矩阵传递公式（共3篇）
矩阵传递公式 篇1
0引言
汽车驾驶室内的噪声严重影响了汽车驾驶人的安全及交通安全, 因此必须对噪声进行控制[1]。 通常控制噪声有吸声降噪、振动与噪声阻尼控制、 隔声降噪以及消声等几种途径[2-3]。吸声材料种类较多, 既可将一种吸声材料单独应用, 又可将多种吸声材料复合使用, 如建筑物吸声结构、汽车驾驶室的内部吸声结构等[4-7]。对于多层吸声材料, 可将多层均匀平面结构作为简化模型, 计算多层吸声材料层与层之间的传递矩阵, 从而得到多层吸声材料的吸声特性。多层吸声材料层与层之间的传递矩阵的运用已经相当广泛和成熟, 但是, 对多层吸声材料层与层之间的传递矩阵的特性还鲜有学者进行研究。
传递矩阵方法早期主要应用在机械结构的动态特性研究[8], 在声学领域则最早用于描述管道消声器的声学特性[9], 后来传递矩阵方法开始用于描述材料的声学特性, 一些科研人员将传递矩阵应用于对穿孔消声器的声场传递机理的分析研究。赵明等[10]利用传递矩阵法对穿孔扩张消声结构的声场进行了分析。姜洪源等[11-12]对基于金属橡胶材料的非线性吸声方法进行分析, 但金属橡胶材料受本身静态流阻率影响较大, 吸声效果不稳定。本文基于此, 研究了多层吸声材料层与层之间的传递矩阵的一些特性, 从而在理论上对多层吸声材料的计算做了一个定性的结论。
1多层吸声材料各层之间的传递矩阵模型
汽车多层均匀吸声材料的布置模型如图1所示, 图中第i层与第i+1层之间的表面声压及介质中质点的振动速度分别为pi+1、vi+1, 第i层材料的厚度为Di, 第n层为钢板, 起隔音作用。
第1层和第2层介质之间的声压与介质中质点的振动速度为[13]
式中, p1、v1分别为第1层介质和空气接触的表面声压与介质中质点的振动速度;p2、v2分别为第1层介质和第2层介质接触的表面声压与介质中质点的振动速度;C1为第1层声波在介质中的传输速度;D1、E1、η1、ρ1分别为第1层介质的厚度、弹性模量、结构耗损因子和密度;k1为第1层介质中声音传播的波数。
由式 (1) 可以看出:
同理, 第i层吸声材料与第i+1层吸声材料之间的声压与法向振速关系可以表示为
因此第1层吸声材料与第n层钢板层的声压与法向振速关系为
式中, pn+1、vn+1分别为第n层吸声材料背面与空气接触表面的声压与法向振速。
第n层吸声材料为钢板且背面为空气, 此时近似有pn+1=0。
2多层吸声材料吸声系数的理论计算
现取3层均匀吸声材料为研究对象, 吸声材料后仍然是钢板, 得
式中, Ci为第i (i=2, 3) 层声波在介质中的传输速度;Di、 Ei、ρi分别为第i层介质的厚度、弹性模量和密度;hi为第i层介质中声音传播的波数。
根据式 (4) 、式 (5) 得
因为p4=0, 可得3层均匀吸声材料第1层介质的表面声阻抗率:
在声波垂直入射情况下, 多层均匀介质表面的反射因数为
式中, ρ0为空气的密度;c0为空气中的声波;ρ0c0为空气的声阻抗率。
吸声系数为
联立式 (7) ~式 (10) 即可求的所用三层吸声材料的综合吸声系数α。
3实例计算与实验分析
实验采用ZB驻波管吸声系数测试系统 (测试频率为125~6300Hz) , 依据GB/T18696.1- 2004进行, 如图2所示, 在测试管长度固定不变的情况下, 分别测试不同厚度的材料对法向入射声波的吸声系数。多层吸声材料的第1层为高分子材料, 第2层为铝纤维板, 第3层为橡胶, 橡胶与钢板相连, 布置如图3所示。
汽车车身各层参数如表1所示时, 计算与实验结果如图4~图7所示。
由图4~图7可得到下面的结论:
(1) 计算对象多层吸声材料的吸声系数随声波频率变化的趋势和单层吸声材料的变化趋势相同。
(2) 随着多层吸声材料厚度的增加, 吸声系数计算值与测试值的吻合度有所提高。
