切线

切线（通用15篇）

切线 篇1

家长签名：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生: 卢慧欣

授课时间:_____年级: 初三

教师: 廖

1．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．

直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________，这个公共点

叫做_________．

直线和圆____________时，叫做直线和圆相离． 2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________ 直线l和圆O相离； _________ 直线l和圆O相切； _________ 直线l和圆O相交．

3．圆的切线的性质定理是__________________________________________． 4．圆的切线的判定定理是__________________________________________．

5．如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．

求证：⊙P与OB相切．

6．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．

求证：直线EF是半圆O的切线．

7．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．

8．经过圆外一点可以做圆的______条切线，_______________________叫做这点到圆的切线长． 9．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．

A

PO

B

10.从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________ 平分____________ ．

11．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．

12．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

A D

OP

CB

13．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC．

14．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．

(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．

切线 篇2

问题: 求曲线y = x3+ 3x在点P ( - 2,- 14 ) 处的切线方程.

生解: ∵ f'( x) = 3x2+ 3,∴ f' ( - 2) = 15,∴ 切线方程为y = 15x + 16.

如果该试题“点到即止”,笔者认为失去了在此处切线教学的价值,学生也根本对切线缺乏深入的思考,因此笔者将以教材中的原型问题进行变式,激发学生探索类似问题的方式、方法.

变式1已知曲线C: f( x) = x3- x + 2,求经过点P( 1,2) 的曲线C的切线方程.

笔者请学生板书,请了三名同学,板演的学生解答几乎如出一辙:

错解: 由f'( x) = 3x2- 1得切线的斜率k = f' ( 1) = 2,过点P( 1,2) 的曲线C的切线方程为y - 2 = 2 ( x - 1) ,即y = 2x.

错解剖析: 学生第一次遇到这样的问题存在着审题不清的错因,题中含义经过点P的切线,寓意是切线从点P穿过,至于是否点P是切点并未说明! 很多学生对于切线的认知停留在初中层面,笔者接触过很多学生,他们认为切线一定和曲线只有一个公共点或者切线一定是在曲线的一侧,或者只有一个公共点的问题是相切问题等等,这些错误都是对于切线概念的认知匮乏. 何为切线? 切线和曲线是不是只有唯一交点? 这些都是学生犯错的原因所在.

所以,现行高中数学教材对切线的定义完全规避了公共点个数的情形来定义,而是利用高等数学中更为科学的定义去介绍: 切线即为割线的极限位置. 在这种定义下,曲线x0= 0或x0= 2,在点P( x0,y0) 处的切线如果存在,则切线只有一条, 而过曲线上的点P( x0,y0) 的切线如果存在,则切线可能不止一条,而且点P( x0,y0) 也不一定是切点,如图1,曲线C是y = sinx,它在点N处的切线只有l1,而过正弦曲线上的点P的切线当0≤x≤2π 时有两条,即l1和l2,可见“过曲线上的点P的切线”与“曲线上点P处的切线”是两个不同的概念,将这两个概念混为一谈,以至于认为过曲线y = f( x) 上的点P( 1,2) 的切线的斜率就是f'( 1) 是错误的根源所在.

下面教师引导学生改变点P的位置( P可以在曲线外) ,继续探求切线方程.

变式2: 已知曲线C: f( x) = x3- x + 2,试问: 分别过点 ( 1) ( 0,- 54) ,( 2) ( 2,0) ,( 3)(16/11,2)的曲线C的切线有几条? 如果是一条,写出切线的方向向量; 如果是两条,求出两切线之间夹角的正切值; 如果是三条,写出切线方程.

变式3: 已知曲线C: f( x) = x3- 3x2+ 2x + a一切线为y = 2x,求实数a.

变式4: 斜率为3的直线与曲线C: y = x3相切,切点为P点,且两者有另一交点Q,求P、Q两点的坐标.

变式5: 若方程x3- 3x - m = 0有一组相同的根,求此方程所有的解.

变式6: P为曲线C: y = x3上一动点,若以点P为切点的切线与该曲线相交于Q,试求线段PQ中点的轨迹方程.

上述六个变式源于课本而又高于课本,将三次函数图像的切线问题探究的比较深入. 在学习中就是要从无限的题目的学习去领悟无限题目的思维方式及规律. 这样能使学生强烈感受道数学的美妙,而且笔者认为通过教材问题的引领、辐射的变式才能真正将一题多变的探索味道融入其中.

摘要：新课程一直致力的课程理念是提高学生的探索能力.探索能力以何种教学方式呈现较为合适呢?笔者认为是传统教学中的变式教学,将变式教学融入新课程探索学习的理念,形成全新的视角进行课堂教学是学习的一种尝试.

证明切线四妙招 篇3

当已知直线经过半径外端时，只需证明这条直线和半径垂直即可，理论依据是切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

例1如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=BD，M是AB的中点.以C为圆心、CM为半径的圆交AC于E，求证 AB、DE都是⊙C的切线.

分析：因为CM、CE是⊙C的半径，所以只需证明AB⊥CM，DE⊥CE即可. 由等腰三角形的“三线合一”性质可得AB⊥CM.连接CD后，由CE=CM、CD=CD、∠1=∠2（∠2+∠BCM=∠BCD=∠BDC=∠A+∠1，∠BCM=∠A=∠45°）可知，△CDE≌△CDM，从而可得DE⊥CE.

二、 连半径，证垂直

若图形中有直线与圆的公共点，但没有过此点的半径，则可先作过此点的半径，再证其与直线垂直，简记为“连半径，证垂直”.

