姿态变换矩阵（共4篇）
姿态变换矩阵 篇1
1 引言
目前中国电梯市场上的产品主要是基于矢量控制的变频变压调速系统，从结构上看，采用的都是间接变频装置，即交——直——交变频装置。
交——直——交变频器存在一些缺点，如其前级交——直变换一般均为三相桥式整流电路，谐波含量高，功率因数也低，对电网形成污染;另外，其直流母线上有与容量相关的滤波电解电容器，成为设备寿命的瓶颈，也使变频器功率密度受到限制;同时电机因制动等原因产生的能量也不能回馈给电网，就不可避免地存在能量浪费现象。
电梯作为垂直运输的交通工具，其驱动系统经常处于动能和势能的能量转换之中。从图1可以知道，当电梯重载被提升时，系统的能量是从左往右输出，当电梯重载下降时，系统的能量就会从右往左反馈，由于左面的是一个三相整流装置，是不可逆的，能量只能积聚在系统的直流侧。对于小容量的电梯，一般是通过在直流侧增加电阻把能量消耗掉的方法。但是对于大容量的电梯，这需要很大功率的电阻并且也浪费了巨大的能量。为解决这个问题，现在有些高档的电梯采取的是在直流侧增加一组逆变装置，如图2所示，将能量逆变回电网，但是这样系统就变得复杂，成本也大大提高了。
矩阵变频装置是一种新型的交——交变频装置。与传统的交——交变频装置及交——直——交变频装置相比，矩阵式变频装置具有明显的优点：低谐波污染、优良的功率因数、输出的电压幅值和频率范围连续可调、能量双向流动、电机可四象限运行、无中间储能环节、体积紧凑。
矩阵变频装置应用在高速大载量的电梯上具有十分明显的经济效益。首先，矩阵变频装置是一次换能，效率较高。其次，由于省去中间的直流储能元件，体积变小，节省空间，特别适合于小机房的场合。第三，电梯的势能被转化为电能回馈电网，而不是通过电阻浪费掉，极大的节省了能源。
2 矩阵式变换器的工作原理
2.1 矩阵式变换器控制策略概述
矩阵变换器有多种控制方法。根据控制目标不同，可分为电流控制法和电压控制法两大类。间接控制法是电压控制法的一种，是基于空间矢量变换的一种方法，将变换器虚拟为一个整流器和一个逆变器经中间直流环节串联，然后对整流器和逆变器分别进行电流空间矢量调制和电压空间矢量调制(SVPWM)，再消去中间直流环节，就可以得到整个变换器的空间矢量调制。文章的研究正是基于这种方法进行的。
2.2 矩阵式变换器的交——直——交等效变换
三相矩阵式变换器交——交直接变换关系可以从等效的交——直——交变换中推得，可采用虚拟整流器和虚拟逆变器构成的结构来代替，如图3所示。这样就可以充分利用已有成熟的交——直——交变换中的PWM控制技术，并可通过对比分析出如图4所示实际矩阵式变换器的开关控制规律。
可以推导出实际矩阵式变换器和等效交——直——交结构开关函数之间的对应关系：
限定条件为：1≤SGm+SJn+SKl≤2 (2)
式中G, J, K∈A∈，B, C∈，m, n, l∈a，∈b, c∈，且G≠J≠K, m≠n≠l。
这个限定条件意味着矩阵式变换器的三条输出线只能连到一条或两条输入线上，不能分别连到三条不同的输入线上。这是因为采用了等效交——直——交方法后，中间虚拟直流环节电压只能是两个输入相电压之差。
输出的相电压为：
式中Uom为输入相电压的幅值，m为调制系数，φi为输入功率因数角。因此选择不同的cosφi，就可以调制出不同的输入功率因数，可以超前、滞后或为1。若且m=1，则输入输出电压的最大增益为：
输入的相电流为：
式中cosφL为输出负载的功率因数，Iom为输出线电流的幅值。
由可得输入功率：
式中Ui、Ii、Uo、Io分别表示相应电压或电流的有效值，Pin、Pout表示输入和输出功率，Pin=Pout说明调制过程中满足输入输出有功功率相等。
2.3 等效交——直——交结构的空间矢量调制
由于矩阵式变换器可以等效成虚拟交——直——交变换器，因此可以采用较为成熟、性能优越的空间矢量调制方式。
电压矢量由三相输出电压在复空间中经Park变换可得：
其中
由于输出不可断路，这样三相输出端A、B、C与输入端P、N相连的两个开关中，必有一个开通。可以推出对于三相逆变器(DC/AC变换)功率元件开关动作所能形成的定子电压空间矢量有8种，每种矢量对应一组开关状态序列(A、B、C三相开关与直流母线P、N端的连接状态)。即6种有效矢量U1～U6, 2种零矢量U7、U8，则它们的空间位置和相互关系如图5所示。
