预测方程

2024-10-15

预测方程（精选4篇）

预测方程篇1

0 引言

自动聚焦完成的优劣,是成像系统能否获得清晰图像的最关键一步。自动聚焦作为核心技术之一,是走向数字产品品牌化、自主化、加强市场竞争力的关键技术之一; 也是人类突破人眼自身生理局限,实现数字产品的智能化应用的关键技术之一。它的应用已经超越了传统的数码相机、元器件检验、医学成像、空间探测、显微成像,而且延伸到了安全防卫、远程医疗、机器视觉等领域[1,2]。动聚焦算法的改进是在分析传统峰值搜索算法和聚焦曲线特点的基础上进行的。将聚焦曲线附近的区域取名为聚焦区,将远离焦点的区域取名为散焦区。通过分析得知,聚焦曲线在散焦区和聚焦区分别呈现出各自的特点。本文采用TI的DM368 处理器的硬件实现的聚焦评价函数,在散焦区采用基于差分方程预测模型的峰值搜索算法预测峰值搜索的方向,在聚焦区采用单调性判断法搜索峰值对应的聚焦位置,实现了自动聚焦系统。通过实验表明,本文改进的算法有效地解决了视频质量反复变化、峰值搜索时间长和散焦区局部极值干扰的问题。

1 传统峰值搜索算法

峰值搜索算法是一个一维数列的极值最优化问题,是对深度优先搜索的一种改进。在自动聚焦算法中,峰值搜索算法的关键是对聚焦方向的控制,确保快速而准确地搜索到聚焦曲线的峰值,即聚焦位置。在自动聚焦领域,最常用到的峰值搜索算法有: 单调性判断法、斐波那契搜索算法、曲线拟合算法、盲人爬山算法等。

传统的单调性判断法是通过两个值比较来判断此时所处聚焦曲线的位置,从而寻找下一步的搜索方向。此方法适用于理想的没有局部最大值的曲线,抗干扰能力差,容易导致错误聚焦[3]。

盲人爬山算法是推动电机从负轴向正轴进行一次遍历,遍历结束后返回至聚焦评价函数输出的最大值对应的电机位置[4,5]。盲人爬山算法可以有效地消除局部最大值的干扰,在静态摄像机中可以达到聚焦效果。但是,在实际应用中,一次遍历需要消耗大量的聚焦时间,无法满足高清网络摄像机聚焦实时性的要求。

斐波那契搜索算法来源于斐波那契数列的概念。斐波那契搜索算法是通过缩小搜索区间的范围来搜索单峰曲线极点的[6]。但是,斐波那契搜索算法只是一种理论计算上的最优化单峰搜索算法,实际的应用中存在诸多的限制条件和缺点。

本文提出的峰值搜索算法是基于差分预测模型的峰值搜索算法与传统的单调性判断法相结合的方法。通过充分地分析聚焦曲线的特点,在聚焦区,聚焦值变化量大,聚焦曲线陡峭,单调性十分明显,不会出现局部最大值,采用传统的单调性判断法;在散焦区,聚焦值变化量小,聚焦曲线波动较大,局部极值现象普遍存在,采用差分方程预测模型的峰值搜索算法。

2 聚焦曲线特点分析

聚焦值和聚焦位置的关系称作聚焦值曲线。横轴表示聚焦位置,纵轴表示聚焦值,如图1 所示。

聚焦值曲线最大值对应的聚焦位置为焦点。远离焦点的区域为散焦区,焦点附近的区域为聚焦区。散焦区与聚焦区的判定: 判断聚焦值的变化量是否大于设定值,大于则认为进入聚焦区; 反之,进入散焦区。

通过分析可知聚焦曲线有如下的特点:

1) 在聚焦区,聚焦值曲线非常陡峭; 在散焦区,聚焦值曲线较为平坦。

2) 在散焦区,聚焦值曲线有明显波动,局部最大现象较为明显; 在聚焦区,聚焦值曲线波动较小,但是跨度较小。

根据图1 特点分析,设计峰值搜索算法: 在散焦区,采用基于差分方程预测模型的峰值搜索算法进行搜索方向的确定; 在聚焦区,采用单调性判断法进行峰值搜索。

3 差分方程预测模型

灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息,建立数学模型并做出预测预测的一种预测方法[7,8,9]。灰色预测模型是在假定生成序列满足微分方程的基础上进行的,而差分方程预测模型是在假定生成序列满足差分方程的基础上进行预测的。通过实验表明,使用差分方程的预测,预测曲线拐点出现的位置比灰色预测模型更加准确。

1)差分方程预测模型原理框图

GM(1,1)原理如图2所示。

此处,x( 0)代表原始的数据序列。AGO表示累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据。在建立差分方程预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列。经过累加生成弱化了原始时间序列的随机性,强化规律性,对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律。DDE( 2,1) 表示差分方程模型。IAGO表示累减生成,是累加生成的逆运算。累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO,累减生成可将累加生成还原为非生成数列。

2)差分方程模型的建立详细步骤

①获取n个原始数据序列

式中,x( 0)( n) 表示第n个原始数据。

② 运用AGO运算,得到累加生成序列

其中。

③ 建立差分方程预测模型

其中,a和b为差分方程待确定的系数,t为整数。

为了求得差分方程的系数,使用最小二乘法。差分方程可以表述为,方程可以表述为:

使p = 1,2,…,n - 1 ,可以得到方程:

可以使用线性最小二乘法,得到估值参数:

令x( 1)( p) = rp,求得其对应的特征方程:

解之可得:

3) 差分方程求解

根据特征根的不同情况,求解方程式( 3) 的解,求解过程如下:

① 若方程式( 3) 有两个互不相同的实根r1和r2,则其解为:

考虑到初始情况下p = 1,p = 2 时,可得到方程式( 9) 和方程式( 10) :

