稳态模型

2024-07-17

稳态模型（精选9篇）

稳态模型篇1

摘要：依据聚合反应机理, 采用Polymer Plus为软件平台, 对四氟乙烯乳液聚合过程进行建模与稳态流程模拟, 利用灵敏度分析模块对影响产品的主要因素 (引发剂浓度、反应温度、调节剂及聚合釜体积变化等) 对产品的转化率和分子量分散度的影响进行分析。结果表明:催化剂、聚合釜的体积和温度的增加能使产品转化率增加的同时使分子量分散度减小, 分子量的大小随着温度的升高而减小, 总进料量和调节剂数值的增加会使产品转化率下降的同时使分子量分散度减小。

关键词：聚四氟乙烯,乳液聚合,PolymerPlus,转化率,分子量分散度

聚四氟乙烯 (Poly Tetra Fluoro Ethylene, PT-FE) 为全氟化直链高聚物, 由四氟乙烯单体 (TFE) 聚合制得, 具有化学稳定性、电绝缘性、润滑性、不粘性、耐老化性、不燃性及热稳定性等优良的综合性能, 广泛应用于棒、管、板、电缆料及生料带等的制作[1,2]。PTFE制备的方法主要有两种:一种是悬浮聚合, 另一种是乳液聚合。乳液聚合生产的树脂是高附加值的高端树脂, 该技术主要由美、日、欧等国的一些公司控制, 我国主要是通过悬浮聚合法生产PTFE, 树脂产量低, 质量远远落后于外国, 每年还需从国外进口大量的高端树脂[3]。在此, 笔者以乳液聚合法PTFE的生产工艺为背景, 针对实际生产的工艺条件, 依据聚合反应建模的原则和方法[4], 运用Polymer Plus建立聚合反应的稳态模型, 通过灵敏度分析方法考察了整个工艺条件中的主要因素对产品的转化率 (CONV) 和分子量分散度 (PDI) 的影响。

1 四氟乙烯乳液聚合工艺简介*

四氟乙烯乳液聚合工艺引发单体聚合, 以过硫酸铵 (APS) 为引发剂, 冰醋酸为p H调节剂, 水为溶剂, 聚合过程主要在连续的搅拌釜内完成。其工艺过程是:首先向聚合釜中加入定量的无离子水和事先配好的配方 (引发剂、稳定剂石蜡、调节剂、乳化剂) , 合上反应釜, 进行抽空升温, 温度达到60℃时开始搅拌直至釜温达到70℃, 停止搅拌并抽空, 此时向釜内加入定量的单体TFE, 分析影响安全的各个因素 (如氧含量) , 顺利完成后开始搅拌使其反应。正常情况下, 当釜内温度达到80℃左右时, 引发剂开始分解, 分解速率将会随着温度的升高而逐渐加快, 半衰期逐渐缩短。聚合釜温度应控制在85~105℃, 由于引发剂APS是在酸性条件下分解的, p H值的降低将会导致它的半衰期缩短, 因此该过程需要加入冰醋酸来调节反应器内液体的酸性[5]。笔者主要是针对聚合反应过程进行建模和仿真, 来研究聚合釜中的反应情况, 对于单体的回收过程不做研究。

2 PTFE聚合过程稳态模型的模拟

Polymer Plus中的化学物质分为:普通物质 (Conventional) 、链段 (Segment) 和共聚物 (Polymer) 。链段是Polymer Plus用来定义聚合物中的结构单元所用的组分类型, 并且被赋予了和普通化学物质一样的各种特征, 它们都具有分子结构式、分子量及熔/沸点等物性数据, 链段包括重复单元、端点和接枝点。聚合物的一切性质都是由组成该聚合物的链段类型、数量和组成形式决定的[6], 表1所列为需要引用的物质组分类型。

选择一个合适的物性方法对于一个模拟过程来说非常重要, 因为它决定了模拟结果的精确度和准确性, 它们主要用来计算热力学性质和传递性质。Polymer Plus内置了很多的物性方法, 用户也可以根据需要建立适合自己的物性方法, 在PTFE聚合过程的模拟中, 只需在Global页上选择一个全局级的变量ALL, 对所有的物性计算都使用这个全局级的物性方法, 在Property methods里选择POLY-NRTL, 此方法计算结果相对于其他的算法更接近实际值, 因为其中的普通物质、聚合物与链段的物性分别采用不同的方法来计算。

聚合反应主要由链引发、链增长及链终止等基元反应组成, 在Polymer Plus中有和这些基元反应相对应的反应方程式[7], 通过在Reaction中输入相应的物质, 系统会自动赋予相应的反应, 得到的聚合反应方程式为:

式中Dn、Dn+m———n和n+m个单元长度的死聚体;

n、m———分解的初级自由基数目;

P1———聚合度为1的活性聚合物;

Pn、Pm———n和m个单元长度的聚合活性链;

R*———初级自由基。

反应方程中式 (1) 、 (2) 为引发剂在催化剂的作用下形成离子自由基, 并与单体TFE结合形成单体自由基, 完成链引发的步骤;式 (3) 为链增长的过程;式 (4) 为向单体链转移;式 (5) 为链转移剂的作用过程;式 (6) 为偶合终止反应。最后将实际得到的每个反应方程中对应的活化能和反应速率常数输入反应器进行模拟, 对于反应器的输入, 设置聚合釜的体积为1.5m3, 温度设为95℃, 压强为1.5MPa。反应进料的配比和流量的设置为:

单体四氟乙烯进料248kg/h

引发剂过硫酸铵的进料40g/h

p H调节剂冰醋酸的进料量500m L/h

溶剂水的进料800kg/h

3 灵敏度分析模块

灵敏度分析模块是用来分析和研究一个或者多个流程操作变量的改变对其他流程变量的影响, 对于工况的研究具有重要的意义。在TFE聚合流程的模拟中, 运用该模块对聚合过程的稳态模型进行分析, 考察了各个变量对模拟对象的影响。

3.1 总进料的影响

首先考察保持进料的比例不变, 只改变总的进料流量对单体CONV和PDI的影响, 得到的结果如图1所示。

由图1可知, 随着总进料流量的增加, 单体CONV减小, PDI逐渐增大。这是因为对于给定尺寸的反应器, 进料流量的增大使得反应物料在聚合釜中的平均停留时间变短, 从而单体的CONV减小;但是随着总进料流量的增大, 聚合物的PDI增大。

3.2 引发剂APS进料的影响

引发剂APS是乳液配方中最重要的组成部分之一, 其用量要适宜, 不可过多或过少, 过多则反应速度太快, 难以控制;过少则不易引发, 反应不能正常进行, 影响聚合物性能。图2所示是当引发剂APS的进料量为20~60g/h时, 聚四氟乙烯产品CONV和PDI的变化曲线。

由图2可知, 产品CONV随着引发剂进料量的增加而逐渐上升, 这是因为APS的增加使得引发剂浓度增大, 单位时间里分解产生的初级自由基数目多, 使链引发的频率增大, 从而加快反应速率导致单体的CONV上升。但是同样地, 链引发阶段活性端的增多加快了正在发生增长的初级自由基与链终止和链转移阶段活性链之间及其与单体、链转移剂分子的碰撞几率, 因此产物中分子链长度差别变小, 即PDI逐渐减小。但是太过量的引发剂会起到电解质的作用, 从而降低乳液聚合过程的稳定性。

3.3 调节剂进料的影响

由于在聚合反应中引发剂是在酸性条件下分解的, 随着釜内p H值的降低, 它的半衰期将缩短, 因此需要向釜内加入适量的冰醋酸来调节釜内液体的酸性。在改变调节剂CH3COOH进料量的情况下, 产品CONV和PDI的变化趋势如图3所示。

由图3可知, 冰醋酸进量的增加减小了单体的CONV并且增大了PDI, 这是因为虽然冰醋酸是很微量的p H调节剂, 但是对于聚合反应来说却有很大的影响, 特别此反应是在液态下进行的, 它们会作为链转移剂发生链转移反应, 很容易和正在增长的大分子自由基进行反应, 将活性链终止, 参加链增长的单体数目减少使得CONV降低, 很多的活性链也因为重复单体自由基的减少没有形成足够的链长, 使得低分子量的产物增多, 从而加大了PDI。

3.4 聚合釜温度的影响

对于聚合反应, 反应的温度直接影响着聚合物的聚合度, 而聚合度则反映了产品的品质, 温度过低则反应慢且产品强度低;相反, 使反应速率过快, 聚合反应难以控制。图4所示为当温度的变化范围为310~385K时温度的变化对单体CONV和PDI的影响。

从图4可知, 当温度很低时, 分子运动迟缓, 不利于自由基与单体的扩散和碰撞, 单体的CONV极低, 随着聚合釜温度的升高, 链增长速率常数和增长活性中心数均增大, 单体和活性自由基的扩散和相互碰撞几率升高, 四氟乙烯聚合量增加, 因此单体的CONV也随之增大。但是当温度达到某一点的时候, CONV曲线慢慢趋于水平, 这是因为此时发生的偶合终止及歧化终止等副反应随之增多, 随着反应的进行, 活性中心浓度减小, 因此会出现反应速率先快后平缓的现象, 随着反应时间的延长, 分子量的大小基本趋于一致, 因此PDI随着温度的升高呈下降趋势。聚合物分子量随温度的变化规律如图5所示。

从图5中可以看出, 温度的变化改变了分子量的大小。不难看出, 曲线整体向左平移, 并且波形随着温度的升高而更加紧凑, 有变窄变陡的趋势, 显然温度的升高使得聚合物的PDI降低。

3.5 聚合釜体积的影响

对于相同的进料量, 反应釜体积的增大无疑使得反应的停留时间也加大。设置的反应釜体积的范围为800~1 700L, 所对应的的产品CONV和PDI的影响趋势如图6所示。

由于反应体系在液相中, 所以反应釜体积的增大对于反应体系的浓度没有影响, 但反应时间增长了, CONV必然增大, 随着反应的进行, 链的长度不断加大并慢慢趋于一致, 而PDI随着聚合釜体积的增加 (即反应时间的延长) 而下降。但是随着釜体积的增大, 反应体系数量增加, 对于设备的搅拌速率及其内部其他设备 (如搅拌器等) 的尺寸都有严格要求, 成本可能会比较高, 因此要综合各个方面的影响因素选择适宜体积的反应器。

4 结论

4.1 在反应器体积和各种物质的配料比不变的情况下, 增加总进料量会降低单体的CONV并增大PDI。

4.2 引发剂进料量的增加可提高产品的CONV, 降低PDI, 但是过高的引发剂用量会增加成本, 提高聚合物中引发剂残渣的含量, 影响产品性能。

4.3 调节剂进料量的增加会降低产品的CONV, 而且使PDI增大。

4.4 温度的升高会使单体CONV增加并减小PDI, 但是每一种反应都有它相适宜的温度, 温度太高使引发剂的活化太快, 导致引发剂易分解, 反应速率快, 但是副反应也可能增多, 同时反应过程中乳液越不稳定, 而且温度的升高也会导致聚合物分子量的下降。

4.5 聚合釜体积的增大会使产品的CONV快速上升, 同时使产品的PDI降低。

参考文献

[1]朱友良, 裴建云.分散聚合工艺制备聚四氟乙烯及其性能研究[J].工程塑料应用, 2005, 33 (7) :13~15.[2]卢昶, 张敏华.ASPEN PLUS软件在大型聚丙烯装置的应用[J].齐鲁石油化工, 2006, 34 (4) :404~409.[3]钱瑛.Polymer Plus软件及其在丙烯腈聚合过程模拟中的应用[J].金山油化纤, 2004, 23 (1) :59~62.[4]葛成利, 张炉青, 耿兵, 等.四氟乙烯乳液聚合的研究进展[J].山东化工, 2009, 38 (1) :21~24.[5]李清江.聚四氟乙烯分散树脂制备研究[J].有机氟工业, 2003, (3) :10~12.[6]王钦明.基于POLYMER PLUS的丙烯腈聚合反应的建模与仿真研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学, 2007.[7]叶跃昇.苯乙烯工业级本体热聚合过程建模与仿真[D].杭州:浙江大学, 2002.

