均值不等式教学设计

均值不等式教学设计（共11篇）

均值不等式教学设计 篇1

3.2均值不等式

教学目标

（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题.（二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程.（三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用 教学过程

创设情境如图,AB是圆的直径，D是CAB上与A、B不重合的一点，AD=a,DB=b,过点D作垂直于AB的弦CD，连AC,BC,AaODbB则CD=＿＿,半径OC=＿＿＿＿E 讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系 注意：（1）当 时，(2)a、b的取值范围

探求新知：均值不等式的内容及证明

均值定理：

证明：（比较作差法）

变形应用：（1）

（2）

讨论释疑：

牛刀小试：已知x0,则x1x 例

1、已知ab0，求证：baab2并推导出式中等号成立的条件

例

2、求函数f(x)x22x3x(x0)的最值，以及此时x的值

精炼巩固：

t2 1.设t0,则函数f(t)4t1的最小值为此时t的值 2.已知正数a,b满足ab1,则ab有最值为

点拨提高：

总结本节课的你的收获。

课堂小测：.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

均值不等式教学设计 篇2

1.均值不等式取“等号”和三角函数有联系时,一定要引起足够重视。因为三角函数中正、余弦函数都是有界函数,所以等号能否取到一定要加以验证.我们看下面这道题:

1. 求函数y=sinx/2+2/sinx(0<x<π)的最小值.

点评 :很显然,上面的解答过程是错误的.原因在于当sinx=2时上式中的等号才能成立,这显然不可能.而学生做题时往往会忽略等号成立的条件,从而导致出现错误.因此,在教学中,必须反复强调验证“等号”是否能取到的重要性.

2.均值不等式取“等号”的次数在两次或两次以上时是最容易出错的,此时我们一定要验证每一次“等号”成立的条件是否一致.只有每一次“等号”成立的条件一致了,最后的“等号”才可以取到.我们看下面这两道题.

2.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值.

3.已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值.

当且仅当a=d且b=c时取等号,

∴所求最小值为70.

点评 : 第一题出现错误的原因在于中“x=2y”时等号成立,而中“x=y”时等号成立,因为两次取到等号的条件不一样,导致最后的等号不能取到. 第二题解答错误在于当且仅当a=b且b=c时等号成立,因此得到a+b=b+c时,即“7=5”时等号成立,这显然错误.这种题型能否取到最值的关键就在于“等号”能否取到.以上两题都犯了这样的错误.为此,我们要求学生在使用均值不等式时,考虑每次“等号”成立的条件,并且尽量减少取“等号”的次数.教学中,一定要反复训练,培养学生正确的解题习惯.

均值不等式的应用 篇3

关键词：均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则■≥■（*）

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明

例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与 （■+■+…+■），故可选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由均值不等式可得，a1+a2+∧+an≥n■（1）

■+■+∧+■≥n■（2）

（1）×（2）：（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2 证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

试证：■+■+…+■＞■

分析：题目中，明显含有和式■+■+…+■，故可选■（i=1，2，…，n）为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：选■（i=1，2，…，n）为基本元素，由均值不等式得：

■（■+■+…+■）＞■（1）

考虑（1）式根号内的分母，选s-ai（i=1，2，…，n）为基本元素，再由均值不等式得：

■＞

■，

又由已知S=a1+a2+…+an，所以■＞■，（2）

（1）×（2）：■（■+■+…+■）＞■=s

所以■+■+…+■＞■

由以上证明发现，巧妙选定基本元素■和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中，不能明确体现基本元素 a1，a2，…，an，此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点，利用以前所学过的数学知识，设法分离出满足（*）式基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例3.设n∈N且n＞1，求证n！＜■n

