初一数学不等式应用题

初一数学不等式应用题（通用11篇）

初一数学不等式应用题 篇1

1、初一级学生去饭堂开会,如果每4人共坐一张长凳,则有28人没有位置坐,如果6人共坐一张长凳,有一条长凳上不足四人，求初一级学生人数及长凳数.2、运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？

3、若干学生住宿，若每间住4人则余20人，若每间住8人，则有一间不空也不满，问宿舍几间,学生多少人？

4、将若干练习本分给若干名同学，如果每人分４本，那么还余２０本；如果每人分８本，那么最后一名同学分到的不足８本，求学生人数和练习本数。

5、课外阅读课上，老师将43本书分给各小组，每组8本，还有剩余；每组9本却又不够。问有几个小组？

初一数学不等式应用题 篇2

一、数学思维的概念与重要性

(一) 数学思维的概念

数学思维是经过高中数学教学经验的不断积累而总结出的逻辑推理方法, 抽象概括空间形式与数量关系。数学思维中有诸多分类, 使用较多的有直觉思维、逻辑思维以及形象思维。逻辑思维即采用逻辑规律分析、推理、概括与论证数学知识的方法;形象思维即感知具体形象后充分认识数学;直觉思维即学生后天学习后生成的优良的判断能力。

(二) 数学思维的重要性

随着素质教育的不断推进与全面开展, 数学思维得到了重视, 因此在高中数学中需全面推广使用, 促使学生综合能力得以提升, 进而培养创新思维。日常生活与数学有着千丝万缕的联系, 学生学习数学不仅是为了实现学习目标, 而且还需要应用数学知识解决生活问题。因此在高中数学课堂中, 教师一定要结合数学实践与理论知识, 确保学生学以致用。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的作用

(一) 直接思维

直接思维能力可提升学生解决数学问题的积极性, 学生通过日积月累后可仔细观察数学并积极思考, 由此可快速找到解题思路且思路更加清晰, 在学习不等式时也更加愉悦与轻松。

(二) 逻辑思维

逻辑思维属于基础思维方法, 因此学生一定要扎实掌握。加上数学具有抽象性与复杂性, 在学习不等式的过程中一定要分层次观察, 并在分析过程中注重综合性, 由此有效概括, 进而再对学生的推理与论证能力进行有效培养。教师要引导学生注重对各个细节的观察, 使其形成良好的学习习惯, 由此变复杂、抽象问题为简单问题, 再进行完美论证。逻辑思维可激发学生的学习兴趣, 使学生在学习过程中更加积极主动, 提升逻辑思维能力与观察能力。

(三) 发散思维

在不等式学习中使用发散思维即从不同角度讲解与分析数学问题, 使学生真正掌握数学含义, 且在发散思维过程中学生学习数学角度不一, 学习乐趣更加深厚, 学习也更加灵活与生动。师生之间研究与探讨不等式, 不仅可促使教学目标得以完美实现, 还能够深化研究与理解不等式, 使师生在学习过程中找到乐趣, 提升教学效率。

(四) 分类讨论

依据数学对象本质属性的差异, 区分数学对象为拥有相应从属关系的类型不一的数学思维即分类讨论。在高中不等式学习中, 熟练掌握分类思想可有效提升学生的知识理解能力、独立获取知识能力以及知识整理能力, 进而可以促进学生调整知识结构, 完善知识网络。

(五) 数形结合思想

数形结合思想即用数解形、以形助数对数学问题予以处理。在数学学习过程中均存在数形结合思想, 比如图解法、几何题、数轴、向量法以及复数法。对数形结合思想予以充分使用, 可简单化复杂问题, 具体化抽象问题。因此在学习不等式的过程中需对图象、图形予以充分使用, 使学生对所学概念予以正确理解与掌握, 使学生逐渐理解数形结合思想与应用, 结合形象思维与抽象思维, 化难为易。