例2如图2，在⊙O中，半径OA⊥OB，D是OB延长线上的点，C是⊙O上一点，AC交OD于M点，若DM=DC，求证DC是⊙O的切线.

分析：因图中给出了直线和圆的公共点C，但未给出过点C的半径，故需连接OC后，证OC⊥DC.由OA=OC可得∠A=∠OCA，又由题设知∠A+∠OMA=90° ，∠DCM=∠DMC=∠OMA，

所以∠OCA+∠DCM=90°，即OC⊥CD，故DC是⊙O的切线.

例3如图3，在Rt△ABC中，以AB为直径作⊙O交斜边AC于点P，E是BC的中点，求证PE是⊙O的切线.

分析： 连接OP，证OP⊥PE即可.由AB是直径想到连接BP，则BP⊥AP.因为PE是Rt△BCP斜边上的中线，所以PE=BE，则∠PBE=∠BPE.又因为OB=OP，所以∠OBP=∠BPO.又∠OBP+∠PBE=90°，故∠BPE+∠BPO=90°， 即OP⊥PE.

说明：解答本题还可连接OP、OE，通过证△OBE≌△OPE来证OP⊥PE.

三、 作垂线，证半径

若图形中没有直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径，简记为“作垂线，证半径”.

证明切线的方法 篇4

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

圆的切线教学反思 篇5

新课程呼唤新的课堂教学，要求人人学有价值的数学，人人学有用的数学。数学来源于生活，同时又服务于生活。本节课直线和圆的位置关系(2)，主要内容为切线的判定条件。侧重点为切线的判定条件的导出。在新课前的导入部分采用提问的方式。体会直线与直径之间夹角的变化以及直线与圆的位置关系，固定直线与角，在体会变化的`过程中，没有充分的让直线动起来，应注意在任意中提取运动。本节课重点是切线的判定条件：经过直径的一端，并且与直径垂直的直线为圆的切线。始终贯穿：经过直径的一端，以及与直径垂直这两点。

1.分清切线的判定定理和性质定理的条件和结论，不可混淆。当已知圆的切线时，应运用切线的性质定理;当要证明一条直线是圆的切线时，应运用切线的判定定理。

2.当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应说明直线与圆相切于哪一点。辅助线是作出过切点的半径。在教学中注重强调知识的讲解，知识的落实巩固，忽视了知识的获得过程，只是向学生传递一些以成定论的成熟的数学，学生从事数学学习，对学生而言是模仿，或把知识复印到学生的头脑里，这样学生对于知识的掌握并不是印象深刻并且也不能激发学生的兴趣了。让学生在探究中学习，学习中探究，让学生摸着石头过河，只有这样才能加深学生记忆，激发学生兴趣和求知欲，让他们觉得这些知识不是你教他的，而是自己探索发现的。

麦田股市心得之切线理论 篇6

麦田股市心得之切线理论作者：麦田守望者在没有K线，没有各种指标的时候，切线理论就已经成为了每个交易者的必须掌握的技术。并且随着时代的发展，股市规则的变迁，其在股市技术分析中的价值却一直没有丝毫动摇，可见其举足轻重的地位。

切线理论就是通过一条条的直线来进行趋势的分析，很多人认为很简单，实际上在我看来，想要把其中的细节悟透，将各个趋势线压力线协调好、用好，能判断那些线具有支撑压力，哪些线会被突破跌穿，绝对不是一件容易的事情。在这节课让我们共同见证惊奇!

切线理论的难点在于趋势的修正和各级趋势线之间的配合。我比较喜欢切线理论里面的管道线和江恩角度线，下面我就对切线理论的几个要点来发表一下浅显的见解。

一、坐标系的选择

通常要选择对数坐标--这句话值多少钱自己算去!

有很多人在应用切线理论的时候还在用算数坐标系，算数坐标系对指数的失真是很严重的，不能客观反应股价的波动。算数坐标是以价格为纵坐标的，而对数坐标是以价格的涨跌幅也就是价格的对数为纵坐标的，如果还搞不懂，自己查书去，在这只举一个例子来说明这个坐标系的不同。

举例：600199金种子酒

普通坐标系下的金种子酒K线图

对数坐标系下的金钟种子酒K线图

二、趋势线的突破与修正

趋势线的突破

不是一朝股价新高新低画一条线，就认为股价必定在此可以获得支撑或者遭遇阻力。确认趋势线是否有效，关键是看趋势线是否被股价突破及突破的力度，交易者必须对所有趋势线的稳定性适中保持怀疑的态度，尤其是当股价临近趋势线的时候，要严格关注市场对它的.反应，这时，任何价格的突破都可能是假突破或者测试性突破。

对于趋势线是否被股价有效突破，往往有三种确认形式，这三种方式也适合类似的颈线位的突破的判断：

1、看成交量股价向上突破趋势线的时候必须要有大的成交量，向下突破趋势线的时候则不需要对成交量进行要求。

2、看幅度股价突破趋势线后离趋势线越远，则突破就越有效。

3、看时间股价突破趋势线后，至少2天内原有趋势不再回头，时间越长，突破越有效。

举例：002190成飞集成对原趋势的突破伴随了成交量的放大

趋势线的修正

原有的趋势线要经过多次检验，因而存在一个需要修正趋势线的问题。

对趋势线的修正，先要看它是属于上升趋势还是下降趋势。对于处于上升趋势的趋势线，如果原趋势线连在两个低点上，假使价格在第三次回归时曾经击破过该趋势线但又回到了趋势线上，则说明该趋势线需要被修改，我们可以从第一低点到第三低点再连线，也可以从第二低点到第三低点再连线，至于哪一根正确，则要看价格的第四次回探落在哪里了;

