图象

图象（通用9篇）

图象 篇1

数学教案-一次函数的图象和性质一次函数的图象和性质

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x y=2x-1 y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的.图象时，采用先列表、描点，再连续的方法.现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k);

(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k);

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线.

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

观察正比例函数 y=0.5x 的图象.

这里，k=0.5>0.

从图象上看， y随x的增大而增大.

再观察正比例函数y=-0.5x 的图象。

这里，k=一0.5<0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1>x2，由k=0.5>0，得

0.5x1>0.5x2

即yl>y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y=-0.5x 性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

(O，b)与(-

图象 篇2

选煤在整个煤矿生产中具有十分重要的作用。目前, 在实际的生产过程中, 大块原煤和矸石的分选仍然停留在人工分选, 不仅费时费力, 而且效率不高。为了提高大块矸石的分选自动化水平, 可以应用图象处理算法处理矸石, 其中矸石的图象分割则是这部分工作的核心。本文介绍了一种基于图象腐蚀和区域生长的矸石图象分割算法, 对矸石进行了图象分割, 并给出了分析结果。

1 图象腐蚀和区域生长算法

1.1 图象腐蚀

图象腐蚀运算可以这样表示:输入图象f (x, y) 被结构元素b (x, y) 腐蚀定义为f⦵b, 其表达式为

式中:Df、Db分别是输入图象f (x, y) 和结构元素b (x, y) 的定义域。

这里限制 (s+x, t+y) 在f的定义域中, 与二值腐蚀运算要求的结构元素必须全部包含在被腐蚀的集合中的运算相类似。同样, 该表达式与函数的二维相关非常类似, 只是在这里用“相减”代替相乘, 用“求最小”代替求和运算。

对于只有1个变量的函数, 将用一维函数代替二维函数来解释灰度膨胀的含义和运算操作机理。灰度膨胀表达式为

(f⦵b) (s) =min{f (s+x) -b (x) │ (s+x) ∈Df, x∈Db} (2)

在相关情况下, 对于正的s值, 函数f (s+x) 移向右边, 对于负的s值, 函数f (s+x) 移向左边。不管是移向右边还是移向左边, 都要求 (s+x) 在f (x) 的定义域内, x在b的定义域内, 这与二值图象腐蚀中要求结构元素必须全部包含在腐蚀的集合中的运算相类似。

由以上论述可知, 需要求解由结构元素形状定义的邻域中f⦵b的最大值, 故灰度腐蚀运算通常产生以下2种效果:

(1) 如果在结构元素所定义的邻域中其值为正, 腐蚀后f⦵b的值比f值小, 因此, 图象会比输入图象暗;

(2) 如果输入图象中亮细节的尺寸比结构元素小, 则腐蚀后明亮细节将会削弱, 削弱的程度与该亮细节周围的灰度值和结构元素的形状以及结构元素的值有关[3]。

本文运用了腐蚀运算的第二个效果, 通过设定较大的参数, 就可以将过小的颗粒图象腐蚀掉。

1.2 区域生长

区域生长是指将图象中的每一个像素看成是连接图中的1个节点, 然后按照一定的生长准则将特征相似的像素节点合并起来[1]。

图1给出了一个区域生长的例子。设有一个图象, 如图1 (a) 所示, 本例以灰度最大值点作为种子, 该点的灰度值为9。本例采用的生长相似性准则就是邻点的灰度级与已生成的区域的平均灰度级的差小于2, 即阈值等于2。第一次区域生长达到3个灰度级为8的邻点, 如图1 (b) 所示。此时, 这4个已接受点的平均灰度为 (8+8+8+9) /4=8.25, 故第二次区域生长只得到灰度级为7的1个邻点, 如图1 (c) 所示, 此时, 这5个已接受点的平均灰度级为 (8+8+8+9+7) /5=8, 因为已经没有灰度级大于6的邻点, 区域生长过程终止。

基于单连接区域生长虽然比较简单, 但是, 从区域生长的过程来看, 区域生长法需要解决3个问题:选择一组能正确代表待分区域的种子;确定在生长过程中将相邻像素 (小区域) 包含进来的判定准则;确定让生长过程终止的条件。

