不等式与线性规划

不等式与线性规划（精选11篇）

不等式与线性规划 篇1

微专题3　不等式与线性规划

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T13·线性规划求最值

2018·全国卷Ⅱ·T14·线性规划求最值

2018·北京高考·T8·线性规划区域问题

2018·浙江高考·T15·不等式的解法

2017·全国卷Ⅰ·T14·线性规划求最值

1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上。

2.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大。

考向一

不等式的性质与解法

【例1】(1)已知a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()

A．a＋>b＋

B．a＋>b＋

C.>

D.>ab

(2)已知函数f

(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f

(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f

(－2x)<0的解集是()

A.∪

B.C.∪

D.解析(1)因为a>b>0，所以<，根据不等式的性质可得a＋>b＋，故A正确；对于B，取a＝1，b＝，则a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B错误；根据不等式的性质可得<，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误。故选A。

(2)由f

(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f

(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的两根为－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f

(x)＝－x2＋2x＋3，所以f

(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故选A。

答案(1)A(2)A

解不等式的策略

(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集。

(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解。

变|式|训|练

1．(2018·北京高考)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________。(答案不唯一)

解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1。(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)

答案　1，－1(答案不唯一)

2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f

(x)＝当λ＝2时，不等式f

(x)<0的解集是________。若函数f

(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________。

解析　若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1

(x)<0的解集为(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因为函数f

(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4。

答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)

考向二

基本不等式及其应用

【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________。

(2)已知a>b，且ab＝1，则的最小值是______。

解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。

(2)＝＝a－b＋≥2，当且仅当a－b＝时取得等号。

答案(1)(2)2

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立)的条件，否则会出现错误。

变|式|训|练

1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为()

A．4

B．16

C．9

D．3

解析　因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16。故选B。

答案　B

2．已知函数f

(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f

(2a)＋f

(b－1)＝0，则＋的最小值是________。

解析　因为f

(x)＝ln(x＋)，f

(－x)＝ln(－x＋)，所以f

(x)＋f

(－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函数f

(x)＝ln(x＋)为R上的奇函数，又y＝x＋在其定义域上是增函数，故f

(x)＝ln(x＋)在其定义域上是增函数，因为f

(2a)＋f

(b－1)＝0，f

(2a)＝－f

(b－1)，f

(2a)＝f

(1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(当且仅当＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时，等号成立。)

答案　2＋3

考向三

线性规划及其应用

微考向1：求线性目标函数的最值

【例3】(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________。

解析　作可行域，则直线z＝x＋y过点A(5,4)时取最大值9。

答案　9

线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法

(1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)。

(2)根据的几何意义，确定的最值。

(3)得出z的最值。

变|式|训|练

(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()

A．6

B．19

C．21

D．45

解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故选C。

答案　C

微考向2：线性规划中的参数问题

【例4】(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________。

解析　设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2

解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值。

变|式|训|练

已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝()

A．

B．1

C．

D．4

解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝2x－3y的最大值是2，由图象知z＝2x－3y经过平面区域的点A时目标函数取得最大值2。由解得A(4,2)，同时A(4,2)也在直线ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，则a＝。故选A。

答案　A

1．(考向一)(2018·福建联考)已知函数f

(x)＝

若f

(2－x2)>f

(x)，则实数x的取值范围是()

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析　易知f

(x)在R上是增函数，因为f

(2－x2)>f

(x)，所以2－x2>x，解得－2

答案　D

2．(考向一)(2018·南昌联考)若a>1,0

A．loga2

018>logb2

018

B．logba

C．(c－b)ca>(c－b)ba

D．(a－c)ac>(a－c)ab

解析　因为a>1,0

018>0，logb2

018<0，所以loga2

018>logb2

018，所以A正确；因为0>logab>logac，所以<，所以logba(c－b)ba，所以C正确；因为ac0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D错误。故选D。

答案　D

3．(考向二)(2018·河南联考)已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________。

解析　圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)。由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b＝时，取等号，故＋的最小值为。

答案

4．(考向三)(2018·南昌联考)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为()

A.B.C.D.解析　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为。故选C。

答案　C

5．(考向三)(2018·广州测试)若x，y满足约束条件

则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()

A．

B．

C．－

D．－

解析　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－。故选D。

答案　D

不等式与线性规划 篇2

分析这个看似简单的问题采用常规的方法来解并不顺利, 如果分别用x, y来替换不等式中的分母b - 1、a - 1, 则不等式的结构就会发生明显的变化.

