不等式的性质复习学案

不等式的性质复习学案（精选10篇）

不等式的性质复习学案 篇1

《不等式的性质》互动学案

一、目标导学：

（一）导学前测：

1、什么叫不等式？不等式的解是什么？

2、用不等式表示

（1）a是正数；（2）a是非负数；

（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3.（二）

教学目标：

1、掌握不等式的基本性质；理解不等式与等式性质的联系与区别.2、通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的思考问题的能力.3、通过对不等式性质的探索，培养学生合作与交流的精神.二、互动导学：

1、我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，等式的基本性质有哪些？（学生思考回答）

不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.2．设问质疑，探究尝试 等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.学生发表不同意见，请互相讨论后举例说明.∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a

3－a＜5－a

如3＜4 3×3＜4×3 3× ＜4×

3×（－3）＞4×（－3）3×（－）＞4×（－）3×（－5）＞4×（－5）3．归纳总结，概括知识

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.4．发散思维，解决问题

（1）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

① x－5＞－1;

② －2x＞3;

③ 3x＜－9.解：①根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得

x＞－1+5 即x＞4;

②根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得

x＜－;

③根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得

x＜－3.说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.练习：

1、讨论下列式子的正确与错误 ①如果a＜b，那么a+c＜b+c

②如果a＜b，那么a－c＜b－c

③如果a＜b,那么ac＜bc

④如果a＜b,且c≠0,那么 ＞

2、根据不等式的性质.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式.(1)2x－15＜5(2)3x＞2x+1(3)3x+1＜5x－2

(4)x＞ x+1.（5）x－2＜3;（6）6x＜5x－1;

三、友情提示：比较等式和不等式的性质的区别和联系

区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.四、学后反思：

《不等式的性质》互动学案

设计人：李庆华 审核人：崔金玲 时间：2008、3 序号：15

五、当堂检测：

一．请你选一选

1.若a+3＞b+3，则下列不等式中错误的是()A.－ B.－2a＞－2b

C.a－2＜b－2 D.－(－a)＞－(－b)2.若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是()A.ac＞bc B.C.a－c＜b－c D.a+c＜b+c 3.有理数a、b在数轴上的位置如图1.2(1)所示，在下列各式中对a、b之间的关系表达不正确的是()

A.b－a＞0 B.ab＞0 C.c－b＜c－a D.4.已知4＞3，则下列结论正确的是()①4a＞3a ②4+a＞3+a ③4－a＞3－a

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二．请你填一填

1.在下列横线上填上适当的不等号(＞或＜＝(1)如果a＞b，则a－b__________0(2)如果a＜b，则a－b__________0(3)如果2x＜x，则x__________0(4)如果a＞0，b＜0，则ab__________0(5)如果a+b＞a，则b__________0(6)如果a＞b，则2(a－b)__________3(a－b)

2.在横线上列出不等式(1)若a为非负数，则a__________(2)若a为非正数，则a__________.(3)若a不小于3，则a__________.(4)若a不大于－3，则a__________.三．请你来计算

1.根据不等式的性质.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式.（1）x＞5;（2）－4x＞3.(3)x+7＞9(4)6x＜5x－3(5)x＜(6)－ x＞－1

2.比较a与－a的大小.

不等式的性质复习学案 篇2

一般, 对定积分不等式的性质是叙述为:若函数f (x) 和g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 且f (x) ≥g (x) , 则有∫b a f (x) dx≥∫b a g (x) dx。对上述不等式中的“≥”在什么情况下“>”成立, 什么情况下“=”成立, 并没有进一步讨论。本文将给出上述不等号严格成立的条件, 进而得到判断积分不等式性质中不等号严格成立的方法。

1 主要结果

引理1[1] 设函数f (x) 在[a, b]上非负可积, 则∫baf (x) dx≥0。

引理2 设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]上有无数多个连续点。

证明 因为f (x) 在[a, b]上可积, 所以对于ε1=1, 存在[a, b]的分割T1, 使得

由此可知, 在T1的某个小区间Δk=[xk-1, xk], f (x) 的振幅wk=wf[xk-1, xk]<ε1=1。若不然, 将导致${\displaystyle \sum _{{\rm T}{}_1}w}{}_i\Delta x{}_i\ge 1\times {\displaystyle \sum _{{\rm T}{}_1}\Delta }x{}_i=1\times (b-a)$, 这就与式 (1) 矛盾.取[a1, b1]⊂ (xk-1, xk) , 满足

以[a1, b1]代替[a, b], 对于$\epsilon {}_2=\frac{1}{2}$, 同样存在T2及属于T2的某个小区间的子区间[a2, b2], 满足

