。这里E为n阶单位矩阵。
由此可知, 利用定义可以求抽象矩阵的逆矩阵, 当条件中有矩阵方程时, 通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出AB=E (或BA=E) 的形式, 从而可得A-1=B。
2. 利用伴随矩阵求逆矩阵。若det A≠0, 则矩阵A可逆, 且
其中A*为矩阵A的伴随阵。这种方法比较适用于阶数较低且伴随矩阵容易求出的情形。
3. 初等行 (列) 变换求逆矩阵。
这两种方法可以任意选择其一, 但要注意一旦选定用初等行变换来计算则单位矩阵要写在右边并且自始至终都要用初等行变换;同样选定用初等列变换则单位矩阵要写在下方并且自始至终都要用初等列变换。
4. 利用分块矩阵求逆矩阵。
用水平和铅直的虚线将矩阵A中的元素分割成若干个小块, 每个小块称为矩阵A的一个子块, 则矩阵A称为以这些子块为元素的分块矩阵。应特别注意:进行加、减、乘与转置运算时, 子块当作通常矩阵的元素对待, 作乘法运算时, 左分块矩阵列的分法必须与右分块矩阵行的分法一致。对于零元素特别多的矩阵, 可以考虑用分块矩阵求逆。特别地, 设A、B为可逆方阵, 则有
这几类分块矩阵的逆矩阵可以作为公式记忆, 在做题过程中直接利用。
利用以上四种方法都能求出可逆矩阵的逆矩阵, 当然还可以用待定系数法、解方程组法, 特征多项式法求逆矩阵, 但相对而言, 初等行变换法应用起来更方便, 更简单, 而且不容易出错, 所以我们在解题过程中一般采取初等行变换法求逆矩阵。
摘要：可逆矩阵在矩阵的理论和应用中都占有很重要的地位, 本文总结了可逆矩阵的一些判定方法, 并给出几种常用的求逆矩阵的方法。
关键词：逆矩阵的判定,伴随矩阵,初等变换,分块矩阵
参考文献
[1]同济大学数学数学系.工程数学线性代数[M].高等教育出版社, 2007.
[2]陈逢明.逆矩阵的求法及其在证券投资组合中的应用[J].福建商业高等专科学校学报, 2006 (5) :111-114.
[3]郭亚梅.可逆矩阵的几种实例分析[J].安阳工学院学报, 2006 (3) :55-59.
[4]吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学, 2004, 20 (4) :89-91.
矩阵对策 篇8
一、对称矩阵
定义:设A= (aij) n为n阶方阵, 如果满足TA=A, 即aij=aji (i, j=1, 2, ⋅⋅⋅, n) , 那么称A为对称矩阵。
由于对称矩阵形式的特殊性, 使其具有一般矩阵没有的性质, 下面列举出对称矩阵一系列的性质, 并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。
性质1:A为n阶对称矩阵, 则Am (m为正整数) 也是对称矩阵。
证明:因为A为n阶对称矩阵, 所以TA=A。则 (Am) T= (AT) m=Am, 所以由定义可知Am (m为正整数) 也是对称矩阵。
性质2:A为n阶对称矩阵, 则A+AT也是对称矩阵。
证明:因为 (A+AT) T=AT+ (AT) T=A+AT, 所以A+AT也是对称矩阵。
性质3:A为n阶对称矩阵且A可逆, 则A1-也是对称矩阵。
证明:因为 (A-1) T= (AT) -1=A-1, 所以A-1也是对称矩阵。
性质4:A为m×n阶的矩阵, 则AAT为m阶对称阵, AT A为n阶对称阵。
证明:显然AAT为m阶矩阵, AT A为n阶矩阵, 又由于 (AAT) T= (AT) TAT=AAT, (AT A) T=AT (AT) T=AT A, 所以AAT为m阶对称阵, TA A为n阶对称阵。
性质5:A, B都为n阶对称矩阵, 则A+B也是对称矩阵。
证明:因为 (A+B) T=AT+BT=A+B, 所以A+B也是对称矩阵。