稳态模型篇2

一内环境与稳态

金沙二中高三备课组叶子

教师寄语：每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。

学习目标：

1、能说出内环境的概念及组成，明确各成分之间的关系并能用图解表示；

2、举例说出内环境的稳态的概念及生理意义。学习重点：内环境的概念及组成。学习难点：内环境的概念教学时数：1课时自主·合作·探究知识点1：内环境预习与探究：

1、体液可以分为和

2、细胞外液包括组织液、和

3、阅读P6图1-1后总结出组织液、血浆和淋巴三者的关系：

4、体内细胞只有通过，才能与外界环境进行物质交换。

5、是否所有细胞所处的内环境都是由以上三种成分构成？请举例说明。

知识点2：稳态的概念预习与探究：

1、2、探究活动：人体是怎样使内环境的Ph维持在相对稳定的状态？

3、生理学家把正常机体在和的调节下，通过各个、知识点3：稳态的生理意义预习与探究：

1、是机体进行正常生命活动的必要条件。

2、当稳态遭到破坏时，就会引起细胞降低时，成年人表现为_____________________。课堂达标：

1．下列有关人体细胞外液的叙述，错误的是（）A．人体内的细胞外液构成了人体的内环境

B．人体的细胞外液主要包括血浆、组织液和淋巴 C．人体内的所有液体统称细胞外液

D．人体内细胞通过细胞外液与周围环境交换物质 2．下列说法正确的是（）

A．血浆是血细胞直接生活的环境

B．在人体的体液中，细胞内液约占1／3，细胞外液约占2／3 C．组织液是体内所有细胞直接生活的环境

D．血浆和组织液中含有较多的蛋白质，而淋巴中蛋白质较少 3．人体内环境中，与组织液成分最接近的液体是（）A．血液B．血清C．淋巴D．原尿 4．口腔上皮细胞所处的细胞外液是指（）

A．淋巴液B．组织液C．血浆D．唾液 5．血浆中的水来自（）

A．组织液B．血浆．消化道 C．消化道．组织液．淋巴D．淋巴．组织液 6．下列何种情况与发生组织水肿无关（）

A．毛细淋巴管堵塞B．组织液中蛋白质增多 C ．血浆中蛋白质含量增多D．毛细血管通透性增加 7．对人体内环境中pH及调节途径叙述不正确的是（）A．人体血液的pH通常维持在7～7．45之间

B．血液中乳酸过多时，就与NaHCO3反应生成乳酸钠和碳酸 C．血液中Na2CO3过多，就与H2C03结合成NaHCO3

D．血液中C02过多时会刺激神经中枢促进呼吸运动将CO2排出 8．下列属于哺乳动物和人体“内环境”的是（）

A．肺泡腔内的气体B．小肠内的消化C．心室腔内的血浆D．膀胱腔内的尿液 9．下列各组化合物中全是内环境成分的是（）

＋

A．O2、C02、血红蛋白、HB．过氧化氢酶、抗体、激素、H20

2+＋2-C．纤维蛋白原、Ca、载体D．Na、HPO4、葡萄糖、氨基酸

10．哺乳动物肌肉细胞之间进行物质交换的环境是（）

A．血液B．体液C．组织液D．细胞内液 11．下列属于人体内环境的组成成分是（）

①血浆．组织液和淋巴②血红蛋白．O2和葡萄糖③葡萄糖．CO2和胰岛素④激素．递质小泡和氨基酸 A．①③B．③④C．①②D.②④ 12．稳态的生理意义是（）A．使体温维持相对恒定B．使体液的PH保持相对稳定 C．使内环境的渗透压处于相对平衡D．是机体进行正常生命活动的必要条件 13．与维持内环境稳定无关的生理活动是（）A．剧烈运动时血液中的乳酸上升 B．干渴时尿量明显减少

C．人少量失血后，血量很快恢复正常

D．炎热的夏天，人体内产生的热引起发汗而使体温不至于上升

作业布置：教材P7复习题

稳态模型篇3

履带车辆接地压力分布十分复杂而集中载荷分布特点下履带转向问题研究不多。本文通过分析高速履带车辆稳态转向过程中,集中载荷下接地压力分布特点,采用剪切应变模型,分析转向性能参数与行驶速度以及相对转向半径的关系。并通过试验数据验证模型的正确性。

1 转向模型分析

为了切实符合履带稳态转向过程,作以下假设:

(1)履带车在硬质路面进行高速稳态转向,考虑转向过程中离心力对转向性能的影响。

(2)不考虑履带工作张力和履带与地面之间的推土效应。

(3)转向过程中的履带与土壤之间的剪切作用符合剪切变形原理。

履带接地压力影响履带与土壤的剪切力,从而造成各转向性能参数的变化。而接地压力的分布并不是均匀分布或者简单的连续函数分布,通过接地压力试验可以看出压力主要分布在负重轮正下方而负重轮之间基本没有如图1。由此可以假设接地压力呈矩形集中分布于各负重轮正下方如图2。

由于履带车辆高速转向,考虑离心力作用履带车辆两侧的载荷N1、N2重新分配,接地压力P也不同如图3。由平衡方程可以得出:(本文中所建立的模型凡是表示内侧履带相关参数下标为“1”凡是表示外侧履带相关参数下标为“2”)

如图4是转向运动关系图,其中IC是惯性坐标系XOY转向中心,o是牵连坐标系xoy转向中心,R’是惯性坐标系转向中心与履带车辆重心的垂直距离。D是纵向相对转向极偏移量,φ是航向角,˙φ是转向角速度。h是履带车重心高度,B为履带车距,L为履带接地长度。

假设任一点(xi,yi)处剪切速度为vj1,则履带与土壤的剪切位移在惯性坐标系中X、Y方向分量可表示为:

对任一点(xi,yi)处的剪切位移可以表示为:

如图5是转向动力学关系图。履带车辆在高速转向过程受到履带剪切土壤产生的牵引力、制动力、两侧履带的横向力、车辆行驶过程中滚动阻力、高速转向不可忽略的离心力等共同作用。

根据履带与土壤剪切关系可知:

式(6)中,p为接地压力,μ为履带与硬质地面的摩擦系数(常数),j为剪切位移,K为剪切模量。

两侧履带的纵向力表示如下:

转向驱动力矩表达如下

滑移率σ1则是绝对速度与履带车辆的牵连速度的比值,滑转率σ2是履带的绝对速度与履带的卷绕速度的比值。

2 转向性能分析

为分析集中载荷下稳态转向过程中转向行驶速度以及相对转向半径对牵引力、制动力和转向阻力矩等各性能参数的影响,设置转向行驶速度分别为0.1 m/s、2.0 m/s、4.0 m/s、6.0 m/s、8.0 m/s进行仿真。

图6是相对转向极偏移量ɑ1、ɑ2、ɑ3与相对转向半径的关系。由图6可知:

(1)从整体上来看,随着相对转向半径的增大,ɑ1、ɑ3呈现减小的趋势,ɑ2呈现增大的趋势。

(2)相对转向极偏移量ɑ1、ɑ2、ɑ3与转向速度呈正相关,并且相对转向半径越小,转向速度的影响越明显。

(3)当相对转向半径较大时,则相对转向极偏移量ɑ1、ɑ2、ɑ3都趋于定值。

图7是当转向行驶速度为1 m/s时,滑移率和滑转率与实际转向半径之间的关系。由图7可知:

(1)滑移率和滑转率都随着实际转向半径的增大而减小,且相对转向半径大时变化都不明显。

(2)滑移率始终大于滑转率,即内测履带滑移程度强于外测履带的滑转程度。

图8是行驶速度0.1 m/s、4.0 m/s、6.0 m/s时牵引力和制动力与相对转向半径关系,可以得出结论:

(1)牵引力制动力都随着转向半径的增大而减小;

(2)牵引力始终大于制动力。

图9是转向行驶速度为0.1 m/s、4.0 m/s、6.0m/s时转向阻力矩与相对转向半径的关系图,从图中可以看出随着相对转向半径的增加,转向阻力矩逐渐减小。

3 数据处理与试验验证

履带转向试验是模型验证的一个重要的验证方法,通过对履带车辆转向进行实车试验,测量履带车辆的运动学参数,并根据运动学与动力学之间的相互关系推导动力学参数。为了更加准确的测量所需的运动学参数,采用NI测试系统和GPS系统如图10。GPS系统主要负责测量转向运动轨迹、速度、航向角等参数。NI系统则负责一般性数据的采集,包括光电传感器、转矩传感器、数字罗盘、五轮仪等设备。

由于数据是有两个系统分别测量,时间上不一致,因此在使用数据之前需要对测量的数据进行滤波、同步、截断等处理。图11是试验数据处理流程。

图12、图13分别是滑移率和滑转率模型计算结果与试验数据的对比,图14是牵引力、制动力模型计算结果与试验数据的对比,从图中可以看出试验数据都分布于相应理论模型曲线附近并且趋势一致。

4 结论

本文根据Wong的剪切模型原理,基于履带车辆在硬质路面的接地压力试验数据提出载荷集中于负重轮下方的离散型分布模型,推导转向模型。解析各转向性能参数与相对转向半径之间的关系,最后通过试验数据进行验证。得出结论如下:

(1)建立履带车辆在集中载荷压力分布条件下,考虑滑移滑转以及离心力作用的转向模型,对模型进行运动学和动力学分析并最后求解。

(2)基于建立的转向模型进行数学仿真,分析了相对转向极偏移量ɑ1、ɑ2、ɑ3以及滑移率和滑转率等转向性能参数随不同转向行驶速度、不同相对转向半径的变化趋势,并得出结论。

(3)通过对转向试验的数据进行处理并与理论模型曲线进行对比,结果表明两者趋势和变化规律有较好的一致性,验证了所建立的转向模型的正确性。

参考文献

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[2] Steeds W.Tracked vehicles-an analysis of the factors involved in steering.Automobile Engineer,1950;14(3):143-148

