降阶算法

降阶算法（共4篇）

降阶算法 篇1

PID控制器的算法大多都基于带时间延迟的一阶模型 (First-Order Lag Plus Delay, FOLPD) , 因为大部分过程控制的受控对象模型的响应曲线和一阶系统的响应类似。因此, 建立系统的FOLPD模型对PID算法的研究很有必要。

FOLPD模型的一般数学形式为:

针对系统传递函数进行FOLPD模型降阶的主要近似方法有:由响应曲线识别一阶模型, 基于传递函数的辨识方法, 基于频率响应的近似方法, 最优降阶方法。

1 由响应曲线识别一阶模型

一般的过程控制对象模型的阶跃响应曲线接近一阶系统的响应曲线, 对这类系统的阶跃响应曲线, 可用FOLPD模型来近似, 根据响应曲线绘制三条辅助线, 从而提取模型的k, L, T参数。由阶跃响应曲线去找参数带有一定的主观性, 因为辅助线的绘制没有确切的准则, 所以斜线的斜率有一定的随意性, 模型不够客观。

也可以对模型的阶跃响应进行解析, 用最小二乘拟合法求得系统的FOLPD模型。

2 基于频率响应的近似方法

一阶模型也可以用Nyquist图形表示, 从Nyquist图上可以求出对象模型奈氏曲线和负实轴交点的剪切频率ωc和极限增益Kc, 这两个值满足 (1) 式。

K是受控对象模型的稳态值, 该值可以直接由给出的传递函数得出。定义两个变量x1=L, x2=T, 则可以列出练歌位置变量满足的方程, 导出其Jacobi矩阵为 (2) 。

两个未知变量就可以用拟Newton算法求解。

3 基于传递函数的辨识方法

考虑带实践延迟的一阶环节为Gn (s) =ke-Ls/ (1+Ts) , 求出Gn (s) 关于变量s的一阶和二阶导数, 得 (3) 式。对 (3) 求取在s=0处的值, 得 (4) 式。

Tar称为平均驻留时间, L=Tar-T, k=Gn (0) 。

4 最优降阶法

根据误差信号定义出目标函数对目标函数最小化, 得出最优降阶模型。对JISE目标函数进一步处理, 对误差信号进行加权, 定义出新的ISE指标。

如果降阶模型或原始模型中含有时间延迟项, 则需要对延迟采用Pade近似。因为对延迟系统采用近似的最优化求解, 所以称为次最优降阶算法。如果不含延迟项, 则称为最优降阶算法。

对最优降阶法得到的系统模型, 通过数值最优化算法解出三个特征参数即可得出最优一阶近似模型。

5 压控加热炉系统的FOLPD模型

通过对加热炉进行非参数和参数模型辨识得到三种模型, P1DZ、P2D、P2DZ

三种模型的阶跃响应最理想的是P2DZ模型。但其调整时间太长。因此希望系统可以通过PID控制器进行调节, 在进行PID参数整定时, 首先需要对模型进行降阶处理, 以更好地完成控制任务。

由于系统含有延迟项, 故采用次最优模型降阶算法对模型降阶。对春时间延迟项用Maclaurin级数展开

系统模型也用Maclaurin级数展开为:G (s) =c0+c1s+c2s2…。用最小二乘拟合法求出系统近似的Pade模型。再用次最优降阶算法, 求得系统FOLPD降阶模型为 (7) 式:

用PID控制器对该FOLPD模型进行控制, 根据 (7) 可知, K=4.702×108/2, T=0.5, L=0.5, α=KL/T, 用Ziegler-Nichols参数整定公式, 对PID参数进行整定。得PID控制器传递函数为:

6 结论

图1中, 下图为未加PID控制器之前的系统, 系统动态特性不好, 尤其是调整时间过长。上图为系统用FOPLD模型整定的PID控制器对原系统进行控制的效果。可以看到系统的阶跃响应时间大大提高, 稳定性能和参数都比较理想。但响应初期性能有延时, 切有抖动。

可以在FOPLD模型基础上, 进一步对PID算法进行修正。

参考文献

[1]薛定宇.控制系统计算机辅助设计[M].2版.北京:清华大学出版社, 2006.

[2]侯媛彬, 王梅, 王立琦.系统辨识及其MATLAB仿真[M].科学出版社, 2004.

[3]邓立群, 施国勇.一种基于可观测标准型的模型降阶算法[J].计算机仿真, 2007, 24 (11) :77-81.