如果原趋势线已经在第三次或者第四次价格回探时获得了稳定的支撑验证，那么之后若偶尔又一次价格，冲到了原趋势线之外又返回来，那么这根趋势线仍然有效，冲过头的价格回探当做假突破，可以忽略。但是如果再往后又偶尔出现了价格回探冲过了头的情况，那么，可以再这次的回探点上连接上一次冲过了透的低点，形成双趋势线。

当价格无力上冲内管道线而快速跌破内趋势线并到达外趋势线时，往往意味着下跌加速，即使后来价格又稳稳地站上趋势线，后市也凸显了不祥之兆。

需要注意，在趋势线刚被价格突破之后，这条过时的趋势线往往还有作用。一者，价格还可能又回到这条线附近，继续支持该趋势线的有效性;二者，它的延长部分往往还具有压力或支撑的作用，在下一步行情中，会产生一定的影响。

任何的时候，市场上总是几种不同时间段的趋势并存，所以相对于不同级别趋势，就会有很多不同的趋势线存在。

举例：002192路翔股份当趋势走出来大家一定会觉得很容易，嗨，不就这个上升通道么，两笔就画出来了，实际上，在股价上升的过程中，趋势线的修正却是很大的学问。

1、事后谁都能画出来的趋势线

2、当趋势只演变到C点时，我们只能画出如图的上升通道线，会发现这条线在以后趋势演变的方框区域具有作用。

3、当趋势演变到D点时，就需要对原有趋势线进行修正。会发现E、F点以及后期的方框区域遵从了这个上升通道线的压力支撑作用。

4、当趋势演变到E点时，我们发现B、D的连线得到了第三点E的确认，由此可知，这条趋势线将具有更大的威力，所以上升通道线再次进行修正，G点以及后面趋势演变中的方框区域基本遵从了该趋势通道线。

5、当H点出现的时候，我们发现，B、D、E三点连线所形成的趋势线实在太强大了，它的重要性越来越应该引起重视，所以针对B、D、E、H四点将上升通道线上轨进行再修正，同时根据A点确定了上升通道的下轨，上升通道线变的日臻完美。后面的压力与支撑也得到了充分的证明。

我讲述这个例子，是想告诉大家修正的方法，并且提醒大家，图形走出来之后画趋势线很容易，但是这个行情行进中进行趋势线的辨别和修正，察觉这种市场波动率的变轨，去寻找稳定性更强的趋势线，则需要下一番功夫的。这也验证了切线理论的那句话，得到验证点越多的趋势线，点与点间隔时间越长的趋势线，越稳定。

拐点的力度

再有强调一点，就是趋势在面临压力与支撑时候的表现非常值得我们去注意，突破、跌破、未到达即表现出支撑压力的作用，这些就可能造成速率的变轨。

举例：上证指数4月中旬面对压力线未选择触碰，反而提前跳空下跌，则面临变轨的风险。后市如所料想的一样，市场改变了下跌斜率，建立了新的下降通道。

举例：002190成飞集成

207月7日，002190改变了原有的A上升通道，选择了突破，暗示将采用角度更大的斜率向上攀升，结果进入了B上升通道。

三、趋势的分类

道氏理论根据时间的长短，将股价运动趋势划分分为三种：基本趋势，次级趋势，短暂趋势。

基本趋势也叫做长期趋势，通常运动时间在一年以上。基本趋势是股价运动趋势的主要趋势，是交易者努力要弄清楚的方向性问题，只有了解了基本趋势，交易者才能做到顺势而为。

次级趋势通常运动时间为3周-三月之间，当股价持续上涨到一定阶段的时候，往往会进行局部的调整，这个调整由次级趋势来完成的。

短暂趋势，一般运动时间在3周以内。短暂趋势是在次级趋势中进行的股价调整运动，她多数时候与基本趋势方向相同。

上面是教科书中规定的三种趋势，实际上“3”是个很神奇的数字。可以概括很多现象。在股票趋势中，总的就是掌握一点：你所做的趋势级别、所做的趋势级别内的波动、所作趋势级别所处的大级别。

下面我就向大家展示上证指数的三个级别：

基本趋势：95-104连线，通过998修正，得到了1664的确认，可以明确的告诉大家，这条线在以后的行情演变中，不会被跌破，现在市场行情也演变到了这个地方，支撑线走在2200点附近，可以说2200--2300这一区域是市场发动下一轮行情前的绝对底部区域。

次级趋势：

短暂趋势：

做股票前，先思考一下，自己想去做一个什么样的级别，在大体上看定一个级别以后，再去寻找它的大一级别和小一级别，通过三者的配合，也可以选择共振，对股票来进行操作，这样你就形成了一套空间操作系统。可以毫不夸张的说，单单利用切线理论就可以打天下了。

四、江恩角度线

江恩角度线主要强调对波动率的寻找，波动率的确定可以是前面某一周期的平均波动，也可以是进行中的周期的小一级别的周期平均波动，还可以是一段趋势的平均波动。旨在通过对现有市场波动率来衡量未来趋势发展方向和涨跌节奏的快慢。它能很好的反应市场的节奏变化，是一个时间和空间结合的很完美的工具，大家可以细细品味，如果有机会，我会和大家一起研讨波动率的寻找与修正，在这里只贴图。举例：上证指数次级趋势的江恩角度线。

切线理论，是一门伟大的理论，较之我前面所讲的种种技术，它仍然显得高大无比，所以，希望大家一定要好好掌握其中的精华，不可以只停留在理论上，要通过实战来检验。

在实战中来发现切线的修正和切线的配合等方面的奥秘，再次重申：实战!

