高一基本不等式练习题

2024-10-14

高一基本不等式练习题（精选11篇）

高一基本不等式练习题篇1

不等式综合练习题

一、选择题

1．若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是()(A)ac＞bc(B)|a＋c|＞|b＋c|(C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋c 2.设a＞1＞b＞－1,则下列不等式中恒成立的是()A．

1a1b

B．1a1

bC．a＞b2D．a2＞2b

3.设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()（A）6（B）42（C）22（D）26 4.函数ylogx(1x)x的定义域是()

A(1,1]B(0,1)C(1,1)D(0,1]

5.使“ab0”成立的充分不必要条件是()A.a2b2

0B.5a5b

C.a1b1D.log2alog2b

6．函数y＝log1（x＋

-1）（x > 1）的最大值是（）

x1

A．－2B．2C．－1D．1

7.函数f(x)x22x2

x1

(x3)的最小值是()

A.2B.22C.52D.103

8.如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()(A)(,2](B)(,2)(C)(2,2](D)(－2,2)

9.不等式

xx

x31

0的解集为()A {x0x1} B {x0x1}C {xx0}D {x1x2}

10.已知a2,Pa

a2，Qa24a,则P,Q的大小关系是（）A.PQB.PQC.PQD.PQ

二、填空

1．当0x

2时，函数f(x)1cos2x8sin2x

sin2x的最小值是________

2.已知正数x、y满足

8x1

1，则x2y的最小值是___________ 3.不等式

x21

2x

0的解集是__________________4．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_________

5.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围___________

6.．设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0 的解集为，则不等式f(x)·g(x)>0的解集为___________

三、计算题 1．解不等式5x

2x3

1

2．已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。

3.已知集合Ax|x25x40

与Bx|x2

2axa20，若BA，求a的取值范围。

高一基本不等式练习题篇2

基本不等式是解决最值问题的重要工具, “一正、二定、三相等”是运用基本不等式的前提条件, 缺一不可.很多最值问题的求解方法往往具有一定的隐蔽性, 需要进行适当地变形方能使用基本不等式, 若能掌握它, 则可将复杂问题简单化.

一、拆项、添项

例1 已知 $x < \frac{5}{4}$ , 求函数 $y = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值.

分析:因为4x-5<0, 所以首先要“调整”符号.又 $(4 x - 2) \cdot \frac{1}{4 x - 5}$ 不是常数, 所以对它要进行“配凑”.

解:由 $x < \frac{5}{4}$ , 有5-4x>0, 所以 $y = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5} = - (5 - 4 x + \frac{1}{5 - 4 x}) + 3 \leq - 2 + 3 = 1$ .当且仅当 $5 - 4 x = \frac{1}{4 x - 5}$ , 即x=1时, 上式等号成立.故当x=1时, ymax=1.

引申:设x≥5, 函数 $y = x + \frac{3}{x}$ 的最小值是.

分析:若直接使用基本不等式, 则等号无法取到, 所以通过变换, 可部分使用.

解:把条件变为 $y = x + \frac{3}{x} = x + \frac{25}{x} - \frac{22}{x}$ , 当x≥5时, $y = - \frac{22}{x}$ 单调递增, 而 $y = x + \frac{25}{x} \geq 2 \sqrt{25} = 10$ 在x=5时取得最小值.所以 $y = x + \frac{3}{x}$ 在x=5时有 $y_{\min} = 10 - \frac{22}{5} = \frac{28}{5} .$

评注:1.本题无法直接运用基本不等式求解, 但可适当进行拆项, 即配凑出积为定值, 从而可利用基本不等式求最大值.2.本题还可以运用导数法进行求解.

二、平衡系数

例2 当0<x<2时, 求y=x (4-2x) 的最大值.

分析:利用基本不等式求最值的关键是和为定值或积为定值, 本题是积的形式, 但其和不是定值, 注意到2x+ (4-2x) =4为定值.故只需将“x”项添加适当的倍数, 即配凑上一个系数即可用基本不等式.

解:由0<x<2, 知 $4 - 2 x > 0 . y = x (4 - 2 x) = \frac{1}{2} [2 x (4 - 2 x)] \leq \frac{1}{2} (\frac{2 x + 4 - 2 x}{2})^{2} = 2 .$

当且仅当2x=4-2x, 即x=1时取等号, 其最大值为2.

评注:1.本题无法直接运用基本不等式求解, 但添加适当的倍数, 即平衡系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值.2.本题还可以化归为二次函数进行求解.

三、“1”的巧妙代换

例3 已知m>0, n>0, 且2m+n=1, 求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

分析:易出现错解:

$1 = 2 m + n \geq 2 \sqrt{2 m n}$ ①

可得 $\frac{1}{\sqrt{m n}} \geq 2 \sqrt{2} . \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{m} \cdot \frac{1}{n}} = \frac{2}{\sqrt{m n}} \geq 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ ②

错因:①等式等号取得的条件是当且仅当2m=n;②等号成立的条件是当且仅当 $\frac{1}{m} = \frac{1}{n}$ .而两个等号不可能同时取到.那么有的同学会认为不能运用基本不等式, 其实不然, 若我们妙用常数“1”, 能配凑出和或积为定值, 会出现意想不到的效果.