分析：考虑到，n！=1·2·3…n，我们选1，2，3，…，n为基本元素，利用均值不等式着手解决。

简证：因为n！=1·2·3…·n，所以可选1、2、3、…n为基本元素

由（*）式■＞■，即：■＞■ ∴n！＜■n

通过拆分n！，继而发现基本元素1，2，3，…，n，再利用均值不等式入手解决，这样使看来无法下手的問题，变得有章可循，有法可依，证明起来轻松异常。

例4.设n是大于1的自然数，求证：2n-1＞n■

分析：据等比数列求和公式知，2n-1=1+2+22+…+2n-1，所以可选1，2，22，…，2n为基本元素，由均值不等式着手解决。

简证：由（*）式：1+2+22+…+2n-1＞n■ 可得：2n-1＞n■

所以2n-1＞n■.证毕。

由证明发现，通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1 使毫无思路，难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”，我们可将它转化为“ｎ个式子的乘积”，使之出现基本式a1a2…an，进而确定基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例5．设n为大于1的自然数，且０＜x＜1，证明：1+■n+1≥1+■n

分析：考虑到，1+■n＝1×1+■×1+■×…×1+■，可选1和n个1+■作为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：由于1+■n＝１×■，所以，利用均值不等式，■≥■，即■≥■也即1+■≥■，两边开n次方得：1+■n+1≥1+■n，命题得证。

此例的证明方法很多，比如常见的构造函数法，都比较麻烦。采用均值不等式证明，思路清晰，简明易懂，令人耳目一新！证明的关键是，由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”，再由均值不等式着手完成。

例6.设m、n、r为正整数且两两不等，求证：■m+n+r＞mmnnrr

分析：拆分■，■，■，可选m个m，n个n，r个r （总共有（m+n+r）项）为基本元素，再利用均值不等式解决.

证明：由（*）式：＞■＞

■

（上式中m个m，n个n，r个r相加）

即■＞■，两边式子都进行（m+n+r）次方，

所以■m+n+r＞mmnnrr.命题得证。

高三数学均值不等式 篇4

3.2 均值不等式 教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

均值不等式练习题 篇5

3题型

一、均值不等式求最值

例题：

1、凑系数：当0x4时，求yx(82x)的最大值。

2、凑项：已知x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x

5x27x10(x≠1)的值域。

3、分离：求yx

14、整体代换：已知a0，b0，a2b1，求t11的最小值。ab5、换元：求函数yx2的最大值。2x

5152x152x(x)的最大值。226、取平方：求函数y

练习：

1、若0x2，则y

2、函数yx(63x)的最大值是1x(x3)的最小值是x

3x28(x1)的最小值是

3、函数yx

1x44x2

54、函数y=的最小值是2x

25、f(x)=3+lgx+4（0＜x＜1）有最值等于lgx

116x2的最小值是xx

16、若x>0，则x+

7、已知x为锐角，则sinxcosx的最大值是

8、函数sinxcosx的最大值是

9、函数y4249的最小值是__________ 22cosxsinx

119，则xy的最小值是 xy

b10、已知x0，y0，且

11、a,bR,且a+b=3则2+2的最小值是

12、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则函数W3x 2y 的最值是1 a13、已知a>0,b>0且a+b=1,则（21111)的最小值是)(a2b2y

214、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，则x1＋y的最大值

215、已知ab0，则a1的最小值是(ab)b16、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是___________

17、若a、bR，ab(ab)1，则ab的最小值是________

18、设实数x,y,m,n满足条件mn1，x2y29，则mxny的最大值是

19、若x,y0，则(x22121)(y)2的最小值是 2y2x

11)(b)的最小值是 ab220、若a,b0,ab1，则(a题型

二、利用均值定理证明不等式 例题：

1、求证：（1）已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：ab2c2abbcca

（2）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

（3）已知a、b、cR，且abc1，求证：

4442222222、已知x,y,z0，xyzxyyzzxxyz(xyz)1111118 abc

3、若abc

不等式3.2均值不等式导学案 篇6

高二数学导学案编撰人：张淑芳 审核人：王爽

一．学习目标

1.知识目标：理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题

2.能力目标：整理并建立不等式的知识链

3.情感目标: 通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实

际问题的能力与意识

二．学习重点： 重要不等式及其均值不等式的证明及应用，均值不等式的使

用条件为教学重点

三．学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用

四．知识链接：不等式的性质

五．自主探究:

一、均值定理：

1．如果a、b∈R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）.ab对任意的两个正实数a，b，数叫做a，b的，数ab叫做a，2b的.2.均值定理也可表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式，在证明不等 式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们称它为基本不等式.二.常见不等式：

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅22

2当ab时取“=”）

2.(1)若a,bR*，则ab*ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且2

2仅当ab时取“=”）ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*

112(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当xx

且仅当x1时取“=”）3.若x0，则x

3.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba

ab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

三、最值定理：

（1）已知x、y都是正数，则：

 如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值；  如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。

即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：

 各项均为正数;

 其和或积为常数;

 等号必须成立.（3）应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.六．典例分析：

模块一：配系数

例1.已知0x

模块二：添加项

例2.已知x

32，求yx的最小值.22x33，求yx(32x)的最大值.2模块三：分拆项

x23x6例3.已知x2，求y的最小值.x2

模块四：巧用”1”代换

例4.已知正数x,y满足2xy1,求

cd说明：一般地有,(axby)(acbd)2,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这xy12的最小值.xy

里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.例5.已知正数x,y,z满足xyz1，求

模块五：换元

例6.已知abc,求wacac的最小值.abbc149的最小值.xyz

例7.已知x1,求y

模块六：.在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

af(x)x的单调性.x

例8.求函数y

x1的最大值.2x5x82.七．高考链接：

1、已知0x

1，求函数y的最大值.；

2．0x

2，求函数y.3八．学习反思：

九．自我评价:

你完成本节导学案的情况为（）

均值不等式的应用 篇7

关键词：均值不等式,n次多项式,基本元素

(当且仅当a1=a2=…=an, 时, “=”成立)

利用 (*) 式, 能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用 (*) 式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便, 不妨称满足 (*) 式中的a1, a2, …, an为基本元素, 由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中, 明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式, 可选用a1, a2, …, an为基本元素, 直接利用 (*) 式证明

分析:由于题目中明显含有和式 (a1+a2+…+an) 与为基本元素, 由 (*) 式着手解决。

例2:设a1, a2, …, an为不相等的正数, 且S=a1+a2+…+an,

考虑 (1) 式根号内的分母, 选s-ai (i=1, 2, …, n) 为基本元素, 再由均值不等式得:

由以上证明发现, 巧妙选定基本元素和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中, 不能明确体现基本元素a1, a2, …, an, 此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点, 利用以前所学过的数学知识, 设法分离出满足 (*) 式基本元素a1, a2, …, an, 再利用均值不等式解决

分析:考虑到, n!=1·2·3…n, 我们选1, 2, 3, …, n为基本元素, 利用均值不等式着手解决。

简证:因为n!=1·2·3…·n, 所以可选1、2、3、…n为基本元素

通过拆分n!, 继而发现基本元素1, 2, 3, …, n, 再利用均值不等式入手解决, 这样使看来无法下手的问题, 变得有章可循, 有法可依, 证明起来轻松异常。

分析:据等比数列求和公式知, 2n-1=1+2+22+…+2n-1, 所以可选1, 2, 22, …, 2n为基本元素, 由均值不等式着手解决。

由证明发现, 通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1使毫无思路, 难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”, 我们可将它转化为“n个式子的乘积”, 使之出现基本式a1a2…an, 进而确定基本元素a1, a2, …, an, 再利用均值不等式解决

例5.设n为大于1的自然数, 且0<x<1, 证明:

此例的证明方法很多, 比如常见的构造函数法, 都比较麻烦。采用均值不等式证明, 思路清晰, 简明易懂, 令人耳目一新!证明的关键是, 由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”, 再由均值不等式着手完成。

(上式中m个m, n个n, r个r相加)