依次做下去, 得一区间套{[an, bn]}, 由闭区间套定理, 存在x0∈ (an, bn) ⊂ (a, b) , n=1, 2, …。

下证x0为f (x) 的一个连续点。 对于任给的正数ε>0, 存在正整数n, 使$\frac{1}{n}<\epsilon$。令

δ=min{x0-an, bn-x0},

则∪ (x0, δ) ⊂[an, bn].故当x∈∪ (x0, δ) 时,

$|f(x)-f(x{}_0)|\le w{}^f[a{}_n,b{}_n]<\frac{1}{n}<\epsilon$。

现在任给 (α, β) ⊂[a, b], 由于f (x) 在[α, β]上可积, 从而由上面已证的结果, f (x) 在[α, β]内有连续点, 故f (x) 在[α, β]有无限多个连续点。

定理1 若函数f (x) 为区间[a, b]上的非负可积函数, 则存在f (x) 的连续点x0∈[a, b], 使得f (x0) >0的充要条件是∫baf (x) dx>0。

证明 [必要性] 不妨设x0∈ (a, b) , 由于函数f (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的保号性, ∃δ>0, 对∀x∈[x0-δ, x0+δ]有$f(x)\ge \frac{f(x{}_0)}{2}>0$。从而${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x={\displaystyle {\int }_a^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{x{}_0+\delta }^{b}f}(x)\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }\frac{f(x{}_0)}{2}}\text{d}x=f(x{}_0)\delta >0$。

[充分性] 先证明当∫baf (x) dx>0时, 一定存在区间 (α, β) ⊂[a, b], 在[α, β]上有f (x) >0。若不然, 有ξ∈[α, β], 使得f (ξ) =0, 则对[a, b]的任一分割T, 在每个Δi上都可以找到ξi使f (ξi) =0, 从而

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x=\underset{{\rm T}\to 0}{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f}(\xi {}_i)\Delta x{}_i=0$。

这与∫baf (x) dx>0矛盾。

其次, 由于函数f (x) 在[α, β]上可积;因此由引理2有f (x) 在[α, β]上一定存在连续点x0, 故f (x0) >0。

注1 文献[2]给出了定理1中条件的必要性, 而本文指出了条件的充要性。

由定理1容易得到定理1的如下等价命题。

定理2 若函数f (x) 为[a, b]上的非负可积函数, 则函数f (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baf (x) dx=0。

由定理1和引理2可得如下的定理3和定理4。

定理3 若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 且f (x) >0, 则∫baf (x) dx>0。

定理4[3] 设函数f (x) 在[a, b]上非负连续, 且f (x) 不恒等于0, 则∫baf (x) dx>0。

2 推论

推论1 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) ≥g (x) , x∈[a, b], 且存在f (x) , g (x) 的连续点x0, 使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 由题知, F (x) 在[a, b]上非负可积, 存在连续点x0使得

F (x0) =f (x0) -g (x0) >0,

则由定理2知

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0,

即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论2 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) >g (x) , x∈[a, b], 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则函数F (x) 在[a, b]上可积且F (x) >0, 则由定理3

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论3 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数满足f (x) ≥g (x) , 且f (x) 不恒等于g (x) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则F (x) 在[a, b]上非负连续, 且F (x) 不恒等于零, 由推论2有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论4 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数, 满足f (x) ≥g (x) , 且存在一点x0∈[a, b]使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则

函数F (x) 在[a, b]上非负连续函数, 且存在x0∈[a, b], 使得F (x0) >0, 则由推论4有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

3 举例

例1 证明e>∫${}_0^1$ex2dx。

证明 令f (x) =e, g (x) =ex2。

[方法一] 显然, f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) ≥g (x) , 又对任一f (x) , g (x) 的连续点x0∈ (0, 1) , 都有f (x0) >g (x0) 。由推论1得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

[方法二] 因为函数f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) >g (x) , x∈ (0, 1) , 由推论2得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

[方法三] 因为函数f (x) 及函数g (x) 在[0, 1]上连续, 且满足f (x) ≥g (x) , 而且函数f (x) 不恒等于函数g (x) , 由推论3证得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

注2 若应用引理1, 对于例1只能得到e≥∫${}_0^1$ex2dx, 但是现在应用本文的结论, 就可以得到e>∫${}_0^1$ex2dx。

例2[4] 设m, M分别是连续函数f (x) 在[a, b]上的最小值和最大值, 且f (x) 非常值函数, 则

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

证明 由题知 m≤f (x) , x∈[a, b], 且f (x) 不恒等于m, 则由推论3知

m (b-a) =∫bamdx<∫baf (x) dx,

同理可证

∫baf (x) dx>∫baMdx=M (b-a) ,

于是,

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

例3 证明:若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 则∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

