矩阵方程

2024-10-14

矩阵方程（共7篇）

矩阵方程篇1

1 矩阵方程概念及有解条件

1.1 矩阵方程的概念

定义1[1]由m×n个数aij(i=1,2…m;j=1,2…n)排成m行n列的数表叫做m行n列矩阵,简称m×n矩阵.其中m×n个数叫做矩阵的元素,aij叫做矩阵A的第i行第j列元素.

1.2 矩阵方程有解条件

矩阵方程:AX=C,XA=C,AXB=C.我们如果去解这些矩阵方程,我们应该先了解他们是否有解,因此我们先看一下解矩阵方程有解的条件.

定理2[2]设A是s×n矩阵,C是m×n矩阵,r(A)表示A的轶,矩阵方程AX=C有解当且仅当r(A)=r(A,C),设这个共同轶为r,那么

(1)当r=m时,该矩阵方程有唯一解.

(2)当r<n时,该矩阵方程有无穷多解.

2 矩阵方程的求解

2.1 逆矩阵法求解矩阵方程

定义3[3]数域p上的m×n矩阵A称为非退化的,如果A≠0,否则称为退化的.

定义4[4]n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,这里E是n级单位矩阵,如果矩阵B适合AB=BA=E,那么B称为A的逆矩阵,记为A-1.

矩阵方程:AX=C,XA=C,AXB=C.如果这里的A,B都是可逆方阵(矩阵可逆的充分必要条件是矩阵是非退化的).则求解时需要找出矩阵的逆,注意左乘和右乘的区别.它们的解分别为:X=A-1C,X=CA-1,X=A-1B-12.2用初等变换法求解解矩阵方程

对于矩阵方程AX=C,XA=C,AXB=C,如果这里的A,B都是可逆方阵.

2.2.1 求A-1C的方法

设矩阵方程:AX=C

其中A是n阶可逆方阵.此时有

因为A-1(A…C)=(E…A-1C),所以把An×n和Cn×m并排放在一起构造成n×(n+m)矩(A…C),然后施行初等变换,即(A…C)→……→初等行变换(E…A-1C)

所以我们要求A-1C,可以

第一步:将这两个矩阵凑在一起,作成矩阵(A┇C)

第二步:对(A┇C)作初等行变换,目的是将A变成单位方阵E;当A变成E时,右边C就变成A-1C,即(A┇C)→…→(E┇A-1C).

2.2.2 求CA-1的方法

设矩阵方程:XA=C.

其中A是n阶可逆方阵,此时有X=CA-1,求CA-1的方法.

第二步:对作初等列变换,目的是将A变成单位阵E;当A变成E时,下面的C就变成CA-1,即

2.2.3 用初等变化法原理也可以求解一些稍为复杂的矩阵方程,如下

求矩阵X.

2.3 待定元素法来求解矩阵方程

设未知矩阵X的元素为xij,即X=(xij),然后由所给的矩阵方程列出xij所满足的线性方程组,通过解线性方程组求出所有元素xij,从而得到所求矩阵X=(xij)[5].

解:利用元素法,先确定X的行数等于左边矩阵的行数3,X的列数等于积矩阵的列数2,则X是3×2的矩阵.

摘要：本文针对求解矩阵方程的问题,给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的三种求解方法,同时给出了算法步骤以及计算实例。

关键词：矩阵方程,逆矩阵,初等变换,系数矩阵

参考文献

[1]赵树塬.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1997.

[2]郝秀梅,杨自胥.线性矩阵方程的解[J].数学通报,1996(2):42-43.

[3]李世栋,等,编.线性代数[M].科学出版社,2002年:第二章.

[4]李君文.线性代数理论与解题方法[M].长沙:湖南大学出版社,2002.

[5]陈公宁.矩阵的理论与应用[M].北京:高等教育出版社,1990.

矩阵方程篇2

提出了关于不相容矩阵方程对(AXB, CXD)=(E, F)最小Frobenius范数问题的一个迭代算法.对于任意的.初始矩阵X0,在没有舍入误差的情况下,运用此算法能在有限步内得到方程对在Frobenius范数意义下的最小解.数值例子表明所提出算法的有效性.

作者：徐相建王明辉魏木生 XU Xiang-jian WANG Ming-hui WEI Mu-sheng 作者单位：徐相建,XU Xiang-jian(南通大学,理学院,江苏,南通226007;华东师范大学,数学系,上海,62)

王明辉,魏木生,WANG Ming-hui,WEI Mu-sheng(华东师范大学,数学系,上海,200062)

刊名：华东师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF EAST CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： “”(3) 分类号：O24 O151 关键词：迭代算法 Kronecker积矩阵方程对 iterative algorithm Kronecker product matrix equation pair

一类二阶振动矩阵方程的求解篇3

在大柔性结构空间、地震工程、机器人、航空航天等很多工程应用领域, 经常会遇到处理二阶动力学系统的振动控制问题[1,2,3], 该系统的动态方程可记为

$\ddot{q} + A \dot{q} + C q = B u$ (1)

