NSGAⅡ算法

NSGAⅡ算法（精选7篇）

NSGAⅡ算法 篇1

实际中,诸多问题均是由相互冲突和影响的多个目标组成。即多目标优化问题( Multi - objective Optimization Problem,MOP)[1,2]。多目标优化问题在工程应用等现实生活中普遍存在,并处于重要的位置,这些实际问题通常较为复杂,如问题的表达式过于复杂,或表达式存在不可微,不可导的情况。

2002 年Deb等人提出了一种改进型非支配排序遗传算法( Non - Dominated Sorting Genetic Algorithm,NSGA - II)[3]。算法先对种群中的个体按照支配关系进行分层,处于同一层上的各个个体都是彼此非支配的,且层级序值小的个体支配层级序值大的个体。然而,NSGA - II中使用的变异算子属于单点变异,个体的变异范围在线性范围内变异。这就导致种群在进化工程中的种群多样性受到影响,最终降低非劣最优解集的多样性。为克服单点变异带来的不足,本文提出了极坐标变换的变异算子,该算子可使个体在一个超球体范围内随机变异,能够有效增加种群多样性。最终可增加非劣最优解集的多样性。

1 多目标优化问题描述

多目标优化问题用文字描述为D个决策变量参数、N个目y标函数、m + n个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。在非劣解集中决策者只能根据具体问题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。多目标优化问题的数学形式可以描述为[3,4]

其中,x为D维决策向量; y为目标向量; N为优化目标总数; fn( x) 为第n个目标函数; X是决策向量形成的决定空间; xd_max和xd_min为每维向量搜索的上下限。

对于多目标优化问题中非劣最优解可进行如下定义:

定义1(Pareto支配)[4]

对任意的d∈[1,D]满足x*d≤xd且存在d0∈[1,D]有x*d0<xd0,则向量X*=[x*1,x*2,…,x*D]Pareto支配向量X=[x1,x2,…,xD]。记作。

f( X*) 支配f( X) 必须满足以下两个条件

当时。

定义2(Pareto最优解)[5]

Pareto最优解是不被可行解集中的任何解支配的解,若X*是搜索空间中的一点,则X*为非劣最优解,当且仅当不存在X(在搜索空间可行域中)使得fn(X)≤fn(X*)成立,n=1,2,…,N。

定义3(Pareto前沿)

由所有非劣最优解组成的集合称为多目标优化问题的最优解集,也称为可接受解集或有效解集。

2 基于极坐标变换的变异算子

对于多目标优化问题的解,具有良好多样性的解集是更加理想的解集。为使文中获得分布范围更加均匀的解集,可通过修改变异算子来增加种群的多样性,从而获得具有更好多样性的解集。在传统的NSGA - II算法中采用性能较差的单点变异算子,单点变异算子的功能简单,但同时带来的问题是,使用单点变异算子限制了个体的变异范围,不利于增加种群的多样性,使得最终解的多样性变差。在空间中使用极坐标变换可使种群中的个体在围绕个体的整个超球体内随机变异,是个体变异范围更加广泛。因此,本文在NSGA - II算法的基础上对NSGA - II算法的变异算子的进行了改进。

极坐标: 在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向( 通常取逆时针方向) 。用 ρ 表示线段OM的长度,θ 表示从Ox到OM的角度,有序数对( ρ,θ) 就叫点M的极坐标。极坐标到直角坐标的转换如下: x1=ρcosθ; x2= ρsinθ。对于种群中的每个个体X = [x1,x2,…,xd,…,xD],xi是个体中的一维,对于xi的变换采用极坐标变换xi= ρcosθ,其中 ρ = max ( xd_max- xi,xi-xd_min) 。对于 θ,为提高 θ 的精度,θ 是[0,2π]之间的随机数。

本文提出了一个新的变异算子,对于个体X =[x1,x2,…,xd,…,xD],变异算子如下

通过该变异算子,可使原个体变异在围绕 ρ =max( xd_max- xi,xi- xd_min) 不规则超球体体内随机变异,通过

可使种群个体不会超出可行域。保证了解的有效性。通过这样的变异算子可以增大种群的多样性,使得最终解具有更好的多样性。

2. 1 基于极坐标变换的改进NSGA - II算法

2. 1. 1 选择算子

选择过程采用基于局部竞争机制的二元联赛选择算子[6],其先在种群中随机选择个个体进行比较,然后根据两者的支配关系选择一个个体,这种选择机制使得个体被选择的概率不与适应度值大小直接成比例,可避免新种群中的个体太聚集。

2. 1. 2 杂交算子

交叉采用SBX方式[7],SBX算子可将父体中优良个体基因遗传到下一代某个子串中,确保遗传算法跳出局部最优解收敛于全局最优解,个体i和个体j的第k位基因Ii,k和Ij,k按如下方式进行交叉

其中

其中,r是[0,1]的随机数; ηc是分布指数。

2. 2 算法过程

基于极坐标变换的改进NSGA - II算法( PNSGA -II) 的步骤如下:

步骤1令t = 0,初始化种群P ( t) ,种群个数为N;

步骤2 计算P( t) 中每个个体的适应度值;

步骤3 用二元联赛选择算子从种群P( t) 中选择N /2 个个体;

步骤4 对选择的N/2 个个体进行模拟二进制杂交操作,对产生的N/2 个新个体与步骤3 中的个体进行合并,产生N个个体的种群;

步骤5 对步骤4 产生的种群个体进行极坐标变异操作;

步骤6 将种群P( t) 中的N个个体和步骤3 中产生的N个后代,合并成规模为2N的种群P'( t) ;

步骤7 计算P'( t) 中每个个体的适应度值,根据快速非支配排序[8]的结果,选择N个个体;

步骤8 若满足终止条件则算法停止; 否则,则转步骤3,令t = t + 1。

3 仿真实验

3. 1 测试函数选择

本文通过测试4 个典型的测试函数( ZDT1、ZDT2、ZDT3 和ZDT6 函数)[9,10],对比算法NSGA - II和PNSGA - II来验证所提算法的有效性。各测试函数的表达式如下

其中

本文所选用测试函数的理想Pareto Front如下所示。由图可看出,ZDT1的Pareto Front是个凸曲线,ZDT2的Pareto Front是一个凹曲线,ZDT3的Pareto Front是一个离散的曲线,ZDT6的曲线也是一个凹曲线。

3. 2 实验结果

为保证实验结果的准确性,设定如下实验参数: 种群规模为300; 迭代次数为1 000; 每个函数的测试次数为30; 种群变异概率为0. 3; 种群杂交概率为0. 8。对上述4 个测试函数进行实验,得到测试结果如下。

3. 3 实验分析

由实验结果可看出,PNSGA - II算法可使各个测试函数达到理想的Pareto Front。同时,相比较于NSGA - II算法,PNSGA - II算法得到的Pareto Front分布更加广泛。因此,与NSGA - II相同,PNSGA - II求出的Pareto最优解接近Pareto最优边界,收敛速度更快更稳定,且这些Pareto最优解在整个Pareto最优边界上分布更均匀。因此,算法PNSGA - II在解决多目标函数优化问题时优于算法NSGA - II,表明了所提算法PNSGA - II的有效性。

4 结束语

NSGA - II作为求解多目标优化问题理想的方法之一,表现出了良好的性能。但NSGA - II在最优解的多样性方面仍存在一些,如最优解分布不广泛等缺点。因此,本文基于极坐标变换提出了一种改进的NSGA - II算法,将极坐标运用于遗传算法的变异算子,并在此基础上提出了PNSGA - II算法。实验证明了所提算法PNSGA - II的有效性。

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NSGAⅡ算法 篇2

1989年,Goldberg首次提出将Pareto理论和进化算法相结合来求解多目标优化的问题,之后绝大多数多目标优化算法都是基于Pareto概念被提出［3，4］。一些学者相继提出了MOGA,NSGA和NPGA等多目标进化算法［5］。近些年来,一些较新的仿生学算法和运筹学相关理论被引进多目标优化领域,如遗传算法、免疫算法［6，7］、博弈理论等。 2002年,Deb等学者通过改进NSGA,提出了NSGA- Ⅱ［8］。2004年,Luh等使用细胞因子处理约束问题,提出了免疫多目标优化算法CMOIA［9］。2006年,Gaoping Wang等提出了基于博弈理论的多目标协同进化算法［10］。

本文将NSGA-Ⅱ引入桁架结构优化设计中,对原算法提出了改进措施,通过经典桁架结构的多目标优化算例验证了其有效性。

1多目标进化算法NSGA-Ⅱ

1. 1基本算法的简单描述

从算法的主要过程介绍原算法,基本步骤描述如下。

( 1) 根据变量个数和目标函数个数设置优化参数。

( 2) 随机生成初始种群,每个个体都包含优化变量,形成该个体的基因序列。

( 3) 依次提取初始种群个体的优化变量,进行相关操作获得目标函数值,将其添加到基因序列中。

( 4) 对所有个体进行快速非支配排序并分配非支配层等级编号,计算各非支配层上个体的拥挤距离,将非支配层等级编号和拥挤距离添加到所有个体的基因序列。进入主循环。

( 5) 基于拥挤度比较机制通过锦标赛选择选出第一代父代精英个体,添加到交配池。对交配池中的个体进行基因重组和变异操作,产生相同数量的子代,提取所有子代个体的基因信息,进行相关操作得到目标函数值。

