定积分不等式

定积分不等式（共12篇）

定积分不等式 篇1

1. 换元法

( 1) 由两端被积函数的中间变量确定变量代换,所证定积分等式两端积分限相同,被积函数或所含抽象函数相同,但其变量不同

例1设f( x) 连续, 且常数a > 0, 证明:

( 2) 两积分区间不同,且有包含关系

例2设f( x) 是区间[- 1,1]上连续的偶函数,证明:

右端后三个积分限与右端第一个积分限比较易知,对它们分别作变量替换:

2. 分部积分法

当被积函数中含有f'( x) 或变限积分时,通常采用分部积分法.

例3若f( x) 是连续函数,则

3. 构造辅助函数

适用于在积分限中至少存在一点ξ或x0,使等式成立,基本思路是利用介值定理或中值定理,根据问题需要构造辅助函数.

例4设f( x) ,g( x) 在[a,b]上连续,证明至少存在一个ξ∈ ( a,b) ,使得

证明令F( x) = ∫af( t) dt∫xg( t) dt,由于f( x) ,g( x) 在[a,b]上连续,则F( x) 在 [a,b]上连续,在( a,b) 内可导,且F( a) = F( b) = 0. 由罗尔定理ξ∈ ( a,b) ,

定积分不等式 篇2

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

定积分热点探究 篇3

求定积分

例1 由直线[x=-π3，x=π3，y=0]与曲线[y=cosx]所围成的封闭图形的面积为（ ）

A.[12] B.1 C.[32] D.[3]

分析 找出[f（x）=cosx]的原函数为[F（x）=sinx]，从而解题.

解法一 由定积分知识可得，

[S=-π3π3cosxdx=sinx|π3-π3=32-（-32）=3].

解法二 余弦函数是偶函数，根据对称性得，

[S=20π3cosxdx=2sinx|π30=3].

答案 D

点拨 应用奇偶函数的对称性可以简化运算.

变式1 求[02|x2-1|dx].

分析 [y=|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1]是分段函数，各段分别积分再求和.

解析 [∵0≤x≤2，∴|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1.]

[∴02|x2-1|dx=01（1-x2）dx+12（x2-1）dx]

[=（x-13x3）|10+（13x3-x）|21=2.]

点拨 与绝对值有关的函数均可化为分段函数.分段函数在区间[[a，b]]上的积分可分成几段积分的和的形式.

变式2 计算下列定积分：

（1） [121x2+2xdx]; （2）[π20sin2x2dx].

分析 （1）只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差;（2）我们要直接求[sin2x2]的原函数比较困难，但我们可以将[sin2x2]先变形为[1-cosx2=12-12cosx]，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果.

解 （1）[121x2+2xdx][=12121x-1x+2dx]

[=12lnx21-ln（x+2）21=12（ln3-ln2）.]

（2） [π20sin2x2dx=π201-cosx2dx]

[=π2012dx-12π20cosxdx=12x|π20-12sinx|π20]

[=π4-12.]

点拨 本题第（1）问由[121x2+2xdx]想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.

求平面图形的面积的

求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形;（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限;（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置;（4）写出平面图形面积的定积分的表达式;（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

例2 求[y2=x]与[x-2y-3=0]所围图形的面积.

解法一 先求出抛物线与直线的交点[P（1，-1）]与[Q（9，3）]，如图把所求面积的平面图形分成[S1，S2]两部分，分别求得它们的面积.

[A1=01[x-（-x）]dx]=2[01xdx]=[43].

[A2=19（x-x-32）dx=283].

所以[S=43+][283][=1023].

解法二 本题也可把抛物线与直线方程写成[x=y2=g1（y），x=2y+3=g2（y）]， 应用公式对[y]求积分可得，

[S=-13[g2（y）-g1（y）]dy][=-13[（2y+3）-y2]dy][=1023].

点拨 求解时要灵活选择坐标系，积分变量. 由图形特点，适当选取积分变量对计算有很大影响，显然上述解法二简洁.

例3 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导 函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，P为图象与[y]轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.

（1）若[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]），则[ω=] ;

（2）若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为 .

分析 根据定积分知识求出曲边图形的面积，注意复合函数求导问题.

解 （1）[y=f（x）][=ωcos（ωx+φ）]，当[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]）时， [ωcosπ6=332，∴ω=3].

（2）由图知，[AC=T2=2πω2=πω，][S△ABC=12AC?ω=π2.]

设[A，B]的横坐标分别为[a，b]，

曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域的面积为[S].

[S=abf（x）dx=f（x）ba=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2.]

由几何概型知，该点在[△ABC]内的概率为

[P=S△ABCS=π22=π4].