均值不等式教学设计 篇8

均值不等式是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不过在行测考试的数学运算中，涉及均值不等式的考察仅仅用于几何平均数和算术平均数，这个知识点一般是结合几何问题和利润问题来考察的。中公教育专家认为大家在应用过程中不需要死记公式，领会下面两句话就可以快速解题了：

(1)两个数的和为定值时，这两个数越接近，它们的乘积越大。(2)两个数的乘积为定值时，这两个数越接近，它们的和越小。

规律中的“两个数”可以替换成“多个数”。比如说当a+b=24的时候。a×b可以取到最大值，此时a×b的最大值为144。a=b=12的时候取到最大值。反过来。当a×b=64时，a+b在a=b=8的时候取到最小值16。

例1.现在有一段长为40米的篱笆，要围成一个矩形菜园，菜园的一边是足够长的墙，请问当矩形的长和宽分别人多少的时候，这个矩形菜园的面积最大?

A 100 B 150 C 1600/9 D 200 答案：D。中公解析：假设矩形的长为a，宽为b，根据题意，有a+2b=40，矩形的面积为a×b，这里要注意不是a=b 的时候a×b取得最大值，而应该把2b看作一个整体，即a=2b时候，a×2b取得最大值，同时a×b也取得了最大值。a=2b=20，所以 a=20，b=10，矩形的最大面积为a×b=200，故答案选择D。

基本不等式教学设计 篇9

1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式;

2、从不同角度探索基本不等式的证明过程;

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。

教学难点

1、对基本不等式从不同角度的探索证明;

2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式;

2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程;

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。

二、过程与方法

1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;

2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;

3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。

三、情感态度与价值观

1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

教学过程

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

(教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情)

推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?如何找?

(沉静片刻)

生 应该先从此图案中抽象出几何图形。

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢?哪位同学能在黑板上画出这个几何图形?

(请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评)

(其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形)

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。

(此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来)

[过程引导]

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢?

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。

师 一定吗?

(大家齐声：不一定，有可能相等)

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性?

生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗?

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。

师 回答得很好。

(有的同学感到迷惑不解)

师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。

(有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明)

师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确?

生 正确。

[教师精讲]

师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。

生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。

师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。

(教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言)

生 作商，用商和“1”比较大小。

师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢?这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。

(此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生)

[合作探究]

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。

(学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨)

师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。

生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。

师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。

(大家齐声)一致。

(此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用)

板书：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

[过程引导]

师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。

(同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引)

师 当a>0,b>0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

生 完全可以。

师 为什么?

生 因为不等式中的a、b∈R。

师 很好，我们来看一下代替后的结果。

板书：

即 (a>0,b>0)。

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

(此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解)

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢?

(此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式)

要证：，①

只要证a+b≥2，②

要证②，只要证：a+b-2≥0，③

要证③，只要证：④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。

(此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度)

[合作探究]

老师用投影仪给出下列问题。

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)

[合作探究]

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗?

生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得。

生 由射影定理也可得。

师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢?

生表示半弦长，表示半径长。

师 半径和半弦又有什么关系呢?

生 由半径大于半弦可得。

师 这位同学回答得是否很严密?

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a>0,b>0)。

课堂小结

师 本节课我们研究了哪些问题?有什么收获?

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。

生 由a2+b2≥2ab,当a>0，b>0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a>0,b>0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。

(此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高)

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a>0，b>0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。

布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。

分析：(方法一)由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。

(方法二)创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段CE、OE、CD、DF的长度，由CE>OE>CD>DF可得。

板书设计

基本不等式的证明

一、实际情景引入得到重要不等式

a2+b2≥2ab

二、定理

若a>0，b>0

课后作业：

均值不等式求最值的十大策略 篇10

一、化负为正

例1 (2009全国卷Ⅰ理16题)若,则函数y=tan2x·tan3x的最大值是_________

解:由可知tanx>1,设t=1-tan2 x,t∈(-∞,0).则函数,当且仅当t=-1,即tan2x=2时等号成立.所以函数y=tan2x·tan3x的最大值是-8.