( 6) 父代与子代合并,进行快速非支配排序和分配非支配层等级编号,计算拥挤距离,使用精英保留策略,保留其中优质个体组成新的父代种群。

( 7) 判断是否满足优化终止条件。如果满足, 计算停止,输出优化方案信息; 如果不满足,回到第( 5) 步,进入循环操作直至满足优化终止条件。

1. 2算法改进

1. 2. 1符号编码和修正算子

对于存在离散变量的优化问题,对离散变量采用整数符号编码的编码方式。符号编码解码时,将符号编码映射到离散变量空间,找到具有相同编码的离散变量,提取变量信息。这一做法保证了算法在离散变量空间内进行搜索。

多数符号编码的整数在进行遗传操作之后会变成带小数,于是设计了修正算子,在个体进行交叉变异之后对基因串中的符号编码进行修正。假设xi是经过交叉变异的符号编码,yi －1和yi +1是离散空间中xi所在符号编码区间的左右端点,修正算子如下:

式( 1) 中,v是( 0,1) 之间的随机数,由计算机自动生成。

1. 2. 2拥挤度更新机制

在进行遗传操作之前,要依据非支配层编号和拥挤度对个体进行锦标赛选择,同一非支配层上的个体进行比较时,拥挤度小的会被选作优秀个体进行交叉变异操作,拥挤度大的则被淘汰,这一做法保留了优秀个体的优良基因。但是有很多分布均匀、 连续排列的个体,因为拥挤距离相对较小,集体被淘汰,导致Pareto面上出现种群分布断层［11，12］。

为了避免发生这种情况,提出了拥挤度更新机制,这一机制在锦标赛选择时发挥作用。假设个体xi被淘汰,则分别计算在同一非支配层上xi到左右最近个体xi －1和xi +1的直线距离,假设xi到xi －1的直线距离小于阈值L,则对个体xi －1进行拥挤距离重计算。重计算的方法是忽略之前被淘汰的点,再计算一次个体xi －1在剩余种群中的拥挤距离,并更新拥挤距离。

阈值L的计算公式:

式( 2) 中,lmax为所在非支配层左右边界点的直线距离; p为所在非支配层个体数; pop为种群个体总数,阈值根据种群密度自动调节大小,非支配层上的种群密度越大,阈值越小。

1. 2. 3引导性交叉算子和自适应变异算子

在一些经典文献［13—15］中可以看到,对于多目标优化算法,实数编码的个体一般采用模拟二进制交叉和多项式变异,整数符号编码对其同样适用。但是这种交叉变异的方式没有考虑个体的差异性,交叉操作中分布相对较好的个体拥有更优质的基因, 在交叉时没有得到更大的发挥; 同样,对全部个体采取相同的变异操作也具有一定的盲目性。针对以上问题,对交叉变异算子采取了改进措施。

为了使父代双方和中更优秀个体的基因更大程度地被遗传到下一代,设计了引导性交叉算子:

式( 3) 中,

u是( 0,1) 之间的随机数; p1和p2分别是父代双方的基因序列中的设计变量; i = 1或2,,依据个体的非支配层等级和 拥挤度比较p1和p2的优劣,即对于不同非支配层上的个体,非支配层等级靠前的更优,处于同一层的个体拥挤度小的更优; α 为引导系数( α ≥1) ,α 越大, 交叉产生的子代基因越接近更优父代的基因。

为了使种群分布更加均匀,使个体能根据拥挤度自动调节变异大小,即拥挤距离小的发生大变异, 拥挤距离大的发生小变异,设计了自适应变异算子:

式( 4) 中,

γ 是( 0,1) 之间的随机数; p是变异个体的设计变量; pu和pl分别是设计变量对应的上下限; dmax是该支配层上除边界点外的最大拥挤距离; dmax是个体平均拥挤距离; d是变异个体的拥挤距离。

1. 2. 4动态模糊罚函数法

对于有约束的优化问题,一般先将其转化成无约束的问题,再进行求解,最常用的转化方法是罚函数法［16］。使用传统的罚函数法来处理约束条件,不满足约束条件的个体都会被淘汰,个体信息没有充分利用,因为靠近可行域的边缘点有可能通过交叉变异进入可行域,生成更优秀的个体。为了充分挖掘这些点的潜力,采用动态模糊罚函数法来处理结构优化中约束问题。

具体做法是: 先将约束条件进行无量纲处理,写成g( x,h) - 1 ≤0的形式,设个体i违背第j个约束的程度为

式( 5) 中,xi和hi为设计变量。

假设一共有m个约束条件,惩罚项为

式(6)中,,N为当前进化代数,q为惩罚系数。

在进化初期,约束违背程度和违反的约束个数控制惩罚力度,一些靠近可行域的边缘点被保护下来,惩罚力度随着进化代数增加不断加大,中后期不满足约束条件的个体被逐步淘汰。存在一种特殊情况,约束违背程度很小的个体在进化初期被保留下来,该个体特别优秀,进化过程中没有遭到淘汰,成为备选方案。为了避免出现这样的情况,干扰决策者选择最终方案,对每个违反约束的个体的基因进行标记,算法收敛时一并删除。

2桁架结构多目标优化

桁架结构多目标优化设计,是为了在满足约束条件的情况下使结构的质量和变形尽可能达到最小。将m杆桁架结构作为研究对象,优化目标是找出所有杆件的最优截面面积以及结构最优的形状尺寸,尽量减轻结构重量的同时尽可能减小结构的变形。数学模型表示为

寻求A = [A1,A2,…,Am]T;

目标函数:

式中,A = [A1,A2,…,Am]T为设计变量,m为杆件分类数; W是结构质量; ρi、Ai和li分别为第i组杆件的密度、截面积和长度; Γ 是惩罚项; ulk为k节点在l方向上的位移; σi和[σi]分别为第i组杆件不同工况下最不利应力值和应力允许值; { A} 是杆件截面积变量集。

3数值算例

为验证改进措施对于桁架多目标优化的有效性,对一经典桁架结构进行优化分析,并与NNIA等算法进行比较。NSGA-Ⅱ改进算法( 以下简称为“本文算法”) 参数设置: 初始种群个体数为100,交配池容量为50,最大进化代数为300代。

结构如图1所示,材料的弹性模量E = 6. 895 × 104MPa,密度 ρ = 2. 768 × 103kg / m3,各杆的拉压应力允许值为 ± 275. 8 MPa,L = 635 mm。

杆件截面积离散集: 645. 16 × { 0. 1,0. 2,0. 3, 0. 4,0. 5,0. 6,0. 7,0. 8,0. 9,1. 0,1. 1,1. 2, 1. 3,1. 4,1. 5,1. 6,1. 7,1. 8,1. 9,2. 0,2. 1, 2. 2,2. 3,2. 4,2. 5,2. 6,2. 7,2. 8,2. 9,3. 0, 3. 1,3. 2,3. 3,3. 4 } mm2。荷载工况见表1,杆件分类见表2,优化目标是结构总质量和节点最大位移同时最小化。

为验证本文算法有效性,将其与多目标免疫算法NNIA以及原算法进行比较,初始种群个体数均取100。

本文算法和NNIA的Pareto前沿对比如图2所示。可知,经过300次迭代本文算法和NNIA算法均已收敛,Pareto前沿吻合较好。

算法收敛曲线如图3所示,由图可知,本文算法的收敛速度快于NNIA算法和原算法。在不同的迭代次数下极值点坐标见表3,比较可知,本文算法在相同迭代次数下,Pareto前沿端点能延伸到更远。

对于同一桁架结构,在应力约束相同,节点1、2的最大竖向位移不超过8. 889 mm的情况下,文献[17—19]单目标最优解见表4和图4。本文算法迭代300次的Pareto前沿与文献[17—19]单目标解对比如图4所示。特殊点A点处的杆件截面积和文献[17—19]结果对比见表4。

图4显示,文献[17—19]的单目标最优点均位于特殊点A附近的Pareto前沿面上。

在式( 7) 中,S表示特殊点与单目标最优点的靠近程度,文献[17—19]中单目标解相对于特殊点A的S值分别为98% 、99% 、95% ,因此文献[17— 19]的单目标最优点与特殊点A是非常靠近的。可知,本文算法能搜索到单目标最优解,而且单目标最优解是多目标非支配解集的一个子集,相对于单目标优化算法,本文算法的Pareto前沿包含了更多的优质解,可以给设计者提供更多的设计方案。

