不等式的证明论文

不等式的证明论文（精选12篇）

不等式的证明论文 篇1

不等式,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.而不等式的证明,方法灵活多样,还和很多内容结合,它既是中学数学教学中的难点,也是数学竞赛培训的难点,近年也演变为竞赛命题的热点,因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧,而且证明过程千姿百态,极易出错,因此,有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流.

一、作差比较法

作差比较法:比较两个实数大小的关键是,判断差的正负,常采用配方法、因式分解法、有理化等方法.常用的结论有x2≥0,-x2≤0,|x|≥0,-|x|≤0等.“作差法”的一般步骤是:①作差;②变形;③判断符号;④得出结论.

例1 若0|loga(1+x)|(a>0且a≠1).

分析:用作差法来证明.需分为a>1和0

证明:(1)当a>1时,因为0<1-x<1,1+x>1,

所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0.

(2)当01.

所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1+x2)>0.

综合(1)(2)知|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

二、作商比较法

例2 设a>b>0,求证:aabb>abba.

分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.

因为a>b>0,所以,a-b>0.

又因为abba>0,所以aabb>abba.

说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

三、换元法

换元法:换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题,通过恰当引入新变量,代换原题中的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式.用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.三角代换是最常见的变量代换,凡条件为x2+y2=r2或x2+y2≤r2或等均可三角换元.围绕公式sec2θ-tan2θ=1来进行.常用的换元法有:(1)若|x|≤1,可设x=sinα,α∈R;(2)若x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα,α∈R;(3)若x2+y2≤1,可设x=rcosα,y=rsinα,且|r|≤1.

例3(1)设x,y∈R,且x2+y2≤1,求证:|x2+2xy-y2|≤槡2;(2)设a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:.

证明:(1)设x=rsinθ,y=rcosθ,且|r|≤1.

因为a+b+c=1,所以α+β+γ=0.

思维点拔:(1)本题运用了三角换元法.(2)换元法是不等式证明中的重要变形方法,常用的换元手段除三角换元法外,还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换.

四、放缩法

放缩法:即缩小或放宽不等式的范围的方法,常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”,使不等式之和变小(大),或“在分式中放大(缩小)分式的分子或分母”,“在乘积中用较大(较小)的因式”等效法,来证明不等式.放缩法:欲证A>B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得B

分析:不等式的两端是绝对值,需对a,b是同号和异号进行讨论.

五、构造法

构造法:构造二次方程用“Δ”,构造函数用函数单调性,构造图形用数形结合方法.

例5设,判断f(x)在[0,+∞)上的单调性.

所以f(x)在[0,+∞)上为增函数

又0≤|a+b|≤|a|+|b|,

所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|).

思维点拔:用分析法解决含绝对值问题是常规方法;根据特征不等式的结构,构造恰当的函数,再利用函数的单调性来进行证明,这是构造函数法的特点,在证明过程中不一定能一步到位,常需要与其他方法相结合,如本例中还借助了放缩法.

六、判别式法

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是:b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记Δ=b2-4ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式.

例6已知x+y+z=5,x2+y2+z2=9,求证:x,y,z都属于.

证明:由已知得:z=5-x-y,

代入x2+y2+z2=9中得:

x2+(y-5)x+y2-5y+8=0,

因为x∈R,所以△≥0,

即(y-5)2-4(y2-5y+8)≥0,解得

同理可证.

说明:在比较法、综合法无效时,如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式,可考虑用判别式,要注意根的范围和题目本身的条件限制.

七、反证法

反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法.

例7已知0

分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三数都大于,从这个结论出发,进一步去导出矛盾.

证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三数都大于,

又因为0

以上三式相加,即得:

显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.

说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想.

通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题.

不等式的证明论文 篇2

摘要：证明绝对不等式是数学基本知识的一部分，不等式的证明，就是证明所给定的不等式或对式中所含的字母的一切允许值都是成立的。证是不等式主要依靠二条，其一，是不等式的基本性质和一些重要不等式，其二，是证明不等式的一些常用方法。二者互相渗透。本文通过举例介绍几种证明的绝对不等式的方法。

关键词：绝对不等式，证明不等式的方法

1.用比较法证明不等式

比较法是证明不等式的常用法之一。它又分为计算插值和比值两种：

① 把所要正的不等式的左边的代数式减右边的代数式，再根据已知条件去证明这个差大于﹙或小于﹚零，这种证明法叫做计算差值法。

他的理论根据是：a≥b,﹙a≤b﹚a-b≥0﹙或a-b≤0﹚.② 当所要证明的不等式的两边的直皆正是，把左边的代数式除于右臂阿布的代数式，再根据已知条件去证明这个比值大于﹙或小于﹚1.这种正法叫做及钻比值法。他的理论依据是：当a＞0.b＞0 时，a≥b﹙a≤b﹚<=>

