矩阵与变换的教学思考（共8篇）
矩阵与变换的教学思考 篇1
从2009年起, 江苏的高考计分方案做了进一步调整, 将附加题的40分计入总分。由于高考计分方式的变化, 对于理科学生来说, 就凸显出数学附加题的重要性、关键性。比较2008—2011四年高考试卷附加题, 易、中、难题的比例基本控制在5∶4∶1左右, 即中低档题占总分的90%左右, 这就决定了平时我们教学的方向是抓基础。而附加题又分为选做与必做两个部分。比较而言, 选做题更容易得分。选做题的要求是从教材选修4系列中选择两个方向的题目作答。为此, 我们帮理科班的学生引入矩阵与变换的选修教学。这部分的内容在高考附加分中有10分的分值。相比其他方向, 这部分的10分还是比较易得的。当然, 除了高考抓分这一目的外, 我们还希望学生能从思想上对矩阵与变换有一个初步的了解, 给学生将来进一步学习提供帮助。
矩阵, 作为大学数学知识, 会在“线性代数”这门课中系统地讲授。在高中, 内容与理论相对要抽象一些, 要求也有很大差别。大学强调的是代数的运算性质, 而作为中学选修知识, 我们只要求学生研究矩阵的几何作用, 通过大量实例讨论矩阵的性质、作用、简单运算, 而且只限于讨论二阶矩阵。苏教版整本教材的知识结构还是比较简洁清晰的, 主要讲解二阶矩阵和常见几何变换, 三阶及其以上的矩阵一带而过, 不作重点讲解, 几何变换也限于最基本的初等变换等。只是把矩阵作为一个刻画平面图形几何变换的基本工具和广泛意义上的一种“代数”来学习和介绍, 不过多涉及抽象的矩阵理论, 而是侧重介绍二阶矩阵和平面图形变换之间相互联系的基本知识和基本思想方法。
结合高考《考试说明》和近年来的高考题, 思考矩阵与变换, 在平时教学中应怎样准确把握教材, 高效地展开教学呢?“考试说明”是对考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说的指导性文献, 所以必须高度重视, 这样才能提高教学的针对性和实效性。比较近四年的高考说明, 对这一块知识要求有:矩阵的概念、二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换、矩阵的复合与矩阵的乘法、二阶逆矩阵、二阶矩阵的特征值与特征向量、二阶矩阵的简单应用。一共7个考点, 其中矩阵的概念和常见平面变换是A级要求, 其它全为B级。而常见的平面变换是从2010年才降为A级。再看看近四年江苏矩阵与变换的高考试题:
2008附加:在平面直角坐标系xOy中, 设椭圆4x2+y2=1
在矩阵
分析:本题考查在伸压变换下求变形后的曲线方程。与本题相似的课本例题是苏教版4-2 (2.2.2伸压变换例2) 。
2009附加:求矩阵
分析:本题主要考查逆矩阵的求法, 考查运算求解能力。与本题相似的课本例题是苏教版4-2 (2.4.1逆矩阵的概念例3) 。
2010附加:在平面直角坐标系xOy中, A (0, 0) , B (-2, 0) , C (-2, 1) , 设
分析:本题考查矩阵的乘法运算及变换, 与本题相似的课本例题是苏教版4-2 (2.3.1矩阵乘法的概念例2)
2011附加:已知矩阵
分析:本题考查矩阵运算等基础知识, 考查运算求解能力, 与本题相似的课本习题是苏教版4-2 (2.4习题6) 。
由此可看出, 矩阵与变换的考查还是紧扣书本, 紧扣考试说明的, 考查的都是一些基础题型。所以在矩阵与变换的教学过程中我们需要做到以下几点:
1.充分理解矩阵与变换专题的教育目标和设计意图。客观地、有预见性地估计学生学习时所面临的困难, 进行针对性的教学设计, 把学生的学习和发展放在首要位置, 有效地克服教学难点。比如矩阵与变换概念的引入、旋转矩阵与切变矩阵建立、矩阵乘法的性质、特征值与特征向量、矩阵的应用等。
2.注意创设问题情境, 从学生熟悉的事物中引入概念。矩阵与变换专题的绝大多数内容都有着生动的几何背景和现实背景, 教师可以挖掘教材内外的大量实例进行教学, 让学生从熟悉的事物中体会和理解矩阵及相关概念的产生, 从而把抽象的概念建立在学生熟悉的背景中。
3.对于涉及旧知识作适当的复习, 为新知识的学习奠定基础。比如平面向量加减法、数乘和基本定理要适当的复习, 让学生不会因为对旧知识的遗忘, 显得不安, 影响学好本专题的自信心;在旋转变换里还涉及了一定的三角函数知识, 有必要进行一定的回顾, 还可以对定比分点、反函数、一一映射等内容进行补充和拓展, 但要注意适度, 毕竟这部分的高考试题考查的都是基础, 没有过多的变形, 不需要给学生造成太大的负担。
4.注意理论联系实际, 培养应用意识, 凸显数学来源于生活又回归生活的本质。培养学生用数学思考问题、分析问题、解决问题的能力, 在提高学生成绩的同时提高学生的数学素养。尽管近四年高考都没有对矩阵特征值与特征向量以及矩阵的应用题进行考查, 但他们仍然是教学的重点与难点, 我们需要在平时的教学中涉及到矩阵在概率、递推关系、密码设计、人工智能等方面的应用。
5.重视课本例题与习题的教学。课本例题具有典型性、示范性和迁移性。从高考题可看出试题大部分都是源于课本。课本例题可帮助学生深入掌握数学的概念、性质、公式、定理和基本的数学思想方法, 达到举一反三、触类旁通的功效。不必去做一些超出课程标准要求外的习题, 重点应该放在有利帮助学生掌握矩阵和变换的基本知识, 了解基本思想和方法, 并为日后的学习打下良好的基础的题目上。
“矩阵与变换”题型全搜索 篇2
一、 考查矩阵的运算
同学们应掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法、二阶矩阵与二维列向量的乘法；会求逆矩阵，并能从几何变换的角度进行解释.
例1 (1) 求矩阵A=2312的逆矩阵；
(2) 利用逆矩阵知识解方程组2x+3y-1=0,x+2y-3=0.
解（1） 设A的逆矩阵A-1=abcd，
则2312
abcd=
1001,得2a+3c=1,2b+3d=0,a+2c=0,b+2d=1,解得a=2,b=-3,c=-1,d=2，所以A-1=2-3-12.
（2） X=xy=A-1B=2-3-1213=-75，即x=-7,y=5.
点评求逆矩阵时，最基本、最常用的方法便是待定系数法.
二、 考查矩阵对应的变换
例2已知在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A(2,0)，B(1,2)，且矩阵M=100-1，N=122022，求△OAB在矩阵MN作用下变换得到的图形的面积.
解显然MN=1220-22.
又1220-22
00=00，1220-22
20=20，1220-2212=2-1，
可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换得到的点分别为O′(0,0)，A′(2,0),B′(2,-1).
易知△OAB在矩阵MN作用下变换得到的图形为△O′A′B′,且可得△O′A′B′的面积为1.
例3在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2+4y2=1在矩阵A=2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.
解设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x0′,y0′)，则x0′y0′=2001x0y0，即x0′=2x0,y0′=y0,
所以x0=x0′2,y0=y0′.
又因为点P在椭圆上，故x20+4y20=1，从而x0′22+4(y0′)2=1，所以曲线F的方程为x24+4y2=1.
点评求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线往往可用“代入法”.
例4已知曲线x24+y22=1在变换T作用下得到曲线x22+y24=1，求变换T对应的矩阵M.（要求写出两个不同的矩阵）
解画出椭圆x24+y22=1和x22+y24=1的图形后，可以发现变换T对应的矩阵M有多种可能，例如：
① 将椭圆x24+y22=1关于直线y=x作对称变换，即可得到椭圆x22+y24=1，这时T是反射变换，对应的矩阵M=0110；
② 将椭圆x24+y22=1先关于直线y=x作对称变换，再关于y轴作对称变换，也可得到椭圆x22+y24=1，这时变换T是一个复合变换，对应的矩阵M=-1001·
0110
=0-110；
③ 将椭圆x24+y22=1逆时针（或顺时针）旋转90°，也可得到椭圆x22+y24=1，这时变换T对应的矩阵M=0-110或01-10.
