解不等式

解不等式（精选12篇）

解不等式 篇1

求一元一次不等式 (组) 的整数解, 是不等关系中一个基本的、重要的知识点, 也是近年各地中考的命题热点, 希望引起同学们的注意。求一元一次不等式 (组) 的整数解的一般步骤是:首先求出一元一次不等式 (组) 的解集, 然后找出适合解集范围的整数解。请看以下实例:

例1 不等式2 (x-2) ≤x-2的非负整数解的个数为 ( ) 。

A.1; B.2; C.3; D.4.

解:解不等式可得 x≤2.

因为 x≤2的非负整数解有0, 1, 2三个, 所以选C.

例2 (2004, 上海中考题) 不等式组

undefined

的整数解是______。

解:∵不等式组的解集为undefinedxundefined

∴它的整数解是0, 1.

注意:求整数解时别忘掉0.

例3 不等式 2x-1<3的正整数解是______。

解:解不等式可得 x<2, 适合解集的正整数是1.

例4 满足不等式undefinedxundefined的最大整数是______。

解:undefined

∴原不等式的解为 xundefined, 化简得 xundefined。

故满足原不等式的最大整数为-4.

注意:解此题应注意以下两点: (1) 首先要判断x的系数undefined是个负数, 应用不等式性质时不等号要反向; (2) 正确求出解集之后, 由xundefined确定最大整数时, 要细心。

例5 某工人计划在15天里加工408个零件, 最初三天中每天加工24个, 问以后每天至少要加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务?

解:设三天后每天加工零件 x个, 根据题意, 可得

24×3+12x>408, 解得 x>28.

根据要求, 再求 x>28的最大整数, 即 x=29.

答:以后每天至少加工29个零件才能在规定时间内超额完成任务。

注意:本题很可能错在最后一步“至少加工28个零件……”。因此审题时要注意:“至少”, “超额完成”等词, 才会得出“求 x>28的最小整数”的这一步。

例6 某校组织师生春游, 若单独租用45座客车若干辆, 则刚好坐满;若单独租用60座客车, 则可以少租1辆, 且余30个空座位。 (1) 求该校参加春游的人数; (2) 该校决定这次春游同时租用这两种车, 其中60座客车比45座客车多租1辆, 这样要比单独租用一种车辆节省租金。已知45座客车的租金为每辆250元, 60座客车的租金为每辆300元, 请你帮助计算本次春游所需车辆的租金。

解:设该校参加春游有 x人, 根据题意得

undefined解得 x=270.

(2) 设租用45座客车y辆, 则租用60座客车为 (y+1) 辆, 由于单独租用45座客车时, 需要6辆, 需要租金1500元, 而单独租用60座客车时, 需要5辆, 也需租金1500元, 根据题意, 得

undefined

解得2≤yundefined满足条件的整数是 y=2, 此时需要租金250×2+300×3=1400 (元) 。

答:参加春游270人, 需要客车租金1400元。

注意:这又是一道好题, 用心体会题目所规定的实际要求, 从中找出等量关系列出方程, 找出不等关系列出不等式, 是本题的关键。

例7 光明中学9年级甲班乙班在为“希望工程”捐款活动中, 两班捐款的总数相同, 均多于300元且少于400元。已知甲班有一人捐6元, 其余每人都捐9元;乙班有一人捐13元, 其余每人都捐8元。求甲、乙两班学生总人数是多少?

解:设甲班人数为 x人, 乙班人数为 y人, 由题意, 可得,

undefined

因此 x为整数, 所以x=34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.又因为 y 也是整数, 所以 x是8的倍数, x=40.则 y=44.所以总人数是84.

