等式的基本性质教案

等式的基本性质教案（通用14篇）

等式的基本性质教案 篇1

课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：（i）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？(a>b)（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？ 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c（单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2)性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b（ii）如果a>b,c>d,那么a+c>b+d（iii）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论：

（i）如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd（ii）如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111cd0, 则0，cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

作业：课后习题1.1的第1-4题。

等式的基本性质教案 篇2

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

点击不等式的基本性质 篇3

一、正确理解基本性质的含义

1． 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．这里的整式包含单独的一个数、字母以及由字母和数组成的单项式或多项式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性质2：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性质3：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．对此性质中加黑点的词的含义要认真领会，重点理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正数也不是负数，因此，在运用性质2和性质3时，不等式两边所乘以（或除以）的同一个数（或式子）不能为0．否则，不等式的性质不成立．

二、灵活运用基本性质解题

1． 直接运用

例1 利用不等式的性质，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，运用基本性质1，两边同减去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以应该填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，运用基本性质2，两边同乘以k2，得k2x＞k2y．所以应该填“＞”．

（3）因m＞n，运用基本性质3，两边同乘以－，得－m ＜ －n．所以应该填“＜”．

例2已知a＜0＜b，则下列式子中错误的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因为a＜0＜b，由基本性质1，得a＋c＜b＋c．由基本性质3，得－99a＞－99b．所以A、D都正确．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性质2，得＜ ．故C也正确．

由于c为任意实数，因此，当c＝0时，ac＜bc不成立．所以B是错误的.应选B．

2． 逆向应用

例3 已知关于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1的形式，求k的取值范围．

解析：由题设条件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1，知此时不等号的方向改变了．根据基本性质3，说明不等式的两边同除以的k－2 008必为负数．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

点评：在运用不等式的性质时，一定要记住“一变两不变”：性质1和性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[想一想，练一练]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，则ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正确的个数是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1个B． 2个 C． 3个D． 4个

3． 若关于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化为y＞2的形式，求m的取值范围．

参考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

数学教案－不等式和它的基本性质 篇4

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是不等式的三条基本性质.难点是不等式的基本性质3.掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式(组)的解法等后续知识的基础.

1.不等式的概念

用不等号(“<”、“>”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.

另外， (“≥”是把“>”、“=”)结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”)、 (“≤”是把“<”、“=”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”)等等，也都是不等式.

2.当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式.但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同.因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向.

3.不等式成立与不等式不成立的意义

例如：在不等式 中，字母 表示未知数.当 取某一数值 时， 的值小于2，我们就说当 时，不等式 成立;当 取另外某一个数值 时， 的值不小于2，我们就说当 时， 不等式不成立.

4.不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意.

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.了解不等式的意义.

2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.

(二)能力训练点

1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力.

2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力.

(三)德育渗透点

通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识.

(四)美育渗透点

通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美.

二、学法引导

1.教学方法：观察法、引导发现法、讨论法.

2.学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用.

三、重点·难点·疑点及解决办法

(一)重点

掌握不等式是否成立的判定方法;依题意列出正确的不等式.

(二)难点

依题意列出正确的不等式

(三)疑点

如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号.

(四)解决方法

在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的.学习，激发学生的学习热情.

2.从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式.

3.从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力.

七、教学步骤

(一)明确目标

本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式.

(二)整体感知

通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式.

(三)教学过程()

1.创设情境，复习导入

我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：

(1)什么是等式?等式中“=”两侧的代数式能否交换?“=”是否具有方向性?

(2)已知数值：-5， ，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式 成立?哪些使等式 不成立?

学生活动：首先自己思考，然后指名回答.

教师释疑：①“=”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解 .

②判断数取何值，等式 成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程 的解，因为等式 为一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 时成立，此外，均不成立.

【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备.

2.探索新知，讲授新课

不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题?

师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例(同时指出演示中物重为 克，每个砝码重量均为1克)，学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等.

【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣.

在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示.那么什么是不等式呢?请看：

， ，

， ，

提问：(l)上述式子中有哪些表示数量关系的符号?(2)这些符号表示什么关系?(3)这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗?(4)什么叫不等式?

学生活动：观察式予，思考并回答问题.

答案：(1)分别使用“<”“>”“≠”.(2)表示不等关系.(3)不可以随意互换位置.(4)用不等号表示不等关系的式子叫不等式.

不等号除了“<”“>”“≠”之外，还有无其他形式?

学生活动：同桌讨论，尝试得到结论.

教师释疑：①不等号除“<”“>”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式(“≥”是指“>”与“=”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”;同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”.)现在，我们来研究用“>”“<”表示的不等式.

②不等号“>”“<”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如 ，不能写成 .

【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用.

②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解.

3.尝试反馈，巩固知识

同类量之间的大小关系常用“>”“<”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题.

(1)用“<”或“>”境空.(抢答)

①4___-6;②-1____0③-8___-3;④-4.5___-4.

(2)用不等式表示：

① 是正数;② 是负数;③ 与3的和小于6;④ 与2的差大于-1;⑤ 的4倍大于等于7;⑥ 的一半小于3.

(3)学生独立完成课本第55页例1.

注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明.

学生活动：第(l)题抢答;第(2)题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确

教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励.

【教法说明】①第(1)题是为了调动积极性，强化竞争意识;第(2)题则是为了训练学生书面表述能力.

②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“<”表示，“大于等于”用“≥”表示.

下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：

已知数值;-5， ，3，0，2，-2.5，5.2;

(1)判断：上述数值哪些使不等式 成立?哪些使 不成立?

(2)说出几个使不等式 成立的 的数值;说出几个使 不成立的 数值.