还可以有M=0-1-10或M=±220
0±2.
点评例2、例3都是已知变换（矩阵）求变换的结果，而本例是其“逆向”问题，即已知变换的结果求变换（矩阵）.当然，本题也可不从几何变换的角度考虑，而从矩阵（对应变换）与列向量（对应点）乘法的角度考虑,利用待定系数法求矩阵M.
三、 考查矩阵的特征值与特征向量
例5已知矩阵A=1-1a1，其中a∈R，且点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下得到点P1（0，-3）.
(1) 求实数a的值；
(2) 求矩阵A的特征值及特征向量.
解（1） 由0-3=1-1a111，得a+1=-3，即a=-4.
(2) 矩阵A的特征多项式f(λ)=λ-114λ-1=λ2-2λ-3.由f(λ)=0，得A的特征值为-1和3.将λ=-1代入(λ-1)x+y=0,4x+(λ-1)y=0,得对应的一个特征向量为12；将λ=3代入(λ-1)x+y=0,4x+(λ-1)y=0,得对应的一个特征向量为1-2.
例6已知矩阵M有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e1=23，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e2=1-1.
(1) 求矩阵M；
(2) 求M2 00832.
解(1) 设M=abcd，则abcd23=423=812，故2a+3b=8,2c+3d=12.
又abcd1-1=(-1)1-1=-11，故
a-b=-1,c-d=1.
联立以上两个方程组，解得a=1,b=2,c=3,d=2，故M=1232.
（2） M2 00832=M2 008(e1+e2)=λ2 0081e1+λ2 0082e2=42 00823+(-1)2 0081-1=24 017+13·24 016-1.
四、 考查矩阵的简单应用
关于矩阵的简单应用，请同学们做巩固练习4.下面举两个不常见的例子，请同学们思考、体会（原来矩阵还可以这样用）.
例7对于映射f：（x,y）(x+y,x-y)(x,y∈R)，是否存在直线l,使得l上任一点在映射f作用下得到的象仍在l上？若有，请求出直线l的方程；若没有，请说明理由.
常规解法假设存在满足题意的直线l，显然其斜率存在，故可
设其方程为y=kx+b.①
由题意知,当点(x,y)在直线l上时，点(x+y,x-y)也在直线l上，故有x-y=k(x+y)+b，即(k-1)x+(k+1)y+b=0.②
由于①和②表示同一条直线，故有(k-1)b=kb,(k-1)(-1)=k(k+1)(即k2+2k-1=0）,得k=-1±2,b=0，因此存在满足题意的直线l，且l的方程为y=(-1±2)x.
矩阵解法注意到映射f实际上是直角坐标平面内点到点的变换，且该变换对应的矩阵M=111-1.从矩阵和其特征向量的几何意义来看，有没有满足题意的直线l，关键看矩阵M有没有特征向量.
矩阵M的特征多项式f(λ)=λ-1-1-1λ+1=λ2-2.由f(λ)=0，得M的特征值为2和-2，于是可得对应的特征向量xy分别满足x+y=2x和x+y=-2y.因此，满足题意的直线l有两条，其方程分别是y=(-1±2)x.
例8（2007年高考江苏卷）已知平面直角坐标系xOy中，平面区域A={(x,y)|x+y≤1，且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（）
A. 2
B. 1
C. 12
D. 14
图1
常规解法首先想到的是利用线性规划的知识来处理.
令x+y=s,x-y=t,则2x=s+t,2y=s-t,
由点（x,y）在区域A中，可得s≤1,s+t≥0,s-t≥0,故点(s,t)的取值区域为图1中的阴影部分（包括边界）.不难求得其面积为1.
因此平面区域B的面积为1.选B.
矩阵解法实际上，平面区域A和B都是点集，且从A到B的变换是线性变换，该变换对应的矩阵M=111-1.而对于线性变换，“我们在研究平面上的多边形或直线在矩阵对应的变换作用后形成的图形时，只需要考察顶（端）点的变化结果即可.”（苏教版教材选修42P21）
图2
平面区域A是图2中△OMN及其内部.由111-100=00，111-101=1-1，111-1
10=11，知三点O，M，N在矩阵M作用下变换得到的点分别为O′(0,0)，M′(1,-1),N′(1,1)，易得△O′M′N′的面积为1.
巩 固 练 习
1. 试从几何变换角度求解矩阵AB的逆矩阵：A=100-1,B=0-110.
2. 已知矩阵A=21-12,B=1-201
(1) 计算AB；
(2)若矩阵B对应的变换把直线l：x+y+2=0变为直线l′，求直线l′的方程.
3. 已知二阶矩阵M有特征值λ1=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(-2,4).
（1） 求矩阵M；
（2） 求矩阵M的另一个特征值λ2及它对应的特征向量e2的坐标之间的关系.
4. 在容器A中装有浓度为30%的溶液1升.在容器B中装有浓度为18%的同种溶液1升.现将A中溶液的15倒入B中，均匀混合后，再将B中部分溶液倒入A中，使A中溶液保持为1升，这叫做一次操作.要使A与B中溶液的浓度之差小于3%，问至少要操作多少次？（提示：构造两个数列，寻找它们之间的递推关系，再利用二阶矩阵的特征值与特征向量来求解.）
矩阵与变换的教学思考 篇3
1 难点形成的原因
笔者通过一轮的教学, 发现教学中的难点主要有:矩阵与变换概念的引入;旋转矩阵与切变矩阵建立;矩阵乘法的性质;特征值与特征向量;矩阵的应用.这些难点产生的原因综合来说有以下几方面:
1) 从教师教学的角度来看, 《矩阵与变换》不是大学教材中矩阵的简单下放, 不是通过行列式、线性方程组的求解来引入和展开矩阵的相关知识, 而是通过平面图形的几何变换来讲解一些常见的、简单的二阶矩阵, 把矩阵作为一个研究平面图形变换的基本工具.这样的教学安排, 对于教师来说, 也是陌生的, 所以教学上很难把握.此外, 对于教学中和学生学习后如何进行评价、达到什么样的要求, 由于这部分内容在高考中还没有出现过, 缺乏相对权威的“参照系”, 容易导致教师“深挖洞”和“广积粮”, 造
与d.
8.已知x, y, 5x, 7, …是等差数列, 求x.
9.在等差数列{an}中, 若a3+a9+a13+a19=4, 试求a11.
10.在数列{an}中, 若a1=0, an=an-1-4 (n≥2) , 求an.
由于分层训练充分考虑到了学生的学习能力, 对学困生没有强迫性, 不会产生抄袭现象.有的学困生还会尝试去完成第2组, 甚至第3组的习题, 收到了令人意想不到的效果.
另外, 批改作业时, 对A, B两层学生的作业要特别关注, 有时要进行面批指导, 对C层学生要重点培养思维的深刻性和广阔性, 激发创新意识.
4 倡导考核分层 促进学生发展
分层考核是“分层激励法”实施的必要补充.由于各层次学生存在着个体差异性, 因此, 考核方法要充分地照顾学生的个别差异, 教师切不可强求一律.如果考同一难度的试卷, 优生、学困生差距越大, 优生易满足, 学困生便会丧失学习兴趣;一些平时学习虽然有一定进步, 刚刚提起一点学习兴趣的学困生, 如果试题过难考下来分数太低, 必然会严重挫伤其自信心, 而导致自暴自弃, 所以考试前教师应在试卷里分配好A, B, C题.A是基础题, 按高的分配计分, B是中等题, 按中的分配计分, C是有一定难度综合性的题目, 按低的分配计分, 并设立附加题, 让学生选做.中等生做对一题, 半倍加分, 学困生做对一题, 加倍加分, 这样学困生的基础题、中等题所得的分数不低.优生、学困生差距不大, 有利于减轻学生的心理负担和压力, 增强自信心, 强化学习动力, 燃起他们学习的欲望, 真正体现新课程改革“为了每位学生的发展”的基本精神.
前苏联教育学家苏霍姆林斯基说过:让学生生活在思考的世界里.“分层激励教学”, 注重因材施教, 给了每一个学生思考的空间, 充分调动了学生的智力因素和非智力因素, 激发了学生的学习兴趣, 引起了学生内在的需求, 为学生创造了一个轻松愉快的学习氛围, 也真正地让每一个学生都有尊严地活着.