圆锥曲线切线的一类特征探析 篇7

笔者先表述两道高考题及其简答过程, 捕捉以此获得的灵感, 从而指导同类型问题。

简答:存在定点M (1, 0) 符合题意。

(a>b>0) 有必然联系吗?

灵感:假如点P是椭圆上不重合于长轴两端点的任意动点, 则结论仍然正确吗?

捕捉上述两个灵感, 经过探究得到:

定理1.1若椭圆的一条切线以P为切点, 且与一条准线交于点Q, 则以线段PQ为直径的圆必过该准线的相应焦点。

(0<θ<π) , 且设该切线与右准线交于点Q。

用导数求得切线PQ的方程是

故线段PQ为直径的圆必过该准线的相应焦点。

对定理1.1进行逆向思维, 可得到已知切点作椭圆切线的一种方法。

定理1.2取椭圆上不重合于长轴两端点的任意点P, 任取一个焦点F与相应准线l, 作PF的垂线FQ交l于点Q, 则连线PQ是该椭圆以P为切点的切线。

应用这个定理比其他作切线的方法要简易得多。考虑篇幅, 把这个定理的证明留给读者完成。

顺势迁移, 不难写出定理1.1、定理1.2关于双曲线、抛物线的类比定理 (也请读者证明之) 如下:

定理2.1若双曲线的一条切线以P为切点, 且与一条准线交于点Q, 则以线段PQ为直径的圆必过该准线的相应焦点。

定理2.2取双曲线上不重合于实轴两端点的任意点P, 任取一个焦点F与相应准线l, 作PF的垂线FQ交l于点Q, 则连线PQ是该双曲线以P为切点的切线。

定理3.1若抛物线的一条切线以P为切点, 且与准线交于点Q, 则以线段PQ为直径的圆必过焦点F。

定理3.2取抛物线的不重合于顶点的任意点P, 与焦点F连成直线PF, 作PF的垂线FQ交准线于点Q, 则连线PQ是该抛物线以P为切点的切线。

捕捉住偶然闪过的灵感, 对已知的知识自觉进行类比探究, 是我们获取新知的两大法宝。圆锥曲线中蕴含着大量的数学思想方法, 如果我们平时的教学和研究中注意横向和纵向比较, 会提高我们看待问题的广度和深度, 为我们的教学带来不一样的视界。

摘要：本文主要就椭圆切线的一类特征的发现与证明进行延伸, 发现双曲线和抛物线切线具有的同类特征。利用数学思想, 对圆锥曲线问题做深入探讨。

圆锥曲线切线的一个优美性质 篇8

摘要：本文研究圆锥曲线过定点的动弦的两个端点处的切线的交点轨迹，给出若干定理并证明其结论是充要的，证明过程充分利用了圆锥曲线的参数方程.

关键词：圆锥曲线；切线；轨迹；方程

圆锥曲线是高中数学的主干知识，有极其丰富和优美的性质，圆锥曲线的切线相关性质也已成为高考命题的重要来源，笔者经过研究发现了一个圆锥曲线的切线的有趣性质，现介绍如下：

定理1过x轴上一点A（－m，0）（m>0）引一条动直线与抛物线y2＝2px相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x＝（y>，y<－）.

证明设M（2pt，2pt1），N（2pt， 2pt2），则过点M，N的切线方程分别为

2pt1y＝p（x+2pt），①

2pt2y＝p（x+2pt）.②

联立方程组①②得x＝2p（t1·t2），y＝p（t1＋t2）.

因为A，M，N 三点共线，即＝，

化简得：t1t2＝. 所以x＝m（y>，y<－）.

定理2过x轴上一点A

，0（a>m>0）引一条动直线与椭圆＋＝1（a>b>0）相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是

证明设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），A

则过M，N两点的切线方程为：

化简得msin（α－β）＝a（sinα－sinβ），mcos＝acos，tan·tan＝.

又x＝＝＝a

，0（m>a）引一条动直线与双曲线－＝1相交于M，N两点，过点M，N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是

证明设M（asecα，btanα），N（asecβ，btanβ），A

则过A，B两点的切线方程分别为

联立方程组

因为M，N，A三点共线，=，

化简得asin（α－β）＝m（sinα－sinβ）， acos＝mcos，

＝－2b＝-.

定理4过直线x＝m（y>，y<－）上一点引抛物线y2＝2px的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点（a>m>0）上一点引椭圆＋＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点

，0.

定理6过直线x＝my>

，y<－

（m>a）上一点引双曲线-＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点

，0.

