几何变换的价值

几何变换的价值（精选9篇）

几何变换的价值 篇1

根据素质教育的全面性要求, 要想正确客观地认识平面几何, 必须贯彻平面几何的变换思想, 帮助学生更深刻地掌握平面几何知识.

一、几何变换定义性质教学

相对于立体几何而言, 平面几何是二维平面问题, 着重研究几何图形在二维平面中的变换问题. 常见的平面几何变换包括平移变换、翻折变换和旋转变换, 是对集合变换中的映射和变换的具体表现. 平面几何变换的定义十分明确. 在初中数学中主要考查学生对几何变换的性质掌握和使用能力. 初中数学平面几何问题多数属于基础几何问题. 在几何变换的教学中, 教师可以从基本平面图形的介绍入手, 逐步深入实施几何变换教学.同时, 引导学生自主进行几何变换探究学习, 提高学生的几何思维.

例如, 在旋转变换的教学中, 教师可以从平面图形的教学入手, 通过分析平面和立体的关系, 实现旋转变换的教学. 教师可以利用圆锥的形成进行举例, 将圆锥看成是由一个直角三角形绕某一直角边进行旋转变换而形成的空间几何图形. 旋转变换是几何变换中相对较难的一种. 原图形在旋转变换的过程中, 原图形的性质保持不变, 但图形形状发生显著变化. 通过三角形旋转变换成圆锥的案例, 教师可以引出旋转中心、旋转轴等概念, 并得到旋转变换的几何性质. 对于平面几何教学, 教师必须恪守定义性质第一性原则, 只有学生明确了几何变换的性质, 他们才能实现对其后期的实践应用.

二、几何变换探究式教学

几何变换不仅仅是一个数学知识点, 更是我们用来探究几何图形的工具. 几何变换在平面几何解题和教学中有着广泛的应用, 在等腰三角形、角平分线、矩形、圆形等轴对称图形的教学中发挥着重要作用. 随着素质教育的不断深入, 教师对学生自主学习的要求不断提高.利用几何图形变换进行探究式教学已经成为几何教学中素质教育的重要组成部分.

例如, 在近些年的中考真题中, 很多几何题目都是以折叠和旋转进行命题的, 大量运用几何变换的知识.每当题目中出现轴对称图形, 我们就会想到运用平移变换; 于中心对称图形, 我们则运用旋转变换的思想. 对此, 在面对相同的题目时, 教师可以要求学生采用不同的思想方法进行解题, 实现对自身几何变换的探究学习. 教师可以将一些基础性的几何问题交给学生进行自主探究, 让学生在解题的过程中总结几何变换的规律.

三、几何变换多样性教学

几何变换思想的出现是对传统欧氏几何教学的发展, 实现了平面几何教学的多样性原则. 通过几何变换的实施, 学生不仅能在静态图形中分析学习几何图形的性质, 更能将几何变换深入空间体系, 在动态发展的过程中实现对学生几何变换的教学. 平面图形的变换较为单一, 而突破二维限制的空间图形更加奥妙无穷, 不仅包含平面几何变换的性质, 更简化了学生对几何图形的理解和分析. 通过几何变换的多样性教学, 在增加学生对几何图形认识的同时, 也为学生的自主探究提供了契机.

例如, 我们可以从平行四边形的定义证明着手, 对几何变换之间的相互关系进行探讨. 在传统的初中几何教学中, 我们将平行四边形定义为一组对边平行且相等的四边形. 但是, 如果仅从数量关系和位置关系进行教学显得太过单调. 教师可以从它的几何变换来进行定义教学. 首先从平移变换的角度, 平行四边形是由一边AB沿着BC方向平移而成, 由此可以推导出定义中的平行四边形的关系. 平行四边形也是中心对称图形, 可以看成是CD边绕对交心交点O旋转180°所得. 如此从线性关系、几何变换关系上进行初中几何教学, 学生对几何图形的形成产生了深刻的认识.

四、几何变换实践化教学

要想让学生对几何变换的应用得到更加深刻的认识, 教师可以从中考真题中发掘出其中的几何变换思维, 实施几何变换实践化教学. 在初中阶段, 几何和代数的综合使用, 才是几何变换的用武之地.

例如, ( 2013年北京市中考) 在△ABC中, AB = AC, ∠BAC = α ( 0° < α < 60°) , 将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

( 1) 如图3, 直接写出∠ABD的大小 ( 用含α的式子表示) ;

( 2) 如图4, ∠BCE = 150°, ∠ABE = 60°, 判断△ABE的形状并加以证明;

( 3) 在 ( 2) 的条件下, 连结DE, 若∠DEC = 45°, 求α的值.

由简单的几何图形变换得到的启示 篇2

关键词：三角板；旋转的不变性；创造能力；逻辑思维能力

随着课改的进行及《义务教育数学课程标准》的实施，处处体现生活中存在数学。怎样去发现数学，其实数学就在身边，留心观察，细心思考，你会体会到数学的奇妙与快乐。下面就简单的一副三角板的开发和利用，谈点自己的看法与启示。

首先进入我们视野的是等腰直角三角形，这是一个德才兼备的几何图形，它既具有等腰三角形的性质又具有直角三角形的性质。研究起来会妙笔生花，细心的品读它带给我们的快乐。取一对全等的含45度角的三角板进行简单的探究活动，将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边中点上。设AC=BC=4，

