利用积分学证明不等式

利用积分学证明不等式（精选9篇）

利用积分学证明不等式 篇1

一、引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

由柯西中值定理知

因为f(t)单调减少,且f(1)>0,

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以

四、利用积分中值定理证明积分不等式

思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).

证:由Schwarz不等式

六、利用平均值不等式证明积分不等式

例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:

思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.

摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,1993:249-278.

[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.

[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.

[4]李晋明.大学生数学竞赛指南[M].北京:经济管理出版社,2011:107-131.

利用积分学证明不等式 篇2

毕业论文（设计）

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数

0.引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1)若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b，使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续；iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x.,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.ababfxMxa,xa，fxMbx,x,b22，故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0，0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0，1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx.例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x，x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式.分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy，aapxgxdxpygydy.aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知，D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号，于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0.即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是，bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a.2.一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx.1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式.此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向.定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向.例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx.证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx.证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立.2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立.证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有，a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb.2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx.证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx.结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献

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Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

微分学理论在不等式证明中的应用 篇3

关键词：不等式 单调 微分 凹凸性

中图分类号：O178 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（c）-0093-01

不等式是数学中基本而且应用广泛的一部分内容，为了使不等式用起来更方便准确，我们常常要证明相关的不等式的正确性。此时，就涉及到不等式的证明。不等式的证明方法有很多，针对不同的不等式我们应该采取相应不同的证明方法，来达到方便快捷的解决问题的目的。证明不等式时，通常先运用比较法、分析法、综合法和放缩法对问题进行初步分析，然后再采用其它恰当的方法来证明。同时还要注意数形结合、分类讨论等数学思想的灵活运用。本文主要探讨利用微分学理论证明不等式的几种方法，并给出实例加以说明。

1 利用函数单调性

函数的单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数的两个函数值的大小关系，进而抽象出该函数，然后再利用函数的单调性证明不等式。

理论基础：如在区间上连续，在内可微分，则在区间上单调递增（递减）的充分必要条件是.

例1：已知，试证.

分析：由于，所以不等式

等价于不等式. 和分别是函数在和处的函数值。因此，我们只要说明函数在上单调递减即可。

证明：令，，则在区间上连续，在内可微分，且：

.

由知故，因此在上单调递减。

于是当时，

，

即：.

2 利用微分中值定理

如果所证不等式含有与的形式，则这些不等式一般采用微分中值定理证明会比较简单。

例2：证明当时，

.

分析：由于不等式中含有与形式，所以可以考虑采用拉格朗日中值定理。

证明：令，则在区间上连续，在区间内可微分，根据拉格朗日中值定理，在开区间内存在一个，使得：

.

设：，则.由于，所以，说明在区间上单调递减。根据，得.在结合前式即得原不等式得证。

点评：采用微分中值定理来证明不等式时，首先应根据所证不等式抽象出应设辅助函数的形式，这容易从中看出，其次要根据所需验证所设函数在相应区间上满足微分中值定理的条件，进而结合放缩法证明不等式。

3 利用函数的极值或最值

在不等式的证明中，当所构造的函数不具有单调性时，常常可以考虑利用函数的极值或最值来证明不等式。

例3：设≤≤1，＞1证明不等式≤≤1.

证明：令，则在上二阶可导，且 ，

.

令，解得.又因为，所以：

.

根据极值第二充分条件，函数处取得极小值，且是函数在区间上唯一的极值点。又因为

，所以在上的最大值为1，最小值为.因此≤≤1.

点评：考察函数的最值时不应有所疏漏。

证明不等式的方法有很多，不同类型的不等式往往需要用不一样的方法来证明。因此，在证明不等式时，应根据不等式的结构特点、内在联系，结合所学知识结论选择适当的证明方法，从而正确简洁的给出证明。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版北京：高等教育出版社，2007.

微积分在不等式证明中的应用 篇4

1、利用单调性证明不等式

利用函数单调性来证明不等式时, 往往要引入适当的辅助函数将不等式问题转化成比较两个函数值的大小, 若要比较两个函数值大小, 只要将不等式两边的式子相减或相除就可以得到所需的辅助函数;另外不能忘了端点值。当遇到一阶求导无法判断符号时可用二阶导数来判断函数的符号。

2、利用微分中值定理证明不等式

中值定理特别是拉格郎日中值定理和柯西中值定理在不等式的证明中有着极其重要作用。通过对不等式结构的分析。构造某特定区间的函数, 满足定理的条件, 达到证明的目的。

要点:根据题目给定的不等式, 选定一个适当的辅助函数和区间;当函数在区间上满足中值定理的条件, 利用中值公式;利用得到的公式结合条件, 对公式进行适当变化, 得到所证不等式。

3、利用泰勒公式证明不等式

利用泰勒中值定理证明不等式 (尤其是某些含抽象函数的不等式) 比较困难, 无从人手, 思维受阻。探究其原因:一是泰勒中值定理的内容本身难理解;二是用此法证明不等式对泰勒公式中展开点。的选取很有讲究, 需要因势而变。然而, 利用泰勒中值定理证明某些含抽象函数的不等式, 其优势是其他方法无可替代的。那么能否找到一个有效的方法和技巧来掌握泰勒公式中展开点x0的选取呢?