正解: $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = (\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) (2 m + n) = 3 + \frac{n}{m} + \frac{2 m}{n} \geq 3 + 2 \sqrt{2} .$

当且仅当 $\frac{n}{m} = \frac{2 m}{n}$ 时取等号, 即 $m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, n = \sqrt{2} - 1$ , 故 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2} .$

引申:已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ , 求 $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}$ 的最小值.

分析:很多同学通常先通分, 然后再分离, 但若挖掘隐含信息2x+ (1-2x) =1, 便构造出常数“1”, 可考虑上题的方法“1”代换

$\begin{array}{l} 解 ∶ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x} \\ = (\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}) [2 x + (1 - 2 x)] \\ = 3 + \frac{1 - 2 x}{x} + \frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 3 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

当且仅当 $\frac{1 - 2 x}{x} = \frac{2 x}{1 - 2 x}$ 时取等号, 即

$x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

评注:此类问题求解的关键是抓住条件和结论的结构特点及两者之间的关系, 类比联想, 合理配凑.

四、三角换元

例4 同例3

解:由m>0, n>0, 且2m+n=1, 可设

$m = \frac{1}{2} \sin^{2} α, n = \cos^{2} α$

$\begin{array}{l} 则 \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2}{\sin^{2} α} + \frac{1}{\cos^{2} α} \\ = 2 (1 + \cot^{2} α) + (1 + \tan^{2} α) \\ = 3 + (2 \cot^{2} α + \tan^{2} α) \geq 3 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

.当且仅当 $\tan α = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 即 $m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, n = \sqrt{2} - 1$ 取等号.

故 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2} .$

评注:此类问题求解的关键是抓住条件结构特点, 合理进行三角代换, 再利用诱导公式, 配凑出积为定值.

五、连续使用基本不等式

例5 设a>b>0, 求 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)}$ 的最小值.

分析:条件为和式, 但无法直接配凑出积为定值, 从而思维陷入困境;此时若能发现对每二个式子使用基本不等式后, 产生积为定值, 则难点得到突破, 方法巧妙, 令人扑案叫绝.

解:由 $\frac{16}{b (a - b)} \geq \frac{16}{(\frac{b + a - b}{2})^{2}} = \frac{64}{a^{2}}$ , 此时等号成立条件是b=a-b即a=2b, 所以 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)} \geq a^{2} + \frac{64}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{64} = 16$ , 此时等号成立条件是 $a^{2} = \frac{64}{a^{2}}$ 即a=4, 所以此时b=2>0.

评注:两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式, 使用时要注意等号要同时成立.

六、借助求解不等式

例6 若正数a, b满足ab=a+b+3, 则ab的最小值是.

解:令 $\sqrt{a b} = t (t > 0)$ , 由 $a b = a + b + 3 \geq 2 \sqrt{a b} + 3$ , (当且仅当a=b=3取等号)

得 t2≥2t+3, 解得t≥3

即 $\sqrt{a b} \geq 3$ , 故ab≥9 (当且仅当a=b=3取等号也成立) .所以ab的最小值是9.

评注:此类问题求解的关键是使用基本不等式后, 再转化为求解一元二次不等式, 可谓出奇制胜.

江苏省板浦高级中学

基本不等式课本习题的变化篇3

对这个课本练习学生不难得到当x=1时x+■的最小值为2.

其实对此题学生、教师若变变其脸，可得到不少解题启示。

变式题1：若x>-1则x取什么值时x+■的值最小？最小值是多少？

解：由x+■=x+1+■-1（*）

x>-1 x+1>0

（*）式≥2■-1=1当且仅当x+1=1即x=0时取最小值。

x=0时x+■取最小值为1。

仔细推敲上两题可发现，x+■=■，x+■=■那么若碰到

变式题2：x>0时■的最小值为多少？何时取到？

只需将■变回到x+■便迎刃而解。

甚至可归结出如下一类问题：x取何正值时，■ （a,b,c>0）的值最小？最小值是多少？

解：■=■+■

a,b,c,x>0

∴(**)式≥2■= ,当且仅当■=■即x=■时取最小值。

变式题3：x>0，当x为何值时，y=■取到最大值？最大值是多少？

解：由上题得启示x>0，y=■=■≤■＝■，

当且仅当x=■即x=■时取最大值■。

变式题4：x>-1，当x为何值时，■的值最小？最小值是多少？

解：x>-1

■=■=x+1+■-1≥2-1=1

当且仅当x=0时取最小值1。

同理大家可自己归纳类似变式题2的统一结论（结论略）。大家不妨练习：

当x>-2时y=■的值域。（答案：y∈[2■-5,+∞]）

新课程数学教材内容加强了与学生生活的联系。内容现实了，情境引入加强了，让学生真正感受到数学就是身边的数学。下面就如何创设数学情境发表一下自己的看法。

一、创设悬念情境，使学生“奇”中激“趣”

针对学生好奇心强的特点，教师将学生未知的数学规律、法则等前置应用，创设新奇的悬念情境激发学生探求知识的热情。

二、创设冲突情境，使学生“感”中生“趣”