答:甲、乙两班学生总人数是84人。

注意:此题中取整数是难点和关键, 应根据实际人数都为整数来确定甲、乙两班的人数。

以上说明, 不等式 (组) 的整数解有着广泛的应用, 它可以与许多其他数学知识有机结合, 编拟出丰富多彩的习题和试题;它可以考察同学们的分析推理能力, 知识转化能力, 实际应用能力和逻辑能力。希望同学们能从本文介绍的实例中获得启示。

解不等式 篇2

教学目标

1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生的解题技能．

2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今后进一步学习数学打好基础．

教学重点和难点

解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用． 教学过程

师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？

生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含有绝对值的不等式．

师：好．请先看几道题目．

（教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题）解下列不等式：

3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式

3．解：原不等式

所以原不等式的解集为（1，5）．（待三位学生写完后，教师开始讲评）

师：好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？ 生：都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把根式变成整式，太麻烦．

师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？

生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后也得变成整式，同样麻烦．

师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条件x-1＞0和2x-1＞0呢？在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？

生：是因为x-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围．

师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？

生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式． 师：具体来说这个转化的目标是实现的呢？ 生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．

师：实现这些转化的理论依据是什么？

生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质． 师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？ 生：每一次变换必须是等价变换． 师：为什么要求这样？

生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同． 师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？

生：不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由检验来剔除．

师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式．

师：这道题中的x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，我们要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？

生：无所谓． 师：那就请两位同学来说说这两种做法．（学生口述，教师板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪［2，＋∞）．

所以原不等式的解集为［2，＋∞）． 师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？

变换就缩小了解的范围．故第一种解法是正确的．

师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大于0与它们的积（或商）式大于0是不等价的，这是我们在处理等价变换时应该注意的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂不等式的题型选择离不开不等式的等价性．请再看这道题．

师：这道题看上去和例1很像，如何处理？

生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就和例1差不多了．

师：好，把你的方法写到黑板上．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例1的解法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？

生乙：有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变

师：在例1中这样做不对，这里会对吗？

以保证等价．

师：好，写出你的解法．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？

生：第二种更好算一些． 师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量选择简捷的途径．请再看一道题．

师：这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？ 生：x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转化成分式不等式了．

师：好，说说你的解法．（学生口述，教师板书）

又0＜a＜1，则原不等式

师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较．下面大家自己做几个题目．

（教师板书，学生在笔记本上做题）练习：解下列不等式：

（教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评）

师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？ 生：是．这样不会漏掉解．

师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变换．

师：有的同学对于第2题无从下手．对于题中的字母a我们如何处理呢？ 生：如果像例3那样给定了0＜a＜1，那么不等式就可以转化为

师：那如果a＞1呢？

师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．试着说说刚才提到的两种情况下的解法．

（学生口述，教师板书）

解：1°当a＞1时，2°当0＜a＜1时，师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的大小比较．

师：我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻烦了．

师：那又如何处理呢？

生：观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由这可以想到使用换元法．

师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-3，-2）∪［1，2）．

师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使问题简化． 师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解．

作业：

解下列不等式：

作业答案或提示：

3．｛x|0≤x＜1｝．可用换元法将根式当作一个整体．

课堂教学设计说明

1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚．

2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类表： 的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或一元二次不等式（组）再求解．

怎样正确解不等式（组） 篇3

一、 正确使用相关性质进行变形

1. 正确使用不等式的基本性质. 解一元一次不等式有五个步骤，分别为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1. 其中在“去分母”和“系数化成1”这两个步骤中常会用到不等式基本性质，我们要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，必须改变不等号的方向，也就是要把“≤”号改成“≥”号，或把“≥”号改成“≤”号.

2. 正确使用等式的基本性质. 解一元一次不等式中的“移项”这个环节的依据是等式的基本性质，移项时要注意变号.

二、 正确利用数轴确定不等式组的解集

解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分. 具体操作时，我们可以借助数轴来找出不等式组的解集. 每一个一元一次不等式的解集在数轴上表示都是一条射线，这些射线都通过的部分就是这些不等式的解集的公共部分；如果公共部分不存在，那么不等式组就无解.

利用数轴来表示不等式组的解集更直观，也是数形结合思想的一个典型应用.

【解析】本题选A，考查了如何正确地在数轴上表示不等式（组）的解集，注意空心点与实心点的选择.

（2） 解法步骤相同：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1. 所不同的是在①和⑤两步，如果乘数或除数是负数，要改变不等号的方向.

类比方程解法,巧解不等式 篇4

技巧1:分数系数为1, 乘比除管用

例1解不等式-0.125x≤2.5.

