圆的切线方程公式证明

2024-10-27

圆的切线方程公式证明(精选5篇)

圆的切线方程公式证明 篇1

已知:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)

直线CP的斜率:k1 =(y0a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx0²a)² +(y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a² + b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根据点斜式, 求得切线方程:

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x0²x0²Dx0/2a)² +(yMC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0b)²MC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)² +(y0 + E/2)²-((√(D²+E²-4F))/2)² ]

(半径:r=(√(D²+E²-4F))/ 2)

= √(x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)

圆的切线方程公式证明 篇2

例题 求经过点P2 (-1, -2) 且与圆x2+y2=1相切的切线方程并作图.

解1:利用过圆上一点的切线方程如图1, 设过点P2 (-1, -2) 的直线与圆x2+y2=1相切于P1 (x1, y1) , 根据过圆上一点求切线方程的公式, 得圆的切线方程为

x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2)

所以x1=-2y1-1 (2)

又因为点P1 (x1, y1) 在圆上

所以x12+y12=1 (3)

联立 (2) (3) 得

{x1=-1, y1=0;{x2=35, y2=-45.

代入 (1) 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解2:利用勾股定理

设所求切线与已知圆相切于点P1 (x1, y1) , 因为圆的方程为x2+y2=1, 所以圆心O的坐标为 (0, 0) , 连接OP1、OP2, 则OP1⊥P2P1, 所以由勾股定理, 得OP12+P2P12=OP22, 即 (x12+y12) + (x1+1) 2+ (y1+2) 2= (0+1) 2+ (0+2) 2, 所以x12+y12+x1+2y1=0 (1) 又因为点P1 (x1, y1) 在圆上, 所以x12+y12=1 (2) , 联立 (1) (2) 得

{x1=-1y1=0;{x2=35, y2=-45.

代入切线方程x1x+y1y=1中, 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解3:利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系.

设所求直线与圆相切于P1 (x1, y1) , 则kΟΡ1=y1x1.因为OP1⊥P2P1, 所以kΡ2Ρ1=-1kΟΡ1=-x1y1,

所以切线的方程为y-y1=-x1y1 (x-x1) .

因为过点P2 (-1, -2) , 所以代入上式得

x12+y12+x1+2y1=0 (1)

而 x12+y12=1 (2)

以下同解2.

解4:利用圆锥曲线切线的定义

设P (x1, y1) 是圆x2+y2=1上任意一点, 作割线P1Q交圆于另一点Q (x, y) , 则

kΡ1Q=y1-yx1-x (1) , 又因为P1、Q两点都在圆上.

(2) - (3) 得y1-yx1-x=-x1+xy1+y代入 (1) , 得kΡ1Q=-x1+xy1+y, 当Q与P1重合时, 即当x=x1, y=y1时, 割线的斜率kP1Q就变成过圆上一点P1 (x1, y1) 的切线的斜率k,

所以k=-x1+x1y1+y1=-x1y1.以下仿解3.

解5:利用点到直线的距离公式

设过点P2 (-1, -2) 且与圆x 2+y2=1相切的切线的斜率为k, 则所求切线方程为y+2=k (x+1) , 即kx-y+k-2=0.因为圆心O的坐标为 (0, 0) , 半径r=1, 所以由点到直线的距离公式, 得

|k0-0+k-2|k2+1=1, 解得k=34.

所以切线方程34x-y+34-2=0, 即3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解6:利用斜率为k的圆的切线方程

因为圆的方程为x2+y2=1, 所以r=1, 故根据圆x2+y2=r2的切线方程

y=kx±r1+k2,

y=kx±1+k2. (1)

因为P (-1, -2) 点在切线上,

所以-2=-k±1+k2.