新的教育形势, 要求我们教育要不断创新, 要为了每一个学生的发展, 分层激励教学仅是我们数学教学中的一点初浅尝试, 还需要我们教师不断的实践探索.2007-10-29)
成学生过重的负担.
2) 从学生学习的角度来看, 《矩阵与变换》中的概念抽象、计算较为复杂, 更为困难的是, 作为全新的知识, 他们头脑中没有任何知识结构来同化新知识, 或者说所学的知识找不到固定的“锚桩”, 所以对接受新知识有一定难度, 而且容易遗忘.
3) 从教学内容来看, 虽然《矩阵与变换》内容相对独立, 但还是涉及到较多的向量和三角知识, 由于教学安排, 这部分内容在高一第一学期学习, 而本专题却在高二下学期最后学习, 前后相差近两年, 学生有一定程度的遗忘.另外, 还有该专题还涉及到如一一映射、反函数、定比分点等知识, 在必修中没有要求或者要求较低, 也会对本专题的学习造成一定的困难, 形成难点.
2 解决难点的策略
在教师通读教材, 充分理解本专题的教育目标和设计意图的基础上, 要客观地、有预见性地估计学生学习时所面临的困难, 进行针对性地教学设计, 把学生的学习和发展放在首要位置, 才能有效地克服这些教学难点.
2.1 注意创设问题情境, 从学生熟悉的事物中引入概念
本专题的绝大多数内容都有着生动的几何背景和现实背景, 教师可以挖掘教材内外的大量实例进行教学, 让学生从熟悉的事物中体会和理解矩阵及相关概念的产生, 从而把抽象的概念建立在学生熟悉的背景中.
案例1 矩阵和列向量的乘法引入.某班有张三、李四和王五3位同学, 他们平时的数学成绩分别为84分、90分、95分;期中考试的数学成绩分别为80分、90分、85分;期末考试成绩分别为90分、88分、92分.如果该学校规定每位同学的学期总评分数分别由平时、期中和期末按比例3∶3∶4构成.试问:
(Ⅰ) 如何用矩阵表示3位同学的平时、期中和期末成绩?
(Ⅱ) 把比例系数写成列向量的形式;
(Ⅲ) 如何利用成绩矩阵和比例系数的列向量分别计算这3位同学的学期总评成绩.
说明 该案例从学生熟悉的学期总评成绩计算方法提出问题, 一方面回顾了前面一节的内容, 即矩阵和列向量的表示;另一方面又引出了下一节新内容, 即矩阵与列向量的乘法, 通过该问题计算不仅可以让学生很好地记忆这种乘法规则, 更有助于他们理解这种规定的内在合理性.
类似这种问题情境的引入教材中还有很多, 例如, 从向量、歌唱比赛成绩和方程组系数的矩阵表示引入矩阵概念, 从学生在初中已经知道的全等、对称等几何知识引入恒等变换、反射变换;从必修2的三视图角度引入投影变换;从游乐园中的大风车引入旋转变换;从推纸牌引入切变变换, 等等.这些问题情境有助于他们对新知识的接受、理解和应用.
2.2 对于涉及旧知识的作适当的复习, 为新知识的学习奠定基础
本专题中大量地使用了平面向量的有关知识, 所以在教学前或教学中对平面向量加减法、数乘和基本定理要适当的复习, 让学生不会因为对旧知识的遗忘, 显得惴惴不安, 从而影响学好本专题的自信心.在旋转变换里还涉及了一定的三角函数知识, 在教学中也有必要进行一定的回顾.除此之外, 为了使本专题教学更加顺利, 促进对新知识的掌握, 教师还可以对定比分点、反函数、一一映射等内容进行补充和拓展, 但要注意深度和广度.
2.3 把握教学重点, 突出思想方法, 注重几何直观, 减少繁杂的计算
本专题开设目的是要求学生了解矩阵与变换的基本知识和思想方法, 教学中要充分利用几何图形的直观, 把数形结合的思想贯穿于整个教学过程, 如图1所示.
在教学时, 尽量少用抽象形式的运算符号, 不强调系统性, 要特别重视以直观的几何变换为载体, 引入矩阵与变换, 通过“矩阵”与“变换”这一“数”与“形”的类比, 一方面可以让学生从几何变换的角度理解矩阵这一代数形式, 从而赋予矩阵及其运算以一种几何解释, 给他们未来的学习提供具体的知识固着点和思维载体;另一方面, 要注意减少繁杂单调的计算, 避免学生学习兴趣的丧失.
2.4 合理使用信息技术, 拓展学生视野
本专题还为信息技术和学科课程整合提供了良好的平台, 合理地使用信息技术不仅可以将矩阵与变换的过程直观化, 还可以为学生开展探究活动提供有力工具, 这都有利于激发学生的学习兴趣, 促进他们学习方式的转变.
案例2 用Excel实现矩阵与变换同步显示.对正方形ABCD施行切变变换undefined, 其中A (-1, -1) , B (1, -1) , C (1, 1) , D (-1, 1) .
第一步:将切变变换矩阵和表示正方形ABCD的矩阵输入到Excel工作表中;
第二步:在C4∶F5中插入函数“=MMULT (A1∶B2, C1∶F2) ”后, 按Ctrl+Shift+Enter确认, 如图2所示;
第三步:为了使所作折线图成首尾相接的封闭图形, 使G1至G5的值与C1至C5的值分别相等;
第四步:选中区域C1∶F2, 选择“插入/图表/xy散点图/无数据点折线图/完成”, 画出正方形ABCD;
第五步:右击图表, 选择“数据源/系列/添加”在x值中选择变换后的横坐标, 在y值中选择变换后图形的纵坐标, 画出变换后的图形, 如图3所示.
说明 对于一般的切变变换矩阵undefined或undefined还可以通过改变k的值, 观察不同的切变效果.
本专题中还有很多内容适合用信息技术, 如利用几何画板探究矩阵的变换作用和研究旋转变换等, 利用Excel研究切变变换、矩阵的乘法、求解行列式、求解逆矩阵、模拟种群数量变化趋势等.这些探究在把抽象的数字转化为直观图形的同时, 也有效地促进教学难点的解决.
2.5 注意理论联系实际, 培养应用意识
学数学的出发点和归宿都是用数学, 只有理论联系实际, 才能使学生认识到学习数学的价值, 提高学习的自觉性.联系实际是本专题教材编写时贯彻的一个重要理念, 让学生从大量的具体事例出发, 抽象出数学的本质属性, 从而形成数学理论, 然后通过具体的应用, 就会使学生牢固地掌握所学的知识.
案例3 天气污染预报与转移矩阵.某工业城市的空气污染状态分为重度污染和轻度污染两种, 经过多年的观察, 发现如下规律:若今天是轻度污染, 则明天是轻度污染的概率为1/5, 重度污染的概率为4/5;若今天是重度污染, 则明天是重度污染的概率为2/3, 轻度污染的概率为1/3.
(Ⅰ) 试写出矩阵来表示空气污染的概率;
(Ⅱ) 如果今天清晨空气污染预报重度污染的概率为1/4, 则明天的天气预报是什么?
(Ⅲ) 假设这种趋势长时间不变, 而在两个星期后有一次重大活动, 试问该天空气污染的情况如何?
说明 分别用an和bn表示n天后轻度污染和重度污染的概率, 则undefined因此, undefined, 记undefined, 则明天污染情况, 只需要令n=1即可.进而问题 (Ⅲ) 就转化为求A14α1的问题, 如何计算这么高次数矩阵的乘法, 于是引入研究矩阵的特征值和特征向量, 化矩阵的乘方为实数的乘方.由此可见, 矩阵的应用不仅是研究问题的出发点, 也是最终解决问题的归宿.
课本中还有很多这样应用的例子, 再如2个种群相互影响的个体数量关系, 加密与解密问题, 等等.通过大量引入各类实际问题, 使学生能够以数学的眼光来观察所处的客观世界, 逐渐养成借助数学的思想、观点、方法来思考研究问题、解决问题的习惯, 培养学生用数学的意识, 也可以有效地克服教学难点.