定义一个输出线电压参考矢量如果采用上述8种电压空间矢量来合成Uref，就可以得到所需的输出频率为fo=ωo/2π的三相正弦输出线电压。以逆变器为例，按图5矢量区间的划分和时刻t输出线电压参考矢量在区间I的空间位置，可以用其平均方向与该Uref方向相同的两个相邻电压矢量U1、U6和零矢量来合成，各矢量的作用时间可用开关周期Ts中的占空比来表示：
U1矢量：dx=TsTx=musin (1/3π-θv) (8) U6矢量：dy=TsTy=musinθv (9)零矢量：dou=TsTou=1-dx-dy (10)
其中，θv是输出线电压的相角，调制系数为母线间的电压。
同理对于虚拟整流器部分也可采用复空间表达方式定义输入相电流矢量，获得输入电流空间矢量调制的方案。
由三相电源输入三相交流电压，经过双向开关组成的主电路进行AC/DC变换，根据空间矢量调制原理，输出端P、N之间的直流电压UPN可直接与逆变器(DC/AC)变换电路相连。如前所述，在满足输入相间不短路，即在每一直流输出端只能与一相交流输入端接通的约束条件下，可以得到九种电流矢量，每种矢量对应一组开关状态序列(a、b、c三相开关与直流母线P、N端的连接状态)。即6种有效矢量I1～I6, 3种零矢量I7～I9。如图4所示。
同样定义输入电流参考矢量
可以利用空间矢量的线性组合，采用逼近Iref方式合成输出线电流矢量，如图6所示。
各矢量的作用时间可用开关周期Ts中的占空比来表示：
其中，θi是输入相电流的相角，调制系数0≤mi=Iim/Ip≤1, Ip为母线的电流。
在矩阵式变换器的交——直——交等效结构中，输出线电压矢量调制和输入相电流矢量调制是彼此独立进行的。而在真实的矩阵式变换器中，同一开关即要担负整流的任务，又要担负逆变的任务，整流和逆变的过程是相互包含同时进行的。因此，需要进一步推导得出矩阵式变换器的交——交直接变换的控制下的开关控制策略。
2.4 矩阵式变换器的交——交直接变换控制策略
能满足输入电压不被短路、输出电流不突然开路的矩阵式变换器开关组合共有27种，但有6种在等效交——直——交变换中找不到对应的开关组合，这6种是三个输出相分别连至三个输入相的开关组合。对于等效交——直——交变换的每一合法开关状态，矩阵式变换器有唯一的开关状态与之相对应。
得到了与等效交——直——交结构相对应的矩阵式变换器开关组合之后，还需求出各种开关组合的作用时间(占空比)，以实现矩阵式变换器的交——交直接变换控制。经过对等效交——直——交变换的逆变部分采用输出线电压空间矢量调制、对整流部分采用输入相电流空间矢量调制后，根据开关函数的对应关系可以综合出矩阵式变换器的交——交直接变换控制方式，即双空间矢量PWM调制。在双空间矢量PWM调制实施中，逆变器部分的理想输出线电压基准矢量圆和整流器部分的理想输入相电流基准矢量圆都被划分为6个扇区，从而有36种可能的组合。以虚拟整流器、逆变器均工作在第I扇区为例，可以用于矢量合成的空间电压、电流矢量分别是U1、U6和I1、I6，两个空间矢量的综合调制采用相互嵌套的办法来实现。整个输出线电压和输入相电流矢量合成过程共有U1-I1、U1-I6、U6-I1、U6-I6、及零矢量U0-I0五种组合。每一矢量组合的作用时间用占空比表示时是该组合内各矢量占空比的乘积。即：
根据矩阵变换器开关表，可以得到如下最终的实际开通情况，如表1所示，表中列出了有关开关的连接情况。
这虽然是在两个复平面的第一段内得到的结沦，但对于其他35种组合是同样适用的。因此，基于空间矢量调制的三相矩阵变换器对输入电压源完成了输入正弦电流的调制，对负载完成了输出线电压的正弦调制，输入与输出的频率可以不同，也就实现了交——交变换。
3 理想开关条件下带异步电机负载运行仿真
根据建立的数学模型和双空间矢量PWM调制策略，应用Matlab/Sim ulink软件包和交——交直接变换控制开关表对三相矩阵式变换器拖动异步电机运行构建了仿真模型并进行了仿真。
整个模型分为电源、控制电路、主功率开关电路、负载四个部分。