种子的选取直接影响到区域生长法的最终效果。其选取可以采用人工介入的方式, 也可以采用全自动的方式。人工介入的方式实际上就是人工选择一组适当的种子, 这种方式选择的种子一般具有代表性。全自动的方式通常要视具体问题的特点进行[2]。本文采用的是人工介入的方式, 即在初始化时给出种子坐标进行区域生长。

生长准则的确定不仅依赖于具体问题的本身, 还与图象数据及图象性质有关[4]。这对于区域生长的结果是很关键的, 需要综合考虑。例如是否考虑了像素邻近区域灰度的均匀性和非均匀性会直接影响到分割结果。本文采取了图象预处理的措施, 对图象进行直方图均衡化后再进行区域生长, 实际运行结果表明, 达到的效果较好。

2 算法设计与仿真

在实际的矸石分选过程中, 要求的目标主要是将大块的矸石分选出来, 但是, 在胶带运行过程中拍到的图片中, 往往夹杂着很多小的煤颗粒或是矸石颗粒, 这些小的颗粒如果不滤除掉的话, 会对下一步的处理产生影响, 影响矸石分选的效果和效率。目前, 选煤厂跳汰机分选颗粒主要分为9 mm、13 mm、25 mm等规格, 因此, 对于直径大于25 mm的颗粒, 本文中认为是较大颗粒, 予以图象分割, 进行下一步处理, 对于直径小于25 mm的颗粒, 则认为是干扰颗粒, 将予以滤除。

图象分割主要有边缘检测和区域生长2种方式, 由于选煤厂现场环境比较恶劣, 拍出的图象受空气中粉尘影响较多, 产生很多噪声, 且由于矸石和胶带都为黑色, 边界区分比较模糊, 如果采用边缘检测的方法, 将产生一些假边缘和空白, 且在连接的过程中由于一些边缘不是很清晰, 会产生间断和空白, 这直接影响了图象分割的效果。

因此, 本文采用区域生长算法。但是, 采用传统的区域生长算法很难将这些小的颗粒滤除掉, 如果采取减小阈值的方法, 则会产生欠生长;如果采取增大阈值的方法, 则会产生过生长。在图象没有任何先验知识的情况下, 要取得一个合适的阈值是比较困难的, 在有些情况下甚至是不可能的。图2为阈值分别为10和50时采用传统区域生长算法时的矸石处理结果图。

从图2可看出, 矸石图象分割结果出现了非常明显的欠生长和过生长现象。由于矸石现场的特殊性, 拍出的有些图象甚至在1～70之间的任一阈值都不能达到满足处理条件的效果。

针对上述情况, 本文提出了一种融合图象腐蚀和区域生长的图象分割算法, 在处理图象的过程中, 先对图象进行预处理, 经过压缩和直方图均衡化, 然后通过分析直方图选取适当的阈值。通过分析现场拍得的50张矸石图片的直方图, 本文选择阈值为50。根据小于25 mm的颗粒都看做是噪声这一要求, 选择图象腐蚀的半径为2, 实际的处理结果证明, 该半径选择效果很好。然后将图象腐蚀后的图象运用区域生长算法分割。具体步骤如下:

(1) 对采得的原始图象进行图象压缩;

(2) 对压缩的图象进行直方图均衡化;

(3) 通过设定合适的腐蚀半径对原图象采取图象腐蚀处理;

(4) 选择合适的种子和阈值对腐蚀后图象进行区域生长;

(5) 将处理后的图象和原图象做“与”运算, 得到边缘清晰的大块矸石图象。

根据上述步骤, 笔者在Matlab7.0上做仿真, 结果如图3所示。

从图3可看出, 在未融合腐蚀算法之前, 图象处理存在明显的过生长情况, 而在融合了腐蚀算法之后, 腐蚀后的图象轮廓清晰, 可以有效地去除噪声和小颗粒的影响, 对于区分大块矸石和小的颗粒有很好的效果。

最后, 对图象进行复原, 结果如图4所示。这样有利于下一步对煤和矸石的区分。

3 结语

本文提出的融合图象腐蚀和区域生长的图象分割算法, 对于小颗粒去噪具有很好的效果, 且得到的轮廓清晰、完整、准确, 有效地避免了区域生长算法的过生长和欠生长问题, 取得了很好的效果。仿真结果表明, 经过图象腐蚀后, 阈值可选择范围变大。由于矸石图象具有边缘区分不明显、矸石图象和背景图象像素相似度较高等特点, 在本算法成功用于矸石图象分割之后, 对其它边缘模糊的图象处理具有很好的参考和借鉴作用。

由于本文阈值选取主要依靠实际经验, 设计一个适合每一张图片的自动阈值选取方法是下一步研究的重点。

参考文献

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[2]田浩, 葛秀慧, 王顶.数字图象处理原理与应用[M].北京:清华大学出版社, 2007:109-111.