(3) 在低频声波入射下, 实测数据与理论计算数据的吻合度较高频时好, 尤其是当入射波频率高于2000Hz时, 各层材料间的接触密实度、多层材料间相互耦合特征会对测量结果产生较大影响。
(4) 现代汽车发动机表面辐射噪声的能量主要集中在1600~2000Hz, 因此, 按照文中多层吸声材料的传递矩阵特性计算所得的吸声系数是较准确的。从而为多层吸声材料的传递矩阵特性的研究提供了理论支持。
4结论
(1) 将不同层的吸声材料分开考虑, 对汽车多层吸声材料的传递矩阵的特性进行了分析, 得到了多层吸声材料吸声系数计算的方法。
(2) 对多层吸声材料的吸声系数进行实验测量, 验证了利用传递矩阵计算所得的吸声系数方法的可靠性。
矩阵传递公式 篇2
可按极坐标公式与直角坐标公式对照记忆的方法, 直角坐标公式容易记忆, 而两种坐标系下的方程和表达式具有一定的对应关系, 因此, 可根据直角坐标公式记忆极坐标公式。这就要明确对应关系, 这种对应关系的基础在于两个坐标系统之间的物理量对应关系、微分算符对应关系。直角坐标位移、应变、应力、体力各量的x向分量和极坐标位移、应变、应力、体力各量的径向分量分别对应;直角坐标位移、应变、应力、体力各量的y向分量和极坐标位移、应变、应力、体力各量的环向分量分别对应[1]。两种坐标系下物理量之间、微分算符之间的对应关系如表1所示[2]。
根据对应关系转换后, 考虑特殊情况, 即可推得极坐标公式。
矩阵具有简洁、规则、明了的特点, 是线性变换的便利表达法, 在弹性力学平面问题的极坐标公式中采用矩阵表示法, 根据矩阵和矩阵元素的规律性, 以及极坐标公式矩阵形式与直角坐标公式的矩阵形式的对应关系和区别进行对照记忆, 可帮助对极坐标公式的记忆与掌握。
一、平衡微分方程
平面问题直角坐标系的平衡微分方程一般表达形式为
直角坐标系下的矩阵形式为
极坐标的一般表达形式为
极坐标的矩阵形式为
记忆特点:只需按变量或算符的对应关系 (表1) 对直角坐标的矩阵表达式 (式 (2) ) 变换后填上附加项即可得到极坐标的矩阵表达形式。两种坐标系下, 平衡方程的一般式与坐标表达式的对比情况如图1所示。
教学方法:首先写出公式 (1) 写成 (2) , 然后写出 (3) , 再提问, 请学生写出极坐标形式的矩阵表达式 (4) , 如不能写出, 则教师讲解推导过程, 如学生能推出式 (4) , 则请这位学生讲解推导过程, 最后再绘出图1, 进行对照讲解、点评、总结。重点是 (2) 和 (4) 对比和互相推导, 目标是式 (1) 推得 (3) , 记忆式 (3) 。
二、几何方程
直角坐标下的几何方程一般形式为
矩阵形式为
极坐标公式为
写成矩阵形式为
记忆特点:极坐标的矩阵形式是根据直角坐标的矩阵形式按对应关系 (如表1) 变换后, 在等式右侧项的左矩阵2行1列元素加上, 3行2列元素减去而成。对比情况如图2所示。
教学方法:结合图2讲解矩阵表达形式的优点和利用矩阵进行极坐标公式记忆的思路, 写出公式 (5) , 写出式 (6) , 然后写出式 (7) 、式 (8) , 详细进行式 (6) 推出式 (8) 的讲解, 最后绘出图2, 进行对照讲解、点评、总结。重点是式 (6) 和 (8) 对比和互相推导, 目标是式 (5) 推得 (7) , 记忆式 (7) 。
三、应力分量的矩阵表示
直角坐标下的应力表达式 (体力不计) [3]为
矩阵形式为
极坐标系下的应力分量可由多种方法得出相同的应力分量表达式[4]
不考虑其推导过程, 仅从最后得到的表达式形式上来分析和找出特点, 其矩阵形式为
记忆特点:极坐标的矩阵形式是根据直角坐标的矩阵形式 (式 (10) ) 按对应关系 (表1) 变换后, 在等式右侧项的左矩阵1行1列元素和3行2列元素均加上。
教学方法:绘出图3, 进行记忆思路和公式推导讲解, 写出式 (9) , 再写出式 (10) , 由式 (10) 进行推导得出式 (12) , 由式 (12) 写出式 (11) , 最后进行讲解、点评、总结。重点是式 (6) 和式 (8) 对比和互相推导, 目标是式 (9) 推得式 (11) , 记忆式 (11) 。
