指数方程

2024-09-29

指数方程（共4篇）

指数方程篇1

高中阶段会遇到一些简单的指数方程和对数方程, 教材对这类方程的解法并不展开, 问题主要设置在这类简单的超越方程的解的个数、解的近似值以及已知解的情况求参数的取值范围等方面.这类问题的解决往往可以把方程、函数、曲线三者非常密切的联系到一起, 其中蕴涵着丰富的数学思想、方法和数学美学价值, 同时这类问题的解决过程也易于用计算机或图形计算器加以演示, 运用恰当的方法进行求解, 不仅可以扩大学生知识视野, 丰富学生的数学解题思想和方法, 而且有助于培养学生数学知识的应用意识.本文就简单的指数方程和对数方程的根的相关问题的解法做以探究.

一、运用函数思想, 将方程问题转化为函数问题, 利用函数图象的交点和函数的相关性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等) 加以解决, 解题过程中主要运用数形结合思想和分类讨论思想.

1.图像法

例1 关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数为 ( )

(A) 1个 (B) 2个

思路分析:将已知方程转化为方程组:

${\begin{cases} y = a^{x} \\ y = - x^{2} + 2 x + 2 a - 1 \end{cases}$

的解的问题, 通过对参数a的分类讨论, 分别作出函数y=ax与y=- (x-1) 2+2a的图像, 如图1所示:

因为x=1时, y1=a, y2=2a, a<2a.所以选 (B) .

例2 k为何值时, 关于x的方程|3x-1|=k无解, 一解, 二解?

思路分析:作出函数y=|3x-1|的图像如图2所示, 结合图像可知, 当k∈ (-∞, 0) 时, 方程|3x-1|=k无解;当k∈[1, +∞) 或 k=0时, 方程|3x-1|=k恰有一解;当k∈ (0, 1) 时, 方程|3x-1|=k恰有二解.

用图象法求解方程解的个数问题较多, 一般解法是将方程转化为两个基本初等函数, 从而将方程根的问题转化为方程组的解的问题, 进而通过两条曲线的交点情况作出结论.其中确定两个基本函数是解题的关键, 一般情况下是使两个函数均为基本初等函数或与基本初等函数有关.如方程2|x|+x=2可化为两个函数y=2|x|和y=2-x, 若直接设则难以求解.

例3 已知方程2x-1+2x2-a=0有两解, 则a的取值范围是__.

思路分析:将方程有两解转化为曲线y=2x-1和y=-2x2+a有两个交点, 由图3可知, 前者经过 $(0 ‚ \frac{1}{2})$ , 而后者经过 (0, a) , 曲线有两个交点应满足 $a \in (\frac{1}{2}, + \infty) .$

类似地, 以下方程①sinx=lg|x|; $② a^{x} = \log_{\frac{1}{a}} x (a > 0$ 且a≠1) ; $③ \log_{2} (x + 2) = \sqrt{- x}$ ;④a-x=logax (a>0且a≠1) ;⑤2x=x2等解的个数问题也适宜用图像法求解 (解的个数分别为六解、一解、一解、一解、三解) .

2.单调性法

将方程转化为左边为一个单调函数, 右边为一个常数的形式, 通过利用函数的单调性确定函数的值域, 进而确定方程的解的个数.

例4 方程3x+4x=5x的解为 ( )

(A) 有且只有2

(B) 有2还有其他解

(D) 有2和一负根

思路分析:由于5x>0, 则原方程可化为 $(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1$ , 易知函数 $f (x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x}$ 在R上是减函数, 而且y∈ (0, +∞) , 由于函数 $f (x) = (\frac{3}{5}) + (\frac{4}{5})^{x}$ 为单调函数, 因而y=1时, 相应的x有唯一解, 故选 (A) , 如图4所示.

又如方程x2+lnx=a解的情况, 可知x∈ (0, +∞) , 此时函数y=x2+lnx为单调增函数, 且其值域为R, 无论a取任何值, 原方程均有唯一正数解, 当然此方程也适合用方法一求解.

3.导数法

例5 ax=logax (a>1) 的解的个数为 ( )

(A) 0 (B) 2

思路分析:方程有两解和无解的情况学生易于理解, 但多数对一解的情形持怀疑态度, 我们不妨利用导数求出曲线y=ax与y=logax (a>1) 相切时交点的坐标.