式 (1) 中A, C∈Rn×n 和 B∈Rn×r是系统参数矩阵;q∈Rn, $\dot{q} \in R^{n}$ 和 $\ddot{q} \in R^{n}$ 分别是系统的相对位移、速度和加速度向量;u∈Rr是系统的输入向量。

而二阶动力学系统 (1) 的许多基本控制问题, 如观测器、极点配置及特征结构配置[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]等控制问题均与式 (2) 有关:

VJ2+AVJ+CV=BW (2)

式 (2) 中A, C∈Rn×n 和 B∈Rn×r如前述;J∈Cm×m为已知矩阵;V∈Cn×m 和 W∈Cr×m待求。本文中方程 (2) 称为二阶振动矩阵方程。

本文约定, 任何向量 xi∈Cn, i=1, 2, …, m, 可简记为 ${x_{i}}$ , 且记按下述方式构成的矩阵为X=[xi]n×m:

$X = [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{m} \end{matrix}]$ (3)

1 方程求解

本文考虑的主要问题是求解二阶振动矩阵方程式 (2) 。不失一般性, 仅考虑方程式 (2) 中J为若当对角标准型的情形。当J为一般矩阵时, 总可以通过适当变换将其化为若当对角标准型, 不妨记矩阵J的特征值为si, i=1, 2, …, m。

当二阶动力学系统式 (1) 完全可控时[4], 即

rank[s2I+sA+CB]=n, ∀s∈C (4)

成立, 则称矩阵组 (A, B, C) 为可控。当条件式 (4) 满足时, 则存在单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) 使得式 (5) 成立:

$Ρ (s) [s^{2} Ι + s A + C B] Q (s) = [\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}]$ , ∀s∈C (5)

对矩阵Q (s) 如下分块:

$Q (s) = [\begin{matrix} Q_{11} (s) & Q_{12} (s) \\ Q_{21} (s) & Q_{22} (s) \end{matrix}] ‚$

Q11 (s) ∈Rn×r, Q21 (s) ∈Rr×r (6)

定理1 假设矩阵组 (A, B, C) 可控, 则二阶振动矩阵方程式 (2) 的全部解由V=[vi]n×m和W=[wi]r×m给出, 其中 ${v_{i}}$ 和 ${w_{i}}$ 由式 (7) 给出:

$[\begin{matrix} v_{i} \\ w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{11} (s_{i}) \\ - Q_{21} (s_{i}) \end{matrix}] f_{i}$

, i=1, 2, …, m (7)

式 (7) 中{fi}∈Cr是一组自由参量。

证明将矩阵方程式 (2) 写成如下等价形式

(s2iI+Asi+C) vi-Bwi=0, i=1, 2, …, m (8)

首先证明式 (7) 中vi和wi是方程式 (2) 的解。由式 (7) 和式 (8) 可得

$(s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C) v_{i} - B w_{i} = [s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C B] [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] =$

$\begin{array}{l} p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = \\ p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] Q^{- 1} (s_{i}) Q (s_{i}) [\begin{array}{l} f_{i} \\ 0 \end{array}] = \end{array}$

$p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] [\begin{array}{l} f_{i} \\ 0 \end{array}] = 0$

。

也即式 (7) 成立。

下面证明方程式 (8) 的解均可由式 (7) 给出, 即完备性证明。

在式 (8) 两端分别左乘P (si) , 可得

$Ρ (s_{i}) [s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C B] [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = 0$

将式 (6) 代入上式, 则有

$[\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}] Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = 0$

。

记

$[\begin{matrix} f_{i} \\ e_{i} \end{matrix}] = Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}]$

(9)

则式 (9) 等价于

$[\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{i} \\ e_{i} \end{matrix}] = 0$

故有

ei=0。

从而式 (9) 等价于

$[\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}] = Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}]$

。

将上式两端同乘以Q (s) , 则有

$[\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = Q (s_{i}) [\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}]$

。

并将式 (6) 代入上式, 则有

$[\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{11} (s) & Q_{12} (s) \\ Q_{21} (s) & Q_{22} (s) \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}]$

。

将上式展开, 可知式 (7) 成立。通过上述两方面的证明, 该定理证毕。

当矩阵组 (A, B, C) 可控时, 存在单模阵P (s) 和Q (s) 满足式 (5) , 不妨对矩阵Q (s) 的分块如下标记:

$Q (s) = [\begin{matrix} Ν_{1} (s) & Ν_{2} (s) \\ D_{1} (s) & D_{2} (s) \end{matrix}]$

其中

N1 (s) ∈Cn×r, N2 (s) ∈Cn×n,

D1 (s) ∈Cr×r, D2 (s) ∈Cr×n,

则式 (5) 等价于

$[s^{2} Ι + s A + C B] [\begin{matrix} Ν_{1} (s) & Ν_{2} (s) \\ D_{1} (s) & D_{2} (s) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & Ρ^{- 1} (s) \end{matrix}]$