例：已知a,b 皆正数求证： aa≥1（或≤1）。bb

ab≥ab（当且仅当a=b时，等号成立）。

2abab2ab证：∵a＞0.b＞0，则-ab==22

（其中等号当且仅当）a＝即a=b成立）

∴a22≥0 abab－ab≥0，即≥ab 22

2.用综合法和分析法证明不等式

证明绝对不等式的综合法是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形将未知的不等式归结为常用不等式。如以下不等式是常用的：

a²+b²≥2ab,a+b／2≥ab,a³+b³+c³≥3abc(a,b,c∈R+)

a+b／2

≤a²+b²／2,a+b+c／3≤a²+b²+c²／3(a,b,c∈R+)

分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证B得真，只需要证明命题B的真，从而又„„，只要证明A为真。现在已知A真，故B真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：

B<=B1<=B2<=„<=Bn<=A

以上述的b

只需要证b（a+m）

两端约去ab，故只需

再证bm

因为已知m>0;

只需b

但是这是已知条件，故原不等式成立。

值得注意的是分析法不是等价证明，不应写成：

B<=>B1<=>B2<=>„<=>Bn<=>A

下面在举两例加以说明：

例1已知a>b>0，求证a-bb>0所以a->0，ab>0.只要证（a-）³<（ab）³

即要证a-3a2b+3ab2-b0 只要证b

由于a>b>0此不等式显然成立

所以原不等式成立。

例2已知a>0；b>0；2c>a+b，求证：

c-c2ab

分析要证c-c2ab

只要证-c2ab

即要证｜a-c｜<｜c2ab｜

即要证（a-c）²

即要证a-2ac<-ab

因a>0，只需证a-ac<-b

即a+b<2c此式为已知，故原命题成立。

3.用放缩法证明不等式

利用放缩法证明不等式的关键是找寻中间变量c；使得AC¹且C¹>A(这是缩小)下面举例加以说明

例3已知n为正整数，试证：

111）（1+）„（1+）>2n1／2 352n

1111分析令A=（1+）（1+）„（1+）352n1

462n=×„× 352n1（1+

由于不等式bbm>（b>a，a，b，m∈R+）得 aam

45672n22n12n2n1>，>，„，>，> 34562n32n22n12n

将这个同向不等式相乘得 572n12n1×ׄ×× 462n22n

45672n2n12n12n1A²>×××ׄ××=> 34562n12n34A>

故A>2n1／2

4.反证法在不等式证明中的应用

反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为：

假设结论的反面成立=>逻辑推理=>导出矛盾=>肯定结论。

下面举例加以说明

例4已知f(x)=x²+px+q求证：｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜中至少有一个不小于1 2分析此题从正面解决比较困难，可以用反证法，假设结论不成立，即｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜都小于1。则有 2

1111f（1）｜<1+p+q｜<-< 1+p+q< ①2222

1111f（2）｜<4+2p+q｜<<4+2p+q< ②2222

1111f（3）｜<9+3p+q｜<-<9+3p+q< ③ 2222

由于① ③得-119<2p+q<-22

此式于②式矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。

5.构造函式证明不等式

某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构成恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数法证明不等式关键是构造恰当的不等式。

例5已知a.b∈R,求证：

ab

1ab≤b

1a+a

1b

分析：从不等式的结构来看，易构造函数f(x)=

上是函数。因为ab≤ab,所以f(ab)≤f(ab)

从而有 x(x≥0)易证f(x)在R＋ 1x

ab

1ab

≤≤ab1aba =b1ab+a1ab b

浅谈证明不等式的方法 篇3

构图法，即构造几何图形，利用几何图形的性质来帮助说明不等式.构图法出现已经有很长的历史，可以追溯到十二世纪的古代中国，希腊和印度.一些数学家认为构图法不是一种严格的证明，构图法对于实际证明毫无价值，证明有且只有一种方式——推理，构图证明是不能够接受的.但还有一部分数学家认为，数学不仅是逻辑的，还是图形的，作为数学教育工作者，必须把培养学生的想象能力作为重要的能力之一.数学教育家波利亚指出画图帮助理解题意，被认为是经典的教育学建议.爱因斯坦和庞加莱都认为，我们应该利用好我们的直觉；美国数学家加德纳指出，许多情形下，一个平淡的证明加上一个几何类似图形，使得证明更加简单和漂亮，定理的准确性立见.所有的这些，都说明了构图法对帮助证明的重要性.

2几个不等式的构图说明

高中数学选修模块45《不等式选讲》中的不等式主要有：基本不等式，绝对值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式.中学阶段很多不等式的证明可以利用构图法来理解，下面列举几个不等式的构图.