(六) 函数方程

函数方程思想即解决数学问题时适当构造函数方程, 转化问题至辅助方程与函数性质进行研究的思想。可将不等式看成两个函数值不等的关系, 比如对f (x) =0进行求解时即找出函数y=f (x) 的零点, 对不等式予以证明时还需将函数单调性与换元考虑在内, 数列an通项可作为以n为变元的函数 (n为正数) 。在数学中一定要强调方程与函数的联系与区别, 首先区分二者概念, 而后将转化关系说明。方程与函数思想有利于学生深刻理解数学知识, 进而提升教学效率。

(七) 化归

化归即结合主体已有经验知识采用类比、观察以及联想等方式转化或者变换问题, 一直到转换成可有效解决问题或者已经解决问题的思想, 即采用变化观点、运动观点、发展观点以及事物间联系与制约观点解决问题, 转换将要解决的问题。学生若能够对化归意识予以掌握, 就可对各种转化予以熟练掌握, 将未知变为已知, 将抽象化为具体。

三、结语

高中数学主要是总结、提升与概括数学知识, 密切联系于日后生活与学习, 且不等式在高考中所占比例较大, 学生掌握了不等式的有效解决方法, 不仅具有现实意义而且还会深刻影响学生未来学习。因此, 在高中数学不等式的学习中一定要充分使用数学思维, 促使学生学习效果的提升。

摘要：不等式是高中数学的重要内容, 也频繁出现在高考中。本文将探讨在高中数学不等式教学中应用数学思维的主要作用。

关键词：数学思维,高中数学,不等式

参考文献

[1]靳国林.浅谈高中数学不等式的解题策略[J].高中数理化, 2012 (10) .

[2]刘欢.巧证不等式培养新思维[J].课程教学研究, 2014 (3) .

[3]张雁.优化不等式放飞思维[J].试题与研究:教学论坛, 2011 (14) .

数学思想方法在不等式中的应用 篇3

一、函数与方程思想

函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。因此,在教学中要培养学生如何建立函数关系或构造函数,运用函数的图像、性质去分析问题,解决问题。

例1已知x∈(0,+∞) ,求证:

根据不等式的结构特征,恰当地构造辅助函数 ,此时,若均值不等式取最值时等号不成立,常常考虑利用函数的单调性来解决。

二、分类讨论思想

分类讨论是数学能力培养的一个重要组成部分,在解某些数学问题时,当在整个范围内不易解决时,往往可以将这个大范围划分成若干个小范围来讨论研究。分类讨论只能确定一个标准,必须坚持不重不漏的原则。

例2.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|。

(1)求f(x)的最小值;

(2)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞)解不等式h(x)≥1

评注:分类讨论的关键是要根据问题实际找到分类的标准,本题函数解析式中含有绝对值,所以首先必须分类讨论去绝对值,其次在解不等式中必须对判别式△进行讨论,当△>0时还需讨论根的大小。分类时标准的确定须使任何两类交集为空集且并集为全集, 这样才能在解题过程中,做到分类合理, 并力求最简。

三、数形结合思想

数与形是现实世界中客观事物的抽象与具体的反映。数形结合思想,其实质是将代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来,通过对图形的处理,实现代数问题几何化,几何问题代数化。解题时要充分进行数形转换,借助数的逻辑推演与形的直观特性求解,既直观又深刻。

例3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少?

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知;

当x=3,y=5时可获得最大利润为27万元。

评注:本题从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型,用平面区域表示二元一次不等式组,使学生从中体会到数形结合思想的实质。

四、转化或化归思想

等价转化是把复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题的一种重要的思想方法。诸如代数中的恒等变形,几何中的图形变换等都是化归思想的具体运用。等价转化要求转化后的结果仍为原问题的结果,因此在转化过程中前因后果必须是充分必要的。在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,运用转化或化归,可以化难为易,驾轻就熟,有利于培养学生思维的针对性和灵活性。