点拨 本题考查三角函数的图象与性质、几何概型等. （1）利用点[P]在图象上求[ω]，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

例4 在区间[0，1]上给定曲线[y=x2]，试在此区间内确定点[t]的值，使图中的阴影部分的面积[S1]与[S2]之和最小，并求最小值.

分析 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值.

解 [S1]的面积等于边长为[t]，[t2]的矩形面积去掉曲线[y=x2]与[x]轴、直线[x=t]所围成的面积，即[S1=t?t2-0tx2dx=23t3].

[S2]的面积等于曲线[y=x2]与[x]轴，[x=t，x=1]围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为[t2]，[1-t]，即[S2=t1x2dx-t2?（1-t）=23t3-t2+13].

所以阴影部分面积[S=S1+S2=43t3-t2+13（0≤t≤1）.]

令[S=4t2-2t=4t（t-12）（0≤t≤1）]，

[S=4t（t-12）=0，则t=0或t=12].

[t=0时，S=13;t=12时，S=14;t=1时，S=23].

所以当[t=12]时，[S]最小，且最小值为[14].

点拨 本题先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于定积分的题境中.

超越函数定积分的积分方法 篇4

特别D是矩形区域[α, b, c, d], 则有

利用引理可以得到的主要结果是:

超越函数定积分的积分方法一:把超越函数定积分I看作是某个参变量y的函数, 记为I (y) , 利用微分运算可通过积分号的引理1, 先微分, 再积分, 最后确定I。

超越函数定积分的积分方法二:把超越函数定积分转化为二元函数的二重积分, 利用二重积分顺序可交换的引理2, 恰当选择积分顺序, 从而得到超越函数定积分的计算。

于是有I (y) =ln (1+y) +c, 令y=α, 于是有

I (α) =ln (1+α) +c=0, c=-ln (1+α) , 从而得到

利用超越函数定积分的积分方法二:

摘要：本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 研究超越函数定积分的两种积分方法。

关键词：初等函数,超越函数,定积分,二重积分

参考文献

[1]复旦大学数学系主编.数学分析.上海:科技出版社.1964年

[2]徐利治, 王兴华编.数学分析的方法及例题选讲 (修订版) .北京:高等教育出版社.1984年

一类积分不等式的推广及其应用 篇5

本文讨论了一类新的关于两个无关变元积分不等式,所得结论是Pachpatte型的`积分不等式的自然推广,并把主要结果应用于偏微分方程的定性理论中.

作 者：康国莲  作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院系统所,北京,100080 刊 名：工程数学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS 年，卷(期)： 21(5) 分类号：O175 关键词：积分不等式   两个无关变元   不减  

定积分的课堂探究 篇6

【关键词】 定积分概念 基本定理 方法技巧

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、如何理解定积分的概念？

（1）“∫”叫作积分号，a与b分别叫作积分下限和积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，函数f（x）叫作被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫被积式。

（2）定积分的含义：定积分∫abf（x）dx是一种特定形式的和式

的极限，即∫abf（x）dx表示当n ∞时，和式 所趋近的定值.

（3）定积分∫abf（x）dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母无关。

二、如何用定积分的定义求定积分？

用定积分的定义求定积分的一半步骤为：分割、近似代替、求和、取极限，要借助求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的问题去体会定积分的基本思想.求解时要注意以下技巧：（1）要均分积分区间；（2）每个小区间上的函数f（x）的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替；（3）熟记以下结论：①1+2+3……+n=■，②12+22+32……+n2=■，③13+23+33……+n3=■n2（n+1）2.

三、微积分基本定理的作用有哪些？

（1）微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的联系，提供了计算定积分的有效方法.应用微积分基本定理计算定积分要注意：一要正确选择被积函数，二要注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F（b）-F（a）.

（2）利用微积分基本定理计算定积分∫abf（x）dx的关键是找F'（x）=f（x）满足的函数F（x），通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）.

（3）求导数运算与求原函数运算互为逆运算.在微积分基本定理中，函数F（x）叫做函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数。因为所以也是函数f（x）的原函数。

（4）微积分定理实际上给出了微分和积分之间的联系，在解决含有参数的定积分问题时，往往要对字母参数进行讨论，有时解决这类问题要与其它知识联系起来，综合解决.