解得k=34, 将k值代入 (1) 即得所求切线的方程为3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解7:利用切线与圆只有一个公共点的性质

设所求圆的切线方程为

y=kx+b

代入x2+y2=1中, 整理得

(k2+1) x2+2kbx+b2-1=0. (2)

因为直线和圆相切, 它们只有一个公共点, 所以方程 (2) 有两相等实数根, 所以Δ=0, 即 (2kb) 2-4 (k2+1) (b2-1) =0, 所以

k2-b2+1=0 (3)

又因为切线过P2 (-1, -2) 点, 所以由 (1) 得 k=b+2 (4)

解 (3) 、 (4) , 得b=-54, k=43代入 (1) 得3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解8:利用参数方程

设所求切线的参数方程为

代入方程x2+y2=1中, 消去x、y, 整理得

t2-2 (cosθ+2sinθ) t+4=0.

因为直线和圆相切

所以Δ=4 (cosθ+2sinθ) 2-16=0,

即 (cosθ+2sinθ) 2=4.

因为cos2θ+4sinθcosθ+4sin2θ=4 (sin2θ+cos2θ) ,

所以cosθ (3cosθ-4cosθ) =0.

所以cosθ=0或3cosθ-4sin=0,

tanθ=34.

因为θ∈ (0, π) ,

从 (1) 用代入法消去参数t

(x+1) sinθ-ycosθ-2cosθ=0, (3)

将 (2) 中sinθ, cosθ的值代入 (3) 即得所求圆的切线方程为3y-4y-5=0和x=-1.

解9:利用两条直线重合的条件

设所求直线与圆相切于P (x1, y1) , 则切线方程为x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2) 和P1 (x, y1) , 所以根据两点式所求切线的方程可表示为

y-y1-2-y1=x-x1-1-x1,

即 (2+y1) x- (1+x1) y+y1-2x1=0 (2)

因为 (1) 、 (2) 表示同一条直线, 所以根据两条直线重合的条件, 得

x12+y1=y1- (1+x1) =-1y1-2x1,

解得

{x1=-1, y1=0{x2=35, y2=45.

代入 (1) 或 (2) 即得所求圆的切线方程同上.

解10:利用过圆外一定点的圆的切线方程

因为过定点 (x1, y1) 向圆x2+y2=r2引两条切线的方程为 (x12+y12-r2) · (x2+y2-r2) = (x1x+y1y-r2) 2 (推导省略)

所以过点P2 (-1, -2) 的圆x2+y2=1的切线方程为 (1+4-1) · (x2+y2-1) = (-x-2y-1) 2.

化简整理, 得

3x2-2 (2y+1) x- (4y+5) =0.

x= (2y+1) ±2 (y+2) 23= (2y+1) ±2 (y+2) 3.

所以x=-1, x=4y+53故所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

最后必须引起注意的是, 本题中的一条切线x=-1是和y轴平行的.由于一切平行于y轴的直线的斜率都是不存在的, 因而解5、解6、解7开始只求出一条切线方程3x-4y-5=0, 而另一条平行于y轴的切线x=-1就遗漏了.遇到这种情形时, 必须结合图形找到另一解, 切不可疏忽大意.

圆的切线证明技巧 篇3

一、掌握切线的判定方法,理解切线的概念与特征

1.根据定义,即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

3.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

理解上面的概念,必须抓住两点:①直线经过半径的外端;②直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。

二、如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下几种情况

1.要证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“见半径,证垂直”。

例1:如图1,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°,求证:AE是⊙O的切线。

证明:∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵∠B=60°,∴∠BAC=30°

∴∠EAC=60°,

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

∵BA⊥AE垂足为A

∴AE是⊙O的切线

2.给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则要连接公共点和圆心,然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明,口诀是“连半径,证垂直”。

例2:如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连OC,弦AD//OC,求证CD是⊙O的切线。

证明:连OD

∵OC//AD,

∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO,

∴∠COB=∠DOC

又∵OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC,

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°

∵∠ODC=90°,∴DC是⊙O的切线。

3.当直线与圆的公共点不明确时,过圆心作该直线的垂线,然后根据“直线与圆相切的定义”去证明,口诀是“作垂直,证相等”。

例3:如图3,已知OC平分∠AOB,点D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E,求证:OB与⊙D相切。