控制部分电路的实现是整个仿真模型中的关键，首先要根据三相电源的状态判断输入电流参考矢量的位置，计算与之相邻的两个离散的电流矢量需要作用的时间并选用这两个电流矢量合成电流参考矢量;与此同时，由期望的输出电压作为输出电压参考矢量，计算与之相邻的两个离散的电压矢量需要作用的时间并选用这两个电压矢量合成电压参考矢量。然后利用三角载波来实现对合成参考矢量作用时间的控制。最后根据离散矢量的位置确定对应的理想开关序列的开关状态。其输出的开关状态信号用于控制各理想开关的导通和关断。
拖动三相异步电机时，输入端采用了高频滤波器以使输入相电流连续。电机拖动8N·m的恒转矩负载稳态运行时(fo=40Hz)，其输入、输出电压、电流波形如图7所示，稳态输入时的电压电流频谱图如图8所示。可以看出，矩阵式变换器的输出线电压与一般的采用空间矢量调制策略的电压源PWM逆变器的输出线电压类似，也是脉宽按正弦规律变化的脉冲列。不同的是，矩阵式变换器的脉冲列的包络线与输入线电压包络线的一部分相重合，电压型PWM逆变器的输出的幅值是一定值。矩阵式交——交变换器输入电压、电流正弦且基本同相，输出线电压正弦脉宽调制、线电流正弦变化。
从频谱图可以看出，输入电流和输出电压频谱中基波占绝对主要成分，总谐波失真(THD)都比较小。输出线电压的THD稍大，为10.68%，其中在3倍频120Hz附近谐波分量较大，为基波幅值的9.17%。从电压电流的波形和频谱图来看，基本验证了本文模型和控制策略的正确性。
4 总结与展望
矩阵式变换器是80年代以来兴起的重要研究领域之一，作为一种新兴的交——交三相变频器，它解决了目前通用交——直——交或交——交变频器的一些重要问题，如功率因数低，能量不可双向流动，功率密度较低等。
虽然矩阵式变换器进入实用领域依然存在很多的问题有待进一步解决，但随着研究的不断深入，电力电子器件和应用技术的发展以及微机控制技术的发展，控制理论的日益完善，矩阵式变换器必将以其独特的优点在未来产品化方面形成优势，日益接近实用化。
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姿态变换矩阵 篇2
航磁矢量测量由三分量磁力仪和惯性导航设备构成;其中三分量磁力仪专门用于测量矢量空间的磁场值, 其测量的磁场值是基于设本身的姿态信息 (翻滚角、俯仰角、方位角) , 该姿态信息基于地理坐标系, 该坐标系为设备本身的载体坐标系, 随设备姿态变化而变化。惯性导航设备用于测量地理坐标系, 不随设备本身的姿态变化而变化, 因此地理坐标系在航磁测量中被普遍采用作为基准坐标系。
要实现航空磁测姿态坐标变换, 首先就要解决飞行器载体坐标系和地理坐标系之间的相互转换问题。文献[1]对大地坐标和船体坐标之间的相互转换进行了推导, 文献[2]对舰载雷达电子稳定方程的推导进行了分析, 称现有的几种推导方法具有一致性。文献[1]所提出的船体摇摆变换方法是现在广泛采用的方法, 文献[3]是对文献[1]的结论展开进一步的研究。但以上方法都是针对舰船姿态变换而言所进行的姿态变换研究。
本文介绍了一种新的姿态坐标变换方法, 推导出实用的航磁姿态坐标变换公式, 为航磁测量系统姿态坐标变换的实现提供必要的理论依据, 并通过实测数据验证了该坐标变换公式的正确性。
1 航磁测量姿态控制中的相关坐标系的定义
1.1 地理坐标系
地理坐标系XdYdZd (图1) 的原点设在飞行器质量中心在地球对应表面的投影点处。Zd轴沿着地球地心与该坐标系原点的连接线指向天, 并垂直与该点大地水平面。Xd和Yd轴与大地水平面重合, 并分别水平指向东、水平指向北。地理坐标系随着地球自转相对惯性坐标系运动, 并随飞行体的运行相对惯性坐标系运动, 其原点位置由纬度角及经度角确定。
1.2 载体坐标系
载体坐标系 (图2) 是用于描述载体本身的坐标体系, 其随飞行器本身的姿态变化而变化。设载体坐标系XzYzZz的原点位于飞行器质量中心, Yz轴与飞行器纵轴重合并指向首部, Xz轴与飞行器横轴重合并指向右翼, Zz轴与Xz和Yz轴构成右手直角坐标系, 指向飞行器上方。
2 坐标之间变换方法介绍
文献[1]采用的方法是先让坐标各轴分别变换, 得到变换方程后再将三个分别变换后的转换方程合在一起。即首先分析各角度参数中只有一个进行变化, 其它两个角度不变, 然后将三个参数一起变化时的状态综合在一起考虑。若仅考虑翻滚角时, 设翻滚角为α (图3) , 地理坐标系XdYdZd绕Xd轴旋转α角, 则对于飞行器坐标系XrYrZr, 其变换矩阵Tr为:
若仅考虑俯仰角时, 设俯仰角为β时, 地理坐标系XdYdZd绕Yd轴旋转β角, 则对于飞行器坐标系XpYpZp, 其变换矩阵Tp为:
若仅考虑偏航角时, 设偏航角为γ时, 地理坐标系XdYdZd绕Zd轴旋转γ角, 则对于飞行器坐标系XhYhZh, 其变换矩阵Th为:
当翻滚、俯仰和偏航角同时改变时, 应用式 (1) ~式 (3) , 地理坐标系与飞行器载体坐标系之间的变换矩阵Ta为:
飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换方法与上面相同, 分别使载体坐标系反方向旋转α, β, γ, 得到旋转后的旋转矩阵分别为:
仅旋转翻滚角时:
仅旋转俯仰角时:
仅旋转方位角时:
应用式 (5) ~式 (7) , 飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换矩阵Tb为:
然而在实际过程中, 坐标变换应该具有对称性, 先翻滚再俯仰和先俯仰再翻滚效果一样, 按照该思路, 如下姿态变换公式是先俯仰变换, 再翻滚变换, 最后考虑方位变换, 得到的坐标变换公式为:
可以看出, 结果式 (4) 和式 (9) 并不相等, 在文献[4]中指出, 上述姿态变换方法并不准确, 表明地理坐标系到载体坐标系之间由于变换顺序不同, 而推导出的过渡矩阵不同, 因此变换方法是不严密的。
文献[5]中指出, 实际只有在小角度的情况下, 坐标轴的旋转变换才与绕坐标轴的次序无关。即当翻滚角α、俯仰角β、方位角γ均为小角度时, cosk≈1, sink≈k, k为α, β或γ, 无论采用哪种变换次序, 忽略高阶项, 坐标变换矩阵T均可简化为:
然而飞行器实际飞行过程中, 姿态改变是随机的, 且不可能是小角度的变化, 因而文献[1]中推导的坐标变换方法不适用于航空磁测姿态变换。
3 航磁姿态坐标变换分析及验证
3.1 航空姿态角度测量
飞行器的姿态由其自身的载体坐标系XzYzZz与地理坐标系XdYdZd之间的转角 (欧拉角) 决定, 如图4所示。
设飞行器载体坐标系初始状态与地理坐标系重合, 则飞行器的方位角以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的γ角, 即图4中所示∠XdOX1。若在实际过程中, 飞行器因姿态的改变使OX1轴不在水平面上, 则方位角为OX1轴在水平面的投影线与OXd轴之间的夹角, 即方位角的旋转轴始终为铅垂线, 且沿逆时针方向旋转为正, 顺时针方向为负。
飞行器俯仰角的定义为OX1轴与水平面的夹角, 以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转β角至OX2, 即∠X1OX2为俯仰角。且OX2轴在水平面XdOYd之上时为正, 在水平面之下时为负。在此基础上, 以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转α角至OY2, 称∠Y1OY2为翻滚角。不难看出, 翻滚角α一般并不位于铅垂面内, 但始终位于飞行器的纵向平面Y1OZ2内, 其测量轴为OX2轴。
3.2 地理坐标系到飞行器载体坐标系变换
飞行器姿态变换的实质是地理坐标系与载体坐标系之间的矩阵变换, 尽管飞行器在飞行过程中的姿态是任意的, 其顺序并不固定, 但在姿态变换过程中遵循一定的顺序变换, 能够起到将误差减小到最小程度的效果[6—8]。通过以上分析得出, 方位角γ是以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的角度, 其旋转轴垂直于水平面;俯仰角β是以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转的角度, 其旋转轴位于水平面;翻滚角α是以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转的角度, 若俯仰角β为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于水平面内, 若俯仰角β不为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于X1OZd面内。