[3]朱秀昌, 刘峰, 胡栋.数字图象处理与图象通信[M].北京:北京邮电大学出版社, 2002:150-151.

[4]LI W, HUANG H, ZHANG D.A Color ImageSegmentation Method Based on Automatic SeededRegion Growing[C]//Proceedings of the IEEEInternational Conference on Automation and Logistics, 2007:1925-1929.

[5]韩磊.Matlab在数字图象处理中的应用[J].电脑知识与技术, 2008 (1) .

图象 篇3

一、原文对“例1、例2”的解析

【例1】 如图1所示，小滑块m从静止开始沿光滑斜面由A滑到C，经历的时间为t1，如果改由光滑曲面滑到C，则经历的时间为t2，关于t1和t2的大小关系，正确的是（ ）。

解析：滑块由斜面由A滑到C，按题意是做初速度为零的匀加速直线运动，作出其图如图2中的直线a所示；滑块沿曲面下滑时，在AD段加速度大于沿斜面下滑的加速度，在DC段又小于在斜面上的加速度，其图线的定性示意图如图2中的曲线b所示，因为二者位移相同，图线与坐标轴围成的面积相同，从图2中很容易看出t1>t2，选项A正确。

【例2】 老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比。当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度为v1，试求：（1）老鼠行进到离洞穴距离为d2

解析：（1）由速度与距离成反比，v=kd，又有v1d1=v2d2，得乙点速度v2=d1d2v1；

（2）如图3所示，所需时间即画斜线的梯形面积，t=12(d1+d2)(1v2-1v1 )，将v2=d1d2v1代入得：t=d22-d212d1v1。

二、两点商榷

1.原文误读了图2中图线b的物理意义

由于沿曲面ADC滑下时物体做曲线运动，其速度的大小和方向都随时间变化，因此，图2中图线b应该是描述滑块的速率随时间变化的关系，这才是图2中图线b的物理意义。因此“b图线与坐标轴所围的面积”的物理意义是：滑块沿曲面ADC滑下所经过的“路程”，并不是原文所说的“位移”。因而b图线与坐标轴所围的面积应大于a图线与坐标轴所围成的面积，符合这一条件的定性的图线在图4中b、c、d均有可能，即t1>t2、t1=t2、t1

下面我们“准定量”地对选项D的正确性进行论证。

由于原题并没有给定曲面ADC的参数，我们可以作一个并不违反原题条件的极限假设如下：

图4设物块沿某一曲面AB′C下滑，其中曲面AB′无限接近竖直面AB，而曲面B′C无限接近水平面BC，在B′点为平滑连接。则：

（1）滑块从A到B′的运动便无限接近于从A到B的自由落体运动，可以认为经过的时间tAB′=tAB，物体到达B′的速度大小也就无限接近于到达B点的速度大小，即vB′=vB;