（1）如图1，两三角板重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积是多少？周长为多少？

显而易见：△ACM的面积等于△ABC的一半周长等于AB+AC，而AB的长由勾股定理求得。

（2）将图1中的三角板MNK绕顶点M逆时针旋转45度角，得到图2，则重叠部分的面积会发生变化吗？周长为多少？类比图1很快就会发现没有变化周长为8。

（3）将△MNK绕点M旋转到不同于图1和图2的位置，你猜想此时重叠部分面积会发生变化吗？如果不发生变化，请说出理由。于是学生投入到激烈讨论中，这种跳跃性思维跃然于纸上。启发在已有的研究成果基础上去构造，既然△MNK是旋转变化的，能不能转换为图1于图2的图形。观察与研究发现面积不变，那又怎样证明。连接CM会发现△CMG会和△APM全等，可以看成△CMG绕点M旋轉90度角得到的，此时图形旋转起到了一个惊人的变化。由特殊到一般揭示了图形变换的本质，一石激起千层浪，让学生自己拼图利用三角板反复进行仔细观察会发现什么？小组讨论、研究。追问：在图3中，AP=1的情况下，怎样求重叠部分的周长？生1：坏了，这下掉进老师设的陷阱里了，出不来了。此时，我静静地等待学生研究成果。生2：AP=1，CP=3，由三角形全等知：CG=AP=1，可PM=MG=？此时，陷入僵局，大部分同学投入积极的思考中，既然是旋转大家能不能转化为图1，图2呢？从中得到哪些启示。图3能转化为图2吗？联想与旋转变化交替进行，是数学思维活动进入了又一个高峰。积极的思考和点拨，让学生在思维的碰撞中产生火花。生3：老师我知道了。生4：我也知道了。我抓住有利时机，问什么在这里起到了重要的作用，勾股定理即可求DM的长。从中看到了旋转的作用，全等变换其形变本质不变，找到恰当的解题方法，达到融会贯通的目的。

思维的发散与变式正是研究问题的恰好时机，此时展示2013年河南省中考试题，实现思维的正向迁移。

将两块全等的含30度的三角板如图4放在一起，△ABC与△DEC重合放置，∠C=90度，∠B=∠E=30度。（1）操作发现：固定△ABC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，如图5，填空：①线段DE与AC位置关系_______。②设△BCD的面积与△AEC的面积的数量关系是 。③猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图6的位置时，小马猜想②中的结论仍然成立，并尝试分别做△BDC和△AEC的BC与CE边上的高，请你证明小马的猜想。

有了前一个习题的铺垫，①②两问学生会顺利地得到解答。③的解答细细的思考会发现，既然是旋转，抓住旋转的不变性及旋转前后的图形全等的特征，可证△ACN≌△DCM即可。

当替换条件时，∠BAC=36度，△ABC为等腰三角形，上述条件不改变，就变为一般情况，这样从一般到特殊的思维方法。拓展学生的知识视野，举一反三，融会贯通使知识达到成片开发，提高学生的想象能力及逻辑思维能力，达到训练目的。

启示：在这节习题课中，旋转的特殊性质，抓住旋转的不变性，利用全等条件，仔细观察图形的变化，启发学生思维开发和利用旋转的内在联系，一题多用，变换条件。螺旋上升，使学生的视野开阔，提升解答问题的能力。教学中只要留心观察，认真研究习题的变化和解题规律就会有所收获。充分利用学生手中的三角板进行演示，拼接通过全方位观察思考，运用工具进行知识重组和解答，无疑对培养学生思维的灵活性和独创性有着十分重要的意义。事实上，充满思考性的练习题即使学生没能完全正确解答出来，也能有效地训练学生的创新思维。这不仅有利于提高学生思考、分析的积极性，也有利于开发学生的创造潜能。创造性思维不仅要求思维的数量，还要求思维的深度和灵活性，即思维的变通性。创造性教学则是培养创造性思维和创新能力的基础。所以教师在教学过程中要从多角度训练学生的思维品质，使学生能独立地、自觉地运用所给问题的条件，并做出新的变换和组合，培养学生灵活应变能力。所以在教学中要关注学生的数学活动，培养动手操作能力，及时转换为数学模型，挖掘数学习题的内在潜质，去发现共性进而研究这类习题的解题规律。

以上三例的演示与启发使我认识到：教师一定要充分收集利用已有的数学资源，进行加工与创造培养学生的探究精神。去追求数学知识的内在联系，加强创新思维训练与培养，有待于我们去研究和利用。

（作者单位 永吉县第七中学）

几何变换的价值 篇3

一、多样化教学, 提高学生对几何图形的认识能力

在几何平面教学过程中, 借助几何变换来认识和了解平面几何图形, 不仅能提高平面几何教学质量, 还能够提高学生对平面几何中基础图形的结构特点的认识. 结合运动变换的观点来解决平面几何教学中的问题, 可以活跃学生思维, 为学生发挥多样化思维提供良好的空间.

例如, 平行四边形的四个角分别表示为∠A, ∠B, ∠C, ∠D, 结合平面几何教学的定义可以得出AB = CD且AB∥CD从几何变换的角度分析, 可以根据数量关系和位置关系来看待这个问题, 从这两方面来引导学生认识图形. 还可以利用平面几何中平移的角度来分析, 或者将平行四边形AC和BD连接起来, 两条连接线的中心点就是平面几何的中心对称, 由此得出AB = CD且AB∥CD.

二、几何图形变换性质教学, 使学生从更高的角度认识几何图形

初中平面几何教学涉及的几何知识大多属于基础几何, 在几何教学过程中, 教师可以引导学生了解基本图形在变换过程中所体现的基本性质, 从这一方面着手, 让学生能够理性地认识几何变换;然后教师可以一步步地深入, 让学生能够认识到几何变换在平面图形中的有效性, 在探索图形性质的过程中, 不仅能够让学生加深对图形变换的理解, 还能够拓展学生从更高的角度分析和认识几何图形.