据此可以推出, 在姿态变换时, 若先进行翻滚角变换, 则地理坐标系在变换后其Zd轴就不垂直于水平面了, 进而进行方位角变换时就会因为Zd轴不垂直而引入误差。因此应首先进行方位角变换, 然后进行俯仰角变换, 其旋转轴为OY1轴, 方位角变换后该轴仍然在水平面内, 因此不会引入姿态变换误差, 最后进行翻滚角变换, 其旋转轴OX1轴位于X1OZd平面内。经过该种顺序的姿态变换 (方位—俯仰—翻滚) , 才与实际情况相符, 且引入的误差最小。
如下对各角度变换进行单独分析, 并得到各自的变换矩阵, 方位角变换如图5中左上图所示, 设点D为空间中任意一点, 其在地理坐标系下坐标为D (Xd, Yd, Zd) , 经过姿态变换后在载体坐标系下坐标为D (X1, Y1, Z1) , 则根据推导得到:
矩阵形式为:
Tγ即为方位角变换的转换矩阵。
同理, 根据图5所示, 分别得到俯仰变换和翻滚变换的矩阵形式为:
将式 (14) ~式 (16) 合并在一起, 由地理坐标系到飞行器载体坐标系的变换矩阵形式为:
式 (17) 中:
将矩阵合并变换后得到:
3.3 飞行器载体坐标系到地理坐标系变换
飞行器载体坐标系到地理坐标系的变换是地理坐标系到载体坐标系姿态变换的逆变换, 由先前分析可知, 由地理坐标系到载体坐标系的姿态变换顺序是先进行方位角变换, 再进行俯仰角变换, 最后进行翻滚角变换, 因此由载体坐标系到地理坐标系的姿态变换顺序是先进行翻滚角变换, 以OX2轴为旋转轴, 顺时针旋转α, 使OZz轴与OZz轴重合;再进行俯仰角变换, 以OY1轴为旋转轴, 反方向旋转β, 使OZ2轴与OZd轴重合;最后进行方位角变换, 以OZd轴为旋转轴, 反方向旋转γ, 使载体坐标系与地理坐标系重合。
与式 (19) 的推导过程类似, 由载体坐标系到地理坐标系姿态变换过程中, 翻滚角变换矩阵Tα1、俯仰角变换矩阵Tβ1、方位角变换矩阵Tγ1分别为:
由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵TD1为:
将矩阵合并变换后得到:
在航磁测量过程中, 根据测得的空间某一点任意姿态的磁场三分量值, 再结合上面推导的由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵, 将磁场三分量值变换到基于基准坐标系 (地理坐标系) 下的磁场三分量数据, 以便于在航磁测量的顺利进行。
3.4 实验验证及分析
为验证上述姿态变换矩阵的正确性, 根据野外实际测试的数据对姿态变换矩阵进行了验证。实验中用于测量飞行器姿态数据的陀螺仪装置和测量空间磁场数据的三分量磁力仪传感器装置安装示意图如图6所示。
设三分量磁力仪装置采集的磁场数据为Dm (x, y, z) , 经过姿态变换后地理坐标系下的磁场数据为Dd (x1, y1, z1) , 则根据图6的两坐标系对应关系, 地理坐标系Xd轴对应磁场分量数据为-z, Yd轴对应磁场分量数据为x, Zd轴对应磁场分量数据为-y。Dm与Dd的关系方程为:
式 (25) 中:TD1为从飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换关系矩阵。
在实验过程中, 所选野外场地磁场环境稳定, 周围无其它磁场源干扰, 磁力仪装置在该环境中静止测量时所记录的总磁场值基本为一恒定值。
实验步骤为:
(1) 使设备按照预定轨迹前进, 并不断改变设备的姿态, 记录并保存数据, 解算后的磁场各分量与总场值如图7所示, 通过图形可以看出, 因为载体坐标系姿态变换的随意性, 磁力仪各分量的磁场值也呈现对应变化, 而总磁场数据基本不变。
图8为各磁场分量值与对应轴姿态变化对比曲线, 其中每幅图形的横坐标表示实验记录时间, 左纵坐标表示磁场分量信息, 右纵坐标表示姿态角度变化信息, 可知二者的参数信息变化趋势一致。