式(7)中,,WA、W分别为特殊点和单目标最优解的横坐标值,,DA、D分别为特殊点和单目标最优解的纵坐标值。

4结语

基于多目标进化算法NSGA-Ⅱ,结合桁架结构多目标优化设计特点,在编码方式、拥挤距离计算、 约束条件处理方面进行了改进。应用改进算法对经典的桁架结构进行优化,并将优化结果与原算法、 NNIA以及相关文献的优化结果进行比较分析,表明改进算法收敛效果好,计算稳定,相对于原算法, 全局搜索能力和收敛速度都有所提高。适合应用在桁架结构的多目标优化设计中。

摘要：为克服桁架结构多目标优化设计中约束条件和离散变量处理困难、收敛效率低等问题,在保留原算法优点的同时,对多目标进化算法NSGA-Ⅱ进行了改进。为了验证改进效果,对经典的空间桁架结构进行了优化;并与其他算法的优化结果进行了比较。结果表明改进算法在桁架结构优化中的表现优于原算法和其他算法,具有良好的收敛性和稳定性。

NSGAⅡ算法 篇3

1 配电系统数学模型

研究配电网分布式电源规划问题, 首先需要建立负荷及DG单元的数学模型。本文选取风力发电、光伏发电2 种典型的分布式电源进行优化规划, 分布式电源功率因数设置为1。

1. 1 风力发电模型

受间歇性风力资源的影响, 风力发电机组的出力服从Weibull分布[7]:

式中: k为形状参数; c为尺度参数; k1= Pr/ ( vr- vci) 为风机有功出力变化率; k2= - k1vci为风机初始有功出力; vci为切入风速; vr为额定风速; Pr为额定输出有功。

1. 2 光伏发电模型

光伏发电输出功率主要与太阳光照强度、环境温度、光照面积及光电转换效率有关, 其输出功率的概率密度函数为[8]

式中: Γ 为Gamma函数; α 和 β 为Beta分布的形状参数; Pmax为光伏发电最大输出有功功率。

1. 3 负荷模型

建立的负荷模型考虑了其时变特性及电压特性, 对应模型为[3]

式中: Pi ( t) 和Qi ( t) 分别为时段t中节点i处注入的有功和无功功率; PLi ( t) 和QLi ( t) 分别为时段t中节点i处额定电压下的有功和无功负荷功率; Vi为节点i处电压幅值; np和nq为相关电压指标。

2 配电网DG优化规划多目标数学模型

2. 1 投资运行成本目标函数

综合考虑DG的投资及运行维护费用, 建立考虑年投资运行费用的指标为

式中: NT为DG接入的节点个数; αDGi为DG投资年费用折算系数; Pirated为节点i处接入DG的有功功率; Cifixed为节点i处接入DG的单位投资成本; Ciop为节点i处接入DG的单位运行维护费用。

2. 2 网络损耗目标函数

典型的3 节点配电系统如图1 所示。

基于网络潮流计算得支路j的有功损耗为

式中: Rj为支路j上的电阻和电抗; Vi为节点i处的电压幅值; Pi + 1和Qi + 1分别为节点i + 1 处流过的有功和无功功率。

DG未接入时整个配电系统的网络损耗为

式中: Nb为配电网络支路个数。

考虑DG接入时支路j的有功损耗为

DG接入时整个配电系统的有功损耗为

结合式 ( 1) 、 ( 2) 建立配网中有功损耗指标为

由式 ( 3) 可知, 本文所建立的有功损耗指标越大越合理。

2. 3 电压稳定性目标函数

由图1 可见, 基于网络潮流得支路j的电压稳定性指标为[9]

整个配电网络的电压稳定性指标定义为

2. 4 DG优化规划目标函数

综合考虑DG投资运行指标、网络有功损耗指标及电压稳定性指标的多目标优化数学模型为

式中, h ( u, x) = 0 和g ( u, x) = 0 分别为DG优化规划过程中的等式约束和不等式约束。

3 改进NSGA - Ⅱ算法

NSGA - Ⅱ算法提出的精英保留策略、快速非支配排序策略及拥挤度策略, 很大程度改善了传统多目标优化算法收敛速度及全局搜索性能[10], 但是其采用的个体pareto排序值策略不能很好地反映个体周围的密度信息。因此, 引入累积排序适应度赋值策略时从个体的pareto排序值和密度信息的角度选择更新当前代个体[11]。基于改进NSGA - Ⅱ 算法的分布式电源优化规划流程如图2所示。

4 算例分析

4. 1 算例相关参数

基于matlab7. 0 仿真软件编写分布式电源多目标优化规划程序, 测试系统采用IEEE - 33 节点配电网, 其网架结构如图3 所示, 对应主要参数见文献[12]。风力发电 ( WT) 的待选安装位置为18、22, 光伏发电 ( PV) 的待选安装位置25、33 号节点。分布式电源投资与维护相关参数如表1 所示。

算法参数设置如下: 迭代次数为300, 种群规模100, 交叉和变异率分别为0. 92、0. 2。采用类均值的方法将风力发电、光伏发电随机波动出力等效为常规机组出力, 负荷模型中设置np= nq= 0。

4. 2 方法可行性分析

分布式电源在配电网中的多目标优化规划pareto解集空间分布如图4 所示。其pareto解集空间分布均匀, 其中电压稳定裕度指标由于变化幅度很小, 具体指标从图形上难以显示, 说明利用改进的NSGA- Ⅱ算法很好地改善了原有算法的全局搜索性能。

选取几种典型的多目标优化规划解进行比较分析, 其相关指标如表2 所示。

由表2 可知, 方案1 投资维护成本最低, 但其有功损耗及电压稳定裕度最差; 方案2 有功损耗及电压稳定裕度指标最优, 但其投资成本最高; 方案3折中了方案1 和方案2 目标函数权重, 目标函数综合较优。

考虑到优化规划过程中电压稳定裕度指标变化相对较小, 故从系统整体电压水平来分析其电压性能, 不同方案下的系统电压水平分布情况如图5所示。

从图5 可知, 方案1 的有功损耗为176. 09 k W, 方案2 的有功损耗为160. 47 k W, 方案3 的有功损耗为167. 11 k W; 而潮流计算下的有功损耗为202. 66 k W。可见, 最佳的电压分布水平为方案2。

综合以上分析可知, 分布式电源合理接入配电网能有效提高系统电压水平和降低系统网络损耗, 但是, 大规模分布式电源接入会导致投资运行成本过高, 因此, 根据从多目标优化的角度合理规划分布式电源接入就显得尤为重要。

5 结论

1) 建立了综合考虑分布式电源投资成本、系统有功损耗及电压质量的多目标优化规划数学模型。提出了一种改进的快速非支配遗传算法用于分布式电源在配电网中的优化规划。

2) 算例结果表明, 随着投资成本增加, 分布式电源合理规划能有效减少有功网络损耗和提高系统运行电压水平。

3) 采用多目标优化算法进行分布式电源规划能为决策者提供多样性的优化方案, 有助于实际工程运用。

摘要：分析配电网中分布式电源的优化规划问题, 提出一种系统有功网损指标, 建立了综合考虑分布式电源投资运行成本、系统有功损耗及电压质量的多目标优化规划数学模型。采用改进的快速非支配遗传算法用于分布式电源在配电网中的优化规划, 在计算过程中引入累积排序适应度赋值策略以改善算法的寻优性能。对IEEE-33节点配电网进行仿真计算, 结果表明该方法能提供全面合理的规划方案, 有助于实际工程应用。

关键词：配电网,分布式电源,NSGA-Ⅱ算法,有功网损,多目标优化规划

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NSGAⅡ算法 篇4

通用涡旋压缩机关键零部件参数的优化设计是提高整机性能的重要途径。由参考文献[1,2,3,4,5,6]可知,传统的涡旋压缩机动静涡旋盘的优化设计主要是从行程容积Vs和内容积比Rv、能效比、体积利用系数、压缩比、压缩机摩擦功耗和泄漏损耗等方面来考虑的,再把其中一个或两个作为目标函数,涡旋盘的基本参数(如高度、渐开角、圈数等)作为约束目标来进行优化,而这些优化有其不足之处:第一是没有考虑到对压缩机整机性能有重要影响的动静涡旋盘上受到的气体力和力矩;第二是没有把压缩机整机性能的重要评价指标——能效比纳入优化目标,有的文献中虽然将能效比作为优化目标,但只是将能效比作为单一的优化目标,没有联合其他优化目标;第三是优化方法主要是用目标达到法、惩罚函数法、非控制排序基因算法、遗传算法等,在这些优化方法中,当主要参数取值范围有特殊要求时,优化运算后参数就不一定满足要求或陷入局部极值,没有达到最优结果,甚至导致设计无效。而改进型遗传算法二能较好地克服上述缺点。本文主要结合改进的遗传算法即NSGA-Ⅱ和动静涡旋盘受到的气体力和力矩、能效比进行多目标优化设计。

