均值不等式的灵活应用

均值不等式的灵活应用（通用9篇）

均值不等式的灵活应用 篇1

均值不等式是重要的数学公式, 它在求最值、比较量的大小、证明不等式等方面有着举足轻重的作用, 巧妙利用均值不等式往往可以获得比较理想的解题方法。

一、均值不等式在最值问题中的应用

函数的最值与极值问题是数学研究中的重要问题, 在数学研究中处于重要地位, 应用均值不等式可以巧妙求解。

例1:若undefined, 求y=x (5-2x) 2的最大值。

解:把x (5-2x) 2变成三正数之积, 且三数之和为常数, 因为

undefined

且undefined, 所以

undefined

即undefined, 当且仅当4x=5-2x, 即undefined时, y有最大值, 最大值为undefined。

由此可看出, 应用均值不等式求最值问题时需要具备以下三个条件:

(1) a1, a2, …, an均为正数;

(2) 这n个数的积或和为定值, 以保证不等式的一端为常数;

(3) n个数相等 (使不等式等号有成立的可能) 。

此三个条件可简记为“一正, 二定, 三相等”。

使用均值不等式求最值的约束条件非常严格, 只有同时具备“一正, 二定, 三相等”这三个条件, 才能求出最值, 而要同时具备这三个条件, 则需要较高的变形技巧, 构造出取得最值的条件。

例2:已知x, y, a, b均为正数, 且undefined, 求x+y的最小值。

解:因为undefined, 所以设undefined, 则

当且仅当undefined时, x+y有最小值, 最小值为undefined

由以上2个例题可总结出运用均值不等式求最值的解题技巧:求和的最小值时, 应通过恒等变形凑成积为常数;求积的最大值时, 应通过恒等变形凑成和为常数。如果不能直接应用均值不等式, 那么要适当作恒等变形转化为符合条件后再应用。

二、均值不等式在几何中的应用

例3:在直角坐标系内x轴上有两点M、N, 已知undefined, 求undefined的最小值。

解:令M (x1, 0) , N (x2, 0) , 则

undefined

因为undefined, 即undefined, 所以x1与x2异号, 不妨设x2>0, x1<0, 根据均值不等式, 有

undefined

从而undefined, 即undefined的最小值为undefined

例4:证明在周长一定的矩形中, 以正方形的面积为最大。

证明:设矩形的周长为定值P, 它的边长分别为x和y, 面积为S, 则

2 (x+y) =P, S=xy

即undefined

由均值不等式, 得undefined, 从而undefined, 即面积S不会大于undefined, 只有在x=y时, 面积才等于undefined, 这也就证明了在周长一定的矩形中, 以正方形面积为最大。

三、均值不等式在实际生活中的应用

在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决。

例5:利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地, 问如何围才能使围成的场地面积最大?

解:设围墙的邻边长为x米, 则围墙对边长为 (100-2x) 米, 那么所围场地面积为

undefined

当且仅当2x=100-2x, 即x=25米时, 围成的面积最大, 最大值为1250平方米。

四、均值不等式在比较大小问题中的应用

比较大小问题是高中数学中常见的问题, 准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键。

例6:若undefined, 试判断P, Q, R之间的大小关系。

解:由均值不等式, 得

undefined

由于a>b, a≠b, 所以不能取等号, 即R>Q>P

五、均值不等式在不等式证明中的应用

例7:已知a, b, c是不全相等的正数, 求证:

a (b2+c2) +b (a2+c2) +c (a2+b2) >6abc

证明:因为a, b, c都是正数, 所以有

b2+c2≥2bc, a (b2+c2) ≥2abc

同理可得

b (a2+c2) ≥2abc, c (a2+b2) ≥2abc

又因为a, b, c不全相等, 所以三个式子不能全取等号, 于是

a (b2+c2) +b (a2+c2) +c (a2+b2) >6abc

六、均值不等式在高等数学中的应用

高等数学中的许多重要概念都是用不等式来刻画的, 这就决定了不等式运算是高等数学中最基本的运算之一。

1.极限问题

例8:求极限undefined

解:由均值不等式, 得

undefined

从而undefined, 故undefined

2.积分问题

例9:设f (x) 在[0, 1]上非负连续, 证明:e∫10lnf (x) dx≤∫10f (x) dx

证明:由题设知f (x) , lnf (x) 在[0, 1]上可积, 将[0, 1]n等分, 于是

undefined

所以

undefined

由均值不等式得

undefined

即e∫10lnf (x) dx≤∫undefinedf (x) dx

3.级数敛散性问题

例10:已知正项级数undefined收敛, 证明:级数undefined也收敛。

证明:因为an>0 (n=1, 2, …) , 由均值不等式, 有undefined, 已知级数undefined收敛, 所以级数undefined与undefined都收敛, 从而级数undefined也收敛, 再由比较判别法, 知级数undefined收敛。

摘要：均值不等式是一个非常重要的不等式, 它在不同学科中都有广泛的应用。应用均值不等式, 可以使一些较难的问题得到简化处理。主要介绍了均值不等式的各种形式以及推广, 研究了它在求函数最值、证明不等式和日常生活中的一些应用。

关键词：均值不等式,最大值,最小值

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001:265-267.

[2]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2003:198-199.

[3]汪遐昌.均值不等式的重要应用[J].四川师范大学学报, 1996, 19 (6) :81-82.

[4]刘鸿雁.均值不等式的应用[J].成都大学学报, 2003, 22 (4) :32-35.

[5]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报, 2006, 15 (1) :22-24.

均值不等式的灵活应用 篇2

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。通过特征分析，用于证不等式

均值不等式：

1)

2)

两端的结构、数字具有如下特征：

1)次数相等；

2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

3)左和右积。

当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b+c)≥2abc

同理，b(c+a)≥2bac, c(a+b)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。

***2222

2例2.若a，b，c∈R，且a+b+c＝1，求证+.分析：由a，b，c ∈R，联想均值不等式成立的条件，并把1＝a+b+c代换+中的“1”，要证不等式变为,即，亦即，发现

互为倒数，已具备均值不等式的特征。

证明：∵a,b,c∈R,+

∴，,∴,∴

.∵ a+b+c=1, ∴

.说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。

例3.已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由题设一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式++

求解。

解：∵ x, y∈R，+

∴，当且仅当9x=16y，即

时，(xy)max=36.说明：本题若改为：x,y∈R且9x+16y=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。抓“当且仅当„„等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

在均值不等式中“当且仅当„„等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)=27abc，试判定三角形ABC的形状。

分析：(a+b+c)=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。

解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式

当且仅当

a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

（见阅读材料），即(a+b+c)3332227abc，例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x+y+z的值。22

2解：

由题设得。

∵ x,y,z>0, ∴,∴.此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即, ∴x=1,y=1, z=1, ∴x+y+z=3.222222

说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

均值不等式的专题 篇3

关键词：均值不等式；灵活运用

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-223-02

—、什么是均值不等式

定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞

即均植不等式:（a+b）／2≥√ab

证明:∵（a-b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

又∵a,b均为正数,

∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b

a+b≥2√ab

即:（a+b）／2≥√ab

1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.

2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.

3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.

√ab叫做a,b的等比中项.

4.几何解释:半径不小于半弦.

5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、均值不等式的灵活运用

均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。

例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值

分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值.

解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3

又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0

∴y≥2 +3=5

当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”

∴y的最小值是5

例⒉求函数y=x（8-3x） （0＜x＜8／3）

分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.