学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案.

教师活动：引导学生回答，使未知数 的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数.

师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立;否则不成立.例如对于 ;当 时， 的值小于6，就说 时不等式 成立;当 时， 的值不小于6，就说 时， 不成立.

【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛.

4.变式训练，培养能力

(1)当 取下列数值时，不等式 是否成立?

-7，0，0.5，1， ，10

(2)①用不等式表示： 与3的和小于等于(不大于)6;

②写出使上述不等式成立的几个 的数值;

③ 取何值时，不等式 总成立?取何值时不成立?

学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正;教师抽查，强调注意事项.

【教法说明】

①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备.

②强化思维能力和归纳总结能力.

(四)总结、扩展

学生小结，师生共同完善：

本节课的重点内容：1.掌握不等式是否成立的判断方法;2.依题意列出正确的不等式.

注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示.例如“不大于”用“≤”表示，而不用“<”表示，这一点学生容易出现错误.

八、布置作业

(一)必做题：P61 A组1，2，3.

(二)选做题：

1.单项选择

(1)绝对值小于3的非负整数有( )

A.1，2 B.0，1 C.0，1，2 D.0，1，3

(2)下列选项中，正确的是( )

A. 不是负数，则

B. 是大于0的数，则

C. 不小于-1，则

D. 是负数，则

2.依题意列不等式

(1) 的3倍与7的差是非正数

(2) 与6的和大于9且小于12

(3)A市某天的最低气温是-5℃，最高气温是10℃，设这天气温为 ℃，则 满足的条件是____________________.

【设计说明】1.再现本节重点，巩固所学知识.

2.有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现.

参考答案

1.<，<，>，>，<，<

2.5.2，6，8.3，11是 的解，-10，-7，-4. 5，0，3不是解

3.(1) (2) (3) (4)

(二)1.(1)C (2)D

2.(1) (2) (3)

九、板书设计

6.1 不等式和它的基本性质(一)

一、什么叫不等式?

用：“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式.

重点研究“>”“<”

二、依题意列不等式

“大于”“>”;“小于”“<”;“不大于”“≤”;“不小于”“≥”;

三、不等式 能否成立

时， (√); 时， (×);

时， (×)

四、归纳总结重点

(一)依题意列不等式.

(二)会判断不等式是否成立.

十、背景知识与课外阅读

费 马 数

费马(P.de Fermat)是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献.他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世.去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书.费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等.

费马于1640年前后，在验算了形如

的数当 的值分别为

3，5，17，257，65537

后(请注意这些数均为质数)便宣称：对于为任何自然数，是质数.

大约过了1，1732年数学家欧拉(L.Euler)指出

.

从而否定了费马的上述结论(猜想).

尔后，人们又对 进行了大量研究，发现在 中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数.

等式的基本性质教学反思 篇5

一、操作验证，培养探索能力。在探究等式的性质（关于乘除的）时，安排了两次操作活动。首先让学生把一个等式两边同时乘或除以同一个数，然后思考讨论：所得结果还会是等式吗？引导学生发现所得结果仍然是等式。然后再让学生把等式两边同时乘或除以“0”，结果怎么样？通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高。

二、发散思维，培养解决问题能力

等式的基本性质教案 篇6

《等式的基本性质》是五年级第二学期认识方程的第二、三课时。等式的基本性质是解方程的认知基础，也是解方程的重要理论依据，因此学习和理解等式的性质就显得尤为重要。这学期我们学习等式的两个性质，因此把等式两边同加的这条性质作为重点讲解内容，另一条性质在第一条性质之后，由学生通过观察、理解、操作等学习方法，共同探索得出结论，教师只是给予适时的点拨，总结。加法是学生学习计算的基础，因此在教学等式的性质一时，通过课件演示，第一层次，在天平两边同时放上同样的物品，并用等式表示（50=50）。第二层次，问：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？得出两个等式50+10=50+10；50+20=50+20；……50+a=50+a问：你发现了什么？学生清楚地意识到：天平是否保持平衡，不是取决于放的物品是相同的，而是真正取决于所放物品的质量是否相同。也就是等式两边同时加上同一个数，所得的结果仍然是等式。这样的设计，将学生的思维引入到了对事物的本质探究上，使学生明确对知识的探索不要仅停留在表面，而要进行更深入的思考。教师在引导学生进行实验的同时，也注意到将等式与课件演示进行结合学生对于等式的同加性质有了更深入的理解，能够较为准确地概括出等式的性质。有了这样的学习基础，为学生更深入的研究等式的性质做了坚实的铺垫。在教学等式两边同减、同乘、同除的性质时，教师便逐渐放手，让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程中，积极参与验证自己的猜想，在实验的同时获得了成功的喜悦，感受到思考的乐趣，对等式的性质有初步的了解，为后面学习解方程奠定了良好的基础。

利用凸函数性质巧证积分不等式 篇7

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

怎样正确理解和运用不等式的性质 篇8

1. 对比分析不等式与等式的性质

相同点：

（1） 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 同样地，不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

（2） 等式两边都乘（或除以）同一个正数，所得结果仍是等式.同样地，不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不同点：

等式两边都乘（或除以）同一个负数，所得结果仍是等式. 然而，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【解析】A选项是在原不等式的两边同时减去3，不等号的方向应不变. B和C选项是在原不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向应改变. D选项是在不等式两边分别加上1和2，但1<2，所以用不等式的性质无法判断. 故本题答案选C.

【说明】同学们要特别注意在不等式两边同乘（或除以）同一个负数时， 要改变不等号的方向.

