k52006年高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用

k52006年高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用（精选2篇）

k52006年高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用 篇1

知识就是力量

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仅供参考

6.6 不等式的应用

●知识梳理

1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（ab2）≤

2a2b22求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.●点击双基

1.已知函数f（x）=log1（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，则实数a的范围是

2A.（－∞，4］ C.（0，12）

2B.（－4，4］ D.（0，4］

解析：∵f（x）=log1（x－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x2－ax+3a在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.a2，∴2 42a3a0.∴－4＜a≤4.答案：B 2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是

A.32

223 cm

B.4 cm D.23 cm2 C.32 cm2

解析：设两段长分别为x cm，（12－x）cm，则S=34（x3）2+

34（12x3）2=

318（x2－12x+72）=

318［（x－6）2+36］≥23.答案：D 3.（理）如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值 解析：∵logax+logay≥2log∴logaxy≥2.axlogay=2，知识就是力量

∴0＜xy≤a.答案：B（文）已知a＞b＞c＞0，若P=A.P≥Q

1bca2，Q=

acb，则

D.P＜Q

B.P≤Q C.P＞Q

解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P=，Q=1，P＜Q.3答案：D 4.已知实数x、y满足解析：由xyxy=x－y，则x的取值范围是_______.=x－y，得y2－xy+x=0.∵y∈R，∴Δ=x2－4x≥0.∴0≤x≤4.∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.答案：0＜x≤4 2x4x30，5.已知不等式组的解集是不等式2x6x802x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.2x4x30，解析：由2得x6x80，2＜x＜3.则f（2）0f（3）0a≤9.答案：（－∞，9］ ●典例剖析 【例1】 函数y=2axbx2axbx22的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.1剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得

① 1yx2－2ax+y－b=0.对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a）2－4y（y－b）≥0.∴y2－by－a2≤0.又－1≤y≤4，∴y2－by－a2=0的两根为－1和4.14b，a2，a2，∴解得或 2b3b3.14a.评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展

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已知x、y∈R+且2x+

8y=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R，且ax++by=1，x+y的最小值为18.求a、b的值.略解：x+y=（x+y）（2yx8xy2x8y）=10+

2yx+

8xy≥10+

22yx8xy=18.当且仅当时取等号.821，x6，由xy解得

y12.22y4x∴当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.同上题，x+y=（x+y）（ab2ab18，ab10，ax+

by）=a+b+

ayxbxy≥a+b+2ab.由得a2，b8，或a8，b2.【例2】 已知a＞0，求函数y=

x2a1x2的最小值.a解：y=x2a+x12，a1x2当0＜a≤1时，y=x2a+≥2，a当且仅当x=±1a时取等号，ymin=2.当a＞1时，令t=x2a（t≥a）.y=f（t）=t+.t1f（t）=1－1t2＞0.∴f（t）在［a，+∞）上为增函数.∴y≥f（a）=a1a，等号当t=a即x=0时成立，ymin=

a1a.综上，0＜a≤1时，ymin=2；

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a＞1时，ymin=a1a.【例3】 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）.（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；

（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.解：（1）由已知| f（1）|=| f（－1）|，有|a+b+c|=|a－b+c|，（a+b+c）2=（a－b+c）2，可得4b（a+c）=0.∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.又由a＞0有c＜0.∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.∴f（x）=x±x－1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.设方程f（x）=0的两根为x1、x2.∴x1+x2=－ba2=2，x1x2=

ca.ca24x1x2=44则|x1－x2|=（x1x2）.由已知0＜|x1－x2|≤2，∴0≤

ca＜1.又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.●闯关训练

夯实基础

1.已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是 A.［－3，6］

B.［－2，6］

解析：∵a=（sinx－2）2－3，|sinx|≤1，∴－2≤a≤6.答案：B 2.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是 A.a≥2

B.a≥1

C.a≥0

D.a≥－2 解析：当x∈［－1，2］时，x2－2x－1=（x－1）2－2∈［－2，2］.∵a≥x－2x－1恒成立，∴a≥2.答案：A 3.b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：答案：abab

2C.［－3，2］

D.［－2，2］

＜＜ambmambm.4.若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，则a+b的最小值为____________.解析：1+a+b≤ab≤（2

ab2）2，∴（a+b）－4（a+b）－4≥0.知识就是力量

∴a+b≤4422或a+b≥

4422.∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2+22.答案：2+22

5.已知正数x、y满足x+2y=1，求解：∵x、y为正数，且x+2y=1，∴1x1x+

1y的最小值.+2yx1y=（x+2y）（xy1x+

1y）

=3++≥3+22，xy当且仅当1x2yx=，即当x=2－1，y=1－

22时等号成立.∴+1y的最小值为3+22.2x1x26.（2004年春季上海）已知实数p满足不等式有无实根，并给出证明.解：由2x1x2＜0，试判断方程z－2z+5－p=0

22＜0，解得－2＜x＜－1212.∴－2＜p＜－2.22∴方程z－2z+5－p=0的判别式Δ=4（p－4）.∵－2＜p＜－∴Δ＜0.由此得方程z2－2z+5－p2=0无实根.培养能力