3教学体会
数学教学不仅是知识的传递, 更大意义上来说, 也是一种文化的传承, 新课程标准也前所未有地强调了数学的文化价值, 教材中的数学文化主要体现在以下几个方面:古时“河图洛书”的矩阵表示;计算机显像技术中像素的矩阵刻画、影视的动画制作;我国古代方程组解法;矩阵理论奠基人数学家凯莱的介绍.在教学中, 注意对教材的应用, 通过“阅读”、“链结”等这些文化栏目, 渗透数学文化, 培养学生兴趣, 也可以有效地克服教学中的难点.
参考文献
矩阵变换技术与电梯调速 篇4
目前中国电梯市场上的产品主要是基于矢量控制的变频变压调速系统，从结构上看，采用的都是间接变频装置，即交——直——交变频装置。
交——直——交变频器存在一些缺点，如其前级交——直变换一般均为三相桥式整流电路，谐波含量高，功率因数也低，对电网形成污染;另外，其直流母线上有与容量相关的滤波电解电容器，成为设备寿命的瓶颈，也使变频器功率密度受到限制;同时电机因制动等原因产生的能量也不能回馈给电网，就不可避免地存在能量浪费现象。
电梯作为垂直运输的交通工具，其驱动系统经常处于动能和势能的能量转换之中。从图1可以知道，当电梯重载被提升时，系统的能量是从左往右输出，当电梯重载下降时，系统的能量就会从右往左反馈，由于左面的是一个三相整流装置，是不可逆的，能量只能积聚在系统的直流侧。对于小容量的电梯，一般是通过在直流侧增加电阻把能量消耗掉的方法。但是对于大容量的电梯，这需要很大功率的电阻并且也浪费了巨大的能量。为解决这个问题，现在有些高档的电梯采取的是在直流侧增加一组逆变装置，如图2所示，将能量逆变回电网，但是这样系统就变得复杂，成本也大大提高了。
矩阵变频装置是一种新型的交——交变频装置。与传统的交——交变频装置及交——直——交变频装置相比，矩阵式变频装置具有明显的优点：低谐波污染、优良的功率因数、输出的电压幅值和频率范围连续可调、能量双向流动、电机可四象限运行、无中间储能环节、体积紧凑。
矩阵变频装置应用在高速大载量的电梯上具有十分明显的经济效益。首先，矩阵变频装置是一次换能，效率较高。其次，由于省去中间的直流储能元件，体积变小，节省空间，特别适合于小机房的场合。第三，电梯的势能被转化为电能回馈电网，而不是通过电阻浪费掉，极大的节省了能源。
2 矩阵式变换器的工作原理
2.1 矩阵式变换器控制策略概述
矩阵变换器有多种控制方法。根据控制目标不同，可分为电流控制法和电压控制法两大类。间接控制法是电压控制法的一种，是基于空间矢量变换的一种方法，将变换器虚拟为一个整流器和一个逆变器经中间直流环节串联，然后对整流器和逆变器分别进行电流空间矢量调制和电压空间矢量调制(SVPWM)，再消去中间直流环节，就可以得到整个变换器的空间矢量调制。文章的研究正是基于这种方法进行的。
2.2 矩阵式变换器的交——直——交等效变换
三相矩阵式变换器交——交直接变换关系可以从等效的交——直——交变换中推得，可采用虚拟整流器和虚拟逆变器构成的结构来代替，如图3所示。这样就可以充分利用已有成熟的交——直——交变换中的PWM控制技术，并可通过对比分析出如图4所示实际矩阵式变换器的开关控制规律。
可以推导出实际矩阵式变换器和等效交——直——交结构开关函数之间的对应关系：
限定条件为：1≤SGm+SJn+SKl≤2 (2)
式中G, J, K∈A∈，B, C∈，m, n, l∈a，∈b, c∈，且G≠J≠K, m≠n≠l。
这个限定条件意味着矩阵式变换器的三条输出线只能连到一条或两条输入线上，不能分别连到三条不同的输入线上。这是因为采用了等效交——直——交方法后，中间虚拟直流环节电压只能是两个输入相电压之差。
输出的相电压为：
式中Uom为输入相电压的幅值，m为调制系数，φi为输入功率因数角。因此选择不同的cosφi，就可以调制出不同的输入功率因数，可以超前、滞后或为1。若且m=1，则输入输出电压的最大增益为：
输入的相电流为：
式中cosφL为输出负载的功率因数，Iom为输出线电流的幅值。
由可得输入功率：
式中Ui、Ii、Uo、Io分别表示相应电压或电流的有效值，Pin、Pout表示输入和输出功率，Pin=Pout说明调制过程中满足输入输出有功功率相等。
2.3 等效交——直——交结构的空间矢量调制
由于矩阵式变换器可以等效成虚拟交——直——交变换器，因此可以采用较为成熟、性能优越的空间矢量调制方式。
电压矢量由三相输出电压在复空间中经Park变换可得：
其中
由于输出不可断路，这样三相输出端A、B、C与输入端P、N相连的两个开关中，必有一个开通。可以推出对于三相逆变器(DC/AC变换)功率元件开关动作所能形成的定子电压空间矢量有8种，每种矢量对应一组开关状态序列(A、B、C三相开关与直流母线P、N端的连接状态)。即6种有效矢量U1～U6, 2种零矢量U7、U8，则它们的空间位置和相互关系如图5所示。
定义一个输出线电压参考矢量如果采用上述8种电压空间矢量来合成Uref，就可以得到所需的输出频率为fo=ωo/2π的三相正弦输出线电压。以逆变器为例，按图5矢量区间的划分和时刻t输出线电压参考矢量在区间I的空间位置，可以用其平均方向与该Uref方向相同的两个相邻电压矢量U1、U6和零矢量来合成，各矢量的作用时间可用开关周期Ts中的占空比来表示：
U1矢量：dx=TsTx=musin (1/3π-θv) (8) U6矢量：dy=TsTy=musinθv (9)零矢量：dou=TsTou=1-dx-dy (10)
其中，θv是输出线电压的相角，调制系数为母线间的电压。
同理对于虚拟整流器部分也可采用复空间表达方式定义输入相电流矢量，获得输入电流空间矢量调制的方案。
由三相电源输入三相交流电压，经过双向开关组成的主电路进行AC/DC变换，根据空间矢量调制原理，输出端P、N之间的直流电压UPN可直接与逆变器(DC/AC)变换电路相连。如前所述，在满足输入相间不短路，即在每一直流输出端只能与一相交流输入端接通的约束条件下，可以得到九种电流矢量，每种矢量对应一组开关状态序列(a、b、c三相开关与直流母线P、N端的连接状态)。即6种有效矢量I1～I6, 3种零矢量I7～I9。如图4所示。
同样定义输入电流参考矢量
可以利用空间矢量的线性组合，采用逼近Iref方式合成输出线电流矢量，如图6所示。
各矢量的作用时间可用开关周期Ts中的占空比来表示：
其中，θi是输入相电流的相角，调制系数0≤mi=Iim/Ip≤1, Ip为母线的电流。
在矩阵式变换器的交——直——交等效结构中，输出线电压矢量调制和输入相电流矢量调制是彼此独立进行的。而在真实的矩阵式变换器中，同一开关即要担负整流的任务，又要担负逆变的任务，整流和逆变的过程是相互包含同时进行的。因此，需要进一步推导得出矩阵式变换器的交——交直接变换的控制下的开关控制策略。
2.4 矩阵式变换器的交——交直接变换控制策略
能满足输入电压不被短路、输出电流不突然开路的矩阵式变换器开关组合共有27种，但有6种在等效交——直——交变换中找不到对应的开关组合，这6种是三个输出相分别连至三个输入相的开关组合。对于等效交——直——交变换的每一合法开关状态，矩阵式变换器有唯一的开关状态与之相对应。
得到了与等效交——直——交结构相对应的矩阵式变换器开关组合之后，还需求出各种开关组合的作用时间(占空比)，以实现矩阵式变换器的交——交直接变换控制。经过对等效交——直——交变换的逆变部分采用输出线电压空间矢量调制、对整流部分采用输入相电流空间矢量调制后，根据开关函数的对应关系可以综合出矩阵式变换器的交——交直接变换控制方式，即双空间矢量PWM调制。在双空间矢量PWM调制实施中，逆变器部分的理想输出线电压基准矢量圆和整流器部分的理想输入相电流基准矢量圆都被划分为6个扇区，从而有36种可能的组合。以虚拟整流器、逆变器均工作在第I扇区为例，可以用于矢量合成的空间电压、电流矢量分别是U1、U6和I1、I6，两个空间矢量的综合调制采用相互嵌套的办法来实现。整个输出线电压和输入相电流矢量合成过程共有U1-I1、U1-I6、U6-I1、U6-I6、及零矢量U0-I0五种组合。每一矢量组合的作用时间用占空比表示时是该组合内各矢量占空比的乘积。即：