2. 正确运用不等式的性质

（1） 不等式两边都乘同一个代数式时，要关注这个代数式的正负性. 数的正负性是显性的，很直观；而式的正负性是隐性的，容易被忽视.

例2 若a>b，则-ac2_____-bc2.

【解析】我们都知道-c2≤0. 当-c2<0时，根据不等式的性质，在原不等式的两边同时乘-c2，“>”号变成“<”号；当-c2=0时，在原不等式的两边同时乘-c2，左边=右边=0. 所以-ac2≤-bc2.

【说明】同学们在用等式的性质进行变形时，习惯了“照抄”等号，而在利用不等式的性质解决问题时，要避免思维定势，尤其重视不等号方向的变化.

例3 如果a>b， 请比较与的大小.

【解析】在原不等式两边同时乘，即可转化成与比大小的问题. 是一个代数式，正负性不确定，所以需要分类讨论：当a、b同号时，>0，则>；当a、b异号时，<0，则<.

【说明】不等式的两边同时乘同一个代数式时，若这个代数式的正负性不确定，则需要分类讨论.

（2） 在求解未知数的系数中含字母的不等式时，要重视系数的正负性.

【解析】未知数的系数中含字母a，因为a-1的正负性不确定，所以需要对a-1的正负性进行讨论：因为a≠1，所以可以在不等式两边都除以a-1，当a-1>0时，不等式的解集为x>；当a-1<0时，不等式的解集为x<.

【说明】若未知数系数的正负性不确定，可先分类讨论，再利用不等式的性质求解.

不等式的基本性质观课报告 篇9

国春颖老师所讲的《不等式的基本性质》谈谈我的看法。做得好的几点：

1、达到教学目标的要求

本节课的教学目标是使学生进一步熟练掌握不等式基本性质，老师在教学设计上围绕初步培养学生分析、概括等严谨数学思想，让学生在学习中体验成功的快乐，从而激发学生学习不等式性质的兴趣的目的。国老师的教学设计比较合理，紧紧围绕教学目标，由学生通过合作探究的方式自主得到了不等式性质。教师采用学生叙述教师板书的方式加以突破。因为这种形式既便于教师指导，又让学生有成就感，乐于接受。

2、利用已有知识，渗透类比思想

本节课教学设计，充分尊重学生的已有经验，密切联系了学生的已有的旧知识，巧妙地利用学生熟悉的等式的基本性质，通过对等式基本性质的复习，促使学生利用类比的思想，产生正向的知识迁移，使学生感觉到所学的新知识与以前所学的旧知识是有很大联系的，两 者之间有很多相同点，更加深了他们对两者之间的不同点的关注，同时也增进学习数学的积 极情感。

3、教学环节完整，层次清晰，结构严谨

从课堂实录可以看出本节课国老师的教学层次清晰，教学环节结构严谨，学生基本上都能掌握新知识的学习。因为本节课的教学核心部分就是对不等式基本性质的探究，新课程理念下的现代数学教学中，数学知识的教育已经不是教学的全部内容了，如何在知识教育的同时培养学生的观察、探究、合作、归纳等方面的能力才是新课程改革的主导方向，这节课的教学设计在这一方面做了良好的尝试，老师通过几组练习题，通过这几组练习题，由学生自主地归纳出不等式的基本性质，利用这种方法学生既可以获得相关的数学知识，同时也能培养出相应的数学技能。

个人认为不足之处：

1、在探究不等式的基本性质时，应注意引导发展学生的观察能力，给学生多一点的时间，可以让学生交流讨论得出结果。

2、学生合作交流的时间偏少，应注意培养学生这方面的能力。

等式的基本性质教案 篇10

二、学法引导1.教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.2.学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握.三、重点难点疑点及解决办法(一)重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3.(二)难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.(三)疑点弄不清不等号方向不变与所得结果仍是不等式之间的关系是学生学习的疑点.(四)解决办法讲清不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别与联系是教好本节内容的关键.四、课时安排一课时