二、配凑系数

例2 (2010江苏卷理14题)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=则s的最小值是______.

解:设DE=x (0

点评:为了求的最值,分子乘以2再除以2,利用均值不等式顺利求解.

三、重新组合

例3 (2010四川卷理12题)已知a>b>c>0,则的最小值是()

当且仅当时等号成立,即取满足条件,故选(B).

四、统一结构

例4 (2010重庆卷7题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()

(A)3 (B)4 (C)(D)

解:由x+2y+2xy=8)可得2xy=8-(x+2y).而,所以,即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0.解不等式可得x+2y≥4或x+2y≤-8.而x>0,y>0,所以应取x+2y≥4,即x+2y的最小值是4.选(B).

五、“1”的逆代

例5 (2009天津卷理6题)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()

(A)8 (B)4 ((C) 1 (D)

解:由是3a与3b的等比中项,知,3a+b=3,即a+b=1.

将1=a+b代入所求式得,选(B).

六、巧妙乘“1”

例6 (2009山东卷理12题)设x,y满足线性条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值是12,则的最小值为()

(A)(B)(C)(D)4

解:当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线3x-y-6=0与直线x-y+2=0的交点A(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,化为1.故.

选(A)

七、上下同除

例7 (2010山东卷理14题)若对任意x>0,不等式恒成立,则a的取值范围是______.

解:因为x>0,所以(当且仅当x=1时取等号).所以,即的最大值是.所以

八、减元转化

例8 (2008江苏卷理11题)设x,y,z都是正实数,且满足x-2y+3z=0,则的最小值为_____.

解:这是个三元最值问题,首先要减元,将三元问题转化为二元问题.由x-2y+3z=0,得到,即x=3z时所求式的最小值为3.

九、连续使用

例9 (2009重庆卷理11题)a>0,b>0,则的最小值为______.

解:因为a>0,b>0,所以(当且仅当a=b时取等号).

(当且仅当a=b时取等号),所以的最小值为4.

十、三角换元

基本不等式教学设计（通用） 篇11

作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常要开展教学设计的准备工作，编写教学设计有利于我们科学、合理地支配课堂时间。教学设计应该怎么写才好呢？以下是小编为大家收集的基本不等式教学设计（通用8篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。

基本不等式教学设计1

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

课程目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

创设情景，提出问题;

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

[问]你能给出它的证明吗?

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0，b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：。

【归纳总结】

如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时。

[问]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

基本不等式教学设计2

教学目的掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

教学过程

师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一组：1+2=3;a+b=b+a;S =ab;4+x =7。

第二组：-7 <-5;3+4 > 1+4;2x ≤6，a+2 ≥0;3≠4。

生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

练习1(回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

（1）7 ___ 4;（2）-2____6;（3）-3_____-2；（4）-4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向。

（让同学回答。）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向。（让同学回答。）

性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向。（让同学回答。）

现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？

生：没有什么要求。

师：哪位同学来回答第二、三条性质？

生甲：如果a0，那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

生乙：如果abc(或)；如果a>b，且c<0，那么ac

师：这两条性质中，对a、b、c有什么要求？

生：对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数。

师：很好，c可以为零吗？

生：c不能为零。因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。

师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。

[例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，两边都加上-3；

（2）9＞4，两边都减去10；

（3）-5＜3，两边都乘以4；

（4）14＞-8，两边都除以-2。

解（1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以

5+（-3）＜9+（-3），2＜6

（2）根据不等式基本性质1，得

9-10＞4-10

-1＞-6

（3）根据不等式基本性质2，得

-5×4＜3×4

-20＜12

（4）根据不等式基本性质3，得

14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

-7＜4

[例2]设a＞b，用不等号连结下列各题中的两式：

（1）a-3与b-3;（2）2a与2b;（3）-a与-b。

师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。

生甲：因为a＞b，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得

a-3＞b-3．

师：很好，大家都是这样做的吗？

生乙：我是这样做的，因为a＞b，两边都加上（-3），由基本性质1，得

a-3＞b-3．

师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。

生丙：因为a＞b，2＞0，由基本性质2，得2a＞2b。

生丁：因为a＞b，-1＞0，由基本性质3，得-a＞-b。

师：下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：

(1)如果a>b，且c>0，那么ac>bd;