例4.当x∈R时,不等式m+cos2x<3+2sinx+√2m+1恒成立,求实数m的取值范围。

评注:本题属不等式中恒成立问题,可通过分离常数转化为求函数最值问题,即m-√2m-1小于3+2sinx-cos2x的最小值。通过几次等价转化,把原题棘手的问题转化为显而易见的问题,然后利用相关知识来解决,这是转化或化归思想的巧妙之处。

初一数学不等式应用题 篇4

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仅供参考

6.6 不等式的应用

●知识梳理

1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（ab2）≤

2a2b22求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.●点击双基

1.已知函数f（x）=log1（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，则实数a的范围是

2A.（－∞，4］ C.（0，12）

2B.（－4，4］ D.（0，4］

解析：∵f（x）=log1（x－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x2－ax+3a在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.a2，∴2 42a3a0.∴－4＜a≤4.答案：B 2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是

A.32

223 cm

B.4 cm D.23 cm2 C.32 cm2

解析：设两段长分别为x cm，（12－x）cm，则S=34（x3）2+

34（12x3）2=

318（x2－12x+72）=

318［（x－6）2+36］≥23.答案：D 3.（理）如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值 解析：∵logax+logay≥2log∴logaxy≥2.axlogay=2，知识就是力量

∴0＜xy≤a.答案：B（文）已知a＞b＞c＞0，若P=A.P≥Q

1bca2，Q=

acb，则

D.P＜Q

B.P≤Q C.P＞Q

解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P=，Q=1，P＜Q.3答案：D 4.已知实数x、y满足解析：由xyxy=x－y，则x的取值范围是_______.=x－y，得y2－xy+x=0.∵y∈R，∴Δ=x2－4x≥0.∴0≤x≤4.∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.答案：0＜x≤4 2x4x30，5.已知不等式组的解集是不等式2x6x802x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.2x4x30，解析：由2得x6x80，2＜x＜3.则f（2）0f（3）0a≤9.答案：（－∞，9］ ●典例剖析 【例1】 函数y=2axbx2axbx22的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.1剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得

① 1yx2－2ax+y－b=0.对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a）2－4y（y－b）≥0.∴y2－by－a2≤0.又－1≤y≤4，∴y2－by－a2=0的两根为－1和4.14b，a2，a2，∴解得或 2b3b3.14a.评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展

知识就是力量

已知x、y∈R+且2x+

8y=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R，且ax++by=1，x+y的最小值为18.求a、b的值.略解：x+y=（x+y）（2yx8xy2x8y）=10+

2yx+

8xy≥10+

22yx8xy=18.当且仅当时取等号.821，x6，由xy解得

y12.22y4x∴当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.同上题，x+y=（x+y）（ab2ab18，ab10，ax+

by）=a+b+

ayxbxy≥a+b+2ab.由得a2，b8，或a8，b2.【例2】 已知a＞0，求函数y=

x2a1x2的最小值.a解：y=x2a+x12，a1x2当0＜a≤1时，y=x2a+≥2，a当且仅当x=±1a时取等号，ymin=2.当a＞1时，令t=x2a（t≥a）.y=f（t）=t+.t1f（t）=1－1t2＞0.∴f（t）在［a，+∞）上为增函数.∴y≥f（a）=a1a，等号当t=a即x=0时成立，ymin=

a1a.综上，0＜a≤1时，ymin=2；

知识就是力量

a＞1时，ymin=a1a.【例3】 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）.（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；

（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.解：（1）由已知| f（1）|=| f（－1）|，有|a+b+c|=|a－b+c|，（a+b+c）2=（a－b+c）2，可得4b（a+c）=0.∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.又由a＞0有c＜0.∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.∴f（x）=x±x－1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.设方程f（x）=0的两根为x1、x2.∴x1+x2=－ba2=2，x1x2=

ca.ca24x1x2=44则|x1－x2|=（x1x2）.由已知0＜|x1－x2|≤2，∴0≤

ca＜1.又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.●闯关训练

夯实基础

1.已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是 A.［－3，6］

B.［－2，6］

解析：∵a=（sinx－2）2－3，|sinx|≤1，∴－2≤a≤6.答案：B 2.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是 A.a≥2