圆的切线的判定教学反思 篇9

课堂教学重在准备，做到有备而教，教而有思，思而有得。反思教学设计要坚持“以学定教”的精神，就要有较强的预见性。

一是能预测学生在学习某一教学内容时，可能会遇到哪些问题;

二是能设想出解决这些问题的策略和方法。

三是能按照学生的接受能力不同，编排梳理知识内容。

2、课中反思

课中反思是及时发现问题，并提出解决问题的方法，教师要有较强的调控应变能力，及时反思自己的教学行为、教学方法，采取有效的教学策略和措施，顺应学生的发展需要，这种反思能使教学高质高效地进行，这是教学反思的重要环节。主要反思以下几方面：

第一、对学生知识学习的反思。数学知识的学习采用问题来激发互动。

第二、对学生能力培养的反思。教师在对学生传授知识的同时，进行能力的培养是十分重要的，尤其要重视培养学生的实验观察、逻辑思维能力。

第三、对学生情感形成的反思，老师要用强烈情感语言创设情景，把情感传给学生，触动学生心灵，在数学知识构建中培养学生正确的世界观、人生观。

第四、多留意学生的生活经验，多举切合学生实际生活的例子说明问题，活跃课堂气氛。

3、课后反思

通过梳理与反思，特别要反思学生的意见，因学生意见是自己教学效果的反映，这也是教师对其教学进行反思的一个重要渠道。可以通过两种方式及时得到课堂反馈：

第一、在课后，及时了解部分学生在这节课中对知识的了解和掌握情况。

第二、通过课后练习题的形式，检测学生在本节课的知识掌握情况，及时得到反馈信息。

圆的切线的判定与性质教学设计 篇10

24.2.2.2切线的判定和性质教学设计

备课人：杨智刚

时间：2013年11月18日

【教学目标】

一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。

2.会过圆上一点画圆的切线。

二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。

三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。

【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。【教学难点】探索切线的判定方法。【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】

一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。

师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。

二、探究新知

（一）切线的判定定理

1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

分析：

1、垂直于一条半径的直线有几条？

2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？

3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？

师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。

思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。

思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？

① 圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线 ③上面的判定定理.师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法

思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

2.定理应用

①完成课本例1 黄麓镇中心学校2013-2014学第一学期九年级数学教案

分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。

知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可.②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切

分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段等于半径，从而证明直线是圆的切线.③.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的距离等于半径，所以只要求出如图所示的CD即可．

（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．

师生行为：学生独立思考，然后小组交流，教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤。学生审题，由本节课知识思考解决方法。结合题目特点，选择合适的判定方法和性质解决问题，感知作辅助线的必要性。

（二）切线的性质定理 1.阅读课本96页思考

2.如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙ O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°因此，可得切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径．

3.切线的性质归纳： ①切线和圆只有一个公共点。

②切线和圆心的距离等于圆的半径。③上面的性质定理。

④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

（三）综合应用拓展

如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠ DCB=∠A．（1）CD与⊙O相

（2）切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明 理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

师生行为：学生阅读课本内容，尝试说明为什么圆的 切线垂直于过切点的半径。教师引导学生汇总切线的性质，全面深化 理解切线的性质。

学生尝试综合应用切线的判定和性质，解决问题。学生进行练习，教师巡回检查，指导学生写出解答过程，体会方法。

设计意图：综合应用切线的判定和性质解题，培养学生的分析能力和解题能力让学生通过练习进一理

解，培养学生的应用意识和能力。黄麓镇中心学校2013-2014学第一学期九年级数学教案

三、课堂训练：完成课本96页练习

四、小结归纳

1.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

3.常见作辅助线方法

师生行为：让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总。

设计意图：归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。

切线 篇11

近些年来，高考数学中对圆锥曲线切线性质题型比较多，主要集中在圆锥曲线的切线问题与定点定直线问题上，这也使高考专家对圆锥曲线的研究更加注重。圆锥曲线是高考中的重要题型，这需要学生对其的掌握必须熟练。当前的高中数学教材中，一些对圆锥曲线问题的研究仅仅局限于简单的几何性质上，而且与切线问题相关的仅仅是位置关系的研究。但是，到目前为止，关于圆锥曲线切线性质的问题多种多样。而且高考中关于圆锥曲线的切线问题出现频率比较高，这就引起了广大数学老师与学生的普遍关注。

作为平面解析几何中的核心内容，圆锥曲线是高中数学的重点与难点。因此在高考中对其的考查也比较突出。其中，关于圆锥曲线问题的主要内容是切线问题，这一问题往往会造成学生解题的困难，大部分学生一旦遇到关于切线问题的圆锥曲线图形，就会在解题过程中出现错误，而且在解题过程中往往会力不从心。因此，为了让高中生能够摆脱切线问题的困境，提高学生学习圆锥曲线问题的兴趣与积极性，能够让学生深入了解圆锥几何问题的解法，本文主要针对高考中的一道具体问题，对圆锥曲线的切线性质进行研究与分析，以此为高中生的圆锥曲线学习提供宝贵的意见。

圆锥曲线与很多知识都相互联系，学生学好圆锥曲线方面的知识，不仅能够有效培养自身的数学素质，同时也会深刻地将数学知识相互联系，最终提升自身的学习质量以及思维判断能力。所谓圆锥曲线，即利用一个平面去截一个圆锥面，其中得到的曲线就是圆锥曲线。这是从几何观念出发的。而从代数角度考虑，二元二次方程中Ax2+Bxy+Cy2+Dx+F=0的图像表示的是圆锥曲线。对于不同的判别式，也具有不同的椭圆、双曲线以及抛物线等。圆锥曲线是光滑的，所以有切线与法线之分。1822年的比利时数学家得出的冰淇淋定理，对圆锥曲线的几何定义与焦点进行了说明。这一定理在当前的高中数学教学中得到了积极的运用。在圆锥曲线的研究中，阿波罗对前人的工作进行了总结，特别是欧几里得的工作，对前人的成果通过加工、归纳与提炼使其成为一项系统的工作，并且在此基础上，还进行了自身的创新。书中共8篇，包括487篇命题，而且已经容纳了圆锥曲线的性质与内容，后来的学者已经没有任何余地进行钻研。