(2)如果a>b，那么ac2>bc2;

(3)如果ac2>bc2，那么a>b;

(4)如果a>b，那么a-b>0;

(5)如果ax>b，且a≠0，那么x<;

(6)如果a+b>a;

生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。

生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。

生丙：（3）对，因为ac2＞bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性质2，得a＞b出。

（4）对，根据不等式基本性质，由a＞b，两边减去b得a-b＞0。

（5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得。

（6）不对，因为当b＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a；而当b=0时，则有a+b=a。

师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。

课外做以下作业：略。

教案说明

（1）不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。

（2）不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。

（3）在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。

基本不等式教学设计3

一、教学目标：

（一）知识与技能

1．掌握不等式的三条基本性质。

2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。

（二）过程与方法

1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。

（三）情感态度与价值观

通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。

二、教学重难点

教学重点： 探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。

教学难点： 不等式基本性质3的探索与运用。

三、教学方法：自主探究——合作交流

四、教学过程:

情景引入：1．举例说明什么是不等式？

2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

(1)若x－6=10, 则x＝16()

(2)若3x=15, 则 x＝5()

(3)若x－6＞10 则 x＞16()

(4)若3x＞15 则 x＞5()

【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

温故知新

问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？

等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。教师引导：“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？

同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

问题3．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？

等式性质2：等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），等式依然成立。

估计学生会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。

你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？

学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。

问题4．在不等式两边都乘0会出现什么情况？

问题5．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？

【想一想】不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？

学生思考，独立总结异同点。

【设计意图】引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。

综合训练：你能运用不等式的基本性质解决问题吗？

1、课本62页例3

教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。

2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？

3．火眼金睛

①a＞1, 则2a___a

②a＞3a,则 a ___ 0

【设计意图】通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。

课堂小结：

这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。

【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。

思考题

咱们班的盛芳同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮盛芳同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？

【设计意图】利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

基本不等式教学设计4

一、三维目标：

1、知识与技能：

理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题

2、过程与方法：

能够理解并建立不等式的知识链

3、情感、态度与价值观：

通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识

4、本节重点：

应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程

5、本节难点：

应用基本不等式求最值

二、课程引入：

第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：

四个以a，b为直角边的直角△ABC，组成正方形ABCD

则

如图可知： 即

当且仅当小正方形EFGH面积为0时取等号，即时取得等号

三、新课讲授：

（一）基本不等式的推证：

1、重要不等式与基本不等式

由引入中提到的重要不等式，将其中的用代换，得到基本不等式，当且仅当时，即时取得等号。

特别注意，重要不等式的适用范围是全体实数，而基本不等式的使用需要

2、基本不等式的几种表述方式

平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）

数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项

探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长

3、分析法推证基本不等式

要证，只需证明（2）。要证明（2）只需证明（3）。

要证明（3）只需证明（4）。（4）式显然成立，故得证。

（二）基本不等式的应用与提高：

1、你是设计师！

（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案：

圆形花圃：造价12元/米

矩形花圃：造价10元/米

你觉得哪个方案更省钱呢？

分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。

圆形花圃：

矩形花圃：设两边为x，y，故当x=y时花费最少为400元

（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？

解：

（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？

2、看谁算得快！

3、大家来挑错！

分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。

本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。

提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。

提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的`等号是否能取得，在什么情况下取得。

（三）小结：

1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。

2、积定和最小、和定积最大。

3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”