B.a≥1

C.a≥0

D.a≥－2 解析：当x∈［－1，2］时，x2－2x－1=（x－1）2－2∈［－2，2］.∵a≥x－2x－1恒成立，∴a≥2.答案：A 3.b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：答案：abab

2C.［－3，2］

D.［－2，2］

＜＜ambmambm.4.若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，则a+b的最小值为____________.解析：1+a+b≤ab≤（2

ab2）2，∴（a+b）－4（a+b）－4≥0.知识就是力量

∴a+b≤4422或a+b≥

4422.∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2+22.答案：2+22

5.已知正数x、y满足x+2y=1，求解：∵x、y为正数，且x+2y=1，∴1x1x+

1y的最小值.+2yx1y=（x+2y）（xy1x+

1y）

=3++≥3+22，xy当且仅当1x2yx=，即当x=2－1，y=1－

22时等号成立.∴+1y的最小值为3+22.2x1x26.（2004年春季上海）已知实数p满足不等式有无实根，并给出证明.解：由2x1x2＜0，试判断方程z－2z+5－p=0

22＜0，解得－2＜x＜－1212.∴－2＜p＜－2.22∴方程z－2z+5－p=0的判别式Δ=4（p－4）.∵－2＜p＜－∴Δ＜0.由此得方程z2－2z+5－p2=0无实根.培养能力

7.（2003年全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.∵x+|x－2c|=2x2c2cx2c，x2c，12，14＜p2＜4，∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤如果P不正确，且Q正确，则c≥1.1212..知识就是力量

∴c的取值范围为（0，12］∪［1，+∞）.8.已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立.（1）求b、c之间的关系式；（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）－mx在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.∵g（x）=f（x）－mx=x+（b－m）x+c开口向上，且在［∴m2

2222

m2b2，+∞）上单调递增，b2≤0.∴b≥m2≥0.∵c≥3，∴b=－（c+1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.探究创新 9.有点难度哟！已知a＞b＞0，求a+解：∵b（a－b）≤（∴a2+162

16b（ab）的最小值.2bab2）=

a24，b（ab）≥a2+

64a2≥16.bab，a22，当且仅当2，即时取等号.a8b2深化拓展

a＞b＞0，求b（a－b）·提示：b（a－b）≤答案：4 ●思悟小结

1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；

（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；

（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.a216a2的最大值.4.知识就是力量

5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛

1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题

【例1】（2003年福建质量检测题）已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n＞0；

（2）f（m）＜f（m+n）＜f（n）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log

21n12

2① ②

.由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.由②得m+1=1n1，即（m+1）（n+1）=1.③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.∵0＜m+1＜n+1，∴

（m1）（n1）2＞（m1）（n1）=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.∴f（m2）＜f（m+n）.同理，（m+n）－n=－mn－n=－n（m+n）＜0，∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.∴f（m）＜f（m+n）＜f（n）.【例2】 求证：对任意x、y∈R，都有

772xx12222

≤5－3y+

4912y2，并说明等号何时成立.证明：72x+49≥2·7x·7=2·7x+1，∴772xx1≤4912122.12又∵5－3y+y=（y－3）+

12≥

12，∴

772xx1≤5－3y+

初一数学应用题工程问题 篇5

工程问题公式：

工作量=工作效率×工作时间

（1）两个或多个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量

（2）一般情况下把总工作量设为1 【工程问题】

1.一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？

2.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

3.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

4.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的 部分由乙单独做，需要几天完成？

5.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？

6.一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？

7、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？

8.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

初一数学上应用题等量关系式总结 篇6

一.连续等差式应用题 关键：如何设未知数

1）有中间项，设中间项为x，其他依次递增或递减。2）没有中间项，设第一个为x，其他依次增减。3）未知数有对称关系的，通常设中间项为x。二.日历中的应用题 关键： 1,认识日历

