均值-CVaR模型（共3篇）
均值-CVaR模型 篇1
一、引言
投资组合问题是现代金融理论研究的起源和热点,其核心思想可概括为:如何把财富配置到不同的资产中,以达到确保收益、分散风险之目的。自1952 年M arkowitz建立均值- 方差模型定量研究资产组合选择问题后,人们相继提出许多其他的投资组合模型。现有模型侧重于对收益前两阶矩(均值和方差)的关注,大多忽视了收益的三阶矩(偏度)风险。A rditi(1975)指出偏度越大意味着低收益率出现的概率越小而高收益率发生的概率越大,忽略偏度得出的最优组合可能是一个无效的组合,但未予实证。张树斌等(2004)对构建的均值- 方差- 偏度模型进行灵敏度测试,进一步证实了偏度的引入极大改变投资组合的选择。高岳林等(2010)构建了均值和V a R约束下偏度最大的多期投资组合模型。迟国泰等(2009)、吴灏文(2011)在均值- 方差模型基础上引入偏度大于等于零约束,建立了正态分布下的均值- 方差- 偏度的贷款组合优化模型,实证表明偏度的引入能降低贷款组合的风险,但没有讨论非正态分布下的情形。
在上述带有偏度的模型中,仍然使用方差或V a R来度量组合的风险。由于方差将收益的向上波动和向下波动都视为风险,不符合实际,夸大了组合的风险;V a R虽是当前备受推崇的风险测度方法,但A rtzner(1997)证明了V a R不满足风险测度一致性公理中的次可加性,且对尾部风险关注不足,因此方差和V a R均不是完善有效的风险度量方法。R ockafellar和U ryasev于2000 年在V a R的基础上首次提出CV a R概念,并将其与V a R比较后发现:CV a R满足次可加性、具有凸性等优点,且证实CV a R更能反映投资组合风险。林东旭等(2004)讨论了正态分布下的均值-CV a R模型及其有效前沿。但肖甲山(2008)对我国股票收益率检验后发现其不服从正态分布,进而讨论了非正态分布下的均值-CV a R模型,并对CV a R加以离散化和线性化处理后将模型转化为线性规划问题,且在求解CV a R的同时得到了V a R ,实证表明其比均值- 方差模型更能降低极端风险。
在综合考虑以上因素后,本文选用CV a R来测度组合的风险,引入偏度大于等于0 约束来降低组合的风险,构建均值和偏度约束下CV a R最小的投资组合优化模型,并利用股票市场数据对模型加以验证。
二、模型构建
(一)目标函数建立
CVaR的全称是ConditionalValueatRisk,一般译为条件在险价值,其含义是:在一定的置信水平下,损失超过VaR的条件均值,反映了超额损失的平均水平,又可称为尾部VaR或平均超额损失。相对于方差和VaR,CVaR有显著的优点:对尾部风险考虑更为充分,满足次可加性,具有凸性等。故CVaR也被认为是当前较为完善有效的一种风险测度方法。因此,本文选用CVaR度量投资组合风险,目标函数就是使CVaR最小Uryasev,即:
根据CVaR的定义,可以得到:
其中,f(x,r)表示投资组合的损失函数,θ代表置信水平。
通过式(2),很难直接得到CV a R ,因为式中含有V a R这个内生参数。本文根据R oclcafellar(2002)设计的方法,通过构造辅助函数,并对CV a R进行离散化处理,得到CV a R的近似表达式:
其中:,β为引入的参数,m为组合收益率历史数据的期数,n为组合中资产的数量,xi为组合中第i个资产投资比例,rit为组合中第i个资产第t期的收益率。
由式(3)得到的 β 值就是V a R ,这把V a R和CV a R两者有效的联系起来,在求解CV a R的同时顺便得到V a R 。
综合(1)式和(3)式,目标函数可转化为:
(二)约束条件的建立具体如下:
(1)收益率约束。理性投资者追求在既定的收益下使风险最小,对于投资组合的收益,一般使用收益率的数学期望(均值)表示,
其中:,表示为组合中第i个资产平均收益率,r*为投资者设定的收益率。
(2)偏度约束。偏度(skewness)定义为收益与均值之差三次方的数学期望与标准差三次方的比值,其计算公式为:
其中:σ 为收益率的标准差,ri为收益率的第i个样本数据,r为平均收益率。
偏度一般用来衡量收益率概率分布的偏斜方向和偏斜程度。如图1 所示,实曲线C与虚曲线D是期望值相同的两个概率分布,但其偏度不同。实曲线C的偏度大于0,