孔子说过：“疑虑、思之始，学之始”。以富有挑战性、探究性的问题为素材，可创设认知冲突型教学情境，使学生处于心欲求而不得、口欲言而不能的状态。

三、创设生活情境，使学生“思”中探“趣”

数学是人们生活中必不可少的工具，生活是数学赖以生存和发展的源泉。数学教学也应紧紧结合生活实际，用学生非常熟悉的生活现象来创设情境，引导学生思考，更大程度地调动学生的学习兴趣。

四、创设应用情境，使学生“需”中引“趣”

数学来源于生活，又服务于生活，创设有效的数学应用情境，使学生在运用的过程中感受到现有知识的不足，从而使学生认识到学习新知识的必要性。

五、创设史料情境，使学生“赏”中唤“趣”

数学是人类智慧的结晶，有她的历史蕴含。以宣讲故事的形式或介绍数学史话、数学家的事迹，可以使学生在欣赏历史人物、历史故事的同时深深感受到学习数学知识的迫切性。

高一基本不等式练习题篇4

一、选择题

1．化学与人类的生产、生活密切相关，下列有关叙述错误的是

A．食用花生油中的油脂属于高分子化合物

B．麦芽糖可以发生银镜反应和水解反应

C．抗击新冠病毒用的“84”消毒液的主要成分是NaClO

D．奋斗者潜水器主体采用的钛合金材料具有耐低温、耐高压和抗腐蚀性好的特性

2．下列叙述I和叙述II均正确并有因果关系的是

选项

陈述I

陈述II

明矾可用于净水

明矾投入水中能形成胶体

用于刻蚀玻璃

是强酸，能与玻璃中的反应

高温还原制备金属

比更活泼，金属性更强

蛋白质和淀粉都是高分子化合物

蛋白质和淀粉水解最终产物均是葡萄糖

A．A

B．B

C．C

D．D

3．下列说法正确的是

A．棉、麻、羊毛、蚕丝主要成分都是蛋白质

B．在鸡蛋清溶液中，加入硫酸钠溶液，蛋白质因发生变性而凝聚

C．油脂、糖类和蛋白质均可发生水解反应

D．将2mL

mo1·L-1CuSO4溶液与1

0.5

mo1·L-1NaOH溶液混合后，再加入1mL10％的葡萄糖溶液，煮沸后未出现红色沉淀。实验失败的主要原因是氢氧化钠用量不足

4．下列关于有机物的叙述正确的是

A．只能从动植物等有机体中取得的化合物称为有机物

B．氨基酸不能与盐酸反应

C．有机物和无机物之间不能相互转化

D．麦芽糖与蔗糖的水解产物都有葡萄糖

5．下列说法不正确的是

A．植物秸秆可用于制造酒精

B．CO2可用作镁燃烧的灭火剂

C．工业上用氯气与石灰乳制漂白粉

D．氢氧化铁胶体可用作净水剂

6．下列说法不正确的是

A．用新制的Cu(OH)2悬浊液可以鉴别乙酸，乙醇，葡萄糖

B．生物质可以通过热化学转化变成可燃性气体

C．淀粉溶液中加入稀硫酸水解，取样后可以直接加碘水检检淀粉是否水解完全

D．油脂在碱性条件下水解的产物中加入热的饱和食盐水，因盐析而在下层析出固体

7．关于下列诗句或谚语隐含的化学知识，说法错误的是

A．“爆竹声中一岁除”，爆竹中的火药含有硫黄

B．“木棉花落絮飞初”，“絮”的主要成分是纤维素

C．“谷雨种甘蔗”，甘蔗中的蔗糖是多糖

D．“雷雨发庄稼”，该过程有硝酸生成8．下列说法正确的是

A．纤维素、蔗糖、葡萄糖和脂肪在一定条件下都可发生水解反应

B．油脂都不能使溴的四氯化碳溶液褪色

C．糖类和蛋白质的组成元素相同

D．提纯鸡蛋白中的蛋白质时，可向鸡蛋清溶液中加入浓硫酸铵溶液，然后将所得沉淀滤出，经洗涤即得到较纯净的蛋白质

9．据《自然》杂志报道，在300～400

℃的高温下，将砂糖(主要成分为蔗糖)等碳水化合物用加热的方法使其形成焦糖与碳之间的“半成品碳”状态，再放进硫酸溶液中高温加热，能生成一种叫“焦糖烯”的物质，其分子式为C36H50O25。下列有关说法正确的是

A．焦糖烯能使溴水褪色

B．“半成品碳”是碳元素的一种新单质

C．蔗糖溶液与新制的氢氧化铜混合加热有砖红色沉淀生成D．焦糖烯是一种新型烯烃

10．下列说法正确的是

A．淀粉和纤维素属于糖类，且互为同分异构体

B．油脂的皂化反应得到高级脂肪酸和甘油

C．糖类、油脂和蛋白质均是天然高分子，都可发生水解反应

D．氨基酸是组成蛋白质的基本结构单元，分子中同时含有羧基和氨基

11．短周期全族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加，X、Y、Z位于同一周期，且Z最外层电子数是其电子层数的3倍，由这四种元素形成的一种分子的球棍模型如图所示(图中的“棍”可能是单键，也可能是双键)。下列说法正确的是