1 NSGA-Ⅱ

1.1 基本原理

NSGA-Ⅱ的主要思想如下:一是利用非支配排序算法对种群进行非支配分层,然后通过选择操作得到下一代种群;二是使用共享函数的方法保持群体的多样性。相对于NSGA的三大缺陷,NSGA-Ⅱ有如下改进:计算复杂性降低,能够更好地保持种群的多样性和避免优秀个体的流失,而且无需主观地设定一些算法参数,从而进一步提高计算效率和算法的鲁棒性。该算法求得的Pareto最优解分布均匀,收敛性和鲁棒性好。将NSGA-Ⅱ应用于多目标优化,该算法一次运行可以获得多个Pareto最优解,决策者可根据系统的实际要求选择最终的满意解,为各目标函数之间的权衡分析提供了有效的工具[7,8,9,10,11]。

一般的多目标优化(MOP)问题包括N个决策变量、K个目标函数和L个条件。目标函数和约束条件是决策变量的函数。以最小为例,可用如下数学模型描述:

Vmin f(x)=[f1(x) f2(x) … fn(x)]T

s.t. x∈X

X∈Rm

式中,Vmin表示向量极小化,即向量目标函数f(x)中的各个子目标函数都尽可能地达到极小值。

1.2 适应度函数的确定

适应度函数可反映个体对环境适应能力的强弱,决定了个体的生存机会,适应度函数值大的个体就是好的个体,它的目标函数值大,其基因表现为较优解。将目标函数转化为适应度函数:

$f(x^{\prime }{}_i)=\frac{g(x{}_i)-g(x{}_i){}_{\min }}{g(x{}_i){}_{\max }-g(x{}_i){}_{\min }}(1)$

式中,g(xi)为种群中个体的目标函数;g(xi)max、g(xi)min分别为种群中目标函数的最大值、最小值。

2 NSGA-Ⅱ的应用

在确定目标函数之前需先确定出泛函通用涡旋型线的特殊涡旋型线,并确定出能效比优化函数、气体力及力矩目标优化函数。本文是在基于泛函通用涡旋型线的特殊涡旋型线的基础上,并在一定的假设条件下得到能效比公式的情况下研究多目标优化问题的。

2.1 基于泛函通用涡旋型线的特殊涡旋型线

已知共轭曲线可取函数类的通用表达式:

$s(\phi )=c{}_0+c{}_1\phi +c{}_2\phi {}^2+\cdots +c{}_n\phi {}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c}{}_k\phi {}^k(2)$

式中,s为型线弧函数;ck为涡旋型线泛函方程系数;φ为切向角。

当k=2,c0=0,c1=0时,其型线表征形式为

s(φ)=c2φ2

$R{}_s(\phi )=\frac{\text{d}s}{\text{d}\phi }=2c{}_2\phi (3)$

$\rho (\phi )=\frac{\text{d}s}{\text{d}\phi }=2c{}_2\phi (4)$

该曲线沿切向和法向的分解如图1所示。其中,Rs为切向向量;Rg为法向向量;ρ(φ)为曲率半径;θ为主轴转角。

由式(3)、式(4)可判定该型线为圆渐开型线。

2.2 优化变量的选取

由上可构造出通用涡旋压缩机涡旋盘的涡旋型线,而主轴转角 θ、涡旋型线渐开角 α、涡旋型线基圆半径a、涡旋圈数N、涡旋体高h这五个变量直接影响涡旋压缩机的加工难易程度、涡旋体受力以及轴向泄漏和摩擦等,同时动涡盘上的各种气体力及力矩(主要是轴向气体力Fa、径向气体力Fr、切向气体力Ft、倾覆力矩Mt、自转力矩Mr等)直接影响压缩机的整机性能,能效比又是评价压缩机性能最主要的指标,因此将它们作为优化变量,即

X=(θ,α,a,N,h,Fa,Fr,Ft,Mt,Mr,EER)=

(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11)

2.3 能效比优化函数说明

为了便于研究,不妨设涡旋压缩机制冷工质为R22,蒸发温度7.5℃,冷凝温度53.5℃,冷凝器出口温度45.2℃,吸气温度36.14℃。压缩机电机功率3.69kW,电机效率84%。主轴转速3150r/min。

该空调制冷循环工况下,各计算点的状态参数由R22热物理性质图表查取,如表1所示,在p-h图上的制冷循环如图2所示。

涡旋压缩机的能效比是压缩机单位时间的制冷量与输入功率的比值:

$E{}_{\text{E}\text{R}}=\frac{Q{}_{\text{e}}}{W{}_{\text{i}\text{n}}}$

式中,Qe为涡旋压缩机的制冷量,kW;Win为涡旋压缩机的输入功率,kW。

$Q{}_{\text{e}}=\frac{nV{}_{\text{s}}\eta {}_{\text{v}}q{}_0}{v^{\prime }{}_1}$

Vs=πp(p-2t)(2N-1)h

则

$Q{}_{\text{e}}=\frac{n\eta {}_{\text{v}}q{}_0}{v^{\prime }{}_1}\text{π}p(p-2t)(2{\rm N}-1)h(5)$

式中,n为主轴转速,r/s;Vs为主轴旋转一圈的吸气容积,m3;ηv为容积效率,%; q0为单位质量制冷量,kJ/kg;v′1为比体积;m3/kg;p为渐开线节距,mm;t为涡旋体壁厚,mm。

已知: n=3150r/min,ηv=0.95,q0=h4-h′2=136kJ/kg, v′1=0.043m3/kg。

则

Qe=9.464×105p(p-2t)(2N-1)h

$E{}_{\text{E}\text{R}}=\frac{Q{}_{\text{e}}}{W{}_{\text{i}\text{n}}}=\frac{9.464\times 10{}^{5}p(p-2t)(2{\rm N}-1)h}{3.69\times 0.84}=$

3.05×105×p(p-2t)(2N-1)h

为便于运用遗传算法进行优化,在此将能效比进行转化:

$f(E{}_{\text{E}\text{R}})=\frac{1}{E{}_{\text{E}\text{R}}}$

则优化目标是使f(EER)最小,即

$f(E{}_{\text{E}\text{R}})=\frac{1}{E{}_{\text{E}\text{R}}}=\frac{3.27\times 10{}^{-6}}{p(p-2t)(2{\rm N}-1)h}$

2.4 气体力及力矩目标优化函数说明

作用在动静涡盘上的力分为气体作用力和非气体作用力两大类。涡旋压缩机的压缩腔是对称型的,所以动静涡旋盘上承受着相同的气体作用力,作用在静涡盘上的气体力主要引起涡旋压缩机的振动和噪声。由于在主轴一个周期内气体力较稳定,故与往复式压缩机相比,这种振动与噪声是比较小的,而动涡盘上的气体力则直接影响着涡旋压缩机的容积效率和机械效率等,应着重讨论作用在动涡盘上的各种气体力及力矩。

动涡盘上的气体力主要是轴向气体力Fa、径向气体力Fr、切向气体力Ft、倾覆力矩Mt和自转力矩Mr,如图3所示。

2.5 目标函数的确定

根据所给条件可以构造此多目标优化问题的数学模型,目标函数和约束条件分别如下。

优化设计的目标函数由动涡盘的切向气体力、径向气体作用力、轴向气体作用力、自转力矩作用力、倾覆力矩作用力、涡旋压缩机综合性能指标能效比组成。

目标函数之一:动涡盘的切向气体力为

$F{}_{\text{t}}=p{}_{\text{s}}2\text{π}ah{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}(}2i-\theta /\text{π})(\rho {}_i-\rho {}_{i+1})$

目标函数之二:动涡盘的径向气体作用力为

Fr=2ah ρs(ρs/ρd-1)

目标函数之三:动涡盘的轴向气体作用力为

$F{}_{\text{a}}=\text{π}\rho {}_{\text{s}}{\rm P}[(A\rho {}_1)/(\text{π}{\rm P})+{\displaystyle \sum _{i=3}^{{\rm N}}(}2i-1-\theta /\text{π})\rho {}_i]$

目标函数之四:作用在动涡盘的倾覆力矩为

Mt=FH

${\rm H}=h/2+h{}_{1}F=\sqrt{(F{}_{\text{t}}^2+F{}_{\text{r}}^2)}$

目标函数之五:作用在动涡盘的自转力矩为

${\rm M}{}_{\text{r}}=\frac{r}{2}\rho 2\text{π}ah{\displaystyle \sum _{i=1}^n(}2i-\theta /\text{π})(\rho {}_i-\rho {}_{i-1})$

式中,ps为终了时的吸气压力;ρi为第i个压缩腔内气体压力比;ρs为吸气压力;ρd为排气压力;P为涡旋线节距;A为约束系数;h1为驱动面到动涡盘盘底高度;r为公转半径。

目标函数之六:反映涡旋压缩机综合性能指标——能效比为

$f(E{}_{\text{E}\text{R}})=\frac{1}{E{}_{\text{E}\text{R}}}=\frac{3.27\times 10{}^{-6}}{p(p-2t)(2{\rm N}-1)h}$

这里采用处理多目标问题常用的线性加权法,将上述六个目标线性组合作为系统目标函数F(X):