7.（2003年全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.∵x+|x－2c|=2x2c2cx2c，x2c，12，14＜p2＜4，∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤如果P不正确，且Q正确，则c≥1.1212..知识就是力量

∴c的取值范围为（0，12］∪［1，+∞）.8.已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立.（1）求b、c之间的关系式；（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）－mx在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.∵g（x）=f（x）－mx=x+（b－m）x+c开口向上，且在［∴m2

2222

m2b2，+∞）上单调递增，b2≤0.∴b≥m2≥0.∵c≥3，∴b=－（c+1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.探究创新 9.有点难度哟！已知a＞b＞0，求a+解：∵b（a－b）≤（∴a2+162

16b（ab）的最小值.2bab2）=

a24，b（ab）≥a2+

64a2≥16.bab，a22，当且仅当2，即时取等号.a8b2深化拓展

a＞b＞0，求b（a－b）·提示：b（a－b）≤答案：4 ●思悟小结

1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；

（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；

（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.a216a2的最大值.4.知识就是力量

5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛

1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题

【例1】（2003年福建质量检测题）已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n＞0；

（2）f（m）＜f（m+n）＜f（n）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log

21n12

2① ②

.由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.由②得m+1=1n1，即（m+1）（n+1）=1.③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.∵0＜m+1＜n+1，∴

（m1）（n1）2＞（m1）（n1）=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.∴f（m2）＜f（m+n）.同理，（m+n）－n=－mn－n=－n（m+n）＜0，∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.∴f（m）＜f（m+n）＜f（n）.【例2】 求证：对任意x、y∈R，都有

772xx12222

≤5－3y+

4912y2，并说明等号何时成立.证明：72x+49≥2·7x·7=2·7x+1，∴772xx1≤4912122.12又∵5－3y+y=（y－3）+

12≥

12，∴

772xx1≤5－3y+

4912y.2当且仅当x=1，y=3时取等号.

k52006年高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用 篇2

自主梳理

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．

自我检测

1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．

4D．8

22xy

2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()

2A．－2B．2C．－4D．4 3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()

2A．y＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|

5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是()

A．锐角B．直角C．钝角D．以上皆有可能

探究点一 抛物线的定义及应用

例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．

解

将x＝3代入抛物线方程 y＝2x，得y＝6.∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：

xd，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，77

当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，2

2此时P点纵坐标为2，代入y＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．

变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()

11，1C．(1,2)1A. B.D．(1，－2)44

探究点二 求抛物线的标准方程 例2(2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

pp0，－，准线方程为y解 方法一 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F22m＝6p，p＝4，∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴ 2－3＋2＝5，解得m＝±26. m＋2

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±

26，准线方程为y＝2.方法二 如图所示，p0，－，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F2

pp

准线l：yMN⊥l，垂足为N.则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，22p

∴35，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±6.变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．

探究点三 抛物线的几何性质

例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．

(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p；

(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．

p

证明(1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．

x－p，y＝kp2x－，由①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝k 22y＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)

当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；

pp

p，p，∴y1y2＝－p2.②当斜率不存在时，得两交点坐标为22

综合两种情况，总有y1y2＝－p.pp

0，设直线AB的方程为x＝ky＋，并设A(x1，方法二 由抛物线方程可得焦点F22px＝ky＋2p

ky＋，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足消去x，可得y2＝2p22y＝2px，2

2整理，得y－2pky－p＝0，∴y1y2＝－p2.ppy－py1y1py1，yC＝－(2)直线AC的方程为y＝x，∴点C坐标为2x12x12x12px

1∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y1＝2px1.yy·y又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y2，∴BC∥x轴．

y1

变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，p211

B(x2，y2)．求证：(1)x1x2＝；(2)为定值．

4|AF||BF|

分类讨论思想的应用

例(12分)过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其

→→

准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO＝λOD？

多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.→→

解 假设存在实数λ，使AO＝λOD.抛物线方程为y2＝2px(p>0)，pp0，准线l：x＝－ 则F2

2(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，pp

p，B，－p.交点A、B坐标不妨设为：A22

ppp→→

－，－p，∴AO＝－，－p，OD＝－，－p，∵BD⊥l，∴D222→→

∴存在λ＝1使AO＝λOD.[4分]

p

x－(k≠0)，(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k2

pyy2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D－2，y2，x1＝x2＝，2p2p

py＝kx－－p22222由 得ky－2py－kp＝0，∴y1y2＝－p，∴y2＝，[8分]

y

1y2＝2px

y2pp2→→pAO＝(－x1，－y1)＝－2py1，OD＝－2，y2＝－2，－y，y2p－＝－λ2p2y2→→假设存在实数λ，使AO＝λOD，则，解得λ＝，2pp

－y1＝－λ

y1

y2→→→→∴存在实数λ，使AO＝λOD.综上所述，存在实数λ，使AO＝λOD.[12分

]

p



一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于()

4334C．－D．－ 555

52．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()

A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥

33．已知抛物线y＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定 4．(2011·泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是()

1－1，－1D．(－2，－22)－1A. B．(－2)C.44

→→

5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()

A．(2，2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(22)

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．

7．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋115，求抛物线方程．

10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；

→→