降阶算法 篇2

电力市场环境下,仅考虑静态安全约束的最优潮流(optimal power flow,OPF)使得系统运行点更容易接近稳定极限,已无法满足现代电力系统的要求,考虑暂态稳定约束的OPF(transient stability constrained OPF,TSOPF)成为新的研究方向。

OPF是一个大规模的非线性优化问题,内点法及其改进算法由于良好的计算效率和收敛特性在该问题求解中得到了广泛应用[1,2,3,4]。考虑暂态稳定约束后,增加了大量的微分代数方程约束,是一类特殊的无穷维优化问题[5]。目前关于TSOPF的研究集中于暂态稳定约束条件的处理。文献[6]将发电机暂态微分代数方程差分后作为等式约束加入到OPF;文献[7]则考虑了多个预想故障,并引入既约导纳矩阵以消去网络方程;文献[8]采用大步长对预想故障集进行故障预选和同调识别,对于小步长精确计算仅考虑“起作用”故障;文献[9,10]采用约束转换技术,通过欧氏空间变换将函数空间的TSOPF转换为相同规模的静态优化问题;文献[11]将该问题分解为最优潮流和最优控制2个子问题,通过交替求解这2个子问题得到原问题的解;文献[12]将暂态能量裕度作为附加约束引入到OPF模型中;文献[13]利用暂态稳定裕度指标及其灵敏度组成的不等式代替暂态稳定约束。逐次线性规划[6]、内点法[7]以及智能优化算法[14]均被成功应用于该问题的求解。

常规方式下,基于时域仿真差分思想的TSOPF将发电机转子运动方程离散化,并作为OPF问题的等式约束。由于任何差分方法都具有截断误差,将其作为等式约束过于苛刻。内点法求解过程中,这种处理方式使得修正方程组的阶数随着系统规模和故障个数急剧上升,导致计算耗时长、内存消耗大甚至不可解的“维数灾”。针对该问题,本文将描述系统暂态过程的差分方程转换为不等式约束,其上下限与所采用的差分方法精度相关,从而大大降低了内点法计算过程中修正方程组的阶数。对3个不同规模的系统进行测试,结果显示与常规方式相比,该方法计算时间明显缩短,占用内存减少,能够求解更大规模系统的TSOPF问题。

1 TSOPF问题描述

考虑多个预想故障的TSOPF问题可表示为:

$\{\begin{array}{l}\underset{\mathit{x}}{{\displaystyle \min }}f(\mathit{x})\\ \text{s}.\text{t}.\mathit{h}(\mathit{x})=0\\ \underset{¯}{\mathit{g}}\le \mathit{g}(\mathit{x})\le \overline{\mathit{g}}\end{array}(1)$

式中:f(x)为该问题的目标函数,为不失一般性,本文采用发电费用最小[7]为目标函数;h(x)为等式约束向量,包括潮流方程、发电机初值约束和暂态微分代数方程离散化后得到的差分方程;g(x)为不等式约束向量,包括发电机有功和无功出力、变压器变比、节点电压和线路有功潮流上下限等静态安全约束以及暂态稳定约束;$\overline{\mathit{g}}$和$\underset{¯}{\mathit{g}}$分别为不等式约束上下限。详细的问题模型可参阅文献[7,8]。

TSOPF问题的等式约束包含大量暂态差分方程。常规方式下,若发电机采用经典模型,负荷用恒定阻抗表示,由隐式梯形法可得如下差分方程[8]:

$\{\begin{array}{l}\text{Δ}\delta {}_i^t(k)=\delta {}_i^t(k)-\delta {}_i^{t-1}(k)-\frac{\omega {}_0\text{Δ}t}{2}(\omega {}_i^t(k)+\\ \omega {}_i^{t-1}(k))=0\\ \text{Δ}\omega {}_i^t(k)=\left(\frac{D{}_i\text{Δ}t}{2{\rm M}{}_i}+1\right)\omega {}_i^t(k)+\left(\frac{D{}_i\text{Δ}t}{2{\rm M}{}_i}-1\right)\cdot \\ \omega {}_i^{t-1}(k)-\frac{\text{Δ}t}{2{\rm M}{}_i}(2{\rm P}{}_{\text{G}i}-{\rm P}{}_{\text{e}i}^t(k)-\\ {\rm P}{}_{\text{e}i}^{t-1}(k))=0\end{array}(2)$

式中:i∈nG,k∈nC,t∈nt,nG,nC,nt分别为发电机、预想故障和积分时段数目;ω0为同步角速度有名值;δti(k),ωti(k)分别为发电机i第k个故障第t时段的功角和角速度相对同步转速的偏差;Δt为积分步长;Di,Mi,PGi分别为发电机i的阻尼系数、惯性常数和有功出力;Ptei(k)为发电机i的电磁功率,可采用既约导纳矩阵表示以消去网络方程[7]。