A．四种元素原子半径最大的是Z

B．四种元素非金属性最强的是W

C．W和Z形成的化合物一定不含非极性共价键

D．该模型表示的有机物能发生缩聚反应生成高分子化合物

12．核酸检测为确认病毒感染提供了关键的支持性证据。某核糖核酸（RNA）的结构片断示意图如下，它在酶的催化作用下能完全水解生成戊糖、碱基和某酸。下列说法不正确的是

A．核酸也可能通过人工合成的方法得到

B．酶是有机化合物，催化活性与温度有关

C．该核酸水解生成的碱基中含有氮元素

D．该核酸完全水解生成的酸是H3PO3

13．关于氨基酸的叙述错误的是

A．氨基酸的结构中都含有氨基和羧基

B．人体内氨基酸代谢的最终产物是二氧化碳和尿素

C．人体内所有氨基酸都可以相互转化

D．两个氨基酸通过脱水缩合形成二肽

14．下列说法不正确的是

A．联二苯（）的二氯取代物有15种

B．非必需氨基酸可以在人体中利用氮元素合成C．的同分异构体中，属于芳香烃的有机物能发生加聚反应

D．甘氨酸溶于过量盐酸中生成的离子在电场作用下向阴极移动

15．化学与生活密切相关。下列说法正确的是

A．硒是人体必需的微量元素，摄入越多越有宜

B．生活用品中羊绒衫主要由合成纤维制造

C．加热能杀死流感病毒是因为蛋白质受热变性

D．碳酸钡可用于胃肠X射线造影检查

二、实验题

16．某学生设计了三个实验方案，用以检验淀粉的水解情况。

方案甲：淀粉液水解液中和液溶液变蓝。

结论：淀粉完全没有水解。

方案乙：淀粉液水解液无银镜现象。

结论：淀粉完全没有水解。

方案丙：淀粉液水解液中和液有银镜现象。

结论：淀粉已经水解。

(1)淀粉的水解产物是_______(填名称)。利用它的_______(填“还原性”或“氧化性”)可进行检验。

(2)方案甲结论不正确，正确结论应为淀粉可能完全没有水解或_______。

(3)方案乙结论也不正确，淀粉也可能部分或完全水解，因为_______。

(4)方案丙的结论是正确的，其中最后一步的银氨溶液也可换成新制氢氧化铜悬浊液，则加热反应现象为_______。

(5)若想进一步检验方案丙中淀粉是否完全水解，应取少量中和液，加_______，若现象为溶液变蓝，则证明淀粉_______。

17．为检验淀粉水解的情况，进行如图所示的实验，试管甲和丙均用的水浴加热，试管乙不加热。待试管甲中的溶液冷却后再进行后续实验。

实验1：取少量甲中溶液，加入新制氢氧化铜悬浊液，加热，没有砖红色沉淀出现。

实验2：取少量乙中溶液，滴加几滴碘水，溶液变为蓝色，但取少量甲中溶液做此实验时，溶液不变蓝色。

实验3：取少量丙中溶液加入溶液调节至碱性，再滴加碘水，溶液颜色无明显变化。

(1)写出淀粉水解的化学方程式：___________。

(2)设计甲和乙是为了探究___________对淀粉水解的影响，设计甲和丙是为了探究___________对淀粉水解的影响。

(3)实验1失败的原因是___________。

(4)实验3中溶液的颜色无明显变化的原因是___________。

(5)下列结论合理的是___________(填序号)。

a．淀粉水解需要在催化剂和一定温度下进行

b．欲检验淀粉是否完全水解，最好在冷却后的水解液中直接加碘

c．欲检验淀粉的水解产物具有还原性，应先在水解液中加入氢氧化钠中和硫酸至溶液呈碱性，再加入新制氢氧化铜悬浊液并加热

d．若用唾液代替稀硫酸，则实验1可能出现预期的现象

三、有机推断题

18．某同学设计淀粉利用方案如下图所示：

其中A能催熟水果，B是高分子化合物，D是有水果香味的物质。

请回答以下问题：

(1)“C6H12O6”的名称是________；C中含有的官能团名称是____________。

(2)A→B的反应类型为______；C→D的反应类型为______。

(3)写出下列转化的化学方程式：

①A→B：___________________；

②C→D：______________________；

③CH3CH2OH→CH3CHO：__________________。

参考答案

1．A

【详解】

A．油脂不属于高分子化合物，选项A错误；

B．麦芽糖分子含有醛基，能发生银镜反应，它又能水解生成葡萄糖，选项B正确；

C．

“84”消毒液的主要成分是NaClO，具有强氧化性，选项C正确；

D．钛合金材料具有强度大，韧性好，耐低温、耐高压和抗腐蚀性好的特点，选项D正确。

答案选A。

2．A

【详解】

A．明矾可用于净水因为明矾溶于水后电离出的铝离子水解生成的氢氧化铝胶体有吸附性，可吸附水中的悬浮杂质，故A符合题意；

B．用于刻蚀玻璃是因为HF与玻璃中的二氧化硅反应，与HF酸性强弱无关，且HF是弱酸，故B不符合题意；