【分析】因为-0.125× (-8) =1, 显然, 两边乘-8要比两边同除以 (-0.125) 简便.

解:两边同乘-8, 得x≥-20.

技巧2:整体处理, 化繁为简

例2解不等式3{2x-1-[3 (2x-1) +3]}<5.

【分析】视2x-1为整体进行合并可使解题简便.

解:原不等式化为

整体合并, 得-6 (2x-1) <14.

解这个不等式, 得x>-2/3.

技巧3:先去括号, 化零为整

例3解不等式

【分析】一般解法是先去分母, 但注意到若先去括号, 两未知项的系数之和为1, 故可先去括号, 得

移项, 合并同类项, 得x>3

技巧4:分数拆分, 化整为零

例4解不等式

【分析】因为左边常数项之和为2/3, 右边的常数项也是2/3, 故将左右两边的分数项拆开, 得

移项, 合并常数项, 得

技巧5:分式性质, 替代等式性质

例5解不等式

【分析】第一项、第二项、第三项的分子分母分别乘5、2、4, 因此, 借助分数的基本性质不仅可以化各小数为整数, 而且可以使各分母均为1, 达到去分母的效果, 故

解之, 得x>-2.

技巧6:巧去括号, 化难为易

例6解不等式

【分析】注意到, 先去中括号可明显地简化解题过程.

解:去括号, 得

构造函数巧解不等式 篇5

湖南 黄爱民

函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。

一、构造函数解不等式

例

1、解不等式 810x35x0 3(x1)x

1分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到8102323x5x , 启示我们构造函数且题中出现()5()3x1x1x1(x1)

f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为(232)5()x35x，令f(x)=x3+5x，则不等式变为x1x1

22f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于x，解x1x1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1x

220 x11x21tan2cos2于是可构造三分析：由xR及的特征联想到万能公式1x21tan2

角函数，令x=tanα(

2

2)求解。

1tan2解：令x=tanα()0，从 222tan1

13而2sin2sin10sin1∴∴tanα＞,∴x＞262

33。3

二、构造函数求解含参不等式问题。

例3已知不等式11112loga(a1)对大于1的一切自然数nn1n22n12

3恒成立，试确定参数a的取值范围。解：设f(n)

∵f(n+1)-f(n)111，n1n22n11110,∴f(n)是关于n 的增函2n12n2n1(2n1)(2n2)

712∴f(n)loga(a1)对大于1的一切自然数n恒12123

7121成立,必须有loga(a1)∴loga(a1)1，而a＞1，∴a-1＜12123a数。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜115∴a的取值范围为（1，）。2

2三、构造函数证明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-

1证：把a看成自变量x，作一次函数f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函数具有严格的单调性。∴f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的图象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,从而：(b+c)a+bc+1>0,即证：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知，求证：x2y2z22xycos2yzcos2zxcos 证明：考虑函数f(x)=x2y2z2(2xycos2yzcos2zxcos)=2

用不等式解物理“最”值问题 篇6

例1 如图所示，某人站在与公路垂直距离为60m的A点处，发现公路上有辆汽车由B点以10m/s的速度沿着公路匀速前进，B点与人相距100m，那么此人至少以多

大的速度奔跑，才能与汽车相遇？

解析 乍一看，有部分学生认为此题比较简单，利用勾股定理知BC=80m，相遇时间t=SBC/V车=60m/10m/s=6s,V人=SAC/t=60m/6s=10m/s，显然，这是错解。

设经过时间t，人在某点D与汽车相遇，汽车行的路程SBD=V车t=10m/s·t，人行的路程SAD=V人·t

∵AD2=AC2+CD2

∴(V人t)2=(60m)2+(80m-10m/s·t)2

化简变形得：

(V2人-100)t2+1600t-10000=0

当Δ≥0时，t有解

即Δ=16002+40000(V2人-100)≥0

解得V人≥6m/s

例2 如图所示，R1=20Ω，R2=25Ω，当开关S1闭合，S2断开时，电压表的示数为2.8V，当开关S1断开，S2闭合时，电压表示数可能的数值是( )