$F(X)={\displaystyle \sum _{i=1}^6\lambda }{}_{i}f{}_i(X)$

其中,λi为加权系数,从而将多目标问题转化为单目标问题。

2.6 约束条件的确定

涡旋压缩机的约束条件主要包括强度、刚度条件和加工条件等,对动静涡旋盘优化设计主要满足如下约束条件。

(1)涡旋圈数N。

涡旋圈数过小使被压缩气体量减少,从而降低压缩效率;圈数过多不仅给加工带来困难,而且泄漏线加长,局部散热差,涡旋体变形大,因此取2≤N≤4。

(2)涡旋型线高度h。

行程容积一定时,增大型线壁高h有利于减少泄漏;但过大又导致运动稳定性差,且壁面刚度下降,加工困难,因此取10mm≤h≤80mm。

(3)涡旋型线基圆半径a。

基圆半径是一个与涡旋体壁厚和渐开角相关的参数,当涡旋体壁厚和渐开角确定后,基圆半径便成为已知量,或由基圆半径、涡旋体壁厚、渐开角中的任意两个参数来确定另外一个参数。一般情况下基圆半径的取值范围如下:1.2mm≤a≤6.5mm。

(4)涡旋型线渐开角α。

渐开角是关联基圆半径和涡旋体壁厚的一个几何参数,根据经验,渐开角的取值范围如下:15°≤α≤75°。

(5)涡旋盘主轴转角θ。

根据压缩机的运动特性,涡旋盘的主轴呈周期性变化,取值范围如下:0≤θ≤2π。

3 求解与实例验证

本文采用NSGA-Ⅱ方法计算时的参数见表2,在MATLAB软件环境下运用NSGA-Ⅱ解决多目标优化问题,通过优化上述数学模型求解得到全局Pareto非劣解集,不同优化结果如表3所示。

选取第3组优化结果,构成的通用涡旋型型线表征为s1(φ):

s1(φ)=-2.2748φ+0.5723φ2 (6)

公转半径r=3.15 ,型线圈数N=3.23 ,涡旋盘高度h=45 ,三维实体图见图4。

与基于泛函的等壁厚涡旋型线进行对比,如图5所示,图5中为基于s2(φ)泛函的等壁厚涡旋型线。

表4为s1和s2两型线的性能比较。从表4可以看出,优化后的型线构成的涡旋压缩机与传统型线构成的涡旋压缩机相比,其力、力矩、能效比、压缩面积、压缩比和体积利用率均有了较大的提高。

4 结论

(1) 通过优化数据结果验证了NSGA-Ⅱ在计算多目标优化问题的有效性,NSGA-Ⅱ可方便地处理多目标非线性约束的复杂优化问题。

(2) 将NSGA-Ⅱ与气体力和力矩、能效比相结合,对通用涡旋压缩机基本参数进行优化,结果表明,NSGA-Ⅱ可为求解优化基本参数优化决策提供支持。

(3) NSGA-Ⅱ应用于通用涡旋压缩机的设计时,在满足约束设计的条件下很大程度改善了通用压缩机的气体力和力矩、能效比等,达到提高通用涡旋压缩机整机性能的目的。同时对节约能源、保护环境、构建和谐社会有重大意义。

摘要：利用非劣排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)对通用涡旋压缩机的动静涡旋盘涡旋体高度、涡旋盘主轴转角、涡旋型线基圆渐开角、涡旋型线基圆半径基本参数进行优化设计,使涡旋盘的径向气体力、切向气体力、倾覆力矩、自转力矩、能效比达到最优。给出了优化设计的遗传算法计算方法、数学模型、基于遗传算法数学模型、程序流程图、多目标优化结果。较其他优化方法,NSGA-Ⅱ能较好解决多目标非线性优化问题,最后用优化后的数据验证了该方法的有效性。

关键词：通用涡旋压缩机,动静涡旋盘,多目标优化设计,非劣排序遗传算法

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基于NSGA-Ⅱ的饲料配方设计 篇5

饲料是发展养殖业的物质基础,发展质量效益型养殖业离不开优质高效的饲料。因此,科学合理地设计饲料配方对养殖业生产获得最大的经济效益将具有十分重要的意义。饲料配方设计就是应用一定的数学计算方法,根据原料的营养成分和配方的规格要求产生配方中各原料比例的一种运算过程。就现在饲料配方而言,基本分为手工计算法和计算机配方法。传统的手工计算配方法主要有[1]:代数法、试差法、十字交叉法、联立方程法等,计算机配方法所采用最常用的是线性规划法和目标规划法。采用优化方法的配方营养成分能满足畜禽的营养需要,但是这些方法只能解决约束较少、规模较小的问题。由于遗传算法能够解决因子较多,非线性程度高的问题,从而得出的饲料能更好的符合营养含量标准。

王海峰、张健[1]将遗传算法用来优化鱼饲料配方,研究结果表明,在鱼饲料配方优化中应用遗传算法要优于目前饲料配方软件中大多采用的常规应用数学的优化方法。吴文斗、曹志勇[2]利用优化的遗传算法来解决猪饲料的配方设计问题,取得了预期的结果。然而,在目前大多数的算法中,仅仅以成本作为衡量饲料配方优劣的唯一标准,该文在把经济成本作为衡量饲料配方标准的同时,增加了另外一个重要标准,即氨气标准。过量的氨气会降低动物机体的抵抗能力、诱发疾病、影响疫苗的免疫效果且会对自然环境造成危害。因此,除了建立合理的通风换气制度等硬件环境的改善,我们还应该考虑优化饲料配方,改善营养水平,减少氨气的排放量。这样既能达到减少经济成本的问题,而且能改善猪的生存环境,减少对猪的疾病危害。

2 饲料配方问题模型

饲料配方决策的优化问题是一个组合优化问题,它需要将一组原料按一定比例组合成满足特定营养需求的配方且市场价格最低并且满足饲料中的各营养成份含量。设有n种原料和m种的饲料营养需求,则可以形成一个n×m的矩阵S(aij)(1≤i≤n,1≤j≤m),

其中aij表示第i种原料所含第j种营养成份的百分量。设饲料中的标准营养成份含量分别为b1,b2,...bm。其中bi(1≤i≤m)表示标准营养成份中第i种营养成份的含量。各原料的价格分别为c1,c2...cn.求设计的配合饲料优化函数f(x)最小时,各原料的配合率(%)x1,x2,...,xn。配合饲料的组合优化问题为:

其中f1(x)=c1x1+c2x2+⋯+cnxn为经济的总成本量。

表示为粗蛋白过量的百分比,粗蛋白是猪饲料营养成份之一,也是产生氨气的最主要因素。

3 NSGA-II介绍

NSGA-II[3]是在NSGA的基础上进行改进的,主要是提出快速非支配集构造算法以降低整个算法的时间复杂度且加入了精英保留机制提高算法性能。

对种群R构造快速非支配集的具体过程:(1)计算种群R中每个个体p的np值和向量sp,其中np为R中支配个体p的个体数目,sp为被p支配的个体的集合。(2)把所有np=0的个体放入到Pareto前端F1中。(3)F1中每个个体对应的sp中个体的np=np-1,把np=0的个体放入到F2中。(4)根据F2中的重复上述操作确定F3中的个体,如此类推,直到所有的个体排序完成。

NSGA-II的具体过程如下:(1)随机产生初始种群P0,当前进化代数为t=0。(2)对P0进行选择、交叉和变异产生子代种群Qt。(3)合并进化种群及其子代种群:Rt=Pt⋃Qt。(4)构造的边界集Rt,精英保留产生下代进化种群Pt+1(5)若达到最大进化代数:t≥T时结束,T为最大进化代数,否则跳转到(2)。

4 改进的NSGA-II算法

4.1 新交叉策略

NSGA-II中采用SBX交叉算子,SBX算子模拟二进制交叉算子的过程。定义如下:

其中α为[0,1]之间的随机数。该策略的全局搜索性能相对较弱,不能很好地保证种群的多样性。由于SBX交叉算子局限性,该文使用算术交叉算子替代SBX交叉算子,其定义如下:

其中A.rank为个体A的非支配排序级别,B.rank代表个体B的非支配排序级别。由定义可知,在计算初期,α变化较大,Pareto非支配排序值小的个体在后代个体中占据较大的比例。但随着进化的发展,群体中个体都趋于同一Pareto前沿上,α趋于常数0.5。

4.2 新变异策略

NSGA-II算法采用均匀变异的策略,这种策略特别适合遗传算法的初期运行阶段,但到了运行阶段后期对于局部的重点搜索,均匀变异的收敛难于达到一个很好的效果。该文采用高斯变异,由正态分布的特性可知,高斯变异也是重点搜索原个体附近的某个局部区域,能很好的对重点搜索区域进行局部搜索。