C．高温还原制备金属，是因为K的熔点低，易挥发出钾蒸汽，事实K比Na更活泼，故C不符合题意；

D．蛋白质水解最终产物是氨基酸，淀粉水解最终产物是葡萄糖，故D不符合题意；

故答案为：A

3．D

【详解】

A．蚕丝、羊毛的成分是蛋白质，棉花、麻的成分是纤维素，选项A错误；

B．在鸡蛋清溶液中，加入硫酸钠溶液，蛋白质发生盐析而不变性，选项B错误；

C．油脂、蛋白质能发生水解，多糖、二糖能够发生水解，单糖不能发生水解，选项C错误；

D．将2mL

mo1·L-1CuSO4溶液与1

0.5

mo1·L-1NaOH溶液混合后，氢氧化钠全部反应，溶液不呈碱性，不能检验醛基的存在，应该加入氢氧化钠溶液过量，再加入1mL10％的葡萄糖溶液，煮沸后出现红色沉淀，说明葡萄糖中含有醛基，选项D正确；

答案选D。

4．D

【详解】

A．有机物不一定是从动植物有机体中取得，可用人工合成方法制得，A项错误；

B．氨基酸能与盐酸反应，B项错误；

C．甲烷燃烧生成无机物，氰化铵能合成尿素，C项错误；

D．麦芽糖与蔗糖的水解产物都有葡萄糖，D项正确；

答案选D。

5．B

【详解】

A．植物秸秆水解生成葡萄糖，在酒化酶作用下发生分解，可制得酒精，A正确；

B．燃烧的镁条在CO2气体中能继续燃烧，所以CO2不可用作镁燃烧的灭火剂，B不正确；

C．工业上制漂白粉时，以氯气和石灰乳为原料，让二者发生反应，生成氯化钙、次氯酸钙，从而获得漂白粉，C正确；

D．氢氧化铁胶体具有较大的表面积，具有很强的吸附能力，能吸附水中的悬浮颗粒物并使之沉降，从而用作净水剂，D正确；

故选B。

6．D

【详解】

A．乙酸和新制的氢氧化铜悬浊液可以发生中和反应得到蓝色溶液，乙醇与新制氢氧化铜悬浊液不反应，葡萄糖与新制氢氧化铜悬浊液共热会产生砖红色沉淀，三者现象不同，可以鉴别，A正确；

B．生物质热化学转换技术是指在加热条件下，用化学手段将生物质转换成燃料物质的技术，包括燃烧、气化、热解及直接液化，B正确；

C．检验淀粉是否完全水解则需检验是否有淀粉剩余，加入碘水若变蓝则有淀粉剩余，说明没有水解完全，若不变蓝说明水解完全，C正确；

D．油脂在碱性条件下水解生成甘油和高级脂肪酸盐，充分反应后加入热的饱和食盐水，甘油易溶于水，高级脂肪酸盐的密度较小，应该在上层析出，D错误；

综上所述答案为D。

7．C

【详解】

A．爆竹中的火药含有硫黄，A项正确；

B．柳絮含有植物纤维，其主要成分为纤维素，B项正确；

C．蔗糖是双糖，不是多糖，C项错误；

D．“雷雨发庄稼”，在雷雨天，氮气与氧气反应生成一氧化氮，一氧化氮和氧气生成二氧化氮，二氧化氮与水生成硝酸，在土壤中形成硝酸盐，该过程有硝酸生成，D项正确；

答案选C。

8．D

【详解】

A．葡萄糖是单糖，不能发生水解反应，故A项错误；

B．油脂是油和脂肪的统称，液态的油中含有不饱和的碳碳双键，能使溴的四氯化碳溶液褪色，故B项错误；

C．糖类的组成元素为碳、氢、氧，而蛋白质的组成元素为碳、氢、氧、氮等元素，二者组成元素不相同，故C项错误；

D．提纯鸡蛋白中的蛋白质时，可向鸡蛋清溶液中加入浓硫酸铵溶液，然后将所得沉淀滤出，经洗涤即得到较纯净的蛋白质，故D项正确。

9．A

【详解】

A．“焦糖烯”分子式为C36H50O25，说明含有碳碳不饱和键，因此焦糖烯能使溴水褪色，故A正确；

B．由蔗糖生成的“半成品碳”中含有C、H、O，不是单质，是化合物，故B错误；

C．蔗糖不含有醛基，不能和新制Cu(OH)2反应，故C错误；

D．烃是只含碳、氢两种元素的有机物，“焦糖烯”中含有O元素，不属于烃，故D错误。

综上所述，答案为A。

10．D

【详解】

A．分子式相同、结构不同的化合物互称为同分异构体。纤维素和淀粉的表达式都是，而两者的n值却相差很大，因而两者不能称为互为同分异构体，故A错误；

B．油脂的皂化反应是油脂在碱性条件下，例如与氢氧化钠(或氢氧化钾)混合，得到高级脂肪酸的钠盐(或钾盐)和甘油的反应，故B错误；

C．多糖和蛋白质是高分子化合物，而油脂不是高分子化合物，且油脂和蛋白质都能发生水解反应，而单糖可以发生水解反应，故C错误；

D．氨基酸是组成蛋白质的基本单位，且每个氨基酸分子一定同时含有羧基和氨基，故D正确。

故选D。

11．D

【分析】

短周期全族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加，且Z最外层电子数是其电子层数的3倍，为氧元素，X、Y、Z位于同一周期，即在第二周期，则W为第一周期，为氢元素。从球棍模型分析，其中有原子形成四个共价键，为碳元素，有原子形成两个共价键，为氧元素，还有形成三个共价键，为氮元素，所以四种元素分别为氢、碳、氮、氧。据此分析。