性质6:A, B都为n阶对称矩阵, 则AB也是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
证明:必要性:设AB为对称矩阵, 则 (AB) T=AB, 而 (AB) T=BT AT=BA, 所以AB=BA。
充分性:设AB=BA, 则 (AB) T= (BA) T=AT BT=AB, 所以AB为对称矩阵。
二、反对称矩阵
定义:设A= (aij) n为n阶方阵, 如果满足TA=-A, 即aij=-aji (i, j=1, 2, ⋅⋅⋅, n) , 那么称A为反对称矩阵。
由于反对称矩阵形式的特殊性, 使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。
性质7:设A为n阶反对称矩阵, 则A的主对角线上的元素都为0。
证明:因为A为n阶反对称矩阵, 所以A的主对角线上的元素有aii=-aii (i=1, 2, ⋅⋅⋅, n) , 所以aii=0 (i=1, 2, ⋅⋅⋅, n) 。
性质8:设A为n阶反对称矩阵, n为奇数, 则A的行列式值为0。
证明:因为aij=-aji (i, j=1, 2, ⋅⋅⋅, n) , 所以将A的每一行提出一个公因子-1, 由于n为奇数, 则:。而根据行列式的性质有
性质9:设A为n阶对称矩阵, B为n阶反对称矩阵, 则 (1) AB-BA为对称矩阵。 (2) AB+BA为反对称矩阵。
证明: (1) 因为 (AB-BA) T= (A B) T- (B A) T=BT AT-AT BT=AB-BA, 所以AB-BA为对称矩阵。
(2) 同 (1) , 因为 (AB+BA) T= (AB) T+ (BA) T=BTAT+ATBT=- (AB+BA) , 所以AB+BA为反对称矩阵。
性质10:任一n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
证明:假设n阶方阵A=B+C, 其中B为对称矩阵, C为反对称矩阵, 则AT= (B+C) T=BT+CT=B-C。由
而, 则B为对称矩阵, C为反对称矩阵, 且A=B+C。
性质11:设A为n阶反对称矩阵, B为n阶对称矩阵, 则AB为反对称矩阵的充分必要条件为AB=BA。
证明:必要性:设AB为反对称矩阵, 则 (AB) T=-AB, 而 (AB) T=BT AT=-BA, 所以AB=BA。
充分性:设AB=BA, 则 (AB) T= (BA) T=ATBT=-AB, 所以AB为反对称矩阵。
三、结束语
对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多, 比如对称矩阵的特征值均为实数, 对应不同特征值得的特征向量必正交等等, 由于篇幅所限, 本文只介绍一些基本的性质, 方便读者参考。
参考文献
[1]同济大学应用数学系:《线性代数》.高等教育出版社, 2004
[2]肖马成、周概容:《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社, 2008
酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用 篇9
文献[1]利用正交矩阵实现了两个矩阵做张量积可交换的情况,文献[2]证明了交换后它们的数值半径依然相等的问题。在文献[1]的基础上,利用酉矩阵与相应的单位矩阵做张量积后所得酉矩阵实现了三个矩阵做张量积可任意交换的情形。进而推广到多个矩阵做张量积任意两个或多个相邻的非相邻的矩阵可交换,这是一个很漂亮的结论。它解决了文献[2]中多个矩阵做张量积进行倒序交换和有限个矩阵发生交换后数值半径仍然相等的问题。本文的相关定理的符号同于文献[1]和文献[2]。
1预备知识
定理1.1[1] 设A,B分别为m×m和n×n矩阵,则存在一个mn阶排列矩阵P使得