圆锥曲线的切线一直是高考、自主招生、各类竞赛的热点问题，圆锥曲线切线的性质频繁出现在各级各类考试中，更多的圆锥曲线的切线性质可以参看。笔者以一道高考题为载体，研究圆锥曲线的切线，得到一些结论，现整理成下文，以供参考。

（2013安徽）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的焦距为4，且过点P（，）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A（0，2），连接AE，过点作的垂线交x轴于点D。点D是点关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。

答案：（1）+=1。

（2）由题意可知，QG的直线方程：=，化简得x0y0x-（x02-8）y-8y0=0，又因为x02+2y02=8，所以x0x+2y0y-8=0代入+=1。

最后求得Δ=0，所以直线QG与椭圆只有一个公共点。

本题以椭圆为载体，考查了椭圆的标准方程、直线方程、直线与椭圆的位置关系等知识，考查解析几何的基本思想，综合运算能力、探究能力。本题难度适中，但笔者觉得本题还有很多工作可以做，因为我们自然会提出以下问题。

问题1：QG为什么偏偏就是椭圆的切线？一般的椭圆有这种性质吗？

问题2：在仿射变换下，我们可以把椭圆变换成圆，圆的切线也会有类似的性质吗？

对于以上两个问题，我们作了探究，得到以下结论：

结论1.已知椭圆C：+=1（a>b>0），设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A（0，a），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，则QG是椭圆的切线。

结论2.已知椭C：+=1（a>b>0），直线l1∶y=k1x，l2∶y=k2x，且k1k2=-，Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆D上一点，过点Q作直线y-y0=k2（x-x0）交l1于点E，l1交椭圆于点A。l1上点D满足x2A=xExD，则QD是椭圆的切线。

通过以上例题可以充分发现圆锥曲线知识的重要性，这就需要教师在数学知识的教学中，要结合学生的实际情况，充分采取科学合理的措施，以此来提升学生的学习质量，让学生对圆锥曲线知识有一个深入的了解，同时也能够与其他知识相互联系，应用到解题中，充分培养学生对数学知识的运用能力。总之，本文主要针对圆锥曲线切线性质的定义、概念以及前人的研究成果等进行分析，并且以此为基础对高中生在圆锥双曲线的性质学习、掌握与运用中遇到的问题，提出合理的解决举措，以此为高中数学老师与学生提供合理的意见与建议，从而使高中生在高考中获得成功。

参考文献：

廖永明.由一道2013年高考题引出的圆锥曲线的一个性质[J].中学数学月刊，2014（1）.

切线 篇12

深入研究这4道高考题(除题3是选择压轴题外,其余3道都是解答压轴题的最后一问),可得函数图像的割线斜率与切线斜率的关系:

定理设a∈R,函数f(x)在区间I上可导,则

为证明定理,须介绍两个引理,它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2]):

引理1若函数f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上单调不减(不增)的充要条件是f′(x)≥(≤)0在x∈I时恒成立.

定理的证明设

(3)同(1)可证.

(4)同(2)可证.

(8)同(7)可证.

由题5的结论可知,题6的第(1)问是错题(但第(2)问是正确的).

下面用定理给出题1~4的简解.

所以要证结论成立.(并且还可得:当1≤a≤5时,结论也成立)

由此及绝对值不等式可证得选项C成立(且可排除选项A,B,D),所以选C.

题4简解设

由定理(8)知,只需证明:

只需证

这由均值不等式及题设可证

所以欲证成立.

摘要：<正>不少高考题都涉及函数图像的割线斜率,并且我们知道,一般来说,函数图像的割线斜率与切线斜率的取值范围不一样,但究竟有怎样的准确关系呢?题1(2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax_2+1,a<-1.如果对任意x_1,x_2∈(0,+∞),|f(x_1)-f(x_2)|≥4|x_1-x_2|,求a的取值

参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册,第3版)[M].北京:高等教育出版社,1992.

切线 篇13

学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．

重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程

一、揭示目标

二、自学指导 1.复习下列内容

1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?

2、直线与圆相切有哪几种判断方法？

3、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线 从作图中可以得出：

经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？

4、思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：

（1）圆的切线（）过切点的半径。

（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（）两条，就必然满足第三条。

5、例题精析：

例

1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB是⊙O的切线。

oACB

例2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。（无点作垂线证半径）

方法小结：如何证明一条直线是圆的切线

四、当堂检测

1、下列说法正确的是（）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

2、已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线.C O A

OEBDAC 1

3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

五、归纳总结

六、作业布置 教学反思

反思：

一、合理设计课堂结构和问题。新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：

（一）、在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。

（二）、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且画图帮助学生理解分析。得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。

（三）、应用命题。根据活动二的两个结论，我设计了两个不同类型的例题。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。

二、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生分析认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。

用曲线的区域讨论二次曲线的切线 篇14

1二次曲线的区域

定义1平面上含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的内部, 不含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的外部[2].

由此定义可知, 二次曲线把平面分成了两个区域, 二次曲线本身是这两个区域的公共边界.

定理1平面上二点M1 (x1, y1) , M2 (x2, y2) 同属于二次曲线f (x, y) =0的内部 (或外部) 的充要条件是[2]

f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0.

证明先证条件的必要性.