2．竖列相邻三个数之间差7 3．横列相邻三个数之间差1 4．日历中的得数为整数

5．日历中几乘几方框是什么意思 三．蕴藏等量关系式应用题

关键：利用体积或周长相等建立等量关系 四．销售问题应用

关键：1。题目中有利润，利润率，亏损率等量关系式为 1

利润=售价-进价 利润率=售价-进价/进价 —亏损率=售价-进价/进价 2．其他情况看情况来定

五．含有两个等量关系式的应用题 关键：

1。题目中有两个等量的通常选支解过程中是整式的关系式，另一个做代换式

2．做题熟练了可直接选择等量关系式和代换式 六。行程问题应用题 关键：

1。单人单程：等量关系式：速度*时间=路程 2．单人双程：等量关系式：来时的路程=回时的路程 3．双人行程：

1）必须结合线段图分析

2）追击问题：等量关系式：两人行程相等

3）相遇问题：同地方起步：甲的行程+乙的行程=总路程 不同地方起步：追者的行程－被追者的行程=起步距离 七．存钱问题应用题 关键：

等量关系式：利息=本金*利率*时间 本息和=本金+利息 八．总体为单位1的应用题

关键：在应用题中，在总体不知道的情况下，可把总体看成单位1 九．顺水，顺风应用题

初一数学不等式应用题 篇7

1. 中职学生特点

中职学生大部分在初中阶段成绩不太理想, 数学水平有待提高, 在中职教育阶段, 往往不重视文化课的学习, 只注重职业技能的训练。同时由于传统中职学校的教育理念的阻碍, 学生在课堂上很难真正学到知识点。

2. 中职数学教学的难点

根据中职学生的特点, 数学教学难点主要有两点。一是学生基础较差。二是教师在课堂教学过程中, 要结合高考, 侧重于高考涉及知识点的讲授。

二、从高考数学题探讨中职数学不等式教学

“不等式知识是数学基础理论的一个重要组成部分, 它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型, 反映了事物在量上的区别, 是研究数量的大小关系的必备知识, 是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。”[1]不等式这一考点在试卷中多以选择题和填空题的形式出现, 而且难度一般处于容易或中等层次, 所以教师在课堂中应当运用专业基础将知识点传授给学生, 让学生学会灵活运用知识点应对不同类型的题目。

1. 以浙江省2013、2014年高考数学题 (文) 为例分析

参考浙江省2014年高考数学文科试卷, 直接考察不等式这一考点的题目为第12题, 题型为填空题。题目为“若实数x, y满足x+2y-4<0, xy-1<0, x>1, 则x+y的取值范围是?”这道题考查的是不等式组表示的平面区域。在课堂讲解过程中, 首先应当引导学生构建一个平面区域, 如⊿ABC, 并且令z=x+y, 在讲解到这一点时, 应当引导学生注意本题的问题“求x+y的取值范围”, 实际上就是就z的取值范围。同时解出方程组x+2y-4<0, xx-y-1<0, 得出C (2, 1) , 再解出第二个方程组x-y-1<0, x>1, 得出的结果为B (1, 0) , 平移直线z=x+经过点C时, 发现z在这时取得最大值为z=2+1=3, 而当直线z=x+y经过点B时, z取得最小值, z=1+0=1, 所以的范围是[1, 3], 所以x+y的范围就是[1, 3]。

其次是浙江省2013年高考数学文科卷第15题, 同样是填空题, 题目的考察点稍有变换, 但基本考察内容是一样的。题目为“设z=kx+y, 其中实数x, y满足x>2, x-2y+4>0, 2x-y-4>0。”通过和上题对比, 在课堂讲授时仍然是构建平面区域, 如图所示, 根据相关运算得出最终结果k=2。教师在教授课程时可以将这两道题放在一起讲授, 因为两道题虽然考察的知识点差不多, 但稍有变化, 可以检测出学生是否已全面掌握知识点。