要点:当条件或不等式中出现高阶导数时, 就可考虑用泰勒公式来证明。选区问中点展开是较常见的一种情况, 然后在泰勒公式中取x为适当的值, 通过两式相加, 并对某些项进行放缩, 便可将多余的项去掉而得所要的不等式;当条件中出现, 而欲证式中出现时, 展开点常选为区间两端点a, b, 然后在泰勒公式中取x为适当的值, 消去多余的项, 可得待证的不等式。

4、利用求最值的方法证明不等式

要点:当给定的不等式是具体的函数, 且又给出自变量的变化范围, 欲证明它大于或小于等于某个定数, 这时往往用最值证明比较简单。利用最值证明的思路是:若函数f (x) 在区间上有最大值M与最小值m, 则在区间上有m≤f (x) ≤M, 由此获得不等式。

5、利用凸函数的定义证明不等式

函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态, 把握函数在区间上的整体性态, 不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象, 而且有助于对函数的定性分析。凸函数是一类重要的函数, 在不等式的研究中尤为重要, 而研究不等式最终归结为研究函数的特性。

对于凹函数有对偶结论, 只要将函数值的不等式反向即可。利用函数的凹凸性可以证明一些不等式, 特别是含有两个或两个以上变元的,

6、利用单调极限证明不等式

7、利用变限积分证明不等式

8、利用几个著名的不等式证明不等式

要点:利用Cauchy不等式、Schwarz不等式、H·lder不等式、Minkowski不等式、Young不等式及平均值不等式等。

9、利用定积分的定义证明不等式

利用定积分证明了一些特殊的“和式不等式”。定积分的实际背景之一是求曲边梯形的面积, 根据“和式不等式”的特征巧妙构造函数, 将和式转化为小矩形面积之和, 进而与所构造函数的定积分比较, 得到不等式, 对不等式的证明起到了事半功倍的作用。

要点:主要是利用定积分的定义, 通过将闭区间[a, b]分割、求和并求当时和的极限, 比较积分大小则可通过比较和的极限来实现。

以上我们讨论了利用微积分的知识证明不等式的一些常用方法, 除了上述方法外, 在微积分中还可以利用积分的知识、辅助函数、导数的定义、极限的保序性、柯西不等式、上凹函数积分法等方法证明不等式, 解题时只要充分地展开想象, 打开思路, 选择晗当的证明方法, 问题便可迎刃而解。

摘要：不等式证明是数学学习中的一个难点。在不等式的许多证法中, 往往需要较高的技巧。利用微积分的思想证明不等式, 可使不等式的证明过程大大简化, 技巧性降低。本文主要探讨的是运用微积分的知识证明不等式的基本方法。

关键词：不等式,证明,中值定理,泰勒公式

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学 (六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001

[3]复旦大学数学系.数学分析[M], 2版.北京:高等教育出版社, 1983

利用概率方法巧妙证明不等式 篇5

利用概率方法巧妙证明不等式

作者：成春华

来源：《考试周刊》2013年第64期

摘 要： 本文利用概率方法的简单性质证明某些不等式，旨在把概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力，显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性，体现出数学的统一性.关键词： 不等式 概率方法 概率模型

概率论是研究随机现象规律的数学分支，它有自己独特的概念、定理、性质、公式和结论，形成一套完整的数学体系.一般将用概率论的相关知识解决问题的方法统称为概率方法.无论在初等数学还是在高等数学中，不等式的证明始终是难点.如果考虑将一些不等式，特别是那些变量在0和1之间取值的不等式，可以将这些变量建模成某些事件的概率，这样就可以把不等式问题转化成概率问题.用概率论方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以将概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力.本文主要利用事件发生的概率取值范围，互斥事件与独立事件同时发生的概率性质，以及概率公式等概率论中最基础最基本的知识，为不等式的证明提供一种新的思路.这些最基础的知识在证明某些不等式时能发挥不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，不需再为不等式如何变形而冥思苦想、绞尽脑汁.下面举例说明概率论方法在一些不等式中的应用，为证明不等式提供一种新的思路.参考文献：