例如, 教师可以根据圆的基本性质通过几何变换的形式来挖掘圆的其他性质. 首先, 圆是轴对称图形, 也是中心对称图形, 其所具备的两种图形性质较为特殊. 其次, 根据圆对称的特殊性, 在实际教学中可以围绕圆的对称性展开讨论和分析, 突出阐述圆的对称性质, 这样能够很容易得出圆的其他性质. 这种方法能够在讲解圆这个单元时, 更加直观、简便地表达出圆的性质, 而且学生可以将这种方法应用到其他图形中, 起到事半功倍的效果.

三、利用运动变换的观点探索图形特征, 能够提高学生的图形直觉和推理能力

平面几何相对于立体图形更加直观、形象, 所涉及的内容也相对比较简单. 在初中平面几何教学中, 教师可以根据不同层次的学生亲自动手操作, 了解不同层次学生对几何图形的直观感知能力. 通过自我感知使学生认识图形对称、平移等变换, 并根据图形变换了解图形的几何性质, 将原本静止的图形想象成为动态图形, 这样能够激发学生的空间感知能力和推理能力. 利用运动变换的观点探索图形特征, 可以使学生将抽象的几何概念、理论和方法, 变得更加直观生动在开拓学生创新性思维、提高学生实践操作技能、激发学生发散性思维等方面具有十分重要的教学价值.

四、利用几何变换解题, 能够培养学生思维的灵活性和敏捷性

大多几何问题中所涉及的几何元素较为分散, 要深入了解和认识各个元素之间的关系, 就需要根据几何问题的具体要求, 利用几何变换将分散的元素集中在一起. 通过几何变换来转变几何图形中不同元素之间的关系, 将不规则图形变换为规则图形, 将一般性质转换成特殊性质, 通过这种图形性质变换来挖掘几何问题中各元素之间的关系, 通过这种方法来探讨图形在运动过程中的量化关系, 并找出规律, 这样既能解决几何问题, 还能够利用相同的手段解决其他几何图形中遇到的相同或类似问题. 在初中平面几何教学中应用几何变换有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性.

五、结语

综上所述, 在初中平面几何教学中应用几何变换, 需要借助实践操作和生活空间实例来引导学生, 使学生认识几何图形的变换. 通过观察、实践活动、动手操作等方式将几何变换合理利用到平面几何教学中, 从不同角度利用几何变换探索图形的性质与特征, 使学生能够更好地解决几何问题并活跃学生思维, 使其了解图形之间的关系. 几何变换在平面几何教学中的应用有利于学生感受和欣赏图形的美, 认识数学知识与客观世界的联系, 还有利于增强学生的创新性思维.

摘要：新课程改革后, 数学中几何与代数知识的划分更加清晰.在数学课程中, 几何变换是一个独立的单元, 将几何变换应用于平面几何教学中, 能够让平面几何教学更加生动形象, 也是一种良好的教学方法.本文就几何变化在初中平面几何教学的应用进行分析和研究, 了解其在初中平面几何教学中的应用效果, 以此提供更多有效的平面几何教学方法.

关键词：几何变换,平面几何,初中教学

参考文献

[1]陈阿文.几何变换在初中几何解题中的应用[J].中学理科园地, 2010 (4) .

[2]宋业存.基于几何变换的拱轴线的构成与特性研究[J].南京理工大学学报:自然科学版, 2012 (4) .

巧用几何变换发展学生的空间观念 篇4

关键词:图形变换 合情推理 概念教学 定理教学 解题训练 创新能力

以往的平面几何教学内容是以公理扩大化的欧式体系为主线,将“已知——求证——证明”的模式作为几何学习最为核心的模式。而在教学改革的今天,《数学课程标准》对图形与空间内容的学习做了新的定位,明确将几何学习的主要目标定位为“发展学生的空间观念”(数学证明只是其中的一部分)。“图形与变换”与“空间推理”可以是“齐头并进”,也可以是“交叉组合”。在各个版本的课标教材中,均将几何变换和运用放在了特别突出的地位,把几何变换方法作为探究几何图形性质的一种重要途径。在内容的呈现方式上,首先是借助于平移、旋转、轴对称等直观具体的“操作性活动”,去完成探究图形性质的学习任务,以提高学生的观察、分析、思考、归纳和概括能力,随后才是“想象”“推理论证”等抽象的思维活动方式。

教学实践证明,在入门阶段,以几何变换为主要线索揭示图形的性质,符合学生的认知规律,学生学有兴趣,有利于发展学生的猜想及合情推理能力,有利于学生对探究几何对象方法的多样化的认识,使几何教学更富有生命力。因此,如何利用几何变换发展学生的空间观念,是数学教师必须思考的一个问题,今结合教学实践谈一下自己的点滴做法。

一、注重利用几何变换进行概念的教学

利用几何变换的方法进行概念教学本身就是关注了几何知识的现实性和直观性,有利于促成学生对概念本质属性的认识。如在讲授角平分线概念时,用软纸片做出角的模型,过角的顶点将纸片对折,使两边重合,展平,折痕就是角平分线的形象。这种简单操作,消除了学生在学习概念时的枯燥乏味感和死记硬背的倾向。在讲授点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系概念时,通过点、直线、圆向定圆平移的操作,使学生感受各种图形与圆会出现多种不同的位置关系及不同位置关系出现的先后次序,可大大加深对各种位置关系概念的理解,使学生感知数学概念也有着活生生的几何变换背景,提高了学生的变换意识和学习兴趣。