显然下式成立

(s2I+sA+C) N1 (s) -B (-D1 (s) ) =0,

(s2I+sA+C) N2 (s) +BD2 (s) =P-1 (s) ,

从而可得到满足下述右互质分解表达式

(s2I+sA+C) -1B=N (s) D (s) -1, ∀s∈C

(10)

的互素矩阵N (s) 和D (s) 分别为

N (s) =N1 (s) , D (s) =-D1 (s) (11)

通过引入右互质分解, 由定理可推导出下述推论。

推论1 假设矩阵组 (A, B, C) 可控, 则二阶振动矩阵方程 (2) 的全部解由V=[vi]n×m和W=[wi]r×m给出, 其中 ${v_{i}}$ 和 ${w_{i}}$ 由式 (12) 给出:

$[\begin{matrix} v_{i} \\ w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Ν (s_{i}) \\ D (s_{i}) \end{matrix}] f_{i}$

(12)

式 (12) 中{fi}∈Cr是一组自由参量。

定理1和推论1均给出了二阶振动矩阵方程式 (2) 解的参数化表达式, 针对该解作如下说明:

说明1:自由参量组{fi}∈Cr代表了方程式 (2) 的解矩阵V和W中的全部自由度, 其个数为m×r。通过适当选取 ${f_{i}}$ , 可以得到方程式 (2) 的具有某些特殊性质的解。

说明2:利用定理1求解二阶振动矩阵方程式 (2) 时, 只需利用矩阵初等变换求解满足 (5) 的单模阵P (s) 和Q (s) , 然后由公式 (7) 便可以给出矩阵V和W的各列。

说明3:利用推论1求解二阶振动矩阵方程式 (2) 时, 只需求解满足式 (3) 的右互素矩阵N (s) 和D (s) , 然后由公式 (12) 便可以直接给出矩阵V和W的各列。

2 求解算法

根据定理1, 可得二阶振动矩阵方程式 (2) 的求解算法, 简记为算法1, 其对应各步骤如下。

1) 计算矩阵[s2I+sA+CB]的秩是否满足条件式 (4) , 即验证系统的可控性。如果系统可控, 继续下述各步骤;

2) 计算满足式 (5) 的单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) ;

3) 对步骤2) 所得矩阵Q (s) 进行分块, 形如式 (6) ;

4) 给出向量fi∈Cr, i=1, 2, …, m的数值或参量表示;

5) 利用式 (7) 分别计算矩阵列向量vi和wi, i=1, 2, …, m;

6) 将步骤5) 中的矩阵列向量写成矩阵形式, 便得矩阵V和 W。

根据推论1, 可得二阶振动矩阵方程的另外一种求解算法, 简记为算法2, 其对应各步骤如下。

1) 计算矩阵[s2I+sA+CB]的秩是否满足条件 (4) , 即验证系统的可控性。如果系统可控, 继续下述各步骤;

2) 计算满足式 (5) 的单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) ;

3) 对步骤2) 所得矩阵Q (s) 进行分块, 形如式 (6) ;

4) 标记Q (s) 的分块矩阵, 形如式 (11) ;

5) 给出向量fi∈Cr, i=1, 2, …, m的数值或参量表示;

6) 利用式 (12) 分别计算矩阵列向量vi和 wi, i=1, 2, …, m;

7) 将步骤6) 中的矩阵列向量写成矩阵形式, 便得矩阵V和 W。

3 数值算例

研究如图1所示的三级质量弹簧系统[4], 其对应的二阶振动矩阵方程 (2) 中的参数矩阵为

$A = [\begin{matrix} - 2.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & - 2.5 & 2 \\ 0 & 2 & - 2 \end{matrix}]$

$C = [\begin{matrix} - 10 & 5 & 0 \\ 5 & - 25 & 20 \\ 0 & 20 & - 20 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

。

容易验证矩阵组 (A, B, C) 可控;利用矩阵初等变换求得满足式 (5) 的单模阵P (s) =I3和

$\begin{array}{l} Q (s) = \\ \begin{matrix} [\begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{1}{40} s + \frac{1}{100} s^{2} & - 4 & 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{50} s & 0 \\ \frac{1}{200} s - \frac{1}{20} & 0 & 0 & \frac{1}{100} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ α & β & 1 & γ & 0 \\ \frac{1}{100} (s + 10)^{2} & s^{2} + 2 s + 20 & 0 & \frac{1}{50} s - \frac{1}{5} & 1 \end{matrix}] \end{matrix} \end{array}$

其中: $α = - \frac{1}{100} s^{4} + \frac{1}{20} s^{3} + \frac{29}{100} s^{2} - \frac{33}{40} s - \frac{9}{4}, β = 4 s^{2} - 10 s - 40, γ = \frac{1}{50} s^{3} - \frac{3}{10} s^{2} + \frac{21}{50} s + \frac{49}{20}$