四、作业：

1、书后练习题。

2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。

五、课后反思：

1、多媒体的运用。

在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。

2、应该引导学生多种思路考虑问题

比如这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。

3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。

4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。

基本不等式教学设计5

教学重点

1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2、从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。

教学难点

1、对基本不等式从不同角度的探索证明；

2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。

二、过程与方法

1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。

三、情感态度与价值观

1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

教学过程

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）

推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？

（沉静片刻）

生 应该先从此图案中抽象出几何图形。

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？

（请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评）

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。

（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）

［过程引导］

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。

师 一定吗？

（大家齐声：不一定，有可能相等）

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。

师 回答得很好。

（有的同学感到迷惑不解）

师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。

（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？

生 正确。

［教师精讲］

师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。

生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。

师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。

（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）

生 作商，用商和“1”比较大小。

师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

［合作探究］

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。

（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。

生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。

师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。

（大家齐声）一致。

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

板书：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

［过程引导］

师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。

（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引）

师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

生 完全可以。

师 为什么？

生 因为不等式中的a、b∈R。

师 很好，我们来看一下代替后的结果。

板书：

即(a＞0,b＞0)。

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？

（此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式）

要证：，①

只要证a+b≥2，②

要证②，只要证：a+b-2≥0，③

要证③，只要证：④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。

（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

［合作探究］

老师用投影仪给出下列问题。

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）

［合作探究］

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？

生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得。

生 由射影定理也可得。

师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？

生表示半弦长，表示半径长。

师 半径和半弦又有什么关系呢？

生 由半径大于半弦可得。

师 这位同学回答得是否很严密？

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式(a＞0,b＞0)。

课堂小结

师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。

生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式(a＞0,b＞0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。

布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ，的大小关系，并证明你的结论。

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。

（方法二）创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

板书设计

基本不等式的证明

一、实际情景引入得到重要不等式

a2＋b2≥2ab

二、定理

若a＞0，b＞0

课后作业：

证明过程探索：

基本不等式教学设计6

（一）教学目标

1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。

2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

（二）教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

（三）教学设想

[创设问题情境]

问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20

问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：

（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；

（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

由以上不等关系，可得不等式组：

[练习]第82页，第1、2题。

[知识拓展]

设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？

从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

证明：

例1讲解（第82页）

[练习]第82页，第3题。

[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：

[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

[作业]：习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.

基本不等式教学设计7

【教学目标】

1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。

3．了解不等式或不等式组的实际背景。

4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。

【重点难点】

重点:

１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。

２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

难点:

1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？

实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。

实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

实例3.两点之间线段最短。

实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

推进新课

同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。

（下面利用电脑投影展示两个实例）

实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h。

实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。

让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述

过程引导

能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？

什么是不等式呢？

用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。

思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。

经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。

目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。

此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。

合作探究

（一）。

下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？

这两位同学的观点是否正确？

老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。

（二）。

问题一：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。

请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。

老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？

（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）

问题（二）：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

是不是还有其他的思路？

为什么可以这样设？

很好，请继续讲。

这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。

问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？

假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。

课堂小结：

1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。

2.数学和我们的生活联系非常密切。

3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。

布置作业：

第75页习题3.1 A组4，5。

29℃≤t≤35℃

x≥0

|AC|+|BC|>|AB|

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。

如果用表示速度，则v≤40km/h.f≥2.5%或p≥2.3%

学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.过点A作AC⊥平面于点C，则d=|AC|≤|AB|

可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x≥20.解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n）

我只考虑单价的增量。

那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。

截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

截得两种钢管的数量都不能为负数。

它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，还应有x,y要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。

此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。

让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。

此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。

【教学反思】(【设计说明】)

本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。

【交流评析】

一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。

基本不等式教学设计8

教学分析

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标

1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点

教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课

新知探究

提出问题

1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?

4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a

教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：

(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()

A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练

已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;

当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练

已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()

A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练

1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()

A.3 B.2 C.1 D.0

2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：

1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结

1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业

习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想

1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料

备用习题

1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x

5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：

1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0