A.4.0V B.3.5V

C.3.3V D.2.5V

解析 ①当S1闭合，S2断开时，R1、R3串联，I=2.8V/20Ω=0.14A,

U=2.8V+0.14A·R3

②当S1断开，S2闭合时，R2、R3串联，

I′=U/(25Ω+R3)

此时电压表示数

解得2.8V

故此题选C。

在解题过程中，若能学会归类、反思，总结解题方法，就一定能触类旁通，得心应手，提高解题速度和准确率。

例解一元二次不等式 篇7

一、解不含参数的一元二次不等式

【例1】解关于x的一元二次不等式-3x2-2x+8≤0。

思路点拨:如果不等式不是标准的一元二次不等式, 那么应先把不等式转化为标准的一元二次不等式, 然后再求解。

解:原不等式可化为3x2+2x-8≥0,

解方程3x2+2x-8=0, 得$x{}_1=-2‚x{}_2=\frac{4}{3}$。

根据函数y=3x2+2x-8的图象, 可得原不等式的解集为$\left\{x|x\le -2\text{或}x\ge \frac{4}{3}\right\}$。

评注:解一元二次不等式的一般步骤:①对不等式变形, 使一端为0且二次项系数大于0, 即ax2+bx+c>0 (a>0) , ax2+bx+c<0 (a>0) ;②计算相应的判别式;③当Δ≥0时, 求出相应的一元二次方程的根;④根据对应的二次函数图象, 写出不等式的解集。

【例2】解关于x的不等式$\frac{2-x}{x}＜0$。

思路点拨:化分式不等式为整式不等式, 变形为标准的一元二次不等式, 然后再求解。

解:原不等式可化为x2-2x>0, 解方程x2-2x=0, 得x1=0, x2=2。根据函数y=x2-2x的图象, 可得原不等式的解集为$\left\{x|x＜0\text{或}x＞2\right\}$。

评注:不等式是分式时, 一般不采用去分母的方法, 若去分母, 必须考虑分母的符号, 往往需要分类讨论。其基本解法是:让不等式一边为0, 另一边通分、化简, 化分式不等式为整式不等式, 要注意变形的等价性。

二、解含参数的一元二次不等式

解含参数的一元二次不等式关于字母参数的取值范围问题, 其主要考查二次不等式的解集与系数的关系以及分类讨论的数学思想。

【例3】解关于x的不等式ax2- (a+1) x+1<0。

思路点拨:首先确定不等式是否为一元二次不等式, 然后根据相应不等式的解法进行求解。

解:当a=0时, 原不等式可变为-x+1<0, 不等式的解集为$\left\{x|x＞1\right\}$;当a≠0时, 原不等式可化为$a(x-\frac{1}{a})(x-1)＜0$。当a<0时, 原不等式等价于$(x-\frac{1}{a})(x-1)＞0$, 不等式的解集为$\left\{x|x＞1\text{或}x＜\frac{1}{a}\right\}$;当0<a<1时, $1＜\frac{1}{a}$, 不等式的解集为$\left\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\right\}$;当a>1时, $1＞\frac{1}{a}$, 不等式的解集为$\left\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\right\}$;当a=1时, 不等式的解集为Ø。

综上所述:当a<0时, 不等式的解集为$\left\{x|x＞1\text{或}x＜\frac{1}{a}\right\}$;当a=0时, 不等式的解集为$\left\{x|x＞1\right\}$;当0<a<1时, 不等式的解集为$\left\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\right\}$;当a=1时, 不等式的解集为Ø;当a>1时, 不等式的解集为$\left\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\right\}$。

评注:解含参数的二次不等式, 一般要对字母参数进行讨论, 讨论的顺序是:①讨论二次项系数是否为0;②当二次项系数不为0时, 讨论判别式是否大于0;③当判别式大于0时, 讨论二次项系数是否大于0;④讨论对应二次方程两根的大小。

【例4】已知不等式x2-2x+a2-1>0对一切实数x恒成立, 求实数a的取值范围。

思路点拨1:不等式x2-2x+a2-1>0对一切实数x恒成立, 即相应的二次函数图象恒在x轴上方。

解:不等式x2-2x+a2-1>0对一切实数x恒成立, 即相应的二次函数y=x2-2x+a2-1图象恒在x轴上方, 也就是图象与x轴没有交点。故Δ= (-2) 2-4 (a2-1) <0, 解得$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$。所以实数a的取值范围为$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$。