求解方程组式( 9) 和式( 10) ,可以得到常数C1和C2如下:

② 若方程式( 3) 有两个相同的实根,则其解为:

考虑到初始情况下p = 1,p = 2 时,可得到方程式( 12) 和方程式( 13) :

求解方程组式( 12) 和式( 13) ,可以得到常数C1和C2如下:

③ 若方程式( 3) 的根为复数,则其解为:

其中:

考虑到初始情况下p = 1,p = 2 时,可得到方程式( 15) 和方程式( 16) :

求解方程组式( 15) 和式( 16) ,可以得到常数C1和C2如下:

4 聚焦步长确定

若以恒定速度进行聚焦,则存在如下问题。若设定步长太大( 即控制镜头移动的时间太长) ,则会出现聚焦错误或找不到焦点。因为聚焦区的距离很短。若设定的步长太小,则会出现聚焦时间太长的问题[10]。分析聚焦曲线可知,步长的大小与聚焦值变化量应该成反比关系。

在散焦区采用大步长进行搜索,在聚焦区采用小步长进行搜索。在聚焦过程中,为了保证快速而准确地找到焦点对应的位置,需要实时的调整搜索步长。

在散焦区,使用较大步长,从而保证预测方向的准确性。搜索策略如图3 所示。

步长调整策略如下:

步骤一

设定初始步长为1,连续采样聚焦值三次,判断当前所在区域。若为散焦区,跳至步骤二; 若为聚焦区,使用爬山算法进行峰值搜索。

步骤二

增加步长为2,采集新的聚焦值,判断聚焦值的的变化量,确定当前所在区域。若为散焦区,使用差分方程预测模型预测搜索方向,跳至步骤三。若为聚焦区,使用最小步长的单调性判断法进行峰值搜索。

步骤三

增加步长为4,进行聚焦值的采集,判断当前区域并进行搜索方向的预测。若为聚焦区,改用最小步长进行峰值搜索。若为散焦区,继续采集聚焦值,进行下一步的判断。

在散焦区搜索峰值过程中,搜索步长不宜过长,否则有可能直接跨过聚焦区[11,12],也可能造成图像质量出现明显的反复变化。在聚焦区,使用较小步长进行搜索。这样既快速地找到焦点对应的位置,又能避免图像质量的明显变化。

5 实验结果分析

5. 1 硬件平台设计

本实验的硬件实验平台设计如图4所示。

信号转换模块:表示一个串口转485的信号转换电路。球机表示一台带有红外智能球型云台的高清网络摄像机。实验板代表基于TMS320DM368处理器的高清网络摄像机的实验板,主要功能是利用处理器的AF引擎作为聚焦评价函数的输出。

① 表示PC端应用软件的输出信号,用来控制红外智能球型云台。② 表示信号转化模块的输出信号,用来控制红外智能型云台。③ 表示红外智能球型云台视频输出的视频信号。④表示PC向基于TMS320DM368 处理器的高清网络摄像机的实验板发出的控制命令信号。⑤ 表示基于TMS320DM368 处理器的高清网络摄像机的实验板向PC端发送的信息。

5. 2 应用软件设计

应用软件: 使用Microsoft Visual C#语言编写,采集网口的数据进行运算,根据运算结果发送聚焦命令,最终通过RS232 接口控制红外智能球型云台。软件界面如图5 所示。

差分方程预测模型: 使用Matlab R2011a实现,然后通过Matlab Deploy Tool生成COM组建,供应用应用程序调用。聚焦控制命令: 基于派尔高-D协议。云台左转向和云台右转向控件,用来控制云台的转动方向,主要用来变换场景。聚焦速度慢、中和快控件,分别用来设置聚焦的速度。停止取数和接受数据分别表示将web页面取来的数据保存至txt文档中,供后台的分析和应用。聚焦近和聚焦远表示发送聚焦命令,手动控制聚焦的方向。自动聚焦控件用来触发自动聚焦。

5. 3 散焦区实验结果分析

在聚焦调节过程中,采用GM( 1,1) 模型的搜索算法可以准确地确定聚焦的方向,最终能快速地找到聚焦区。

聚焦步长为4,聚焦位置为{ 1,5,9,13,17,21,25,29} ,采集到的聚焦值为聚焦值分别为{ 24 810 403,24 811 703,25 155 444,25 227 081,25 281 798,25 669 023,25 668 664,26 440 896} 。散焦区聚焦采样如图6“* ”所示。

选取{ 24 810 403,24 810 703,25 155 444,25 227 081} 为初始值,初始方向为远,进行GM( 1.1) 模型试验。实验结果如表1 所示。

如表1 所示,在远方向的聚焦过程中,采用步长为4 的搜索,预测的聚焦方向都为远,可以保证准确地搜索到聚焦区。由后验差比值C和小误差概率分析可知,预测精度等级都达到了优秀级别。使用传统的爬山算法,则会受到25 669 023 点处局部最大值的影响。

通过较大量实验证明,GM( 1,1) 模型进行的方向预测的准确率可达90% 以上,而极限预测的时间不超过19. 1 ms,小于相邻两帧的间隔时间33. 3 ms,从而保证了聚焦的速度。

5. 4 聚焦区实验结果分析

在聚焦区,聚焦曲线非常地陡峭,在聚焦位置为{ 29,30,31,32,33,34 } 处,对应的聚焦值分别为{ 26 440 896,27 540 896,28 870 830,30 824 367,35 107 979,33 124 367} 。聚焦区聚焦采样如图5“o”所示。