【详解】

A．四种元素中原子半径最大的为X，即碳原子，A错误；

B．非金属性最强为氧元素，B错误；

C．氢和氧形成水或过氧化氢，过氧化氢中含有非极性共价键，C错误；

D．该分子为丙氨酸，能发生缩聚反应形成多肽，高分子化合物，D正确；

故选D。

12．D

【详解】

A．采用有机合成反应或酶促合成反应可进行核酸大分子的合成，A正确；

B．酶的本质是有机物，绝大多数是蛋白质，极少数是RNA，RNA也是有机物，酶催化活性与温度有关，B正确；

C．碱基是形成核苷的含氮化合物，所以该核酸水解生成的碱基中含有氮元素，C正确；

D．从图中可分析，该核酸完全水解生成的酸是H3PO4，D错误；

答案选D。

13．C

【解析】

【详解】

A．氨基酸分子结构中含有羧基和氨基，故A正确；

B．蛋白质水解的最终产物是氨基酸，氨基酸氧化分解的最终产物是二氧化碳、水和尿素，故B正确；

C．在人体内能够通过转氨基作用形成的只是12种非必需氨基酸，由于人体无法产生某些中间产物，所以有8种氨基酸必需从食物中获得，故称之为必需氨基酸，故C错误；

D．两个氨基酸通过脱水缩合形成的化合物叫做二肽，故D正确；

故选C。

14．A

【详解】

A．联二苯（）的二氯取代物有，合计12种，A不正确；

B．非必需氨基酸可以在人体中利用氮元素合成，不需要由食物供给，B说法正确；

C．的分子式为C8H8，其同分异构体中，属于芳香烃的有机物为苯乙烯，含有碳碳双键，能发生加聚反应，C说法正确；

D．甘氨酸溶于过量盐酸生成HOOCCH2N，在电场作用下该阳离子向阴极移动，D说法正确；

答案为A。

15．C

【详解】

A．Se虽然是身体不可缺少的成分，但并不是越多越好，过多或过少对身体有害，A错误；

B．羊绒衫的主要成分是蛋白质，不属于合成纤维，B错误；

C．高温能使蛋白质发生变性，所以加热能杀死流感病毒，C正确。

D．硫酸钡不溶于水和酸，可用于胃肠X射线造影检查，但碳酸钡能与盐酸反应生成有剧毒的氯化钡溶液，则碳酸钡不能用于胃肠X射线造影检查，D错误；

故选：C。

16．葡萄糖

还原性

部分水解(或不完全水)

在酸性条件下，生成的葡萄糖不能与银氨溶液发生银镜反应(或没有中和剩余的酸，应将溶液调至碱性)

生成砖红色沉淀

碘水

部分水解(或不完全水解)

【详解】

(1)淀粉是多糖，水解产物是葡萄糖，葡萄糖含有醛基，利用它的还原性可进行检验；

(2)甲方案中溶液变蓝是因为仍存在未水解的淀粉，说明淀粉完全没有水解或没有水解完全，因此方案甲结论不正确；

(3)乙方案中没有加入碱中和掉溶液中的酸，加入的银氨溶液与酸反应了，无法检验是否生成了葡萄糖，不能检验淀粉是否已经水解，因此方案乙结论也不正确；

(4)葡萄糖（含有醛基）属于还原性糖，与新制氢氧化铜悬浊液加热反应生成氧化亚铜、葡萄糖酸（或盐），所以看到的现象为生成砖红色沉淀；

(5)根据以上分析可知若想进一步检验方案丙中淀粉是否完全水解，应取少量中和液，加碘水，若现象为溶液变蓝，则证明淀粉部分水解或不完全水解。

17．(淀粉)(葡萄糖)

温度

催化剂

没有加入碱中和作为催化剂的稀硫酸

氢氧化钠与碘反应

abcd

【详解】

(1)淀粉在酸性条件下最终水解生成葡萄糖，化学方程式是(淀粉)(葡萄糖)，故填(淀粉)(葡萄糖)；

(2)甲与乙的反应物均相同，但甲加热，乙未加热，所以甲、乙实验是探究温度对淀粉水解的影响；甲中有稀硫酸，而丙中无稀硫酸，其他条件相同，所以甲、丙实验是探究催化剂对淀粉水解的影响，故填温度、催化剂；

(3)淀粉在酸性条件下水解生成葡萄糖，而检验葡萄糖时应在碱性条件下，所以应先加入碱中和酸，再加入新制氢氧化铜悬浊液，所以实验1失败，故填没有加入碱中和作为催化剂的稀硫酸；