从而由式 (11) 可知满足式 (10) 的既约分解矩阵为

$Ν (s) = [\begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{1}{40} s + \frac{1}{100} s^{2} & - 4 \\ \frac{1}{200} s - \frac{1}{20} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

和

$D (s) = [\begin{matrix} A & - 4 s^{2} + 10 s + 40 \\ - \frac{1}{100} (s + 10)^{2} & - s^{2} - 2 s - 20 \end{matrix}]$

。

式中 $A = \frac{1}{100} s^{4} - \frac{1}{20} s^{3} - \frac{29}{100} s^{2} + \frac{33}{40} s + \frac{9}{4}$

假设矩阵J的特征值分别为

s1=-2, s2=-3, s3=-4, s4=-5,

此时矩阵J阵为下述若当对角标准型:

J=diag $(\begin{matrix} - 2 ‚ & - 3 ‚ & - 4 ‚ & - 5 \end{matrix})$ 。

由算法2可知, 此时方程式 (2) 的解矩阵为

$V = [\begin{matrix} Ν (s_{1}) f_{1} & Ν (s_{2}) f_{2} & Ν (s_{3}) f_{3} & Ν (s_{4}) f_{4} \end{matrix}]$ ,

和

$W = [\begin{matrix} D (s_{1}) f_{1} & D (s_{2}) f_{2} & D (s_{3}) f_{3} & D (s_{4}) f_{4} \end{matrix}]$ 。

记

$f_{1} = [\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}]$

$f_{2} = [\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}]$

$f_{3} = [\begin{matrix} x_{3} \\ y_{3} \end{matrix}]$

$f_{4} = [\begin{matrix} x_{4} \\ y_{4} \end{matrix}]$

。

则方程式 (2) 的矩阵通解为

$V = [\begin{matrix} A 1 \\ - \frac{1}{25} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} \begin{matrix} A 2 & A 3 & A 4 \\ - \frac{7}{200} x_{2} & - \frac{3}{100} x_{3} & \frac{1}{40} x_{4} \\ y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{matrix}]$

。

式中 $A 1 = - \frac{4}{25} x_{1} - 4 y_{1} ‚ A 2 = - \frac{17}{200} x_{2} - 4 y_{2} ‚ A 3 = \frac{1}{100} x_{3} - 4 y_{3} ‚ A 4 = \frac{1}{8} x_{4} - 4 y_{4}$ 。

和

$W = [\begin{matrix} 4 y_{1} & B 2 & B 3 & B 4 \\ C 1 & C 2 & C 3 & C 4 \end{matrix}]$

。

式中 $B 2 = - \frac{27}{40} x_{2} - 26 y_{2} ‚ B 3 = \frac{7}{100} x_{3} - 64 y_{3} ‚ B 4 = \frac{27}{8} x_{4} - 110 y_{4} ‚ C 1 = - \frac{16}{25} x_{1} - 20 y_{1} ‚ C 2 = - \frac{49}{100} x_{2} - 23 y_{2} ‚ C 3 = - \frac{9}{25} x_{3} - 28 y_{3} ‚ C 4 = - \frac{1}{4} x_{4} - 35 y_{4}$ 。

若取自由参量为

x1=y2=x3=y4=1, y1=x2=y3=x4=0,

则与其相对应的解矩阵为

$V = [\begin{matrix} - 0.16 & - 4 & 0.01 & - 4 \\ - 0.04 & 0 & - 0.03 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}]$

和

$W = [\begin{matrix} 0 & - 26 & 0.07 & - 110 \\ - 0.64 & - 23 & - 0.36 & - 35 \end{matrix}]$

。

4 结论

本文给出了一类二阶振动矩阵方程的一种参数化解, 通过一系列矩阵初等变换和矩阵计算, 便可算得该方程解矩阵的参数化化表达式, 其所含参数提供了解的自由度, 选取不同参数可获得不同的数值解。最后, 数值例子表明本文所给方程的求解方法的简单及有效性。

矩阵方程篇4

本文研究非线性矩阵方程

的Hermite正定解, 其中 I是一个n阶单位矩阵, A*表示矩阵A的共轭转置.现实生活中, 方程 (1) 的来源相当广泛, 包括控制理论, 动态规划, 梯形网络分析, 差值问题等。

对此类方程已经有很多结论 (见[1-5]) , Ran[5]用归约方法证明了方程m=1总有唯一的正定解, 但是过程比较复杂.本文给出一种简单的新方法, 利用最基本的不动点定理证明了解的唯一性, 并给出了解的迭代方法。最后用数值例子验证了理论结果。