在聚焦区,聚焦值的单调性很明显。使用小步长的爬山算法,能快速地找到峰值,从而聚焦成功。同时,可以避免图像质量的反复变化。

此外,聚焦过程中计算量很小。在此过程中容易受场景变化的影响,使用退回检测最大值的方法有效地消除了干扰。

6 结语

通过大量实验,TMS320DM368 的AF引擎计算出每帧聚焦值的平均时间为0. 95 ms,而相同实验环境下,取1000 帧视频,灰度方差函数平均需要81 ms,梯度函数平均需要101 ms。随着百万像素摄像机的普及,采用硬件实现的AF引擎将是不可扭转的趋势。

聚焦评价函数与峰值搜索算法平均总耗时为19. 2 ms,最大耗时为20. 2 ms,小于相邻两帧的时间33. 3 ms。满足聚焦实时性的要求。GM( 1,1) 模型很好解决了爬山算法局部最大值干扰的问题。提高了聚焦的准确性。

实验表明,本文改进的自动聚焦算法具有更好的准确性和实时性。

参考文献

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[12]Sai,Dongchen,Homer H.Autofocus method:America,8254774[P].2012-08-28.

预测方程篇2

灰色预测原理主要是假定时间序列x (0) 它的生成列x (1) 构成的动态系统其状态方程用微分方程表示 $\frac{d x_{t}^{(1)}}{d t} = f (t, u, x_{t}^{(1)}) (u$ 为参数) , 如果能求出此微分方程的解x (1) t, 则在一定范围内利用此解进行预测。但在实际问题中, 所得到的微分方程往往含有未知数, 因此首先要估计出参数才能求解并预测, 参数估计是建立灰色预测模型的核心。参数估计的方法[1,2,3,4]较多, 但有时模型预测结果较差。一般是将微分方程应用差分方程代替, 得到易于估计参数的线性方程, 以此来估计参数[5,6,7]。这里我们给出一种新的思想, 将微分方程化为积分求解, 将已知的观测值看作是微分方程在积分后在不同结点 (时间) 处的近似解, 利用微分方程数值解法推算公式[8,9,10], 使用最小二乘法原理, 让其局部截断误差的平方和最小来估计未知参数, 建立灰色预测模型。

这里主要讨论GM (1, 1) 模型, 其它模型相仿。设原始序列x (0) = (x (0) 1, x (0) 2, …, x (0) N) 作累加 $x_{t}^{(1)} = \sum_{i = 1}^{t} x_{i}^{(0)} (t = 1, 2, \dots, Ν)$ , 若累加后的序列x (1) = (x (1) 1, x (1) 2, …, x (1) N) 满足动态微分方程

$\frac{d x_{t}^{(1)}}{d t} + a x_{t}^{(1)} = b$

时间序列响应函数为 $\hat{x}_{t}^{(1)} = (x_{1}^{(1)} - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a}$ , 进而得原序列预测值

$\hat{x}_{t}^{(0)} = \hat{x}_{t}^{(1)} - \hat{x}_{t - 1}^{(1)}$

模型预测误差的大小主要取决于参数u= (a, b) 的估计, 下面给出基于微分方程数值解的参数估计方法, 进而建立灰色预测模型。

2 利用微分方程数值解梯形公式建立灰色预测模型

设微分方程

$\frac{d x}{d t} = f (t, u, x)$

其数值解就是求x (t) 在一系列节点上的近似解, 一般采用等距节点tj=t0+jh (h为两节点间距离) , 有

$\begin{array}{l} x (t_{i + 1}) \\ = x (t_{i}) + \frac{h}{2} [f (t_{i}, u, x (t_{i})) + f (t_{i + 1}, u, x (t_{i + 1}))] + R_{i + 1}^{(1)} \end{array}$

式中

$\begin{array}{l} R_{i + 1}^{(1)} = - \frac{h^{3}}{12} \cdot \frac{d^{2} f (t, u, x (t))}{d t^{2}} |_{t = ξ_{i}} = - \frac{1}{12} x^{(3)} (ξ_{i}) h^{3} \\ (t_{i} < ξ_{i} < t_{i + 1}) \end{array}$

设x (ti) 的观测值为xi, 用xi, xi+1分别代替x (ti) , x (ti+1) , 新产生的误差记为E (1) i+1, 得

$x_{i + 1} = x_{i} + \frac{h}{2} [f (t_{i}, u, x_{i}) + f (t_{i + 1}, u, x_{i + 1})] + E_{i + 1}^{(1)}$

对灰色GM (1, 1) 模型 $\frac{d x_{t}^{(1)}}{d t} + a x_{t}^{(1)} = b ‚ f (t, u, x) = - a x_{t}^{(1)} + b$ 在等距节点采样, 且h=ti+1-ti=1, 上式为

$x_{i + 1}^{(1)} = x_{i}^{(1)} + \frac{1}{2} (- a x_{t}^{(1)} + b - a x_{t + 1}^{(1)} + b) + E_{i + 1}^{(1)}$

即

$x_{i + 1}^{(1)} - x_{i}^{(1)} = - \frac{1}{2} (x_{t}^{(1)} + x_{t + 1}^{(1)}) a + b + E_{i + 1}^{(1)}$

显然x (0) i+1=x (1) i+1-x (1) i, 由最小二乘法, 令 $\sum_{i = 1}^{Ν - 1} (E_{i + 1}^{(1)})^{2}$ 有最小值, 得

$u = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y$

其中,

$B = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} (x_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)}) & 1 \\ - \frac{1}{2} (x_{2}^{(1)} + x_{3}^{(1)}) & 1 \\ \dots & \dots \\ - \frac{1}{2} (x_{Ν - 1}^{(1)} + x_{Ν}^{(1)}) & 1 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} x_{2}^{(0)} \\ x_{3}^{(0)} \\ \dots \\ x_{Ν}^{(0)} \end{matrix})$