(2)滑块从B′到C的运动便无限接近于从B到C的水平方向的匀速直线运动，可以认为经过的时间tB′C=tBC。

因此，沿曲面AB′C运动的总时间t2=tAB′+tB′C≈tAB+tBC ①

设斜面倾角为θ，斜面长为L，

由自由落体规律有：12gt2AB=Lsinθ ②

由机械能守恒定律有：12mv2B=mgLsinθ ③

由匀速直线运动规律有：vBtBC=Lcosθ ④

联立①②③④式，解得t2=2Lsinθg+Lcosθ2gLsinθ ⑤

物体沿斜面AC下滑的时间为t1，由初速度为零的匀加速运动规律有：12gsinθt21=L，即t1=2Lgsinθ ⑥

比较⑤⑥两式有：t2t1=sinθ+12cosθ。

根据三角函数知识可以求得（sinθ+12cosθ）在AC倾角θ取值不同时，t2t1＞1，t2t1=1，t2t

1＜1均有可能，而这仅仅是不违背题设的其中的一种假设。

综上所述，只要对一般曲面ADC与极限假设曲面AB′C的差异作适当的调控（而原题对这一点并未限制），t2t1均有可能，故选项D是正确的。

2.原文对图3中“画斜线的梯形面积”的物理意义的阐述依据不足原文对例2第（2）问解答时，根据题意画出了d-1v图象（如图3），接着原文立即指出：“所需时间即画斜线的梯形面积，t=12(d1+d2)(1v2-1v1)”，对于这个关系，没有给出推导过程。由于d-1v图线不是中学物理中的常见图象，其图象中的“面积”没有一般熟知的物理解释，因此，一步到位给出上述关于t的关系式似太唐突，应有必要的文字说明和推导过程。原文所述“画斜线的梯形面积”是由无数个如图5中画斜线的竖直条的面积求和而成，这一点根据中学生的知识储备是不难理解的，而当Δ(1v)

充分小时，竖直小条的面积ΔS⊥就用P点的纵坐标d与Δ(1v)乘积代替，即ΔS⊥=d×Δ(1v),这一点中学生也能理解，问题是对ΔS⊥的物理意义进行解释，也就是说d×Δ(1v)表示什么？它虽然有时间的量纲，是不是一段时间？对中学生来说，有些为难，更不是一目了然的，所以原文把“画斜线的梯形面积”的物理意义说成是“所需时间”在中学物理范围内显得依据不足。现在我们考查图5中画斜线的横向小条的面积：ΔS‖=1vΔd=Δdv，由于Δdv对应于发生极短位移Δd所用的时间Δt，故ΔS‖=Δt，因而“梯形P1d1d2P2的面积”就是所需时间t=12(1v1+1v2)(d2-d1)将v1d1=v2d2代入上式，有t=d22-d212d1v1，与原文结果相同，但显得依据充分。

如果将图3改画成图6所示的形式，则在图6中“图线P1P2段与下方坐标轴所围成的面积即为从d1到d2所需的时间”，这样就更符合中学物理教材的传统表述和学生的思维习惯。

由上面的讨论我们看到，认清“图象信息”的物理意义是多么重要，它是正确利用图象信息顺利解题的前提和关键。其实，图象问题千变万化，但无外乎“输入信息画图象”和“输出信息解决问题”两类，而其中“信息”的物理意义则是“信息的灵魂”，因为物理图象不同于数学图线，它一般是与一系列物理过程相对应，受一定的物理规律所制约，只有对“图象信息”的物理本质有了透彻的理解，才能在“物理图象”和“物理过程”的相互“翻译”中游刃有余。而从本质上讲，图象问题就是“图象”与“过程”的双向“翻译”问题。

函数的图象教学方案 篇4

(1) 以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围;

(2) 列表、描点、连线画出此函数的图象

4.(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表;并在直角坐标系中描点画图);

(2)判断下列各有序实数对是不是函数。Y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上：

(-2，2)， (-，2)， (-1，3)， (，1)

5.画出下列函数的图象：

(1)y=4x-1; (2)y=4x+1

6。图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答，在这一天：

(1)8时，12时，20时的气温各是多少;

(2)最高气温与最低气温各是多少;

(3)什么时间气温最高，什么时间气温最低。

7.画出函断y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)：

X	-2	-1。5	-1	-0。5	0	0。5	1	1。5	2
y

8。画出函数y=图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)：

X	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y

作业的答案或提示

1. 选(C)，因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。

2. 选(D)当x<0时，=-x，所以y===-1，当x>0时，=x，所以y===1

3.

(1)y=x(6-x)其中0

(2)

X	0	1	2	3	4	5	6
y	0	5	8	9	8	5	0

4。

Y=-x+2
x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	3	3	2	2	2	1	1	1

经过检验，点(-，2)及点(，1)在所画的函数图象上。

5.

Y=4x-1
X	-2	-1	0	1	2
y	-9	-5	-1	3	7

Y=4x+1
x	-2	-1	0	1	2
y	-7	-3	1	5	9

6。(1)8时约5℃，20时约10℃。(2)最高气温为12℃，最低气温为2℃。(3)14时气温最高，4时气温最低。

7.