解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）

（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0

y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3

∴Y的最大值是16／3

点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（ ）2，

a，b均为正数。

例3：求函数y= （x>1）的最小值。

解：y= = = ==x+1+

=x-1++2

∵x>1，即x-1＞0 ，＞0

y≥2+2=8

当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）

∴y的最小值等于8

点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。

有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！

例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域

解：∵x>-1， ∴x+1 >0

∴f（x）==

= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－ －1时取“=”。

又因为x>-1，故－ －1舍去，所以x= －1时取“=”。

∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】

点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有快捷！

例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。

证明：∵a>b>0，即a-b>0

∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3

当a-b=b= 时，a=2，b=1

∴ a+的最小值为3

点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”

例6：求函数y=x（1-x2） （0

解：∵00

又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）

≤ （ ）3

= × =

当2x2=1-x2，x= ，y2=

y>0 ，x= ，y的最大值等于

点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。

例7：求函数y=3x2-2x3 （0

解：因为y=3x2-2x3 =x2（3-2x）

又00， 3-2x>0

所以y=x•x（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1

点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=x•x，使其和为定值，可用均值不等式。

三、学生易犯错误

1，不注意条件均正。

2，和或积不为定值。

3，取不到最值，也看成了最值！

具体情形—省落

四、点击高考

1999，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问题。最值问题和我们的生活密切相关，学习就是为了指导我们解决生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！

今后高考展望：

1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加新颖。

2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！

均值不等式的应用 篇4

关键词：均值不等式,n次多项式,基本元素

(当且仅当a1=a2=…=an, 时, “=”成立)

利用 (*) 式, 能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用 (*) 式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便, 不妨称满足 (*) 式中的a1, a2, …, an为基本元素, 由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中, 明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式, 可选用a1, a2, …, an为基本元素, 直接利用 (*) 式证明

分析:由于题目中明显含有和式 (a1+a2+…+an) 与为基本元素, 由 (*) 式着手解决。

例2:设a1, a2, …, an为不相等的正数, 且S=a1+a2+…+an,

考虑 (1) 式根号内的分母, 选s-ai (i=1, 2, …, n) 为基本元素, 再由均值不等式得:

由以上证明发现, 巧妙选定基本元素和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中, 不能明确体现基本元素a1, a2, …, an, 此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点, 利用以前所学过的数学知识, 设法分离出满足 (*) 式基本元素a1, a2, …, an, 再利用均值不等式解决

分析:考虑到, n!=1·2·3…n, 我们选1, 2, 3, …, n为基本元素, 利用均值不等式着手解决。

简证:因为n!=1·2·3…·n, 所以可选1、2、3、…n为基本元素

通过拆分n!, 继而发现基本元素1, 2, 3, …, n, 再利用均值不等式入手解决, 这样使看来无法下手的问题, 变得有章可循, 有法可依, 证明起来轻松异常。

分析:据等比数列求和公式知, 2n-1=1+2+22+…+2n-1, 所以可选1, 2, 22, …, 2n为基本元素, 由均值不等式着手解决。

由证明发现, 通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1使毫无思路, 难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”, 我们可将它转化为“n个式子的乘积”, 使之出现基本式a1a2…an, 进而确定基本元素a1, a2, …, an, 再利用均值不等式解决

例5.设n为大于1的自然数, 且0<x<1, 证明:

此例的证明方法很多, 比如常见的构造函数法, 都比较麻烦。采用均值不等式证明, 思路清晰, 简明易懂, 令人耳目一新!证明的关键是, 由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”, 再由均值不等式着手完成。

(上式中m个m, n个n, r个r相加)

均值不等式在数列极限中的应用 篇5

关键词：均值不等式,数列极限,两边夹定理

在初等数学中，均值不等式，又名平均值不等式，是一个很重要的公式:即n个正数的调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数．也就是下面的引理1.

引理1若设(调和平均)，(几何平均)，(算术平均)，有不等式Tn≤Jn≤Sn成立，同时有

有了这个引理，我们很容易得到下面的定理1.

定理1数列严格单调增加，有上界;数列严格单调减少，有下界．

证明取对这n+1个不完全相等的正数运用引理1，我们得到

故数列有上界．

下证数列严格减少，对于

所以显然0是数列的下界．证毕．

由定理1知道，数列和数列都存在(单调有界数列必有极限)，在数学分析中我们知道对于这个结论，我们可以容易得到下面的这个不等式，这个不等式一般的证明都是用导数来证明的．

定理2对于

证明由定理1，我们知道，数列是单调增加趋于e，而数列是单调减少趋于e的，故有

故不等式成立．证毕．

有了这个不等式，我们可以利用单调有界数列一定收敛来证明一些数列极限的存在性:

例1设证明数列{x}n收敛[1].