。

可以看出这与一般的灰色建模方法[11,12]一致。

3 利用微分方程数值解龙格-库塔公式建立灰色预测模型

设微分方程

$\frac{d x}{d t} = f (t, u, x)$

这里给出二阶龙格-库塔公式, 其它龙格-库塔公式相仿。

$(\begin{array}{l} x_{i + 1} = x_{i} + h k_{2} + E_{i + 1}^{(2)} \\ k_{1} = f (t_{i}, u, x_{i}) \\ k_{2} = f (t_{i + \frac{1}{2}}, x_{i} + \frac{h}{2} k_{1}) \end{array}$

其中, E (2) i+1为误差项。

对灰色GM (1, 1) 模型 $\frac{d x_{t}^{(1)}}{d t} + a x_{t}^{(1)} = b ‚ f (t, u, x) = - a x_{t}^{(1)} + b$ 在等距节点采样, 且h=ti+1-ti=1, 上式为

$x_{i + 1}^{(1)} = x_{i}^{(1)} - a [x_{i}^{(1)} + \frac{1}{2} (- a x_{i}^{(1)} + b)] + b$

即

$x_{i + 1}^{(1)} = x_{i}^{(1)} + (- a + \frac{1}{2} a^{2}) x_{i}^{(1)} - \frac{1}{2} a b + b + E_{i + 1}^{(2)}$

因x (0) i+1=x (1) i+1-x (1) i, 由最小二乘法, 令 $\sum_{i = 1}^{Ν - 1} (E_{i + 1}^{(2)})^{2}$ 有最小值, 得

$(\begin{array}{l} - a + \frac{1}{2} a^{2} \\ - \frac{1}{2} a b + b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y$

其中,

$B = (\begin{matrix} x_{1}^{(1)} & 1 \\ x_{2}^{(1)} & 1 \\ \dots & \dots \\ x_{Ν - 1}^{(1)} & 1 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} x_{2}^{(0)} \\ x_{3}^{(0)} \\ \dots \\ x_{Ν}^{(0)} \end{matrix})$

4 利用微分方程数值解线性多步法公式建立灰色预测模型

线性多步法的一般形式为

$x_{i + k} = - \sum_{j = 0}^{k - 1} α_{j} x_{n + j} + h \sum_{j = 0}^{k} β_{j} f (t_{n + j}, u, x_{n + j}) + E_{i + 1}^{(3)}$

式中, αj, βj (j=0, 1, …, k) 都是实常数, E (3) i+1为误差项。

这里给出应用十分广泛的线性三步阿达姆斯内插公式

$\begin{array}{l} x_{i + 1} \\ = x_{i} + \frac{h}{24} [f (t_{i - 2}, u, x_{i - 2}) - 5 f (t_{i - 1}, u, x_{i - 1}) \\ + 19 f (t_{i}, u, x_{i}) + 9 f (t_{i + 1}, u, x_{i + 1})] + E_{i + 1}^{(3)} \end{array}$

对灰色GM (1, 1) 模型 $\frac{d x_{t}^{(1)}}{d t} + a x_{t}^{(1)} = b ‚ f (t, u, x) = - a x_{t}^{(1)} + b$ 在等距节点采样, 且h=ti+1-ti=1, 上式为

$\begin{array}{l} x_{i + 1}^{(1)} \\ = x_{i}^{(1)} - \frac{1}{24} (x_{i - 2}^{(1)} - 5 x_{i - 1}^{(1)} + 19 x_{i}^{(1)} + 9 x_{i | + 1}^{(1)}) a + b + E_{i + 1}^{(3)} \end{array}$

即

$\begin{array}{l} x_{i + 1}^{(0)} \\ = - \frac{1}{24} (x_{i - 2}^{(1)} - 5 x_{i - 1}^{(1)} + 19 x_{i}^{(1)} + 9 x_{i | + 1}^{(1)}) a + b + E_{i + 1}^{(3)} \end{array}$

由最小二乘法, 令 $\sum_{i = 1}^{Ν - 1} (E_{i + 1}^{(3)})^{2}$ 有最小值, 得

$u = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y$

其中,

$B = (\begin{matrix} - \frac{1}{24} (x_{1}^{(1)} - 5 x_{2}^{(1)} + 19 x_{3}^{(1)} + 9 x_{4}^{(1)}) & 1 \\ - \frac{1}{24} (x_{2}^{(1)} - 5 x_{3}^{(1)} + 19 x_{4}^{(1)} + 9 x_{5}^{(1)}) & 1 \\ \dots & \dots \\ - \frac{1}{24} (x_{Ν - 3}^{(1)} - 5 x_{Ν - 2}^{(1)} + 19 x_{Ν - 1}^{(1)} + 9 x_{Ν}^{(1)}) & 1 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} x_{4}^{(0)} \\ x_{5}^{(0)} \\ \dots \\ x_{Ν}^{(0)} \end{matrix})$

。

5 中国人均GDP灰色预测实证分析

这里给出我国人均GDP (单位:元) 的灰色预测建模实例, 资料来源《中国统计摘要2011》, 见表1。

这里使用龙格-库塔公式建立灰色预测模型。由

$x_{i + 1}^{(0)} = (- a + \frac{1}{2} a^{2}) x_{i}^{(1)} - \frac{1}{2} a b + b + E_{i + 1}^{(2)}$

线性回归得

$(\begin{array}{l} - a + \frac{1}{2} a^{2} = 0.1559 \\ - \frac{1}{2} a b + b = 6955.6895 \end{array}$

统计检验量R2=0.9931, F=1150.8343, P=6.2278×10-10, 算得a=-0.1453, b=6484.4948, 可见统计检验量均显著, 于是

$\begin{array}{l} \hat{x}_{t}^{(1)} \\ = (x_{1}^{(1)} - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a} \\ = 52477.1069 e^{0.1453 (t - 1)} - 44619.1069 \end{array}$