Y=x2
X	-2	-1。5	-1	-0。5	0	0。5	1	1。5	2
y	4	2。25	1	0。25	0	0。25	1	2。25	4

8。

Y=
X	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	-1	-	-	-2	-3	-6		6	3	2			1

课堂教学设计说明

1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应;不同的坐标与不同的点一一对应;函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。

2.本课的目标是使学生会画函数图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应，接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。

3.教学设计中的例3，既训练学生从已数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力，对函数图象功能有一个完整的认识。

4.在小结中，介绍了函数关系的三种表示方法，并说明它们各自的优缺点，有利于对函数概念的透彻理解。

5.作业中的第1-3题，对训练函数图象很有帮助。

第1题，目的要说明，对于x的一个值，y必须是唯一的值与之对应，而(b)(c)(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数，本题还训练解读图形的能力。

第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号时，必须分x≥0与x<0讨论。

反比例函数及其图象 篇5

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）

（1） 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.

的讨论与此类似.

抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

（2）函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.

同样可以推出 的图象的性质.

（3）函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.

函数 的图象性质的讨论与次类似.

4、小结：

本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的`数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业      习题13.8   1-4

二次函数的图象和性质 篇6

函数是中学数学学习的重要内容，函数概念通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种变化与对应的思想对于中学生来讲，学习起来非常困难。虽然，函数图像将函数的数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，但在没有信息技术支持下的教学，研究函数图像对教师来讲也是较为困难的一件事。

二次函数教学时间约为 10课时，下面是第一课时的教学设计，此时学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和反比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．

二、教学目标：

知识技能

1．探索并归纳二次函数的定义；

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

数学思考：

1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；

2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

解决问题：

1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；

2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。

情感态度：

1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；

3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

三、教学重点、难点：

教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．

四、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。

五：教具、学具：教学课件

六、教学媒体：计算机、实物投影。

七、教学过程：

[活动1] 温故知新，引出课题。

师：对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

生：学过正比例函数，一次函数，反比例函数．

师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?

生：记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

师：能把学过的函数回忆一下吗?

生：可以。

一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）

正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）

反比例函数y=k/x（k是不为0的常数）

师：学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?

生： 定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。

师：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．

师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。

设计意图：由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。

[活动2]创设情境 探究新知：

问题

1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为是什么？

2．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？

n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线。因此，n边形的对角线总数d =＿＿＿＿＿＿。

3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

4． 问题2中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的d是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?问题3呢？

5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？

师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。

定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。教师重点关注：1．强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（4）x的取值范围是任意实数。

2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好

奇心和求知欲。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。

[活动3] 例题学习内化新知

问题

例1，下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项。

(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+5

(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²

(5)y=-x(6)v=10∏r²

2例2，函数 y=（m-3）x-3x+5

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

师生行为：教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。

教师重点关注：（1）探究中各小组是否积极展开活动；（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。

设计意图：通过例1的设计，有利于学生对二次函数的概念的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；例2中三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。

[活动4] 练习反馈巩固新知

问题：

（1）P80．练习1、2

m-2（2）若y=3x+6x-4 是二次函数，求m的值．

师生行为：教师提出问题，问题（1）学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路；

教师重点关注：学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。

设计意图：问题（1）是从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得用二次函数表示变量之间关系的体验；问题（2）是让学生对二次函数定义很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；

八、自主小结，深化提高：

请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。

设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。

九、分层作业，发展个性：

十、教学反思：

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺

铝图象解题二例 篇7

例1 图1是向MgCl2和AlCl3混合液中, 先加入NaOH溶液后又滴加盐酸, 所得沉淀 y (mol) 与试剂体积V (mL) 之间的关系.以下结论不正确的是 ( )

(A) NaOH和盐酸的分界点是6 mL处

(B) 原混合液中 c (Al3+) ∶c (Mg2+) ∶

c (Cl-) =1 ∶1 ∶5

(C) c (NaOH) ∶c (HCl) =2 ∶1

(D) 从7到9, 都发生离子反应H++OH-=H2O

分析:由图不难看出:加入试剂0～5 mL时, NaOH使MgCl2、AlCl3沉淀, 5～6 mL时, NaOH使Al (OH) 3溶解, 而9～11 mL时, HCl与NaAlO2生成Al (OH) 3, 11～21 mL时, HCl使Al (OH) 3溶解, 但加入试剂6～9 mL时, 沉淀的物质的量为何不变?经分析可知, 因为此前加了过量的NaOH后, 再加的盐酸需中和NaOH, 这是我们解此题的关键.