左尾薄而右尾厚,低收益率发生的概率较小,而高收益率出现的机会较大,这是令投资者满意的。而虚曲线D的偏度小于0,左尾厚而右尾薄,低收益率发生的概率较大,而高收益率出现的几率较小,这是投资者所不希望的。
正态分布是无偏分布,其偏度为0。但大量研究表明,投资组合的收益率不服从正态分布,而是呈现“尖峰厚尾”的形状。收益率概率分布的“左尾”表示实际收益率低于预期收益率的概率,是投资者面临的真正风险。因此,用偏度大于等于0 来控制风险,既可以从整体上减少低收益率发生的概率,同时增加高收益率发生的几率,符合投资者的心理。
要使组合收益率的偏度大于等于0,等价于使组合收益率的三阶矩大于等于0,即:
(3)投资比例和非负约束。组合中所有资产投资比例之和应等于1,即:
同时,组合中所有资产通常不允许卖空,即:
(三)模型建立
综合(4)-(8)式,可以建立均值和偏度约束下CVaR最小的投资组合优化模型,即:
显然,(9)式中的目标函数含有不光滑函数,给模型的求解带来不便。可以引入变量yt,对其进行线性化处理,可以得到优化模型的最终形式,即:
岳瑞峰等(2003)证明了在求解优化问题时将CV a R加以离散化和线性化处理后最优解不变,因此,(10)式中的模型与(9)式中的模型有相同的最优解。对(10)式中的模型进行求解后,目标函数值就是CV a R值,值就是V a R值。
由此可见,对CV a R加以离散化和线性化处理,不仅降低了优化模型的求解难度,而且在求解CV a R的同时顺便得到V a R 。同时,此模型不需要假定组合收益率服从某一具体分布就能求出投资比例,这使模型的适用范围进一步拓宽,模型的实用价值也得以提升。
(四)模型特色首先,在传统的均值-CV a R模型中,引入偏度大于等于0 的约束,既可以减少低收益率发生的概率,同时也增加高收益率出现的机会,进而降低了投资组合的风险,提高了模型的合理性。其次,对CV a R作离散化和线性化处理,将模型转化为一般的数学规划问题,不仅降低了模型的求解难度,而且使模型适用于求解任何形式的投资组合问题,提升了模型的实用性。
三、实证分析
(一)数据收集与统计分析
为分散组合风险,从我国沪深两市不同行业随机选取10只股票,时间从2012年1月6日到2012年7月6日,采集每周末的股票收盘价,使用表达式计算股票周收益率,其中Pi,t和Pi,t-1分别表示第i只股票第t周和第t-1周的周末收盘价。通过计算可以获得25周的数据,样本描述性统计结果见表1:
由表1 可知,10 只股票收益率的偏度和峰度均不为0,不符合正态分布。其中,华策影视和深圳燃气这两只股票收益率的偏度分别为-3.77 和-4.6,峰度分别高达16.17 和22.23,其分布明显带有“尖峰厚尾”,发生极端损失的可能性较大。如果对负偏度产生的风险不予考虑,投资者遭受较大损失的可能性就会上升。
(二)模型求解与分析
将m=25,n=10等数据代入(10)式模型中,置信水平θ取95%,建立优化模型,并利用数学软件M ATLAB进行求解,计算结果如表2所示。由表2可以看出:在给定三种不同期望收益率下,投资的股票种类保持不变,始终为青岛啤酒、格力电器、大商股份、中国人寿和深圳燃气这五只股票,只是投资的比例有所调整。当周期望收益率设定为0.55%,投资者承担的风险值CVaR和VaR分别为3.55%和4.17%,这意味着有95%的把握可以保证,上述五只股票的组合收益率在未来一周内,因市场波动而导致的正常损失不超过3.55%,极端损失不超过4.17%。同时也不难发现,在三种不同期望收益率下,CVaR值比VaR值均要大,这说明风险度量方法CVaR比VaR更能捕捉投资组合所面临的极端风险。伴随着期望收益率逐步提高,VaR和CVaR也同时增高,这表明投资者要求的报酬越高,承担的风险也相应越高。
四、结论
首先,本文使用组合收益率偏度大于等于零控制重大损失发生的概率,在既定的期望收益率水平下使组合的风险值CV a R最小,构建了均值和偏度约束下CV a R最小的投资组合优化模型,并利用股票市场数据对模型进行实证检验。其次,在传统的均值-CV a R模型的基础上引入偏度大于等于零约束,既减少低收益率发生的概率,同时也增大高收益率出现的机会,进而降低了投资组合的风险,提高了投资的合理性。最后,对CV a R进行离散化和线性化处理,不仅降低了模型的求解难度,而且使模型适用于任何概率分布的投资组合问题,提高了模型的实用性。