原序列预测值

$\hat{x}_{t}^{(0)} = \hat{x}_{t}^{(1)} - \hat{x}_{t - 1}^{(1)}$

结果见表1。

计算得相对误差绝对值的平均值

$Μ A Ρ E = \frac{1}{Ν} \sum_{t = 1}^{Ν} | \frac{Y_{t} - \hat{Y}_{t}}{Y_{t}} | = 2.7733 %$

可以看出误差很小。

参考文献

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预测方程篇3

关键词：资源性商品投资,投资风险,价格预测

1 引言

近年来, 全球经济发生了很多显著的变化, 其中包括全球资源性商品价格的大幅度上升和剧烈波动。随着我国经济的快速发展, 市场化进程的加快, 大宗商品尤其是资源性商品价格波动剧烈, 我国原有的期货品种已经无法适应市场的要求, 迫切地需要增加新的期货品种。我国经济增速放缓已是一个不争的事实。在股市低迷时, 资源性商品将是对冲风险的一个重要工具。

2011年以后的数十年, 将是资源性商品投资的黄金时期, 在需求增加和经济增长的过程中, 资源性商品价格增长必将影响未来全球的工农业生产, 人文生存理念, 科技创新等, 在这样的情况下, 投资者在财富分配的时候可以适当关注资源性商品投资, 以取得更高的投资回报。

2 资源性商品价格短期波动预测模型

2.1 实例分析资源性商品投资风险的衡量方法

(1) 棉花的投资预测投资风险模型的测算。

选取2012年7月6日到8月24日的棉花的价格作为数据 (以周记) 计算其样本标准差。我们通过和讯期货网 (http://quote.futures.hexun.com/CF1301.shtml) 收集棉花最近价格数据如表1所示。

数据来源:和讯期货。

利用公式:undefined (样本标准差) undefined

计算棉花期货收益的标准差, 先计算出周收益率, 再计算标准差。根据上述数据, 计算得出的棉花周收益率和标准差分别如表2所示。

数据来源:和讯期货。

(2) 计算结果。

由上表2可知, 棉花的周连续收益率, 分别为:0.0087946197、0.0053846153、-0.005355776、-0.017435897、-0.003131524、0.0094240837、0.0103734439。棉花收益的标准差为:0.0102956034。由此可以看出棉花期货的收益率波动很大, 而且其收益率大多在其标准差之下波动, 实际收益率与预期收益率相差非常大。由此可知棉花期货投资报酬率的波动程度越大, 其实际报酬率越不等于预期报酬率, 亦即棉花期货投资的风险极高。所以我们很有必要对资源性商品的价格进行科学的预测, 这有利于我们更好的把握投资的风险。

2.2 资源性商品价格短期波动预测理论基础

2.2.1 动态控制方程或递推公式

下面对资源性商品投资的常规情形作短期简化的动态预测, 所谓的常规情形, 是指在无政治、政策、利好、利空、等消息影响的前提下, 投资人可以参考的资源性商品价格变化。

模型假设:

(1) 量的关系用线性规律, 买卖用相反的规律;

(2) 模型主要考虑价格和价格变化率的影响;

(3) 即使的行情对买入和卖出起主要的作用。

综合上面的假定, 用公式量化地表达为:

undefined (1)

undefined (2)

其中, 下标p, s分别代表买入和卖出;Ap和As分别代表时刻为t+Δt的股价位v的买入和卖出的量;undefined表示时刻为t时股价位的变化率。p1, p2和s1, s2分别为买入和卖出的待定系数。

将时间离散化, 取Δt=1, 用下标 (1, 2, …) 时间序列来表示, 则式写为:

undefined (3)

undefined (4)

按离散化自编函数的变化率的定义, 有undefined。

取Δt=1有:undefined

另一方面按照价位的变动全由供求差来决定的假设, 可得:

vn+1-vn=c×[Apn-Asn] (6)

其中c为系数, 使式 (6) 左右两边的量纲相等, 由式 (3) ——式 (6) , 得:

undefined (7)

其中,

fn-1=p1vundefined-s1vn-1, k=s2+p2 (8)

式 (7) 又可改写为:

vn+1=vn+ckvn-1+cfn-1-ckvn-2 (9)

若A表示成交量, 按定义:

An=A (t) =min[Apn, Asn] (10)

将式 (3) ～式 (5) 代入式 (10) , 得:

An+1=[p1vundefined+p2 (vn-vn-1) ]∧

[s1vn-s2 (vn-vn-1) ] (11)

其中, “∧”为逻辑运算符, 代表或中取最小, 如a∧b表示a或b中取最小者。

式 (9) , 式 (11) 称为动态控制方程或递推方程, 一旦系数c, p1, p2, s1, s2确定, 就可以递推出vn+1, An+1。

2.2.2 系数c, p1, p2, s1, s2的测定

这5个系数一般由5个方程来定, 由5个方程来确定5个系数的解不唯一, 而且也不一定和5个方程以外的数据相容。不过, 根据最近时原理, 只取和现时最接近的时间内那些行情记录的数据来确定系数。

预测未来的股价vn+1是主要目标。成交量An+1的预测并不重要。单从式 (9) 和一系列的股价记录 (vn, vn-1, …) 可建立5个方程来确定这5个系数。只是这种没有直接反映成交量的影响可能不够准确, 因此, 建立5个方程时, 也少量的利用成交量的资料。

由式 (9) 得:

undefined (12)

其中:

Δvn=vn+1-vn, Δvn-2=vn-1-vn-2 (13)

式 (12) 的c适合于任何的n。取n-1代替n代入式 (12) , 并将式 (8) 代入整理得:

p1an+s1bn=kUn (14)

其中:

an=Δvn-1vundefined-Δvnvundefined

bn=Δvnvn-2-Δvn-1vn-1

-Un=ΔvnΔvn-3-Δvn-1Δvn-2 (15)