根据矩阵变换器开关表，可以得到如下最终的实际开通情况，如表1所示，表中列出了有关开关的连接情况。
这虽然是在两个复平面的第一段内得到的结沦，但对于其他35种组合是同样适用的。因此，基于空间矢量调制的三相矩阵变换器对输入电压源完成了输入正弦电流的调制，对负载完成了输出线电压的正弦调制，输入与输出的频率可以不同，也就实现了交——交变换。
3 理想开关条件下带异步电机负载运行仿真
根据建立的数学模型和双空间矢量PWM调制策略，应用Matlab/Sim ulink软件包和交——交直接变换控制开关表对三相矩阵式变换器拖动异步电机运行构建了仿真模型并进行了仿真。
整个模型分为电源、控制电路、主功率开关电路、负载四个部分。
控制部分电路的实现是整个仿真模型中的关键，首先要根据三相电源的状态判断输入电流参考矢量的位置，计算与之相邻的两个离散的电流矢量需要作用的时间并选用这两个电流矢量合成电流参考矢量;与此同时，由期望的输出电压作为输出电压参考矢量，计算与之相邻的两个离散的电压矢量需要作用的时间并选用这两个电压矢量合成电压参考矢量。然后利用三角载波来实现对合成参考矢量作用时间的控制。最后根据离散矢量的位置确定对应的理想开关序列的开关状态。其输出的开关状态信号用于控制各理想开关的导通和关断。
拖动三相异步电机时，输入端采用了高频滤波器以使输入相电流连续。电机拖动8N·m的恒转矩负载稳态运行时(fo=40Hz)，其输入、输出电压、电流波形如图7所示，稳态输入时的电压电流频谱图如图8所示。可以看出，矩阵式变换器的输出线电压与一般的采用空间矢量调制策略的电压源PWM逆变器的输出线电压类似，也是脉宽按正弦规律变化的脉冲列。不同的是，矩阵式变换器的脉冲列的包络线与输入线电压包络线的一部分相重合，电压型PWM逆变器的输出的幅值是一定值。矩阵式交——交变换器输入电压、电流正弦且基本同相，输出线电压正弦脉宽调制、线电流正弦变化。
从频谱图可以看出，输入电流和输出电压频谱中基波占绝对主要成分，总谐波失真(THD)都比较小。输出线电压的THD稍大，为10.68%，其中在3倍频120Hz附近谐波分量较大，为基波幅值的9.17%。从电压电流的波形和频谱图来看，基本验证了本文模型和控制策略的正确性。
4 总结与展望
矩阵式变换器是80年代以来兴起的重要研究领域之一，作为一种新兴的交——交三相变频器，它解决了目前通用交——直——交或交——交变频器的一些重要问题，如功率因数低，能量不可双向流动，功率密度较低等。
虽然矩阵式变换器进入实用领域依然存在很多的问题有待进一步解决，但随着研究的不断深入，电力电子器件和应用技术的发展以及微机控制技术的发展，控制理论的日益完善，矩阵式变换器必将以其独特的优点在未来产品化方面形成优势，日益接近实用化。
参考文献
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[8]吴守箴, 臧英杰.电气传动的脉宽调制控制技术[M].北京:机械工业出版社, 1997.
矩阵的初等变换课堂教学设计探讨 篇5
线性代数是经管类的一门核心基础课程, 但因其概念较多, 相似度高, 易混淆, 计算量大等原因, 导致学生望而生畏, 尤其是矩阵初等变换是解决很多线代问题的关键。那么如何教好这一课, 如何从学生角度出发, 调整教学内容, 努力把复杂问题简单化。下面就是对矩阵初等变换这一节课所做的教学设计。
1 从实际问题引入线性方程组, 从方程组消元引入初等行变换
问题:某人有40万元, 投资了A、B两个项目, 已知A项目获利10%, B项目获利12%, 一共获利了4.6万, 问最初他在A、B两个项目上各投入了多少钱?
消元法对应初等行变换
(1) 交换两个方程
(2) 第二个方程扩大100倍
(3) 第一个方程乘以-10加到第二个方程
(4) 第二个方程除以2
(5) 第二个方程乘以-1加到第一个方程
从上述解题过程可以看出, 用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:
(1) 交换某两个方程的位置;
(2) 用一个非零数乘某一个方程的两边;
(3) 将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
而对应的矩阵也做了类似的变换, 由此我们得到矩阵的初等行变换定义
定义1矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 交换矩阵的两行 (交换i, j两行, 记作ri圮rj) ;
(2) 以一个非零的数k乘矩阵的某一行 (第i行乘数k, 记作ri×k) ;
(3) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行 (第j行乘k加到i行, 记为ri+krj) 。
把定义中的“行”换成“列”, 即得矩阵的初等列变换的定义 (相应记号中把r换成c) 。
初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
定义2对任何一个矩阵, 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形。
行阶梯形的特点是:
(1) 如果存在元素全为0的行, 则全为0的行都集中在矩阵的下方;
(2) 每行左起第一个非零元素的下方元素全为0。
形象地说, 可以在该矩阵中画出一条阶梯线, 线的下方全为0, 每个阶梯只有一行, 阶梯数即是非零行的行数, 阶梯竖线后即为每行左起第一个非零元素。
行最简形的特点是:在满足行阶梯形的条件下, 非零行首个非零元为1, 且这些首行非零元所在列的其它元素全为0。
注:把矩阵变成行阶梯进而变成行最简, 是利用初等行变换解决其它线性代数问题的基本方法。
2 初等变换解线性方程组举例 (对初等变换进行练习)
解:对增广矩阵圮A进行初等行变换
解:对系数矩阵A施行初等行变换。
即得与原方程同解的方程组
这个例子中有无穷多解。
从上面三个例子我们可以看出, 第一个例子中只有一个解, 第二个例子中出现了矛盾方程, 第三个例子中出现了假方程, 需要去伪存真。
3 总结
可以看出, 矩阵的初等变换等知识来源于中学, 又高于中学所学知识。在线性代数的学习中, 线性方程组求解是贯穿整本书的主线, 而矩阵的初等变换是线性代数讨论其它问题的主要方法, 所以这节课尤为重要。一定要学生多练习, 多掌握。
参考文献
矩阵与变换的教学思考 篇6
关键词：幺模矩阵,图像采样系统,数学变换与矩阵
在信息技术教学过程中, 离不开对数字信号的处理, 由于图像具有更丰富的信息量, 在信息处理中得到了广泛的关注。随着对图像方向性处理要求的提高, 为了能够更加多方向地灵活处理图像, Bamgerger和Smith提出了多方向滤波器组 (Directional Filter Bank, DFB) [1], 由于DFB在图像处理中的多方向特性, 近年来吸引了诸多研究者对方向性滤波器组设计的研究, 而这些研究应用的核心离不开对二维图像的变换、滤波和采样操作。文中对图像处理中的傅里叶变换、z变换、采样矩阵、采样操作及滤波器和采样操作之间的等效关系进行了概述和总结。
一、二维Fourier变换及z变换
设t=[t1, t2]T, Ω=[Ω1, Ω2]T, 对于二维的连续信号xa (t) , 其连续时间Fourier变换为Xa (Ω) :
同理, n=[n1, n2]Tω=[ω1, ω2]T, 对于数字图像而言为二维的离散信号x[n], 其离散时间Fourier变换X (ω) 为:
其中￥表示所有2×1的整数向量集。而其z变换X (z) 可以表示为:
其中。
二、二维抽样矩阵
在利用滤波器完成图像变换的过程中, 涉及一些基本矩阵, 现分别定义如下:
1. 抽样矩阵:
一个所有元素均为整数的方阵, 矩阵对应行列式的值为非0。矩阵的维数等于所要操作信号的维数。
2. 整数对角矩阵:
所有元素值为2n (n为正整数) 的对角矩阵。
3. 五株抽样矩阵 (Quincunx Sampling Matrix) :
一种所有元素值为±1且对应的行列式的值为2的抽样矩阵。以下是常用的五株抽样矩阵 (4) :
通过五株抽样矩阵Q1和Q2抽样后的格分别如图1所示[2]。从结果可以看出, 抽样后样本数目变成了抽样前的一半, 并且抽样后信号相比输入信号旋转了±45°。
白点:Q1抽样结果。黑点:Q2抽样结果
4. 幺模矩阵 (Unimodular Matrix) :
对应的行列式的值为±1的整数矩阵。幺模矩阵的逆矩阵也是幺模矩阵。以下常用的四个幺模矩阵:
信号通过幺模矩阵抽样前后样本数目没有变化, 只是对样本点进行旋转和重新排列 (2) 。
史密斯形式可以对抽样操作分步进行, 简化抽样操作。任何一个二维整数矩阵M都可以分解成如下结构:M=UΛV。其中U和V是幺模矩阵, Λ是一个整数对角矩阵。如:
其中为对角整数矩阵。
三、二维采样操作
1. 格 (Lattice)
由二维整数矩阵M产生的格用LAT (M) 表示, 即LAT (M) ={t:t=Mn, n∈￥}, M为采样矩阵。接下来所介绍的抽样和插值都是在格上进行的操作[2]。
2. 下采样 (Downsampling)
二维M下采样也叫抽样, 如图2 (a) 所示。设输入信号x (n) , 输出信号y (n) , 其对应的时域及频域关系如下:
其中, ￥ (MT) 是￥ (MTx) 的整数向量集, x∈[0, 1) 2。矩阵M-T= (MT) -1产生LAT (M) 的互易点阵。抽样后的样本数目是抽样前的1/det|M|。k称为陪集矢量, 由MT决定。经抽样操作, 会产生频率混叠现象。
3. 上采样 (Upsampling)
二维M上采样也称为插值, 如图2 (b) 所示。设输入信号x (n) , 输出信号y (n) , 其对应的时域及频域关系如下:
4. Nobel等效
根据Nobel等效[3], 在图像处理中滤波器和抽样之间可以进行顺序变换, 如图3所示采样和滤波器偶顺序不同但是输出结果等效。
在图像的多方向滤波器组的设计中, 我们可根据需要进行图像变换, 再通过抽样和插值等操作完成图像信息的方向旋转和逆旋转, 从而实现对图像中纹理信息的多方向性分析。上述变换和理论是实现图像多方向分析的研究数学基础, 逐渐得到了广大图像处理研究者的关注。
参考文献
[1]Bamberger R H and Smith M J T.A filter bank for the directional decomposition of images:theory and design[J].IEEE Trans.on Signal Processing, Apr.1992, 40 (7) :882-893.
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[3]Park S.New Directional Filter Banks and Their Applications in Image Processing[D].PhD.thesis, School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology, 1999.
矩阵与变换的教学思考 篇7
关键词：矩阵变换器,逆变器,多电平,空间矢量调制
0 引言
在工业应用及能源利用领域,存在很多大功率高压交流电机需要控制,因此,研究开发高压多电平大容量交流电机变频调速节能装置并推广应用,对我国工业降低单产能耗、有效地捕获利用自然界新能源具有重大意义[1]。
受多电平逆变器和矩阵变换器的启发,R.W Erickson、Osama等学者提出了一种新型变换器拓扑结构——多电平矩阵变换器MMC(Multilevel Matrix Converter)[2,3,4,5,6]。MMC是一种新型的电力变频器,与传统的矩阵变换器相比,MMC突破了电压传输比小于或等于0.866的限制,既可以降压也可以实现升压;可实现多电平操作,改善了输出电压波形,减小了输出电压波形畸变(THD);开关损耗小,在风力发电中能提高效率;无需复杂的开关换流[7,8]。与多电平逆变器相比,MMC是一种AC-AC变频器,且避免了多电平逆变器的母线配置复杂或是需要直流电压源的问题[9,10]。
文献[2-6]在MMC拓扑结构的基础上介绍了MMC的工作原理,并采用空间矢量调制策略实现两电平变换,证实其电压传输比突破了传统矩阵变换器0.866的限制,且指出三电平矩阵变换器在变速恒频风力发电系统中,尤其是在低风速时,能提高电能传输效率,但是没有讨论实现三电平变换的控制方法。
现在MMC电路拓扑结构和工作原理的基础上,提出三电平矩阵变换器的控制策略,并以此构建了以Matlab/Simulink为工具的三电平矩阵变换器的仿真模型。
1 三电平矩阵变换器电路拓扑分析
三电平矩阵变换器由9个四象限开关单元组成的3×3的开关矩阵,如图1所示。每个开关单元由4个全控器件IGBT、4个续流二极管和1个箝位电容组成,类似于一个全桥逆变器的开关单元,开关单元内部器件的电压总是被箝位到一个恒定的电容电压(设为UC,下同)上,从而减少了半导体器件的电压应力。通过控制开关单元中半导体器件的导通,得到4种状态,其中3个有效状态,在其输出A、a相侧两端可以得到3个不同幅值的电平+UC、0、-UC;第4种状态为所有开关均截止,从a相端到A相端的电压由MMC内部其他连接决定,但总有UAa≤+UC。
MMC的支路连接需满足如下条件:
a.因为在MMC的输入、输出侧均有电感,应保证双侧电流连续,所以输入、输出相不能开路,否则,电感电流在开路时感应高电压会损坏开关器件;
b.MMC所有支路在开关矩阵内不能短路,否则,短路电流可能会损坏变换器本身;
c.为避免IGBT元件高电压应力,通过开路的开关单元总电荷不能超过电容电压UC[2,3]。
因此,在空间矢量选择开关组合时,应遵循下列规则:
a.在任何一个输入与任何一个输出相间,有且只有1条支路连接;
b.如果某一侧(输入或输出)的任何一相与2条支路导通,则在同一侧必然还存在一相也与2条支路导通,而第3相则与1条支路导通;
c.如果某一侧(输入或输出)的任何一相与3条支路导通,则在同一侧的其余2相与1条支路导通;
d.在不同连接组合中不能有任何一相悬空[5]。
据此,列出支路连接的开关组合如表1所示。
表中,左栏第1行表示与输入A相(或输出侧a相)相连的支路有1条(如是输入侧A相,则输出侧某相通过一个开关单元与之实现连接,开关单元有3种有效状态如前所述),与输入侧B相(或输出侧b相)相连的支路也有1条,与输入侧C相(或输出侧c相)相连的支路有3条;图2(b)所示的输入侧就是这样一种情况。由表1看出,每次合成输入、输出侧电压有5条支路连接,这样的支路连接有81种组合;而每个支路即每个开关单元有3种有效状态,则5条支路可能的导通连接组合有35=243种,由此总的开关组合为243×81=19 683种。
图2给出了3种不同的开关单元组合合成电压示例。其中,图2(a)(b)是满足以上的支路连接条件的,由图可得在输出侧得到了+2UC、+UC、0、-UC和-2UC5种电平的线电压,并且截止开关所承受电压不超过UC。图2(c)所给出的开关组合则是不允许的,因为不导通的开关如Ab、Ac、Bb、Bc所承受的电压均为-3UC,不满足截止的开关所承受电压不超过UC的要求。因此,如果MMC的一侧三相电压超过UC,则另一侧电压必须为0,这也是进行空间矢量调制时的重要约束条件。