证明令x = b - 1, y = a - 1, 则x > 0, y > 0, 则

说明这里的代换x = b - 1, y = a - 1 叫做线性代换. 某些分式不等式, 如果分母是变元的线性多项式则可以考虑采用线性代换.

例2 设x1, x2, x3是正数, 求证: x1x2x3≥ ( x2+ x3- x1) (x1+x3-x2) (x1+x2-x3) .

a, b, c中至多有一个不大于0, 不妨设a ≤0, b ≤0, 则x3≤0 这与x3> 0 矛盾.

当a, b, c中恰有一个不大于0 时, 不等式显然成立.

当a, b, c均为正数时, 原不等式化为 ( b + c) ( c + a) ( a + b) ≥8abc.

不等式与线性规划 篇3

一、 二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】 若S为不等式组x≤0,

y≥0,

y-x≤2.表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过S中的那部分区域的面积为  ．

分析 先在直角坐标系内作出二元一次不等式组表示的平面区域,然后由-2≤x+y≤1得到要求的平面区域,最后求出面积．

解 如图所示,直线x+y=a扫过S中的区域为四边形AOBC．

∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD

=12×2×2-12×1×12

=74．

点评 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．

二、 简单的线性规划问题

【例2】 如果实数x,y满足x-4y+3≤0,

3x+5y-25≤0,

x≥1.

目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为？

解 可行域为图中阴影部分,A(1,1),C1,225,B(5,2)．

z=kx+y的最小值为3,最大值为12,则k＞0．

故当最优解为(1,1)时,zmin=k+1=3,

∴k=2.故k的值为2．

点评 (1) 利用线性规划求目标函数的最值问题,一般用图解法求解,其步骤是：第一步,画出约束条件对应的可行域；第二步,将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；第三步,将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．

(2) 线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得．

(3) 目标函数通常具有相应的几何意义,如纵截距、斜率、距离等．

三、 线性规划的实际应用

【例3】 某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为03万元和02万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？

分析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识方法求解．

解 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分．

人死了，但事业永存。—柯西

到底是大师的著作，不同凡响！—伽罗瓦

作直线l:3 000x+2 000y=0,

即3x+2y=0,

平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值．

联立x+y=300,

5x+2y=900.解得x=100,

y=200.

∴点M的坐标为(100,200),

∴zmax=3 000x+2 000y=700 000．

即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元．

点评 (1) 解决线性规划应用问题的一般步骤是：

①认真审题分析,设出有关未知数,写出线性约束条件和目标函数；

②根据线性规划问题的求解方法求出最优解；

③检验回答所求．

(2) 能建立线性规划模型的实际问题有：

①给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大；

②给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．

(3) 解题时要尽量混淆“线性规划”与“一般规划”．

牛刀小试

1. 设变量x,y满足x+y≤1,

x-y≤1,

x≥0.则x+2y的最大值和最小值分别为．

2. 已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为．

3. 若变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,

6≤x-y≤9.则z=x+2y的最小值为．

4. 如图所示,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为  ．

【参考答案】

1. 画出可行域(如图所示阴影部分).可知当直线

u=x+2y

经过A(0,1),C(0,-1)时分别对应u的最大值和最小值．

故umax=2,umin=-2．

2. 因为a=x+z,3,b=(2,y-z),且a⊥b,

所以a•b=2（x+z）+3（y-z）=0,

即2x+3y-z=0．

又x+y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．

所以当2x+3y-z=0过点B(0,-1)时,zmin=-3；

当2x+3y-z=0过点A(0,1)时,zmax=3.所以z∈-3,3．

3. 作出可行域如图阴影部分所示,

由y=-2x+3,

y=x-9. 解得A(4,-5)．

当直线z=x+2y过A点时z取最小值,

将A(4,-5)代入,得z=4+2×(-5)=-6．

4. 由图象知

函数在点A(1,1)时,2x-y=1；在点B(3,2)时,2x-y=23-2>1；在点C(5,1)时,2x-y=25-1＞1；在点D(1,0)时,

不等式与线性规划 篇4

本文针对非线性不等式约束优化问题,提出了-个可行内点型算法.在每次迭代中,基于积极约束集策略,该算法只需求解三个线性方程组,因而其计算工作量较小.在-般的.条件下,证明了算法具有全局收敛及超线性收敛性.