二、结合几何变换,精心设计图形性质(定理)的教学

几乎所有的几何基本定理的结论都可借助于几何变换得到,故在教学中应引导学生逐步形成几何变换的方法。如角平分线性质定理、线段垂直平分线性质定理、等腰三角形性质定理、垂径定理等都可用折叠(对称)的方法进行探究性教学;对顶角的性质可由将相交直线绕交点旋转180度得出;在三角形中位线定理的教学中,可让学生把中位线截得的三角形绕中位线一端点旋转180度,通过引导学生探究变换后所得四边形的形状,学生不难发现定理的结论。笔者在等腰梯形性质定理的教学中,引导学生将等腰梯形的两条边转化为等腰三角形的两腰加以运用,同学们跃跃欲试,得到了如图1(梯形ABCD中,AD平行于BC,AB=DC)所示的多种辅助线、辅助线是解决几何问题的“生命线”。

由于问题的多变性,学生对辅助线的寻求仍是一个棘手的问题,而利用几何变换构造辅助线可使图形中相对孤立的元素变换到同一基本图形中,可谓水到渠成,自然而直观,学生消除了作辅助线的玄妙之感,做到了知其然且知其所以然,再不会将辅助线作法视为僵死的条文。综上所述,利用几何变换进行定理教学,可加深学生对基本图形处理方法本质的理解,有利于学生掌握探索定理证明途径的基本方法。

三、注重几何变换的解题训练

在解题教学中,应潜移默化、不失时机地向学生渗透几何变换的数学思想方法,以加强学生的应用意识,这是提高学生变换思维能力的必要条件。

1.注重对经典几何问题的动态化设计

一些经典的静态化几何问题因其具有凸显的典型性、启发性和代表性受到我们的关注,它们往往是可利用几何变换进行动态化设计的好的题目原型。

对相关图形进行动态化设计,首先可使学生产生用几何变换方法解决问题的意识,提高用变换思想认识图形的性质,解决几何问题的能力。其次,可使学生感受几何变换是使图形变式的常用方法,感受在几何变换下生成的变式图形与原图形有着相同或相近的性质,逐步形成动中求恒的解题意识。

2.给学生展示一些奇妙的解题方法

若注意收集一些趣题妙题,引导学生用几何变换的方法进行思考,打破常规,拓展思维,可使学生开阔眼界,提高创新能力。

例:在边长为1的正方形的周界上,任意两点间连一条曲线把正方形面积分成相等的两部分。试证:曲线的长不小于1。

解析:分情况讨论:

(1)若曲线的端点分别在正方形的一组对边上,如图2,过M作ME垂直DC于E,由“直线外一点向直线上各点的连线中,垂线段最短”可知,结论成立。

(2)若曲线的端点在正方形的一组邻边上,如图3,该曲线必与对角线AC相交,设一交点为P,若将PN沿AC翻折至PN′,则转化为图2的情况,故结论成立。

(3)综上所述,曲线的长度不小于1。

最后指出,经历变换要注重合情推理和对证明本身的理解,不可流于形式。随着学生学段的增高和学习的深化,应把几何变换和演绎推理相结合,多法并进,实现变换与推理的互通和互补,以促成学生对几何变换重要思想方法的理解和掌握,充分发挥师生的教学智慧,提高数学课堂的教学质量。

参考文献:

1.《数学课程标准》(实验稿).中华人民共和国教育部制定,2007.1

2.《初中数学新课程教学法》.东北师范大学出版社,2004.5

基于弦变换提取几何特征的方法 篇5

关键词：弦变换,几何特征,反弦变换滤波,特征匹配

0 引言

在人的视觉感知、识别和理解中,形状是一个重要的参数。形状可以认为是目标物体的一种外在视觉的总体感知,是物体的一种外在描述[1]。因此,形状特征的提取具有重要的意义。在计算机视觉和模式识别中,形状是对目标范围的二值图像表示,可以看成是目标的轮廓,它是用于目标识别的重要特征。目前,对于形状特征的描述常用的方法是将形状模型化,即对形状进行分析,提取能表达形状的特征,比如Hough变换[2,3]、不变矩[4,5]、傅里叶描绘子[6]等。但这些方法中一些会受到尺度和旋转等变换的影响,而一些虽然对二维的尺度、旋转等变化具有一定的鲁棒性,但要求封闭的边缘,同时对于相对复杂一点的变化,比如仿射变化,也束手无策。弦变换同样是基于边缘信息提取出的形状特征,但不同的是它不仅仅只对边缘点分析,还结合了由这些点构成的弦的分布信息。此方法是将图像中的目标边缘经过弦变换后得到一个角对的分布图,对于不同的几何形状有着不同的分布模式,即该分布图对于每个形状具有唯一性,因此将它作为形状特征来进行目标形状匹配是可以的,同时这种方法提取的几何特征不但具有尺度、旋转及平移不变性,而且对仿射变换也具有一定程度的鲁棒性。另外,换个角度可以将感兴趣目标的形状的弦空间特征作为模板,对图像进行弦变换的反变换滤波,就能将非目标形状的边缘过滤掉,只留下目标形状的边缘。本文利用文献[7]对传统弦变换的改进,进一步将此特征应用到目标形状的识别当中,并对复杂变换条件下此特征的鲁棒性进行了实验验证。

1 边缘提取

由于弦变换是基于边缘信息得到的特征并且要求边缘是单像素的,因此提取图像的边缘变得至关重要。图像中的边缘通常与图像亮度或图像亮度的一阶导数的不连续性有关,因此可以利用图像强度的一阶或二阶导数进行边缘检测。至今,已发展了许多边缘检测器,常用的几种有Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子、Canny算子[8]、LoG算子等[9]。其中Canny算子边缘检测的基本思想是在图像中找出具有局部最大梯度幅值的像素点。Canny算子提出了边缘检测算子的3个准则:信噪比准则、定位精度准则、单边缘响应准则,并将其相结合获得最优的检测算子,由此得到的边缘具有较好的连续性以及单像素等特点。这正好满足弦变换的要求,因此本文中采用了Canny算子提取图像边缘。