证明一方面我们有

故数列{x}n严格减少．

另一方面，

所以数列{x}n有下界，故存在．我们用常数c表示:

证毕．

有了这个例题，我们可以更深一步的讨论下面这个数列极限:

例2计算极限其中k为大于1的正整数．

解由上题知道

所以可以写成其中

又因为当n→∞时，kn→∞，故我们有

从这个例题看出，均值不等式得出的其他不等式对于数列极限起着很重要的作用，另外运用均值不等式，结合两边夹定理，可以得到比较好的结果．

证明根据极限的保号性，我们知道a≥0，下分两种情况证明．

(1)当a=0时，由均值不等式，

由引理2和两边夹定理得到

(2)当a>0时，由极限的四则运算法则知再由引理2知

由均值不等式和两边夹定理容易得出

n→∞综合(1),(2)，定理3得证．证毕．

有了定理3，我们可以计算出很多的极限:比如等等，下面的例3就是很好的结果．

例3计算极限

解因为在定理3中，我们取则有

本文从均值不等式出发，证明了一些常用不等式，然后运用这些不等式证明了某些数列的收敛性，结合两边夹定理给出了数列收敛的极限，并运用这些引理定理举例说明了均值不等式在极限的证明和计算中都占有重要的作用．

参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(上册)[M].第五版.北京:高等教育出版社,2008.

均值不等式的灵活应用 篇6

(1)求此人落到坡面时的动能;

(2)此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时的动能最小?动能的最小值为多少?

规范解答:(1)设该运动员在空中运动的时间为t,落到坡面时速度为v,在坡面上落点的横坐标为x,纵坐标为y,由运动学公式和已知条件得:x=v0t(1)

联立(1)(2)(3)(4)式得落到坡面时的动能:

谋定思路:拿到这个题目应该想到应用机械能守恒和平抛的知识来列等式.为了使水平位移最大,想到用均值不等式来求解最值问题.

以后小球做平抛运动,水平方向有:s=vt(2)

解后反思:本题中的极值问题是属于均值不等式中的“定和求积问题”.即R与H-R的和为定值,那么R(H-R)必有最大值.

二、巩固训练

1.(2010年年重庆卷)如图3所示,小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图3所示.已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为3/4d,重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度v2.(2)轻绳能承受的最大拉力是多大?(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离为多少?

答案:(1)设AD之间的竖直高度为h,

参考文献

均值不等式的研究 篇7

例1 设x1, x2, ……, xn都是正数.证明:x12/x2+x22/x3+……+x2n-1/xn+xn2/x1≥x1+x2+……+xn.

最自然的想法是证明左边的每一个式子都分别大于等于右边的每一个式子即可.由均值不等式x12/x2+x2≥2x1, ……可类似的得到n个式子, 将上式叠加, 即得x12/x2+ x22/x3+ …… + x2n-1/xn+xn2/x1+x1+x2+……+xn≥2 (x1+x2+……+xn) .

再移项, 即证题中不等式.这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决, 其中用到的手法就是局部分析处理, 难题就是一些简单事实的罗列.

在证明不等式时, 比如要证x1+x2+……+xn≤0, 可以证每个变量小于等于0 或使其小于等于多个易于求和的式子, 使这些式子相加为0 即可达到证明.

例2 设x1, x2, x3>0, 证明

有时在证明不等式的问题中, 我们常常先找出不等式等号成立的条件, 从而进一步证明.

我们发现x1=4x2=16x3时, 等号成立.

由均值不等式

, 相加即证.

在其他的一些用均值不等式证明的题中, 有时还需构造的技巧, 适当添加项.比如在用n元均值不等式时, 可构造出n个式子, 再利用不等式.

由以上的两个题可看出, 局部分析可有力地解决整体问题. 微积分是现代数学的一个重要分支, 就是从微观的角度来解决问题. 一般只有从微观上可反映问题的本质, 整体问题用局部分析的方式解决.这本身就体现一种思想, 非常重要的思想.

