圆的切线方程公式证明

2024-10-27

圆的切线方程公式证明（精选5篇）

圆的切线方程公式证明篇1

已知:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)

直线CP的斜率:k1 =(y0a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx0²a)² +(y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a² + b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根据点斜式, 求得切线方程：

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x0²x0²Dx0/2a)² +(yMC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0b)²MC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)² +(y0 + E/2)²-((√(D²+E²-4F))/2)² ]

(半径:r=(√(D²+E²-4F))/ 2)

= √(x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)

圆的切线方程公式证明篇2

例题求经过点P2 (-1, -2) 且与圆x2+y2=1相切的切线方程并作图.

解1:利用过圆上一点的切线方程如图1, 设过点P2 (-1, -2) 的直线与圆x2+y2=1相切于P1 (x1, y1) , 根据过圆上一点求切线方程的公式, 得圆的切线方程为

x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2)

所以x1=-2y1-1 (2)

又因为点P1 (x1, y1) 在圆上

所以x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ =1 (3)

联立 (2) (3) 得

${\begin{cases} x_{1} = - 1, \\ y_{1} = 0; \end{cases} {\begin{cases} x_{2} = \frac{3}{5}, \\ y_{2} = - \frac{4}{5} . \end{cases}$

代入 (1) 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解2:利用勾股定理

设所求切线与已知圆相切于点P1 (x1, y1) , 因为圆的方程为x2+y2=1, 所以圆心O的坐标为 (0, 0) , 连接OP1、OP2, 则OP1⊥P2P1, 所以由勾股定理, 得OP $_{1}^{2}$ +P2P $_{1}^{2}$ =OP $_{2}^{2}$ , 即 (x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ ) + (x1+1) 2+ (y1+2) 2= (0+1) 2+ (0+2) 2, 所以x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ +x1+2y1=0 (1) 又因为点P1 (x1, y1) 在圆上, 所以x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ =1 (2) , 联立 (1) (2) 得

${\begin{cases} x_{1} = - 1 ‚ \\ y_{1} = 0; \end{cases} {\begin{cases} x_{2} = \frac{3}{5}, \\ y_{2} = - \frac{4}{5} . \end{cases}$

代入切线方程x1x+y1y=1中, 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解3:利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系.

设所求直线与圆相切于P1 (x1, y1) , 则 $k_{Ο Ρ_{1}} = \frac{y_{1}}{x_{1}}$ .因为OP1⊥P2P1, 所以 $k_{Ρ_{2} Ρ_{1}} = - \frac{1}{k_{Ο Ρ_{1}}} = - \frac{x_{1}}{y_{1}},$

所以切线的方程为 $y - y_{1} = - \frac{x_{1}}{y_{1}} (x - x_{1}) .$

因为过点P2 (-1, -2) , 所以代入上式得

x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ +x1+2y1=0 (1)

而 x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ =1 (2)

以下同解2.

解4:利用圆锥曲线切线的定义

设P (x1, y1) 是圆x2+y2=1上任意一点, 作割线P1Q交圆于另一点Q (x, y) , 则

$k_{Ρ_{1} Q} = \frac{y_{1} - y}{x_{1} - x} (1)$ , 又因为P1、Q两点都在圆上.

(2) - (3) 得 $\frac{y_{1} - y}{x_{1} - x} = - \frac{x_{1} + x}{y_{1} + y}$ 代入 (1) , 得 $k_{Ρ_{1} Q} = - \frac{x_{1} + x}{y_{1} + y}$ , 当Q与P1重合时, 即当x=x1, y=y1时, 割线的斜率kP1Q就变成过圆上一点P1 (x1, y1) 的切线的斜率k,

所以 $k = - \frac{x_{1} + x_{1}}{y_{1} + y_{1}} = - \frac{x_{1}}{y_{1}}$ .以下仿解3.