作 者：朱志斌 简金宝 ZHU ZHIBIN JIAN JINBAO 作者单位：朱志斌,ZHU ZHIBIN(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,桂林,541004)

简金宝,JIAN JINBAO(广西大学数学与信息科学学院,南宁,530004)

不等关系与不等式教案 篇5

高中数学教学能手评选教案

不 等 关

教学目标：

1、知识与技能目标：

与

不 等式

系

(1)、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。

（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。

2、过程与方法目标：

（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。

3、态度情感与价值观目标：

（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。

（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。教学难点：判断差的符号

难点突破方法：

1、结合实例强化

2、小组合作探究

教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法 学法：尝试、探究、讨论、总结、运用

教 具 ：多媒体、实物投影仪

板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。教学过程：

一、课前预习：（预习课本P38---P41页，约20分钟，思考以下问题）

1、如何表示不等关系？

2、如何用数轴表示两个数的大小？

3、怎样比较两个代数式的大小？

4、比较x2+2x与-x-3的大小

二、课内探究：

1、新课引入：

现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？

如：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃，7℃≤t≤13℃

三角形ABC的两边之和大于第三边，AB+AC>BC a是一个非负实数，a≥0

又如：P61 速度与话费问题。这些问题的表示即是我们今天要研究的问题（板书课题）

2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）

问题一：不等式的定义

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．

问题二：2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？ 这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b，同样a≤b即为a＜b或a=b。

练习：P63 2 问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？

A B a b 与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大

问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？ 点的关系： 点A在点B右侧

点A在点B左侧

点A和点B重合

数的关系：a＞b、a=b、a＜b 问题五：如何比较两数大小？（小组讨论）

强调：“如果P，则q”为正确命题，记作同时qpq，如果pq，p，则记为pq。

3、典例剖析： 例1． 比较x2-x和 x-2的大小 解：（x2-x）-（x-2）

= x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。

变式训练：

比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。（答案：＜）

解：

∴

例2．当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小

222解：（px+qy）-（px+qy）

=p(p-1)x+q(q-1)y+2pqxy 又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p 222（px+qy）-（px+qy）

2=-pq(x-y)

因为p,q为正数，所以

2-pq(x-y)≤0

222pxqy(pxqy)≤所以当且仅当x=y时，等号成立

22训练： P63 3（答案 ＞）

做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1）作差；

（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；

（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4）得出结论。

4、随堂测试(1)下列命题正确的是

A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5 C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣(2)设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、与x、y取值有关(3)下列不等式中，恒成立的是 A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C.（4）设a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2试比较x,y的大小

aa

0 D.2>0 |a|

5、小结：(1)不等式的定义

(2)不等关系在数轴上的几何表示(3)做差法确定两数或代数式的大小

三、课后练习

分层作业

1、必做：（1）书面作业：课本P63习题B 1、2、4（2）预习作业：预习课本P64-P65，搞清以下问题：

a.不等式有哪些性质？ b.如何证明？

2、选做：（1）、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小

（2）设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3

课后反思：

数列不等式推理与证明 篇6

理与证明

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等比数列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a的值为()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比数列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在数列{aa－n}中，a1＝1，当n≥2时，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比数列

C．各项倒数成等差数列

D．各项倒数成等比数列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()

n-

1A．an＝2n－1B．an1

nn

C．an＝n2D．an＝n)

n2-6n

6．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn＝的前n项和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

51

4

(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是()

11

A．a>bB.<

22

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是()11

A．(a＋b)ab≥

4B．a3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

9．当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

lg|x|(x<0)10．设函数f(x)＝x，若f(x0)>0，则x0的取值范围是()

2－1(x≥0)