[3] Kitano M,Jyozaki H.A theoretical analysis of steerability of tracked vehicles.Journal of Terramechanics,1976;13(4):24-30

[4] Wong J Y.Theory of ground vehicles.John Wiley,New York.2001;3:390-420

[5] Garber M,Wong J Y.Prediction of ground pressure distribution under tracked vehicles-I.an analytical method for prediction ground pressure distribution.Journal of Terramechanics,1981;18(1):1-23

[6] Wong J Y,Chiang C F.A general theory for skid steering of tracked vehicles on firm ground.Proceedings of the Institution of Mechanica Engineers,2001;215(3):343-355

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[8]魏宸官.一种履带车辆转向阻抗系数测定方法的实验研究.兵工学报,1984;2(1):23-35Wei C G.An experimental and theoretical study of a new method for determining the coefficient of the turning resistance of a tracked vehicle.Acta Armamentarii,1984;2(1):23-35

内环境与稳态训练试题篇4

一、选择题(每小题只有一个答案符合题意要求)

1.人体的内环境指的是

A.体液 B.细胞内液 C.细胞外液 D.血液

2.细胞外液中不包括下列中的()

A.血浆 B.组织液 C.淋巴 D.血液

3.能表明组织液、血浆和淋巴三者之间物质联系的正确图示是()

血浆组织液淋巴

4.人体细胞与外界环境之间进行物质交换，必须经过的系统是()

①消化系统 ②呼吸系统 ③神经系统 ④泌尿系统 ⑤循环系统

⑥运动系统 ⑦生殖系统 ⑧内分泌系统

A.①②③④ B.⑤⑥⑦⑧ C.①②④⑤ D.③⑥⑦⑧

5.对直接参与第4题中物质交换的各系统起调控作用的是()

A.①⑥ B.②⑦ C.③⑧ D.④⑥

6.下列各项中不属于影响稳态的因素是()

A.温度 B.酶 C.pH值 D.渗透压·

7.维持血液pH恒定的缓冲物质()。

A.都是由强酸和强碱盐组成的 B.都是由弱酸和弱碱盐组成的

C.都是由强酸和弱碱盐组成的 D.都是由弱酸和强碱盐组成的

8.稳态的生理意义是()

A.使体温维持相对恒定

B.使体液的pH保持相对稳定

C.使内环境的.渗透压处于相对平衡

D.是机体进行正常生命活动的必要条件

二、问答题

1.细胞进行生命活动产生的CO2进入血液后对血液的pH值影响，CO2能刺激中枢兴奋，进而使加快，从而将CO2排出体外。

稳态模型篇5

对建筑物室内排烟效果进行估算可以在建筑物发生火灾之前预测当建筑物内发生火灾时烟气是否可以及时排出, 来保障建筑物内人员的生命安全。

1 烟气的特点及危害

火灾危害主要是热量、烟气和缺氧这三种因素的作用。对于多数火灾而言, 相对于热量和燃烧造成的伤害, 烟气所造成的伤害最大。烟气中各种有毒有害成份、腐蚀性成份、颗粒物等以及火灾环境的高温、缺氧, 对生命财产以及生态环境都会造成很大破坏。

烟气是物质在燃烧过程中热分解生成的含有大量热量的气态、液态和固体粉粒与空气的混合物, 烟气组分取决于可燃物化学组成和燃烧时的温度和氧气供应是否充足等燃烧条件。完全燃烧时, 烟气成分以二氧化碳、一氧化碳和水蒸气为主;不完全燃烧时, 烟气不仅含有上述燃烧生成物, 还含有醇、醚等有机化合物。含碳量多的物质, 不充分燃烧时, 有大量的碳粒子生成。在阴燃阶段, 烟气以液滴粒子为主, 颜色发白或呈青白色;当温度上升至起火阶段, 因发生脱水反应, 产生大量游离碳粒子, 常呈灰色或灰黑色。

建筑一旦发生火灾, 往往火势凶猛, 浓烟弥漫, 使人惊慌失措, 容易出现烧伤和因吸入热空气而出现的中毒现象;此外烟气的扩散使光线模糊不清, 使疏散人员看不清出口或看不清疏散标志;特别是烟气中含有的多种有毒气体, 会使人窒息, 甚至死亡。

2 防排烟的必要性

(1) 为安全疏散创造有利条件。

火灾产生的烟气使人们在疏散时看不清疏散标志和周围环境, 甚至辨不清疏散方向, 找不到安全出口, 影响安全逃生。各国普遍认为, 当能见距离降低到3 m以下时, 逃离火场就十分困难。火灾统计和实验表明, 凡设有完善的防排烟设施的建筑, 一般都能为安全疏散创造有利条件。

(2) 为消防扑救创造有利条件。

火场实际情况表明, 若消防人员在房间充满烟雾的情况下进入火场, 由于浓烟和热气的作用, 往往使消防人员睁不开眼睛, 呼吸困难, 看不清火区的情况, 不能迅速找到起火点, 大大影响了灭火战斗力。若有防排烟措施, 情况则大不相同, 可以及时扑救火灾, 最大限度地减少损失。

(3) 可控制火势蔓延扩大。

实验表明, 有效的防烟分隔及完善的排烟设施不仅能排除火灾产生的大量烟气, 而且能排除火灾中70%～80%的热量, 起到控制火势蔓延的作用。

3 烟层稳态简化模型的理论计算

火源上方形成的上升气流一般可以分为3个区:连续火焰区、间歇火焰区、紊流区。室内发生初期火灾时, 顶棚下形成烟层的高度为间歇火焰区或紊流区。发生火灾时, 若房间上部空间容积小, 又不进行烟的控制, 烟层就会很快下降, 并向疏散通道蔓延, 对人员的疏散构成威胁。因此, 要使烟气不降到安全的界限以下, 必须做好排烟设计。现在大多数建筑物室内都设有侧墙开口用于自然通风, 当发生火灾时, 在没有机械排烟的情况下, 侧墙的自然排烟能不能有效地将屋内的烟气排出就至关重要。在发生火灾前对其排烟效果进行估算可以防患于未然。一般火灾发生后要持续一定的时间, 建立该时间内的烟气稳态预测模型要比非稳态预测模型简便得多。下面就对稳态烟层侧墙开口的排烟效果进行估算。

火灾紊流上升烟流量:对烟层下降有较大影响的紊流区段, 在高度Z处紊流流量mP见式 (1) :

式中:mP为紊流流量, kg/s;Cm为实验常数, 在空气未紊乱的空间, 可取Cm=0.21, 当周围空气紊乱时, 此值会增大;ρa为周围空气的密度, kg/m3;g为重力加速度, m/s2;Cp为空气定压比热, kJ/ (kg·K) ;Ta为周围的温度, K;Q为火源热释放速率, kW;Z为火源上方的高度, m;Z0为实际火源与假设火源之间的距离, m。

火源都是有一些规模的, 应用火灾紊流式 (1) 时, 在实际火源位置的下方存在某一假设点, 以该点为热源点, 火源高度从该点算起, 计算精度会更高, 这一假设位置距离实际火源位置见式 (2) :

式中:Z0为实际火源与假设火源之间的距离, m;D为火源的直径, m。

在建筑物的防烟设计中, 烟气流动的动力是建筑物内的气压差。与大气压相比, 气压差是很微小的。因此假设烟的密度不随高度而变化, 而近似的将烟气的密度看作绝对温度T (K) 的函数:

开口处的流量:设室内的压差为ΔP, 烟气流出量ms可由式 (4) 确定:

式中:ms为烟气流出量, kg/s;α为流量系数, 通常取0.7;Bd为开口的宽度, m;ρs为烟的密度, kg/m3;Hu为开口的上端高度, m。

稳定燃烧时, 烟层降至高度Z所需时间t可由式 (5) 、式 (6) 求出:

式中:H为室内高度, m;A为房间的建筑面积, m2。

若在距地面高度Z处的烟气的质量流量mP小于烟气的流出量ms, 则烟层不会下降;若mp大于ms, 则烟气层就会下降, 这时就要估算烟气层下降到安全极限2 m处的时间, 以方便制定安全有效的疏散措施, 保障室内人员的生命安全。

4 案例分析

着火房间设有面积较大位置偏高的窗洞等时, 烟气可通过高位开口排出室外。人员能安全疏散的烟层高度为距地面2 m, 下面就对如图1所示模型进行估算。

(1) 预测条件一。

房间的建筑面积A=30 m2, 室内高度H=5 m, 火源热释放速率Q=1 MW, 火源直径D=1.95 m, 周围的温度Ta=286 K, 烟气温度Ts=300 K, 空气定压比热Cp=1 kJ/ (kg·K) , 开口的上端高度Hu=4.5 m, 开口的宽度Bd=2 m, α=0.7, 室内的压差ΔP=0.5 Pa, g=10 m/s2。

通过计算可知, 室内2.5 m处 (即窗户的下边缘) 烟气的产生量mp=5.42 kg/s, 烟气的流出量ms=1.02 kg/s, mP>ms, 因此室内的烟气不能及时排出, 会对室内人员的生命造成威胁。疏散的安全极限为距地面2 m, 通过计算可知, 烟气下降到安全极限所用的时间为13.67 s, 所以, 室内人员需在13.67 s以内逃离出房间。

(2) 预测条件二。

房间建筑面积A=300 m2, 室内高度H=7 m, 火源热释放速率Q=1 MW, 火源直径D=1.95 m, 周围的温度Ta=286 K, 烟气温度Ts=300 K, 空气定压比热Cp=1 kJ/ (kg·K) , 开口的上端高度Hu=6 m, 开口的宽度Bd=3.5 m, α=0.7, 室内的压差ΔP=0.5 Pa, g=10 m/s2。

通过计算可知, 室内2.5 m处 (即窗户的下边缘) 烟气的产生量mP=5.42 kg/s, 烟气的流出量ms=7.01 kg/s, 烟气的产生量小于烟气的流出量, 因此, 室内烟气可以及时的排出室外, 不会对室内人员的生命造成威胁。

将条件二与条件一的计算结果做对比分析可知当火源及空气的参数一定时, 室内一定高度的烟气产生量是固定的, 而室内一定高度的烟气流出量与开口宽度有关, 开口越大, 烟气流出量越大。烟气的产生量和流出量与房间的面积无关。

5 结论

笔者对侧墙开口 (面积较大, 窗口位置偏高) 情况下的排烟效果进行了计算, 在计算中运用了诸多假设, 未考虑外部环境对烟气流动的影响。通过烟气的产生量和排出量的相互关系, 可判断室内的烟气是否会下降。当烟气的产生量小于排出量, 烟层不会下降, 能够及时通过窗户排出室外, 不会威胁到室内人员的生命安全。当烟气的产生量大于排出量, 烟气就会下降, 此时可计算室内人员可用的安全疏散时间, 只要室内人员在该时间内逃离房间, 就不会对其生命安全构成威胁。在房屋的建造设计阶段应对此予以考虑。

参考文献

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稳态模型篇6

拟稳态微波加热系统的最优控制的数学模型建立

微波加热是通过微波穿透到物质内部, 引起物体内部分子振动, 分子的相互撞击产生热能, 从而使物体温度升高, 达到加热的目的. 一般地, 微波被物质吸收的深度可达到几厘米左右, 因此微波能深入物体的深度多少, 就表示物体被加热的范围所在. 除此之外, 微波加热还是一种复合传热状态, 不仅涉及到微波能与热能的转换产生内热源, 同时还需要探讨具有内热能源的传热过程. 从数学模型上看, 微波加热可以描述为麦克斯韦方程与热传导方程的耦合. 接下来我们建立用来描述微波加热的数学模型.