同样, 式 (14) 适合于任何n。取n-1代替n, 得:

p1an-1+s1bn-1=kUn-1 (16)

联解式 (14) , 式 (16) , 得:

undefined

其中:

cn=anbn-1-an-1bn (18)

再利用成交量的数据得出补充方程, 定出k。由于式 (11) 带有逻辑运算符∧。有可能取∧之左或右, 因此需要比较∧两边谁最小。

由式 (11) 得:

An=[p1vundefined+p2Δvn-2]∧

[s1vn-1-s2Δvn-2] (19)

An-1=[p1vundefined+p2Δvn-3]∧

[s1vn-2-s2Δvn-3] (20)

若Δvn-1≥0, 由式 (6) 知, As (n-1) 最小, 于是式 (19) 变成

An=Asn=s1vn-1-s2Δvn-2 (21)

若An, 则Ap (n-1) 最小, 式 (19) 为:

undefined

若Δvn-2≥0, 则式 (20) 为:

An-1=s1vn-2-s2Δvn-3 (23)

若Δvn-3≤0, 则式 (20) 为 :

An-1=p1vundefined+p2Δvn-3 (24)

对于Δvn-1和Δvn-2的值, 有4种组合:

(1) Δvn-1≤0和Δvn-2≤0, 得式 (22) , 联解得:

undefined

(2) Δvn-1≤0及Δvn-2≥0, 得式 (22) 及式 (23) 。将Δvn-3乘式 (22) , 减去Δvn-2乘式 (23) 得:

undefined

(3) Δvn-1≥0及Δvn-2≤0, 得式 (21) 及式 (24) , 将Δvn-2乘式 (24) 减去Δvn-3乘式 (21) , 得:

undefined

(4) Δvn-1≥0≥0及Δvn-2≥0, 得式 (21) 及式 (23) , 解得:

undefined (28)

undefined (29)

至此, 利用成交量An-1和An的补充式 (25) ～式 (29) 的4种组合的任一种的补充方程, 和式 (17) 和式 (18) 联解, 即可确定所有的系数。

3 实例预测短期的棉花价格

下面利用棉花的期货价格预测短期内棉花的价格波动。我们以2012年08月23日到2012年08月30日的棉花期货

收市价作为当天的期货价。棉花期货收市价如表3所示:

数据来源:和讯期货。

解:首先取2012年08月31日的期货价为vn, 成交量An。根据表3可列出:vn=19540, vn-1=19460, vn-2=19365, vn-3=19335, vn-4=19455, vn-5=19590, An=87516, An-1=137376, An-2=80320。

由上述已知条件计算:

vn+1=vn+c (fn-1+kΔvn-2) =19567.8154

由此可预测出2012年08月31日的棉花期货价为:19567.8154元/吨。

由历史数据, 根据递推公式的方法预测出2012年08月31日棉花的期货价为:19567.8154元/吨。根据得出的数据, 投资者就可以对棉花期货进行有效的投资管理和优化, 从而做出合适的投资决策。实际上, 2012年09月03日棉花的期货收盘价为19525元/吨。

4 研究结果

从上面的资源性商品投资预测模型可以看出, 目前, 我国的资源性商品投资尚处于起始阶段, 资源性商品价格波动大, 市场还有待完善。对投资者来说, 风险控制尤其重要。投资者衡量投资风险的目的在于了解风险的严重程度, 以便采用有效的管理方法将其控制在投资者可以承受的限度以内。如不能有效地控制风险, 投资者就会遭受损失, 而良好的风险控制则是确保投资者获利的基本保证, 二者其实是同一个问题的两个方面。通过资源性商品价格的预测模型, 投资者可以大致预测资源性商品的价格趋势, 控制资源性商品投资的风险, 确保在自己可以承受的范围之内。

根据递推公式, 资源性商品期货的连续6天的期货价格可以用来预测下一天的期货价格, 递推公式严谨合理, 其结果也初步符合预测的结果, 可预测值可进行参考价值。

参考文献

[1]朱民, 马欣.新世纪的全球资源商品市场——价格飙升、波动、周期和趋势[J].国际经济评论, 2006, (11/12) .

[2]唐衍伟.期货价差套利[M].北京:经济科学出版社, 2006.

[3]肖磊.全球经济主导下的商品投资策略[J].中国信用卡生活, 2009, (12) .

[4]庚建设, 云天铨, 郭志明.计算证券理论[M].北京:科学出版社, 2008.

[5]弗兰克·H, 奈特.风险、不确定性和利润[M].安佳译.北京:商务印书馆, 2006.

预测方程篇4

力求建立变形量与变形因子之间的数学模型,对建筑物变形或变形发展趋势进行尽早准确的预测,是变形测量追求和探索的目标。

建立数学模型预测建筑物的变形量,相关规定要求有不少于10个周期的观测数据,待积累满足要求的数据后建立数学模型觉得滞后,有的建筑物因在整个建筑期内的观测周期达不到规定要求而不能建立数学模型,因此不能尽早或不能提供预测数据来完全满足工程需要,也在一定程度上损失了沉降观测成果的使用价值。

与土建施工有关的变形测量中,沉降观测仍然是重要的监测手段。为尽早取得预测数据,本文提出仅依靠少量观测数据,以楼层数和累计平均沉降观测值,在线性相关条件下建立一元线性回归方程(荷载与变形关系的数学模型),得出观测点预测累计平均沉降量,再计算观测点累计沉降赋值的方法,在几例工程的应用中得到验证,取得满意结果,也提高了观测成果的尽早使用价值。本文探讨了这种方法的可靠性、实用性、外在条件。