2.1不等式a+b2≥ab（a，b为正数）的构图

不等式表明：两个正数的算术平均数a+b2不小于它们的几何平均数ab，即a+b2≥ab（a，b为正数），教材中一般构造如下的几何图形来加强理解.

图1图2如图1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一种构图，如图2所示，把半径不等的两圆水平放置，且都与直线AB相切，两圆外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因为OF>EF，所以a+b2≥ab.图1～2都说明了不等式a+b2≥ab的几何意义，并且能直观地感知当且仅当“a=b”时“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如图3所示，M为圆A外一点，MA与圆A分别相交于P、Q两点，MG，MR分别为圆A的切线和割线，PM=a，QM=b，a>b>0，则有HM2.3不等式xr-1>r（x-1）的构图

当n为正整数，x>-1时，（1+x）n≥1+nx成立，称为贝努利不等式（Bernoulli inequality），其证明方法通常有数学归纳法和利用二项式定理进行放缩.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用类似于证明贝努利不等式的方法进行证明，可采用构图法帮助证明.构造如图4所示的图形，在同一坐标系中分别作出函数y=xr-1和y=r（x-1）的图象，函数y=xr-1为经过（1，0）点的凸函数，函数y=r（x-1）的图象是斜率为r，经过点（1，0）的直线，且直线y=r（x-1）与y=xr-1的图象相切，切点为（1，0）.因此，当r>1，x>0，x≠1时，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.

2.4不等式ab

构图来帮助证明分布在数学中的各个方面，如代数，几何，三角，微积分和动态几何，不等式，数列，排列、组合等等.数学上许多的定理和概念，都可以用优美、简洁的图形来表示.老师们应该在平时教学中多注意总结，设计更多的图来帮助学生直观地理解数学知识，学好数学，让数学变得更为直观.

例谈不等式的证明 篇4

一、比较法

1. 差比法。

作差法:M>N或M=N或M<N, 即证明M-N>0或M-N=0或M-N<0;作比法:先建立差式, 再将差式变形为积、商形式或平方和形式, 常用的方法有通分、配方和分解因式等。

例1.已知a<b<c, 求证a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b

证明:a2b+b2c+c2a- (a2c+b2a+c2b)

= (a2b-b2a) + (b2c-a2c) + (c2a-c2b)

=ab (a-b) +c (b+a) (b-a) +c2 (a-b)

= (a-b) [a (b-c) -c (b-c) ]

= (a-b) (b-c) (a-c) <0

所以, a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b。

例2.已知a>b>c>0, 求证

证明

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0,

2. 商比法:

若M>0, 要证明M>N, 只需证明, 即首先建立商式, 再进行商式变形, 证明商值大于1。

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0, a b>1

所以,

同理可证:

所以,

二、综合法

从已知条件或基本不等式出发, 运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式。常用的基本不等式有:

(1) a2≥0 (a∈R) , (a±b) 2≥0 (a, b∈R)

(2) a, b∈R, a2+b2≥±2ab, a2+b2≥2|ab|

(3) a, b, c∈R+时, 有 (当且仅当a=b时, 等号成立) , (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

(4) 当a, b, c∈R时, 有a2+b2+c2≥ (a+b+c) 2≥ab+ac+bc (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

例4.若x>0, y>0, x+y=1, 求证:

三、分析法

从求证的不等式出发, 寻求此不等式成立的充分条件, 只要使不等式成立的条件具备, 就可断定不等式成立, 一种“执果索因”的方法, 运用时注意格式。要证明不等式A, 只需证不等式B, 又要证C, 要证C, 又要证D, 即证不等式D成立。由不等式D成立, 推出不等式A成立。

例5.已知a>b>c>0, 求证:

所以, 原不等式成立

四、“放”“缩”技巧

在不等式的证明中, “放”“缩”是常用的推证技巧, “放”和“缩”的方向和量的大小都是由分析得出的。

例6.求证当α1, α2, α3∈[0, π]时, 有sinα1+sinα2+sinα3≤

所以sinα1+sinα2+sinα3≤

此题是利用函数的单调性, 变换公式的分母 (或分子) , 还有添加或舍去某些项, 利用有界性将不等式放大或缩小。用“放缩法”证明不等式, 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中, 适当地进行放缩, 可以化繁为简、化难为易, 达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握, 常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此, 使用放缩法时, 如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标, 就必须根据欲证结论, 抓住题目的特点。掌握放缩技巧, 真正做到弄懂弄通, 并且还要根据不同题目的类型, 采用恰到好处的放缩方法, 才能把题解活, 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力, 分析问题和解决问题的能力。

五、反证法

从假设求证不成立入手, 推出与已知条件和定理相矛盾的结论, 从而判定假设错误, 求证结论成立。

例7.已知a+b+c>0, ab+bc+ac>0, abc>0, 求证:a>0, b>0, c>0。

下面用反证法证明:

证明:假设a<0, 由abc>0, 知bc<0

又a+b+c>0得b+c>-a>0

于是ab+bc+ac=bc+a (b+c) <0与已知相矛盾

故a>0

同理:b>0, c>0。

六、数学归纳法

主要用来证明一些与自然数有关的不等式。

例8.当n>1, n∈N时, 求证:

证明:1.当n=2时, 左=

2.假设n=k时, 命题成立。即:

所以, 当n=k+1时, 命题成立。

综合1、2得:当n>1, n∈N时, 不等式成立。

不等式的证明练习 篇5

111． abbcac

112．设a、bR，求证：log1(ab)ab1． 4421．已知abc，求证：

1x2x13． 3．设xR，求证：22x12

4．设nN*，求证：

1112(n11)12n． 23n

5．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，求证：

abc． 1a1b1c

226．若x2y21，求证：x2xyy2．

a2b2

(ab)2． 7．若0＜x＜1，求证：x1x

45． 8．设x(0,)，求证：sinxsinx

9．已知：xyz0，xyyzzx0，xyz0．

求证：x0，y0，z0．

参考答案

111(aa)2(bc)2(ca)2

1．0． abbcac2(ab)(bc)(ac)

2．log1（2111)log2log221abab1． 1abab4442

3．用判别式法证明．

1222(k1k)及 kkkk1k

2222(kk1)，再由不等式的同向可加性即得． kk1kkk

ababab11c115．． 1a1b1ab1ab1ab1ab1c1c

xrcos026．换元 01即可得证． yrsin

a2b21x2x2227．[x(1x)]ababa2b22ab(ab)2． x1xx1x

13)235． 8．(sinxsinxsinx4．由

9．用反证法，假设结论不成立，由xyz＞0知x、y、z中应有两个负数，一个正数，不妨设x＞0，y＜0，z＜0．由已知条件，得：

对一道不等式的证明与思考 篇6

思路1 将原不等式理解为x2x+y+yx+2y≤23……①

及xx+2y+y2x+y≥23……②两个不等式，对①证明如下：

证法1：作差等价变形x2x+y+yx+2y-23≤0

3x(x+2y)+3y(2x+y)-2(2x+y)(x+2y)≤0

-x2+2xy-y2≤0(x-y)2≥0.得证.

证法2：构造函数求最值 令f(x)=x2x+y+yx+2y-23，

则f′(x)=2x+y-2x(2x+y)2+-y(x+y)2=y［(x+2y)2-(2x+y)2］(2x+y)2(x+2y)2=-3y(x2-y2)(2x+y)2(x+2y)2.

令f′(x)=0，得x=y，又当0

当x>y时，f′(x)＜0，知当x=y时，f(x)最大值为23.

仿上可证不等式②.

思路2 针对原不等式为连写不等式型：a≤b≤c,即证(a-b)(c-b)≤0.

证法3 由于x2x+y+yx+2y-23xx+2y+y2x+y-23=-(x-y)23(2x+y)(x+2y)•2(x-y)23(x+2y)(2x+y)≤0.

所以原不等式成立.

思考1 将原不等式简化为：已知x,y∈R+，求证：x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y.

证法1 作差 =x2x+y+yx+2y-xx+2y-y2x+y=(x-y)12x+y-1x+2y

若x≤y,则12x+y≥1x+2y;若x≥y,则12x+y≤1x+2y,∴x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y.

证法2 若x≤y,则12x+y≥1x+2y,由排序不等式反序和不大于顺序和.即有

x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y;

若x>y，则12x+y＜1x+2y同样有不等式成立.

思考2 变形1：是否存在唯一常数c，使x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y，对任意正数x,y恒成立.

由思路1中证法2，函数f(x)当x=y有唯一的极值点.

知这样常数c唯一，且c=23.

变形2：是否存在常数t(1≤t≤2),使

x2x+y+yx+2y≤xtx+(3-t)y+y(3-t)x+ty≤xx+2y+y2x+y

证明：作f(t)=xtx+(3-t)y+y(3-t)x+ty,(1≤t≤2)

∴f′(t)=-x(x-y)［tx+(3-t)y］2+-y(x-+y)［(3-t)x+ty］2

=(x-y)•-x［(3-t)x+ty］2+y［t+(3-t)y］2［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

=(x-y)•(3-t)2(y3-x3)+2t(3-t)(xy2-x2y)+t2(yx2-xy2)［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

=-(x-y)2•(x2-2xy+y2)t2-6(x2+y2)t+9(x2+xy+y2)［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

令分子g(t)=(x2-2xy+y2)t2-6(x2+y2)t+9(x2+xy+y2)(1≤t≤2)

而(1)当x=y时，g(t)=0.