2 形状特征的提取

2.1 弦变换特征描述

将图像信息转化为特征数据是为了减小图像分析问题中的维数。早前,Tenery[10]认识到使用积分几何将平面图像转换后得到定量的测量标准,可以更好的表述图像特征信息。这种方法将形状转换成可以计量的模式。1972年,Moore[11]受Novikov[12]的影响,提出了一种使用边缘点之间的距离和角度关系的变换,称之为弦变换。对于平面图像边缘函数F(x,y),用一个特征函数来定义弦变换:g(x,y,r,θ)=f(x,y)f(x+rcosθ,y+rsinθ),当F(x,y)是一个边缘点时f(x,y)=1,否则f(x,y)=0。变量x、y、θ和r的意义如图1所示。全局弦长函数fr(r)和全局角度模式函数fθ(θ)的定义如下:

当它们乘以一个归一化常数后,可以分别将其视为角度的概率密度函数和边缘图像中的弦长分布。因此,可以将这些函数作为描绘图像边缘模式的特征描述子。

在Lucas[12]、Chenoweth和Kannape的研究中,对弦变换进行了修改。修改后的弦变换定义不再使用弦长,而是利用弦与两端点的边缘法线所形成的夹角关系,改进后的弦变换几何如图2所示。利用θ1和θ2可以将它们之差的模值θD=|θ1-θ2|及它们的平均θA=(θ1+θ2)/2映射到弦空间。这里的弦空间其实就是由这些角对出现次数的累积而形成的一个直方图,它等效于(θ1,θ2)的离散化概率密度函数。修改后弦变换有一个有趣的特征,即对于各种几何形状,它们角对(θ1,θ2)的累加会聚集在弦角直方图的特定区域,形成不同几何形状的特征。圆、直线、直角和平行线在弦变换直方图中的分布情况如图3所示。根据θD和θA的特性,几何形状在弦变换直方图中的分布应该是在一个三角形的区域里呈现各自的特征。另外,修改后的弦变换忽略了弦长的影响,因此它相对之前的弦变换来说不但具有平移和旋转不变性,还增加了尺度不变的特性。

2.2 反弦变换的几何滤波

如果已知特定的几何形状在弦空间的分布情况,那么完全有可能设计一个弦空间平面的滤波器,边缘图像经它滤波以后可以拒绝不感兴趣的形状边缘,保留感兴趣的形状[7,11]。为了观察几何滤波的效果,则有必要知道弦变换的逆运算,即要知道弦变换空间的每个单元与原始图像像素的对应关系,这就必须将原始灰度值存储在弦变换队列中,然而这种方法需要大量的存储空间,因此在实际应用中是不可行的。因此,为了简化,用另外一种方法来替代:给定一个特定几何形状的弦变换直方图作为模板滤波器,当图像中的弦对映射到这个直方图中某坐标位置时,对应坐标点上的弦变换累加值将作为对应此弦的原始边缘点幅值的加权因子。边缘图像中的各弦都经相同处理后,则可得到一幅新图像。一般,在新图像中的灰度值F′i,j是这样一个函数:F′i,j=α1Fi,j+α2Ci,j+α3Fi,jCi,j,其中:α1强调的是原始图像F的内容,α2强调的是映射到弦空间中位置与当前弦角对映射位置相同的弦对数目Ci,j,α3强调的是前两者之积。一般情况下,取α1=α2=0,α3=1/max(Ci,j)。而对于形状,只要得到边缘信息就可以了,因此进一步简化:如果F(i,j)是边缘点,则Fi,j为1,否则为0。这样得到的新图像则是一个非二值化的边缘图像,其中需要的形状边缘很亮,而其它形状的边缘则很暗,将其二值化后就可以去除不感兴趣的形状边缘,只保留感兴趣的形状边缘。

3 实验结果与分析

3.1 特征相似性比较

至今为止,已经出现了几十上百种相似性度量的方法,其中比较典型的有,绝对差(AD)、平均绝对差(MAD)、平方差(SD)、平均平方差(MSD)、积相关(Prod)及归一化积相关(Nprod)等[13]。本文采用归一化积相关对弦变换特征进行相似度比较。设两个目标形状的弦变换直方图为{C1(θA,θD)}和{C1(θA,θD)},θA,θD=1,2…,n,其中n是角度量化后的最大级数,则它们之间的归一化积相关按如下函数计算:

D的值在0和1之间,它越接近1表明特征越相似,匹配的程度越高。图4给出了一幅有多个不同几何形状目标的图像,以及它们各自的弦变换直方图,其中圆形(目标5)的弦变换特征正好与图3所示的分布对应,各形状相似性比较的结果如表1所示。由前面归一化相关系数介绍可知,系数值越接近表示两目标形状越相似。表1中的结果可以看出,其中目标1与目标2的相关系数值最高,并且是非常接近1,而实际上目标1就是将目标2放大一倍再旋转45°后得到的,都是正方形。因此它们应该被判定为相似,实验的结果也说明如此,这也正好验证了弦变换对缩放旋转的不变性。相比之下,其它目标之间的相关系数就小多了,由此可以看出,相同或相似几何形状之间的弦变换特征差距较小,而不同形状之间的弦变换特征差距很大,因此用目标边缘的弦变换特征进行形状相似性匹配是可行的。

为了进一步说明弦变换对仿射变换也具有一定程度的鲁棒性,下面将对三个不同形状的飞机进行仿真实验(如图5所示),相关性比较如表2所示。利用三种不同类型的飞机在不同状态下呈现出不同形状的目标,将三种飞机分别与这些目标进行弦变换特征的相似性比较,得到归一化相关系数如表2所示。从表2的结果可以看出,同一类型的不同目标之间相似性系数最大且非常接近一。这些不同状态下的飞机目标实质就是这三种飞机经不同仿射变换后的结果,因此实验结果可以说明弦变换特征对仿射变换具有一定程度上的鲁棒性。

3.2 反弦变换滤波

本节分别用圆形、菱形和三角形的弦变换作为模板(见图6)对输入的边缘图像滤波,然后观察滤波后的结果。由图7到图10的实验结果可以看出,输入图像经特定形状的滤波器滤波后,可以保留与之相同或相似的目标边缘,而过滤掉其它不同形状的边缘。

4 结论

运用几何变换巧解题 篇6

一、巧用平移变换

例1找出图中边长为a的大正方形ABCD面积与阴影小正方形HMNP面积之间的关系.