五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片.六、师生互动活动设计1.通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质.2.通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质.3.通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育.七、教学步骤(-)明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用.(二)整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加(或减)同一个数或同一个整式.不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以(或除以)同一个正数(或同一个负数)的情况下等式仍然对立.但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘(或除)不等式两边时，不等号方向不变;而在用同一个负数去乘(或除)不等式两边时，不等号要改变方向.这是在不等式变形时应特别注意的地方.(三)教学过程1.创设情境，复习引入什么是等式?等式的基本性质是什么?学生活动：独立思考，指名回答.教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数，所得结果仍是等式.请同学们继续观察习题：(1)用或填空.①7+3____4+3 ②7+(-3)____4+(-3)③73____43 ④7(-3)____4(-3)(2)上述不等式中哪题的不等号与74一致?学生活动：观察思考，两个(或几个)学生回答问题，由其他学生判断正误.【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备.不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式(实质是移项法则)，请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质.学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质.教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：仍是不等式包括两种情况，说法不确切，一定要改为不等号的方向不变或者不等号的方向改变.师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书.不等式基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考，不等式类似的性质会怎样?学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，-3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论.【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑原因何在?两边都乘(或除以)同一个负数呢?0呢?为什么?师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书.不等式基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.师生活动：将不等式-26两边都加上7，-9，两边都乘3，-3试一试，进一步验证上面得出的三条结论.学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记.强调：要特别注意不等式基本性质3.实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行+、-、、四则运算，当进行+、-法时，不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时，不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向才改变.不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?学生活动：思考、同桌讨论.归纳：只有乘(或除以)负数时不同，此外都类似.下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质.①若，则②若，且，则，;③若，且，则，.师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用.注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则.②若，且，则，这些先不要向学生说明.2.尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题.例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式.(1)(2)(3)(4)学生活动：学生独立思考完成，然后一个(或几个)学生回答结果.教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确.解：(l)根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变.所以(2)根据不等式基本性质1，两边都减去，得(3)根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得(4)根据不等式基本性质3，两边都除以-4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与 或 对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范.例2 设，用或填空.(1)(2)(3)学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照.解：(1)因为，两边都减去3，由不等式性质1，得(2)因为，且20，由不等式性质2，得(3)因为，且-40，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励.注意问题：例2(3)是根据不等式性质3，不等号方向应改变.这是学生做题时易出错误之处.【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力.3.变式训练，培养能力(1)用或在横线上填空，并在题后括号内填写理由.(不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示.)①∵()②∵()③∵()④∵()⑤∵ ⑥∵()学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛.答案：①(A)②(B)③(C)④(C)⑤(C)⑥(A)【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的.注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向.(2)单项选择：①由 得到 的条件是()A.B.C.D.②由由 得到 的条件是()A.B.C.D.③由 得到 的条件是()A.B.C.D.是任意有理数④若，则下列各式中错误的是()A.B.C.D.师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由.答案：①A ②D ③C ④D(3)判断正误，正确的打，错误的打①∵()②∵()③∵()④若，则，()学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误.答案：① ② ③ ④【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率;(2)练习第③④题易出错，教师应讲清楚.(四)总结、扩展1.本节重点：(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3.(2)能正确应用性质对不等式进行变形.2.注意事项：(1)要反复对比不等式性质与等式性质的异同点.(2)当不等式两边同乘(或除以)同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论.3.考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题.八、布置作业(一)必做题：P61 A组4，5.(二)选做题：P62 B组1，2，3.参考答案(一)4.(1)(2)(3)(4)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二)1.(1)(2)(3)2.(1)(2)(3)(4)3.(1)(2)(3)

九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质(二)

一、不等式的基本性质1.不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.若，则，.2.不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变，若，则.3.不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若，则.二、应用例1 解(1)(2)(3)(4)例2 解(1)(2)(3)

数学教案－不等式的性质二 篇11

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若  ，且  ，则  .

证明：

根据两个正数的和仍是正数，得

∴  说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若  ，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明

说明：（1）定理3的证明相当于比较  与  的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若  ，则  即  .

定理3推论：若  .

证明:

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1．证明定理1后半部分；

2．证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业

1．求证：若

2．证明：若

板书设计

§6.1.2  不等式的性质

1．同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

异向不等式          证明          证明         推论

2．定理1 证明           说明          说明         证明

第三课时

教学目标

1．熟练掌握定理1，2，3的应用；

2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3．掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程（）：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的.应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴      ②

由①、②可得  .

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有  ，就推不出  的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N  的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即  ，所以不能仅仅否定了  ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定  不大于  ，这有两种情况：或者  ，或者  .

由推论2和定理1，当  时，有  ；

当  时，显然有

这些都同已知条件  矛盾

所以  .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2    已知

证明：由

例3  已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业

课本习题6.1 4，5.

板书设计

§6.1.3  不等式的性质

定理4      推论1         定理5          例3     学生

内容                     内容

等式的基本性质教案 篇12

设计教案

课题：第五单元：简易方程——等式的性质

课型：新授

时间：2017年11月2日

一、教学内容：教材P64～65及练习十四第4、5题。

二、教学目标：1.知识与技能：通过天平演示保持平衡的几种变换情况，让学生初步认识等式的基本性质。2.过程与方法：利用观察天平保持平衡所发现的规律，能直接判断天平发生变化后能否保持平衡。3.情感、态度与价值观：培养学生观察与概括、比较与分析的能力。

三、教学重点：掌握等式的基本性质。

教学难点：理解并掌握等式的性质，能根据具体情境列出相应的方程。

四、教学方法：启发式教学；自主探索、观察、归纳、合作学习新知。

五、教学准备：天平、铅笔盒等。

六、教学过程：

一、情境导入

1．上节课咱们认识了天平，知道天平的两边重量完全相同时，天平才能保持平衡；并利用天平学会了等式和方程的含义：等号两边完全相等的式子叫等式，含有未知数的等式就是方程。2．同学们，你们做过天平游戏吗？这节课我们要利用天平一起来探索等式的性质。（板书课题：等式的性质）

二、互动新授 1．课件出示教材第64页情境图1第一个天平图。让学生仔细观察图，并说一说：通过图你知道了什么？ 让学生自主回答，学生可能会回答：天平的左边放了一把茶壶，右边放了两个茶杯，天平保持平衡；这说明一个茶壶的重量与2个茶杯的重量相等。

引导学生小结：1个茶壶的重量=2个茶杯的重量。

追问：如果设一个茶壶的重量是a克，1个茶杯的重量是b克，能用式子表示吗？

让学生尝试写出：a=2b（师板书）

引导学生思考：如果在天平的两边同时各放上一个茶杯，天平会发生什么变化呢？

先让学生猜一猜，学生可能会猜测出天平仍然平衡。再追问：为什么？

学生可能会说：因为两边加上的重量一样多。

教师先进行实际操作天平验证，让学生观察。再演示这一过程，并明确：两边仍然相等。

小结：实验证明1个茶壶+1个茶杯的质量＝3个茶杯的质量。让学生尝试用字母表示这个式子：a+b=2b+b（师板书）提问：如果两边各放上2个茶杯，还保持平衡吗？两边各放同样的一把茶壶呢？

学生回答后，教师演示，并让学生分别用式子表示：a+2b=2b+2b a+a=2b+a 2．课件出示教材第64页图2的第一个天平图。让学生观察现在的天平是什么样的？（平衡）