解5:利用点到直线的距离公式

设过点P2 (-1, -2) 且与圆x 2+y2=1相切的切线的斜率为k, 则所求切线方程为y+2=k (x+1) , 即kx-y+k-2=0.因为圆心O的坐标为 (0, 0) , 半径r=1, 所以由点到直线的距离公式, 得

$\frac{| k \cdot 0 - 0 + k - 2 |}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 1$ , 解得 $k = \frac{3}{4} .$

所以切线方程 $\frac{3}{4} x - y + \frac{3}{4} - 2 = 0$ , 即3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解6:利用斜率为k的圆的切线方程

因为圆的方程为x2+y2=1, 所以r=1, 故根据圆x2+y2=r2的切线方程

$y = k x \pm r \sqrt{1 + k^{2}},$

得 $y = k x \pm \sqrt{1 + k^{2}} . (1)$

因为P (-1, -2) 点在切线上,

所以 $- 2 = - k \pm \sqrt{1 + k^{2}} .$

解得 $k = \frac{3}{4}$ , 将k值代入 (1) 即得所求切线的方程为3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解7:利用切线与圆只有一个公共点的性质

设所求圆的切线方程为

y=kx+b

代入x2+y2=1中, 整理得

(k2+1) x2+2kbx+b2-1=0. (2)

因为直线和圆相切, 它们只有一个公共点, 所以方程 (2) 有两相等实数根, 所以Δ=0, 即 (2kb) 2-4 (k2+1) (b2-1) =0, 所以

k2-b2+1=0 (3)

又因为切线过P2 (-1, -2) 点, 所以由 (1) 得 k=b+2 (4)

解 (3) 、 (4) , 得 $b = - \frac{5}{4}, k = \frac{4}{3}$ 代入 (1) 得3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解8:利用参数方程

设所求切线的参数方程为

代入方程x2+y2=1中, 消去x、y, 整理得

t2-2 (cosθ+2sinθ) t+4=0.

因为直线和圆相切

所以Δ=4 (cosθ+2sinθ) 2-16=0,

即 (cosθ+2sinθ) 2=4.

因为cos2θ+4sinθcosθ+4sin2θ=4 (sin2θ+cos2θ) ,

所以cosθ (3cosθ-4cosθ) =0.

所以cosθ=0或3cosθ-4sin=0,

即 $\tan θ = \frac{3}{4} .$

因为θ∈ (0, π) ,

从 (1) 用代入法消去参数t得

(x+1) sinθ-ycosθ-2cosθ=0, (3)

将 (2) 中sinθ, cosθ的值代入 (3) 即得所求圆的切线方程为3y-4y-5=0和x=-1.

解9:利用两条直线重合的条件

设所求直线与圆相切于P (x1, y1) , 则切线方程为x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2) 和P1 (x, y1) , 所以根据两点式所求切线的方程可表示为

$\frac{y - y_{1}}{- 2 - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{- 1 - x_{1}},$

即 (2+y1) x- (1+x1) y+y1-2x1=0 (2)

因为 (1) 、 (2) 表示同一条直线, 所以根据两条直线重合的条件, 得

$\frac{x_{1}}{2 + y_{1}} = \frac{y_{1}}{- (1 + x_{1})} = \frac{- 1}{y_{1} - 2 x_{1}},$

解得

${\begin{cases} x_{1} = - 1, \\ y_{1} = 0 ； \end{cases} {\begin{cases} x_{2} = \frac{3}{5}, \\ y_{2} = \frac{4}{5} . \end{cases}$

代入 (1) 或 (2) 即得所求圆的切线方程同上.

解10:利用过圆外一定点的圆的切线方程

因为过定点 (x1, y1) 向圆x2+y2=r2引两条切线的方程为 (x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ -r2) · (x2+y2-r2) = (x1x+y1y-r2) 2 (推导省略)

所以过点P2 (-1, -2) 的圆x2+y2=1的切线方程为 (1+4-1) · (x2+y2-1) = (-x-2y-1) 2.

化简整理, 得

3x2-2 (2y+1) x- (4y+5) =0.