分析解决此题有两种常见思路, 一是通过计算找出小正方形的边长与大正方形的边长之间的关系, 从而找到面积之间的关系;二是通过图形的剪拼直接找到大正方形与小正方形面积之间的关系.

沿着这两条思路, 我们可以把原图看成是一块正方形地转, 而铺地砖其实就是图形的平移, 通过图形平移, 发现上述关系.略解如下:

解法一水平移动正方形ABCD至正方形DCFE的位置, 则有:△AGH≌△DQT≌△CQN, 且△DQT与原四边形DPNQ组成正方形DPNT, 全等于阴影正方形HMNP, 设其边长为x, 则DT=NT=x, NQ=QT=2x, 在Rt△DQT中, 由勾股定理得, DT2+QT2=DQ2, 即 , 解得 , ∴阴影小正方形的面积=大正方形面积的的

解法二水平移动正方形ABCD至正方形DCFE的位置, 则有:△AGH和四边形DPNQ拼成正方形, 同样, 向左、上、下平移正方形, 都可以得到相对的三角形和四边形可以拼成正方形, 且这四个正方形都和阴影小正方形全等, 从而就得到了阴影小正方形的面积等于大正方形面积的 .

当然, 本题的解法很多, 不过这种巧妙地运用平移变换的解法, 直观易懂, 方便快捷.

例2如图, 等腰梯形ABCD中, AD=3, BC=5, 对角线AC⊥BD, 求此梯形的面积.

分析已知条件上、下底的长比较分散, 而对角线的相互垂直又不能直接运用, 其实我们只需进行一次简单的平移, 上述两个问题都解决了.略解如下:

平移AC到DE的位置, 与BC的延长线交于点E, 则四边形ACED是平行四边形, CE=AD=3, BE=BC+CE=BC+AD=5+3=8, △DBE为等腰直角三角形, 作DF⊥BC, 垂足为F, 则DF=BF=FE=4, 从而梯形的面积= , 问题得以解决.

二、妙用翻转变换

例3已知四边形ABCD为菱形, ∠BAD=60°, E为AD的中点, AB=6 cm, P为AC上任一点, 求PE+PD的最小值.A

分析求PE+PD的最小值, 很容易使我们联想到“两点之间, 线段最短”.遗憾的是P不可能在线段DE上, 因此我们考虑到能否把E点移到AC的另一侧, 因为菱形是轴对称图形, 我们可以把△ADC沿AC翻转到另一侧, 则问题就迎刃而解了.

略解∵菱形是轴对称图形, ∴△ADC与△ABC关于AC对称, ∴AD的中点E与AB的中点E′关于AC对称, 连接DE′, 交AC于点P′, 连P′E, 则PE+PD=PE′+PD≥DE′=P′E+P′D.∴当P为点P′时, PE+PD最小, ∵AB=AD, ∠BAD=60°, ∴△ABC为等边三角形.∵E为AB的中点,

∴DE′⊥AB.根据勾股定理,

∴PD+PE的最小值为 .

例4已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, P是BC边上任意一点, PD⊥AB, PE⊥AC, CF是AB边上的高.求证:PD+PE=CF.

分析运用翻转变换来考虑此题的证明, 我们可以以BC为轴, 把△EPC变换到△GPC的位置, 这时, PG=PE, ∠CPG=∠CPE=∠BPD, 因为CPB是直线, 所以G, P, D在同一直线上, 因为四边形CGDF是矩形, 所以GD=CF, 也就是:PD+PE=CF.

略证过点C作CG⊥PD, 垂足为G, ∵PD⊥AB, PE⊥AC, CF是AB边上的高, ∴四边形DGCF为矩形, AB∥CG, ∴∠B=∠PCG, DG=CF.∵AB=AC, ∴∠B=∠ECP, ∴∠PCG=∠ECP.又∠G=∠PEC=90°, PC=PC, ∴△PEC≌△PGC, ∴PE=PG, ∴PD+PE=PD+PG=DG=CF.

三、善用旋转变换

例5已知:如图, 在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点E和点F, 使∠EAF=45°, AG⊥EF, 垂足为G, 求证:AG=AB.

分析已知∠EAF=45°, 则∠FAD+∠BAE=∠EAF=45°, 但∠FAD和∠BAE的位置分散, 以上关系难以在证题中运用, 且四边形ABCD是正方形, 将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置, 即可构成与△AEF全等的△AEH.