4.3 新修剪策略

多目标遗传算法中,保持种群具有良好的分布性是非常重要的。网格法和聚集距离法是较好的维持解集具有良好分布性的方法。NSGA-II采用基聚集距离法。然而聚集距离法也存在一定的缺陷。由于聚集距离策略是每次从整个种群中选择聚集距离大的个体,这就会使解集中分布密集的整个部分区域丢失,若决策者最为满意的解刚好落在该区域,则算法将失败。

针对这种缺陷,该文不再采用传统策略那样选取个体,即按聚集距离降序排序后,一次选取足够数目的聚集距离大的个体。而是每次删除一个聚集距离最小的个体,然后重新计算所有的个体的聚集距离,再删除聚集距离最小的个体,重复上面的操作直到种群规模剪到预期值。因为每次删除一个聚集距离小的个体后,其相邻个体的聚集距离就会增大,解集中的区域就会逐渐变得稀疏起来,从而使得该区域中有个体保留下来,不至于像原聚集距离策略那样丢弃整个密集区域。

4.4 新Pareto排序策略

根据NSGA-II所采用的Pareto排序策略,图1中f1,f2为两个目标函数,个体a和个体b具有相同的概率繁殖后代。显然这是不合理的,因为个体a周围种群的密度明显大于个体b周围种群的密度,而它们繁殖后代的机会却是相等的。针对这种缺陷,该文采用文献[4]所提出的累积排序适应度赋值策略,很好的解决了这问题。

5 仿真实验

5.1 实验说明

本文以50~80kg的猪饲料为例,查得营养标准如表1。其中消化单位为Macl/kg其他为%。

在饲料配方中选用玉米、豆柏、鱼粉、植物油、复合预混料和食盐等原料。植物油消化能为7.7Mcal/kg,使用量不能超过3%,价格为6元/kg;石粉钙含量为35%,使用量不能超过2%,价格为0.2元/kg;磷酸氢钙的钙含量为24%,总磷含量为16%,使用量不能超过10%,价格为1.35元/kg;原料蛋氨酸含有99%的蛋氨酸,上限为3%,价格为28元/kg;原料赖氨酸含78.8%的蛋氨酸,上限为3%,价格为22元/kg;此外配方中固定使用1%的复合预混料和0.3%食盐,价格分别为10元/kg和0.86元/kg。其余的原料的营养成份和价格如表2所示。

5.2 实验结果

本文用传统单目标遗传算法的结果作为对比,由于粗蛋白是猪饲料营养成份之一,也是产生氨气的最主要因素,所以本文粗蛋白的量来衡量氨气指标。成本是指每100kg的经济成本,单位是元,粗蛋白的单位是百分比。

由图2可知NSGA-II算法在降低成本方面和传统遗传算法相比并没有优势,甚至可能还不如传统的遗传算法,但是由图3也可知NSGA-II算法的猪饲料配方要所需的粗蛋白的含量要明显的低于传统的遗传算法。这种实验结果符合预期,因为在目标优化中,不可能各个目标同时达到最优,以本文为例,要降低猪氨气的排放,可能成本就无法达到最优。

6 结束语

针对目前饲料配方设计算法的不足,该文提出了一种基于NSGA-II的饲料配方设计算法,实验结果表明NSGA-II能够很好地解决传统算法的局限性,不仅降低了饲料配方的成本,而且最大限度地降低猪氨气的排放量,取得了比较满意的结果。

摘要：饲料配方在禽畜养殖业中有着重要的意义,现有的手工计算方法很难满足实际的需要,而目前很多计算机优化的方法只能解决约束较少,规模较小的问题。该文将饲料配方设计问题描述为多目标最优化问题。首先把目标最优化问题转换为相应的数学模型,然后用NSGA-Ⅱ进行求解,最后进行仿真实验,得出结果。该方法克服了传统算法的局限性,通过对NSGA-Ⅱ进行优化改进提高算法的收敛速度和种群的多样性。实验结果表明,该算法可以有效地解决饲料配方设计问题。

NSGAⅡ算法 篇6

大停电后的电力系统恢复是一个复杂的决策和控制问题,一般分黑启动、输电网架重构和负荷恢复3个阶段[1]。输电网架重构的目标涉及火电机组送电顺序、网架快速重建、重要负荷节点的优选,对于多黑启动电源点情况还要考虑对分区的适应性,这些目标往往优化方向不同甚至相互矛盾。在现有的输电网架重构方法中,对于多个目标采用约束法[2]或加权法[3,4,5,6,7]进行处理,将多目标问题转换为单目标后,再加以求解。约束法实质上是单目标规划法;加权法中的目标函数则是多目标的一个新的组合形式,优化结果受权重系数影响较大。

带精英策略的快速非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ(fast and elitist non-dominated sorting in genetic algorithms)是一种新型的多目标遗传算法[8]。在NSGA-Ⅱ算法中,个体的适应度体现在它的非支配排序等级和拥挤距离2个指标上,避免了目标偏好性,因而能够找出使各目标函数能尽量达到比较大(或比较小)的最优解集,为各个目标函数之间权衡分析提供了有效的工具[9]。

本文将NSGA-Ⅱ算法应用于多目标输电网架重构的优化,IEEE 30节点算例与山东电网仿真结果表明,NSGA-Ⅱ算法得到的解在目标空间分布均匀,且收敛性和稳定性好,为多目标输电网架重构的全局优化提供了一种新的思路和手段。

1 多目标输电网架重构的数学模型

1.1 多目标函数

本文考虑同时优化3个网架重构目标[6]:①在有限的时间内恢复电网中尽可能多的发电能力;②实现多黑启动电源点的最佳分区恢复;③以最短的时间在各分区内建立目标节点的恢复网架。

多目标函数如下:

$\{\begin{array}{l}\min (f{}_1,f{}_2,f{}_3)\\ f{}_1=-{\displaystyle \sum _{s=1}^k{\rm P}}{}_{s\text{m}\text{a}\text{x}}\\ f{}_2={\rm T}{}_{\max }\\ f{}_3={\displaystyle \sum _{s=1}^k{\rm T}}{}_s\end{array}(1)$

式中:f1为在机组启动时限内被成功启动机组的发电容量总和(取反);k为电网中黑启动电源数(或分区数);Psmax为分区s中在机组启动时限内被成功启动机组的发电容量之和;f2为各分区构建恢复网架所需的最大时间,以Tmax=max{T1,T2,…,Tk}表示;f3为所有分区建立恢复网架所需的平均时间;Ts为分区s恢复到目标网络的时间。

1.2 约束条件

对s=1,2,…,k个分区,都有以下的约束条件。

1)时间约束

$0<{\rm T}{}_{\text{r}j}<{\rm T}{}_{\text{m}\text{c}j}j=1,2,\cdots ,{\rm N}{}_{s\text{g}}(2)$

式中:Trj为机组j从零时刻至得到启动电源的时间间隔;Tmcj为考虑了裕量的机组热启动时间限制;Nsg为分区s中所包含的机组数目。

2)潮流和节点电压约束

$\{\begin{array}{l}{\rm P}{}_{\text{G}i}^{\min }\le {\rm P}{}_{\text{G}i}\le {\rm P}{}_{\text{G}i}^{\max }i=1,2,\cdots ,{\rm N}{}_{s\text{g}}\\ Q{}_{\text{G}i}^{\min }\le Q{}_{\text{G}i}\le Q{}_{\text{G}i}^{\max }i=1,2,\cdots ,{\rm N}{}_{s\text{g}}\\ {\rm P}{}_i\le {\rm P}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}i=1,2,\cdots ,b\\ U{}_i^{\min }\le U{}_i\le U{}_i^{\max }i=1,2,\cdots ,{\rm N}{}_{s\text{n}}\end{array}(3)$

式中:Nsn为该分区恢复网架包含节点的个数;Pi为支路上流过的有功功率;Pimax为支路i的最大允许功率;b为线路总数;Ui为节点电压。

3)发电机自励磁约束

${\rm K}S{}_{\text{e}}>Q{}_{\text{Σ}\text{c}}(4)$

式中:Se为黑启动发电机容量;K为黑启动发电机的短路比;QΣc为发电机外电路中线路充电无功功率。

发电机自励磁约束适用于重构方案中黑启动机组带空载长线路方式。

2 多目标优化问题的NSGA-Ⅱ算法

2.1 多目标优化问题

多目标优化输电网架重构问题同时具有多个目标函数,各目标涉及相同的一组决策变量,并相互制约。如果对多目标中的1个目标进行优化,则必然以其他目标作为代价,因此很难客观评价多目标问题解的优劣。为此,引入了Pareto最优解的概念[8,9]。

对于多目标优化的问题,如果解x(1)的目标函数满足式(5)和式(6)这2个条件,则称x(1)支配解(dominated solution)x(2)。

$\begin{array}{l}f{}_j(x{}^{(1)})\le f{}_j(x{}^{(2)})\forall j=1,2,\cdots ,{\rm M}(5)\\ f{}_j(x{}^{(1)})<f{}_j(x{}^{(2)})\exists j\in \{1,2,\cdots ,{\rm M}\}(6)\end{array}$