均值-CVaR模型 篇2
20世纪80年代以来, 海外对冲基金发展迅猛, 迄今对冲基金管理资产规模高达1.8万亿美元。在投资策略上, 对冲基金大量采用了市场中性策略。Jacobs等人 (1998年、2005年、2006年) 首次在均值方差框架下展开市场中性策略相应多空头寸最优对冲比例问题研究。Charpin和Lacaze (2002年) 完善了Jacobs等人的想法, 实现了整体考虑各总约束下的市场中性策略构建。然而这些讨论主要是在Sharpe (1964年) 、Lintner (1965年) 等人关于组合选择理论的基础上发展的资本资产定价模型上展开的, 传统资本资产定价模型下对风险的考量主要采用了Markowitz (1952年) 波动率的标准差的方法。这一方法与实践中很多投资者更关注投资组合的下方风险不完全一致。风险值最早由J.P.Morgan投资银行提出, Jorion (1997年) 随后做了系统归纳。VaR具有非齐次可加性以及非凸性, 这一方法重点关注组合的损失。Rockafellar和Uryasev (2000年) 提出了CVaR的概念。CVaR的含义为投资组合在一定的持有期内、给定的置信水平下, 当损失超过VaR时的条件期望, CVaR满足次可加性, 对风险的考虑与实践更加吻合, 同时在解的性质上具有一致性等优点。本文基于CVaR理论, 讨论Jacobs等人提出的在市场中性策略相应多空头寸最优对冲比例问题。
二、文献综述
风险值 (VaR) 最早由J.P.Morgan投资银行提出, 并在其开发的RiskMetrics风险管理系统得以运用。1993年30国集团 (G30) 正式公开提出VaR概念, 并在巴塞尔银行监管委员会国际证券委员会推动下, VAR目前成为市场风险管理的主流方法。VaR定义为在一定置信水平下, 由于市场波动导致整个资产组合未来一定时期内可能出现的最大损失值。VAR自身具有非次可加性 (Subadditivity) 和非凸 (Convexity) 等缺点。
Artner (1997年, 1999年) 提出一致性风险度量概念, 即风险度量要满足次可加性、单调性、正齐次性和变换的不变性四条件风险度量称为一致性度量。Brummelhuis (2002年) 把VAR的计算转化为超曲面上的高斯积分, 并通过高斯积分渐近形式给出其非线性解析表达式。Rockafellar和Uryasev (2000年) 提出了CVaR的概念。CVaR的含义为投资组合在一定的持有期内、给定的置信水平下, 当损失超过VAR时的条件期望。Pflug (2000年) 以及Acerbi和Tasche (2002年) 给出了CVaR满足次可加性的证明, 属于一致风险测度, 最小化CVAR也对应着最小VAR值。CVAR对收益率分布没有特定要求, 适用于任何分布形态下的投资组合优化问题。Alexander和Coleman (2003年) 对CVaR最小化问题的不惟一性以及不稳定性作了进一步讨论。基于CVaR理论, 本文考虑了CVaR约束下的市场中性策略问题。
三、CVAR约束下市场中性策略最优对冲比例
本文对市场中性策略作出三个层面的划分:首先是货币市场中性, 在货币市场中性约束下, 多空头寸相等, 组合整体市场风险暴露为零。然而, 整体市场风险暴露为零并不必然达成以衡量的系统风险的完全对冲, 因此, 还要进一步考虑第二层面中性的问题。中性是CAPM模型下的概念, 当把单一市场指数当作系统风险唯一近似替代方法时, 中性意味着系统风险的完全对冲。最后, 同时满足第一层面与第二层面市场中性策略称之为完全市场中性策略。
1. 均值-CVAR模型下货币中性
根据前文分析, 加入条件约束, 负指数效用函数假定下均值-CVaR模型中货币中性策略最优对冲比例问题表示为:
令:, 问题P1的Lagrangian方程为:
令:, 解得货币中性策略组合各风险资产权重:
2. 均值-CVAR模型下β中性
加入条件约束, 负指数效用函数假定下, 均值-CVaR模型中β中性策略最优对冲比例问题表示为:
问题P2的Lagrangian方程为:
令:, 求得中性策略组合各风险资产权重:
3. 均值-CVAR模型下完全中性
当和两条件同时满足时, 负指数效用函数假定下, 均值-CVaR模型中完全市场中性策略最优对冲比例问题表示为:
问题P3的Lagrangian方程为:
令:, 求得完全中性策略组合中各风险资产权重:
四、结论
本章遵循Rockafellar和Uryasev的研究, 在CVaR风险度量下重新考虑了市场中性问题, 分别推导了货币中性、中性和完全中性策略组合各风险资产权重。本文在CVaR风险度量分析与现实投资者更为一致, CVaR风险约束下组合权重理加关注组合下方风险的考虑, 为全球范围内市场中性策略提供了有效的理论指导。
参考文献
[1]Jacobs, Bruce I., Kenneth N.Levy, and David Starer.“On the Optimality of Long–Short Strategies.”Financial Analysts Jour-nal, 1998, vol.54, no.2 (March/April) :40–51
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[3]Jacobs, B.I.and K.N.Levy.Enhanced Active Equity Strate-gies:Relaxing the Long-Only Constraint in the Pursuit of Active Return.Journal of Portfolio Management, 2006.32, 45–55.
[4]Charpin F.and D.Lacaze.The efficient frontier of long-short portfolios.International Journal of Theoretical and Applied Fi-nance, 2002, 5 (7) , 737-756
[5]Sharpe, 1964, Capital asset prices:A theory of market equi-librium under conditions of risk, Journal of Finance19:425–442.
[6]Lintner, 1965, The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budget, The review of economics and statistics, Vol.47, Issue1, 213-37
[7]Markowitz, Portfolio selection, the journal of finance, , 1952, vol.7, no.1, 77-9
[8]Jorion P, 1997, Value-at-Risk:The New Benchmark for Controlling Market Risk, McGraw-Hill, NY, NY
[9]Uryasev.S, Conditional Value-at-Risk, Optimization Algo-rithms and Applications.Financial Engineering News, 2000, No.14, February
均值-CVaR模型 篇3
CVaR作为一种超越传统VaR的风险衡量工具, 其基本思想方法来源于对资产损失分布函数性态的分析处理。它是指投资组合的损失大于某个给定的VaR值的条件下, 该投资组合损失的平均值。与VaR相比, CVaR满足次可加性、正齐次性、单调性等, 因而CVaR是个一致性的风险计量方法。
在市场风险的规避中, 风险损失量可以被构想成一个函数。
损失函数:设X⊂□n代表由各种可行决策组成的约束集, 每个x∈X表示由投资于n种备择金融资产数量构成的决策向量 (亦是资产组合) , y∈□nm表示由若干经济变量 (譬如资产价格, 利率, 汇率, 通胀, 宏观GDP等) 未来预期值构成的向量。称实值函数
为风险损失函数。
本文中, 我们假设z=f (x, y) 为风险损失函数。
在险价值VaR:
Var (x, a) =ξa (x) =min{ξ| (xξ≥a}=min{ξ|P{y|f (x, y) ≤ξ}≥a}. (1)
CVaR:由损失分布函数A (x ξ) :