解析:当加入5～6 mL NaOH时, NaOH使Al (OH) 3溶解.故可得

n[Al (OH) 3]=c (NaOH) × (6-5) ×10-3L

当加入HCl 9～11 mL时, HCl与NaAlO2生成Al (OH) 3, 则

n (NaAlO2) =c (HCl) × (11-9) ×10-3 L

而 n (NaAlO2) =n[Al (OH) 3]

故 c (NaOH) =2c (HCl)

(C) 选项正确.

加入6～9 mL试剂时, 沉淀的物质的量不变的原因是此前加了过量的NaOH后, 再加的盐酸需中和NaOH, 因 c (NaOH) =2c (HCl) , 显然:6～7 mL为继续加入过量的NaOH, 而7～9 mL为加入HCl, 用于中和过量的NaOH, 故NaOH和盐酸的分界点是7 mL处.从7～9, 都发生离子反应H++OH-=H2O[ (A) 错 (D) 对].不妨令 c (NaOH) =2 mol/L, 则 c (HCl) =1 mol/L.而5～6 mL为加入了NaOH, 使Al (OH) 3溶解.故

n[Al (OH) 3]=c (NaOH) ×1×10-3L

=2×10-3 mol

n (Al3+) =2×10-3 mol

故将Al3+完全沉淀, 需OH- 6×10-3 mol.

n (Mg2+) = (2 mol/L×5×10-3L-6×10-3 mol) ÷2=2×10-3 mol

n (Cl-) =2×10-3 mol×3+2×10-3 mol×2=10×10-3 mol

(B) 选项正确.

答案为 (A) .

例2 向100 mL BaCl2、AlCl3、FeCl3的混合溶液A中逐滴加入Na2SO4和NaOH的混合溶液B, 产生沉淀的物质的量 n 和加入溶液B的体积关系如图2所示:

(1) 当加入110 mL B溶液时, 溶液中的沉淀是__ (填化学式) .

(2) 溶液B中Na2SO4和NaOH的物质的量浓度之比是__.当B溶液加到90～100 mL这一段时间中, 所发生反应的离子方程式是__.

(3) 将A、B溶液中各溶质的物质的量浓度 (c) 填入表1中.

分析:加入B 90～100 mL时, 沉淀的物质的量不变, 可推知此时生成的BaSO4的物质的量应等于溶解的Al (OH) 3的物质的量.

解析:加入B溶液100～110 mL时, 溶解的Al (OH) 3为 (0.12-0.11) mol=0.01 mol.故10 mL B中含NaOH为0.01 mol.则 c (NaOH) =0.01 mol/0.01L=1 mol/L

因此加入B溶液90～100 mL, 此段共10 mL, 应含NaOH 0.01 mol, 应溶解Al (OH) 3为0.01 mol.

而此时生成的BaSO4的物质的量应等于溶解的Al (OH) 3的物质的量.则

n (BaSO4) =0.01 mol=n (Na2SO4)

c (Na2SO4) =0.01 mol/0.01 L=1 mol/L

c (Na2SO4) ∶c (NaOH) =1 ∶1

加入90～110 mL B溶液时, B溶液中的NaOH使Al (OH) 3溶解, 则

n[Al (OH) 3]=n (NaOH) =0.01 mol+0.01 mol=0.02 mol

故A中Al3+共有0.02 mol, 即

c (AlCl3) =0.02 mol/0.1L=0.2 mol/L

加入90 mL B时, A中的Al3+、Fe3+已沉淀完全 (由上可知, 使Al3+沉淀完全需NaOH 0.06 mol) , 使Fe3+沉淀完全需NaOH:1 mol/L×90×10-3L-0.06 mol=0.03 mol, 则

c (FeCl3) =0.01 mol/0.1L=0.1 mol/L

由以上分析可知当加入100 mL B时Ba2+才沉淀完全, 而100 mL B中含Na2SO4共1 mol/L×0.1L=0.1 mol, 故

c (BaCl2) =0.1 mol/0.1L=1 mol/L

答案: (1) BaSO4 Fe (OH) 3;

(2) 1 ∶1 Ba2++SOundefined=BaSO4↓

Al (OH) 3+OH-=AlO-2+2H2O

(3)

慧眼识函数图象 篇8

■ 明确横、纵坐标的实际意义

近年来，出现了很多用函数图象描述生活情景的考题，解答这类考题，首先要弄清横、纵轴所表示的实际意义，根据实际意义来判断图象是否符合题意.