设若M1, M2同属于内部 (或外部) , 但f (x1, y1) ·f (x2, y2) <0, 过M1, M2连一条与f (x, y) =0不相交的曲线l (对圆、椭圆、抛物线, l显然存在, 对双曲线, 可将平面视为扩充平面, 则双曲线两支构成一条封闭曲线, 于是l存在) .因f (x, y) 的连续性, 在l上至少存在一点M0 (x0, y0) 使得f (x0, y0) =0, 即M0既在l上, 又在二次曲线f (x, y) =0上, 这和l与f (x, y) =0不相交矛盾.故M1与M2不都属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 即一点在内部, 一点在外部.

再证条件的充分性.

设f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0. (1)

要证M1 (x1, y1) 与M2 (x2, y2) 同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) .

由于f (x, y) =0, 故由f (x, y) 的连续性可知, 在平面上至少存在两点P1 (x1*, y1*) , P2 (x2*, y2*) 使

f (x*1, y*1) ·f (x*2, y*2) <0. (2)

由必要性知, P1与P2必不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 设若M1与M2也不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 则内部与外部各有一点.不妨设P1与M1属于内部, P2与M2属于外部.由必要性便有

由此可得

但由 (1) 与 (2) 却有

(3) 与 (4) 矛盾, 故M1与M2必同属于内部 (或外部) .

根据上述定理, 我们就可以得出如何判断平面上一点 (除曲线上的点外) 是属于二次曲线的内部还是外部.圆是椭圆的特例, 故我们只就标准化了的椭圆、双曲线、抛物线进行讨论.

1.1平面上一点是属于椭圆的内部或外部的判断

由此得出, 对点M (x0, y0) , 若

则M点属于椭圆内部, 否则属于外部.

1.2平面上一点是属于双曲线的内部或外部的判断

则M点属于双曲线内部, 否则属于外部.

1.3平面上一点是属于抛物线的内部或外部的判断

抛物线f (x, y) =y2-2px.可类似1.1的推导过程得到对点M (x0, y0) , 若

y20-2px0<0.

则M点属于抛物线内部, 否则属于外部.

2二次曲线的切线条数的判定和切线方程

2.1过平面上一点作椭圆的切线

由于过点M (x0, y0) , 故有

即 (x20-a2) k2-2x0y0k+ (y20-b2) =0. (6)

由 (6) 解出k, 代入 (5) , 即得过点M (x0, y0) 的给定椭圆的切线.

由于 (6) 中关于k的二次方程有

所以, 当

时, 方程 (6) 分别有二不等实根、二等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.

考虑到前面判定点属于椭圆的内部还是外部的方法, 由 (7) 可得出如下结论:

过椭圆外部的点给椭圆可作两条切线;过椭圆上的点可作一条切线;过椭圆内部的点不能作切线.

2.2过平面上一点作双曲线的切线

由于过点M (x0, y0) , 故有

由 (9) 解出k, 代入 (8) , 即得过点M (x0, y0) 的给定双曲线的切线.

由于 (9) 中关于k的二次方程有

所以, 当

时, 方程 (9) 分别有二不等实根、二相等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.

于是根据同样的理由, 由 (10) 可得出如下结论:

过双曲线外部的点给双曲线可作两条切线;过双曲线上的点可作一条切线;过双曲线内部的点不能作切线.

2.3过平面上一点作抛物线的切线

过点M (x0, y0) 给抛物线y2=2px (p>0) 作切线.

由文[3]中定理2的证明方法可推出, 所给抛物线的切线为

由于过点M (x0, y0) , 故有

由 (12) 解出k, 代入 (11) , 即得过点M (x0, y0) 的给定抛物线的切线.

对于抛物线可进行类似的讨论, 得出同样的结论.总之, 过二次曲线的外部任一点, 给二次曲线可作两条切线, 过二次曲线上的点, 给二次曲线只能作一条切线, 过二次曲线内部的点不可能给二次曲线作切线.

参考文献

[1]邓兴琪, 李原.关于圆锥曲线切线的判定与求法[J].中学数学, 1990, (21) :24-26.

[2]周华生.二次曲线切线方程的进一步讨论[J].数学通讯, 1983, (11) :25-26.

切线 篇15

目前,在乳腺癌放射治疗实践中,切线野照射仍然是乳腺癌体外照射较常用的方法[1]。由于乳腺及胸壁的弯曲,为改善靶区剂量分布的均匀性,必须加组织补偿。外插物理楔形板(physical wedge)、动态楔形(dynamic wedge)[2]及动态调强(sliding window)为最常用而便捷的方法,本文将比较这3种组织补偿方法在乳腺癌切线照射时的优劣,为物理师在制作治疗计划时提供参考。

1 材料与方法

1.1 材料

使用瓦里安eclipse治疗计划系统8.6.15版本PBC算法,以及瓦里安23EX直线加速器测量数据。

1.2 方法

选择乳腺癌切线野照射患者,由副主任医师勾画出拟照射乳腺及胸壁轮廓,双侧肺及脊髓。由中级职称物理师设计治疗计划及2个切线照射野,观察BEV图,分别调整射野方向,使之达到最好的切线效果。根据经验,选择比较3种物理楔形板(45、30、15°),相同楔形角动态楔形,插入多叶准直器(multileaf collimator,MLC),使之适形于靶区,MLC外放6 mm,相交于叶片中点,处方剂量为40 Gy,计算并记录各自机器跳数、Dmax、Dmean。复制治疗计划,删去MLC,动态调强逆向优化参数靶区0%体积42 Gy,100%体积40 Gy,优先度(priority)均为50,优化出最好的通量图,计算MLC滑窗式运动模式,再正向计算各野剂量,记录相同参数。