证明 令F (x) =f2 (x) , x∈[a, b], 由于f (x) 为[a, b]上可积函数, 则F (x) 也为[a, b]上的可积函数.由定理2有, 函数F (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baF (x) dx=0, 于是∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

4 结语

由非严格不等式变为严格不等式, 看似细节, 但由此而增加了解题的有用信息, 对解题有很大帮助。本文正是出于这个目的, 对积分不等式进行了推广, 得到了积分不等式中不等号严格成立的一些条件, 而且本文的结果和方法可以进一步向多重积分推广。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社, 2004

[2]魏国强.关于定积分若干性质的讨论.高等数学研究, 2005;8 (1) :42—43

[3]李长青, 刘亚梅.定积分保号性质的推广和应用.商丘职业技术学院报, 2005;4 (5) :14—15

点击不等式的基本性质 篇3

一、正确理解基本性质的含义

1． 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．这里的整式包含单独的一个数、字母以及由字母和数组成的单项式或多项式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性质2：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性质3：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．对此性质中加黑点的词的含义要认真领会，重点理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正数也不是负数，因此，在运用性质2和性质3时，不等式两边所乘以（或除以）的同一个数（或式子）不能为0．否则，不等式的性质不成立．

二、灵活运用基本性质解题

1． 直接运用

例1 利用不等式的性质，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，运用基本性质1，两边同减去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以应该填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，运用基本性质2，两边同乘以k2，得k2x＞k2y．所以应该填“＞”．

（3）因m＞n，运用基本性质3，两边同乘以－，得－m ＜ －n．所以应该填“＜”．

例2已知a＜0＜b，则下列式子中错误的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因为a＜0＜b，由基本性质1，得a＋c＜b＋c．由基本性质3，得－99a＞－99b．所以A、D都正确．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性质2，得＜ ．故C也正确．

由于c为任意实数，因此，当c＝0时，ac＜bc不成立．所以B是错误的.应选B．

2． 逆向应用

例3 已知关于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1的形式，求k的取值范围．

解析：由题设条件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1，知此时不等号的方向改变了．根据基本性质3，说明不等式的两边同除以的k－2 008必为负数．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

点评：在运用不等式的性质时，一定要记住“一变两不变”：性质1和性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[想一想，练一练]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，则ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正确的个数是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1个B． 2个 C． 3个D． 4个

3． 若关于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化为y＞2的形式，求m的取值范围．

参考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

不等式的性质复习学案 篇4

本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．

不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用．

推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展

1趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．

广东高考在这一章的命题上呈现以下特点：

1．考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现．

2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．

3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题．

预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．

本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：

1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．

2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．

3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来． 4．注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．

在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．

加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．

加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．

在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．

5．强化不等式的应用．

高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．

如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．

6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．

7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系． 对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．

归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．

推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可

以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．

第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景.知识梳理

一、不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．

二、实数运算性质与大小顺序关系

1．a>b⇔a－b>0；2.a＝b⇔a－b＝0；3.a

三、不等式的基本性质 双向性：

1．定理1(对称性)：a>b⇔b

2．定理2(传递性)：a>b，b>c⇒a>c.3．定理3(同加性)：a>b，c为整式或实数⇔a＋c>b＋c.4.定理3推论(叠加性)： a>bc>d}⇒a＋c>b＋d.5．定理4(可乘性)： a>bc>0}⇒ac>bc； a>bc<0}⇒acd>0}⇒ac>bd.6．定理4推论1(叠乘性)： a>b

nn*

7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0⇒a>b(n∈N且n>1)．

8．定理5(可开方性)：a>b>0⇒

四、不等式性质成立的条件

n

n

＞b(n∈N*且n>1)．

1例如，重要结论：a＞b，ab＞0⇒，不能弱化条件得a＞b⇒.abab

五、正确处理带等号的情况

如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，当且仅当a＝b且b＝c时，才会有a＝c.注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．

基础自测

1．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是()

aaaabbbbaaaaC.2＞aD.＞a＞2 bbbb

A．a＞B.＞a

解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，验证知2a成立．也可用作差比较法． 答案：C

2．若0

C．log2a＋log2b＋

1322

3D．log2(a＋ab＋ab＋b)