在建立模型之前, 我们假设这个数学模型是一个拥有能热传导过程的模型, 令某一个可传导材料所占的区域Ω R3. 用分别表示在点x∈Ω 时间为t时的电场和磁场, 分别表示在区域 Ω 中的电通密度和磁导强度.

下面我们讨论电磁场与温度分布的相互影响, 根据电磁场理论和Ohm's定率

在区域 Ω 中的Maxwell方程可表示为:

其中 ε, u, σ 分别表示电场的介电常数 ( 简称电介电常数) , 磁场的介电常数 ( 简称磁介电常数) 和电场的传导率.而且, 根据电磁场理论, 我们还有如下一些关系式:

令u ( x, t) 表示在区域 Ω 中的温度, 考虑到动力系统的复杂性, 为了方便我们的研究计算, 我们将规范一下物理量ε 和 μ, 令: ε = μ = 1.

则微波所产生的热量为:

由Faraday定律和能量守恒定理, 温度场u ( x, t) 满足如下方程:

其中 ρ 是物质密度, c是比热系数, k为热传导系数.

由上面可以得到如下关于和u ( x, t) 的耦合系统为:

其中, QT= Ω × ( 0, T], T > 0, σ 和k分别表示为电传导率和热传导率.

当材料为可热传导, 且加热时有热传导过程时, 电场和磁场以及温度u ( x, t) 之间的关系可以有耦合系统 ( 2, 1) - ( 2. 3) 再加上适当的初边值条件来描述.

在工业应用当中, 有一种非常特殊的而又十分重要的情形, 当我们考虑材料是可导率非常大的时候 (比如铝) .这个时候电位移是可以忽略的, 即Et=0, 在物理学中我们称之为拟稳态的.若令a (x, u) =1/σ (x, u) 为材料的电阻率, 这时, 我们可以把系统 (2.1) - (2.3) 简化为:

当我们考虑有内磁源时, 系统 ( 2. 1) - ( 2. 3) 可以简化为:

进一步, 我们考虑边界条件, 可以用下面的模型来刻画我们的问题:

其中, g ( x, t) 为给定函数, u0 ( x) 为给定初始函数, 为边界Ω 的法向导数, QT= Ω × (0, T], G表示边界上的电场, g ( x, t) 表示在边界上的温度.

此外, 我们期待, 微波加热到终端达到希望的温度 ( 特别当uT ( x) ≡C时, 表示加热效果是温度均匀) , 并且所消耗的能量最小. 这是一个最优控制问题.

令容许控制集为Q ={q ∈ L∞ (0, T) : 0 ≤ q ( t) ≤ 1}.

定义目标泛函为:

其中 δ > 0, uT ( x) 是已知期待的终端温度, 且为耦合方程组初边值问题 ( 5. 2) — ( 5. 5) 的解.

最优控制问题 ( P) : 在容许控制集中寻找一个q0∈ Q, 使得目标泛函

稳态模型篇7

随着我国城市化率不断提高,非线性负载和单相负载也不断增多,城市电网中的三相四线制低压配电系统普遍存在三相负荷不平衡以及谐波污染的现象,导致用电设备损耗增加,并会产生配电系统中性线发热损耗,以及由于谐波造成的配电变压器涡流损耗及杂散损耗,从而使得用电效率下降[1,2]。针对上述问题,目前市场上已出现了多种基于不同原理的滤波节电方案,主要包括并联或串联无源滤波器、有源电力滤波器,以及曲折型变压器等,其中曲折型变压器由于具有零序滤波效果好,无谐振,成本低等优点而日益引起重视[3,4,5]。本文基于多绕组磁链耦合的原理介绍了一种基于曲折型自耦变压器的节电器稳态模型[6],理论分析和仿真结果表明该节电器既可滤除负载的零序基波和谐波电流,又可避免因电源侧电压的零序分量产生较大的零序电流。

1 曲折型自耦变压器结构特点

基于曲折型自耦变压器的节电器结线方式如图1所示,即每一相线圈包括三个绕组,分别绕在两个磁柱上,A、B、C端子为输入,a、b、c端子为输出,其中A1、B1、C1绕组的匝数为N1,A2、B2、C2、A3、B3、C3绕组的匝数为N2,N1<

由于该曲折型自耦变压器滤波功能的实现无需电容器件,因此不会引起谐波放大问题,适用领域较广,具有使用便捷,免于维护,成本低,结构科学简单,不易产生故障,安全可靠的优点。

2曲折型自耦变压器稳态模型

依图1所示曲折型自耦变压器各绕组的电压、电流相量及其参考方向,若取ω为系统频率,λ为变压器磁路的磁导,jωN21λ=A,jωN1N2λ=B,jωN22λ=C,r1、r2、r3分别为三相线圈第一绕组、第二绕组和第三绕组的电阻,并且有r2=r3,漏磁忽略不计,算子α=ej120°,则根据多绕组磁链耦合原理,绕组A1、B1、C1的电压为:

根据三相相量对称分量法,绕组A1、B1、C1电压的正、负、零序分量为:

式(1)代入式(2)有:

同理,绕组A2、B2、C2电压的正、负、零序分量为:

绕组A3、B3、C3电压的正、负、零序分量为:

由式( 3) - ( 5) 可得各绕组电压零序分量为:

结合式( 6) - ( 8) ,图2 所示电路的零序等值电路如图3 所示。图中Zs为配电系统的等效阻抗,Z'sN为系统侧中性线的等效阻抗,ZRN= r2+ r3,ZR= ( r1+ 2jωL1) 为曲折型自耦变压器的等效零序阻抗; iL0为用户侧由不平衡负荷和非线性负荷产生的等效电流源,Us0为系统侧三相电压不平衡时产生的零序电压。

可由叠加原理计算负载系统中性线的零序电流。考虑iL0对系统中性线产生的零序电流,将us0电压源短路,得到:

由于ZRN= r2+ r3,数值很小且远小于上式中的分母数值,因此,iL0注入负载系统侧的幅度将会减小。

将iL0电流源开路,考虑us0对负载系统的中性线产生的零序电流。得到:

由于ZR= r1+ 2jωL1,数值较大,因此可减小由于系统侧零序电压在中性线上产生的零序电流。

3 仿真结果分析

为验证前述理论分析的正确性,利用MATLAB的SIMULINK工具箱[7,8]对曲折型自耦变压器滤除零序基波/谐波的功能进行了仿真。

有关仿真参数的取值分别为: 线路阻抗r =0. 002Ω,L = 0. 0003H; 曲折型自耦变压器的各绕组匝数取N1 =10 匝,N2 = 150 匝; 铁芯磁导率系数为μc= 4π × 10- 6H / m; 绕组电阻r1= 0. 0002Ω,r2=0. 003Ω,r3= 0. 003Ω。

①三相不平衡度抑制功能仿真分析

取三相阻感负荷为Ra= 2Ω,Rb= 5Ω,Rc= 5Ω,La= Lb= Lc= 0. 0003H,图4 为无曲折型自耦变压器时的电流仿真结果,图5 为加装曲折型自耦变压器时的电流仿真结果,其中系统侧中性线电流大幅减小,证明了曲折型自耦变压器具有三相不平衡负荷的抑制功能。

②谐波抑制功能仿真分析

以三个单相整流负载为例,对具有三倍频次谐波的非线性负载条件下,曲折型自耦变压器的零序谐波抑制功能进行了仿真验证。图6 为没有加装曲折型自耦变压器时的电流仿真结果,图7 为加装曲折型自耦变压器后的电流仿真结果。

从图6 和图7 可知: 加装曲折型自耦变压器后,系统侧中性线上谐波电流几乎为零,可见曲折型自耦变压器具有抑制零序谐波电流的功能。

③系统侧电压不平衡时的仿真结果

在SIMULINK中设置系统侧电源含有5% 的零序电压分量,曲折型自耦变压器空载情况下仿真结果如图8 所示。

可见在系统侧电压中出现零序电压分量时,中性线电流仍然几乎为0,证明曲折型自耦变压器不会因系统侧零序电压分量而产生过大的零序电流。

4 结束语

稳态模型篇8

在石油地震勘探中[1,2], 埋于地表下的炸药爆炸后, 各油层对地震波的反射构成的反射系数序列可用Bernoulli-Gussian白噪声描写, 它作为输入信号被在地面上的传感器接收。要解决由传感器的接收信号估计白噪声输入信号问题, 这类问题叫反卷积或输入估计。求最优输入白噪声估值器对于判断是否有油田及确定油田几何形状具有重要应用意义。此外, 白噪声估计问题在通讯、信号处理、状态估计等领域也有重要的应用背景。文献[1, 2]用Kalman滤波方法提出了输入白噪声估值器。为了提高输入白噪声估计精度和估计的可靠性, 可在地面上采用多传感器同时接收反射地震波, 设计信息融合白噪声估值器。最近文献[3, 4]用Kalman滤波方法基于Riccati方程提出了多传感器信息融合白噪声反卷积估值器。当各传感器的观测噪声为不同的有色噪声时, 用增广状态方法[5], 引出带不同局部动态模型多模型的多传感器系统。现应用现代时间序列分析方法[5], 基于ARMA新息模型对于多模型多传感器系统, 在按标量加权最优融合准则下[6], 提出了最优加权融合稳态白噪声反卷积估值器 (滤波器、平滑器、预报器) 。

1问题阐述

考虑多模型多传感器系统

$\begin{array}{l} x_{i} (t + 1) = Φ_{i} x (t) + B_{i} u (t) + Γ_{i} w (t) (1) \\ y_{i} (t) = Η_{i} x_{i} (t) + v_{i} (t), i = 1, \dots ‚ L (2) \\ w_{c} (t) = C_{i} w_{i} (t) (3) \end{array}$

其中xi (t) ∈Rni是状态, yi (t) ∈Rmi是第i传感器的观测信号, ui (t) ∈Rpi 为控制, wi (t) ∈Rri为第i子系统的输入白噪声, vi (t) ∈Rmi为观测白噪声, wc (t) ∈Rr为各子系统的公共输入白噪声。Φi, Bi, Γi, Hi, Ci是已知常阵。

假设1wi (t) ∈Rpi和vi (t) ∈Rmi是零均值相关白噪声:

$E {[\begin{matrix} w_{i} (t) \\ v_{i} (t) \end{matrix}] [\begin{matrix} w_{j}^{Τ} (k) & v_{j}^{Τ} \end{matrix} (k)]} = [\begin{matrix} Q_{i j} & S_{i j} \\ S_{j i}^{Τ} & R_{i j} \end{matrix}] δ_{t k} (4)$

其中E为均值号, T为转置号, δtt=1, δtk=0 (t≠k) 。

假设2u (t) 是已知的。

假设3 (Φi, Hi) 完全可观对, βi为可观性指数。

假设4 初始时刻t0=-∞。

问题是基于 (yi (t+N) , yi (t+N-1) , …) 和 (ui (t+N-1) , …) (i=1, …, L) 求公共白噪声wc (t) 的局部稳态估值器 $\hat{w}_{c i} (t | t + Ν)$ 和最优加权融合稳态估值器 $\hat{w}_{c 0} (t | t + Ν), Ν = 0, Ν > 0$ , 或N<0。

2稳态最优信息融合白噪声反卷积估值器

由式 (1) 和式 (2) 有

$y_{i} (t) = Η_{i} (Ι_{n_{i}} - q^{- 1} Φ_{i})^{- 1} Γ_{i} q^{- 1} w_{i} (t) + v_{i} (t) (5)$

(5) 式中q-1为单位滞后算子。引入左素分解

$Η_{i} (Ι_{n_{i}} - q^{- 1} Φ_{i})^{- 1} Γ_{i} q^{- 1} = A_{i}^{- 1} (q^{- 1}) B_{i} (q^{- 1}) (6)$

则有ARMA新息模型

$A_{i} (q^{- 1}) y_{i} (t) = D_{i} (q^{- 1}) ε_{i} (t) (7)$

(7) 式中Di (q-1) 是稳定的, 新息εi (t) ∈Rmi是零均值, 方差阵为Qεi的白噪声, 且有关系

$D_{i} (q^{- 1}) ε_{i} (t) = B_{i} (q^{- 1}) w_{i} (t) + A_{i} (q^{- 1}) v_{i} (t) (8)$

(8) 式中Di (q-1) , Ai (q-1) 和Bi (q-1) 是多项式矩阵, 形如Xi (q-1) =Xi0+Xi1q-1+…+Xinxiq-nxi, Xinxi≠0, Xij=0 (j>nx) 且Di0=Imi, Ai0=Imi, Bi0=0。Di (q-1) 和Qεi可用Gevers-Wouters算法求得[5]。

引理1 多传感器定常系统式 (1) ～式 (3) 在假设1～假设4下, 第i传感器子系统有局部稳态最优Kalman预报器

$\begin{array}{l} \hat{x}_{i} (t + 1 | t) = Ψ_{p i} \hat{x}_{i} (t | t - 1) + B_{i} u_{i} (t) + Κ_{p i} y_{i} (t) (9) \\ ε_{i} (t) = y_{i} (t) - Η_{i} \hat{x}_{i} (t | t - 1) (10) \\ Ψ_{p i} = \bar{Φ}_{i} - \bar{Κ}_{p i} Η_{i} (11) \\ \bar{Κ}_{p i} = \bar{Φ}_{i} Κ_{f i}, \bar{Φ} = Φ_{i} - J_{i} Η_{i} (12) \\ Κ_{f i} = [\begin{matrix} Η_{i} \\ Η_{i} Φ_{i} \\ ⋮ \\ Η_{i} Φ_{i}^{β_{i} - 1} \end{matrix}]^{+} [\begin{matrix} Ι_{m} - R_{i i} Q_{ε i}^{- 1} \\ Μ_{k}^{(i)} \\ ⋮ \\ Μ_{β_{i} - 1}^{(i)} \end{matrix}] (13) \\ Κ_{p i} = \bar{Κ}_{p i} + J_{i}, J_{i} = Γ_{i} S_{i j} R_{i j}^{- 1} (14) \end{array}$

矩阵M $_{k}^{(i)}$ 可递推计算为

$\begin{array}{l} Μ_{k}^{(i)} = - A_{i 1} Μ_{k - 1}^{(i)} - \dots - A_{i n_{a}} Μ_{k - i n_{a} i}^{(i)} + D_{i k} ； \\ k = 1, \dots, β - 1 。 \end{array}$

其中规定

$\begin{array}{l} Μ_{0}^{(i)} = Ι_{m}_{_{i}}, Μ_{k}^{(i)} = 0 \\ (k < 0), D_{i k} = 0 (k > n_{d i}) (15) \end{array}$

稳态预报误差协方差阵Σij $= E [\tilde{x}_{i} (t + 1 | t) \tilde{x}_{j}^{Τ} (t + 1 | t)]$ 满足Lyapunov方程

$Σ_{i j} = Ψ_{p i} Σ_{i j} Ψ_{p j}^{Τ} + [Ι_{n} - \bar{Κ}_{p i}] [\begin{matrix} S_{i j}^{11} & S_{i j}^{12} \\ S_{i j}^{21} & S_{i j}^{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} Ι_{n} \\ - \bar{Κ}_{p j}^{Τ} \end{matrix}] (16)$

(16) 式中

$\begin{array}{l} S_{i j}^{11} = Γ_{i} Q_{i j} Γ_{j}^{Τ} - J_{i} S_{j i}^{Τ} Γ_{j}^{Τ} - Γ_{i} S_{i j} J_{j}^{Τ} + J_{i} R_{i j} J_{j}^{Τ} (17) \\ S_{i j}^{12} = Γ_{i} S_{i j} - J_{i} R_{i j} (18) \\ S_{i j}^{21} = S_{j i}^{Τ} Γ_{j}^{Τ} - R_{i j} J_{j}^{Τ} ‚ S_{i j}^{22} = R_{i j} (19) \end{array}$

证明见文献[5] 。

引理2 多传感器定常系统式 (1) ～式 (3) 在假设1～假设4下, 第i传感器子系统有局部稳态最优白噪声反卷积估值器

$\begin{array}{l} \hat{w}_{i} (t | t + Ν) = 0, Ν < 0 (20) \\ \hat{w}_{i} (t | t + Ν) = \sum_{k = 0}^{Ν} Μ_{i i} (k) ε_{i} (t + k), Ν \geq 0, \\ i = 1, \dots, L (21) \end{array}$

(2) 式中定义

$\begin{array}{l} Μ_{i i} (0) = S_{i i} Q_{ε i}^{- 1} (22) \\ Μ_{i i} (1) = D_{i i} Η_{i}^{Τ} Q_{ε i}^{- 1} (23) \\ Μ_{i i} (k) = D_{i i} Ψ_{Ρ j}^{Τ (k - 1)} Η_{i}^{Τ} Q_{ε i}^{- 1}, k > 1 (24) \\ D_{i i} = Q_{i i} Γ_{i}^{Τ} - S_{i i} Κ_{p i}^{Τ} (25) \end{array}$

局部估值误差 $\tilde{w}_{i} (t | t + Ν) = w_{i} (t) - \hat{w}_{i} (t | t + Ν)$ 相应的稳态误差方差阵P $_{i i}^{w}$ (N) 为

$\begin{array}{l} Ρ_{i i}^{w} (Ν) = Q_{i i} - \sum_{k = 0}^{Ν} Μ_{i i} (k) Q_{ε i} Μ_{i i}^{Τ} (k), Ν \geq 0 (26) \\ Ρ_{i i}^{w} (Ν) = Q_{i i}, Ν < 0 (27) \end{array}$

证明见文献[5]。

定理1 多传感器定常系统式 (1) ～式 (3) 在假设1～假设4下, 局部白噪声估计稳态误差互协方差阵

$\begin{array}{l} Ρ_{i j}^{w} (Ν) = Q_{i j} - \sum_{k = 0}^{Ν} Κ_{i j} (k) Q_{ε j}^{- 1} Κ_{j j}^{Τ} (k) - \sum_{k = 0}^{Ν} Κ_{i i} (k) \times \\ Q_{ε i}^{- 1} Κ_{j i}^{Τ} (k) + \sum_{r = 0}^{Ν} \sum_{s = 0}^{Ν} Μ_{i i} (r) E_{i j} (r, s) Μ_{j j}^{Τ} (s), Ν \geq 0 (28) \\ Ρ_{i j}^{w} (Ν) = Q_{i j}, Ν < 0 (29) \end{array}$

其中定义Kij (k) =E[wi (t) εTj (t+k) ], 有

$\begin{array}{l} Κ_{i j} (k) = S_{i j} δ_{k 0} + (Q_{i j} Γ_{j}^{Τ} - S_{i j} \bar{Κ}_{Ρ j}^{Τ} - S_{i i} J_{j}^{Τ}) Ψ_{Ρ j}^{Τ (k - 1)} Η_{j}^{Τ} (30) \\ Κ_{j i} (k) = S_{j i} δ_{k 0} + (Q_{j i} Γ_{i}^{Τ} - S_{j i} \bar{Κ}_{Ρ i}^{Τ} - S_{j i} J_{i}^{Τ}) Ψ_{Ρ i}^{Τ (k - 1)} Η_{i}^{Τ} (31) \end{array}$

其中定义

$Μ_{i i} (k) = Κ_{i i} (k) Q_{ε i}^{- 1} (32)$

定义

$E_{i j} (r, s) = E [ε_{i} (t + r) ε_{j}^{Τ} (t + s)] (33)$

当min (r, s) >0时

$\begin{array}{l} E_{i j} (r, s) = Η_{i} Ψ_{Ρ i}^{r} Σ_{i j} Ψ_{Ρ j}^{Τ S} Η_{j}^{Τ} + \sum_{k = 1}^{\min (r, s)} Η_{i} Ψ_{Ρ i}^{r - k} \times \\ [Ι_{n}, - \bar{Κ}_{Ρ i}] [\begin{array}{l} S_{i j}^{11} \\ S_{i j}^{21} \end{array} \begin{array}{l} S_{i j}^{12} \\ S_{i j}^{22} \end{array}] [\begin{array}{l} Ι_{n} \\ - \bar{Κ}_{Ρ j}^{Τ} \end{array}] Ψ_{Ρ j}^{Τ (S - k)} Η_{j}^{Τ} + R_{i j} δ_{r s} (33) \\ S_{i j}^{11} = Γ_{i} Q_{i j} Γ_{j}^{Τ} - J_{i} S_{j i}^{Τ} Γ_{j}^{Τ} - Γ_{i} S_{i j} J_{j}^{Τ} + J_{i} R_{i j} J_{j}^{Τ} (34) \\ S_{i j}^{12} = Γ_{i} S_{i j} - J_{i} R_{i j}, S_{i j}^{21} = S_{j i}^{Τ} Γ_{j}^{Τ} - R_{i j} J_{j}^{Τ} (35) \\ S_{i j}^{22} = R_{i j} (36) \end{array}$