设两曲线的交点为M (x0, y0) , 由于两函数互为反函数, 可知x0=y0, 又函数y=ax在M点的导数y'|x=x0=ax0lna, 函数y=logax在点M的导数 $y' |_{x = x_{0}} = \frac{1}{x_{0} l n a}$ , 二曲线相切时, 有 $a^{x_{0}} \ln a = \frac{1}{x_{0} l n a} = 1$ , 则得 $x_{0} = \log_{a} \frac{1}{l n a} = \frac{1}{l n a}$ , 从而 $\log_{a} e = e, a = e^{\frac{1}{e}}$ .所以x0=e, 交点M (e, e) , 此时两函数分别为 $y = e^{\frac{x}{e}}$ 和y=elnx, 如图5所示.

即当 $a = e^{\frac{1}{e}}$ 时, y=ax与y=logax有唯一交点M (e, e) , 此时方程ax=logax (a>1) 有唯一解, 结合函数图像可知, 当 $a \in (1, e^{\frac{1}{e}})$ 时方程有两解, 当 $a \in (e^{\frac{1}{e}}, + \infty)$ 时方程无解, 故选 (D) .

利用导数的几何意义, 结合函数图象的变化趋势, 以方程有唯一解为界限, 确定方程无解及多解的条件.运用导数知识求解, 可以使学生不仅从直观图象认识方程的解的情况, 更重要的是使学生增强理性认识, 提高学生运用知识解决问题的能力, 培养应用意识.

4.反函数法

利用互为反函数的图象关于直线y=x的对称关系, 求解指数方程和对数方程的相关问题.

例6 已知α是方程x+lgx=3的根, β是方程x+10x=3的根, 则α+β=__.

思想分析:构造三个函数y=lgx、y=10x、y=3-x, 分别作出它们的图像如图6, 知点M (α, 3-α) 为曲线y=lgx与y=3-x的交点, 点M' (β, 3-β) 为曲线y=10x与y=3-x的交点, 由y=lgx与y=10x互为反函数, 二者图像关于直线y=x对称, 又直线y=3-x与y=x互相垂直, 因此点M (α, 3-α) 与M' (β, 3-β) 关于直线y=x对称, 故3-α=β, 即α+β=3.

二、运用化归思想, 通过换元将指数方程和对数方程转化有理方程的相关问题加以解决.

例7 若关于x的方程lg2x+ (lg2+lg3) lgx+lg2lg3=0的两根x1, x2, 则x1x2的值为__.

思路分析:令lgx=t, 则原方程化为t2+ (lg2+lg3) t+lg2lg3=0, 解得t1=-lg2, t2=-lg3, 进而求出 $x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{3}$ (或t1+t2=-lg6=lg (x1x2) ) , 因而得: $x_{1} x_{2} = \frac{1}{6} .$

换元法适合于出现关于ax或logax 二次三项式或可化为此形式的指数方程或对数方程, 但须注意检验有理方程的根是否使ax或logax有意义.

又如解方程:lg9x+logx23=1化简得, $\frac{1}{2} \log_{3} x + \frac{1}{2} \lg_{x} 3 = 1$ , 令lg3x=t, 则 $\lg_{x} 3 = \frac{1}{t}$ , 原方程化为: $\frac{1}{2} t + \frac{1}{2 t} = 1$ , 解得t=1, 则x=3.

三、利用计算机及图形计算器演示含参数的函数图象或用二分法求方程的近似解

借助计算机和图形计算器可以求得各种方程的近似解, 同时新课程标准中增加了二分法求方程的近似根, 此外, 函数、方程、曲线三者的关系, 极易在计算机或计算器上反映出来, 大量观察函数库、图象库、方程库里的藏品, 可以扩大学生视野, 培养数学美学素养, 在此不作赘述.

指数方程篇2

包含临界指数的奇异系数的椭圆型方程正解的存在性

使用Hardy不等式和山路几何给出了一类奇异系数的椭圆型方程解的存在性结果.