■ （2011山东临沂）甲、乙两同学同时从400 m环形跑道上的同一点出发，同向而行，甲的速度为6 m/s，乙的速度为4 m/s，设经过x s后，跑道上此两人间的较短部分的长度为y m，则y与x（0≤x≤300）之间的函数关系可用图象表示为（ ）

■

■ 需要注意的是，此题纵轴表示的是跑道上此两人间的较短部分的长度. 环形跑道只有400 m，两人间较短部分的长度最长200 m（拉开环形跑道一半的距离），最短距离是0 m（追上时），设x s后甲第一次追上乙，则有6x-4x=400，解得x=200，即当200 s时，两人之间的最短距离是0 m，只有选项B，C符合题意. 当0≤x≤100时，两人之间的最短距离y m与时间x s的关系为y=6x-4x=2x，y随x的增大而增大，且是直线关系. 当100＜x≤200时，两人之间的最短距离y m与时间x s的关系为y=400-（6x-4x）=-2x+400，y随x的增大而减小，也是直线关系. 当200＜x≤300时，与0≤x≤100时的图象类似. 故答案为C.

■ C．

■ （2011黑龙江绥化）向最大容量为60 L的热水器内注水，每分钟注水10 L，注水2 min后停止注水1 min，然后继续注水，直至注满，则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（ ）

■

■ 由关键点的坐标获取有用信息

函数图象上一些关键点的坐标，直接对应着解析式中的常量或常量间的关系，要学会读取，如（1）直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点是－■，0，与y轴的交点是（0，b）；若直线与y轴交于正半轴，则b＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0. （2）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，c），图象与y轴交于正半轴，则c＞0，交于负半轴，则c<0；对称轴为x=－■，若抛物线的对称轴在y轴右侧，即x=－■>0，则a，b异号，反之， a，b同号；抛物线上横坐标为1的点的纵坐标是a+b+c，横坐标为2的点的纵坐标是4a+2b+c等.

■ （2011甘肃兰州）在图1所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面4条信息：①b2－4ac＞0；②c＞1；③2a-b＜0；④a+b+c＜0. 其中错误的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个

C. 4个 D. 1个

■

■ 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，①正确. 图象显示，抛物线与y轴交于正半轴，且在0和1之间，即0＜c＜1，故②错误. 由图象可知，对称轴x=－■＞-1，又根据抛物线开口向下知a＜0，所以2a-b＜0，故③正确. 对于二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y=a+b+c，图象中对应的点在x轴下方，所以y=a+b+c＜0，故④正确. 综上可知错误结论有1个.

■ D．

■ （2011山东泰安）已知一次函数y=mx+n-2的图象如图2所示，则m，n的取值范围是（ ）

A. m＞0，n＜2 B. m＞0，n＞2

C. m＜0，n＜2 D. m＜0，n＞2

■

■ 函数解析式常量的几何意义

理解了函数常量的几何意义，我们就能通过读取坐标系中的直线或面积得到函数关系式中的常量，如一次函数y=kx+b（k≠0）的常数k的几何意义，即k越大，直线y=kx+b（k≠0）与x轴的夹角越大，直线越贴近y轴；k值相同的两条直线是平行线. 对于反比例函数y=■（k≠0），过双曲线y=■（k≠0）上任意一点P作x轴、y轴的垂线，设垂足分别为A，B，则所得矩形OAPB的面积为k.

■ （2011浙江湖州）如图3，已知A，B是反比例函数y=■（k>0，x>0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C． 动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N． 设四边形OMPN的面积为S，P点的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）

■

■

■ 本题应分三种情形进行讨论，当点P在OA上运动时，其面积应是二次函数的关系，且面积随运动时间t的增大而增大；当点P在反比例函数上运动时，根据反比例函数的几何意义，其面积不变；当点P在BC上运动时，其面积逐渐变小，且为一次函数，于是选A.

■ A.