利用积分学证明不等式 篇6

【关键词】不等式 中值定理 单调性 驻点

证明： 。

证明方法一：（利用罗尔定理）令

顯然 在 上连续， 内可导，且有 ，

由罗尔定理可知

取 ，则有 ，

所以当 则有 即 ；

同理取 ，则有下列等式 ，

当 时，则有 ，即 ，即 ；

当 时， ，

综上所述，当 时，有 恒成立。

证明方法二：（利用拉格朗日中值定理）设函数 ，

令 ，得驻点 ，

显然当 时，有 ；

当 时，有 。

我们先考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 ，即 。

证明方法三：（利用柯西中值定理）取定函数 ， ， ，设 ，

显然 ， 在 上连续， 内可导，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又设 ，显然 ， 在 上连续， 内可导，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 。

证明方法四：（利用函数单调性判别法）设函数 ，驻点 ，显然 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调增加，即有 ；

同理 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调减少，即有 ；又已知 ，

微积分在不等式证明上的应用分析 篇7

不等式的证明,在数学分析中经常出现,不等式的种类繁多,解法千变万化,做不等式的题能够培养学生对数、式的感觉,培养灵活的思维. 不等式的证法很多,其中最重要、 最常见的方法就是将式子变形. 首先,是“恒等”变形,如通分、合并同类项等,也包括在不等式两边同乘一个正数或正的式子以及移项等,恒等变形用得很多,必须熟练,不可出错. 其次,但不是次要的,是“不等的”变形,即将某一边增大或减小. 含微积分的不等式的常见证明方法是导数方法,即将欲证不等式中所包含的微积分上限字母换成并( 如果包含的微积分多于一个,则选择其中一个,将其上限字母换成x) ,同时将该不等式中与此相同的字母都换成x,得到一个函数不等式,然后用导数方法证明这个函数不等式成立,由此即证得欲证的不等式.

1. 不等式的类型与证明思路

不等式主要有两大类,即函数不等式与参数不等式( 包括单参数和双参数不等式以定积分不等式) ( 定积分的上、 下限可视为两个参数) ,其证明方法主要有:

( 1) 利用单调性证之; ( 2) 利用微分中值定理( 一般是用拉格朗日中值定理) ,或极值、最值,或曲线的凹凸性证之. 利用单调性证明不等式主要针对函数不等式,对于参数不等式,可将其中的参数( 如果有多个参数,选择其中之一) 写成变量x,即把参数不等式转化为函数不等式,再利用单调性证之,所以利用单调性证明不等式的方法具有一般性.

已知被积函数连续且单调的积分不等式的解题思路为: ( 1) 构造辅助函数F( x) ( 构造辅助函数的一般方法: 先将所证不等式中的定积分的上限换成x,不等式中相应的字母也换成x,再移项使不等式的一端为零,则另一端的表达式即为所构造的辅助函数) . ( 2) 用单调性判定定理判定F( x) 的单调性. ( 3) 求辅助函数在积分区间某个端点的函数值,从而推出所证不等式.

不等式是变量之间很重要的一种联系,证明不等式的方法,人们已经做了不少探索,不少文章和专著做了这方面的汇聚和总结工作. 不过对于初步具有微积分知识的学生, 读后难免有“阳春白雪”之感,通过归纳、总结高等数学中证明不等式的常用方法,帮助初学者掌握有关的证明方法和技巧. 证明不等式常用的方法有比较法( 差值比较与正数的商值比较) 、分析法、综合法、变量替换法、判别式法、反证法、微积法、数学归纳法.

2. 微积分的中值定理

3. 微积分在不等式证明中辅助函数的应用

不等式与方程的根的命题之证明是学习高等数学经常遇到的两个问题,在证明这两个命题过程中,经常会利用下面一些基本知识: 闭区间上连续函数的性质,微分中值定理,函数的单调性,极值、最值、凹凸性的判别法等,在微积分问题中,有较广泛的一类不等式是通过作辅助函数并对其求导来证明的,用此方法证明不等式f( x) ≥g( x) ( a≤ x≤b) 的一般步骤是[15]:

( 1) 作辅助函数F( x) = f( x) - g( x) ; 原不等式等价于证明F( x) 在[a,b]上的最大值大于等于零.

( 2) 求F'( x) ; 确定F'( x) 在所考虑区间上的符号,从而确定F( x) 在所考虑区间上的增减性、极值或最值性.

但若F'( x) 符号直接不能确定时,需求F″( x) ; 若F″( x) 符号还是不能确定时,需再求F( 3)( x) ,…. 所以,对辅助函数可视不等式的特点作适当变更.