当min (r, s) =0时

$\begin{array}{l} E_{i j} (0, 0) = Η_{i} Σ_{i j} Η_{j}^{Τ} + R_{i j} (37) \\ E_{i j} (r, 0) = Η_{i} Ψ_{Ρ i}^{r} Σ_{i j} Η_{j}^{Τ} + Η_{i} Ψ_{Ρ i}^{r - 1} \times \\ [Γ_{i} S_{i j} - \bar{Κ}_{Ρ i} R_{i j} - J_{i} R_{i j}] (38) \\ E_{i j} (0, s) = Η_{i} Σ_{i j} Ψ_{Ρ j}^{Τ S} Η_{j}^{Τ} + [S_{j i}^{Τ} Γ_{j}^{Τ} - R_{i j} \bar{Κ}_{Ρ j}^{Τ} - R_{i j} J_{j}^{Τ}] \times \\ Ψ_{Ρ j}^{Τ (S - 1)} Η_{j}^{Τ} (39) \end{array}$

证明由P $_{i j}^{w}$ (N) 的定义有

$\begin{array}{l} Ρ_{i j}^{w} (Ν) = E [(w_{i} (t) - \hat{w}_{i} (t | t + Ν)) \times \\ (w_{j} (t) - \hat{w}_{j} (t | t + Ν))^{Τ}] = Q_{i j} - E [\hat{w}_{i} (t | t + Ν) \times \\ w_{j}^{Τ} (t)] - E [w_{i} (t) \hat{w}_{j}^{Τ} (t | t + Ν)] + \\ E [\hat{w}_{i} (t | t + Ν) \hat{w}_{j}^{Τ} (t | t + Ν)] (40) \end{array}$

定义

$\begin{array}{l} Κ_{i j} (k) = E [w_{i} (t) ε_{j}^{Τ} (t + k)], \\ Κ_{j i} (k) = E [w_{j} (t) ε_{i}^{Τ} (t + k)] (41) \end{array}$

由射影公式有

$\begin{array}{l} E [\hat{w}_{i} (t | t + Ν) w_{j}^{Τ} (t)] = \sum_{k = 0}^{Ν} Μ_{i i} (k) \times \\ E [ε_{i} (t + k) w_{j}^{Τ} (t)] = \sum_{k = 0}^{Ν} Κ_{i i} (k) Q_{ε i}^{- 1} Κ_{j i}^{Τ} (k) (42) \\ E [w_{i} (t) \hat{w}_{j}^{Τ} (t | t + Ν)] = \sum_{k = 0}^{Ν} E [w_{i} (t) ε_{j}^{Τ} (t + k)] \times \\ Μ_{j j}^{Τ} (k) = \sum_{k = 0}^{Ν} Κ_{i j} (k) Q_{ε j}^{- 1} Κ_{j j}^{Τ} (k) (43) \\ E [\hat{w}_{i} (t | t + Ν) \hat{w}_{j}^{Τ} (t | t + Ν)] = \sum_{r = 0}^{Ν} \sum_{s = 0}^{Ν} Μ_{i i} (r) \times \\ E_{i j} (r, s) Μ_{j j}^{Τ} (s) (44) \end{array}$

下面求Kij (k) , Kji (k) 。

$\begin{array}{l} Κ_{i j} (k) = E [w_{i} (t) ε_{j}^{Τ} (t + k)] = \\ E [w_{i} (t) ((Γ_{j} w_{j} (t) - Κ_{Ρ j} v_{j} (t))^{Τ} Ψ_{Ρ j}^{Τ (k - 1)} Η_{j}^{Τ} + v_{j}^{Τ} (t + k))] = \\ [Q_{i j} Γ_{j}^{Τ} - S_{i j} \bar{Κ}_{Ρ j}^{Τ} - S_{i j} J_{j}^{Τ}] Ψ_{Ρ j}^{Τ (k - 1)} Η_{j}^{Τ} + S_{i j} δ_{k 0} (45) \\ Κ_{j i} (k) = E [w_{j} (t) ε_{i}^{Τ} (t + k)] = \\ E [w_{j} (t) ((Γ_{i} w_{i} (t) - Κ_{Ρ i} v_{i} (t))^{Τ} Ψ_{Ρ i}^{Τ (k - 1)} Η_{i}^{Τ} + v_{i}^{Τ} (t + k))] = \\ [Q_{j i} Γ_{i}^{Τ} - S_{j i} \bar{Κ}_{Ρ i}^{Τ} - S_{j i} J_{i}^{Τ}] Ψ_{Ρ i}^{Τ (k - 1)} Η_{i}^{Τ} + S_{j i} δ_{k 0} (46) \end{array}$

故式 (30) 和式 (31) 可证。

下面求Eij (r, s) 。注意关系[5]

$\begin{array}{l} \tilde{x}_{i} (t + 1 | t) = Ψ_{p i} \tilde{x}_{i} (t | t - 1) + \bar{w}_{i} (t) - \bar{Κ}_{p i} v_{i} (t) (47) \\ \bar{w}_{i} (t) = Γ_{i} w_{i} (t) - J_{i} v_{i} (t) (48) \\ ε_{i} (t) = Η_{i} \tilde{x}_{i} (t | t - 1) + v_{i} (t) (49) \end{array}$

由式 (47) 迭代引出

$\begin{array}{l} ε_{j} (t + s) = Η_{j} \tilde{x}_{j} (t + s | t + s - 1) + v_{j} (t + s) = \\ Η_{j} Ψ_{p j}^{s} \tilde{x}_{j} (t | t - 1) + \sum_{k = 0}^{r} Η_{j} Ψ_{p j}^{s - k} \times \\ [Ι_{n}, - \bar{Κ}_{p j}] [\begin{array}{l} \bar{w}_{j} (t + k - 1) \\ v_{j} (t + k - 1) \end{array}] + v_{j} (t + s) (50) \end{array}$

由此引出, 当min (r, s) >0, 式 (33) ～式 (36) 成立。

当min (r, s) =0时, 根据式 (4) 、式 (50) 和式 (51) 得式 (37) ～式 (39) 。

定理2 多传感器定常系统式 (1) ～式 (3) 的局部最优稳态反卷积估值器

$\hat{w}_{c i} (t | t + Ν) = C_{i} \hat{w}_{i} (t | t + Ν), i = 1, \dots, L (51)$

相应局部估值误差为

$\tilde{w}_{c i} (t | t + Ν) = w_{c} (t) - \hat{w}_{c i} (t | t + Ν) (52)$

局部估值误差互协方差阵为

$Ρ_{i j}^{w c} (Ν) = C_{i} Ρ_{i j}^{w} (Ν) C_{j}^{Τ}, i = 1, \dots, L (53)$

(53) 式中P $_{i j}^{w}$ (N) 已由定理1得到。

最优标量加权公共白噪声反卷积估值器为

$\hat{w}_{c 0} (t | t + Ν) = \sum_{i = 1}^{L} α_{i}^{(Ν)} (t) \hat{w}_{c i} (t | t + Ν) (54)$

(54) 式中最优加权系数α $_{i}^{(Ν)}$ 为

$[α_{1}^{(Ν)}, \dots, α_{L}^{(Ν)}] = [e^{Τ} (Ρ^{w c} (Ν))^{- 1} e]^{- 1} e^{Τ} (Ρ^{w c} (Ν))^{- 1} (55)$

(55) 式中eT=[1, …, 1], Pwc (N) = (trP $_{i j}^{w c}$ (N) ) 是以trP $_{i j}^{w c}$ (N) 为

第 (i, j) 元素的L×L矩阵。最小融合误差方差阵为最小融合误差方差阵, 为

$Ρ_{o}^{w c} (Ν) = \sum_{i, j = 1}^{L} α_{i}^{(Ν)} α_{j}^{(Ν)} Ρ_{i j}^{w c} (Ν) (56)$

且有精度关系

$t r Ρ_{0}^{w c} (Ν) \leq t r Ρ_{i i}^{w c} (Ν), i = 1, \dots, L (57)$

证明由式 (3) 和射影性质引出式 (51) 。由式 (3) 减式 (51) 引出

$\tilde{w}_{c i} (t | t + Ν) = C_{i} \tilde{w}_{i} (t | t + Ν), i = 1, \dots, L (58)$

故式 (53) 成立。由按标量加权最优融合公式[6], 引出式 (55) ～式 (58) 。

3仿真例子

考虑3传感器定常线性离散随机系统

$\begin{array}{l} x (t + 1) = Φ x (t) + Γ w_{c} (t) (59) \\ y_{i} (t) = Η_{0} x (t) + η_{i} (t) + e_{i} (t), i = 1, 2, 3 (60) \\ Ρ_{i} (q^{- 1}) η_{i} (t) = R_{i} (q^{- 1}) ξ_{i} (t) i = 1, 2, 3 (61) \\ w_{c} (t) = b (t) g (t) (62) \end{array}$

其中ei (t) , ξi (t) 是零均值, 方差分别为σ $_{e_{i}}^{2}$ σ $_{ξ_{i}}^{2}$ 的独立正态白噪声, wc (t) =b (t) g (t) 为Bernoulli-Gaussian白噪声, 概率为:P (b (t) =1) =λ, P (b (t) =0) =1-λ, 且g (t) 为零均值, 方差为σ $_{g}^{2}$ 的白噪声, 独立于b (t) 。易知关系σ $_{w_{c}}^{2}$ =λσ $_{g}^{2}$ 。ηi (t) 为有色观测噪声。求白噪声wc (t) 的反卷积估值器 $\hat{w}_{c i} (t | t + 2) ‚ i = 1, 2, 3$ , 并求由它们标量加权构成的白噪声最优融合反卷积估值器 $\hat{w}_{c 0} (t | t + 2)$ 。

仿真中取λ=0.2, σ $_{g}^{2}$ =0.5;

$\begin{array}{l} σ_{v_{1}}^{2} = 0.008 ‚ σ_{v_{2}}^{2} = 0.013 ‚ σ_{v_{3}}^{2} = 0.017 ‚ \\ σ_{ξ_{1}}^{2} = 0.03 ‚ σ_{ξ_{2}}^{2} = 0.02 ‚ σ_{ξ_{3}}^{2} = 0.01 ‚ \\ Φ = [\begin{matrix} 1.5 & 1 \\ - 0.56 & 0 \end{matrix}] ‚ Γ = [\begin{matrix} 0.4 \\ 0 \end{matrix}] ‚ Η_{0} = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] ‚ \\ Ρ_{1} (q^{- 1}) = 1 - 0.1 q^{- 1} - 0.06 q^{- 2}, R_{1} (q^{- 1}) = 1 - 0.4 q^{- 1} ‚ \\ Ρ_{2} (q^{- 1}) = 1 - 0.3 q^{- 1} - 0.1 q^{- 2}, R_{2} (q^{- 1}) = 1 + 0.1 q^{- 1} ‚ \\ Ρ_{3} (q^{- 1}) = 1 + 0.3 q^{- 1} - 0.04 q^{- 2}, R_{3} (q^{- 1}) = 1 - 0.2 q^{- 1} 。 \end{array}$

将式 (61) 化为状态空间模型为

$\begin{array}{l} α_{i} (t + 1) = Ρ_{i} α_{i} (t) + R_{i} ξ_{i} (t) (63) \\ η_{i} (t) = \bar{Η}_{i} α_{i} (t) + ξ_{i} (t) (64) \end{array}$