作者：姚仰新谢朝东作者单位：姚仰新(华南理工大学,应用数学系,广东,广州,510640)

谢朝东(贵州民族学院,信息系,贵州,贵阳,550025)

刊名：华南理工大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTH CHINA UNIVERSITY OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 31(8) 分类号：O175.25 关键词：Hardy不等式椭圆型方程临界指数奇异系数正解

一类模式演化方程的指数吸引子篇3

在对贝纳尔对流现象等一系列问题的研究中 (见文献[1,2]) , 涉及到如下模式演化方程 (pattern formation equation)

${\begin{cases} u_{t} + Δ^{2} u + 2 Δ u + 2 u + g (u) = 0 ‚ \\ t ＞ 0 ‚ x \in (- l ‚ l) \times (- l ‚ l) \subset ℝ^{2} ‚ \\ u (x ‚ 0) = u_{0} (x) \in L^{2} (Ω) ‚ (1.1) \\ u (x ‚ t) |_{\partial Ω} = 0 ‚ \frac{\partial u}{\partial n} u (x ‚ t) |_{\partial Ω} = 0 ‚ \end{cases}$

其中非线性项g (u) =u3+βu2- (r+1) u.文献[3]中, A.ION等人得到了H $_{0}^{2}$ (Ω) 中全局吸引子的存在性.本文讨论该方程在H $_{0}^{2}$ (Ω) 中指数吸引子的存在性.

2 预备知识及相关引理

为书写方便, 我们记H=L2 (Ω) , (·, ·) 和|·|分别表示L2 (Ω) 中的内积和范数;V=H $_{0}^{2}$ (Ω) , 在其上的内积为 ( (u, v) ) =∫ΩΔu·Δvdx, 它诱导了其上的范数‖·‖, 且有如下紧嵌入V⊂H=H′⊂V′, 而H′, V′分别是H, V的对偶空间.

由文献[3], 采用标准的Faedo-Galerkin方法证明了方程 (1.1) 的解的存在唯一性及解关于时间和初值的连续性, 从而可以定义连续的算子半群S (t) :H→H, S (t) u0=u (t) .

引理2.1[3] 问题 (1.1) 生成的半群S (t) 在V中存在有界吸收集

B0={u∈V:|u|≤ρ1, ‖u‖≤ρ2}. (2.1)

由上述引理可知:对给定u0, 存在T=T (u0) >0, 对任意的t≥T, 有‖S (t) u0‖≤ρ.因此 $B = \underset{0 \leq t \leq Τ}{\cup} S (t) B_{0}$ 为V中紧的正不变集.

引理2.2[3] 问题 (1.1) 生成的半群S (t) 在V中存在全局吸引子A.

根据文献[4], 要得到该方程在V=H20 ( Ω) 中的指数吸引子 (定义见文献[4]) , 只需证明相应的lipschitz连续性和挤压性成立 (关于lipschitz连续性和挤压性的定义参考文献[4]) .

3V中的指数吸引子

引理3.1 半群S (t) 在B上是lipschitz连续的.即若u (t) , v (t) 是问题 (1.1) 的两个解, 初值分别为u0, v0∈B, 则

‖u (t) -v (t) ‖≤ec1t‖u0-v0‖.

证明令w (t) =u (t) -v (t) , 则有

wt+Δ2w+2Δw+2w+g (u) -g (v)

=0. (3.1)

两端用Δ2w作用, 可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} | Δ w |^{2} + | Δ^{2} w |^{2} + 2 | Δ w |^{2} \\ \leq \int_{Ω} | Δ^{2} w | | g (u) - g (v) | d x \\ + 2 \int_{Ω} | Δ^{2} w | | Δ w | d x . (3.2) \end{array}$

由Young不等式 $a b \leq \frac{ε}{p} a^{p} + \frac{1}{q ε^{q / p}} b^{q}$ 及广义的Hölder不等式, 我们有如下估计

$\begin{array}{l} 2 \int_{Ω} | Δ^{2} w | | Δ w | d x \\ \leq \frac{2}{3} | Δ^{2} w |^{2} + \frac{3}{2} | Δ w |^{2} . (3.3) \end{array}$

∫Ω|Δ2w||g (u) -g (v) |dx

≤C∫Ω|g′ (θu+ (1-θ) v) ||w||Δ2w|dx

≤C∫Ω (1+|u|2+|v|2) |w||Δ2w|dx

≤C∫Ω|w||Δ2w|dx

+C∫Ω|u|2|w||Δ2w|dx

+C∫Ω|v|2|w||Δ2w|dx

≤C (|w||Δ2w|+|u| $_{\infty}^{2}$ |w||Δ2w|

+|v|2∞|w||Δ2w|)