(2) 当x≠y，有x2+y2>x2－2xy+y2，从而g(t)的对称轴t=3(x2+y2)x2-2xy+y2＞3,及g(1)=4y2+7xy+4x2>0，g(2)=x2+xy+y2>0，从而当

1≤t≤2时，g(t)≥0，综合（1），（2）这样f′(t)≤0,

∴f(t)于［1，2］上为减函数，从而变形2正确，因此，变形2中存在无数个t值.

例如，取t=43，即有命题：已知x,y∈R+，求证

x2x+y+yx+2y≤3x4x+5y+3y5x+4y≤xx+2y+y2x+y.

思考3 对题目归纳思考，由于原不等式每个不等式两边均为两项，仅当x=y时取等号，从而有类比不等式如下：已知x,y∈R+,求证：

x3x+y+yx+3y≤12≤xx+3y+y3x+y;

积分不等式的证明方法 篇7

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

由柯西中值定理知

因为f(t)单调减少,且f(1)>0,

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以

四、利用积分中值定理证明积分不等式

思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).

证:由Schwarz不等式

六、利用平均值不等式证明积分不等式

例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:

思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.

摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,1993:249-278.

[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.

[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.

等式或不等式的概率方法证明 篇8

等式或不等式的证明是数学中常见的问题, 其证明方法可谓多种多样, 但在以往证明中我们一般只对等式或不等式左右两边的具体数字或符号感兴趣, 如果把数字或符号形象化、具体化, 给它们建立起一个形象直观的数学模型, 不但使等式或不等式加以证明, 而且得到式子存在的数学意义, 加深对等式或不等式的理解。以下将从概率论中的基本概念和定理出发, 利用概率方法完成对等式或不等式的证明。

1 运用加法定理证明等式

2 运用数学期望证明不等式

3 运用随机变量及其分布函数证明不等式

4 结束语

从以上过程可以看出, 运用概率方法来证明等式或不等式是具有优越性的, 不仅证明过程简洁, 更重要的是建立了具体的数学模型, 便于理解。同时, 我们也能看到, 在运用概率方法时, 往往不是单独的一个知识点就能解决问题的, 常常需要几个知识一起运用, 如分布函数结合了期望, 概率结合数学分析中的一些定理, 体现了数学知识联系的紧密性。

参考文献

[1]梁之舜, 邓集贤, 等.概率论及数理统计[M].高等教育出版社.2002

[2]盛骤, 谢式千, 等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社.2001

[3]薛留根.概率论解题方法与技巧[M].北京:国防工业出版社.1996

数列不等式证明的若干技巧 篇9

一、通项放缩, 构造等比数列

运用转化思想, 将数列问题转化为基本数列或应用基本数列的相关方法研究.

例1 (2006年福建高考) 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N+) .

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明:undefined

(Ⅰ) 解:因为an+1=2an+1 (n∈N*) , 所以an+1+1=2 (an+1) , 所以{an+1}是以a1+1=2为首项, 2为公比的等比数列.

所以an+1=2n.即an=2n-1 (n∈N*) .

(Ⅱ) 证明: 因为undefined.

所以undefined.

因为undefined.

所以undefined.

所以undefined

点评:数列教学重点是研究基本数列 (等差、等比数列) 的相关问题, 对非基本数列问题通过化归思想, 采用合适的方法, 将其转化为基本数列.

二、利用函数的单调性进行放缩

对于一些具有函数特征的数列不等式证明, 可以利用函数的单调性进行放缩, 充分体现了数列也是一种特殊的函数.

例2 (2006年湖南高考) 已知函数f (x) =x-sinx, 数列{an}满足:0

证明: (Ⅰ) 先用数学归纳法证明0

(i) 当n=1时, 由已知显然结论成立.

(ii) 假设当n=k时结论成立, 即a

由 (i) 、 (ii) 可知, 0

又因为0

0

(Ⅱ) 设函数undefined.由 (Ⅰ) 知, 当0

所以g (x) 在 (0, 1) 上是增函数.又g (x) 在[0, 1]上连续, 且g (0) =0, 所以当00成立.于是g (an) >0.即undefined.故undefined.

点评:用导数解决函数的单调性问题一直是高考的重点, 解决此类问题的策略是, 若证明不等式f (x) >g (x) , x∈ (a, b) , 可以转化为证明:F (x) =f (x) -g (x) 在 (a, b) 上是增函数.

三、分项讨论放缩证明数列不等式

例3 (2004年全国高考) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1) n, n≥1. (1) 写出数列{an}的前三项a1, a2, a3; (2) 求数列{an}的通项公式; (3) 证明:对任意的整数m>4, 有undefined

(Ⅰ) 略 (Ⅱ) undefined.