一、正定解的存在性和解的估计

以下方程的解总是指Hermite正定解。

定理1对任意的A∈Cn×n, Eq. (1) 总有解。

定理2如果X是Eq. (1) 的解, 则

二、解的唯一性

要证明解的唯一性, 我们需要证明以下引理。

定理3对任意的A∈Cn×n, Eq. (1) 存在唯一的解X, 并且对任意的X0∈P (n) , 迭代序列

考虑逆序矩阵序列 (2) , 令取X0=I, 则

利用数学归纳法我们可以证明

对任意的X0>0, 有

由归纳假设, 对任意的n=1, 2, …, 有

在以上不等式两边令得

命题得证。

三、数值例子

下面用一个数值例子来说明以上结论。以下所有计算结果用MATLAB7.01得到。

例1对Eq. (1) 取m=2和

利用迭代 (2) 得到Eq. (1) 唯一的正定解为

由

通过计算, 可以得到矩阵X-I的特征值分别为1。4068和0.0930, 所以X-I是正定矩阵。同样, 我们可以得到F (I) -X的特征值为1.8496和0.1192, 所以F (I) -X也是正定矩阵, 也就是说X属于区间[I, F (I) ], 这和定理2的结论是吻合的。

摘要：文章讨论非线性矩阵方程X-m∑i=1A*sX-1Ai=I的Hermite正定解。用一种新的方法证明了方程总有唯一的Hermite正定解, 并给出了解的迭代方法。最后用数值例子验证了文章的结论。

关键词：矩阵方程,Hermite正定解,唯一解,迭代方法

参考文献

[1]Ferrante A, Levy B.C.Hermitian solution of the equation[J].Linear Algebra Appl., 1996 (247) :359-373.

[2]张凤秋, 伍国兴.非线性矩阵方程[J].哈尔滨师范大学自然科学学报, 2012 (03) :12-14.

[3]龙建辉, 何佑梅, 詹慧菁.矩阵方程的Hermite正定解[J].赣南师范学院学报, 2009 (06) :10-12.

[4]李海龙.非线性矩阵方程的最大Hermite正定解[J].东北师大学报 (自然科学版) , 2008 (02) :12-14.

一类非线性矩阵方程组性质的研究篇5

本文主要研究非线性矩阵方程组

其中A, B为非奇异矩阵, Q为Hermite正定阵.讨论方程组的Hermite正定解的最大最小特征值与系数矩阵的特征值之间的关系, 给出解的存在范围, 并得到方程组存在Hermite正定解的充要条件。

1主要结果

定理1若λ-, λ+分别为方程组 (1) Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值, ?-, ?+分别为方程组 (1) Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值, θ-, θ+分别为Q的最小特征值和最大特征值, η, ξ分别为A, B的特征值.那么,

证明:假设v为矩阵A对应于特征值浊的特征向量, 且||v||=1, 棕为矩阵B对应于特征值孜的特征向量, 且。

定理2若方程组 (1) 存在Hermite正定解, 那么

证明:因为 (X, Y) 是方程组的Hermite正定解, 所以

所以X>Q, Y>Q。

由Y>Q可知A*Y-nA

那么X=Q+A*Y-nA

因此Q

同理可证Q

定理3方程组 (1) 存在Hermite正定解当且仅当矩阵A, B满足A=蓸P*P蔀n/2N, B=蓸R*R蔀m/2M。其中P, R为非奇异矩阵且满足R*R-N*N=Q, P*P-M*M=Q此时方程组的解为 (R*R, P*P) 。

证明:若方程组 (1) 存在正定解 (X, Y) , 令X=R*R, Y=P*P, 其中R, P为非奇异矩阵。那么方程组可写为

若A, B满足A= (P*P) n/2N, B= (R*R) m/2M, 且R*R-N*N=Q, P*P-M*M=Q

令X=R*R, Y=P*P。那么X, Y正定且为Hermite阵。此时

由此, 方程组 (1) 的Hermite正定解可记为 (R*R, P*P) 。

摘要：讨论了方程组X-A*Y-nA=QY-B*X-mB=Q嗓Hermit正定解的性质及存在条件.

关键词：非线性矩阵方程组,Hermit正定解

参考文献

[1]Asmaa M.Al-Dubiban.Iterative Algorithmfor Solvinga Systemof Nonlinear Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics, 2012, 2012:1-15.

[2]高东杰.矩阵方程X=Q+A*X-qA (0<q<1) 的Hermite正定解[J].信息系统工程, 2010 (11) :134-135.

矩阵方程篇6

1 相关定义与定理

矩阵的广义逆是矩阵的逆的推广, 因此对于矩阵的广义逆, 首先应该满足对于奇异矩阵或者非正方形矩阵也存在, 其次应该具有和通常的逆矩阵类似的性质, 最后是当求解那些具有可逆矩阵的广义逆时应该可以还原成通常意义下的矩阵的逆。