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决定的期望损失值为条件在险价值, 记为CVaR。
下述定义均是在 (x ξ) 关于ξ≥0连续可导, 且损失分布函数被假定具有光滑的密度函数的背景下提出的。
密度函数:记h (x, ξ) 为 (x ξ) 的密度函数, 则
undefined
CVaR的连续定义:我们将CVaR定义为由损失分布a (x ξ) 决定的期望损失ϕa (x) 。
CVaR方差: 我们把CVaR的方差D (ϕα (x) ) 定义为:
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边际风险量MRV:设f (x, y) 关于x一阶连续可微, 称下列表示式
undefined
为f (x, y) 在x0∈X处的边际风险量 (Marginal Risk Value) , 记为MRV f (x0, y) 。
2 CVaR性质研究
在这一部分, 我们主要研究一种风险度量工具CVaR的一些重要性质。我们根据连续CVaR的定义, 得到了CVaR, 和 之间的线性关系, 并且在一般CVaR离散表示下, 给出了CVaR的完备离散表示。同时, 我们引入了一个概率随机游走过程。
定理1 ϕα (x) , ϕ-α (x) , ϕ+α (x) 的线性关系:
存在c1, c2>0, 使得undefined
定理2 若μα (x) 为ξ=ξα (x) 的概率, 则
而 (8) 称为CVaR完备离散形态的定义。
定理3 如果f (x, y) 是x的线性函数, 那么CVaR是一致的风险测度函数。
定理4 如果f (x, y) 是x的k阶齐次可微函数且undefined, 那么CvaR9一致的风险测度函数。
3 基于CVaR约束的投资组合模型
模型ⅰ 对于连续情形下CVaR的方差定义, 我们可以选择适当的投资组合x, 使得D (ϕα (x) ) 最小。这样做, 我们可以控制CVaR的波动, 使组合的风险不至于变化太大。具体模型及约束如下:
undefined
其中, r是由n种资产期望回报率构成的向量, μ为投资者认定的投资组合的最小期望收益率, ϕ为外生的常数, γi非负。
优化mean-absolute-deviation (MAD) 模型。
模型ⅱ。
undefined
其中, MAD=E|Rpo-Rpo|=E|RxT-RxT|, Rpo=RxT, 为资产组合的不确定投资收益率, Rpo=RxT代表投资组合的期望收益率, 其中R= (R1, R2, …, Rn) 代表组合中各股票的期望收益率, 于是
undefined
这里Rj, 代表在“情景j”下投资组合的不确定收益率, “情景j”出现的概率为1/J, ϕ为投资者所能承担的风险水平。
undefined
模型ⅲ。我们假设投资者是风险规避者, 他们面对的是递增的、严格凹的效用函数u∶□→□, 且E[u (W) ]
这里u是递增的、严格凹的函数, 比如u=Wa, 对于某些a≥1;或者u=lnW。
4 结语
本文在连续CVaR定义下, 给出了CVaR, 和 之间的线性关系, 并在一般CVaR定义下, 给出了CVaR的完备离散形态的定义, 作为该文的最后一部分, 给出了几个基于CVaR约束的投资组合模型。重要的是在约束条件中, 加入了与CVaR相关的限制条件, 如CVaR小于某个确定的值等, 做这样的调整, 可以使我们的投资决策更具理性。我们还可以优化CVaR的方差, 这样能够确保在一定的收益 (效用期望约束条件) 下, 我们的投资决策是最优的, 亦即风险或波动是最小的。本文最大的目的是在一定的约束条件下, 选择最有效的CVaR, 使我们处于投资的有利位置。
参考文献
[1] Rockafellar R T, Uryasev S. Conditional value-at-risk for general loss distributions[J]. Journal of Banking & Finance, 2002, 26:1443-1471.
[2]Uryasev S, Ph.D.Conditional Value-at-Risk:Opti mization Al-gorithms and Application[J].Financial Engineering News, 2000, 12 (4) :670-698.