2 三电平矩阵变换器的控制策略
目前,空间矢量调制SVM(Space Vector Modulation)是表示三相电压大小和相位的最简单有效的方法[11,12,13,14]。这种方法同样适用于多电平矩阵变换器的控制[2,3]。
MMC总的19 683种开关组合,所产生的有效的线电压组合形式只有19种,通过式(1)转变为d-q坐标值,见表2。
从表2可见,有4种不同幅值的矢量:短矢量(U1~U6)、中矢量(U7~U12)、长矢量(U13~U18)、零矢量(U0),对应幅值分别为为满足文章第1节支路连接的条件c,即图2中所阐明的约束条件,因此当MMC的输入或输出中的一侧为中矢量或长矢量时,另一侧必须为零矢量。
以直流电容电压UC为单位长度,可画出表2中的19个空间矢量,把这些空间矢量综合为一体,就得到如图3所示的六角形空间矢量图。利用输入、输出侧各自独立的19个基本矢量,使其在一个采样周期Ts内的平均值分别和给定输入、输出参考矢量Uref_in_和Uref_out等效来合成给定矢量。19个矢量中,除了1个零矢量外,其余18个矢量把圆周360°等分为6个扇区,每个扇区占60°的空间角度,每个扇区又如图3中的扇区1分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个区域,共有24个小三角形。
通过输入、输出参考矢量Uref_in和Uref_out的幅值和相角分别判断所处的扇区后,再判断矢量所处的区域;在任何一个区域内有最接近的3个基本参考电压矢量供选择合成给定参考矢量。由于空间矢量的对称性,各扇区内区域划分是相同的,因此可以根据参考矢量的角度归一到扇区1,根据扇区1建立α-β坐标,在α-β坐标系中重新构造参考矢量如图4所示(Ul、Un是长矢量,Um是中矢量,Ul0、Un0是短矢量,U0是零矢量)。在此基础上列写出一系列不等式,判断所处扇区内的小区域。当参考矢量落入某一区域以后,用该区域三角形顶点矢量去逼近参考矢量会得到最佳的逼近效果。
设调制比为m(m=丨Uref丨/UC),Ts为PWM周期,θ为参考矢量在图4α-β坐标中与α轴的夹角,按图4可分别得到输入、输出侧参考矢量Uref_in和Uref_out在扇区的不同小区中的合成及作用时间。
a.参考矢量在Ⅰ区,由矢量Ul0、Un0和U0合成,作用时间分别为tl0、tn0和t0计算公式如下:
b.参考矢量在Ⅱ区,由矢量Ul0、Un0和Um合成,作用时间分别为tl0、tn0和tm,计算公式如下:
c.参考矢量在Ⅲ区,由矢量Ul0、Ul和Um合成,作用时间分别为tl0、tl和tm,计算公式如下:
d.参考矢量在Ⅳ区,由矢量Un0、Un和Um合成,作用时间分别为tn0、tn和tm,计算公式如下:
按照空间矢量调制法计算出合成输入、输出参考矢量的基本矢量及对应作用时间后,需要确定相应开关组合及各开关组合的维持时间,从而确定各开关状态及维持时间。现举例说明在1个PWM周期内的相应开关组合及各开关组合的导通时间(开关组合时序)。设UC=200 V,当瞬时输入参考矢量位于图3所示扇区6的区域Ⅰ时(丨Uref_in丨=100 V,θin=15°,θin为矢量在α~β坐标中的角度),可得是U5、U0、U6的线性组合,其对应的作用时间为t5、t0、t6;输出参考矢量位于图3所示扇区1的区域Ⅳ时(丨Uref_out丨=300,θout=45°),可得是U13、U7、U1的线性组合,其对应的作用时间为t13、t7、t1。由式(2)和式(4)得:
根据文献[3]中的开关组合时序,由式(6)得到对应的作用时序如图5所示,根据上文中的多电平矩阵变换器的电路拓扑分析及工作原理可得到对应的开关单元状态及维持时间。
3 三电平矩阵变换器的Matlab仿真
Simulink是Matlab的一个可视化的动态仿真工具箱,利用Simulink中的电力系统工具箱(PSB)可以方便地构建MMC的仿真模型[15]。在工作窗口用模块搭建系统的框图,按照图6所示的流程图编写S函数,就可以方便地进行仿真。
MMC仿真框图主要包括6个部分:三相电源模块;电源三相/二相转换模块;MMC的开关单元矩阵,每个开关单元组成见图1;空间矢量调制策略,用S函数实现;开关单元状态信号转变为开关元件脉冲信号的译码模块;负载模块,RL负载,星型连接。
仿真参数:PWM周期为Ts=0.5 ms,开关频率为10 k Hz,直流电容电压UC=220 V,不同的开关组合可合成+440V、+220V、0、-220V、-440V5种线电压。输入侧参考电压为100 V/25 Hz,输出侧参考电压300 V/50 Hz;仿真算法为ode15s,仿真时间0.05 s,得到输入侧AB相、输出侧ab相线电压如图7(a)(b)所示,并对输出侧线电压进行了频谱分析如图7(c)所示,同时得到滤波后的三相电流如图7(d)所示。
4 结论
矩阵与变换的教学思考 篇8
图像去噪是图像处理中一个重要的环节,传统的图像去噪方法分为空域去噪[1]和频域去噪[2]。在目前大部分的研究中无论是空域去噪还是频域去噪采用的方法都比较单一。
相对于传统的去噪方法,小波去噪[3,4,5]具有多分率的特点。目前大部分的研究基于小波阈值去噪的改进主要集中在去噪阈值的选取上面。文献[4]选用了一种新的平滑的阈值函数代替传统阈值函数。文献[5]在多个不同尺度上选用不同阈值函数去噪。但是这种基于阈值改进的去噪算法在进行小波系数量化时不可避免地会引入量化噪声,并且阈值选取不当,去噪效果不太理想,还可能损害图像本身的有效数据信息,而且也没有去除低频部分噪声。
为了解决小波基于阈值的方法会引入量化噪声和去噪过程未考虑低频噪声,阈值选取不当会损害图像有用信息的这两个问题,本文在小波去噪的基础上,结合低秩矩阵的最小核范数约束来解决这两个问题。低秩矩阵最小核范数约束进行图像去噪时,直接将整个图像矩阵作为整体处理,可以消除小波阈值去噪过程引入的量化的噪声和小波阈值去噪未考虑的低频部分噪声,同时还能修复在小波去噪过程中受损的矩阵信息。将低秩矩阵最小核范数约束和小波变换结合能够使算法能适应不同的噪声环境,增强了算法的鲁棒性,扩充了算法的适用范围。
2 传统的小波阈值去噪简介
小波去噪根据所给出的阈值重构小波系数矩阵,小波去噪中常用的阈值为
式中: δ 为噪声方差; N为信号长度。
对小波高频系数w( i,j) 重构的硬阈值方法为
软阈值方法为
文献[4]改进阈值算法为
图像矩阵经过小波变换后,得到小波系数矩阵,然后根据式( 2) 、( 3) 、( 4) 重构小波系数矩阵,最后通过小波逆变换得到去噪后的图像矩阵。传统的基于小波阈值的去噪算法只是简单地将一些高频高频系数置0,没考虑低频噪声部分,并且根据单一阈值直接置0 系数可能会损坏图像本身有用信息,因此本文在单一阈值基础上引入低秩矩阵最小核范数优化来解决这些问题。
3 融合小波变换与低秩矩阵恢复的图像去噪算法
3. 1 算法思想
传统小波阈值算法和文献[4]改进算法中,直接将小于阈值的高频部分小波系数量化为0,这会引入量化噪声。小波高频系数不仅有噪声系数还包含了图像的边缘信息。根据式( 1) ,如果噪声较大,在数据长度不变的情况下,噪声方差 δ 大,阈值 λ 较大,根据式( 2) 、( 3) 、( 4) 将较多的高频系数置0,因而会错误地将图像的边缘的小波系数置0,破坏了图像本身的有用信息。并且,基于阈值的算法仅考虑了高频系数的噪声,实际大多数噪声在低频系数部分也有分布。由于小波低频系数包含了较多的图像细节信息,直接用阈值法处理低频部分的小波系数将会损害图像本身的细节信息,不仅达不到去噪目的反而会使得图像质量更差。低秩矩阵恢复算法对噪声的去除是直接在原始图像上进行,因而能克服小波对于频域去噪的不足。并且,由于低秩矩阵恢复算法还有修复数据的能力,能够修复被噪声污染的数据,使得最后结果更加鲁棒。