2. 课堂教学的侧重点

首先, 中职类学校授课过程的最终目的是希望学生通过高考, 所以很多学校完全以考纲为目标来设置教学内容, 采取完全的应试教学。但是在前文我们已经提到, 中职学生大部分基础较差, 完全按照考纲来教学的话会导致学生根本听不懂教师在说什么。“应试教学不仅违背了数学课素质教育和实际应用的功能, 而且学生实际掌握情况也很不理想, 很大程度上影响了学生学习积极性。”[2]所以教师应当在授课过程中从简到繁, 激发学生的联想和想象, 回忆过去学习过的知识。

其次在课堂教学过程中, 教师是主要知识的传授者, 主体对象是学生。教师在授课过程中应当更加注意学生是否听懂了, 是否学会了知识点的变换运用。

三、总结

近年来中职学校中的文化课也不断受到学校领导的重视, 但是由于中职学生在高考报考专业时只能报考对口或者类似专业, 所以中职学生更需要受到教育部门的关注, 数学作为高考科目中的难点, 教师在课堂教授过程中也应当注意学生的接受能力, 适时改变教学策略, 在老师、学生的共同努力下, 共同学习, 相互促进。

摘要：数学是高考科目中历来是受到老师、家长、学生关注的科目, 高考数学题的设置, 一般侧重于高中数学基础知识的考察以及通过变换题型而增加难度的题目, 不等式这一考点在高考数学中一般出现在选择题或填空题, 属于基础类题目, 对于中职学校学生来说应当是必须得到的分数, 所以在课堂中如何教学才能让学生更好地掌握该知识点成为了教师备课重点之一。

关键词：数学,高考,中职,不等式

参考文献

[1]陈瑞民.中职数学不等式性质教学的五化策略[J].经济研究导刊, 2011 (06) .

高中数学不等式解法探讨 篇8

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

初中数学不等式教案 篇9

1.浏览课本P2~21，了解本章结构。_K]

自学：阅读课本P2~P4，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问).

2.查找“不等号的由来”

备注： 不等号的由来|K]

①现实世界中存在着大量的不等 关系，如何用符号表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大 小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.

②后来，人们在表达不等关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多情况下，要用到一个数(或量)大于或等于另 一个数(或量)，此时就把“>”和“=”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于或等于”，有时也称为“不小于”.同样，把符号“≤”读做“小于或等于”，有时也称为“不大于”.

那么如何理解符号“≥”“≤”的含义呢?用“≥”表示“>”或 “=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.同样“≤”也有类似的情况.

③因此有人把a>b,b

现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”，用“≯”表示“不大于”.有了这些符号，在表示不等关系时，就非常得心应手了.

二、师生互动

和学生一起进行知识梳理

(一)由师生一起交流“不等号的由来”① ，引出学习目标——认识不等式

1.引起动机：

教师配合课本“观察与思考”“一起探究”等 内容提问：用数学式子要如何表示小卡车赶超大卡车?

2.学生进行讨论并回 答 。

3.教师举例说明：

数学符号“>、<、≥、≤、≠”称为不等号，而含有这些符号的式子就称为不等式。

4.结合自己的旧经验，让学生认识“≤”所代表的意思。

教师说明：

在小学时我们学过“小于”的符号，也就是说如果“a小于b”，我们可以记为“a

5.仿照上面说明由学生进行“≥”的介绍.

6.教师举例提问：

如果我们要比较两数的大小关系时，可能会有几种情形?

(当我们比较两数的大小关系时，下面三种情形只有一种会成立，即 ab)

7.老师提问：如果我们只知道“a不大于b”，那该如何用不等号来表 示呢?

(「a不大于b」表示「a小于b」且「a有可能等于b」，所以我们可以记录成「a≤b」 )

8.仿照此题，引导学生了解“a不小于b”及“a不等于b”所代表的意义.

教师归纳说明：不等式的意义

不等式表示现实世界中同类量的不等关系.在有理数大小的比较中，我们常用不等号连接两个或两个以上的有理数，如-3>-5.不等式含有不等 号，常见的不等号有五种，其读法及意义如下：

(1)“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.