(Ⅲ) 由于通项中含有 (-1) n, 很难直接放缩, 考虑分项讨论:

当n≥3且n为奇数时

undefined (减项放缩) , 于是

①当m>4且m为偶数时undefined

②当m>4且m为奇数时undefined (添项放缩) 由①知undefined.由①②得证.

例谈不等式的证明方法 篇10

一、比较法

1. 作差比较法:

当要证的不等式两边为代数和形式时, 通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号, 从而降低了问题的难度.作差是化归, 变形是手段, 变形的过程是因式分解 (和差化积) 或配方, 把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和, 进而判定其符号, 得出结论.

例1已知a, b都是正数, (并且a≠b) 求证:a5+b5>a3b2+a2b3.

分析:要证a5+b5>a3b2+a2b3, 只需证明a5+b5- (a3b2+a2b3) >0 (即作差) .把a5+b5- (a3b2+a2b3) 变形 (因式分解) , 再运用已知条件a, b∈R+, 且a≠b, 可把问题解决.

证明:

∵a, b∈R+, 且a≠b, 则当a>b时, 有a2>b2, a3>b3.

得 (a2-b2) (a3-b3) >0;当a

综上得 (a2-b2) (a3-b3) >0, ∴a5+b5>a3b2+a2b3.

2. 作商比较法:

当不等式两边为正的乘积形式时, 通过作商把其转化为比较左右与1的大小.

例2若a>b>c>1, 求证:a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.

证明:∵a>b>1,

同理 (b) b-c>1, (c) a-c>1.

二、综合法

综合法, 又称顺推法 (由因导果) .是由已知条件 (或真命题) 推导未知 (或结论) 的证明方法, 即从已知条件或真命题出发, 依次推导出一系列真实命题, 最后达到所要证明的命题的结论从不等式的证明来看就是从已知或已证明过的不等式出发, 根据不等式的性质推导出欲证的不等式 (由因到果) .综合法往往是分析法的逆过程, 表述简单、条理清楚.

例3已知a, b, c是不全相等的正数, 求证:a (b2+c2) +b (c2+a2) +c (a2+b2) >6abc.

分析:不等式左边含有“a2+b2”的形式, 我们可以运用基本不等式:a2+b2≥2ab.还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b、b2c、c2a、ab2、bc2、ca2的“和”, 右边有三正数a、b、c的“积”, 我们可以运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.

证明:∵b2+c2≥2bc, a>0, ∴a (b2+c2) ≥2abc.

同理:b (c2+a2) ≥2abc, c (a2+b2) ≥2abc.

三、分析法

证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法的思维特点是“执果索因”.

例4求证:

证明:为了证明, 只需证明成立.

展开得

显然这是成立的, 所以

四、反证法

在证明一些“唯一性”命题及“无限性”命题时, 往往直接去证明比较棘手, 就可以使用反证法进行证明.用反证法应注意几个问题:1.如果肯定命题的假设而否定其结论, 就会导致矛盾, 由此论证原结论是正确的证明方法就是反证法的中心思想;2.应把“反设”看作是在证明过程中新增加的条件, 同时在证明过程中, 必须要使用这个新增加的条件, 否则无法引出矛盾;3.导出矛盾的结果, 通常是指出现下列矛盾之一: (1) 与已知相矛盾; (2) 与已知的公理相矛盾; (3) 与已知定义相矛盾; (4) 与已知定理、公式, 性质相矛盾; (5) 与“反设”相矛盾; (6) 由“反设”推出的结果自相矛盾, 其步骤为:否定结论→推理论证→导出矛盾→肯定原结论.

例5已知Ac-2Bb+Ca=0, 且ac-b2>0, a, b, c, A, B, C均不为零, 求证:AC-B2<0.

证明:假设AC-B2≥0, 则AC≥B2>0.

由已知条件ac-b2>0, 得ac>b2>0, 于是AaCc>B2b2.

又Ac-2Bb+Ca=0, 故 (Ac+Ca) 2=4B2b2<4AaCc.

所以 (Ac+Ca) 2<0.

这是不可能的, 所以AC-B2<0.

浅析证明不等式的几种方法 篇11

一、比较法

1.理论依据：不等式的基本性质.

2.步骤：作差、变形、判断符号.

3.适用于分式、高次不等式的证明.

4.有时也可用商值比较法.

例1 已知a、b、c是△ABC的三边，求证：

4（ab+bc+ca）>（a+b+c）2.

证明 因为4（ab+bc+ca）-（a+b+c）2=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c2=a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c）>0.所以4（ab+bc+ca）>（a+b+c）2.

二、综合法

1.思维特点：执因索果.

2.逻辑关系：AB1B2…BnB，每步寻找上一步的必要条件.

3.常用不等式：|a|≥0；a2≥0；a2+b2≥2ab（a、b∈ R ）；

a+b 2 ≥ ab （a、b∈ R +）；

b a + a b ≥2（a、b∈ R +）； b2 a +a≥2b（a∈ R +）等.