其中 (Pi, $\bar{Η}$ i) 为伴随形[5]。在式 (59) ～式 (64) 中引入增广状态和增广噪声, 有下面的增广系统

$\begin{array}{l} x_{i} (t + 1) = Φ_{i} x_{i} (t) + Γ_{i} w_{i} (t) (65) \\ y_{i} (t) = Η_{i} x_{i} (t) + v_{i} (t), i = 1, 2, 3 (66) \\ w_{c} (t) = C_{i} w_{i} (t) (67) \end{array}$

其中

由式 (67) , wc (t) 是各子系统公共输入白噪声。显然可求得最优加权系数各为a $_{1}^{(2)}$ =0.105 06, a $_{2}^{(2)}$ =0.287 89 , a $_{3}^{(2)}$ =0.452 46。局部和融合估计误差方差P $_{i i}^{w c}$ (N) 见表1

仿真结果由图1～图5给出, 由上述P $_{i i}^{w c}$ (2) 得到P $_{0}^{w c}$ (2) ≤P $_{i i}^{w c}$ (2) , i=1, 2, 3。由此看到信息融合估计可提高局部估计精度, 其中实线端点纵标代表真实值wc (t) , 圆点代表估值 $\hat{w}_{c i} (t | t + 2)$ 。可看到融合估计精度高于每个局部估计精度。图5累积平滑误差曲线, 也可看到最优融合估计精度高于每个局部估计精度。

4结束语

应用基于现代时间序列分析方法, 基于ARMA新息模型, 对带有公共输入白色观测噪声的多模型多传感器定常系统, 依据按标量加权最优信息融合规则, 提出公共输入白噪声的稳态反卷积估值器。改善了局部估值器精度。它在石油地质勘探、通信和信号处理等领域用重要应用背景。

参考文献

[1]Mendel J M.White-noise estimators for seismic data processing in oil exploration.IEEE Transactions Automatic Control, 1977;22 (5) :694—706

[2]Mendel J M.Optimal seismic deconvolution:an estimation-based ap-proach.New York:Academic Press, 1983

[3]邓自立, 王佳伟, 张明波.统一和通用的白噪声信息融合反卷积估值器.科学技术与工程, 2006;6 (14) :661—668

[4]邓自立, 王欣, 李云.多传感器分布式融合白噪声反卷积滤波器.电子与信息学报, 2006;28 (7) :1179—1182

[5]邓自立.最优估计理论及其应用——建模、滤波、信息融合估计.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2005

稳态模型篇9

∂tn+divj=γΔn;

$\begin{array}{l} \partial_{t} j + d i v (\frac{j ⨂ j}{n}) - n \nabla V + Τ \nabla n - \frac{ε^{2}}{2} n \nabla (\frac{Δ \sqrt{n}}{\sqrt{n}}) = \\ - \frac{j}{τ} + γ Δ j; \end{array}$

λ2ΔV=n-C(x)。

其中,n(x,t),j(x,t),V(x,t),C(x)分别表示电子浓度,电子电流密度,电位势和掺杂浓度,T>0表示温度常数,ε>0是Planck常数, τ>0表示动量松弛时间常数,λ>0表示Debye长度, γ>0表示黏滞常数。此模型大多在一维空间中讨论,要在高维空间中讨论张量积j⨂j和量子项 $\frac{ε^{2}}{2} n \nabla (\frac{Δ \sqrt{n}}{\sqrt{n}})$ 是很困难的。文献[1]中讨论了一维空间中双极等温模型的解的存在性[2,3]。在二维和三维空间中讨论了古典流体力学方程组(ε=0,γ=0)的次音速流。文献[4]中讨论了一维空间中的超音速流,在文献[5,6]中讨论的是二维空间中无量子项的黏滞流体力学方程组(ε=0,γ>0)。当ε>0,γ=0时,我们得到的是半导体模型中的量子流体力学方程组,可用来分析量子半导体器件中的电子流,如振荡二极管[7],关于子流体力学方程组的导出及证明在[7,8,9]均有讨论。

文章考虑的是在一类特别的黏滞项下讨论对于所有的电流密度,无论等温还是等熵情形,对应的双极黏滞量子流体力学模型都存在一个正解。

一维空间中带黏滞项B=n(β(n))xx的稳态双极量子流体力学模型:

$\begin{array}{l} j_{x} = 0 ‚ x \in Ω (1) \\ (\frac{j^{2}}{n} + Τ Ρ_{1} (n))_{x} - n V_{x} - ε^{2} n (\frac{(\sqrt{n})_{x x}}{\sqrt{n}})_{x} = \\ - \frac{j}{τ (x)} - γ n (β (n))_{x x} ； x \in Ω (2) \\ h_{x} = 0 ； x \in Ω (3) \\ (\frac{h^{2}}{p} + Τ Ρ_{1} (p))_{x} + p V_{x} - ε^{2} p (\frac{(\sqrt{p})_{x x}}{\sqrt{p}})_{x} = \\ - \frac{j}{τ (x)} - γ p (β (p))_{x x} ； x \in Ω (4) \\ λ^{2} V_{x x} = n - p - C (x) ； x \in Ω (5) \end{array}$

式(1)～(5)中Ω=(0,1),j(x,t),h(x,t)分别表示空穴浓度、空穴电流密度,其他记号同上,且j,h>0。假设边界条件

n(0)=n0,n(1)=n1,p(0)=p0,V(0)=V0,Vx(0)=-E0(6)

$\begin{array}{l} ε^{2} \frac{(\sqrt{n})_{x x} (0)}{\sqrt{n_{0}}} - γ β^{'} (n_{0}) n_{x} (0) = \frac{j^{2}}{2 n_{0}^{2}} + Τ Η (n_{0}) - \\ V_{0} + Κ (7) \end{array}$

$\begin{array}{l} ε^{2} \frac{(\sqrt{p})_{x x} (0)}{\sqrt{p_{0}}} - γ β^{'} (p_{0}) p_{x} (0) = \frac{h^{2}}{2 p_{0}^{2}} + Τ Η (p_{0}) + \\ V_{0} + Κ (8) \end{array}$

这里H(s)为焓函数,H′(s)=P′1(s)/s,s>0且H(1)=0,K>0为常数在下文给出(见式(14)),相应地,等温时H(s)=lns(s>0),等熵时 $Η (s) = \frac{α}{α - 1} (s^{α} - 1) (s > 0), α > 1$ 。

注1 由于式(2)、式(4)为三阶方程,需要关于n,p的三个边界条件。我们只在点x=0刻画了电势V,而没有在x=1处给出描述,是因为可由微分方程组的解来计算外加电势V(1)-V(0)。条件式(7)和式(8)可作为量子Fermi势的一个边界条件(或量子[10])。

本章的主要假设之一就是黏滞项的选取:

$β (n) = - \frac{1}{r - 1} \frac{1}{n^{(r - 1) / 2}}$ ;r>4(9)

在上述假设下,对任意的电流密度,模型式(1)—式(8)都存在一个正解。

1 方程变形及主要假设与结论

由式(1),式(3)知相对于x,j,h为常数,由式(2)得

$n [\frac{j^{2}}{2 n^{2}} + Τ Η (n) - V - ε^{2} \frac{(\sqrt{n})_{x x}}{\sqrt{n}} + j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ n} + γ β (n)_{x}]_{x} = 0$ 。

上式两边同除以n>0,并在(0,x)上积分,得 $\frac{j^{2}}{2 n^{2}} + Τ Η (n) - V - ε^{2} \frac{(\sqrt{n})_{x x}}{\sqrt{n}} + j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ n} + γ β (n)_{x} = - Κ 。$

其中K是满足式(7)、式(8)的常数。

同理,由式(4)和式(8)可得

$\frac{h^{2}}{2 p^{2}} + Τ Η (p) + V - ε^{2} \frac{(\sqrt{p})_{x x}}{\sqrt{p}} + h \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ p} + γ β (p)_{x} = - Κ 。$

令 $ω = \sqrt{n}, u = \sqrt{p}$ ,则式(1)—式(8)可变为

$\begin{array}{l} ε^{2} ω_{x x} = \frac{j^{2}}{2 ω^{3}} + Τ ω Η (ω^{2}) - V ω + Κ ω + \\ j ω \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ ω^{2}} + γ \frac{ω_{x}}{ω^{r}} (10) \end{array}$

$\begin{array}{l} ε^{2} u_{x x} = \frac{h^{2}}{2 u^{3}} + Τ u Η (u^{2}) + V u + Κ u + \\ h u \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ u^{2}} + γ \frac{u_{x}}{u^{r}} (11) \end{array}$

λ2Vxx=ω2-u2-C(x) (12)

边界条件

ω(0)=ω0,ω(1)=ω1,u(0)=u0,u(1)=u1;

V(0)=V0,Vx(0)=-E0 (13)

式(13)中

$ω_{0} = \sqrt{n_{0}}, ω_{1} = \sqrt{n_{1}}, u_{0} = \sqrt{p_{0}}, u_{1} = \sqrt{p_{1}}$ 。常数K的选取如下:

$\begin{array}{l} Κ ~ V_{0} + \max (- E_{0}, 0) + λ^{- 2} Μ (14) \\ Μ ~ \max (ω_{0}, ω_{1}, u_{0}, u_{1}, Μ_{0}) (15) \end{array}$

M0满足H(M0)≥0,常数K的给定使得-V(x)+K≥0,V(x)+K≥0成立。

需要以下假设:

(A1) H(s)∈C1(0,+∞)。

P′1(H′(s)=P′1(s)/s,s>0)是非减的,并且H满足

$\lim_{s \to + \infty} Η (s) > 0, \lim_{s \to 0^{+}} Η (s) < 0, \lim_{s \to 0^{+}} \sqrt{s} Η (s) > - \infty (16)$

(A2) C∈L2(Ω);在Ω中,

C≥0,τ∈L∞(Ω),τ(x)≥τ0>0。

(A3) j,h,ω0,ω1,u0,u1,ε,λ,T,γ>0;V0,E0∈R。

下面给出主要定理。

定理设(A1)—(A3)成立,T足够大,则对任意的j,h>0,方程组式(10)—式(13)存在一个解 $(ω, u, V) \in (C^{2} (\bar{Ω}))^{3}$ ,满足

0<m(γ)≤ω(x),u(x)≤M,

对所有的x∈Ω成立。

注2:常数m(γ)定义如下:

m(γ):=min(ω0,ω1,u0,u1,m1,m2),

其中 H(4m $_{1}^{2}$ )≤0,

$m_{2} \leq (\frac{1}{2^{r + 1}} \frac{γ}{j^{2} / 2 + j / τ_{0} + \max (0, Κ - k, Κ + k)})^{1 / r - 4}$ ;

k=V0-max(E0,0)-λ-2(‖C‖L1(Ω)+M2)。常数M在式(15)中给定。

2 先验估计及定理的证明

为了证明定理,定义函数

$φ (x) = δ (2 - x), x \in [0, 1], 0 < δ < \min (1, \frac{Μ}{2})$ (17)