2 降阶内点算法

基于内点法的TSOPF计算其主要任务是求解对称非正定线性方程组:

$\left[\begin{array}{cc}{\mathit{{\rm H}}}^{\prime }& \nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{h}(\mathit{x})\\ \nabla {}_{\mathit{x}}^{\text{Τ}}\mathit{h}(\mathit{x})& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{Δ}\mathit{x}\\ \text{Δ}\mathit{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{L}{}_{{\mathit{x}}^{\prime }}\\ -\mathit{L}{}_{\mathit{y}}\end{array}\right](3)$

式中:x为控制和状态变量;y为等式约束乘子;H′为障碍矩阵和目标函数、等式及不等式约束对应海森矩阵的线性组合[7];Lx′和Ly为库恩—塔克(KKT)系统的右端残差向量,其定义可参看文献[15]。

式(3)的求解占用了绝大部分计算时间[7],其阶数将直接影响到内点法的计算耗时。由式(3)可知,系数矩阵的阶数取决于等式约束和变量的数目,与不等式约束个数无关。如果设法减少等式约束个数,则可降低式(3)的阶数。常规方式下,差分TSOPF等式约束中绝大部分为暂态差分方程。事实上,由于任何数值算法都存在误差,将这些差分方程作为严格等式约束并无必要。对于初值问题:

${\mathit{v}}^{\prime }=\text{ϕ}(t,\mathit{v})t\ge t{}_0,\mathit{v}(t{}_0)=\mathit{v}{}_0(4)$

采用隐式梯形法差分化,第j步到第j+1步产生的截断误差为[16]:

v(tj+1)-$\mathit{v}(t{}_j)+\frac{\text{Δ}t}{2}(\text{ϕ}(t{}_j,\mathit{v}(t{}_j))+\text{ϕ}(t{}_{j+1},$

v(tj+1)))$=-\frac{(\text{Δ}t){}^3}{12}{\mathit{v}}^{‴}(t{}_j)+{\rm O}((\text{Δ}t){}^4)(5)$

即隐式梯形法是二阶精度的差分方法,存在3阶局部截断误差。实际上,任何一种差分方法都存在误差,将差分方程作为等式约束是非常苛刻的条件,直接导致式(3)阶数增加,带来计算时间和内存消耗过大等问题。在大规模系统、多预想故障的TSOPF求解中,这些问题更加突出。若将这些差分方程转换为不等式,则可以大大减少等式约束个数,即式(2)转换为:

$\{\begin{array}{l}-\beta (\text{Δ}t){}^n\le \text{Δ}\delta {}_i^t(k)\le \beta (\text{Δ}t){}^n\\ -\beta (\text{Δ}t){}^n\le \text{Δ}\omega {}_i^t(k)\le \beta (\text{Δ}t){}^n\end{array}(6)$

式中:Δt为积分步长;n为所用差分方法的精度阶数。

差分不等式约束的上下限设置为±β(Δt)n,其中β为约束系数,β∈[0,1]。在内点法求解过程中,将1个差分方程由等式约束转换为上下限不等式约束,可减少1个等式约束及其乘子(y),同时增加2个松弛变量(l,u)以及2个不等式约束乘子(z,w)。由于松弛变量和乘子通过直接回代求解,计算耗时很少,故这些变量的增加对优化过程的总耗时影响甚小,测试结果也将证明这一点。

如图1所示,假设t0时刻系统中某处发生故障,tcr时刻故障被切除,tmax时刻暂态仿真过程结束。以tb表示暂态过程中等式约束和不等式约束的分隔时刻,即t0～tb时段的暂态差分方程视为等式约束,tb～tmax时段的暂态差分方程视为不等式约束。以隐式梯形法为例,说明本文采用的差分方程不等式化降阶过程。

步骤1:发电机采用经典模型,负荷视为恒定阻抗模型,采用隐式梯形法将发电机转子运动方程差分化,得到差分方程组。

步骤2:以tb为界限,将差分方程组分别转换为等式约束集S1和不等式约束集S2:

$\begin{array}{l}S{}_1=\{\begin{array}{l}\text{Δ}\delta {}_i^t(k)=0\\ \text{Δ}\omega {}_i^t(k)=0\end{array}t{}_0\le t\le t{}_{\text{b}}(7)\\ S{}_2=\{\begin{array}{l}-\beta (\text{Δ}t){}^n\le \text{Δ}\delta {}_i^t(k)\le \beta (\text{Δ}t){}^n\\ -\beta (\text{Δ}t){}^n\le \text{Δ}\omega {}_i^t(k)\le \beta (\text{Δ}t){}^n\end{array}t{}_{\text{b}}<t\le t{}_{\max }(8)\end{array}$

式中:tb∈[t0,tmax]。

如考虑到故障时段对整个暂态过程的重要影响,可令tb=tcr。若取tb=t0,即将所有差分方程处理为不等式约束;若取tb=tmax,即常规方式。对于隐式梯形法,精度阶数n为2。

步骤3:将S1和S2分别作为TSOPF问题的等式约束和不等式约束,采用内点法求解降阶后的TSOPF问题。

由于式(5)中v(tj)的计算比较困难,故差分不等式上下限中引入约束系数β。TSOPF问题中,各积分时段的δt, ωt都与前一时刻的δt-1,ωt-1有关,因此β的取值关系到降阶内点算法的精度。

3 算例分析

3.1 测试算例

本文采用预测—校正内点法对3个算例进行了计算。表1给出了3个测试算例的参数,其中nB,nL分别为系统节点和线路数目,t0=0 s。对于所有算例,均采用第2节提出的处理方式,分别取tb=tcr和tb=t0进行计算,并与常规处理方式所得结果进行对比。本文中也就β和tb的取值对计算耗时和目标函数值的影响进行了分析。程序采用各发电机功角相对于惯性中心(center of inertia,COI)的偏差不超过±100°作为暂态稳定判据。为简化计算,假定变压器变比恒定。计算中最大迭代次数设定为50。采用隐式梯形法进行暂态稳定分析时,积分步长可取0.01 s～ 0.02 s,甚至更长[15],本文采用0.02 s的积分步长,式(8)中精度阶数n为2。

采用32位MATLAB R2009a编程求解TSOPF问题,并用MATLAB集成的常微分方程解法器ODE45对程序求得的摇摆曲线进行验证。仿真环境为Intel Core 2 Duo E8400, 4 GB内存。程序已充分考虑矩阵稀疏性,且计算过程中已自动对稀疏矩阵进行优化编号以减少新增非零注入元。

3.2 测试结果

为叙述方便,称tb=tmax的常规方式为TSO1,tb=tcr和tb=t0的降阶处理方式分别为TSO2和TSO3。表2给出了上述3个算例在各处理方式下TSOPF问题的规模和计算结果。

表2中,re为等式约束数,Nd为线性方程组(3)的阶数,Pr为阶数百分比,Ni为内点法迭代求解次数,Tc为求解式(3)的总耗时,Ta为各次迭代求解式(3)的平均耗时,Tb为各次迭代回代求解及更新松弛变量和乘子的平均耗时,Vobj为目标函数值,Dobj′为当前目标函数值Vobj相对于常规方式下目标函数值VTSO1obj偏差的百分比,即

$D{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}´=\frac{|V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}-V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}^{\text{Τ}\text{S}\text{Ο}1}|}{V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}^{\text{Τ}\text{S}\text{Ο}1}}\times 100％(9)$

附录A图A1～图A3给出了上述3个算例在各处理方式下所得的摇摆曲线,可知,在给定的预想故障下,时域仿真得到的摇摆曲线与TSOPF计算所得摇摆曲线基本一致,说明该降阶方法所得最优潮流结果满足预先设定的暂态稳定约束条件。表2中数据Dobj′说明降阶后所得目标函数值与常规方式的偏差在可接受的范围内。

对于所有算例,比较表2中各处理方式下的测试结果Nd,Pr,Tc和Ta可知,降阶后各算例中修正方程组的阶数降低至接近原来的一半,迭代求解该线性方程组的总耗时和平均耗时均大大减少,说明该降阶内点算法对所考虑的算例均具有明显的省时效果。其中对于规模较小的系统(IEEE39),由于常规方式的计算耗时本来就不多,该算法的省时效果并不明显;对于较大规模系统(CASE162),该算法较常规方式节省的时间在10倍左右;对于更大规模的系统(CASE300),常规方式下由于内存限制该问题已不可求解,而经过差分不等式降阶处理后也能够在较短时间内给出优化结果。这些都充分说明了该降阶内点算法在计算耗时和内存耗用量方面的优势。