2解析：特殊值法．取a＝，b＝，则log2b＝log2 ＝1－log23>1－log24＝－1；log2b

333

－(log2a＋log2b＋1)＝－1－log21＋log23>0；

3223

计算可知，b>a＋ab＋ab＋b，3223

∴log2b>log2(a＋ab＋ab＋b)．故选B.答案：B

3．已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是____________． a1a1b 22

①＞1 ②a＞b ③lg(a－b)＞0 ④＜b22

aa

bb

解析：令a＝2，b＝－1，则a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－2，则a

abab

1x222

＝1，b＝4，故a＞b不成立；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0；f(x)＝在R

2

1a1b

上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即＜.故④正确．

22

答案：④

bab＋ma＋n

4．a>b>0，m>0，n>0，则，由大到小的顺序是____________．

aba＋mb＋n

b1ab＋m2a＋n3

解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，则＝2，a2ba＋m3b＋n2

aa＋nb＋mb∴>bb＋na＋ma

aa＋nb＋mb答案：>>

bb＋na＋ma

1．设a，b为实数，则“0

a

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当0.反过来若b<，当a<0时，则有ab>1，所以“0

aa

是“b<”的既不充分也不必要条件．故选D.a

答案：D

2．已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则()

A．x

111111

解析：x＝ln π>ln e＝1，y＝log52＝，1.综上

22e42e

可得，y＜z＜x.故选

D.答案：D22

1．(2013·江门一模)若x＞0、y＞0，则x＋y＞1是x＋y＞1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：先看充分性，222

可取x＝y＝，使x＋y＞1成立，而x＋y＞1不能成立，故充分性不能成立；

若x＋y＞1，因为x＞0，y＞0，22222

所以(x＋y)＝x＋y＋2xy＞x＋y＞1，∴x＋y＞1成立，故必要性成立．

综上所述，x＋y＞1是x＋y＞1的必要不充分条件． 答案：B

2．(2013·北京西城期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式： 22ab－1332

①a>b ②2>2 ③a－b>a－b ④a＋b>2ab.其中一定成立的不等式为________．

解析：由a>b>0可得a>b，①成立；

xab－1

由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2>2，②成立；

∵a>b>0，∴a>b，22

∴(a－b)－(a－b)＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；

332332

不等式的基本性质教案 篇5

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：（i）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？(a>b)（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？ 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c（单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2)性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b（ii）如果a>b,c>d,那么a+c>b+d（iii）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论：

（i）如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd（ii）如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111cd0, 则0，cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

不等式的性质教学反思 篇6

虞城县第二初级中学 王志鹏

设计“不等式的简单变形”，我把不等式的性质、运用不等式性质解简单不等式这二个内容整合到本节课；基本思路是：通过类比等式的性质，结合生活中的事例组织学生探索，获得不等式的三个性质；通过数轴的直观来刻画不等式性质，利用数学符号表述不等式性质，完成从具体到抽象的提升，展示代数的魅力；利用表格对不等式两边进行运算来探索不等式的性质并展开小组讨论加深对不等式性质3的认识；运用不等式的性质把不等式转化为 的形式（其实就是解简单不等式，但本节课还没出现“方程的解”这个概念）．通过变式探索渗透分类讨论的思想方法，培养学生分析、解决问题的能力．从新课到练习都充分调动了学生的思考能力．小组讨论又锻炼了学生的创造性和合作性；为后续学习解一元一次不等式打下了一定的基础．同时关注健康的生活方式．

本节课基本完成既定目标．但是，内容安排的有点多，对于中下学生的学习是不利的，准备在后续的课当中再反复训练，循环提高． 在新课标下的数学教学我要注意以下几个问题：

1．学习生活中的数学，在生活中发现数学问题、用数学知识和数学方法解决问题是我们追求的目标，但是，如何处理好生活化与数学严谨的逻辑的关系，需要进一步探索、调整．我在另一个班教这课时，就有学生取笑他肥胖的同桌．尽管，当时我风趣的批评了这位同学，但是，这个插曲确实分散了学生的注意力．

2.要有勇气实现教师身份、角色的转换：从主导到参与、引领．这个尺度如何拿捏准确？一堂没有按照老师的设计思路进行的课、一堂没有完成教学任务的课、没有达到教学目标的课；尽管学生有其他方面的收获；是不是一堂失败的课？反之，如果课堂完全按照老师的预定，完美的上演（大多数公开课——甚至多次重演）学生收获了知识，但却没有主动思考．这样的课堂也是我们不想要的，是我们想要改变的．换一种说法：学生带着问题来，没有问题走；还是学生带着更多的问题走？

利用凸函数性质巧证积分不等式 篇7

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

利用函数性质求解不等式问 篇8

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

不等式的性质说课稿 篇9