(2) 野外实验场地磁场环境稳定, 经过理论计算, 当对各分量磁场进行姿态变换至地理坐标系下时, 各分量磁场值为恒定值。将基于载体坐标系下的磁场各分量实测数据代入公式 (25) 后, 转换到基于地理坐标系下的磁场数据, 如图9所示, 其中, 左纵坐标为磁场分量在载体坐标系下的曲线, 右纵坐标为经过姿态变换到地理坐标系下对应的磁场数据。
通过图形曲线分析, 经过姿态矩阵变换后地理坐标系下各分量磁场曲线为 (或近似为) 直线, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 和理论计算的结果相符, 验证了姿态变换矩阵的准确性。
图中观察到地理坐标系下各分量磁场曲线并非完全是直线, 原因是设备在测量过程中, 陀螺仪装置和磁力仪探头都有一定的测量偏差, 并不能完全精确测量, 而且实验场地的磁场环境也并非绝对稳定, 这些都会带来最终结果的误差。
实验表明, 本文所建立的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系的姿态变换公式是准确可靠的。
4 结语
(1) 航磁姿态变换的实质就是飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的角度变换;飞行器方位角的旋转轴垂直于水平面, 俯仰角的旋转轴在水平面内, 翻滚角的旋转轴不在水平面内。因此虽然说飞行器的姿态变化是随机的, 但是从地理坐标系到载体坐标系的坐标变换时, 按照一定顺序变换会使失真最小, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 变换顺序为方位角—俯仰角—翻滚角。
(2) 由于从飞行器载体坐标系到地理坐标系的姿态变换是按照一定的顺序进行, 则从地理坐标线到飞行器载体坐标系的姿态变换也必须按照一定的顺序进行, 变换顺序为:翻滚角—俯仰角—方位角。
(3) 建立了符合航磁测量的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系之间的姿态变换公式。
本文的姿态坐标变换技术研究, 是航磁矢量测量中的关键技术, 为航磁矢量测量奠定了坚实的基础。
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矩阵变换器电流控制策略 篇3
1 矩阵变换器空间矢量调制策略
三相输入到三相输出矩阵变换器的原理如图1所示,通过9个双向开关(IGBT功率管)三输出相可与任一输入相相连。通过一定的策略控制9个双向开关,可得希望的三相输出电压幅值与频率。
矩阵变换器的空间矢量调制策略是一种双空间矢量调制方法,该调制策略将图1中的直接交-交(输入、输出直接连接)变换器虚拟等效成整流和逆变2部分,等效结构如图2所示(图中,直流环节消除便可得到图1的交-交矩阵交换拓扑[1])。
在整流部分使用空间矢量调制得到正弦的输入电流和可调的输入功率因数,在逆变部分使用空间矢量调制得到幅值和频率可调的正弦输出电压,然后将二者合而为一[1]。
2 新型矩阵变换器电流控制策略
2.1 虚拟整流器
假定三相输入相电压为
式中Eim为输入相电压的幅值;ωi为输入角频率。
如图3所示(纵坐标电压幅值相对值,为标么值),将输入相电压分区,分区原则是:一相电压绝对值为最大,另两相电压极性与它相反。如图3所示,在区间1中,前半区间最大线电压为eab,后半区间最大输入电压为eac,为保证整流器的输入功率因数是1,同时确保输出直流电压为最大,在一个采样周期,通过适当选取2个最大输入线电压eab和eac的调制时间来满足要求。
要满足输入电流矢量为正弦量,且功率因数为1,则每相输入电流的大小在任意时刻必须与对应输入相电压成正比,即在一个PWM周期内,保证每相输入电流局部平均值与相应输入相电压成正比。在对称输入情况下,虚拟整流器的调制占空比可由输入相电压确定。仍以区段1为例,输出相应最大线电压的两调制占空比如下:
式中为一采样周期内的局部直流平均电流值;、为三相输入电流局部平均值,且;Ts为采样周期;tab、tac为对应线电压eab和eac的调制时间。此时输出的局部平均电压为
式中p、n分别为虚拟整流器的正、负极。
同理,可计算出其他区段的调制系数。
将式(4)化简可得:
式中Eim为输入电压幅值。
将式(2)(3)(5)写成通用式,则有