定理1.2[1] 设矩阵A∈Mm×p,B∈Mp×s,C∈Mm×n,D∈Ms×q,则
定理1.3[2] 设A,B∈L(U),则数值半径
2主要结论
首先详细介绍在复数域内三个矩阵做张量积利用酉矩阵实现任意交换的情况。
定理2.1 设A∈Mm×m,B∈Mp×p,C∈Mk×k那么存在一个mp阶的酉矩阵P使得
证明 (PT⨂Ik)(A⨂B⨂C)(P⨂Ik)=
(PT(A⨂B)⨂IkC)(P⨂Ik)=
(PT(A⨂B)P)⨂(IkCIk)=B⨂A⨂C。
定理2.2 设A∈Mm×m,B∈Mp×p,C∈Mk×k那么存在一个pk阶的酉矩阵P使得
(Im⨂PT)(A⨂B⨂C)(Im⨂P)=A⨂C⨂B。
证明 (Im⨂PT)(A⨂B⨂C)(Im⨂P)=A⨂C⨂B=(ImA⨂PT(B⨂C))(Im⨂P)=
ImAIm⨂(PT(B⨂C)P)=A⨂C⨂B。
定理2.3 设A∈Mm×m,B∈Mp×p,C∈Mk×k,那么存在一个mk阶的酉矩阵P和mp阶酉矩阵Q使得
证明 由定理2.1和定理2.2可直接推得。
定理2.4 设A∈Mm×m,B∈Mp×p,C∈Mk×k,那么存在一个mk阶的酉矩阵P,mp阶酉矩阵Q和pk阶酉矩阵W使得
(WT⨂Im)(Ip⨂PT)(QT⨂Ik)(A⨂B⨂C)×
(Q⨂Ik)(Ip⨂P)(W⨂Im)=C⨂B⨂A。
证明 (WT⨂Im)(Ip⨂PT)(QT⨂Ik)×
(A⨂B⨂C)(Q⨂Ik)(Ip⨂P)(W⨂Im)=
(WT⨂Im)(Ip⨂PT)(QT(A⨂B)⨂IkC)×
(Q⨂Ik)(Ip⨂P)(W⨂Im)=
(WT⨂Im)(Ip⨂PT)(QT(A⨂B)Q⨂IkCIk)×
(Ip⨂P)(W⨂Im)=
(WT⨂Im)(Ip⨂PT)(B⨂A⨂C)(IP⨂P)×
(W⨂Im)=(WT⨂Im)(B⨂C⨂A)(W⨂Im)=
C⨂B⨂A。
定理2.5 设A∈Mm×m,B∈Mp×p,C∈Mk×k,那么存在一个mk阶的酉矩阵P,mp阶酉矩阵Q和pk阶酉矩阵W使得
(Ik⨂Q)(WT⨂Im)(Ip⨂PT)(QT⨂Ik)×
(A⨂B⨂C)×(Q⨂Ik)(Ip⨂P)(W⨂Im)(Ik⨂QT)=C⨂A⨂B。
证明 由定理2.2和定理2.4可直接证明。
有了上面这5个定理可以实现3个矩阵做张量积的任意转化。那么对于多个矩阵做张量积又是怎样的一种情况呢?下面的定理给出了相应回答。
定理2.6 设A1∈Mm1×m1,…,Ak∈Mmk×mk,那么存在一个mtmt+1阶的酉矩阵P使得
(Im1…mt-1⨂PT⨂Imt+2…mk)(A1⨂…⨂
At⨂At+1⨂…⨂Ak) (Im1…mt-1⨂P⨂Imt+2…mk)=
A1⨂…⨂At+1⨂At⨂…⨂Ak。
证明 (Im1…mt-1⨂PT⨂Imt+2…mk)(A1⨂…⨂
At⨂At+1⨂…⨂Ak)(Im1…mt-1⨂P⨂Imt+2…mk)=
((Im1…mt-1(A1⨂…⨂At-1))⨂((PT⨂Imt+2…mk)(At⨂At+1⨂…⨂Ak))) (In1…nt-1⨂P⨂Int+2…nk)=
((A1⨂…⨂At-1)⨂((PT⨂Imt+2…mk)(At⨂At+1⨂…⨂Ak))) (In1…nt-1⨂P⨂Int+2…nk)=
((A1⨂…⨂At-1)⨂((PT(At⨂At+1))⨂(Imt+2…mk(At+2⨂…⨂Ak))) (In1…nt-1⨂P⨂Int+2…nk)=
((A1⨂…⨂At-1)⨂((PT(At⨂At+1))⨂(At+2⨂…⨂Ak))(In1…nt-1⨂P⨂Int+2…nk)=
((A1⨂…⨂At-1)In1…nt-1)⨂((PT(At⨂At+1)⨂(At+2⨂…⨂Ak)(P⨂Int+2…nk)) =(A1⨂…⨂At-1)⨂((PT(At⨂At+1)P)⨂(At+2⨂…⨂Ak)=
(A1⨂…⨂At-1)⨂(At+1⨂At)⨂(At+2⨂…⨂Ak)=A1⨂…⨂At+1⨂At⨂…⨂Ak。