证明:连DE,作DF⊥OB,垂足为F。

∵⊙D与OA相切于点E

∴DE是⊙D的半径,且DE⊥OA

∵OC平分∠AOB,DO在OC上,且DF⊥OB,DE⊥OA

∴DF=DE

∵DF是⊙D的半径

∴OB与⊙D相切

圆的切线教学反思 篇4

我在教《九年级数学》下册“圆的切线”复习课时,是这样设计的:首先在黑板上画一个圆,要求学生:“在现有的图形中从添加一条切线、两条切线、三条切线„„,画出图形并说出相关的结论思考”;在独立完成的基础上小组内讨论汇总,不同组之间相互交流;然后有某组同学代表本组讲解本组的收获,其他小组补充;这样经过全体学生的共同努力,与切线有关的所有知识点都囊获其中。接着我让学生展开想象的翅膀,“用你的智慧和以前的学习经验,自己设计与切线有关的题目(可以是课本中或你做过的题目的变式)”;仍然让学生小组合作交流,然后板演讲解。结果让我大吃一惊,学生的设计有易有难,有选择、填空,还有解答探索。整堂课课堂气氛异常活跃,学生踊跃发言,积极参与,争先恐后,高潮迭起。并且我把课堂全部还给了学生,给了他们充分的展示自己的时间和空间,体现了“一切为了每一位学生的发展”新课程理念。真正是“给学生一次机会,学生一定会还你一个惊喜”。在教学中还存在以下的遗憾与不足:时间安排不合理,前面基础知识复习的时间过长,有点“前松后紧”;忽略了学习困难生的学习参与,没有有意“关爱、照顾”;教师的“导学”与“补漏”还做的不足;课堂小结处理匆忙,没有达到回扣目标,“画龙点睛”的作用。再教学本节课时,充分发挥课前准备的时间,缩短基础知识复习的时间,为后面的学生自主探究提供更多的时间保障;要面向全体,关爱学习困难生,给他们一定的时间,使他们享受到学习的快乐;做好课堂总结,起到其概括回扣作用。相信用我的爱心,用我的智慧,用我的探索,用我的耕耘,给学生更多的探索学习的时间和空间,一定能优化我们的课堂,让课堂焕发活力,让学生找到自信,使学生愿学数学,学好数学,收获丰硕的数学成果。

数学教研组:陈登群

圆的切线的判定教学反思 篇5

课堂教学重在准备,做到有备而教,教而有思,思而有得。反思教学设计要坚持“以学定教”的精神,就要有较强的预见性。

一是能预测学生在学习某一教学内容时,可能会遇到哪些问题;

二是能设想出解决这些问题的策略和方法。

三是能按照学生的接受能力不同,编排梳理知识内容。

2、课中反思

课中反思是及时发现问题,并提出解决问题的方法,教师要有较强的调控应变能力,及时反思自己的教学行为、教学方法,采取有效的教学策略和措施,顺应学生的发展需要,这种反思能使教学高质高效地进行,这是教学反思的重要环节。主要反思以下几方面:

第一、对学生知识学习的反思。数学知识的学习采用问题来激发互动。

第二、对学生能力培养的反思。教师在对学生传授知识的同时,进行能力的培养是十分重要的,尤其要重视培养学生的实验观察、逻辑思维能力。

第三、对学生情感形成的反思,老师要用强烈情感语言创设情景,把情感传给学生,触动学生心灵,在数学知识构建中培养学生正确的世界观、人生观。

第四、多留意学生的生活经验,多举切合学生实际生活的例子说明问题,活跃课堂气氛。

3、课后反思

通过梳理与反思,特别要反思学生的意见,因学生意见是自己教学效果的反映,这也是教师对其教学进行反思的一个重要渠道。可以通过两种方式及时得到课堂反馈:

第一、在课后,及时了解部分学生在这节课中对知识的了解和掌握情况。

第二、通过课后练习题的形式,检测学生在本节课的知识掌握情况,及时得到反馈信息。

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