摘要：这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决, 其中用到的手法就是局部分析处理, 难题就是一些简单事实的罗列.

浅析均值不等式的使用技巧 篇8

一、我们首先来复习一下均值不等式的相关内容

1. 若 a,b∈R+,则当且仅当“a = b”时,等号成立.

3. 推广式: 若a,b∈R-,则当且仅当“a = b”时,等号成立.

二、均值不等式的使用技巧归纳

( 一) 整体配凑

例 1 设 a≥0,b≥0,2a2+ b2= 2,求的最大值.

点评求积的最值,尽量凑出定和,从而创造均值不等式的应用条件.

此题中根据的形式,凑出是解题的关键所在.

( 二) 拆分因式

证明因为a > b > c,所以a - b > 0,b - c > 0.

原不等式转 化为,所以原不等式成立.

点评拆分已知项时,要能在随后的解题过程中把和或积变成定值. 此题的关键,是将a - c拆成( a - b) + ( b c) ,从而创造出均值不等式的使用条件.

( 三) 平方升幂

例3若a,b,c∈R+,且a + b + c = 1,求u =槡4a+ 1 +槡4b+ 1 +槡4c+ 1的最大值.

解因为u≥0,所以

点评通过平方运算,有时可以把和或积凑成定值,有时也可以将和( 或积) 问题转化为积( 或和) 问题.

( 四) 换元巧解

例4已知a,b,c为△ABC三边的长,求证: abc≥( a +b - c) ( b + c - a) ( c + a - b) .

证明设m = a + b - c,n = b + c - a,p = c + a - b,则根三角形两边之和大于第三边,得到m > 0,n > 0,p > 0,且m > 0,n > 0,p > 0,

点评通过换元,能改变不等式结构,从而发现均值不等式的使用方法.

均值不等式常用的配凑技巧 篇9

一从“系数”上配凑

例1, 已知 , 求函数y=x (2-3x) 的最大值。

函数y=x (2-3x) 的最大值为 。 ( 时取等号)

评注:本题是“积”的形式, 要求函数y=x (2-3x) 的最大值, “和必为定值”, 要想使“和”为定值, 只需把y=x (2-3x) 中“x”变为“3x”。但在配凑时要注意运用均值不等式的三个条件, 即:“一正”、“二定”、“三相等”。

二从“项”上配凑

例2, 求函数 的最小值。

评注:本题以“和”的形式给出, 要求其最小值必须“积”为定值, 且必须满足“一正”、“二定”、“三相等”这三个条件。解答本题时注意, 配凑成 , 虽然满足了定值, 但等号不能成立, 必须再进行变形方可解决。

三从“次数”上配凑

例3, 求函数 的值域。

评注:本题不能直接运用基本不等式, 原因有: (1) “正”不满足即x的符号不确定; (2) 本题是“积”的形式, 要想运用基本不等式, “和”必为定值, 经过观察函数式的特点, 两边平方再把等式的两边乘以2即可。

四消元与变元

例4, 设a>b>0, 求 的最小值。

解析:思路1:消去b。

(等号成立的条件为 )

思路2:把a2中的a换成b+a-b, 则:

评注:本题有两个变量, 无法直接运用基本不等式, 可考虑消掉一个变量。思路1和思路2在解题的过程中实际上是两次运用均值不等式, 要注意等号的连续性, 即每个思路中两个等号必须同时成立。

五从“结构特征”上配凑

运用基本不等式解题时首先必须满足基本不等式的基本结构, 然后再看是否符合“一正”、“二定”、“三相等”这三个方面。

例5, 若x, y∈ (0, +∞) , 求 的最小值。

评注:本题给定的式子表面上不符合基本不等式的结构, 如果把式子稍加变形, 就可以运用了。

六注意“常数”的整体代换作用

例6, 函数 的最小值。

解析:注意到:sin2x+cos2x=1, 可把原函数变为:

例7, 已知x, y∈ (0, +∞) , 且x+y=4, 则要使不等式 恒成立, 求实数m的取值范围。