式中:M为目标数。

此时,解x(1)称为非支配解(non-dominated solution)或非劣解,x(2)称为支配解或劣解。设x*为一非支配解,若在整个可行域中没有任何解支配x*,则x*在Pareto意义下是最优的,称为Pareto最优解。所有的Pareto解组成的集合称为Pareto最优解集,记为X*。对于给定的目标函数f(x)和Pareto最优解集X*,Pareto前沿V定义为:V={u=f(x)|x∈X*}。可见Pareto前沿是Pareto最优解集X*在目标函数空间中的像f(X*)。

大停电后在第一时间需要恢复包括机组节点、重要负荷节点与枢纽节点等不同类型的目标节点,还要优化分区,各目标同时最优化的可能性很小,因此求解多目标输电网架重构问题的Pareto最优解集并给出相应的Pareto前沿有着重要的意义。

2.2 NSGA-Ⅱ算法中的关键技术

多目标优化算法有3个性能评价指标:①所求得的解要尽量接近Pareto最优解;②所求得的解集要尽量分布均匀;③求解过程中要防止获得的Pareto最优解丢失。与此对应,NSGA-Ⅱ算法有3种关键技术使其成为一种优秀的多目标优化算法,即快速非支配排序、个体拥挤距离和精英策略。基于NSGA-Ⅱ的基本原理,为多目标网架重构优化设计了以下3种算子。

1)快速非支配排序算子设计

多目标优化问题的设计关键在于求取Pareto最优解集。NSGA-Ⅱ算法中的快速非支配排序是依据个体的非劣解水平对种群分层,其作用是指引搜索向Pareto最优解集方向进行。它是一个循环的适应值分级过程:按式(5)和式(6),首先找出群体中非支配解集,记为第一非支配层F1,将其所有个体赋予非支配序irank=1(其中:irank是个体i的非支配序值),并从整个群体中除去;然后继续找出余下群体中非支配解集,记为第二非支配层F2,个体被赋予非支配序irank=2;照此进行下去,直到整个种群被分层,同一分层内的个体具有相同的非支配序irank。

2)个体拥挤距离算子设计

为了能够在具有相同irank的个体内进行选择性排序,NSGA-Ⅱ提出了个体拥挤距离的概念。个体i的拥挤距离是目标空间上与i相邻的2个体i+1和i-1之间的距离[8],其计算步骤为:①对同层的个体初始化距离。令L[i]d=0(其中:L[i]d表示任意个体i的拥挤距离)。②对同层的个体按第m个目标函数值升序排列。③使得排序边缘上的个体具有选择优势,给定一个大数W,令L[0]d=L[l]d=W。④对排序中间的个体,求拥挤距离:L[i]d=L[i]d+(L[i+1]m-L[i-1]m)/(fmaxm-fminm)(其中:L[i+1]m为第i+1个体的第m目标函数值,fmaxm和fminm分别为集合中第m目标函数的最大和最小值)。⑤对不同的目标函数,重复步骤②～步骤④操作,得到个体i的拥挤距离L[i]d。通过优先选择拥挤距离较大的个体,可使计算结果在目标空间比较均匀地分布,以维持群体的多样性。

3)精英策略选择算子设计

精英策略即保留父代中的优良个体直接进入子代,以防止获得的Pareto最优解丢失。精英策略选择算子按3个指标对由父代Ci和子代Di合成的种群Ri进行优选,以组成新父代种群Ci+1。首先淘汰父代中方案校验标志为不可行的方案;其次按照非支配序irank从低到高顺序,将整层种群依次放入Ci+1,直到放入某一层Fj时出现Ci+1大小超出种群规模限值N的情况;最后,依据Fj中的个体拥挤距离由大到小的顺序继续填充Ci+1直到种群数量达到N时终止。

3 基于NSGA-Ⅱ的网架重构算法设计

3.1 基因编码

1)染色体结构设计

对于每个待恢复的目标节点,由于既要确定它所处的分区,又要确定它在分区内的恢复顺序,所以本文采用如下的染色体结构:设系统中存在e个目标节点和k个黑启动电源,则恢复方案可表示成长度为e+h的染色体(i1,i2,…,ie |A1,A2,…,Ah),其中,前e位是排序操作段,它是e个目标节点的一个全排列,代表目标节点的恢复顺序;后h位是分区操作段,代表相应节点被划分到的分区,这里集合{A1,A2,…,Ah}中共包含k个不同元素并以英文字母表示。通常情况下,h≤e,对于某些节点分区属性只有唯一选择时,将不分配分区操作码。染色体采用基于优先级的基因编码方式,详见附录A。

2)基于基因编码的网架重构方案

基因编码提供了网架重构方案的基本信息,因此参照基因编码顺序,可还原成合理的网架重构顺序。首先将基因解码,然后各分区从既定的黑启动电源点开始,依次寻找目标节点的最短恢复路径,并记录各目标节点的恢复时间,最后依据节点类型计算相应目标函数的值。最短送电路径采用迪克斯特拉(Dijkstra)法,以线路操作时间为各边的权值。

3.2 基于NSGA-Ⅱ的算法实现

以所设计的NSGA-Ⅱ的3个基本算子为基础,多目标网架重构优化算法还包括如下功能模块。

1)群体初始化

按所设计的遗传编码方式随机产生初始种群,每一个个体代表一种分区恢复方案,调用网架重构算法构建出相应的恢复网架,计算出各目标函数的适应值。

2)轮赛制选择算子设计

轮赛制选择算子采用随机配对方式对父代个体进行比较,当irank<jrank 或irank=jrank且L[i]d>L[j]d时,淘汰个体j,胜者i保留。即如果2个个体的非支配排序不同,取序号靠前的个体(分级排序时,先被分离出来的个体);如果2个个体在同一级,取周围较不拥挤的个体,这样可使计算结果在目标空间比较均匀地散布,以维持群体的多样性。

3)交叉和变异

交叉和变异相互配合可使算法具有良好的局部和全局搜索性能。算法中采用SBX(simulated binary crossover)算子和随机变异算子[10],对轮赛制选择出来的种群进行交叉和变异操作,形成新的子代种群Di。

4)精英个体校验模块

精英个体校验模块包括方案解码、精英个体方案校验和方案调整3个功能。方案解码是对精英策略优选后的新父代种群进行基因解码,从黑启动电源点开始,依次形成各目标节点的送电路径,并记录各目标节点的恢复时间,依据节点类型计算相应目标函数的值,形成相应的网架重构方案。方案是否可行需要通过校验,为了降低计算量,只对处于非支配序最高层的精英个体进行校验,同时跳过拥有校验可行标志的精英个体,检验内容包括潮流、节点电压和发电机自励磁约束。校验通过的方案,校验标志设置为可行。方案调整模块对发生潮流越限的方案进行调整。本文采用灵敏度分析法对发电机出力及负荷水平进行调整,如果调节量在允许范围内,则方案依然设为可行;否则,校验标志设置为不可行。进入新一轮进化时,精英策略选择中将淘汰校验标志为不可行的方案。经交叉和变异操作的染色体,其校验标志将清除,而精英策略则将一批校验合格的优良个体保留下去。

综上所述,基于NSGA-Ⅱ算法的多目标输电网架重构的流程见附录B图B1。

4 算例

编制了基于NSGA-Ⅱ的输电网架重构程序,并以IEEE 30节点系统和山东电网实际系统为算例进行了算法的验证。

4.1 IEEE30节点系统算例

假设将系统分为2个分区,节点1和2代表分区A和B中的黑启动电源,机组的短路比K取为0.827,KSe为66.16 Mvar。黑启动电源启动后,整个系统中需首先恢复的目标节点为机组节点[13,22,23,27]和负荷节点[7,12,17,19,21,30]。图1中线路上所标注的权值代表恢复时间(为假设值,单位为min),除机组27外,各机组的热启动时间设定为30 min,机组27的热启动时间设为10 min[6]。

根据目标节点数量,染色体编码排序操作段10位,分区操作段7位,其中目标节点7,12和13只有一种分区方式,因此没有被分配分区码。NSGA-Ⅱ算法交叉概率取0.9,其他参数如表1所示。表1给出了综合400次仿真计算的统计规律,其中P(V′=∪)是每次解得Pareto前沿V′与综合所有V的全集∪完全相符的概率。在仿真计算中采用较大变异率(变异率0.2)提高种群多样性的前提下,NSGA-Ⅱ算法通常在30多代进化后能稳定到达Pareto前沿,收敛性较好。

表2给出了通过了精英校验的Pareto最优解集及相应的Pareto前沿。图1给出了经解码后方案2网架重构结果。与遗传算法对寻优过程中出现的每个恢复方案都进行潮流校验不同的是[6],本文采用精英校验策略,显著降低了校验计算量。

在同样的计算条件下,采用遗传算法得到的是方案1[6],对比2个方案的目标函数值,可知方案1与方案2在3个目标函数上具有互不支配的特点,同属Pareto最优解。方案1在分区最大恢复时间上占优,方案2在平均恢复时间上占优。与遗传算法相比,NSGA-Ⅱ算法获得的解集在各目标空间上分布更为均匀。