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，则的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四个结论中，正确的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)当n＝1时，恒为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)当n＝1时，恒为1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)当n＝1时，恒为

1231232n＋1

111111

D．设f(n)＝n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是________．

14．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有数列，k称为公差比．现给出下列命题：

(1)等差比数列的公差比一定不为0；(2)等差数列一定是等差比数列；

(3)若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为________． ＝q，(4)正确． 15．不等式

ax的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________． x－

1an＋2－an＋1

k(k为常数)，则称{an}为等差比

an＋1－an

x≥0

16．已知点P(x，y)满足条件y≤x

2x＋y＋k≤0k＝________.(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2011·天津市质检)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)设bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实

ax－1数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

21(2)若数列{an}满足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，3an

并求出{bn}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x

20．(12分)已知集合A＝xx－21，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}







(1)求集合A，B；

(2)若B⊆A，求m的取值范围．

2a2

21．(12分)解关于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如表所示：

不等式与不等式组”导学 篇7

一、不苍式是表示不等关系的数学模型

设a、b是任意两个实数，则它们的大小关系有三种可能：（1）a大于b，记作a>b；（2）a等于b，记作a=b；（3）a小于b，记作a”和“<”分别表示大于和小于的关系，它们连同“≠”（仅表示不相等，未指明谁大谁小），都属于不等号.

有些问题中，数量之间存在相等关系.等式是表达相等关系的式子，方程是含有未知数的等式.利用等式（包括方程）可以解决相等关系问题.

有些问题中，数量之间存在不等关系.不等式是用不等号连接两个数量的式子，它是表示不等关系的数学模型，是解决不等关系问题的重要T_具，例如，有两根长度分别为2 cm和3cm的木条，再找一根多长的木条就能摆成一个三角形？设第i根木条长xcm，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以列出2+3>x和3-2

能使方程中的相等关系成立的未知数的值叫作方程的解，类似地，能使不等式中的不等关系成立的未知数的值叫作不等式的解.方程的解通常是一个或几个确定的值，如方程x+1=2的解是x=1，方程X2=1的解是x=±1；而不等式的解通常是一个或几个范围内的任意数.例如，任一个比1大的数都是不等式x+1>2的解，任一个比1小的数都是不等式x+1<2的解.一个不等式的全部解所组成的集合，叫作这个不等式的解集.例如，不等式x+1>2的解集为x>1，不等式x+1<2的解集为x<1.解方程是求方程的解，而解不等式是求不等式的解集.含有一个未知数的不等式的解集，可以用数轴来直观地表示.例如，图1和图2分别表示不等式x+1>2和x+1<2的解集.

二、对比等式的性质认识不等工的性质

我们先回顾等式的性质：（1）等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；（2）等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍成立，这两条性质可以用式子表示为：（1）若a=b，则a+c=b±c；（2）若a=b，则ac=bc.a/b=b/d.等式的性质是等式变形（包括解方程）的依据.

不等式与等式在性质上既有相似之处，又有不同之处.不等式的基本性质可归纳为以下三条：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，这三条性质可以用式子表示为：（1）若a>b，则。±c>6±c；（2）若a>b，c>0，则ac>bc，a/b>b/c；（3）若a>b，c<0，则ac<

三、联系一元一次方程认识一元一次不等式

一元一次不等式及其解法与一元一次方程及其解法有许多相似之处.一元一次不等式中出现的都是整式，其中只含一个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.把一元一次方程中的等号换成不等号，得到的就是一元一次不等式，这就是说，两者的差别仅是一个含有等号，另一个含有不等号.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤大体一样，但有两点需要注意：（1）不等式两边乘（或除以）同一个不为O的数时，要根据这个数的正负考虑不等号的方向；（2）解不等式的结果是得到未知数的取值范围，而不是一个确定的值.

利用一元一次不等式解决实际问题与利用一元一次方程解决实际问题也十分相似，不同之处在于列方程要依据相等关系，而列不等式要依据不等关系，因此一定要分析出相关的两个数量谁大谁小，并正确地用不等号把表示这两个数量的式子连接起来.