(2)“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.

(3)“≥”读作“大于等于”，即“不小于”，表示其左边的量大于或等于右边.

(4)“≤”读作“小于等于”，即“不大于”，表示其左边的量小于或等于右边.

(5)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大，哪个小

(二)用不等式表示数量关系

关键是明确问题中常用的表示不等关系词语的意义，并注意隐含在具体的情境中的不等关系.

补充例1. 下面列出的不等式中，正确的是 ( )

(A)a不是负数，可表示成a>0m]

(B)x不大于3，可表示成x<3

(C)m与4的差是负数，可表示成m-4<0

(D)x与2的和是非负数，可表示成x+2>0

解析：用不等式表示下列数量关系，关键是能用代数式准确地表示出有关的数量，并掌握“不大于”、“不超过”、“是非负数”等词语的正确含义及表示符号.

因为 a不是负数，可表示成a≥0;

x不大于3，应表示成x≤3xx§k.Com]

x与2的和是非负数应表示成x+2≥0，

所以 只有(C)正确. 故本题应选(C).

(三)不等式成立的意义

对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立;当未知数取某些值时，不等式的左、右两边 不符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式不成立.强调用“≥”表示“>”或“=” ，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.

三、补充练习

作业：课本P4习题

5分钟练习

1.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为( )

A.2x+3≥0 B.2x+3>0 C.2x+3≤0 D.2x+3<0

2.几个人分若干个苹果，若每人3个还余5个，若去掉1人，则每人4个还有剩余.设有x个人，可列不等式为_____________________.

〖分层作业〗

基础知识

1.判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.

①x+y ②3x>7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x-3y=1 ⑥52

2.用适当符号表示下列关系.

(1)a的7 倍与15的和比b的3倍大;

(2)a是非正数;

3.在-1，- ，- ，0， ，1，3，7，100中哪些能使不等式x+1<2成立?

综合运用

4.通过测量一棵树的树围，(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m?请你列出关系式.

数学大学中常用不等式 篇10

一：

一些重要恒等式

ⅰ：1+2+…+n=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 1+2+…+n=(1+2+…+n)

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2a=sin2a／2sina

ⅳ:

e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

n

n+1

n+133

222

2sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:欧拉等式 e=-1(i是虚数，是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word

∏i

∏编）

二 重要不等式 1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)

2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ aibi)≤∑ai∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)≤2max(︱a︱,︱b︱)

(a+b)≤a+ b(0

1)

6:(1+x)≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； npp

ppp

pp

p

p

p 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n+1

n

n

n-1 4：n>(n+1)n！≥2

n 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n

<4 四：一些重要极限

2011高考中的数学“不等式” 篇11

1 不等式的性质和应用

此类试题常常会与命题真假的判断、大小的关系、充分必要条件等知识综合考查，主要以选择题或填空题的形式考查。试题难度不大，主要以考查不等式的不等式的基本性质和应用为主，求解过程中注重对相关性质变形形式的理解和应用，同时主义思维的严谨性。

例1、（2011年?浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的（ ）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件

C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

解读：问题的论证正面可以推理论证，反面可以用列举反证，对于逻辑关系的判断和分析要注意从题情出发灵活掌握。

突破：对于0＜ab＜1时，如果a＞0，∴b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，∴b＞1a成立，因此“0＜ab＜1” 是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，不妨举反例，若a＝-1，b＝2，结论“a＜1b或b＞1a” 成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件。【答案】A

感悟：不等式性质的问题中，除了运用性质推理外，有时用特殊值可以轻而易举解决问题。

题型二、函数性质和基本不等式的应用

此类题型主要考查函数性质在不等式中的应用和基本不等式的应用，是考试的热点题型，试题难度中等，主要是小题型出现。解题时应注重构造函数模型并运用单调性及数形结合思想，基本不等式的应用要注意等号成立条件。

例2、（2011年?天津）已知a＝5log3.42，b＝5log3.64，c＝(15)log0.33，则（ ）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、a＞c＞b D、c＞a＞b