追问：如果用a表示一个花盆的重量，用b表示一个花瓶的重量，怎样用等式来表示这幅图呢？生尝试写出：a+b=4b 再问：如果把两边都拿掉1个花瓶，天平还平衡吗？先让学生猜一猜，再演示。

学生回答：平衡。让学生尝试用等式表示：a+b-b=4b-b 从图上你能知道什么？（课件出示教材第64页图2第二个天平图）

（1个花盆和3个花瓶同样重。）3．通过这几个实验，你发现了什么？

引导小结：平衡的天平两边加上同样的物品，天平还保持平衡。平衡的天平两边减去同样的物品，天平还保持平衡。天平的两边同时加上或减去同样的数量，天平仍然平衡。

你能用一句话来表示你的发现吗？

引导学生归纳等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。

4．引导学生通过假设具体的数进行比较验证。如：假设一个花瓶1千克，那么4个花瓶共4千克；一个花盆3千克，再加一个花瓶也是4千克。把两边同时减去一个花瓶也就是减去1千克，那么两边都剩下3千克。

5．猜猜：除了这样的变化，天平仍保持平衡外，还可以怎么做能使天平保持平衡？

让学生猜测。这里对学生可能有些难度，有些学生的猜测脱离不了等式的性质1。

如：学生猜测天平的两边同时放2个、3个杯子；同时减去一把茶壶等。这时教师一定要及时强调：这都是把等式的两边加上或减去同一个数，并提示学生如果把等式的两边同时乘或除以一个相同的数（O除外），会怎么样呢？

6．课件出示教材第65页图1的第一个天平图，让学生观察并说明。

（一瓶墨水的重量＝一盒铅笔盒的重量）

引导学生用a表示墨水的重量，用b表示铅笔盒的重量，写出等式：a=b。

猜一猜：左边墨水的数量扩大到原来的2倍，右边铅笔盒的数量也扩大到原来的2倍，天平还保持平衡吗？

学生猜测后，教师进行实际天平操作，验证学生的猜测。引导学生用等式表示：2a=2b。

如果把天平的两边物品的数量分别扩大到原来的3倍、4倍呢？（仍然保持平衡）

7．课件出示教材第65页图2的第一个天平图，让学生观察并说明知道了什么。

（2个排球的质量＝6个皮球的质量）

引导学生用a表示排球的重量，用6表示皮球的重量，写出等式：2a=6b。

质疑：如果把两边的球都平均分成2份，各去掉一份，天平还能平衡吗？

学生猜测：平衡。

教师演示，并引导学生用等式a=3b表示。8．通过刚才的试验，你发现了什么？

发现：平衡的天平两边的物品扩大到原来的相同倍数，天平仍然平衡。平衡的天平两边的物品都缩小到原来的几分之一，天平仍然平衡。

你能用一句话总结一下等式的这个性质吗？

归纳小结：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。

9．为什么等式两边不能除以O？学生交流，汇报：O不能做除数。

三、巩固拓展： 利用等式的性质填空

1．如果2x-5=9,那么2x=9○（）2．如果5=10＋x ,那么5-()=10 3．如果3x =7,那么6x =（）4．如果5x =15,那么x =（）

先让学生回忆等式的性质，再自主完成填空。

四、课堂小结：

这节课你学会了什么知识？有哪些收获？（引导总结等式的性质）

作业：教材第66页练习十四第4、5题。板书设计： 等式的性质

a＝2ba+b=2b+ba=b 2a=2b a+b=4ba+b-b＝4b-b2a=6ba=3b 等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为O的数，左右两边仍然相等。

基本不等式教案 篇13

1、知识与技能目标

(1)掌握基本不等式 ，认识其运算结构;

(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义;

(3)能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标

(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;

(2)体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标

(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物;

(2)体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程。

【教学难点】

基本不等式 等号成立条件。

【教学方法】

教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】

课件辅助教学、实物演示实验

【教学流程】

SHAPE MERGEFORMAT

【教学过程设计】

创设情景，引入新课

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的相 等和不等关系?

赵爽弦图

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2.得到结论：一般的，如果

3.思考证明：你能给出它的证明吗?

证明：因为

当

所以， ，即

4.基本不等式

1)特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得 ，通常我们把上式写作：

2)从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 (2)

要证(2)，只要证 a+b- 0 (3)

要证(3)，只要证 ( - ) (4)

显然，(4)是成立的。当且仅当a=b时，(4)中的等号成立。

分数的基本性质教案 篇14

作为一名无私奉献的老师，就有可能用到教案，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。那么什么样的教案才是好的呢？以下是小编为大家整理的分数的基本性质教案4篇，希望能够帮助到大家。

分数的基本性质教案 篇1

教学目标：

1、理解分数的基本性质。

2、初步掌握分数的基本性质。

3、培养学生观察、比较、综合、概括的能力和初步的逻辑推理能力。

教学重点：理解与掌握分数的基本性质。教材分析：分数的基本性质是在学习了商不变性质及分数与除法的关系的基础上进行教学的。它是今后学习约分和通分的依据，是分数四则运算的重要基础知识，是学生准确进行分数加减法计算的依据。

设计意图：通过复习商不变的性质和分数与出发的关系，为学生探索新知提供了材料，作好了铺垫，也为后面沟通分数基本性质与商不变性质打下了基础。

在新知的引入，我设计了让学生动手操作的方法（折纸、涂色），调动学生的多种感观充分感知数学事实，来引导学生观察、思考，激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性。