式(6)和(7)中下标s表示当前输入相电压区间;当输入相电压区间分别为1和4,2和5,3和6时字母x代表相a、b、c,y代表相b、a、c,z代表相c、b、a;式(8)中ei=max(|sinθa|,|sinθb|,|sinθc|)。
2.2 虚拟逆变器
虚拟逆变器输出电压矢量如图4所示。图中p、n分别代表虚拟整流的正极和负极。虚拟逆变器采用三水平滞环比较器控制,三水平滞环比较器如图5所示。纵坐标为α-β坐标系中进行参考输出电流与实际输出电流的误差值ε;横坐标h1、h2为滞环比较值,一般按参考输出电流的1%和5%选取。在α-β坐标系中进行参考输出电流与实际输出电流的误差计算。
设α-β坐标系下的实际输出电流、参考输出电流矢量分别为iα/β、iα/βref,二者之差为Δiα/β=iα/β-iα/βref。根据差值所在范围,选取合适的虚拟逆变器输出电压矢量,使输出电流误差减少,即当Δia/β>h2时,说明输出电流出现了大的正误差(记为Cp),需快速减小输出电流,由矢量合成原理应选择与之反方向的电压矢量以快速减少误差;同理,当Δia/β<-h2时,说明输出电流出现了大的负误差(记为Cn),应该选择与之同方向的电压矢量以快速减少误差;当-h1≤Δiα/β≤h1时,说明输出电流误差在一个小的容许误差范围内(记为Cs),选择零矢量以保持开关频率;当-h2≤Δiα/β<-h1或h1≤Δiα/β
2.3 虚拟整流器与虚拟逆变器的综合
虚拟整流在一个采样周期,按调制系数仅调制2个输出量,构成虚拟整流输出局部平均值。虚拟逆变器在一个采样周期,按输出电流误差Δia、Δiβ范围不同,有不同的开关状态。若虚拟整流器在区段1,直流输出电压Upn=uuv,输出电流误差Δiβ范围为Cp,Δia范围为Cn。此时,在逆变器部分,选取矢量U3来减少电流误差,逆变输出开关状态为npn,由图2知,此时矩阵变换器的开关状态为bab(输出相B与输入相a连接,输出相A和C与输入相b相连)。同理,可确定虚拟整流器、逆变器在任一个时刻矩阵变换器的开关状态。
3 仿真及实验
为了验证所提出的调制策略的可行性及正确性,进行了Matlab/Simulink仿真并设计了基于Dspace[13,14,15]为主控制器的样机实验平台。实验参数为:输入滤波电感5 mH,滤波电容5μF,阻尼电阻15Ω;三相对称阻感负载电阻为12Ω,电感为5 mH;采样频率为10 kHz,输入线电压有效值为120 V,50 Hz;期望的输出电流幅值为8 A,输出频率为80 Hz。仿真与实验波形如图6、7所示,其中图6为仿真波形,图7为实验波形。
实验测得当参考输出电流幅值为8 A,频率为80 Hz时,a相输入、输出电流的THD值为5.7%、2.2%。当参考输出电流幅值为8 A,折算为电压增益约0.94。通过仿真及实验波形,可验证提出的调制策略的正确性。
4结语
基于矩阵初等变换的粗糙集 篇4
粗糙集[1]是一种处理不精确和不确定性知识的数学工具。其主要思想是在保持分类能力不变的前提下, 通过属性约简, 导出问题的决策和分类规则。近年来, 粗糙集在机器学习、知识发现、数据挖掘、过程控制、模式识别以及决策支持与分析等领域被广泛应用, 并取得了很大的成功[2,3], 其计算已引起许多学者的高度关注。
文献[4,5]用矩阵的方法定义粗糙集的上近似, 再用对偶关系计算下近似, 提出了一种通过矩阵乘法来计算粗糙集的途径。文献[6,7]引入关系矩阵和布尔列向量重量上乘法和下乘法的概念, 证明了上乘法就是上近似, 下乘法就是下近似。但这些方法较为抽象且计算上下近似的复杂度高。本论述定义了增广矩阵及其初等变换的概念, 给出了通过判断初等变换矩阵列元素的特征来计算上下近似的一种直观、简便、快速的算法, 该算法的复杂度远远低于上述文献中的算法复杂度。
2 增广矩阵及其初等变换
定义1设论域U={u1, u2, …, un}, R为U上的等价关系, 则R产生U的一个划分, 其划分类为U/R={E1, E2, …, Em}。由集合特征函数的定义可知, 每个Ei对应唯一的一个n维布尔列向量 = (e1i, e2i, …, eni) T, 其中分量eji=1或0, 若uj∈Ej, 则eji为1, 否则为0。因此从U的划分R可诱导出矩阵Enxm= ( :
称Enxm为U中R对应的划分矩阵。