$\begin{array}{l} 所以 x = \frac{(2 y + 1) \pm 2 \sqrt{(y + 2)^{2}}}{3} \\ = \frac{(2 y + 1) \pm 2 (y + 2)}{3} . \end{array}$

所以 $x = - 1, x = \frac{4 y + 5}{3}$ 故所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

最后必须引起注意的是, 本题中的一条切线x=-1是和y轴平行的.由于一切平行于y轴的直线的斜率都是不存在的, 因而解5、解6、解7开始只求出一条切线方程3x-4y-5=0, 而另一条平行于y轴的切线x=-1就遗漏了.遇到这种情形时, 必须结合图形找到另一解, 切不可疏忽大意.

圆的切线证明技巧篇3

一、掌握切线的判定方法，理解切线的概念与特征

1.根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

理解上面的概念，必须抓住两点：①直线经过半径的外端；②直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。

二、如何证明一条直线是圆的切线，一般会出现以下几种情况

1.要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂直”。

例1：如图1，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°，求证：AE是⊙O的切线。

证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵∠B=60°，∴∠BAC=30°

∴∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

∵BA⊥AE垂足为A

∴AE是⊙O的切线

2.给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则要连接公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明，口诀是“连半径，证垂直”。

例2：如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连OC，弦AD//OC，求证CD是⊙O的切线。

证明：连OD

∵OC//AD，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COB=∠DOC

又∵OB=OD，OC=OC

∴△OBC≌△ODC，

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°

∵∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切线。

3.当直线与圆的公共点不明确时，过圆心作该直线的垂线，然后根据“直线与圆相切的定义”去证明，口诀是“作垂直，证相等”。

例3：如图3，已知OC平分∠AOB，点D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切。

证明：连DE，作DF⊥OB，垂足为F。

∵⊙D与OA相切于点E

∴DE是⊙D的半径，且DE⊥OA

∵OC平分∠AOB，DO在OC上，且DF⊥OB，DE⊥OA

∴DF=DE

∵DF是⊙D的半径

∴OB与⊙D相切

圆的切线教学反思篇4

我在教《九年级数学》下册“圆的切线”复习课时，是这样设计的：首先在黑板上画一个圆，要求学生：“在现有的图形中从添加一条切线、两条切线、三条切线„„，画出图形并说出相关的结论思考”；在独立完成的基础上小组内讨论汇总，不同组之间相互交流；然后有某组同学代表本组讲解本组的收获，其他小组补充；这样经过全体学生的共同努力，与切线有关的所有知识点都囊获其中。接着我让学生展开想象的翅膀，“用你的智慧和以前的学习经验，自己设计与切线有关的题目（可以是课本中或你做过的题目的变式）”；仍然让学生小组合作交流，然后板演讲解。结果让我大吃一惊，学生的设计有易有难，有选择、填空，还有解答探索。整堂课课堂气氛异常活跃，学生踊跃发言，积极参与，争先恐后，高潮迭起。并且我把课堂全部还给了学生，给了他们充分的展示自己的时间和空间，体现了“一切为了每一位学生的发展”新课程理念。真正是“给学生一次机会，学生一定会还你一个惊喜”。在教学中还存在以下的遗憾与不足：时间安排不合理，前面基础知识复习的时间过长，有点“前松后紧”；忽略了学习困难生的学习参与，没有有意“关爱、照顾”；教师的“导学”与“补漏”还做的不足；课堂小结处理匆忙，没有达到回扣目标，“画龙点睛”的作用。再教学本节课时，充分发挥课前准备的时间，缩短基础知识复习的时间，为后面的学生自主探究提供更多的时间保障；要面向全体，关爱学习困难生，给他们一定的时间，使他们享受到学习的快乐；做好课堂总结，起到其概括回扣作用。相信用我的爱心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，给学生更多的探索学习的时间和空间，一定能优化我们的课堂，让课堂焕发活力，让学生找到自信，使学生愿学数学，学好数学，收获丰硕的数学成果。

数学教研组：陈登群