通过先进的电教手段，如：投影仪，电脑等多媒体辅助教学。用形象的电脑图象，以活泼的形式将抽象的数学概念转变为学生易于理解概念，激发学生的学习兴趣，结合一系列的具有针对性的提问，引导学生观察思考，共同讨论新知，自己归纳出分数变化的规律，即分于分母都乘以或除以相同的数，分数和大小不变。通过电脑出示的画象的逐步引入，使学生加深对分数基本性质的理解，逐步建立清晰的概念。这样让学生参与概念形成的整个过程，有利于学生学习的主动性，发展学生的逻辑思维。

在练习的设计上，力求紧扣重点，做到新颖、多样、层次分明，难度由浅入深。

第1、2题是基本练习，主要是帮助学生理解概念，并全面了解学生掌握新知识的情况。第3题是在第1、2题的基础上，进一步让学生进行巩固练习，加深对所学知识的理解。第4题通过游戏的形式，加深学生对分数基本性质的认识，激发学生学习的兴趣，活跃课堂气氛。第5题，判断练习，意在使学生加深对新知识的巩固，纠正容易出错的地方。第6题是思考题，是为了满足学有余力的学生的需要，意在发展学生的智能。在联系的过程中，也采用了电脑与投影及录音机的有机结合有效地提高了课堂效率。

教学过程： 复习旧知，导入新课 被除数 除数= 根据120 30=3 填数（120 3）（40 3）=（）（120 ___）（40 10）=4（复习商不变性质）验证并结实课题 学生用准备好的两张纸，进行动手操作。（感知 =）教师再演示，引导学生发现、、、三个分数的大小相等。观察什么在变，什么不变。把单位1平均分的分数和取的分数，也就是分数的分子和分母发生了变化，而分数的大小不便，为什么分数的分子、分母在变，而分数的大小不变？它们的变化规律是什么？（引导学生带着问题去思考）新授，探索新知 启发引导，揭示规律（1）= = = =

从左往右观察，探索分数的分子、分母的变化规律，引导学生去思考。讨论得出：分数的分子坟墓都乘以相同的数，分数的大小不变。，分数的分子分母有什么变化？ 呢？ 它们的大小又怎样呢？想一想，小姐出规律：分子、分母都除以相同的数，分数的大小不变。归纳性质 谁能把上面的分数的分子分母都乘以或除以相同的数。两句话合成一句话来说。分数的分子分母都乘以或除以相同的数，分数的大小不变。这里指的相同的数是指什么数？ 指出：分母是0的分数是没有意义的。假如分子、分母都乘以或都除以0，也是没有意义的。所以0除外。相同的数可以是自然数，也可以是小数，也可以是分数。

请全班同学将结语说完整，全班读。小结：就是我们今天学习的内容：分数的基本性质。看书质疑。勾出关键词语，帮助理解掌握。（在新课的教学过程中，利用计算机，将各种图形（也就是单位1）用主动的分割形式在大屏幕上清楚地进行演示，提高学生学习的积极性，更好地理解本课的学习内容，有效地提高教学效率，使教学目标得以顺利地实施。）巩固练习在括号里填上适当的数使等式成立 几组相等分数的天空练习

（用计算机将题目演示在大屏幕上，全般一齐练习，再请个别学生说出答案，看答案是否和计算机演示的答案相同，全班同学来做小老师）

3、请找我的好朋友练习。（以游戏的形式来进行）

要求：（1）将几张写有分数的卡片发给几位同学，请 他们看清楚上面的分数。

（2）练习开始，请有卡片的同学注意观察，和老师受伤卡片上分数大小相等的同学走出来，看谁最快最好。（先将卡片上的分数用大屏幕显示出来，便于全班同学练习。）

4、判断对错（1）= =（）（2）= =（）（3）= =（）（4）= =（）

（这道题用计算机一题一题来演示，让全班学生能用所学的知识来进行判断，并能说出错在哪里，可以请个别同学来回答，如果答对了计算机回发出以示奖励的音乐；错了会告诉同学错了，再试一次。这道题的形式，充分运用了计算机的多功能作用，较生动活泼，引起学生的兴趣，提高教学效果。）

5、思考练习题 = 课堂总结 总结本课内容，复述分数的基本性质。

分数的基本性质教案 篇2

教学前的思考：

一、一则Flash动画故事引入：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，哦!不对，是三个小和尚。小和尚最喜欢吃老和尚烙的饼了。有一天，老和尚做了三块一样大小的饼，想给小和尚吃，还没给，小和尚就叫开了。矮和尚说：“我要一块!”高和尚说：“我要两块!”胖和尚说：“我不要多，只要四块!”老和尚听了二话没说，立刻把一块饼平均分成四块，取其中的一块给了矮和尚;把第二块饼平均分成八块，取其中的两块给了高和尚;把第三块饼平均分成十六块，取其中的四块给了胖和尚，一一满足了他们的要求。同学们，你知道哪个和尚吃的多吗?---教师播放这则故事为学生提供“猜想”素材。“猜想、验证”不但是科学研究的方法，也是一种很好的数学学习方法。由此我联想到“性质”的学习过程是否也可以让学生在猜想、验证中主动生成。

二、学生动手操作，用事实说明，作好新知铺垫：在揭题前，我设计了让学生动手操作的方法，用三个同样大小的圆折纸、涂色，来调动学生的多种感观，充分感知数学事实，引导学生观察、思考，激发学生的求知欲，活跃课堂气氛，为“验证”“性质”作好铺垫。

三、得出结论后，渗透“形式与实质”的辩证观点：揭示“性质”后，教师让学生回顾故事内容，验证“猜想”到底哪个和尚吃的多，从形式上看矮和尚吃的多，但比较的事实说明吃的一样多。教师再一次列举生活中的事例说明“形式与实质”的辩证观点。

教学设计：

一 故事提供“猜想”素材：Flash动画故事引入.(教师出示课件)

师：今天老师很高兴和同学们在一起共同学习，同学们心情怎样?