几何变换的价值 篇7

1 镜像功能指令的应用

镜像功能指令编程也称作轴对称加工编程,是将数控加工刀具轨迹关于某坐标轴做镜像变换而行成加工轴对称零件的刀具轨迹。镜像轴可以是X轴可以是Y轴也可以是原点。镜像功能指令为G24、G25。用G24来建立镜像,由指定的坐标后的坐标值指定镜像位置。镜像一旦指定,只有使用G25指令来取消该镜像。

编程格式为:

其中,G24为建立镜像;G25为取消镜像;X、Y、A为镜像位置。

当工件相对于某一轴具有对称形状时,可以利用镜像功能和子程序,只对工件的一部分进行编程,而能够加工出工件的对称部分,这就是镜像功能。现就一实例来说明镜像功能指令的编程应用。

加工图1所示工件中的4个凸台。工件材料为硬铝,毛坯尺寸为70mm×70mm×20mm,凸台具体加工尺寸如图2所示。刀具起点距毛坯上表面100mm,要求所加工凸台高5mm。

工件为硬铝块,可采用机用平口虎钳来装夹工件,采用硬质合金钢刀具,选用准10mm的键槽铣刀来加工4个凸台。将毛坯的中心设为工件坐标系的原点(如图3所示),把原点处的机床坐标值输入G54中完成对刀。若按照基本功能指令编程,就要对4个凸台进行分别编程,程序篇幅很长,耗时占空间,且都是相似的程序。不难看出,此工件最大的特点是4个凸台具有相同的形状,而且都关于对称轴对称。那么可以考虑将凸台单元编成子程序,然后用镜像功能指令调用4次子程序,即可完成4个凸台的加工。为了叙述方便,分别为4个凸台编号,将第一象限的凸台定为(1)号,依次类推(如图3所示)。可以将凸台(1)的加工程序作为子程序,主程序则使用镜像功能指令来编写,通过主程序对子程序的4次调用完成4个凸台的加工。使用镜像功能指令G24/G25编制主程序的

都关于对称轴对称。那么可以考虑将凸台单元编成子程序,然后用镜像功能指令调用4次子程序,即可完成4个凸台的加工。为了叙述方便,分别为4个凸台编号,将第一象限的凸台定为(1)号,依次类推(如图3所示)。可以将凸台(1)的加工程序作为子程序,主程序则使用镜像功能指令来编写,通过主程序对子程序的4次调用完成4个凸台的加工。使用镜像功能指令G24/G25编制主程序的具体流程为:先调用一遍子程序O1000加工出凸台(1);开启Y轴镜像(即关于X=0镜像),调用子程序O1000加工出凸台(2);紧接着再开启X轴镜像,那么就关于原点镜像了,调用子程序O1000加工出凸台(3);然后取消Y轴镜像只对图形(1)进行X轴镜像,调用子程序O1000就可以加工出凸台(4)了。

将凸台(1)的加工程序编写为子程序,为了避免主程序调用时数据发生错误可以采用相对坐标编程。同时为了保证轮廓尺寸的精确可以引入刀具半径补偿,由图4可以看出,若按照A-B-C-D-E-F的刀具轨迹进行加工,那么需要引入刀具半径左补偿G41,且寄存器D01=5mm。子程序的编写流程为:首先在OA段直线插补时引入刀具半径左补偿G41,然后按照A-B-C-D-E-F的刀具轨迹进行直线插补加工,最后在FO段直线插补时取消刀补。

工件的参考加工程序如下:

2 旋转功能指令的应用

旋转功能指令可以将工件旋转某一指定的角度。另外,如果工件的形状由许多相同的图形组成,则可以将图形单元编成子程序,然后用主程序的旋转指令调用,同样可以简化编程。

旋转功能指令的编程格式为:

其中,G68为建立旋转;G69为取消旋转;X、Y、Z为旋转中心的坐标值(可以是X、Y、Z中的任意2个,由G17、G18、G19指令确定);R为旋转角度,范围是0°~360°。

对于上面的例子,由工件图明显看出,凸台(1)旋转90°可以得到凸台(2),旋转180°可以得到凸台(3),旋转270°可以得到凸台(4)。这样,选用旋转功能指令编写主程序也可以。子程序同镜像指令中的O1000,使用旋转指令G68/G69的主程序如下:

3 结语

本文通过一个实例介绍了将几何变换指令和子程序的联合起来使用,只对工件的一部分进行编程就可以加工出工件的其它对称部分,但这些几何变换功能并不是数控系统的标准功能。不同的系统采用的指令代码及格式均不相同,本文中讲述的指令代码主要应用于FANUC数控系统和华中世纪星数控系统。

参考文献

[1]张君.数控机床编程与操作[M].北京:北京理工大学出版社,2007.

变换视角研究一类几何证明题 篇8

常州市中考试题中有这样一题:

【例】 (本小题满分7分) 已知:如图1, △ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠DCE=90°, D为AB边上一点.

求证: (1) △ACE≌△BCD;

(2) AD2+AE2=DE2.

无独有偶, 徐州市中考也出现这样一题:

【例】 如图2, 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起, OA=3, OC=1, 分别连结AC、BD, 则图中阴影部分的面积为 ( ) .

A.π B.π

C.2π D.4π

这两题形式不同, 但实质相同, 它们都脱胎于《数学》 (苏科版) 八年级 (上) 习题1.5第12题:

如图3, △ABC和△CDE都是等边三角形, 且点A、C、E在一条直线上.度量并比较AD与BE的大小, 你能对所得的结论说明理由吗?

容易证明, △ACD与△BCE全等, 所以AD=BE.

我们可以将△DCE看成是由△ACB绕C点旋转120度并进行等比例放缩得到, 其中点A与点D、点B与点E分别是对应点.可以看到, 对应点连线长度相等.那么是否一定要旋转120度呢?我们将条件弱化后再进行分析.

[变题1]将等边△ACB绕C点旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明:AD=BE.

当然两个三角形还可能部分重合, 如图5:

因为EC=DC, AC=BC,

易证∠ACD=∠BCE, 所以△ACD≌△BCE,

所以AD=BE.

是否一定要是等边三角形呢?我们再将条件进一步弱化.可以看到△ACD与△BCE全等的关键在于两边对应相等, 夹角相等, 而与△ABC和△DCE是否是等边三角形无关.