思路点拨2:不等式x2-2x+a2-1>0对一切实数x恒成立, 即相应的函数y=x2-2x+a2-1的最小值大于0, 故可配方得y=x2-2x+a2-1= (x-1) 2+a2-2, 则a2-2>0, 所以实数a的取值范围为$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$。

评注:含参数的一元二次不等式的解集为实数集或空集 (即恒成立或无解) 的问题研究常结合相应的二次函数图象, 考虑图象开口方向以及与x轴的交点情况, 利用判别式求解。或通过分离参数, 参数的范围化归为函数的最值问题。a>f (x) 恒成立⇔a>f (x) min, a<f (x) 恒成立⇔a<f (x) min。

【例5】已知一元二次不等式ax2+bx-1>0的解集是$\left\{x|3＜x＜4\right\}$, 求实数a, b的值。

思路点拨:由一元二次不等式的解集为$\left\{x|3＜x＜4\right\}$, 得到相应的二次方程有两个根。

解法一:由一元二次不等式ax2+bx-1>0的解集是$\left\{x|3＜x＜4\right\}$, 可知一元二次方程ax2+bx-1=0的根为x1=3, x2=4, 且a<0。将两根代入方程, 得$a=-\frac{1}{12},b=\frac{7}{12}$。

解法二:由3<x<4, 得 (x-3) (x-4) <0, 即x2-7x+12<0, 不等式两边同除以-12, 可变为$-\frac{1}{12}x{}^2+\frac{7}{12}x-1＞0$。所以$a=-\frac{1}{12},b=\frac{7}{12}$。

评注:含参数的一元二次不等式的解集为具体数集时, 结合不等式与方程的根之间的关系, 转化为方程问题来求解。

举一反三:

1.解不等式2x2+4x+3<0。

2.求不等式$\frac{x-1}{x}\ge 2$的解集。

3.解关于x的不等式:x2- (a+a2) x+a3<0。

4.已知不等式mx2-2x-m+1<0, 若对于所有的实数x不等式恒成立, 求实数m的取值范围。

活用性质巧解多元不等式 篇8

①不等式性质1: 不等式的两边同时加( 或减) 同一个数( 或式子) ,不等号的方向不变;

②不等式性质2: 不等式的两边同时乘( 或除以) 同一个正数,不等号的方向不变;

③不等式性质3: 不等式的两边同时乘( 或除以) 同一个负数,不等号的方向改变.

这是解题的依据,灵活的运用这三条基本性质就可以解决有关不等式的问题了,下面通过灵活运用这三条性质巧妙的解决一类多元不等式问题.

例1 阅读下列材料:

解答“已知x - y = 2,且x > 1,y < 0,试确定x + y的取值范围”有如下解法:

请按照上述方法,完成下列问题:

(1)已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是____.

( 2) 已知y > 1,x < - 1,若x - y = a成立,求x + y的取值范围( 结果用含a的式子表示) .

解析:根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可;第(2)问可以理解解题过程,按照解题思路求解.

温馨提示: 本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是仔细阅读材料,理解解题过程.

例2已知关于x、y的方程组满足且它的解是一对正数

(1)试用m表示方程组的解;

(2)求m的取值范围.

解析: 本题可以根据二元一次方程组的解法,用代入或加减消去x或y,就可以用含m的代数式表示出x和y,然后根据方程组的解是一对正数,得到关于m的不等式组解之即可.

(2)因为方程组的解是一对正数,所以x>0,y>0;即:2+3m>0;1-m>0

解不等式(组)中的常见错误剖析 篇9

一、误用不等式性质

例1 (2013·山东聊城)不等式组的解集在数轴上表示为( ).

【错解】由①得3x>3,解得x>1;由②得 -2x≥-4,解得x≥2. 所以,选B.

【分析】由-2x≥-4,两边同除以-2,不等号应改变方向,得x≤2,所以不等式组的解集为1<x≤2,所以,应选A.

【点评】解答本题时,不等式两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.