■ （2011广西桂林）双曲线y■，y■在第一象限的图象如图4所示，已知y■=■，过y■上的任意一点A作x轴的平行线交y■于点B，交y轴于点C，若S■=1，则y■的解析式是______.

■

■ 由图象交点坐标比较方程中数量的大小

2011年中考题目经常出现一元二次方程的字母常量或一元二次方程的根比较大小的题目，看上去没有头绪，如果想到把这些字母常量或方程的根用二次函数图象上的点的坐标来表示，就可以顺利获得它们的大小关系．

■ （2011四川绵阳）若x■，x■（x■＜x■）是方程（x-a）（x-b）＝1（a

A． x1＜x2＜a＜b B． x1＜a＜x2＜b

C． x1＜a＜b＜x2 D． a＜x1＜b＜x2

■

■ 此题看似很抽象，找不到解题思路，但如果作出二次函数y＝（x-a）（x-b）与直线y＝1的图象，就可以直接看出四个数量的大小关系. 由已知可得抛物线y＝（x-a）（x-b）开口向上，两图象的交点的横坐标就是方程（x-a）（x-b）＝1的两个根，即x■，x■，而a，b是二次函数y＝（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的横坐标，由图5知x1＜a＜b＜x2.

■ C．

■ （2011湖北黄石）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ ）

A． 1＜α＜β＜2

B． 1＜α＜2＜β

C． α＜1＜β＜2

D． α＜1且β＞2

有理分式函数的图象及性质 篇9

【知识要点】 1．函数y

axbcx

d

(c0,adbc)dcdc

（2）值域：{y|y

（1）定义域：{x|x单调区间为(,直线x

dc,y

dcacb

x),(,+)（4）dc,ac，对称中心为点()

（5）奇偶性：当ad0时为奇函数。（62．函数yax

(a0,b0)的图象和性质：

（1）定义域：{x|x0}（2）值域：{y|y或y（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数yax

b(a0,b

0)的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数y

1x

1的图象是（）

A

x1

B

C

x3x

2D

x3x2

2．函数y

A.y

x3x2

2x

3(x1)的反函数是

x3x2

（）

(x1)

(x2)B.y

x2xa

(x2)C.y(x1)D.y

3．若函数f(x)的图象关于直线yx对称，则a的值是（）

A.1B.1C.2D.2

2x1

4．若函数f(x)存在反函数，则实数a的取值范围为

xaA.a1B.a1C.a

（）

D.a

5．不等式4x

A.(

12,0)（12

1x的解集为

12)（12

（）,0)(0,12),)B.(-,

axb,)C.(,0)(0，+)D.(

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为2

xc

A.abcB.acbC.bacD.bca 7．若正数a、b满足abab3,则ab的取值范围是_____。8．函数y

3xx

4（）的值域是。的反函数的图象关于点(1,4)成中心对称，则实数

9．若函数y

axxa

1a。

10．函数y

e1e1

x

x的反函数的定义域是。

11．不等式

2x1x

31的解集是。

12．函数y

xxxx1的值域是。

13．设f(x)x

ax1,x[0,+)。

（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；

（2）当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。14．设函数f(x)调性． BABDAD

331,]9．310．(1,1)11．x3或x412．[,1)443

213．解：（1）a＝2时，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等号在x＋1＝，x1x1x1

xaxb

(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单

7．[9,+)8．[

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））时成立．

（2）当0＜a＜1时，设x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 则f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax21

－

ax11

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x11)(x21)

＜1，1－

(x11)(x21)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函数． 在x＝0时，f（x）的最小值是a． 14．解：函数f(x)

xaxb的定义域为(,b)(b,)

f(x)在(,b)内是减函数，f(x)在(b,)内也是减函数

证明

f(x)

在(b,)内是减函数

取x1,x2(b,)，且x1x2，那么

x1ax1b

x2ax2b

f(x1)f(x2)





(a-b)(x2x1)(x1b)(x2b)

∵ab0,x2x10,(x1b)(x2b)0 ∴f(x1)f(x2)0 即

f(x)

在(b,)内是减函数，同理可证

f(x)

在(,b)内是减函数。

浅 说 函 数 的 对 称 性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)

是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠

b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称。定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

‘

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，12

f(x)= －x，则f(8.6)= _________（第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数。