定义1 设矩阵A为M·N矩阵, 如果存在N·M矩阵X满足AXA=A, 那么称矩阵X为矩阵A的广义逆矩阵, 矩阵A的广义逆矩阵记为A-。

定理1 设M·N矩阵A的秩为r, M·M矩阵Q的秩为M, N·N矩阵P的秩为N, 如果矩阵A, Q, P满足等式 (1) ,

undefined

那么对于任意的 (N-r) · (M-r) 矩阵L, 矩阵

undefined

是矩阵A的广义逆。

矩阵的广义逆是矩阵的逆的推广, 对于奇异矩阵或者长方形矩阵均存在广义逆。但是需要注意的是, 矩阵的广义逆矩阵不是唯一的, 而矩阵的逆矩阵是唯一的。定理2将说明:如果对于存在逆矩阵的矩阵求解其广义逆矩阵, 那么得到的结果却是一样的, 即矩阵的广义逆是矩阵的逆的推广。

定理2 设矩阵A为M·N矩阵, 矩阵A的广义逆矩阵唯一的充分必要条件是矩阵A为非奇异矩阵, 且满足A-=A-1。

线性代数研究的一个关键问题就是线性方程组的求解问题。对于线性方程组的求解分析过程如下图所示。

定理3 设矩阵A为M·N矩阵, 向量b为M行的行向量, 线性方程组AX=b存在解的充分必要条件是AA-b=b, 并且线性方程组AX=b的通解表达式为X=A-b+ (E-A-A) y, 其中向量y为M行的行向量。

证明:充分性

根据条件AA-b=b, 假定x0=A-b, 那么Ax0=b, 即x0是线性方程组AX=b的解, 因此线性方程组AX=b存在解, 充分性得到了证明。

必要性

根据线性方程组AX=b存在解, 不妨假定X是线性方程组AX=b的一个解。根据矩阵的广义逆的定义AA-A=A, 可以得到

b=AX=AA-AX=AA-b (3)

令X=A-b+ (E-A-A) y, 则

AX=A[A-b+ (E-A-A) y]

=AA-b+Ay-AA-Ay

=AA-b+Ay-Ay=AA-b=b (4)

即X=A-b+ (E-A-A) y是线性方程组AX=b的解。

设X是线性方程组AX=b的任意解, 则X=A-b+ (E-A-A) X

因此线性方程组AX=b的通解是X=A-b+ (E-A-A) y, 其中向量y为M行的行向量。由此必要性得到了证明。

对于线性方程组AX=b, 许多的时候线性方程组的解不是唯一的, 而对于实际的问题的求解往往需要知道一个最优的解。数学上一般定义所有的解中使得范数undefined取得最小的那个解作为最优解。

定理4 设矩阵A为M·N矩阵, A-为矩阵A的广义逆矩阵。如果矩阵A的广义逆矩阵A-满足 (A-A) T=A-A, 并且线性方程组AX=b存在解, 那么X0=A-b是线性方程组AX=b最小范数下的解。

线性方程组AX=b很多时候不存在解, 即不存在精确解, 这样的问题在数据处理以及与正态分布相关的统计问题中常常会遇到。为了解决这类实际问题, 需要求解线性方程组的近似解使得满足误差的范数达到最小, 即undefined。矩阵的广义逆的引入对于求解无精确解的非线性方程具有突出的贡献。

定理5 设矩阵A为M·N矩阵, A-为矩阵A的广义逆矩阵。存在N·M矩阵G使得X=Gb为不存在精确解的线性方程组AX=b的最小范数解的充分必要条件是矩阵G是矩阵A的广义逆, 并且满足 (AG) T=AG。

2 MATLAB在线性方程组中的应用

MATLAB是一款非常重要的计算软件, 在线性方程组的求解中具有非常重要的应用。在MATLAB中采用命令pinv就可以求解矩阵的广义逆, 并且得到的矩阵的广义逆矩阵满足 (AA-) T=AA-。

线性方程组AX=b求解的算法如下:

判断向量b是否为零向量。如果向量b是零向量, 那么判定线性方程组为齐次线性方程组;如果向量b是非零向量, 那么判定线性方程组为非齐次线性方程组。

当线性方程组为其次线性方程组时, 判定矩阵A的秩和矩阵A的行数。如果矩阵A的秩大于等于矩阵A的行数, 那么最终判定方程组有非零解;反之, 判定方程组仅有零解。

当线性方程组为非齐次线性方程组时, 判定矩阵A和矩阵[A, b]的秩是否相等。如果矩阵A的秩不等于矩阵[A, b]的秩, 那么判定线性方程组无解, 采用pinv命令求解矩阵A的广义逆, 获得线性方程组的最小范数解;反之, 判定线性方程组有解, 采用pinv命令求解线性方程组的最小范数解。

采用MATLAB软件编写的线性方程组的求解主程序如下:

3 实例分析

求解如下的5个线性方程组。

undefined

问题求解结果如下:

对于线性方程组 (5) 求得的结果为:线性方程组为齐次线性方程组;线性方程组只有零解。对于线性方程组 (6) 求得的结果为:线性方程组为齐次线性方程组;线性方程组有非零解。对于线性方程组 (7) 求得的结果为:线性方程组有唯一解, 为X, X=[8.2222 0.6667-0.8889]’。对于线性方程组 (8) 求得的结果为:线性方程组有无穷多组解, 最小范数解为X, X=[2.8509 0.3070 2.4561]’。对于线性方程组 (9) 求得的结果为:线性方程组无解, X为在最小范数意义下的近似解。X=[5.5743 0.8614]’。