1 理论应用与验证的思路

利用已有的回归理论建立的方程,能否合理成立和应用,主要取决于所用的少量观测数据的样本代表性,本文检验的方法是必须先通过概率与统计理论中的相关检验,再通过实际观测数据来更好验证方程的可靠性与合理性。在几例完成的高层建筑物沉降观测尚未达到要求观测周期的1/3时,建立一元线性回归方程后,方程的相关检验获得通过,累计平均沉降预测值和观测点累计沉降的赋值,均与实测值进行了对比,也得到满意结果,仅增加一次观测值,预测值的精度得到大幅提高。下面以一个工程的数据为例。

2 数据来源与测量精度

对1栋27层(含2层地下室)施工中的高层建筑物进行沉降观测,地层条件为软土和粘土,天然地基,局部复合地基,独立基础与阀板基础。观测点设在墙柱上,基准网为一等水准。每次观测以固定水准路线,将固定的已知水准点和所有沉降观测点构成2个结点的二等水准结点网。观测后的平差计算结果为大多数沉降观测点的高程中误差mh≤±0.1mm,极少点的高程中误差在±0.1~±0.2 mm之间。观测数据见表1(实测累计沉降数据)。

3 回归方程的建立与检验、预测值的赋值计算及实测值的比较[1]

主要公式:

xi=楼层数,,yi=实测累计沉降值,y珋i=实测累计沉降平均值,珔Yi=最后一次实测累计沉降平均值,y′i=预测累计沉降平均值,y″i=观测点累计沉降赋值,μi=预测累计总沉降值,n=沉降观测次数,N=沉降观测点数。

3.1 回归方程的计算

取表1中前3次实测沉降数据的平均值建立回归方程,相关计算见表2(回归计算)。

根据式(1)计算得回归方程为:y′i=0.598647-0.221767*xi(方程1),依此方程计算xi=3、xi=7、xi=16、xi=21、xi=27时得:y′3=-0.0666、y′7=-0.9537、y′16=-2.9496、y′21=-4.0585、y′27=-5.3891,对比表1中的前3次实测值,残差(y′i-y珋i)分别为:0.0666、-0.0963、0.0296,残差和仅为-0.009,忽略不计。

3.2 回归方程相关检验

(1)相关系数检验

R2=SSR/SS总,R=0.9983,R>R0.05(0.998>0.997),自变量x与因变量y之间线性相关且密切。

(2)t检验

t(0.025,1),(即17.29>12.71)。t检验通过,自变量x与因变量y线性关系密切。

(3)F检验

(4)预测区间估计

xi=21、y′21=-4.0585、xi=27、y′27=-5.3891为例。

1)大样本统计条件下:

按大样本统计条件下的3α原则,预测区间计算结果见表3(预测区间计算)。2)小样本统计条件下

x0=21时,预测区间为-5.74~-2.38之间,实测值-4.3在预测区间;x0=27时,预测区间为-3.71~-7.06之间,实测值-5.65在预测区间。

计算结果看出,预测值满足小样本统计条件下的预测区间,且满足大样本统计条件下的预测区间。

3.3 预测累计总沉降值计算及比较

根据方程1和式(2)计算出的值对比如下:

当xi=21时,预测累计总沉降值(μ21)=-4.06*10=-40.6,实测累计总沉降值=-43.0;当xi=27时,预测累计总沉降值(μ27)=-5.39*10=-53.9,实测累计总沉降值=-56.5。

4 累计沉降值的赋值计算及比较

依据方程1计算出的为观测点预测累计平均沉降值,各观测点的累计沉降值并不相同,为求出各个观测点的预测累计沉降值,根据各个观测点已有的最后一次实测累计沉降量的大小,进行观测点累计沉降赋值(按式(3)计算)。

按表1中计算的珔Y16=-2.92,y′21=-4.06(方程1计算)、y′27=-5.39(方程1计算),按照式(3)赋值后,各个观测点预测累计沉降赋值(y″i)与各个观测点的实测累计沉降值(yi)比较于表4(赋值计算)。如B0点的第21层的赋值=-4.06/-2.92*(-3.6)=-5.0 mm、第27层的赋值-5.39/-2.92*(-3.6)=-6.6mm。

5 增加样本数的方程计算结果比较

当增加一次样本,即取表1中前4次实际观测值,按照式(1)计算出的回归方程为:y′i=0.66774-0.23279*xi(方程2),xi=27时,累计平均沉降值y′i=-5.62。

方程1与方程2分别计算的预测累计平均沉降值与比较见表5(预测累计平均沉降值比较)。从表5可以看出,仅增加一次样本数后,计算的预测累计平均沉降值与实测累计平均沉降值之差由0.26减小到仅为0.03,预测值准确度得到大幅度的提高。

6 预测值的精度评定

从表4中对比可以看出,经计算后点的累计沉降赋值,特别是沉降值大的点,累计沉降赋值更接近实测值。为对观测点累计沉降赋值前后的预测值精度进行评价比较,不妨将实测累计沉降值作为真值,将预测累计平均沉降值与计算后的累计沉降赋值分别视为观测值,按照中误差m分别评定。仅以方程1为例,计算与分别评定结果见表6(中误差计算)。从表6中对比可以看出,经赋值后21层的中误差由±0.96mm减小为±0.43mm、27层的中误差由±1.17 mm减小为±0.65 mm,都只约为未经赋值前的中误差的1/2。如以方程2计算,中误差的精度会更高。

备注:表6中Δ′21=y′21-y21,Δ″21=y″21-y21;Δ′27=y′27-y27,Δ″27=y″27-y27

7 初次观测前的沉降数据

由于一些特殊的原因,未能及时取得建筑物的初期(0层)沉降数据,初次观测前的沉降数据已不能通过实际观测取得了。通过建立的回归方程,在自变量的适用范围内,可以计算出初次观测前的沉降数据。作为一种在不得已情况下而采取的数据弥补手段,这种计算的数据是“回忆”性的沉降数据。