考虑截断问题

$\begin{array}{l} ε^{2} ω_{x x} = \frac{j^{2} ω}{2 t_{δ} (ω)^{4}} + Τ ω Η (ω^{2}) - V ω + Κ ω + \\ j ω \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}} + γ \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x} ω}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}} (18) \end{array}$

$\begin{array}{l} ε^{2} u_{x x} = \frac{h^{2} u}{2 t_{δ} (u)^{4}} + Τ u Η (u^{2}) + V u + Κ u + \\ h u \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (u)^{2}} + γ \frac{(t_{φ} (u_{Μ}))_{x} u}{t_{φ} (u_{Μ})^{r + 1}} (19) \end{array}$

λ2Vxx=ω $_{Μ}^{2}$ -u $_{Μ}^{2}$ -C(x)(20)

其中

tδ(ω)=max(δ,ω);

tδ(ωM)=max(φ(·),min(M,ω(·)))。

我们可以证明,对于任意的j,h>0,当T足够大时,式(18)—式(20),式(13)的解存在。

命题设(A1)—(A3)成立,T足够大,则对任意的j,h>0,式(18)—式(20),式 (13)存在解(ω,u,V)∈(H2(Ω))3,且在Ω中有

0≤ω(x),u(x)≤M。

为了证明命题,我们考虑逼近问题

$\begin{array}{l} ε^{2} ω_{x x} = \frac{j^{2} ω^{+}}{2 t_{δ} (ω)^{4}} + Τ ω^{+} Η (ω^{2}) - V ω^{+} + Κ ω^{+} + \\ j ω^{+} \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}} + γ \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x} ω^{+}}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}} (21) \end{array}$

$\begin{array}{l} ε^{2} u_{x x} = \frac{h^{2} u^{+}}{2 t_{δ} (u)^{4}} + Τ u^{+} Η (u^{2}) + V u^{+} + Κ u^{+} + \\ h u^{+} \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (u)^{2}} + γ \frac{(t_{φ} (u_{Μ}))_{x} u^{+}}{t_{φ} (u_{Μ})^{r + 1}} (22) \end{array}$

λ2Vxx=ω $_{Μ}^{2}$ -u $_{Μ}^{2}$ -C(x) (23)

其中

ω+=max(0,ω),ωM=min(M,ω)。

设(ω,u,V)是式(21)—式(23),式(13)的一个弱解,则我们有下面的先验估计:

引理1 (L∞估计)。对所有的x∈Ω均有下列不等式成立:

$0 \leq ω (x), u (x) \leq Μ, k \leq V (x) \leq Κ (24)$

式(24)中

k=V0-max(E0,0)-λ-2(M2+‖C‖L1(Ω))。证明式(23)两边在(0,x)上积分,并利用式(13)得

Vx=∫ $_{0}^{x}$ Vxx+V0x=∫ $_{0}^{x}$ Vxx-E0。

将上式两边再在(0,x)上积分,得

V(x)=V0-E0x+λ-2∫ $_{0}^{x}$ ∫ $_{0}^{y}$ (ω(z) $_{Μ}^{2}$ -u(z) $_{Μ}^{2}$ -C(z))dzdy(25)

这里x∈Ω,由式(25)得

V0-max(E0,0)-λ-2(M2+‖C‖L1(Ω))≤V(x)≤V0+max(-E0,0)+λ-2M2。

这就证明了式(24)中的第二个不等式。

用ω-=min(0,ω)作为式(21)的试验函数,得

-ε2∫ $_{0}^{1}$ (ω-x)2dx=0。

从而在Ω中有ω≥0。

同理,用u-=min(0,u)作为式(22)的试验函数可得u≥0。

则式(21)—式(23)变为

λ2Vxx=ω $_{Μ}^{2}$ -u $_{Μ}^{2}$ -C(x)(28)

最后,用(ω-M)+=max(0,ω-M)作为式(26)的试验函数,得

$\begin{array}{l} ε^{2} \int_{Ω} ((ω - Μ)_{x}^{+})^{2} d x = \int_{Ω} (ω - Μ)^{+} ω [\frac{- j^{2}}{2 t_{δ} (ω)^{4}} - Τ Η (ω^{2}) + (V - Κ) - j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}}] d x - \\ γ \int_{Ω} \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x} ω (ω - Μ)^{+}}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}} d x \leq \\ \int_{Ω} (ω - Μ)^{+} ω [\frac{- j^{2}}{2 t_{δ} (ω)^{4}} - Τ Η (Μ^{2}) + \\ (V - Κ) - j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}}] d x - \\ γ \int_{Ω} \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x} ω (ω - Μ)^{+}}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}} d x 。 \end{array}$

由H的单调性和M的定义,我们有H(M2)≥H(M $_{0}^{2}$ )≥0。再由关于K的假设-V+K≥0。且T足够大,因此有

ε2∫Ω((ω-M)+x)2dx≤0。

所以,在Ω上ω≤M。

同理,用(u-M)+=max(0,u-M)作为式(27)的试验函数得,在Ω上u≤M。

引理2 (H1估计)存在仅依赖于δ,ε和M的常数c1,c2,c3>0,使得

‖ω‖H1(Ω)≤c1,‖u‖H1(Ω)≤c2,‖V‖H1(Ω)≤c3。

证明由式(23)和式(13)可得

Vx(x)=-E0+λ-2∫ $_{0}^{x}$ (ω(y) $_{Μ}^{2}$ -u(y) $_{Μ}^{2}$ -C(y))dy。

再结合引理1可得第三个结论。用ω-ωD作为式(26)的试验函数

$\begin{array}{l} ε^{2} \int_{Ω} ω_{x}^{2} d x = \\ ε^{2} \int_{Ω} ω_{x} ω_{D x} d x - γ \int_{Ω} \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x} ω (ω - ω_{D})}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}} d x - \\ \int_{Ω} (ω - ω_{D}) ω [\frac{j^{2}}{2 t_{δ} (ω)^{4}} + Τ Η (ω^{2}) - (V - Κ) + \\ j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}}] d x 。 (29) \end{array}$

这里

ωD=(1-x)ω0+xω1。

将式(29)右边的前两个积分用Young不等式,最后一个积分用引理1,得

$\frac{ε^{2}}{2} \int_{Ω} ω_{x}^{2} d x \leq c$ 。

同理,用u-uD作为式(27)的试验函数可得

$\frac{ε^{2}}{2} \int_{Ω} u_{x}^{2} d x \leq c$ 。

引理3 (H2估计)存在不依赖于ω,u和M的常数c4,c5,c6>0,使得

‖ω‖H2(Ω)≤c4,‖u‖H2(Ω)≤c5,‖V‖H2(Ω)≤c6。

证明由式(26)—式(28),引理2及一维空间中H1(Ω)嵌入到L∞(Ω)可得。

下面来证明命题,这里要用到Leray-Schauder不动点定理[11]。

对于任意的a,b∈H1(Ω),设V∈H2(Ω)是问题

λ2Vxx=a $_{Μ}^{2}$ -b $_{Μ}^{2}$ -C(x) 在Ω上,V(0)=V0,Vx(0)=-E0,

的唯一解。设ω,u∈H2(Ω)分别是

$\begin{array}{l} ε^{2} ω_{x x} = σ [\frac{j^{2} a^{+}}{2 t_{δ} (a)^{4}} + Τ a^{+} Η (a^{2}) - V a^{+} + \\ Κ a^{+} + j a^{+} \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (a)^{2}}] + σ γ \frac{(t_{φ} (a_{Μ}))_{x} a^{+}}{t_{φ} (a_{Μ})^{r + 1}} 。 \end{array}$

$\begin{array}{l} ε^{2} u_{x x} = σ [\frac{h^{2} b^{+}}{2 t_{δ} (b)^{4}} + Τ b^{+} Η (b^{2}) + V b^{+} + \\ Κ b^{+} + h b^{+} \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (b)^{2}}] + σ γ \frac{(t_{φ} (b_{Μ}))_{x} b^{+}}{t_{φ} (b_{Μ})^{r + 1}} 。 \end{array}$

ω(0)=σω0,ω(1)=σω1,u(0)=σu0,u(1)=σu1,的唯一解。这里σ∈[0,1]。

下面可以定义不动点算子τ:H1(Ω)×[0,1]→H1(Ω),τ(a,b,σ)→(ω,u)。对所有的a,b∈H1(Ω),有τ(a,b,0)→(0,0)。类似于引理1—3的证明,我们可证明存在一个常数c>0,使得对所有满足τ(ω,u,σ)=(ω,u)的ω∈H1(Ω),u∈H1(Ω)成立

‖ω‖H2(Ω)≤c,‖u‖H2(Ω)≤c。

由H2(Ω)紧嵌入到H1(Ω)得τ是紧的。易证τ是连续的,因此,由Leray-Schauder不动点定理可得解的存在性。

对于定理的证明,我们只需证明ω,u是严格正的。

用(ω-φ)-∈H $_{0}^{1}$ (Ω)作为式(26)的试验函数,得

$\begin{array}{l} ε^{2} \int_{Ω} ((ω - φ)_{x}^{-})^{2} d x = \int_{Ω} (- (ω - φ)^{-}) \times \\ ω [\frac{j^{2}}{2 t_{δ} (ω)^{4}} + Τ Η (ω^{2}) - V + Κ + \\ j \int_{0}^{x} \frac{d s}{τ t_{δ} (ω)^{2}} + γ \int_{Ω} \frac{(t_{φ} (ω_{Μ}))_{x}}{t_{φ} (ω_{Μ})^{r + 1}}] d x (30) \end{array}$

这里(ω-φ)-=min(0,ω-φ)。

由φ的定义式(17)知

δ≤φ(x)≤2δ,φ(x)x=-δ,

当ω<φ时,

(ω-φ)-≠0,H(ω2)<H(φ2),tφ(ω)=max(φ,ω)=φ。所以由式(30)得

$\begin{array}{l} ε^{2} \int_{Ω} ((ω - φ)_{x}^{-})^{2} d x \leq \int_{Ω} (- (ω - φ)^{-}) ω \times \\ [\frac{j^{2}}{2 δ^{4}} + Τ Η (φ^{2}) - k + Κ + \frac{j}{τ_{0} δ^{2}} + \\ γ \frac{φ_{x}}{φ^{r + 1}}] d x \leq \int_{Ω} (- (ω - φ)^{-}) \times \\ ω [\frac{j^{2}}{2 δ^{4}} + Τ Η (φ^{2}) - k + Κ + \frac{j}{τ_{0} δ^{2}} - \\ γ \frac{δ}{(2 δ)^{r + 1}}] d x \leq \int_{Ω} (- (ω - φ)^{-}) ω [\frac{j^{2}}{2 δ^{4}} + Τ Η (4 δ^{2}) - k + Κ + \\ \frac{j}{τ_{0} δ^{2}} - \frac{γ}{2^{r + 1} δ^{r}}] d x 。 \end{array}$