由此可以看出,既然可以实现相邻两个矩阵的交换,就可以实现任意两个非相邻矩阵的交换。因此可以有下述定理。
定理2.7 设A1∈Mm1×m1,…,Ak∈Mmk×mk,那么存在一个合适维数的酉矩阵P使得
不仅可以实现任意两个的交换,也可以实现任意有限个的交换,满足这种交换的酉矩阵一定是存在的.并且经过交换后做张量积所得新矩阵与原矩阵是相似的,从而容易得出下面的定理。
定理2.8 设A1∈Mm1×m1,…,Ak∈Mmk×mk,那么存在一个合适维数的酉矩阵P使得
定理2.9 经过交换后做张量积所得新矩阵与原矩阵有相同的特征值和特征向量,并且保持范数不变,行列式相等,迹相等,秩相等。
定理2.10 设A1∈Mm1×m1,…,Ak∈Mmk×mk,如果A1⨂A2…⨂Ak-1⨂Ak是酉(厄米特,正交,对称,幂等,正规)矩阵,那么交换后做张量积得到的矩阵仍然是酉(厄米特,正交,对称,幂等,正规)矩阵。
证明 酉矩阵,厄米特,正交,对称,幂等矩阵的情况可以由定理2.9和相关定义直接证明。正规矩阵的情况可以由文献[3]中的定理,A1⨂A2…⨂Ak-1⨂Ak是正规矩阵当且仅当每个Ai都是正规矩阵证明。
文献[2]指出数值半径r(A⨂B)=r(B⨂A)。现在利用定理2.8可以把矩阵个数进行推广。容易得下面的定理2.11。符号及对相应矩阵的定义同于文献[2]。
定理2.11 设A1,…,Ak∈L(U),并且都为方阵,那么
(1)r(A1⨂A2…⨂Ak-1⨂Ak)=r(Ak⨂Ak-1…⨂A2⨂A1)。
(2)r(A1⨂…⨂Ai…⨂At⨂…⨂Ak)=
r(A1⨂…⨂At…⨂Ai⨂…⨂Ak)。
证明(1) 由定理2.9知
r(Ak⨂Ak-1…⨂A2⨂A1)=r(PT(A1⨂A2…⨂Ak-1⨂Ak)P)=
r(A1⨂A2…⨂Ak-1⨂Ak)。
(2)利用定理2.7与(1)的证明类似,不再赘述。
参考文献
[1] 戴华.矩阵论.北京:科学出版社,2001
[2] Hou Qianmin.One ineguality and an equality on the numerical radius of matrix tensor product.Journal of Shanxi University (Nat Sci Ed),2007;30(3):312—314
求逆矩阵中凑矩阵法的应用探析 篇10
命题1:假设A为数域P当中相应n阶方阵,如果在数域P上同样存在n阶方阵B,则可知AB=E(n阶单位矩阵),最终可得出A可逆,并且B=A-1.
运用命题1,不仅可将一个N阶方阵在可逆方面给予证明,还可将它的逆矩阵予以得出.现通过运用几个实例,来对命题1的应用进行说明.在此矩阵实际应用过程中,所运用的凑矩阵法,则在一定程度上能够对求解待定矩阵相应方程进行演变.与此同时,需对其开展深入观察及分析,运用题干当中所给出的相应信息,将矩阵方程的解予以求出.
例1已知AB-E乃是n阶可逆矩阵,A,B也为n阶可逆矩阵,证明:(B-B-1)-1-A-1和A-B-1之间可逆,并将他们的逆求出.
证明基于(B-B-1)-1和A-B-1,可通过假设,设定A-B-1为可逆,由此可转换为B(AB-E)-1=(A-B)-1.如若想要对(B-B-1)-1-A-1可逆予以证明,则需将矩阵X给予找到,促使得出如下内容:E=[B(AB-E)-1-B-1A-1]X,同样还可以得出E=[B(AB-E)-1-B-1A-1]E.如果将上述公式的两边均左乘以B-1,便可得出B-1=[(AB-E)-1-B-1A-1]X.然后将其进行转换,便可得出:B-1+B-1A-1X=(AB-E)-1X.然后,分别在其两侧均乘以AB-E,最终便可得出,A-B-1+X-B-1A-1X=X,因此,仅需要将如下内容予以求出,即AB(A-B-1)=X,至此,便可知道(A-B-1)-1-A-1可逆,并且可知,其逆矩阵为AB(A-B-1).