4 结论

本文的研究对于系统的学习线性方程组的求解具有一定的参考价值, 同时对于发展线性方程的求解理论也具有一定的指导意义。

摘要：许多问题往往都可以转化为线性方程组的求解问题, 如何求解线性方程组成为许多问题求解的关键。基于矩阵的广义逆, 本文研究了矩阵的广义逆在线性方程组求解中的应用。本文首先提出了矩阵的广义逆的概念, 然后采用矩阵的广义逆指出了线性方程组存在解和不存在解时的条件, 并且给出了具体的求解流程图, 最后提供了具体的求解实例。本文的研究对于分析线性方程组的求解问题具有一定的指导意义。

关键词：矩阵,广义逆,线性方程组

参考文献

[1]程云鹏.矩阵论[M].2版.西安:西北工业大学出版社, 2000:120-124.

矩阵方程篇7

1968年Veselago[1]首先从理论上预测了一种介电常数ε和磁导率μ同时为负的新型介质的存在。1999年Pendry等[2]提出周期性排列的开口谐振环(SRRS)处在谐振频率附近时有效磁导率εeff为负,周期性排列的金属杆结构在低频时有效介电常数μeff为负,从而在实验上证实了负折射率介质的可行性。文献[3,4]给出了3层不对称负折射率平板波导的色散曲线、场分布与光波传播特性等。文献[5,6]讨论了3层左手介质平板波导当横波数为纯虚数时模式为表面模的情况。由于多层平板波导在模场分析、模式截止和功率约束等方面具有许多独特的性质,因此,这种结构在半导体激光器、光波导定向耦合器、光波导偏振器等波导器件中有着重要的应用。

利用矩阵方法表述光在多层介质中的传播是一种简单有效的方法。该方法计算方便,物理意义明确。M.玻恩和E.沃耳夫利用特征矩阵求解了多层薄膜的透射和反射问题[7];A. Yariv等利用光线矩阵讨论了透镜或似透镜介质的传输问题[8];而曹庄琪则利用波动方程的特解,构造出一种与特征矩阵不同的实矩阵——转移矩阵[9]。本研究从波动方程出发,根据电磁场的边界条件,采用转移矩阵的方法,推导出一种芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统中TE波和TM波的模式本征方程,并用图解法对这种平板波导中TE波的场分布进行了数值模拟。其特有的性质在实际设计和制作新型光波导器件中有潜在的应用价值。

1 3层平板波导模式本征方程的转移矩阵

3层介质平板波导结构及选用的坐标系如图1所示。

波导层的厚度为h, 相对介电常数和相对磁导率分别为εr1、μr1,覆盖层和衬底的相对介电常数和相对磁导率分别为εr2、μr2和εr0、μr0,取εr1μr1>εr2μr2、εr0μr0。设电磁波沿z方向传播,传播常数为β。对于TE波,电场只有y分量,E=Ey,且满足波动方程:

undefined

式中:undefined是光在真空中的波数,ω为光波的频率。在波导层内电磁场是振荡的,在覆盖层和衬底中电磁场是指数衰减的。

利用波动方程的特解,结合TE波的边界条件:电场Ey以及电场的一阶导数∂Ey/μ∂x在分界面x=0和x=h处连续,可以推得以下矩阵方程:

undefined

(TE波) (2)

式中:Ey(0)、E′y(0)是芯层和衬底界面处在衬底一侧的电场及其一阶导数,Ey(h)、E′y(h)是芯层和覆盖层界面处在覆盖层一侧的电场及其一阶导数,κ1=(kundefinedεr1μr1-β2)1/2是电磁波在导波层中的横向波数。

利用转移矩阵的性质,MM-1=E(M-1是M的逆矩阵),可以得到反向传递关系:

undefined

(TE波) (3)

根据文献[9]的方法,利用转移矩阵的不变形式,可以推导出3层平板波导的模式本征方程。这里只需要考虑覆盖层和衬底介质的场,而不再考虑波导层的场分布。TE波的模式本征方程的矩阵形式为:

undefined

(TE波)

(4)

式中:p0=(β2-κundefinedεr0μ0)1/2,p2=(β2-κundefinedεr2μ2)1/2分别为电磁波在衬底和覆盖层的衰减系数。对应的2×2矩阵称为TE波的转移矩阵:

undefined

同理得到TM波的模式本征方程的矩阵形式为:

undefined

(TM波) (6)