生：高兴!

师: 老师给大家带来了一个礼物，请同学们仔细欣赏。(教师出示Flash动画故事，学生欣赏。同时教师提出欣赏要求，)

师：(欣赏后)同学们，你知道哪个和尚吃的多吗?

生1：胖和尚吃的多。

生2：矮和尚吃的多。

……

师：到底谁回答得对呢?上完这节课你们一定能得到准确的答案.(通过欣赏为学生提供素材，设悬念，留给学生独立思考的空间)

二 用事实“验证”，完整性质。

1.实际操作列等式证实分数大小相等。

师：请同学们以小组为单位，拿出三个大小相等的圆来，分别用阴影部分表示每个圆的(教师观察，学生小组合作，有平均分的，有涂色的，小组成员配合默契)

师：比较一下阴影部分的大小，结果怎样?阴影部分相等，说明这三个分数怎样?

生：阴影部分的大小相等。

师：阴影部分相等说明这三个分数怎样?

生：三个分数相等。

(随着学生的回答，老师将板书的三个分数用“=”连接。)

2.观察课件证实分数大小相等。

师：(出示课件)老师有三个同样大小的长方形，谁能用分数表示出黄色部分呢?

师：这三个分数所表示的长度怎样?这又说明了什么?

(随着学生回答老师在三个分数间用“=”连接。)

3.初步概括分数基本性质.师：仔细观察两个等式，每个等式的三个分数什么变了?什么没变?

生：第一个等式中的三个分数分子、分母都变了，但分数的大小没变。(师进行评价)

师：同学们从左到右观察第一个等式，想一下，这三个分数的分子、分母怎样变化才保证了分数的大小不变的?

(教师请同学们小组讨论，学生各抒己见，争论不休，气氛活跃。)

师：谁能用一句话把这个变化规律叙述出来呢?(师指名口述)

生1：从左往右看，分数的分子、分母同时扩大了，也就是分子分母都乘了一个相同的数，但三个分数的大小没有变。(生2进行了补充)

师：你们观察的真仔细!请大家给点掌声好吗?

(学生掌声起，激情高长，课堂教学充满活力。)

师：(出示课件)请看大屏幕，老师是这样叙述的“分数的分子、分母都乘上同一个数，分数大小不变”。

师：同学们从左到右仔细观察第二个等式，这三个分数的分子、分母发生了怎样的变化，才保证了分数大小不变呢?谁能用一句话把这个变化规律叙述出来?

(小组讨论后，同法让学生小结规律，并请同学给予评价，让学生抒发自己的见解，体现课堂教学的民主化。然后教师在课件中补充“或除以”三个字。)

4、完整分数基本性质：

师：(出示课件)请同学们填空：

(教师请一位会操作鼠标的同学在课件中填空)

师：第3题()里可以填多少个数?第4题呢?

生：可以填无数个。

师：()里填任何数都行吗?哪个数不行?(学生交流后老师指名回答)

生：不能填零。

师：为什么不能填零?

生：分数的分母不能为零。

(教师对学生的回答进行评价)

师：所以我们总结的这条规律必须加上一个条件“零除外”

(教师在课件中填上“零除外”三个红色的字，以便引起学生的`注意。)

师：这个变化规律就是“分数的基本性质”。(指名照课件主读出性质)

三 深入理解分数基本性质

1.学生自学，深入理解性质。

师：请同学们把书翻到108页，自读分数的基本性质。

师归问：分数的基本性质里哪几个词比较重要?为什么“都”和“相同”很重要?为什么“分数大小不变”也很重要?为什么“零除外”也很重要?

生：因为都乘上或除以相同的数(0除外)，分数的大小才不会变化。(同学评价)

2.学生独立完成做一做1。(完成后小组内互相评价)

3.找出与

相等的分数：

(教师出示课件，请一位同学在课件中连线，教师进行评价)

4.请同学们自学并完成例2、(教师巡视，个别进行辅导)

……

四 照应Flash动画故事，渗透“形式与实质”的辩证观点

教师在黑板上出示自制的三个同样大小的圆饼

师：现在谁知道三个和尚，谁吃的多呢?(学生争先恐后的想回答老师提出的问题)

生：三个和沿吃的一样多。

师：同学们以后思考问题一定要多动脑筋，了解实质后才能得出正确答案，我们不能从形式上看着事物去做出判断。

……

五 课堂小结：这节课你有什么收获?(学生板书课题)

教学后的感悟:

1.教学的整个过程是学生亲自验证的过程，通过“验证”学生感受了数学的严谨性。设计以“猜想--判断--观察--验证--概括--深化--提高”的环节，把知识的形成过程展现在学生的面前，使学生在掌握分数的基本性质的同时，感知到数学知识的形成过程，在这一过程中注意渗透学生自学方法、解决问题的策略、体会数学知识与生活的紧密联系，同时教给学生学会学习，学会思考的方法。在师生共同协作的过程中，达到课堂教学方法的最优化，提高了课堂教学效益。

2.猜想素材有利于激发学生主动学习的兴趣和热情，有利于学生思维的碰撞，开启了学生发自内心的探索学习。

3.教学中取舍教材、取舍手段，着眼于学生的学习。教学中既运用了信息技术，又把传统教学手段有机地结合，让资源充分、有效地发挥作用，优化教师的教学手段，提高课堂教学效率。