例2已知A为n阶可逆矩,B同为n阶可逆矩,证明:如若A+B为可逆,则A-1+B-1同样也可逆,并将其逆求出.
解:如若将凑矩阵法直接利用,由于可知A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,然后依据本题假设,则可得出A-1+B-1乃为可逆,此外,还可得出B(A+B)-1A=(A-1+B-1)-1.
例3如若A和B都是n阶方阵,n阶单位矩阵为E,则证明:如若E-AB为可逆,则E-BA也为可逆,且将其逆矩阵求出.
证法:由于依据题设可知E-AB为可逆,因此,n阶方阵X则会存在,最终便可得出E=(E-AB)X,将其转化可知:X-E=ABX.将上述公式两边同左同乘B,然后在右边则同乘A,便可得出:BXA-BA=BABXA.由此可知,E+BXA-BA-BA BXA=E,将转化则得出:(E-BA)(E+BXA)=E,因此,可证明出(E-BA)为可逆,并且还可得出E+B(E-AB)-1A=E+BXA=(E-BA)-1.
注1:针对例3当中的证法1来讲,其不仅能够将E-BA为可逆予以得出,还可将E-BA相应逆矩阵同样得出.
例4已知n阶方阵XTX为可逆,n维列向量则为q,证明:矩阵XTX+qq T为可逆,且将其逆矩阵求出.
注2:例4通过对抽象矩阵方程进行求解,便可将可逆矩阵相应抽象形态予以得出,另外,在具体的求解方法上还存在一定的技巧性,与此同时,此种方法还可将Sherman-Morrison公式当中相应推导过程给予了展现.
例5如果n阶方阵D-CA-1B为可逆矩阵,A和D也为可逆矩阵,另外,A-BD-1C同样为可逆矩阵,则将其逆求出.
证明:如果已知(D-CA-1B)-1=X,则可得出E=X(D-CA-1AB),进而,便可得出XCA-1B=XA-E,由于上式当中可知D可逆,因此,可得出XCA-1BA-1=X-D-1,然后将公式的连边右侧,均乘C可知:
而后又记:
经转化可知
然后将其在公式(2)当中代入,则可得出:XCA-1Y=D.然后在上述公式当中,均在左边乘以B可知,
BXCA-1Y=BD-1C,最后,则将公式(3)予以代入,便可得出如下公式:BXCA-1=A-Y.因为A为可逆,便可得出,E=(A-1E+BXCA-1)Y,至此,便得出
所以便证明了Y为可逆,也就是说A-BD-1C为可逆,另外,A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1=(A-BD-1C).
例6假设已知A为n阶方阵,并且B=A2-2A+2E,2E=A3,则证明B为可逆矩阵,并将B-1求出.
注3:例6充分运用了A3=2E相应循环性质,另外,还采用了待定系数法,因此,解法简便.
运用凑矩阵法,对抽象矩阵相应逆矩阵相关问题进行求解,其方法有许多,现再给出相应例题,但是不再做出相应解答.比如(1)假设n阶方阵A对Ak=0(k≥1)予以满足,则证明:A+E为可逆,并将其逆矩阵求出.(2)假设A、B、C都是n阶方阵,并且E+ACB为可逆,C可逆,则证明:BA+C-1可逆,并将其逆矩阵求出.(3)假设A乃是n阶可逆矩阵,Y为n维列向量,x同样,则证明:若YTA-1X≠-1,则相应n阶方阵A+XYT为可逆,且将其逆矩阵求出.(4)假设n阶方阵为A、B、C、D,另外,可逆,A和可逆,则证明:A-BD-1C为可逆,且将其逆矩阵求出.
摘要：高等代数之中,矩阵已成为整个代数框架下一个具有十分重要性且广泛的应用性的基础概念,尤其是可逆矩阵,已经成为高等代数重要研究领域.本文通过对求逆矩阵“凑矩阵”法进行分析,利用实例对其应用予以说明[1].
关键词：逆矩阵,凑矩阵法,待定系数法
参考文献
[1]邱令国.矩阵的对称正定求逆方法及其在管道应力分析中的应用[J].化工设计,1991(2):24-27.
[2]房宗良,曹剑锋,王季红.最小二乘-逆矩阵法在建材γ谱分析中的应用[J].核电子学与探测技术,2006,26(6):717-720.