二、弄错特殊解

例2 (2013·山东菏泽)解不等式组并指出它的所有的非负整数解.

【错解】由3(x-1)<5x+1,解得x>-2;

由,解得x≤7/3 .

所以原不等式组的解集是-2<x≤7/3 ,

∴原不等式组的非负整数解为1,2.

【分析】错解以为非负整数解即正整数解,遗漏了符合要求的0,正确答案为x=0, 1,2.

【点评】由本题的解答可见,准确理解有关概念是正确解题的前提.

三、忽视实际情况

例3 (2013·浙江台州)某校班级篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得3分,负1场得1分. 如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分,那么这个班至少要胜多少场?

【错解】设这个班至少要胜x场,则负 (28-x)场,由题意得,3x+28-x=43,解得x=7.5.

答:这个班至少要胜7.5场.

【分析】应用题是实际生活的反映,它的答案要符合实际生活情况,要胜7.5场是不符合实际的. 本题若用方程求解,应将问题转化为求满足要求的最小正整数解: 要胜的场数应为大于7.5的最小整数,即至少要胜8场. 当然,本题最好应用不等式来求解:

设这个班至少要胜x场,则负(28-x)场, 由题意得3x+28-x≥43,解得x≥7.5.

∵x取最小的整数,∴x=8.

答:这个班至少要胜8场.

【点评】当同一个问题可以用不同的模型来解决时,选择合理的数学模型是正确解题的关键.

四、考虑不周

例4 (2007·山东潍坊)幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友. 若每人3件,那么还剩余59件;若每人5件,那么最后一个小朋友分到玩具,但不足4件. 这批玩具共有______件.

【错解】设有x个小朋友,这批玩具共有y件,则有:即1≤3x+59-5x≤3,解得28≤x≤29. 又x为整数 ,所以x=28或29,y=143或146. 即这批玩具共有143或146件.

【分析】在第二种分法中,只有(x-1)个小朋友每人分到了5个玩具,还有1人不足4件,由此第二个不等式是错误的,正确的不等式组应该是:即1≤(3x+59)-5 (x-1)≤3, 解得30.5≤x≤31.5. 又x为整数,所以x=31,y=3×31+59=152.

【点评】正确理解“最后一个小朋友分到玩具,但不足4件”是解决本题的关键.

五、忽视隐含条件

例5 (2005·四川成都)如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解,求m的取值范围.

【错解】求得不等式组的解集为x≤-2.解方程得x=-m-2,∴-m-2≤-2,即m≥0.

【分析】当m=0时,x=-2,此时x2-4=0,分式方程无意义,应舍去. 产生错误的原因是忽视了对增根的检验. 正确解法是:求得不等式组的解集为x≤-2. 解方程得:x=-m-2,又∵x≠±2,∴m≠0且m≠-4,所以所以m>0.

构造几何图形巧解不等式问题 篇10

一、构造平面几何图形解决不等式问题

分析：由根式联想勾股定理，构造单位正方形可证。

证明：(如图)单位正方形ABCD中AE=a, AH=b，则为正方形内一点，有三角形性质易知：

，当且仅当O为对角线AC、BD交点时即a=b=时取“=”。

例2：已知, a, b为两相异正数，求证：|f (a) -f (b) |<|a-b|。

证明：(如图)设|OC|=1，|OA|=a，|OB|=b则由三角形两边之差小于第三边，得||AC|-|BC||<|AB|，即f (a)-f (b)<|a-b|。

二、构造立体几何图形解决不等式问题

例3：设x, y, z∈R+，求证：

分析：由根式特征联想余弦定理，构造三棱锥可证。

证明：(如图)三棱锥S-ABC中SA=x, SB=y, SC=z，且三条侧棱SA, SB, SC两两成60°角，由余弦定理易知：在△ABC中有AB+BC>CA即证。

例4：已知α，β，γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，

求证：tanα·tanβ·tanγ≥

分析：由条件关系式构造长方体，设长方体的对角线与同一点的三条棱所成角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1。