4.思路：由已知条件灵活使用有关不等式的定理以及不等式的基本性质，找出已知条件与待证不等式间的内在联系.（注意使用的不等式成立的条件）.

例2 a、b、c>0，求证：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）

分析 不等号左边是单字母乘积，右边是字母和差式乘积，因此寻求字母与和差式的关系：a=

（a+b-c）+（a+c-b） 2 ，同样b和c也有这样的关系.

证明 不妨设a≥b≥c>0，则a+b-c≥0，c+a-b≥0.

若b+c-a≤0，则原不等式显然成立.

若b+c-a>0，则由

a= （a+b-c）+（a+c-b） 2 ≥ （a+b-c）（a+c-b） ≥0 ①

b= （a+b-c）+（b+c-a） 2 ≥ （a+b-c）（b+c-a） ≥0 ②

c= （c+a-b）+（b+c-a） 2 ≥ （c+a-b）（b+c-a） ≥0 ③

①、②、③相乘

abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

三、分析法

1.分析法适用的题型：

（1）证明不知从何入手；（2）恒等式的证明；（3）条件简单、结论复杂.

2.分析法的思维特点：执果索因.

3.分析法的模式（书写格式）：

（1）为了证明…，（2）只需证明…，（3）即证明…，（4）…显然成立，⑤所以原式成立.

4.分析法的另一种表达方式：

首先假定所要证明的不等式成立→逐步推出一个已知成立的不等式（每步可逆）→最后得出结果.（注意得结果前应说明以上每步都可逆）.

例3 已知a>b>0，求证： （a-b）2 8a < a+b 2 - ab < （a-b）2 8b

证明 因为a>b>0，所以为证明 （a-b）2 8a < a+b 2 - ab < （a-b）2 8b ，只需证明 （a-b）2 4a <（ a - b ）2< （a-b）2 4b ，

整理得

（

a-b 2 a ）2<（ a - b ）2<（ a-b 2 b ）2

即证 a-b 2 a < a - b < a-b 2 b

即证 a + b 2 a <1< a + b 2 b

即证1+ b a <2<1+ a b

即 b a <1< a b 即证明 b a <1< a b .

∵a>b>0，∴ b a <1< a b 显然成立，所以原不等式成立.

四、放缩法

证A≥B可通过适当放大使得B≤B1≤B2≤…≤Bn≤A或缩小使得A≥A1≥A2≥…≥An≥B，借助多个中间量，利用不等式的传递性达到目的（从一端证到另一端）.注意：放缩应适当.

例4 求证：1+

1 2 + 1 3 +…+ 1 n > n （n∈ N *，n>1）.

证明 1+

1 2 + 1 3 +…+ 1 n > 1 n + 1 n +…+ 1 n = 1 n ·n= n .

五、利用函数性质（单调性、有界性）证明不等式

根据题目的特点恰当地构造一个函数，利用函数的单调性将不等式的证明转化为求函数值域或最值的问题.

例5 求证：- 2 ≤ 1-x - 1+x ≤ 2 .

证明 设f（x）= 1-x - 1+x ，其中-1≤x≤1，显然f（x）在[-1，1]为减函数.

∴f（1）≤f（x）≤f（-1），即- 2 ≤ 1-x - 1+x ≤ 2 .

六、构造二次函数

利用二次函数与二次方程的关系（判别式法）.

原理：ax2+bx+c>0（a≠0）

解集是 R Δ<0，a>0.

适合题型： ①可化成某一字母的二次式②字母的范围是 R

例6 三角形ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，x、y、z∈ R .

求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA

证明 设f（x）=（x2+y2+z2）-（2xycosC+2xzcosB+2yzcosA）

整理得f（x）=x2-（2ycosC+2zcosB）x+（y2+z2-2yzcosA）

此时可以把f（x）看作是关于x的二次函数.

1 4 Δ=（ycosC+zcosB）2-（y2+z2-2yzcosA）

=-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA

=-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC-2yzcos（B+C）

=-（ysinC-zsinB）2≤0

所以f（x）恒大于或等于0.

即x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.

七、换元法

1.三角换元

（1）“1”的代换：sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，csc2α-cot2α=1.

（2）变量有界弦函数换元，变量无界切函数换元.

2.代数换元

3.均值换元

注意：换元后新变量的变化范围必须确保原变量的变化范围不发生变化.

例7 已知a、b、c∈ R ，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥ 1 3 .

证明 （采用均值换元法）

设a= 1 3 +m，b= 1 3 +n，c= 1 3 +k，且m+n+k=0.

则a2+b2+c2=（ 1 3 +m）2+（ 1 3 +n）2+（ 1 3 +k）2

= 1 3 + 2 3 （m+n+k）+（m2+n2+k2）≥ 1 3 .