[变题2]将等腰△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明:AD=BE.

当然两个等腰三角形还可能部分重合, 如图7:

在这里要注意, 等腰三角形一定要绕其两腰交点旋转并等比例放缩.

如果将等腰三角形特殊化为等腰直角三角形, 又会出现什么情形呢?

[变题3]将等腰直角△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明: (1) AD=BE; (2) AD⊥BE.

证明: (1) ∵AC=BC, CD=CE

又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+∠BCD,

∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE.

∴△ACD≌△BCE,

所以AD=BE.

(2) ∵△ACD≌△BCE,

∴∠1=∠2.

∴∠CAB+∠CBA=∠PAB+∠1+∠CBA=∠PAB+∠2+∠CBA=∠PAB+∠PBA=90°.

∴∠APB=180°- (∠PAB+∠PBA) =90°.

∴AD⊥BE.

当然两个等腰直角三角形还可能部分重合, 如9图:

此时AD与BE仍是相等且垂直的.

推而广之, 等腰△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 则有∠APB=∠ACB=∠DCE, 如图10:

同理, 当等边△ACB绕其顶点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 则线段AD、BE的交角即为60度. (证明略)

现在, 再回过头来看常州与徐州市中考题, 便能发现它们的本质是相同.如果再做些变换, 此题就变成了一道竞赛题.

[变题4]以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC, M是BC的中点, 求证MP=MQ, MP⊥MQ. (新课标数学竞赛通用教材)

思考:在这一题中, 三角形ABC是假的, 中点M也是假的, 我们考虑到等腰三角形一定要绕其两腰交点旋转并等比例放缩, 所以我们可以将三角形ABP、ACQ补形为以A为顶点的等腰直角三角形.

证明:延长CQ到F, 使QF=CQ, 延长BP到E, 使PE=BP, 则△BAE、△CAF都是等腰直角三角形.

显然, △ABF≌△AEC,

∴EC=BF, EC⊥BF,

而PM∥EC, PM=EC, MQ∥BF, MQ=BF,

∴MP=MQ, MP⊥MQ.

可以看到, 一道复杂的竞赛题可归结为一个最简单的模型:将等腰三角形绕其两腰交点旋转任意角度并进行放缩, 变换前后对应点连线相等且其交角等于等腰三角形的顶角.

几何变换的价值 篇9

函数图象的轴对称变换是函数图象变换中常见的一种变换,比如作某函数关于x轴、y轴、某直线对称函数的图象是我们常见的教学内容. 我们怎样能直观形象地向学生展示变换过程, 使学生加深对相关知识的理解是教师应思考的问题.笔者认为“几何画板”是一个较好的展示平台.下面就从指数函数图象与对数函数图象的关系入手来说明这一变换的实施过程,希望能达到抛砖引玉的效果.

一、画出指数函数(以 y=2x 为例)的图象

1.启 动 “几何画板 ”程序 (以 4.06 版 为例 ),新建一个名为“图象变换.gsp”文件.

2.点击 【图表 】菜单 ,选择 【定义坐标系 】选项卡 ,并拖动坐标原点将坐标系向左移一点.

3.点击【图表】菜单 ,选择【绘制新函数】选项卡 ,在弹出的对话框中输入“2x”, 单击“确定” 按钮就可以画出函数y=2x的图象.

二、用对称方法画出对数函数(以 y=log2x 为 例 )的图象

由于指数函数y=ax(a>0且a≠1) 与对数函数y=logax(a>0且a≠1) 互为反函数 , 根据互为反函数两个函数的图象关于直线y=x对称这一性质, 只要画出函数y=2x的图象关于直线y=x对称的图象就可以得到函数y=log2x的图象.具体画法如下 :

1.画 直线 y=x.这 里用过两点作直线的方法来作图. 可点击 【图表】菜单,选择【绘制点】选项卡,由于对话框中默认横、纵坐标都为1,所以单击【绘制】按钮,就可以绘出 点A(1,1),单击【完成】按钮退出对话框,同时选择点A与坐标原点O,点击【作图】菜单,选择【直线】选项卡,就画出了直线y=x.

2.标记“镜面 ” ( 也就是对称轴 ). 选择直线y=x,点击【变换】菜单,选择【标记镜面】选项卡(或直接双击直线y=x),这样就可以将直线y=x定义为当前的对称轴.

3.作出函数y=2x 的图象关于直线y=x的对称图象,即就是函数y=log2x的图象 .选择函数y=2x 的图象,点击【作图】菜单,选择【对象上的点】选项卡,这样就在y=2x的图象上任取了一点B,选择点B,点击【变换】菜单 ,选择【反射】 选项卡 , 就可作出点B关于直线y=x对称的点B′,同时选定点B及B′,点击【作图】菜单 ,选择【轨迹】选项卡 ,这样就作出了函数y=log2x的图象.

三、 实现从函数 y=2x 的图象变换出函数 y=log2的图象的动态过程

关于动态过程的实现,主要用到“几何画板”的“轨迹”与“移动”功能 ,具体制作过程如下 :

1. 同 时选定点 B 及 B′ , 点 击 【 作图 】 菜单 , 选择【 线段 】 选项卡 , 作 出线段BB′, 选择线段BB′ , 点击【作 图】菜单, 选择【线段上的点】选项卡,这就在线段BB′上任取了一点C, 同时选定B及C,点击【作图】菜单 ,选择【轨迹】选项卡 ,就可以作出从函数y=2x的图象变换出函数y=log2x的图象的过程图形, 在线段BB′上来回拖动C点就可观察到从函数y=2x的图象变换出函数y=log2x的图象的动态过程.