解读：将a，b，c化为同底的指数式并找中间值，再用函数性质比大小。

突破：c＝5-log0.33＝5log10033。因为32＝log3.422＜log3.422＝log3.42＜2，0＜log3.64＜1，1＜log1033＝log10093＜log273＝32，所以a＞c＞b。【答案】C

感悟：指数和对数函数的性质的运用是解决这类问题的关键，有时寻找中间值很关键。

题型三、解不等式

此类试题考查形式多样，常与集合、简易逻辑相结合，以选择题、填空题形式出现，难度较小，主要考查对一元二次不等式、不等式组及分式不等式的解法等。有时与导数相结合，属中等难度的题型。

例3、（2011年?辽宁）函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2,则f(x)＞2x+4的解集为（ ）

A、(-1),1 B、(-1,+∞) C、(-∞,-1) D、(-∞,+∞)

解读：关系式f′(x)＞2是其f(x)＞2x+4的求导式，故可利用导数法判断函数g(x)＝f(x)-2x-4的单调性，又因为f(-1)＝2，所以g(-1)＝0，综上可将问题转化为g(x)＞g(-1)问题。

突破:令函数g(x)＝f(x)-2x-4，则g′(x)＝f′(x)-2＞0，因此，g(x)在上是增函数，又因为g(-1)＝f(-1)+2-4＝2+-4＝0。所以，原不等式可化为：g(x)＞g(-1)，由g(x)得单调性，可得x＞-1

【答案】B

感悟：寻找已知和结论之间的联系，有时可以在一些问题求解过程中得以简化。

题型四、简单的线性规划

应用线性规划判断平面区域、求目标函数的最值，常见于选择或填空题，线性规划解决实际应用问题常见于解答题，都是以中档题为主，解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想。

例4、（2011年?湖南）设m＞1，在约束条件y≥x

ymx

x+y1，下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

A、(1,1+2) B、(1+2,+∞) C、(1,3) D、(3,+∞)

解读：此题在于找准目标函数取得最小值的位置。

突破：依题意，画出简图可行域如右图阴影部分，则当直线z=x+my过A点时目标函数有最大值，由y=mx与x+y=1求出A(1m+1,mm+1),代入可得zmax=1m+1+m2m+1=m2+1m+1＜2。又m>1，可求得1＜m＜1+2。

感悟：尽量将图形做准确，借图找出目标函数的最优解的位置非常重要。

题型五、不等式的综合应用

在主觀题中，不等式常与函数、三角、向量、数列、解析几何、综合出现，导数、不等式、函数的综合题居多，问题多属于中高档题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。

例5、（2011年?辽宁）已知函数＝

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)；

(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交与A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)＜0。

解读：先求函数f(x)的定义域，（1）求导，通过讨论的范围，从而确定函数的单调性；（2）构造函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，利用导数法判断函数g(x)的单调性即可。（3）借助图像及（1）、（2）结果可求证。

突破：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x) ＝1x-2ax+(2-a)＝-(2x+1)(ax-1)x，若a0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0,+∞)单调增加。

若a＞0，则由f′(x)＝0得x=1a，且当0＜x＜1a时，f′(x)＞0，当x＞1a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1a)单调增加，在(1a,+∞)单调减少。

（2）设函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，则g(x)＝In(1+ax)-In(1-ax)-2ax，g′(x)＝a1+ax+a1-ax-2a＝2a3x21-a2x2。

当0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0。

故当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)。

(4)由（1）可得，当时a0，函数y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f(x)的最大值为f(1a)，且f(1a)＞0。

不妨设A（x1，0），B(x2,0),0＜x1＜x2,则0＜x1＜1a＜x2，0＜1a-x1＜1a。由（2）得f(2a-x1)＝f(1a+1a-x1)>f(x1)=0。从而x2＞2a-x1，于是x0＝x1+x22＞1a。

由（1）知，f′(x0)＜0。