四、其他公式
至于极坐标下物理方程, 则具有与直角坐标完全相同的对应关系, 直接按表1中对应关系变换即可, 容易记忆。
应力边界条件也可完全按物理量的对应关系 (如表1) 有直角坐标的边界条件推得[5]。
极坐标下的相容方程只要令应力表达式 (11) 的头两式相加之和的平方等于零即得。
相容方程
只要把应力函数表示的应力表达式记住, 仿照上述简单推导即得相容方程。
弹性力学平面问题极坐标下的方程与表达式与直角坐标下方程与表达式有着一定的对应关系, 矩阵形式能清楚表示出两者的对应关系, 具有很强的记忆特点, 抓住其规律, 再考虑个别的特殊情况, 则使较难记忆的问题变得清晰、易懂易记。三维情况也有类似规律, 教学中以这些规律为纲进行对比讲解, 会使学生易于理解和掌握。
参考文献
[1]薛福林.极坐标公式记忆规律[J].力学与实践, 1997, (6) .
[2]张长平, 余东明.弹性力学极坐标公式的记忆规律[J].平顶山工学院学报, 2007, (3) .
[3]徐芝纶.弹性力学:上册[M].北京:高等教育出版社, 2006.
[4]李双蓓, 刘立国.在极坐标系下求平衡微分方程解的方法研究[J].广西大学学报:自然科学版, 2004, (2) .
[5]ZHANG WOHUA.Fundamentals Elasticity Mechanicsand Finite Element Method[M].杭州:浙江大学出版社, 2003.
矩阵传递公式 篇3
1 理论建模
如图1所示，穿孔管膨胀腔结构中，穿孔管内的声压和质点速度为p1和u1，气流马赫数为Ma1，管外腔内的声压和质点速度为p2和u2，气流马赫数为Ma2。管道内和腔内的声波方程[1,5]为
式中:k0表示波数，D为腔体直径，d为穿孔管直径，ρ和c分别表示空气的密度和声速，ε表示穿孔管的声阻抗率。解微分方程式(1)和式(2)得到所穿孔管进出口两端声学量间的关系为
式(3)中:T表示穿孔管和膨胀腔间声压和质点速度的关系矩阵。
2 几种常见穿孔管结构传递矩阵的讨论
2.1 穿孔管结构
图2表示了声压和质点速度间的传递关系，可以得到不同应用场合下的穿孔管结构。
F4表示的结构不常用见，在此不于讨论。
2.2 穿孔管结构传递矩阵的推导
2.2.1 边界条件
如图6所示为一段盲管[6]，管中入射声波的声压为pi，反射声波的声压为pr、pAi和pAr分别为入射声波和反射声波的声压幅值。
管道中任一点的总声压和质点速度分别为
管道中任一点的声阻抗为
当x=0时，
当x=l时，
由式(4)和式(5)可得
因为管道末端为刚性壁面，所以z(l)趋向于无穷大，所以z(0)=-jρccot(k0l)。即
2.2.2 直通型穿孔管结构传递矩阵F1
对于直通型穿孔管结构而言(如图(3)所示，箭头方向为气流方向，如下。)，当x=0时，长度为li的腔管可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得
当x=lp时，长度为lo的腔管可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得
结合式(3)、式(7)、式(8)可以得到
式中:F1为直通型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:
2.2.3 扩张型穿孔管结构传递矩阵F2
对于扩张型穿孔管结构而言[如图(4)所示]，当x=0时，长度为li的空腔可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得
当x=lp时，长度为lo的穿孔管可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得