（5）在物理上应用微积分定理可以求变速直线运动的物体所经过的路程、变力做功问题等。作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v（t）[v（t）≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即S=∫abv（t）dt作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解.所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可；一物体在恒力F（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），那么F力所做的功W=Fs为如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a

（6）解决定积分实际应用问题的关键是将问题划归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。对于变化率为不定量的求和问题通常都通过转化到定积分上进行求解的.注意模型的合理构建是做此类题的关键。

四、求定积分的方法与技巧有哪些？

求定积分的基本方法有：（1）定义法；（2）利用微积分基本定理；（3）利用定积分的几何意义.常用的方法是（2）和（3），在定积分的计算中，除了注意灵活选择计算方法外，还要注意技巧的使用.技巧的注意点：（1）利用被积函数的奇偶性；（2）对被积函数进行适当的变形或化简；（3）灵活选取积分变量。

五、利用定积分解决实际问题应注意什么？

解决定积分实际应用问题的关键是将实际问题化归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。应用导数与积分求面积时有时会遇到所求面积是某一变量的函数，这时需要注意积分的上、下限与变量的关系。

六、如何利用定积分求平面图形的面积？

微积分基本定理使我们得到了求定积分的一般方法，定积分的几何意义为我们提供了用定积分求平面图形面积的理论依据。因此，要明确定积分的几何意义，借助图形的直观作用加深对微积分基本定理的理解，对求平面图形的面积形成一个完整的认识，并利用数形结合的方法来确定被积函数和积分的上、下限。具体步骤为：

（1）在平面直角坐标系中画出曲线或直线；

（2）解方程组求出交点坐标，从而确定积分的上、下限；

（3）确定被积函数，特别要注意被积函数的性质；

（4）写出所围成平面图形的定积分表达式；

积分不等式的证明方法 篇7

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

由柯西中值定理知

因为f(t)单调减少,且f(1)>0,

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以

四、利用积分中值定理证明积分不等式

思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).

证:由Schwarz不等式

六、利用平均值不等式证明积分不等式

例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:

思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.

摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,1993:249-278.

[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.

[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.

定积分的应用研究 篇8

1 求平面图形的面积

由定积分的几何意义可知, 由曲线y≥f (x) (f (x) ≥0) 及直线x=a, x=b (a

用微元分析法可以求一些平面图形的面积。常见的类型有两种:

(1) (x-型) :由曲线y=f (x) , y=g (x) (f (x) ≥g (x) ) , 直线x=a, x=b (a

(2) (y-型) :由曲线xφ (y) , x=ψ (y) (φ (y) ≥ψ (y) ) , 直线y=c, y=d (c

例1 计算由两条曲线 和 所围成的平面图形的面积。

解 求两曲线的交点, 即解方程组

得交点为 (0, 0) (1, 1) .作出其平面图形 (如图2) .可得面积S为

undefined

例2 计算由直线x=1, x=5和x轴及曲线y=x2-4所围成的平面图形的面积。

解 作出平面图形 (如图3) .可得面积S为

2 求旋转体的体积

由连续曲线y=f (x) (不妨设f (x) ≥0) , 直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的立体称为旋转体。如图4所示。仿照求曲边梯形面积的方法, 可以求出旋转体的体积V.

用垂直于 轴的平面截旋转体, 所得截面是一个圆, 其面积为

S (x) =πy2=πf2 (x)

在小区间[x, x+△x]上对应的一小立体薄片之体积, 可近似地看成是以S (x) 为底, 为高的小圆柱体的体积 , 即

V≈S (x) △x

即 dV=S (x) dx=πf2 (x) dx

为体积元素。故所求旋转体的体积为

Vx=ʃabdV=πpʃabf2 (x) dx

同理可得由连续曲线x=φ (y) (φ (y) ≥0) , 直线y=c, y=d及y轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的旋转体

(如图5) 的体积Vy为

Vy=πʃcdφ2 (y) dy.

例3 求椭圆undefined分别绕x轴与y轴旋转而得的旋转体的体积 (如图6) .

解 (1) 求Vx

由椭圆的方程undefined得undefined

上半椭圆绕 轴旋转与下半椭圆绕 轴旋转所得的结果相同, 故绕 轴旋转的旋转体的体积为

(2) 同理得椭圆绕y轴旋转而得的旋转体的体积为

特别, 若a=b=R, 可得球的体积公式为undefined

3 定积分在经济中的应用

在经济管理中, 由边际函数求总函数, 一般采用不定积分来解决, 或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量, 则采用定积分来解决。

例4 已知某产品总产量的变化率为

Qt (t) =40+12t (件/天)

求从第5天到第10天产品的总产量。

解 所求的总产量为

Q=ʃ510Qt (t) dt=ʃ510 (40+12t) dt= (40t+6t2) |510= (400+600) - (200+150) (件)

例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x, 其固定成本为C0=1000元, 产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。

解 总成本函数为

C (x) =ʃ0x (100+2t) dt+C (0) =100x+x2+100

总收益函数为 R (x) =500x

总利润 L (x) =R (x) -C (x) =400x-x2-1000

L′=400-2x

令L′=0, 得x=200

因为 L″ (200) <0

所以, 生产量为200单位时, 利润最大。最大利润为

L (200) =400×200-2002-1000=39000 (元) 。

参考文献

[1]聂洪珍, 朱玉芳.高等数学 (一) 微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社, 2003, (6) .