2 结果

100%靶区体积40 Gy,3种组织补偿模式剂量学参数(见表1):45°和30°物理楔形板所需机器跳数最大,分别为510 MU和430 MU;15°动态楔形所需机器跳数最小,为239 MU,15°物理楔形板和动态楔形靶区最大剂量分别为46.3 Gy和45.5 Gy,均匀性较好。动态调强模式Dmax为44.5 Gy,比物理楔形板和动态楔形分别低3.9%和4.3%,但动态调强模式所需机器跳数为415 MU,比物理楔形板和动态楔形分别高23.1%和42.4%。由于远离脊髓和心脏,三者对该2种器官影响无差别。

3 讨论

物理楔形板包括固定角度楔形板及一楔合成用的主楔形板。虽然一楔合成可以形成0～60°任意楔形角度野,但楔形角一旦确定,整个射野内剂量分布几乎不变,它产生的是一维线形等剂量分布。物理楔形板还是一种特殊的射线滤过器,在楔形方向对射线质影响较大。使用物理楔形板后,射野输出剂量率降低、所需机器跳数增加、照射时间延长[3]。动态楔形可以克服物理楔形板这些固有的缺点。

动态楔形是利用独立准直器的运动实现的[4,5],如图1所示,开始时,左右准直器叶片处于射野边缘位置;照射开始后,假设左叶片不动,右叶片运动到“1”的位置,照射一段时间后,再运动到“2”的位置,如此前进,直到与左叶片重合,各点照射时间分布图经刻度后变为剂量分布图。如果右叶片在每个位置上停留的时间相同,则会形成类似固定角度楔形板的楔形照射野,形成一维线性等剂量分布。如果右叶片每步停留的时间不同,或左右叶片同时分步运动,则可形成一维非线性等剂量分布。如果上下2对独立准直器都可以独立运动,则可实现二维调强[6]。姚红军[7]等单纯从剂量学方面将动态楔形与物理楔形板相比较,结果是动态楔形完全可以替代物理楔形板,并能提高工作效率和机器的使用率。

动态调强是利用多叶准直器(MLC)相对应的一对叶片的相对运动,实现对射野强度的调节。它包括动态叶片(dynamicleaf collimation)、旋转调强放疗(intensity modulat-ed ARC therapy,IMAT)、动态MLC扫描(scanning leaf)。其特征是叶片运动过程中,射线一直处于开的状态。本研究使用的是动态叶片调强作组织补偿,在文献中也称为相机快门技术,叶片跟随技术或滑窗技术。其特点是一对相对叶片总是向一个方向运动,2个叶片中,有1片称为引导片(leading leaf),先运动到一个位置;另1片称为跟随片(trailing leaf),按选定的运动速度,给出各点所需要的强度。通过以上分析可知,调强技术的多叶片相对运动所获得的组织补偿在理论上是最理想的,仅在进行切线补偿时略优于动态楔形,但所需的机器跳数却多很多,并且运动复杂,对叶片电动机要求高,机器故障率高。

4 结论

3种方式作组织补偿时,动态调强模式靶区均匀性最好,但所需机器的跳数最大。选择合适的物理楔形板后,乳腺癌靶区均匀性与相同角度动态楔形近似,但所需的机器跳数较大(大25.1%)。动态楔形靶区均匀性略差于动态调强模式,但比使用物理楔形板好,而其所需的机器跳数则明显小于动态调强模式和物理楔形板模式。从乳腺癌靶区均匀性和所需的机器跳数2个方面考虑,3种模式中动态楔形是最理想的组织补偿方式。

摘要：目的:比较乳腺癌切线照射时物理楔形板、动态楔形及动态调强3种组织补偿形式的优劣。方法:使用材料为瓦里安eclipse 8.1治疗计划系统,瓦里安23EX直线加速器6 MV X线。选择乳腺癌切线野照射患者,物理楔形板、动态楔形分别选择相同并合适的楔形角度,动态调强逆向优化参数靶区0%体积42 Gy,100%体积40 Gy。记录比较所需机器跳数及靶区的均匀性。结果:100%靶区体积40 Gy,3种情况下,45°和30°物理楔形板所需机器跳数最大,分别为510 MU和430 MU,15°动态楔形所需机器跳数最小,为239 MU。15°物理楔形板和动态楔形靶区最大剂量分别为46.3 Gy和45.5 Gy,均匀性较好。结论:动态楔形靶区均匀性略差于动态调强模式,但较物理楔形板好,而其所需的机器跳数则明显低于动态调强模式和物理楔形板模式。综合考虑,建议乳腺癌切线照射时使用动态楔形作组织补偿。

关键词：切线照射野,乳腺癌,动态楔形,物理楔形板,动态调强,均匀性

参考文献

[1]胡逸民.肿瘤放射物理学[M].北京:原子能出版社,1999.

[2]赵金早,那连涛,程玉龙.动态楔形板板板应用的研究[J].中国当代医学,2006(16):33-34.

[3]王丹,吴钦宏,朱庙生.乳腺癌放疗应用动态楔形板板板和物理楔形板对健侧乳腺和肺受量的影响[D].上海:中国科学院上海冶金研究所,2000.

[4]Khan F M.Clinical electron dosimetry.Report of AAPM radiation ther-apy committee task group No.25[J].Medical Physicis,1991,18:73.

[5]Gerbi M P.Total skin electron arc irradiation used a relined patientposition[J].Int J Radiat Oncol Biol,1989,17:397.

[6]Khan F M.Total skin electron therapy:technique and dosimetry[J].American Institute of Physics,1990,19:462-466.