结合式(3)、式(9)、式(10)可以得到
式中:F2为扩张型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:
2.2.4 收缩型穿孔管结构传递矩阵F3
对于收缩型穿孔管结构而言[如图(5)所示]，当x=0时，长度为li的穿孔管可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得
当x=lp时，长度为lo的空腔可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得
结合式(3)、式(11)、式(12)可以得到:
式中:F3为收缩型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:
所以，穿孔管结构的传递损失可表示为
3 传递矩阵法与有限元法比较
三种穿孔管结构的参数为:外腔直径D=0.15 m，管直径d=0.04 m,li=0.02 m,lp=0.16 m,lo=0.02 m，入口处气流马赫数Ma=0，小孔直径da=0.003 m。
对于穿孔直通型结构而言，其传递矩阵法和有限元分析的模型如图3所示。将传递矩阵法与有限元法得到的传递损失进行比较，得到如图7所示结果。
对于穿孔扩张型和穿孔收缩型结构而言，其构成的消声器(如图8、图9)为传递矩阵法和有限元法分析的模型。穿孔扩张型消声器的传递矩阵由扩张型穿孔管传递矩阵、直管传递矩阵和截面收缩传递矩阵[7]串联而成;穿孔收缩型消声器的传递矩阵由截面扩张传递矩阵、直管传递矩阵[7]和收缩型穿孔管传递矩阵串联而成。将传递矩阵法与有限元法得到的传递损失进行比较，得到如下结果(如图10、图11)。
由图7、图10、图11可知，在0～2 200 Hz范围内，数值解耦法和声学有限元法在计算穿孔管消声器传递损失时具有较高的精度，从而验证了数值解耦分析法的有效性和精确性。
4 结束语
在平面波假设的数值解耦方法的基础上，根据穿孔管、膨胀腔内不同声压和质点速度间的传递关系推导了穿孔直通型、穿孔扩张型和穿孔收缩型三种结构的传递矩阵。并由此三种结构构成的消声器，运用传递矩阵法计算出各自的传递损失，与声学有限元分析[8]得到的传递损失进行比较，结果表明数值解耦法和声学有限元法在计算穿孔管消声器传递损失时具有较高的精度，从而验证了数值解耦分析法的有效性和精确性。并且数值解耦法在实际的工程应用中对复杂穿孔管消声器的研究起到一定的指导意义。同时，相对于声学有限元法节约了大量的计算时间，缩短了复杂穿孔管消声器的研发周期。
参考文献
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[2] Sullivan J W,Crocker M J.Analysis of concentric tube resonators having unpartitioned cavities.Journal of the Acoustical Society of America,1978;64(1):207—215
[3] Iljae Lee M S.Acoustic characteristics of perforated dissipative and hybrid silencers.American:The Ohio State University,2005
[4] 季振林.直通穿孔管消声器声学性能计算及分析.哈尔滨工程大学学报,2005;26(3):302—306
[5] Munjal M.L.Acoustic of Ducts and Mufflers,New York:Widely-Interscience Publication,1987
[6] 赵松龄.噪声的降低与隔离(上册).上海:同济大学出版社,1985
[7] 赵松龄.噪声的降低与隔离(下册).上海:同济大学出版社,1989