4.2 山东电网

为进一步验证算法在更大规模系统中应用的有效性,本文以山东电网为算例(见附录C),计算大停电后的分区输电网架重构。

对山东电网算例进行仿真计算,得到2个通过了校验的分区网架重构Pareto最优解,分别是南北分区和东西分区方式。附录C图C1给出了一个以目标f1(临界时间内被成功启动机组容量总和)占优的东西分区网架重构方案,而南北分区在网架恢复总时间上略占优势。在此基础上,调度员易于根据实际需要进行选择。附录C表C1综合了600次仿真计算的统计结果,有规律显示,以个体数100、变异率0.2的参数设置,具有较快的收敛性和较好的稳定性。

5 结语

本文对多目标输电网架重构进行了研究,提出了基于带精英策略快速非支配排序遗传算法的多目标输电网架重构优化算法。通过运用一个非支配分类程序协调各目标函数之间的关系,找出使各目标函数能尽量达到比较大(或比较小)的最优解集,精英校验策略显著降低了校验计算量。以IEEE 30节点系统的解集进行比较,算法结果在目标空间上分布均匀、收敛性好。山东电网实际系统多次仿真中结果稳定性好,优化结果进一步表明多黑启动电源点的Pareto解集在恢复区域划分上可能存在显著差异,NSGA-Ⅱ算法能为恢复决策提供更多的选择空间,为多目标输电网架重构的全局优化提供了一种新的思路和手段。

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NSGAⅡ算法 篇7

本文旨在对第2个问题即PID参数整定提出一种新的思路和解决方法,目前最多的优化准则都是按照单一误差积分性能指标来优化系统[2],但在实际运用中几种性能指标均有不同的优缺点,同时为了保证实际应用的效果,研究人员通常需要对准则进行修改并添加权重[3,4,5,6,7]。

为解决这一问题文中采用了基于非支配排序多目标遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II,NSGA-II)[8],算法是目前流行的多目标进化算法之一。该算法已在类似的多目标优化问题上取得了较好的效果[9,10],其在使用中最大的优势在于无需考虑权重的问题,该算法可对多个目标进行综合比较从而取得Pareto最优(即最优的PID参数集合),这在较大程度上保留了不同性能指标的优点同时也消除了彼此的缺点。

1 基于NSGA-II的PID参数优化设计

1.1 基于NSGA-II的PID控制系统原理

控制系统由控制器和被控对象以及优化设计环节组成,控制系统框图如图1所示。

在该控制系统中由控制器根据设定值r与实际输出值y进行比较,所得偏差e作为PID控制器的输入值,经PID控制产生控制量u(k),之后将所得偏差e(k)、控制量u(k)与实际输出值Yout(t)输入优化设计模块。利用NSGA-II算法对PID控制器的比例增益Kp、积分增益Ki、微分增益Kd这3个参数组合在一起作为进化算法种群中的个体即决策变量,以几种误差积分性能指标组合来为目标函数空间,并以其可能达到的极小值作为评价指标。然后对种群个体进行选择、排序、交叉和变异操作,不断地进化,直到找到群体中最优目标个体,得到PID控制器的最优参数,使系统的稳定性、快速性、准确性整体综合性能达到理想的控制效果。

1.2 PID控制原理

PID控制器是一种线性控制器,其是将偏差e(t)的比例、积分和微分通过线性组合构成控制量对被控对象进行控制。式(1)为其控制规律,式(2)为修改后的方程

式中,t为时间;kp表示比例增益;u(t)为本次控制量;e(t)为本次偏差;Ti表示积分时间常数;Td表示微分时间常数;ki表示积分增益;kd表示微分增益;ki=kp/Ti,kd=kp×Td。

为仿真方便,可通过离散化将连续系统直接化为差分方程。式(2)即为离散化后的差分方程

1.3 性能指标

这里文献[11]选取了6种误差积分准则的性能指标,如表1所示。

1.4 算法流程

基于非支配排序多目标遗传算法(NSGA-II)的执行步骤如下:(1)初始化种群。等概率初始化每个个体的纯变异策略;(2)排序。按照性能指标组成的目标函数进行非支配排序确定非支配序列,进而对每个个体进行适应度计算;(3)混合变异操作。根据个体变异的概率,产生子代个体;(4)选择。选取父代种群以及子代种群的集合,利用锦标赛方法(即首先比较排序,若处于相同序列,则进行拥挤度算子比较)选择出下一代种群个体;(5)终止。判断是否满足最大演化代数的终止,若满足,则算法终止;否则重复步骤(2)~步骤(4),直至满足终止条件。

2 实验仿真

2.1 实验对象及参数选取

在过程控制中,许多系统在进行系统辨识时常被近似为一阶或二阶的典型系统,为比较NSGA-II算法用在PID控制器参数优化整定的性能,针对以下二阶时滞对象进行仿真研究,并与相同性能指标的SOA算法以及PSO算法进行比较。选取被控对象其传递函数为

其中,参数Kp、Ki、Kd的范围分别为[0,100]、[0,100]和[0,100],输入信号为单位阶跃响应。群体大小为100,终止代数为100,控制器的输出限值为[-10,10]。交叉概率0.9,变异率0.5,采用实数编码。

2.2 适应度函数选取

对于PSO和SOA算法,为获得满意的过度过程动态性能,采用IAE性能指标作为参数选择的最小目标函数。同时为防止控制能量过大,在目标函数中加入控制输入的平方项,选用的目标函数如式(5)所示。

其中,u(t)为本次控制量;e(t)为本次偏差;ω1和ω1为权值。

为避免超调,采用了惩罚控制,如果e(t)<0,则超调量将作为最优指标的一项,此时目标函数如式(6)所示。

其中,ω3为权值,且ω3≥ω1,这里取ω1=0.999,ω2=0.001,ω3=100。

对于NSGA-II算法,文中在保留惩罚控制的前提下,取消了上述权重ω1和ω2,并将式(5)和式(6)重修改为对应的目标函数,此时目标函数为式(7)~式(9)

其中,式(6)和式(8)为惩罚控制,当且仅当e(t)<0时才会选用这个方程,一般情况只使用式(5)和式(7)。

2.3 仿真结果与分析

图2为NSGA-II算法种群分布,说明F1和F2是两个相互冲突的目标函数,且其中的曲线正是NSGA-II算法所寻找到的Pareto最优前端。图3显示了各算法在PID控制的阶跃响应效果,可从图中看到NS-GA-II算法相较于其他算法在响应时间上取得了较好的效果,且并未产生过大的超调量。

此外,由于NSGA-II算法是个多目标优化算法,该算法可对多个目标函数进行计算,并可通过添加额外的性能指标来取得更好的Pareto最优解,即PID参数。之前通过IAE性能指标来构造二维目标函数空间,之后可通过分别添加误差平方项的性能指标如ISTSE、ITSE、ISE来构造三维目标函数空间(添加的性能指标的目标函数作为F2,式(9)变为F3)。如图4~图7是通过添加性能指标后的种群分布及相应的PID控制的阶跃响应效果图。

通过对比图4~图6后可发现,虽不同的F2对种群的分布产生了一定影响,但种群在F1和F2的面上并未产生较大的改变,说明添加误差平方项的性能指标后的阶跃响应输出曲线,相较于双目标函数的曲线,在添加后的三目标函数输出的曲线在此有了更进一步的优化,但不同的误差平方项对结果没有过大影响。同样在图7中综合比较所有的三目标函数结果后,说明虽三目标相对于双目标有了进一步的优化,但误差平方项与时间的乘积并未产生较大的影响。由此说明,影响Pareto最优解的主要因素是误差平方项即ISE。因此,为减少算法的运行时间,选用目标函数组合IAE和ISE以及控制输入的平方项作为最优组合。

3 结束语

文中提出了利用非支配排序多目标遗传算法(NSGA-II),基于误差积分准则的性能指标和控制输入的平方项对PID进行参数优化。与其他算法相比,取消了除惩罚参数之外的所有需要人工进行干预的权重参数的选择及输入,消除了因权重不同可能引起的不同优化结果,使所有的PID参数优化结果无需进行额外的经验,而只需选取相应的性能指标即IAE和ISE。通过仿真试验对此方法进行验证,优化获得的增益参数应用于PID控制器中达到了良好的控制性能,如超调小、调节时间短、上升时间快、稳态误差小等等,结果表明此方法的有效性和实用性。

摘要：文中对于PID参数整定问题,通过分析比较不同组合的性能指标,在基于多目标智能优化算法下进行PID参数整定。该方法基于非支配排序多目标遗传算法(NSGA-Ⅱ),在采用不同性能指标组合后生成的不同目标函数空间,通过Matlab进行控制系统仿真后,对输出的阶跃响应曲线进行了分析和比较,从而寻找到了IAE、ISE以及控制输入的平方项作为最优的三目标性能指标组合。