由Agmon不等式|u|∞≤c|u|1/2|Δu|1/2, 并结合 (2.1) 可知

$\begin{array}{l} \int_{Ω} | Δ^{2} w | | g (u) - g (v) | d x \\ \leq C | w | | Δ^{2} w | \\ \leq \frac{1}{3} | Δ^{2} w |^{2} + C | w |^{2} . (3.4) \end{array}$

结合 (3.2) , (3.3) 和 (3.4) , 我们有

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} | Δ w |^{2} + | Δ w |^{2} \\ \leq C | w |^{2} \leq C_{1} | Δ w |^{2} . (3.5) \end{array}$

再由Gronwall引理, 得证.

引理3.2 存在C2>0和T1>0, 使得

|ut (t) |≤C2, ∀t≥T1.

证明对方程 (1.1) 两端用ut作用, 有

$\begin{array}{l} | u_{t} |^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (| Δ u |^{2} + 2 | u |^{2}) \\ \leq | (g (u), u_{t}) | + | (Δ u ‚ u_{t}) | \\ \leq C \int_{Ω} | u |^{3} | u_{t} | d x + | Δ u | | u_{t} | \\ \leq | u_{t} | (C \int_{Ω} | u |^{6} d x)^{\frac{1}{2}} + | Δ u | | u_{t} | \\ \leq \frac{| u_{t} |^{2}}{4} + C \int_{Ω} | u |^{6} d x + \frac{| u_{t} |^{2}}{4} + | Δ u |^{2} \\ \leq \frac{| u_{t} |^{2}}{2} + C | u |_{L^{6}}^{6} + | Δ u |^{2} . \end{array}$

由嵌入 $Η^{\frac{2}{3}} \to L^{6} (Ω)$ 及内插不等式 $| u |_{Η^{\frac{2}{3}}} \leq | u |^{\frac{2}{3}} ∥ u ∥^{\frac{1}{3}}$ , 再结合 (2.1) , 我们有|u|6L6≤C, 从而

$| u_{t} |^{2} + \frac{d}{d t} (| Δ u |^{2} + 2 | u |^{2}) \leq C . (3.6)$

对 (3.6) 从t到t+r积分, 则存在K>0, 使得

∫ $_{t}^{t + r}$ |ut (t) |2dt≤K. (3.7)

然后对方程 (1.1) 关于时间t求导, 且令v=ut, 则有

vt+Δ2v+2Δv+2v+g′ (u) v=0. (3.8)

两端用v作用, 可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} | v |^{2} + | Δ v |^{2} + 2 | v |^{2} \\ \leq | g^{'} (u) v ‚ v) | + 2 | (Δ v ‚ v) | . (3.9) \end{array}$

用广义的Hölder不等式, Young不等式和Agmon不等式|u|∞≤c|u|1/2|Δu|1/2, 并结合 (2.1) , 我们有

| (g′ (u) v, v) |≤C|u|2∞|v|2≤C|v|2,

$2 | (Δ v ‚ v) | \leq \frac{2}{3} | Δ v |^{2} + \frac{3}{2} | v |^{2} .$

因此

$\frac{d}{d t} | v |^{2} + \frac{2}{3} | Δ v |^{2} + | v |^{2} \leq C | v |^{2}$ . (3.10)

结合 (3.7) , 由一致Gronwall引理, 得证.

注3.3 结合引理3.2, 对 (3.10) 从t1到t2积分, 我们有

∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ |Δut (s) |2ds≤M, M>0. (3.11)

引理3.4 对任意的T>0, 映射 (t, u) →S (t) u在[0, T]×B上是Hölder连续的.