在线电子音乐矩阵等 篇11
好玩的在线电子音乐矩阵：Tone Matrix
简介：这个小玩具是基于Flash开发的，作者Andre Michelle的思路来源于他试用雅马哈电子音乐矩阵Tenofi ON，但887欧元的售价太过昂贵，因此他便自己开发了这个在线电子音乐矩阵。你只要用鼠标在矩阵上点击每一个小方块，就可以编出一曲动人的旋律，非常好玩!
搜索关键词：Tone Matrix
在线涂鸦网站：swarmsketch
简介：我们以前见过的涂鸦网站都是自己涂鸦然后发布：而这个网站却不走寻常路：每幅涂鸦作品都由不同的网友共同完成，每个人只能画一笔，这个网站每周都会根据搜索引擎确定一个最热门的主题，然后开始作画，你画完一笔后可以对上一笔的颜色深浅进行调整，通过Browse查看之前每期的作品，甚至每个作品你都可以查看是哪个国家的网友画的，并且提供一个作品绘画过程，很酷哦!
搜索关键词：swarmsketch
[醋软]
高难度作品的涂鸦画板：bomomo
简介：bomomo是一个非常神奇的涂鸦画板，共有20支画笔提供给用户，这些画笔有的能画出光谱类涂鸦，有的能画出杰克逊波洛克风格的抽象画……你只要选好画笔工具，便可以用鼠标在画板上尽情涂鸦。无需选择颜色，因为是随机的喔。
当你涂鸦完后，可选择右下角的保存图标，保存为普通的JPEG图片格式。如果你要保存高质量的PNG透明格式，可选择右下角最右边的“Save High Quality”，保存文件下载完毕之后，需要手动重命名为png格式。
搜索关键词：bomomo
《万王之王3》(网络游戏)
简介：3D魔幻风格的史诗网络游戏《万王之王3》是经游戏策划、技术开发、美术人员等近200人，历时三年时间共同研发，其百分百自定义的“国家建设系统”、气势恢弘的“国战系统”、27个充满想象力的职业设定以及真人配音的魔法吟唱系统，均创造了一时之最，并给予了玩家们难以泯灭的震撼感受。同时，《万王之王3》努力挖掘游戏的内涵和可玩性。“DIY”是产品赋予玩家的全新游戏体验和娱乐方式，从装备、时装、表情、徽标、房间、国家等都需要你Do ItYourself!
《新奇迹世界》(网络游戏)
矩阵对策 篇12
二次型在线性代数中具有非常重要的地位。通过对二次型的学习,除了能进一步加深对线性代数中的一些概念的理解外,还能为学习空间解析几何,特别是空间解析几何的二次曲面等打下一定的基础。另外,二次型中的正定矩阵、负定矩阵等理论也被广泛应用于对系统科学的研究中。在研究一个系统时,我们常常需要研究这个系统的稳定性。李亚普诺夫函数方法是研究系统的稳定性的一个重要的方法。我们通常希望所构造的李亚普诺夫函数的导数是一个负定的二次型。因此,正定矩阵和负定矩阵在对系统科学的研究中占有非常重要的地位。但是,在线性代数教材中,一般都很少对分块正定矩阵和分块负定矩阵进行进一步地分析和讨论。本文对分块正定矩阵和分块负定矩阵进行了一些讨论,得到如下的一些结论。
注:由性质1至性质4,我们可以类似地得到分块负定矩阵的一些相关结论。上述知识在线性代数中教材很少提及。根据矩阵的一些性质和线性代数教材中有关正定矩阵和负定矩阵的知识,我们不难得到上述关于分块正定矩阵和分块负定矩阵的结论,这些结论在研究马尔科夫跳变系统、时滞系统、广义系统等系统的稳定性等问题中有着非常广泛的应用。
摘要：矩阵的正定性是矩阵理论中一个很重要的理论。矩阵的正定性在系统科学的研究中占有非常重要的地位。本文借助于线性代数教材上的有关矩阵和二次型的知识,对分块正定矩阵和分块负定矩阵进行了一些探讨,得到了一些相关的结论。
关键词：分块矩阵,正定矩阵,负定矩阵
参考文献
[1]同济大学数学系.工程数学:线性代数(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2]吴传生,王卫华,曾祥金.经济数学:线性代数(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2009.