八、反证法

1.适合题型：含至多、至少等字样或正面证明无从入手.

2.注意：对结论的否定应全面不能遗漏.

例8 已知f（x）=x2+ax+b，求证：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于 1 2 .

证明 假设|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于 1 2 .

则|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|<2，而|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥

|f（1）-2f（2）+f（3）|=|1+a+b+9+3a+b-8-4a-2b|=2

与假设矛盾，所以假设不成立.

故|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于 1 2 .

九、构造图形证明不等式

寻求不等式的几何意义，构造恰当的几何图形证明不等式. 图1

例9 x、y、z∈（0，1），求证： x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

证明 构造等边三角形，三边长分别为1，如图1所示.设M、N、P分别为边AB、AC、BC上的点，且满足AM=x，NC=y，BP=z.且0

浅谈不等式的证明方法 篇12

对于两个量,我们比较它们之间的大小,证明一个量大于或者小于另一个量,这就是不等式证明的实质过程。下面归纳了一些不等式的证明方法。

1 数学归纳法

数学归纳法有很多表达形式,其中最基本和最常用的是第一数学归纳法和第二数学归纳法。

第一数学归纳法:设P(n)是一个(关于正整数n)的命题。如果:

P(1)成立;(2)设P(k)成立,可推出P(k+1)成立,那么P(n)对一切正整数都n成立.

第二数学归纳法:设P(n)是一个(关于正整数n)的命题。如果:

P(1)成立;(2)n燮k(k为任意正整数)时P(n)(1燮n燮k)成立,可推出P(k+1)成立,那么P(n)对一切正整数都n成立。

在遇到与正整数n有关的不等式时,往往可以想到采用数学归纳法去证明。下面举出对应实例:

证明:由平均不等式,得

下面证明对一切正整数n,有

因此(1)对一切正整数n成立,当然对2005也成立。

(2)假设n=k时,。

当n=k+1时,由相应函数是增函数,

因此,要证不等式成立,只要证

这已成立,所以n=k+1时,不等式也成立。

由(1)和(2)可知,对一切正整数n成立。

注意:本题在推证n=k+1时,引入了,与函数有效结合起来,这既是本题的难点,也是突破点,是要极其重视的地方。

2 比较法

一般情况下我们认为,比较法就是通过确定两个实数a与b的差或a与b商的符号或者是其符号的范围来确定a与b大小关系的方法。比较法写成公式的形式大致有如下两种:

若证A叟B,只要证A-B叟0即可;

若B>0,证A叟B,只要证叟1即可。

在用比较法时,我们经常需要对不等式进行一些适当的处理,比如作差、分解、拆项、合并等等方法的处理,这样才能使得用比较法证明不等式更加简便。

下面举出相对应的计算实例:

例2.1实数x、y、z满足,求证:。

证明:

注意:本题中常数4的变换,是通过拆分项再合并所得到的,因此需要学生有一定计算基础与观察的能力。

例2.2设a,b,c,求证:

证明:由于不等式是关于a,b,c对称的,不妨设,于是

3 换元法

我们知道,换元法在不等式的证明中也是很常见的方法之一,通过对不等式添加或者去掉某些元素,使原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量),从而更容易达到证明原有不等式的目的。

换元法一般可分为三角换元、整体换元等,下面举出对应的实例。

例3.1已知,证明:。

证明:已知(求证式中分母含a2,b2),

同样的题目,我们用整体换元法重新做一次。

例3.1已知a2+b2=1,证明:。

证明:设,把代入上述方程并简化得:,由

说明此种方法就是把a2+b2看作一个整体,设为t,换元后使方程变的简单。

4 放缩法

当直接证明不等式A叟B比较困难的情况出现时,我们可以试着去找一个中间量C,使得A叟C及C叟B成立,自然就有A叟B成立。那么我们就可以理解为“放缩”就是将A放大到C,再把C放大到B,反过来说也可以。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”。

例4.1设a,b,c,证明:

所以原不等式成立。

注意:在证明分式不等式的时候,通分只有在极其特殊的情况下才进行的,比较简便的一种思想就是“放缩”。

以上简单的归纳了几种证明不等式的方法,其他证明不等式的方法还有很多这里就不做详细的介绍了。

在解决不等式过程中,由于不等式的不同,证明的方法也各有不同。在证明不等式时,应注意多种证明方法的综合应用,绝不可以将某种证法看成是孤立的。

总之,解题有法,但无定法,遵循规律,因题择法,想要熟练掌握这些技巧,必须多实践,悟出规律。

参考文献

[1]张禾瑞,高等代数1997

[2]赵忠彦.用数学归纳法证明一类不等式的技巧[J].数学通讯2007