证明对任意的u1, u2∈B以及t1, t2∈[0, T]有

‖S (t1) u1-S (t2) u2‖

≤‖S (t1) u1-S (t1) u2‖

+‖S (t1) u2-S (t2) u2‖

由 (3.11) , 我们有

‖S (t1) u2-S (t2) u2‖=‖u (t1) -u (t2) ‖

$\begin{array}{l} \leq \int_{t_{1}}^{t_{2}} ∥ u_{t} (s) ∥ d s \\ \leq C | t_{1} - t_{2} |^{\frac{1}{2}} (\int_{t_{1}}^{t_{2}} ∥ u_{t} (s) ∥^{2} d s)^{\frac{1}{2}} \end{array}$

$\leq C | t_{1} - t_{2} |^{\frac{1}{2}} .$

结合引理3.1以及上式, 马上有

$\begin{array}{l} ∥ S (t_{1}) u_{1} - S (t_{2}) u_{2} ∥ \\ \leq L [| t_{1} - t_{2} |^{\frac{1}{2}} + ∥ u_{1} - u_{2} ∥] . \end{array}$

这里的L=L (T) >0.证完.

引理3.5 若u (t) , v (t) 是问题 (1.1) 的两个解, 初值分别为u0, v0∈B, 则半群S (t) 在B上满足挤压性.即存在t*, 对 $δ \in (0 ‚ \frac{1}{8})$ , 存在N0=N0 (t*) , 使得对∀u0, v0∈B映射S*=S (t*) 成立:当

‖QN0 (S*u0-S*v0) ‖

>‖PN0 (S*u0-S*v0) ‖

时, 一定有

‖ (S*u0-S*v0) ‖≤δ‖u0-v0‖.

证明由于算子A=Δ2是自伴的有紧逆的正算子, 由经典的谱理论, 存在一列特征值λ1, λ2, λ3, …, 使得当N→∞时,

0<λ1≤λ2≤λ3≤…≤λN≤…, λN→∞.

相应的特征向量记为w1, w2, w3, …, 在H中正交, 并满足

Awj=λjwj, 其中j=1, 2, ….

令HN=span{w1, …, wN}, 则HN是H的N维子空间, $Η_{\frac{1}{Ν}}$ 是HN在H中的正交补.令 PN:H→HN是正交投影, QN=I-PN, 记w=PNw+QNw≜p+q.若|PNw|≤|QNw|, 对 (3.1) 用Δ2q作用, 则有

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} | Δ q |^{2} + | Δ^{2} q |^{2} + 2 | Δ q |^{2} \\ \leq \int_{Ω} | Δ^{2} q | | g (u) - g (v) | d x \\ + 2 \int_{Ω} | Δ^{2} q | | Δ q | d x . (3.12) \end{array}$

类似于引理3.1证明的估计, 再由Poincaré不等式及引理3.1的结论, 我们有

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} | Δ q |^{2} + | Δ q |^{2} \leq C_{3} | w |^{2} \\ \leq C_{3} | p + q |^{2} \leq C_{4} | q |^{2} \\ \leq C_{4} λ_{Ν + 1}^{- 2} | Δ q |^{2} \\ \leq C_{4} λ_{Ν + 1}^{- 2} | Δ w |^{2} \\ \leq C_{4} λ_{Ν + 1}^{- 2} e^{c_{1} t} | Δ w (0) |^{2} . \end{array}$

由Gronwall引理, 我们有

|Δq (t) |2≤e-t|Δq (0) |2

+C5λ-2N+1ec1t|Δw (0) |2,

因此|Δw (t) |2≤2|Δq (t) |2

≤C6 (e-t+C5λ-2N+1ec1t) |Δw (0) |2.

选择t*>0, 使得 $C_{6} e^{- t_{*}} | Δ w (0) |^{2} \leq \frac{1}{128}$ , 然后让t*固定, 取N足够大, 使得

$C_{6} C_{5} λ_{Ν + 1}^{- 2} e^{c_{1} t_{*}} | Δ w (0) |^{2} \leq \frac{1}{128} .$

我们有

$| Δ w (t_{*}) | \leq \frac{1}{8} | Δ w (0) | .$

定理3.6 问题 (1.1) 生成的半群S (t) 在V中存在指数吸引子M.

证明由[4]中的定理2.1的构造, 映射S*生成的离散动力系统存在指数吸引子M*, 而映射 (t, u) →S (t) u在[0, T]×B上是Hölder连续的, 再由[4]中的定理3.1, 问题 (1.1) 相应的解半群{S (t) }t≥0在V存在指数吸引子

M: $\underset{0 \leq t \leq t_{*}}{\cup} S (t) M_{*} .$

摘要：本文得到了一类模式演化方程在H02 (Ω) 中指数吸引子的存在性.