应用低秩矩阵恢复算法时,要求数据矩阵具有低秩特性和误差矩阵的稀疏特性。直接在原始图像矩阵处理时,由于实际噪声分布可能不满足稀疏特性造成低秩矩阵恢复算法性能的下降。经过小波去噪处理后,大部分噪声去除,噪声分布更能满足噪声误差矩阵的稀疏性要求,使得本文算法更加鲁棒。
3. 2 低秩矩阵恢复算法
根据数学理论,矩阵D是由低秩矩阵A受到噪声E的破坏形成的,并且E是一个稀疏矩阵[6],即E中只有少量的非零元素。因此可以用LRMR来进行问题求解,LRMR可用式( 5) 优化问题来表示
式( 5) 理论可行,实际上是一个NP问题。根据现有理论,矩阵0 范数可用矩阵1 范数近似替代。矩阵rank函数,可用矩阵核范数近似替代。因而,式( 5 ) 优化问题就可用式( 6) 优化问题近似代替
求解式( 6) 的优化问题有多种优化算法,常用的算法有迭代阈值法[7]、加速近端梯度法[8]、对偶法[9]与增广拉格朗日算法[11]( Augmented Lagrangemultipliers,ALM) 。
本文算法涉及的几个概念解释如下:
定义1,矩阵的范数。矩阵A = ( aij) ∈Rm × n的Frobenius范数为
式中:A的0范数为矩阵A中非零元素个数。无穷范数范数表示为范数可以表示为。
定义2,矩阵内积。同型矩阵A,B的内积为
矩阵X的奇异值分解为
式中: U∈Rm × m和V∈Rn × n均为正交矩阵。对角矩阵Σr= diag ( δ1,δ2,…,δr) ∈Rr × r,且对角元素满足 δ1≥δ2≥…≥δr。奇异值阈值算子为
式中:Στ=diag(max(δi-τ,0)),矩阵X的的核范数为。
低秩矩阵恢复问题实际是矩阵的核范数最小化的优化问题,矩阵最小核范数优化的ALM算法描述如下。
构造增广拉格朗日函数为式( 11)
当Y = Yk,u = uk时使用交替法求解。用精确拉格朗日乘子法( Exact ALM,EALM)交替迭代A和E,直到满足终止条件。
若E=Ejk+1,则更新Aj+1k+1(矩阵A第j+1个矩阵块的第k+1次更新)的公式为
式中:D1/uk(X)为奇异值阈值算子。再根据得到的Aj+1k+1,更新Ej+1k+1
记Aj+1k+1,Ej+1k+1分别收敛于A*k+1,E*k+1。则矩阵Y的更新公式为
uk的更新公式为
式中: ρ > 1,为常数; ε > 0 为较小的正数。
不精确拉格朗日乘子法( Inextract ALM IEALM) 不需要计算的精确解,即矩阵A和E的更新公式为
EALM与IELAM区别在于EALM收敛于Qlinearly最优解决方案,每次迭代只计算矩阵中部分块的SVD。IELAM针对整个矩阵进行计算SVD,可能收敛于次优解。
ALM算法可以概括为:
输入参数λ,u0>0,ρ>1,k=0。
重复。
6) 按式( 15) 更新uk,直到收敛。
7) 输出低秩矩阵A和稀疏误差矩阵E。
通过分析求解低秩矩阵最小核范数优化问题的过程,可以得出如下结论:
在低秩矩阵核范数矩阵优化问题中,当核范数收敛时,此时矩阵奇异值很小,使恢复出的低秩矩阵最大程度地保留了原始矩阵信息,因而可以达到修复矩阵受损数据的目的。同时,用误差矩阵1 范数最优解代替0 范数最优解,使得当低秩矩阵优化问题收敛时,误差矩阵尽可能地稀疏,误差矩阵越稀疏低秩矩阵恢复的效果越好。
在运用矩阵低秩矩恢复算法阵去除噪声和恢复数据时,根据矩阵有用信息的低秩特性和误差的稀疏特性,并不要求噪声源要满足某一特定的噪声分布,因而在各种噪声下,用低秩矩阵恢复算法能达到去噪和数据恢复的双重作用。
为了更好地比较EALM算法和IEALM算法的性能,对一图片增加噪声密度为0. 2 的椒盐噪声进行对比实验。两种算法的运行结果如图1 所示,图1 中所示图片实际大小为( 350,490) 。EALM恢复图像的PSNR为24. 22 d B,运行时间为232. 94 s。IEALM恢复图像的PSNR值为24. 21 d B,运行时间为6. 26 s。由此可见,EALM算法运行时间较IEALM算法增加较大,而PSNR值增加较小。在本文中选取IEALM算法进行图像核矩阵优化问题的求解。
本文算法流程如下:
1) 图像矩阵进行小波分解,高频系数用阈值法重构。
2) 用重构的小波系数矩阵进行图像重构,完成小波阈值去噪处理。
3) 对处理后的图像矩阵用IELAM算法进行核范数优化,将其分解为低秩矩阵和误差矩阵。
4) 输出恢复出的低秩矩阵和稀疏误差矩阵。
4 仿真结果及分析
本文算法所使用图片如图2 所示。
对上述图2a增加噪声密度density = 0. 1 的椒盐噪声后,用本文算法去噪后的图片如图3 所示。
图像矩阵I增加乘性噪声公式如下
对图2d增加系数v = 0. 1 的乘性噪声时,本文算法去噪效果如图4 所示。
对Lena图增加u = 0,σ = 0. 1 的Gaussian噪声后,本文算法去噪效果如图5 所示。
从图3 ~ 5 可以看出本文算法比传统单一小波阈值算法去噪获得了更好的视觉特性和更大信噪比。小波阈值去噪虽然能够去除图像的噪声,但是在重构小波系数的时候,引入了量化噪声。小波阈值选取不当还可能破坏图像本身有用的信息,大噪声环境下,要尽可能多地去除噪声,就要选择大的阈值才能达到较好的去噪效果。选取阈值过大将会去除图像本身有用的信息,造成图像信息缺失和信噪比下降。在小波去噪引入量化噪声和去噪过程中损害了原始数据时,利用低秩矩阵恢复算法来恢复受损的图像本身的有用信息,同时又进一步去除低频部分噪声和量化噪声,从而达到比单一小波阈值去噪更好的去噪效果。
在PSNR对比上,本文进行的的对比实验结果如图6 ~ 8 所示。
进一步分析去噪结果比较图和PSNR对比结果。从图3 可以看出,在椒盐噪声环境下,本文算法去噪的视觉特性要明显优于单一的小波阈值算法,图7 的实验结果也验证了这个结论。从图4、图5 和PSNR对比结果可以看出,在乘性噪声和高斯噪声环境下,本文算法本文算法都不但有最好的视觉特性而且还有最高PSNR。可以看出,在种多噪声环境下本文算法都达到了预期去噪和修复受损数据的目的,算法性能都好于单一的小波阈值去噪。
5 结束语
本文提出了一种融合小波变换与低秩矩阵恢复的图像去噪算法,针对小波阈值算法会引入量化噪声和去噪过程未考虑低频噪声,阈值选取不当会损害图像有用信息的这两个问题,在小波去噪的基础上,结合低秩矩阵的最小核范数约束的方法基本解决了上述两个问题,并且实验结果已经验证了本文所提出算法的有效性和可行性。但是在实验中发现,在高斯噪声环境下本文算法PSNR提高并不大,如何提高在高斯噪声条件下本文算法的性能是将来所要进一步研究的问题。同时,本文低秩矩阵恢复算法基于奇异值分解,算法求解效率不是最优,如何提高本文算法的运行效率也将是下一步研究的重点。
摘要：针对小波阈值图像去噪会引入量化噪声和阈值选取不当会损失图像本身有用信息的问题,提出一种新的融合小波变换与低秩矩阵恢复(Low Rank Matrtix Recovery,LRMR)的图像去噪算法。不同于传统的单一阈值的去噪算法,所提出的算法在单一阈值上结合了低秩矩阵恢复算法,这样不仅能进一步消除噪声,同时还能修复被噪声损坏的数据,而且更能适应各种不同的噪声环境。首先,选取固定阈值对图像矩阵进行小波去噪处理。其次,采用增广拉格朗日乘子算法最小化矩阵核范数。最后,将矩阵分解为低秩逼近矩阵和稀疏误差矩阵。实验结果表明,算法获得了较高的峰值信噪比,在不同噪声环境下有较高的鲁棒性。
关键词：小波变换,图像去噪,增广拉格朗日乘子,低秩矩阵恢复,最小核范数
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