对于任意的X哿U, X也对应唯一的一个n维布尔列向量 = (x1, x2, …, xn) T, 其中xj=1或0, 若uj∈X, 则xj为1, 否则为0。若把X对应的向量添写在划分矩阵Enxm的右边, 便得到n× (m+1) 矩阵 = (E|X) = :
称 为X在近似空间 (U, R) 中的增广矩阵。
例1设U={a, b, c, d, e}, X={a, c, d}, R为U上的等价关系, 对应的划分类为:E1={a, c}, E2={b, d}, E3={e}, 则R对应的划分矩阵和X对应的增广矩阵分别为:
定义2设 为X在近似空间 (U, R) 中的增广矩阵, 将其最后一列各元素的-1倍分别加到前m列对应元素的过程称为 的初等变换, 且规定-1+1=®。 (-1) 表示将向量各元素的-1倍加到向量 的对应元素上。经过初等变换后得到的同型矩阵称为 的初等变换矩阵, 记为。
例2上例中增广矩阵E軍X的初等变换过程及其初等变换矩阵为:
注:实际上, 近似空间中集合对应的增广矩阵的初等变换本质上是一般矩阵理论中的第三种初等列变换:将某列各元素的-1倍加到另外一列对应元素上, 只不过对-1+1=0的运算结果0记为®, 而其它运算不变。
3 基于初等变换的粗糙集模型
设 (U, R) 为近似空间, X⊆U, 定义两个子集:
分别称它们为X的R下近似和R上近似。
定理设 (U, R) 为近似空间, X⊆U, 为X的增广矩阵, 的初等变换矩阵, 则有:
(1) 中所有不含元素1的列对应的划分类的并是的下近似
(2) 的所有含元素®的列对应的划分类的并是X的上近似。 。
证明: (1) 设x∈RX, 则[x]R⊆X。设[x]R对应的列向量为EX的第i列, 将X对应的列向量各元素的-1倍加到第列上, 由[x]R⊆X知第i列是1的元素变为®, 是0的元素变为-1或不变, 从而不含元素1。反过来, 若的第i列不含元素1, 由上述变换可知, 第i列对应的划分类[x]R是X的子集, 从而x∈RX。
(2) 设x∈ , 则[x]R∩X≠覫。设[x]R对应的列向量为EX的第i列, 将X对应的列向量各元素的-1倍加到第i列上, 由[x]R∩X≠Ø知第i列至少有一个元素为-1+1=®。反过来, 若的第i列有元素®, 由初等变换的定义可知, 第i列对应的划分类[x]R与X相交非空, 从而x∈RX。
推论设 (U, R) 为近似空间, X, Y⊆U, 分别为X, Y对应的列向量, 则有:
(1) X哿U当且仅当向量 (-1) 的任一分量不等于1。
(2) X∩Y≠Ø当且仅当向量 (-1) 至少有一个分量为®。
例3在上例中, 第1列不含元素1, 第1列和第2列含元素®, 所以根据上述定理可知X的上下近似分别为:
在以上讨论的基础上, 得到了一种计算粗糙集上下近似的极为简单、高效的算法, 归纳如下:
第1步写出X在近似空间 (U, R) 中的增广矩阵E= (E|X) ;
第2步对 进行初等变换, 求出的初等变换矩阵; ;
第3步判断 的前m列是否含元素1和®, 则不含元素1的列对应的划分类的并是X的下近似RX, 含元素®的列对应的划分类的并是的上近似 。
例4设U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R为U上的等价关系, 对应的划分类为:
令X={1, 3, 4, 6}, 则X的上下近似可从增广矩阵的一步初等变换即得。
由初等变换矩阵 看出, 第1、3列不含元素1, 第1、3、4列含元素®, 故:
4 结束语
在近似空间中引入增广矩阵及其初等变换, 不仅为集合上下近似的计算提供了简便快速的算法, 而且为粗糙集的研究提供了一种新途径。实际上, 从初等变换的过程明确看出, 增广矩阵初等变换的关键是运算-1+1=®, 变换后重点考虑®的个数, 若某列变换后®的个数等于变换前1的个数, 则该列对应的划分类为集合X的子集, 若某列变换后®的个数不为零, 则该列对应的划分类与集合X相交非空, 并由此求出X的上下近似。
本论述只对经典粗糙集模型进行了讨论, 关于覆盖粗糙集模型的情况将另文介绍。
参考文献
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