数列与不等式的交汇应用 篇8

数列与不等式的交汇问题，既有函数的思想方法，也有数列特定的思想方法，更有不等式求解、证明的方法和技巧，由于知识覆盖面广、综合性强而成为高考命题的热点之一，解答起来有一定的难度，一、函数性质

例1 设等差数列{an}的公差为d，若数列{ea1an}（e为自然对数的底数）为递增数列，则

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析 结合递增数列的性质建立不等式，通过求解指数不等式，结合等差数列的通项加以转化，即可判断相应的不等关系式.解 由数列{ea1an}是递增数列，可得ea1an

例2 若数列{an}满足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），则数列{an}的前n项和取得最大值时，n的值为

A.672

B.673

C.674

D.675

分析 根据题目条件，结合等差?盗械亩ㄒ迩笃渫ㄏ罟?式，由数列{an}的前n项和取得最大值，得到对应的不等式组，通过不等式组的求解，并结合项数的取值限制加以确定.解 由a1=2018，an+1-an=-3，可知数列{an}是以2018为首项、-3为公差的等差数列，所以an=2018+（-3）（n-1）=2021-3n.设数列{an}的前k（k∈N*）项和取得最大值，则

即，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，则满足条件的n的值为673.选B.小结 数列与不等式交汇中的项数问题，往往通过数列的定义、通项公式、相应性质以及数列求和的应用，结合不等式（组）的分析与求解来解决，注意不等式（组）的求解结果与数列对参数的限制条件之间的关系与应用.三、创新问题

例3 若数列{an}满足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列.已知正项数列{1/bn}为调和数列，且bl+b2+…+b2017=20170，则b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析 根据创新定义的转化得到{bn}为等差数列，结合等差数列的性质以及基本不等式来解决相应的最值问题.解 由调和数列的定义可知bn+1-bn=d，所以{bn}为等差数列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，则b1?b2017≤（b1+b2017/2）2=100，当且仅当bl=b2017时取等号.选A.小结 涉及最值等相关知识的数列创新问题，经常结合新定义，将新定义的数列转化为等差数列或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质等，并结合不等式的相关知识进行解答.四、参数问题

例4 已知等比数列{an}满足an+1+an=3?2n-l，n∈N*.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan+1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.分析（I）利用等比数列所满足的关系式，通过特殊值法确定相关的关系式，结合整体思维求得公比，进而得到首项和对应的通项公式.（Ⅱ）结合（I）中的结论求前n项和，利用不等式Sn>kan+1分离参数，设出对应的函数并求得最值，进而求得参数的取值范围，解（I）设等比数列{an}的公比为q.由于an+1+an=3?2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，则q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，则a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由题设有2n-1>k?2n-1+l，即k<2-1/2n-2对一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）随n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，则k<0，所以实数k的取值范围是（-∞，0）.小结 数列与不等式交汇中的参数问题，常将相应的不等式与数列中的相关公式加以综合，进行参数分离，利用相关函数的最值的求解，进行等价转化，达到解决问题的目的，五、应用问题

例5 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和？昆合动力型车，今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆.（I）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）.（Ⅱ）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值，分析（I）设an，bn。分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，分别确定数列的类型，根据数列的前n项和公式求解即可.（Ⅱ）根据题目条件转化为不等式关系S（5）≥10000，利用不等式的求解来确定参数a的最小值.解（I）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量.依题意得{an}是以128为首项、3/2为公比的等比数列，{bn}是以400为首项、a为公差的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，数列{bn}的前n项和Tn=400n+n（n-1）/2 a，则经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.（Ⅱ）若计划5年内完成全部更换，则S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值为632.小结 数列与不等式交汇中的实际应用问题，往往通过相应数列的通项、求和公式确定相应的关系式，利用实际问题建立对应的不等关系进行求解.对求参数问题，一定要结合实际应用问题，确保参数在实际中有意义，六、证明问题

例6 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a3，a4，a7成等比数列.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=an/2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.分析（I）通过待定系数法，根据题目条件建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式.（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn，再确定其单调性，即可证明对应的数列不等式成立.（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答过程省略）

（Ⅱ）（证明过程省略）

不等式证明与最值问题 篇9

（一）均值不等式的运用(1)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳： x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因为(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3 解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc

因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。故：2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=

1故：a²+b²+c²＞1/

3练习：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x²+y²/3=8，求x√(6+2y²)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y²)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求证：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 证明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因为x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此时a=2,b=

12、若0＜x＜1,求证：a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)²

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)]

=a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b)²

当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时，取等号。

练习：当a＞1时，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的运用(2)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

(8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c，且f(x)=0的两根为x1，x2都在(0,1)内，求证：f(0)·f(1)≤a²/16

证明：因为f(x)=0的两根为x1，x2，故：可设f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因为0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ² ·[(x2+1-x2)] ²= a²/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求证：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2证明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小

解： a²+b²≥2ab

故：a²-ab+b²≥ab

不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。

可得:a³+b³≥a²b+b²a(1)

同理可得:b³+c³≥b²c+c²b(2)

c³+a³≥c²a+a²c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a)

a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a

（11）设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）证明：因为(a-b)²≥0

故：a²-2ab+b²≥0

故：a²+2ab+b²≥4ab

故：(a+b)²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代换：已知a+b=1,a,b∈R,求证：(a+2)²+(b+2)²≥25/2 解；∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)²+(b+2)²=2t²+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2

证明：设2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判别式“△=b²-4ac”及一元二次方程

1、若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？

解：令t=x²+y²＞0

故： y²=t-x²

故：y=±√(t-x²)

故：t±x√(t-x²)=

1故：x²(t-x²)=(1-t)²

故：x^4-tx²+(1-t)²=0

故：△=t²-4(1-t)²≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x²+y²≤22、设a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] ²，故：[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此时a=b=√2+

1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a＞b＞c,求证：-1/3＜c＜0

证明：因为a+b+c=1，故：(a+b+c)²=1，即：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 因为a²+b²+c²=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一个负数

因为a＞b＞c，故：c＜0

因为a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根

故：△=(c-1)²-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：设X+Y=t，因为X>0,Y>0

故：t>0

因为XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)＝0的两个实数根

故：△=t²-4(1+t)≥0

故：t²-4t-4≥0

(t-2)²≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因为t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此时X＝Y＝√2＋

15、.已知正数ab满足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正数ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t²-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根

故：△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0

故：±√(t²-4)≥t-1/

2因为t-1/2＞0

故：√(t²-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此时a=b=1/2

（三）利用几何意义求极值

1、求下面函数的极小值：y=√(x²+4)+√[(12-x)²+9]

解：√(x²+4)+√[(12-x)²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和 而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离，即：132、a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边，若（m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m²+n²的最小值

解：因为a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边

故：a²+b²=c²

因为√(m²+n²)=√[(m-0)²+(n-0)²]，即：√(m²+n²)表示点（m,n)到原点距离，因为（m,n)在直线ax+by+2c=0上

而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2

不等式·概念与性质 篇10

1. 若[a，b]为实数，则“[01a]的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. [x2-x-6x-1>0]的解集为（ ）

A. [{x|x<-2或x>3}]

B. [{x|x<-2或1

C. [{x|-23}]

D. [{x|-2

3. 不等式[|x-2x|>x-2x]的解集是（ ）

A. [（0，2）] B. [（-∞，0）]

C. [（2，+∞）] D. [（-∞，0）?（0，+∞）]

4. 不等式[x-12x+1≤0]的解集为（ ）

A. [（-12，1]]

B. [[-12，1]]

C. [（-∞，-12）?[1，+∞）]

D. [（-∞，-12]?[1，+∞）]

5.已知一元二次不等式[f（x）<0]的解集[{x|x<-1或x>12}]，则[f（10x）>0]的解集为（ ）

A. [{xx<-1或x>-lg2}]

B. [{x-1

C. [{xx>-lg2}]

D. [{xx<-lg2}]

6. 下列选项中，不等式[x<1x

A. [（-∞，-1）] B. [（-1，0）]

C. [（0，1）] D. [（1，+∞）]

7. [设a

A. [1a>1b] B. [1a-b>1a]

C. [a>-b] D. [-a>-b]

8. 命题“[?x∈[1，2]，x2-a≤0]”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A. [a≥4] B. [a≤4]