(4)加入的碘与氢氧化钠反应，导致碘无法与淀粉反应，所以实验3中溶液颜色无明显变化，故填氢氧化钠与碘反应；

(5)a．根据实验可知淀粉水解需要在催化剂和一定温度下进行，故a正确；

b．因为碘与淀粉在室温下反应会显特殊的蓝色、且碘可与反应，所以冷却后直接加入碘，可判断淀粉是否完全水解，故b正确；

c．欲检验淀粉的水解产物具有还原性，应先在水解液中加入氢氧化钠中和硫酸至溶液呈碱性，再加入新制氢氧化铜悬浊液并加热，根据产生砖红色沉淀检验产物的还原性，故c正确；

d．唾液中含有淀粉酶，且接近中性，淀粉在淀粉酶的作用下水解为葡萄糖，所以用唾液代替稀硫酸进行实验1，可出现预期的现象，故d正确；故填abcd。

18．葡萄糖

羧基

加聚反应

取代(酯化)反应

nCH2=CH2

【分析】

淀粉在催化剂作用下水解变为葡萄糖，葡萄糖就酒化酶作用下反应产生乙醇，乙醇与浓硫酸共热，发生消去反应产生A是乙烯，结构简式是CH2=CH2；乙烯在一定条件下发生加聚反应产生B是聚乙烯，结构简式是：；乙醇催化氧化产生CH3CHO，CH3CHO催化氧化产生C是乙酸：CH3COOH；乙酸与乙醇在浓硫酸存在条件下加热，发生酯化反应产生D是乙酸乙酯，结构简式是：CH3COOCH2CH3。

【详解】

(1)淀粉水解生成C6H12O6的物质是葡萄糖，所以分子式为C6H12O6的物质名称为葡萄糖；C是乙酸，结构简式是：CH3COOH，其中所含官能团是-COOH，名称为羧基；

(2)A是CH2=CH2，分子中含有碳碳双键，在一定条件下发生加聚反应产生聚乙烯，反应类型是加聚反应；反应方程式为：nCH2=CH2；

C是CH3COOH，与乙醇在浓硫酸存在的条件下发生酯化反应，产生乙酸乙酯和水，因此反应类型为酯化反应(或取代反应)；

(3)①A→B是乙烯发生加聚反应产生聚乙烯，反应方程式为：nCH2=CH2；

②C→D是乙酸与乙醇在浓硫酸作催化剂条件下，加热发生酯化反应产生乙酸乙酯和水，反应方程式为：；

不等式练习题一篇5

A．1111B．C．a＞b2D．a2＞2b abab222、二次方程x＋(a＋1)x＋a－2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是

()

A．－3＜a＜1B．－2＜a＜0C．－1＜a＜0D．0＜a＜23、若ab，则下列不等式中成立的是（）

A、abB、222a111C、abD、 bba4、不等式axbx20的解集是11,，则ab等于（）23

A、4B、14C、10D、105、不等式x120的解集为（）x

A、1,0B、1,C、,1D、,10,

6、.已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是（）A.a7或a24B.a7或a24 C.7a24D.24a77、一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为

____________________。

不等式基本性质的应用篇6

1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；

2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；

3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.

这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据，现列举几例分析如下，供同学们复习时参考.

例1判断正误：

（1）若a>b，则ac>bc；

（2）若a>b，则ac2>bc2；

（3）若ac>bc，则a>b；

（4）若ac2>bc2，则a>b.

[分析：]（1）中是在a>b两边同乘以c，而c是什么数并不确定，若c>0，由不等式的基本性质2知，ac>bc；若c<0，由不等式的基本性质3知，ac

（2）中，当c=0时，ac2=bc2.故（2）是错误的.

对于（3），在不等式两边同除以c，因为不知道c是正数、负数或0，与（1）类似，可推出结论是错误的.

（4）中是在ac2>bc2两边同除以c2，而c2>0（为什么c≠0 ？），故（4）是正确的.

解：（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确.

[点评：]解这类题的关键是对照不等式的三条基本性质，分析从条件到结论到底应该运用哪一条性质，运用不等式性质的条件是否具备.

例2有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的是（）.

A． b+c>0B． a+b

C． ac>bc D． ab>ac

[分析：]由数轴上点的位置可以确定a、b、c之间的大小关系及它们各自的正负性，再根据不等式的基本性质对选项逐一分析，即可得出答案.

解：对于A，由图知c<0c，两边同加上a后，根据不等式的基本性质1，有a+b>a+c，故B不正确；对于C，由图知a>b>0，c<0，根据不等式的基本性质3，有acc，a>0，根据不等式的基本性质2，有ab>ac，故应选D．

[点评：]解答此题的关键是既要能从数轴上看出a、b、c的大小关系及它们各自的正负性，还要考虑运用不等式的三条基本性质.

例3已知a<0，-1

[分析：]由a<0，b<0，可得ab>0，ab2<0.由-1a.

解：因为a<0，-10.

又-1a.