分数的基本性质教案 篇3

（一）激趣引思、提出要求

同学们，你们听过阿凡提的故事吗？今天老师也带来了一则阿凡提的故事。让我们一一看！谁来读一读？（指名读）你知道，阿凡提为什么会笑吗？他对三兄弟讲了哪些话呢？

有一些同学知道，还有一些同学不知道。不过没有关系，等我们学习了今天的内容之后，我相信在座的每一位同学都能够回答。你们有信心吗？恩，好，那我们就开始上课了！

（二）自主探究，发现规律

1、出示例1的四幅图。

我们先来看一道题目。分别用分数表示每个图里的涂色部分。

（1）谁来说第一个？

全部答完后问：这里的1/3谁来说说它表示什么含义呢？3/9呢？

同学们，你们比较比较这几幅图的阴影部分，想想看，你发现了什么呢？也就是说，哪3个分数是相等的呢？

（2）师：这里有个1/2，你能说一个和1/2相等的分数吗？

2/4、4/8、8/16......还有吧，是不是还可以说出好多好多啊？

那，这些分数是不是相等呢？咱们口说无凭，咱们来做个小实验证明它门是相等的，好不好？

先别急，先来看看有哪些实验要求。

咱们这个实验的目的上一什么？验证什么？

咱们实验的方法有哪些呢？

实验有什么要求？操作有序什么意思呢？要听从小组长的安排

1、实验目的：验证猜想

2、方法：折一折、分一分、画一画、算一算......3、要求：小组合作，明确分工，操作有序

我们要来比一比，哪个小组做的实验既快又好。一会儿，我们把他的作品展示一下。好，开始！

学生操作，老师巡视指导。

集体交流结果。

咱们刚才通过做实验，发现这些分数的大小怎样？也就是分数的大小不变。这些分数的大小相等，可是它们的分子、分母变了吧！怎么回事呢？这里面有什么规律呢？你发现了什么？能不能告诉老师。

把你的发现先和同桌交流交流。

生1：我发现由到，分子被扩大了2倍，分母也被扩大了2倍，所以它们是相等的。

师：还有谁想说说你的发现？

生2：我发现由到，分子被扩大了3倍，分母也被扩大了3倍，所以它们的大小相等。

师：换一组数据来说说自己的发现？

生：由到，分子、分母都被缩小了3倍，它们的大小不变。

师：刚才同学们都说了自己的发现，想想看，要使分数的大小不变分数的分子和分母应该怎样变化就能使分数的大小不变了呢？

师：为什么要0除外？

师：这就是咱们今天学习的“分数的基本性质”（板书课题）

师：谁来说说看，分数的基本性质是什么呢？

生：一个分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），它们的大小不变。

我们一齐读一遍。

师：这个分数的基本性质跟咱们以前学的什么知识有点相似啊？除法中商不变的性质你还记得吗？

同学们想想看，这两个性质之间有什么关系呢？

根据分数与除法的关系，被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，在除法当中有商不变的性质，那在分数中也有它的基本性质。

师：好，那现在你知道阿凡提为什么会笑吗？他又说了哪些话呢？

师：2/6到3/9分子分母怎样变化的？分子和分母同时乘了1.5，呢也就是说这里相同的数不仅可以指整数，还可以指小数。

（三）巩固练习，强化记忆

好，那下面咱们就用今天学的知识来做几道题，好不好？

1、把书翻到61页，练一练第一题，请你涂一涂填一填。我看谁的动作最快。

集体交流。

2、下面我们来填空补缺想理由。（出示练一练第二题）

他们这样填是根据什么？

3、出示练习十一第二题

独立完成，集体订正。

（四）课堂作业，运用知识

练习十一第三题

（五）课堂，认识自己

今天这节课，你学到了什么？

分数的基本性质教案 篇4

教材简析：

分数的基本性质是以分数大小相等这一概念为基础的。因为分数与整数不同，两个分数的大小相等，并不意味着两个分数的分子、分母分别相同。教学时，可引导学生观察一组相等分数的分子、分母是按什么规律变化的，再结合分数的意义归纳出分数的基本性质。由于分数和整数除法存在着内在联系，所以分数的基本性质也可以利用整数除法中商不变的性质来说明。

设计理念：

分数的基本性质是约分和通分的基础，而约分、通分又是分数四则运算的重要基础，因此，理解分数的基本性质显得尤为重要。因此我把学生的学习定位在自主建构知识的基础上，建立了猜想试验分析合情推理探究创造的教学模式。

在课堂上，我先通过故事让学生进入情境，然后让学生去猜想、观察、试验、感悟，进而得出结论。当学生得出分数的分子、分母都乘或除以同一个数，分数的大小不变之后，再结合商不变的性质深入理解，把知识融会贯通。整个教学过程注重让学生经历了探索知识的过程，使学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，体现了方法比知识更重要这一新的教学价值观，构建了新的教学模式。

《数学课程标准》指出：学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。这就要求我们在教学活动中应该为学生提供大量数学活动的机会，让学生去探索、交流、发现，从而真正落实学生的主体地位。

教学目标：

1、使学生理解和掌握分数的基本性质，能应用性质解决一些简单问题．

2、培养学生观察、分析、思考和抽象、概括的能力．

3、渗透形式与实质的辩证唯物主义观点，使学生受到思想教育．

教学重点：

使学生理解和掌握分数的基本性质，培养学生的抽象、概括的能力。

教学难点：

让学生自主探索，发现和归纳分数的基本性质，以及应用它解决相关的问题。

教具准备：

每生三张正方形纸

教学方法：