根据方程1计算,当xi=0时,y′i=0.6,表示在初次观测(xi=3)时建筑物已沉降了-0.6 mm,平均楼层的沉降为-0.6mm/3=-0.20mm。而实测后的平均楼层的沉降为-5.6mm/27=-0.21mm。

地基开挖或清基时,会不同程度扰动地基与建筑物基础交接面的表土层。建筑物的初期沉降包括受到这种扰动后的表土,在承受荷载后被重新压缩而产生的沉降,这种沉降应大于未被扰动土的沉降,尽管这时的建筑物高度只有3层,荷载较轻,但产生的平均沉降仍然接近初次观测后的平均沉降,说明回归方程是符合客观实际的,有一定的可信度和参考价值。

8 误差原因分析

从计算与实测的结果对比看出,回归方程预测值与实测值不完全吻合,原因主要与下列因数有关:(1)样本的代表性;(2)测量精度;(3)方程的合理性。

9 结果的探讨

上述结果可以看出,具备一定前提条件(与方程预测值适宜的数据测量精度、合理的点位布置、变量的正确统计等)的沉降测量,在线性相关的条件下尽早建立回归方程后,回归方程的检验能获得通过,预测值与实测值比较有较好的吻合。在对其它3例高层建筑的测量中,均取得较满意结果,探讨如下。

(1)实用性

以楼层数(或荷载量)为自变量、累计平均沉降量为因变量,简化了变量因子,数据来自于所有观测点,样本有一定的代表性,建立的回归方程,预测值有一定的可靠性和参考作用。

(2)回归方程的合理性

解算出的回归方程,除应在相应检验中获得通过外,还应判断其是否合乎实际状况。一般正常情况下方程中a≥0,如果a<0时应慎重使用该方程,分析数据是否存在粗差,或观测精度不够等原因需要剔除。

(3)修正回归方程的重要性

合格样本越多,方程预测值的准确度越高。建立回归方程计算出预测值后,每再完成一次观测,方程中应纳入新完成的实测值,修正回归方程后再计算预测值,逐步提高回归方程预测值准确度,在xi远离x珋时有明显效果。

(4)合理的预测对象

预测对象宜为基础独立的单位建筑物。当预测预测对象为多个单位建筑物时,宜分别建立回归数学模型。

(5)自变量的确定

引起楼房正常沉降的主要原因是建筑物荷载增加后,引起地基土层的压缩变形。以荷载量为自变量时,具有准确合理的优点,但统计较复杂。以单层结构一致的楼层为自变量,有简单的优点和较好的合理性,以楼层为自变量时宜精确到一位小数。当单层结构不一致时,以荷载量作自变量为好。也可用设计数据互相予以换算为楼层数或荷载量。

(6)必要的观测精度

沉降点观测精度,无疑直接影响回归方程的合理性和预测值的准确度。一个完整的观测周期,宜在建筑物荷载固定的状态下连续观测完成。

(7)合理的观测起始时间与周期

变形观测应与施工同步,及时取得变形数据,尽早建立回归方程。当监测对象的预测值或实测值出现异常,或接近设计允许值时,应缩短观测间隔时间,增加观测次数,分析原因。

(8)合理布置的变形观测点

布设的变形观测点,力求全面代表和反应出建筑物在不同位置出现的沉降。布点应根据建筑结构特点和地质状况综合考虑。观测点最好布设在立柱上,拐角处应布设观测点,建筑物每边中间至少布设一个点,边长较长时,宜加密布设观测点。

不同结构、不同强度、不同跨度的地梁等,有时会由于不同的应力在不同的时间而出现不同变化,这些地方观测点的观测结果,会将这种自身变形数据,混淆于观测数据中难以分离,降低沉降数据的真实性。

(9)预测累计沉降赋值

根据回归方程计算的为预测累计沉降平均值,再经赋值计算出每个沉降观测点的预测累计沉降值后,可提高沉降观测点的预测值精度。

(10)“回忆”性的沉降数据

在回归方程的合理范围内,计算的“回忆”性的沉降数据也有一定的可信度和参考价值。

(11)地下水位的影响

观测数据中,应注意人工干预建筑物及周围地下水位的降低后,引起土层孔隙水压力随之降低后导致建筑物的阶段性沉降。这种沉降不宜直接纳入样本,宜考虑根据水位变化和测量的时间等,通过分析、模拟等方法,将这种阶段性数据“隔离”出来后,以常数形式加入到沉降量中。

1 0 认识与结论

用具备了一定前提条件(合理的沉降点位布置、变量的正确统计、与预测值适宜的数据测量精度等)的少量累计平均沉降值数据,建立一元线性回归方程,数据来自所有观测点,样本有一定的代表性。荷载(楼层)与变形的数学模型可提供所有沉降观测点的预测累计平均沉降值。赋值计算后可得到各沉降观测点的预测累计沉降值,也提高了沉降观测点的预测值精度,预测数据有一定的可信度和参考价值。采用逐步修正方程的措施后,可更好满足工程需要和规定要求。

由于地质状况、设计参数、施工工艺、自然条件等诸多因数均可引起建筑物变形,这些因数在建筑物的变形中难以准确量化,因此建筑物的变形预测,较难用准确的数学公式表达。本文提出方法,作为一种摸索与探讨,意在为施工中的建筑物判断地基、设计参数是否合理、与实际情况是否相符、是否需要进行设计和施工技术与施工进度的变更、施工与建筑物的安全等,提供尽早的依据或预警信息,满足工程对预测数据的需要,同时也提高和体现了测量成果的尽早使用价值。

参考文献

[1]苏均和.概率论与数理统计[M].上海:上海财经大学出版社,2005.

[2]现代咨询与方法实务[M].北京:中国计划出版社,2006.

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