所以a

[点评：]灵活运用不等式的基本性质是解决这类题的关键.要特别注意，运用基本性质3时，不等号的方向要改变！

《基本不等式》教案篇7

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程： 1．动手操作，几何引入

的证明过程；的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条

直角边长为，．于是，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若若，则，则

．．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则

；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于要证明只要证明即证即，，该式显然成立，所以，当

时取等号．

时取等号．的取值可以是全体实数），于是

得出结论，展示课题内容基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立）时，等号成立）

深化认识：称为的几何平均数；称

为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，弦，连接．是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的根据射影定理可得：由于Rt中直角边

斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即

时等号成立．

故而再次证明：当时，（当且仅当

时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当

时，有最小值

；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求变式1.若，求的值域．的最小值．的函数图象，使学生再次感受在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且，求，求的最小值．的最小值．

5．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为，几何平均数记为

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：

平面

在曲面的上方

6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题

组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

《基本不等式》教学设计说明

一、内容和内容解析

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析

教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

三、教学问题诊断

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式件，同时又要注意区别基本不等式的使用条件为

使用的前提条

。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

四、教学支持条件分析

为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。

五、教学设计流程图

教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。

六、教法和预期效果分析

本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。

基本不等式说课篇8

一、教材分析

1.地位和作用

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。二元均值不等式。这是在学习了“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用，具有承上启下的作用。同时本节知识渗透数形结合等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

2.教学目标：

（1）知识与技能:掌握均值不等式的推导与证明，会用均值不等式解决简单的证明和最值问题。

（2）过程与方法：利用数形结合的思想，探究均值不等式。

（3）情感、态度与价值观:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

3.重点和难点

重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索均值不等式的证明过程及其简单应用；

难点：均值不等式等号成立条件以及应用均值不等式求最值。

二．教学分析：

本节课的教学通过学生拼接风车模型，在发挥学生主观能动性的同时引导学生发现问题，思考交流概括归纳结论并加深理解应用于实例当中，培养学生发现问题、分析问题、解决问题及应用的能力。

三、教学流程

1.动手操作，几何引入（风车模型，自行拼接）

2.代数证明，得出结论（运用勾股定理与平方和公式）

3.几何证明，相见益彰（此环节给出基本不等式的几何解释，使学生多方位了解基本不等式）

4.自我尝试，巩固提高

5.归纳小结，反思提高

6.分层作业，全面提高

四、教学分析

基本不等式的应用专题复习 篇9

一、考纲要求

基本不等式在江苏省自主命题考试中属于C级考点，考纲中要求学生能系统地掌握其知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。与基本不等式相关的主要知识点有：

二、难点疑点

1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正、二定、三相等”，若忽略了某个条件，就会出现错误。

2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22；a+b2≥ab（a、b>0）逆用就是ab≤a+b22 （a、b>0）等。还要注意“添项、拆项”技巧和公式等号成立的条件。

3. 基本不等式是几个正数的和与积转化的依据，不仅可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性，还可以解决其他形式的不等问题。

4. 利用基本不等式求解与其他知识的综合问题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。

三、例题精析

基本不等式及其应用篇10

摘要：基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件DD“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词：基本不等式限制条件最值应用一、主干知识 1.基本不等式：≤或a+b≥2. （1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0; （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.基本不等式的拓展：ab≤，其中a，b∈R. 二、深入探究，加强理解问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值. 解析：∵x＞0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等” 故函数y=x+的最小值为2. 点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正DD各项都是正数；二定DD和或积为定值；三相等DD等号能取得”，这三个条件缺一不可．探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值. 解析：∵x＜0，∴-x＞0， ∴x+=-（-x+）≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立. 故函数y=x+的最大值为-2. 变式：设x≠0，求函数y=x+的值域. 解析：∵x≠0，∴|x|＞0， ∴|x+|=|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立. ∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的.值域为（-∞，-2］∪［2，＋∞）. 另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）. 点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正DD各项都是正数”. 探究2：设a＞1，求a+的最小值. 解析：∵a＞1，∴a-1＞0， ∴a+=a-1++1≥2+1=3，当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立. 故a+的最小值为3. 变式：设0＜a＜1，求的最大值. 解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0， ∴=?≤?=，当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立. 故的最大值为. 点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定DD和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件. 探究3：设t≥2，求t+的最小值. 分析：本题不满足限制条件：“三相等DD等号能取得”，故不能用基本不等式. 解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数，当t=2时，t+的最小值为2. 变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值. 错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解. 正解：∵x＞0，y＞0， ∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4 当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值. 解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0， ∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4，当且仅当=，即x=2-3时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次. 三、高考回放 A组 1.（湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇. 2.（重庆高考12）已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇. 3.（重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（） A.1+ B.1+ C.3 D.4 A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可. B组 1.（20重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（） A.2 B.2 C.4 D.5 2.（20四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（20天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________. B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性. C组 1.（年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（） A.2 B. C.1 D. 2.（年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________. 3.（年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________. C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用. 从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．参考文献：［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4. ［2］杜志建主编.2007D2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社.

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基本不等式及其应用装原版全文

不等式的基本性质教案篇11

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：（i）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？(a>b)（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1．比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质：性质1：a>bbb,b>ca>c（单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2)性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b（ii）如果a>b,c>d,那么a+c>b+d（iii）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论：

（i）如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd（ii）如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111cd0, 则0，cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）：由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

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