证明：(如图)设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则

三、构造解析几何图形解决不等式问题

例5：已知正数a, b满足a+b=1，求证：(a+2) 2+(b+2) 2≥

分析：由条件a+b=1联想直线方程、由欲证式右边联想距离的平方，使问题转化为线段上的动点与定点的距离的最小值问题。

证明：(如图)a+b=1 (a>0, b>0)表示在第一象限内线段AB， (a+2) 2+(b+2) 2表示线段AB上的点N (a, b)到点M(-2，-2)的距离的平方，AB的中点C，由图|MN|2≥|MC|2=, ∴

例6：若关于x, y的方程组的解中，有一组全为负值，求实数m的取值范围。

分析：方程(1)表示以为斜率且过定点A (2，-1)的直线;方程(2)表示以M (2, 0)为圆心、以4为半径的圆，如图，要使方程组的解中有一组全为负值，则两曲线的交点在第三象限，所以实数m满足kAB

构造向量巧解有关不等式问题 篇11

（1）a·b≤a·b；（2）a·b≤a·b；

（3）当a与b同向时，a·b=a·b；当a与b反向时，a·b=

-a·b；

（4）当a与b共线时，a·b=a·b。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式

例1.已知a、b∈R+，a+b=1，求证 + ≤2 .

证明：设m=（1，1），n=（ ， ），则m·n= +

m= ，n= =2，由性质m·n≤m·n，得 + ≤2

例2.已知x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥

证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），

则m·n=x+y+z=1

m= ，n=

由性质m·n2≤m2n2，得x2+y2+z2≥

例3.已知a，b为正数，求证：（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2

证明：设m=（a，b），n=（a2，b2），

则m·n=a3+b3

m= ，n=

由性质m·n2≤m2n2，得（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2

例4.设a，b，c，d∈R，求证：ad+bc≤ ·

证明：设m=（a，b），n=（c，d），则m·n=ad+ac，m= ，n= ，由性质a·b≤a·b，得ad+bc≤ ·

二、比较大小

例5.已知m，n，a，b，c，d∈R+，且p= + ，q= · 那么p、q的大小关系为（ ）

A.p≤q B.p≥q C.p

解：设h=（ ， ），k=（ ， ）

则h·k= +

h= ，k=

由性质h·k≤h·k得 + ≤ · 即p≤q，故选A.

三、求最值

例6.已知m，n，x，y∈R，且m2+n2=a，x2+y2=b，那么mx+ny的最大值为（ ）

A. B. C. D.

解：设p=（m，n），q=（x，y），则由数量积的坐标运算，得p·q=mx+ny

而p= ，q= 从而有mx+ny≤ ·

当p与q同向时，mx+ny取最大值 · = ，故选A.

四、求参数的取值范围

例7.设x，y为正数，不等式 + ≤a 恒成立，求a的取值范围.

解：设m=（ ， ），n=（1，1），则m·n= + ，m= ，n=

由性质m·n≤m·n，得 + ≤ ·

又不等式 + ≤a 恒成立，故有a≥

用不等式巧解物理竞赛题 篇12

有一道全国中学生物理竞赛题是这样的:

在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2和L3, L2与L1相距80m, L3与L1相距120m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s, 显示红色的时间间隔都是40s。L1与L3同时显示绿色, L2则在L1显示红色经历了10s时开始显示绿色。规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s, 问:

(1) 若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿色的时刻, 则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是多少m/s。

(2) 若一辆匀速向前行驶的自行车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻, 则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是多少m/s。

由题意可作出如下示意图:

一、汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率

从L1刚开始显示绿色的时刻计时起, 一方面经过30秒后, L2开始显示绿色, 且持续时间为20秒, 所以L2显示绿色的时间范围是:30≤t1≤50, 设汽车的最大速率为Vm则:

即:, 另一方面从L1经过60秒后, L3开始再次显示绿色, 且持续时间为20秒, 所以L3显示绿色的时间范围是:60≤t2≤80, 所以又有:, 即1.5≤Vm≤2, 综上所述, 汽车最大速率为2m/s。

二、自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率

设汽车的最小速率是V小, 从L1显示绿色经历了10s的时刻开始计时:

L2显绿色的时间范围可以是:80≤T1≤100

L3显绿色的时间范围可以是:110≤T2≤130