关键词：模式演化方程,指数吸引子

参考文献

[1]H.Haken, Advanced Synergetirs, Instability hierarchies of self-organizing systems and de-vices.Springer-Verlag.Berlin, 1983.

[2]A.C.Newell, T.Passot, J.Lega.Order Param-eter Equations for Patterns[J].Annual Review of Fluid Mechanics, 1993, (25) .

[3] A.Ion, A.Georgescu.On The Existence and On The Fractal and Hausdorff Dimensions of Some Global Attractor [J].Nonlinear Analysis TMA, 1997, (8) :5527-5532.

指数方程篇4

立地质量研究是掌握森林生长环境的一个重要手段, 也是实现科学造林以及经营森林的关键, 立地质量的高低通常用地位指数来衡量[1]。地位级与地位指数是评定林地质量或林分生产力高低的指标, 特别是在同龄林生长与收获中应用更加普遍。地位指数可以通过林地观测资料和收获表中蓄积量的估计值得到, 也可以通过优势木高与年龄的关系来评定[2]。研究立地质量可为未来进行森林经营的正确决策奠定基础。

本研究以博山林场马尾松人工林为研究对象, 通过采用Richards方程生长方程, 并用参数求解法, 建立马尾松人工林地位指数模型, 为更好地经营马尾松人工林提供了参考依据。

2 材料与方法

2.1 材料

供研究的材料为来源于驻马店薄山林场的102株分布于不同龄级、立地和密度的马尾松。

2.2 研究方法

2.2.1 模型建立

Richards生长方程能很好地描述林分平均高、林分优势高、单位面积蓄积量的变化规律, 故本文用其作为马尾松人工林的生长模型, Richards生长方程形式如下:

式中:Y为林分优势木平均高;t为林分年龄;A为生长极限, 与地位指数有关;K为生长速率;m为形状参数。

2.2.2 参数求解

用改进单纯形法求解Richards生长方程中的参数, 以参差平方和最小为目标函数[3~5], 即:

A、K、m的初始值分别为15.0810、0.054748、1.2136, 步长为0.05, 收敛系数为0.3, 利用定位系数表构造的初始单纯形如表1所示。

3 结果与分析

Richards生长方程是一种简单的非线性模型, 能较好地模拟林分平均优势高与林分年龄的关系。文章采用Richards生长方程拟合马尾松人工林地位指数模型, 结果如表2 所示。用单纯形法求解模型参数经过34次运算达到收敛, 此时收敛系数为0.2672, 由此得到的林分平均优势高生长的模型为:

将马尾松林分标准年龄定为20年, 则由 (3) 式可得马尾松地位指数曲线模型, 如式 (4) 。

(4) 式中Ht为林分优势木平均高, SI为地位指数, t为林分年龄。

由表2可知, Richards生长方程的拟合精度为86.84 %, 说明Richards生长方程具有较好的拟合非线性的性能。同时对拟合结果进行相关性分析, 取α=0.01, f1=2, 查表的F0.01 (2, 17) =6.11, Richards的拟合值F=17, 相关系数为0.9386, 说明用该方法建立地位指数模型拟合结果相关极显著。

4 结语

(1) Richards生长方程拟合精度高达86.84 %, 相关系数为0.9386, 说明可以用Richards生长方程建立地位指数模型。

(2) 用改进单纯形法求解Richards方程的参数, 不需要对目标函数求导数, 方法简单, 便于应用, 同时, 单纯形法还是优化非线性参数的一种有效的方法。

参考文献

[1]郭艳荣, 吴宝国, 刘洋, 等.立地质量评价研究进展[J].世界林业研究, 2012 (5) .

[2]Keller W.Einfacher ertragsk und licher Bonitatsschlussel fur Waldbestande in der Schweiz[M].Switzerland:Eidgenossische Anstaltfur das Forstliche Versuchswesen, 1978.

[3]江希钿.用均匀设计试验法和单纯形法建立生长模型[J].福建林学院学报, 1994, 14 (4) :311~315.

[4]刘欢培, 黄建华.改进单纯形法寻优的MATLAB实现[J].浙江工业大学学报, 2003, 31 (4) :377~381.

【指数方程】推荐阅读：

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