例2证明: 当x > 0时,( x2- 1) lnx≥( x - 1)2( 1999年考研题)

分析若令F( x) = ( x2- 1 ) lnx - ( x - 1)2,则需对F( x) 求三阶导数符号才能完全确定,观察不等式知

从而有

4. 结论

利用积分学证明不等式 篇8

关键词：微分学,不等式证明,思路,技巧

不等式证明是微分学中的一个常见问题, 是微分学中的重点和难点, 在各类考试中经常出现。而不等式证明历来是学生最感到困惑的问题之一。由于微分学中涉及能够证明不等式的方法很多, 所以, 如何准确、快捷地选择恰当的证明方法往往成为同学们关注的问题。

本人结合教学实践, 归纳了微分学中常见的不等式证明的常用证法、相关思路及技巧, 以帮助学生熟练掌握不等式证明的常用方法, 以期对学生准确、快捷地证明不等式, 提供正确的辨析和解题指导。

一、微分学中不等式证明的思路与技巧

(一) 中值定理法

1) 思路。这里的中值定理通常指的是中值定理。我们通常利用中值定理的结论将不等式中较复杂的函数 (或表达式) 换成较简单的函数而进行函数大小的比较。

2) 技巧。这里使用lagrange中值定理的关键是函数和区间的确定。我们通常利用观察法来确定这两个要素, 在例1中, 由于1n (b/a) 较复杂, 故选取函数f (x) =1nx;另外注意到1n (b/a) =1n (b/a) -1n1, 故取定了区间[1, b/a]。

(二) 利用函数的单调性

1) 思路。其主要思想是将不等式进行等价变形, 通过构造辅助函数, 借助于所构造函数的单调性, 达到证明的目的。

例2:已知x>0, 求证:1n (1+x)

分析:将不等式移项, 构造函数f (x) =1n (1+x) -x, 由于f (0) =0, 只须证明f (x) 在[0, +∞]为减函数, 即得结论。证明过程略。

例3:设b>a>0, 证明:1n (b/a) >a+b2 (b-a) 。

证明:令f (x) = (1nx-1na) (a+x) -2 (x-a) , 显然f (a) =0。以下证函数f (x) 在[a, +∞]为单调增函数。

2) 技巧。利用函数单调性证明不等式的关键在于构造函数。常用的构造方法如下:对所要证明的不等式进行移项, 将不等式右端变为零, 构造左端部分为f (x) , 如例1。但我们要注意到采取这种构造方法证明例3时, 经移项之后, 不等式左端的函数关系无法确定, 从而无法证明。以例3为例, 遇到这种到情况 (不等式中没有出现自变量x) , 通常采取以下的函数构造方法:将不等式移项后变形为最简单的表达形式, 得 (1nb-1na) (a+b) -2 (b-a) >0, 将其中的某一个常量换为自变量x, 构造函数f (x) = (1nx-1na) (a+x) -2 (x-a) 。按照此方法, 例3也可构造函数为f (x) = (1nb-1nx) (x+b) -2 (b-x) , 通过证明该函数 (0, b) 在单调增加, 最终得到证明。

(三) 利用函数的凹凸性

1) 思路。利用函数的凹凸性证明不等式的关键是通过构造辅助函数, 借助于所构造函数的凹凸性, 达到证明的目的。

2) 技巧。若遇到所证明不等式中出现有x, y两个变量及x2+y的表达式时, 该题往往需要使用函数的凹凸性进行证明, 可按以下步骤:第一步, 观察各项的共同特征, 构造函数F (t) ;第二步, 利用定理:若在 (a, b) 内, F'' (t) >0, 则F (t) 在 (a, b) 是凹的;若在 (a, b) 内, F'' (t) <0, 则F (t) 在 (a, b) 是凸的。说明函数的凹凸性;第三步, 借助函数凹凸性的定义, 取定义中任意的x1和x2分别为x和y, 即得证不等式。

(四) 利用泰勒公式

1) 思路。泰勒展开式证明不等式, 常用的是将函数f (x) 在所给区间端点或一些特定点 (如区间的中点, 零点) 展开, 通过分析余项在ξ点的性质, 而得出不等式。

证明:所讨论的不等式等价于。求函数ln (1+x) 与ln (1-x) 的泰勒展开式得

2) 技巧。应用泰勒公式的关键是确定在哪一点以及关于哪一点求函数的展开式, 进而通过对余项的估计来推出所证明的不等式。

二、结语

不等式证明是微分学学习中的一个重点内容, 因而, 在诸多证明不等式的方法中, 准确、快捷地选取恰当的证法显得尤为重要。以上对不等式证明中常用的方法进行了归纳梳理、比较分析。在微分学的学习与应试中, 务必要因题而宜, 明悉观察, 抓主要特点, 以便恰当地选用证明方法, 准确、快捷地解决问题。

参考文献

[1]谢明文.微积分教程 (第四版) [M].成都:西南财经大学出版社, 2005.

利用凸函数性质巧证积分不等式 篇9

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.