C. [a≥5] D. [a≤5]

9. 对实数[a]与[b]，定义新运算“[?]”：[a?b=a，a-b≤1，b，a-b>1.] 设函数[f（x）=x2-2?x-x2，x∈R.]若函数[y=f（x）-c]的图象与[x]轴恰有两个公共点，则实数[c]的取值范围是（ ）

A. [-∞，-2?-1，32]

B. [-∞，-2?-1，-34]

C. [-∞，14?14，+∞]

D. [-1，-34?14，+∞]

10. 设函数[f（x）=-2（x>0），x2+bx+c（x≤0），]若[f（4）=][f（0），][f（-2）=0]，则关于[x]的不等式[f（x）≤1]的解集为（ ）

A. [（-∞，-3]?[-1，+∞）] B. [[-3，-1]]

C. [[-3，-1]?（0，+∞）] D. [[-3，+∞）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 不等式[2-xx+4>0]的解集是 .

12. 不等式[2x2+1-x≤1]的解集是 .

13. 已知[f（x）]是定义域为[R]的偶函数，当[x]≥[0]时，[f（x）=x2-4x]，那么，不等式[f（x+2）<5]的解集是 .

14. 设[a∈R]，若[x>0]时均有[（a-1）x-1（x2-][ax-1）≥0]，则[a=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）证明：[a2+b2+c2≥ab+bc+ca.]

16. （10分）已知[t∈R，a>b>1，f（x）=txx-1，]试比较[f（a）与f（b）的大小.]

17. （12分）已知函数[f（x）=ax2-c]，且[-4≤f（1）][≤-1]，[-1≤f（2）≤5]，求[f（3）]的取值范围.

18. （12分）已知关于[x]的不等式[（a2-4）x2+][（a+2）x-1][≥0]的解集是空集，求实数[a]的取值范围.

不等式与一次函数专题练习 篇11

题型一：方程、不等式的直接应用

典型例题：李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售1件奖励a元，营业员月基本工资为b元．（1）求a，b的值；

（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？

配套练习：

1、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小

亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.2、北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利

利润润率100%）成本

题型二：方案设计

典型例题

3、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

典型例题4：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点。从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x吨。

⑴、请填写下表，并求出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

⑵、设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B地到C地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

配套练习： 1．（2009，牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家

电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

2．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．•现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．

（1）设派往A地区y（元），求y

与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。解：（1）派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台，派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台，则：

3.（2009，抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

题型三：不等式与一次函数的实际应用 典型例题5：（南充市2009）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：

方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．

（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；

（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？

典型例题6：(2009，朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加

一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客

车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；

（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？

典型例题7：(2009、唐山)送家电下乡活动开展后，某家电经销商计划购进A、B、C三种家电共70台，每种家电至少要购进8台，且恰好用完资金45000元。设购进A种家电x台，B种家电y台。三种家电的进价和预售价如下表： ⑴、用含x，y的式子表示购进C种家电的台数； ⑵、求出y与x之间的函数关系式；

⑶、假设所购进家电全部售出，综合考虑各种因素，该家电经销商在购销这批家电过程中需另外支出各种费用共1000元。①、求出预估利润P(元)与x(台)的函数关系式；

②、求出预估利润的最大值，并写出此时购进三种家电各多少台。

配套练习：

1、(2009、保定)水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：

设我市到某地的路程为x千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其总费用为y1元，若选

⑴、分别写出1，2与之间的函数关系式；

⑵、请你为水果经销商设计省钱的运输方案，并说明理由。

3、（2009，清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用

AB

y值最小，最小值是多少？

5、（2009，梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．

（1）设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、(2009、河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品

中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示：

⑴、在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相

同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？

⑵、国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在⑴的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

题型四：不等式与一次函数图象性质的应用

典型例题10：（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？

典型例题11：（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A村到县城共用多长时间？

配套练习

1．（2008贵州贵阳)如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：

（1）写出甲的行驶路程s和行驶时间t(t≥0)之间的函数关系式．（3分）

（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．（4分）

（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．（3分）

2、（2009·南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式：y乙＝kx．

（1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

3．（2009年娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：（1）请你求出：