[2]王杏云.一元微积分在经济学中的意义和应用[J].西藏大学学报, 2006, (9) .

定积分应用的教法探索 篇9

例1应用微元法求半径为R的圆的面积.

解如图1, 设圆的面积为A, 则:

例2应用微元法求半径为R的球体体积.

解由旋转体的体积公式, 设球的体积为V, 垂直于x轴的截面是半径为y的圆, 则:

例3应用微元法求半径为R的球体表面积.

解由旋转曲面的侧面积公式, 设球的表面积为A, 则:

通过以上三例的拓展, 圆环面积、扇形面积、弓形面积、球缺体积、球面体积的计算问题都可得以解决.

摘要：本文针对高职院校五年制学生普通课基础较差, 学习高等应用数学的难度较大, 不易理解, 运用形象直观的实例进行教学, 收效明显.

定积分的常见应用归纳 篇10

例1 求由抛物线y=x2与直线x=1, x=2及x轴围城的图形的面积.

S=∫undefinedundefined

2.定积分可计算平行截面面积为已知的立体体积的问题

例2 求底面半径为r, 高为h的正圆锥的体积.

V=∫undefinedundefined

3.定积分可计算平面曲线的弧长问题

例3 两根电线杆之间的电线, 由于自身重量而下垂, 方程为undefined, 求x∈[-a, a]的弧长.

l=∫undefinedundefined

4.定积分可计算旋转体的体积问题

例4 求由曲线y=x2与y2=x所围城的平面图形绕x轴旋转所成的体积.

V=π∫undefined (yundefined-yundefined) dx=π∫undefinedundefined

5.定积分可计算引力的问题

例5 设有一均匀细杆, 长为l, 质量为M, 另有一质量为m的质点位于细杆所在的直线上, 且到杆的近端距离为a, 求细杆对质点的引力.

undefined∫undefinedundefined

6.定积分可计算变力做功的问题

例6 已知弹簧每拉长0.01 m, 要用5 N的力, 求把弹簧拉长0.1 m所做的功.

W=∫undefinedundefined

7.定积分可计算液体的压力问题

例7 设一水平放置的水管, 其断面是直径为6 m的圆, 求当水半满, 水管一端的竖立阀门上所受的压力.

P=∫undefinedundefined

8.定积分可计算转动惯量的问题

例8 一均匀细杆长为l, 质量为M, 试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的轴的转动惯量.

I=undefinedundefined

9.定积分可计算交流电路的平均功率问题

例9 正弦交流电的电流为I=I0sint, I0是电流的极大值, 称为峰值, ω是圆周率, 周期为undefined, 试计算正弦交流电的平均功率.

undefinedundefinedIundefinedRsin2ωtdt

undefinedundefinedsin2ωtd (ωt)

≈ (0.707I0) 2R.

10.定积分可计算静力矩与质心坐标的问题

例10 求半径为r的均匀半圆盘的质心坐标.

undefinedundefinedundefined

∴半圆盘的质心坐标为undefined

11.定积分可计算平均值的问题

例11 计算函数f (x) =1+x2在[-1, 2]上的平均值.

undefined∫undefinedundefined

12.定积分可解决经济学上的问题

例12 已知商场销售一商品的边际收入为R′ (x) =6x (元/kg) , 边际成本为undefined (元/kg) , 又固定成本c0=2000, 求总成本函数、总收入函数及总利润函数.

c (x) =∫undefinedc′ (x) dx+c (0)

undefined

∫undefinedR′ (x) dx+R (0) =∫undefined

定积分的几例证明 篇11

【关键词】积分中值定理 换元法 不等式的传递性 绝对值不等式 柯西不等式

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）07-0241-02

定积分是高等数学的重要内容，掌握好定积分是高等数学的学习基础，其中一项重要内容就是定积分的证明。定积分的证明方法多种多样，难以穷举。在这里姑且用积分中值定理、柯西不等式、绝对值不等式及换元法对有关等式及不等式的证明作一下简单说明，有些地方对一般同学可能出现的误区做出了修正和规避，而且尽可能的选用最简单有效的方法进行说明，希望对大家能够有所启发。

关于定积分的习题浩如烟海，此处只是取沧海之一粟，九牛之一毛，希望以上的方法能给有兴趣者一丝裨益，则吾愿足矣

参考文献：

[1]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003.

[2]陈文灯，黄先开，曹先兵.2007考研数学复习指南[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2006.

利用凸函数性质巧证积分不等式 篇12

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.