对应的TM波的转移矩阵为:

undefined

2 4层左手介质平板波导TE波的模式本征方程

4层介质平板波导结构及选用的坐标系如图2所示,中间2个芯子层中一层为左手材料,厚度为h1, 相对介电常数和相对磁导率为εr1、μr1(εr1<0,μr1<0),另一层为普通材料,厚度为h2, 相对介电常数和相对磁导率为εr2、μr2,覆盖层和衬底的相对介电常数和相对磁导率分别为εr3、μr3和εr0、μr0,取εr1μr1>εr2μr2>εr0μr0、εr3μr3。设光沿z方向传播,传播常数为β。传播常数β有2种选择,下面分别进行讨论。

(1)假设kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3,可知导波层位于(0,h1+h2)的范围,即在中间两层薄膜中电磁场是振荡的,在覆盖层和衬底中电磁场是指数衰减的。以TE波为例,根据转移矩阵理论[10],得到4层左手介质平板波导的模式本征方程的矩阵形式:

undefined

对应的TE波的转移矩阵分别为:

undefined

式中:κ1=(kundefinedεr1μr1-β2)1/2和κ2=(kundefinedεr2μr2-β2)1/2分别为介质1和介质2中导波层的横向波数,p0=(β2-kundefinedεr0μr0)1/2和p3=(β2-kundefinedεr3μr3)1/2分别为衬底和覆盖层中的衰减系数。

由式(8)得到4层左手介质平板波导中TE波的模式本征方程为:

undefined

其中p2定义为:

undefined

(2)假设kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2,此时κ2=iα2,可知在左手材料层中电磁场是振荡的,而在介质2、覆盖层和衬底中电磁场都是衰减的,α2是介质2中的衰减系数。利用cos(ix)=cosh(x),sin(ix)=isinh(x),转移矩阵M1的形式不变,与式(9)中的M1相同,但转移矩阵M2变为:

undefined

模式本征方程还具有以下形式:

undefined

但p2的定义为:

undefined

3 4层左手介质平板波导TE波的模式和场分布

以TE波为例,这里只讨论传播常数在kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3的情形。由于模式本征方程式(10)为超越方程,没有解析解,可采用图解法来确定给定波导参数时的本征方程的解,然后确定该模式的场分布。因为undefined,将κ2h1、p0h1、p3h1写成κ1h1形式:

undefined

式中:undefined。

则模式本征方程式(10)右边可以表示为κ1h1的函数,记作f(κ1h1):

undefined

图3为用Matlab软件画出的函数tan(κ1h1)和f(κ1h1)曲线,其中虚线为tan(κ1h1)-κ1h1的函数关系,实线为f(κ1h1)-κ1h1的函数关系,它们的交点即是对应于不同导模的解。导模的解与各层介质的折射率、厚度、工作频率等有关。这里取ε0=1、μ0=1、ε1=-2.25、μ1=-1、ε2=2.10、μ2=1、ε3=1、μ3=1、b=3.1、c=d=9、h2/h1=2、k0h1=8.05,从图3中可以读出4个TE模的κ1h1值分别为3.43、4.52、6.43、8.28,不同的κ1h1值对应不同的导模。

4层左手介质平板波导在各区域的电场分布可以表示为:

E0y(x)=Aexp(p0x) (x<0)

E1y(x)=Bcos(κ1x)+Csin(κ1x) (0

E2y(x)=Dcos[κ2(x-h1)]+Esin[κ2(x-h1)] (h1

E3y(x)=Fexp[-p3(x-h1-h2)] (x>h1+h2) (17)

式中:κ1和κ2分别是介质1(左手介质)和介质2(普通介质)中的横向波数,p0和p3分别是衬底和覆盖层中的衰减系数,A、B、C、D、E、F是积分常数。利用TE波的边界条件:电场Ey以及电场的一阶导数∂Ey/μ∂x在分界面x=0、x=h1、x=h1+h2 3个边界面上连续,可以求得各系数A、B、C、D、E、F之间的大小关系,从而确定波导中的电场分布。与3层左手介质平板波导的传播特性有很大的不同[10],在上述结构参数下,模式TE0不存在,模式TE1、TE4、TE5、TE8的电场分布如图4所示,模式TE2、TE3、TE6、TE7缺失。利用这种模式缺失,有望实现按不同需求选择相应的导波模式传输[11,12]。

对于传播常数kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2可作类似的讨论,此时电磁场在左手材料层中是振荡的,而在介质2、覆盖层和衬底中都是指数衰减的。由于左手介质的介电常数和磁导率都是负值,所以在这种左手介质光波导中既可支持振荡导模,也可支持表面导模[6,13]。

4 结论

利用波动方程以及电磁波的边界条件,采用转移矩阵法,对一个芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统进行了模式本征方程的推导,得到了在kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3和kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2两种情形下TE波的转移矩阵和模式本征方程。利用Matlab软件采用图解法对这种包含左手介质的4层平板波导中TE波的场分布分别进行了数值模拟。其特有的性质在实际设计和制作新型光波导器件有潜在应用。

摘要：研究了一个芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统。从波动方程出发,根据电磁场的边界条件,得到了TE波的转移矩阵和模式本征方程,并用图解法对这种左手介质4层平板波导中TE波的场分布分别进行了数值模拟。

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