表2的测试结果显示,每次迭代过程中回代求解松弛变量和乘子的时间Tb相对于求解线性方程组(3)的时间Ta非常少。对于所有算例,TSO2和TSO3对应的Tb与TSO1相比增加很少,说明降阶后由于松弛变量和不等式约束乘子增加带来的计算耗时增长有限,从而印证了第2节的结论。

3.3 β取值分析

图2给出了各算例取tb=tcr时,β取不同值对计算耗时和目标函数值的影响。其中,T1为β取不同值时各算例中求解式(3)的总耗时;T2为表2中各算例TSO2方式下的总耗时;Dobj为当前目标函数值Vobj相对于各算例TSO2方式下目标函数值VTSO2obj的偏差百分比,其定义为:

$D{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}=\frac{|V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}-V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}^{\text{Τ}\text{S}\text{Ο}2}|}{V{}_{\text{o}\text{b}\text{j}}^{\text{Τ}\text{S}\text{Ο}2}}\times 100％(10)$

从图2(a)可知,β取值小使得总的计算时间增加(图中β=10-5时,程序达到迭代次数上限,各算例均存在收敛性问题)。图2(b)说明β过大将导致暂态稳定约束过于松弛,目标值偏差较大,优化结果不理想。结合图2(a)和图2(b)可知,对于所考虑的算例,采用隐式梯形法差分化后,β取0.001～0.020可在计算耗时和暂态仿真及目标函数值精度之间取得较好的折中。

表3给出了在所建议的β取值范围内,各算例通过ODE45进行暂态仿真所得发电机的最大相对功角δmax和目标值偏差百分比Dobj′(如式(9)所示)。

从表3结果看出,差分不等式降阶处理所得的暂态仿真和目标函数值精度均在可接受的范围内,说明这种将差分方程部分或全部作为不等式约束的方法保证了足够的计算结果精度,且节省了大量计算时间,因此是可行且有效的。

3.4 tb取值分析

图3给出了不同tb时各算例计算总耗时的变化曲线,其中β按表2所示各算例TSO2方式下取恒定值,T1为tb取不同值时各算例中每次迭代求解式(3)的平均耗时,T2为表2中各算例对应TSO2方式下的平均耗时。在所考虑的算例中,各故障的切除时间tcr均为0.2 s。

从图3看出,随着tb的增大,由于修正方程组阶数不断增大,计算耗时总体上是不断增加的,对于大规模系统则更加明显。这说明对于同一个算例,修正方程组的阶数是影响计算耗时的一个重要因素,从而进一步证明了本文所提出的降阶内点算法的合理性。当tb≤tcr时,计算耗时不会明显增加。注意对于算例CASE300,tb>0.2 s后该问题的求解由于内存不足无法完成。

4 结语

本文提出了一种多预想故障TSOPF问题的降阶内点算法。该方法考虑了差分方法的截断误差,将暂态差分方程转换为不等式,其上下限与所用差分方法的精度相关,并采用内点法求解降阶后的TSOPF问题。对3个不同规模系统的测试结果证明该降阶算法能有效减少计算时间,且测试结果显示出以下特点:

1)降阶内点算法中,线性方程组阶数比常规方式明显减小,其阶数接近常规方式的50%。对于不同规模的系统均可节省大量计算时间,甚至能够求解常规方式下不能求解的问题。

2)测试证明,β取值过小可能导致总的计算时间增加;β取值过大则导致优化结果不理想。若采用隐式梯形法差分化,对于所有算例β,取0.001～0.020时能够取得满意的结果。

3)测试证明,tb取值越大,修正方程组阶数越高,其求解耗时总体上增加,对于大规模系统尤其如此。对于本文的算例,tb≤tcr是一个较合理的取值。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

基于概率条件的特定模式降阶研究 篇3

随着经济发展,由于电力系统规模的扩大和大量复杂控制手段的引入,系统的维数越来越高,上千甚至上万阶的状态变量形成所谓“维数灾”问题[1],而QR法是一种基于稠密矩阵实现的特征求解方法,计算量约与矩阵阶数的三次方成正比,当矩阵阶数特别大时,舍入误差影响将使结果出现较为明显的偏差,甚至可能不收敛。

实际上,对于不同的动态稳定分析目的,所关心的只是状态矩阵A中一部分与分析目的密切相关的特征值。一般认为在m个发电机的系统中,对应于机械电气振荡的特征值,即机电振荡模式有m-1个,其频率在0.1~2.5 Hz范围内。在小干扰稳定性分析中,并不需要对所有机电振荡模式都进行计算,通常关心的只是那些具有负阻尼或阻尼不足的模式。

近十几年来,许多部分特征值分析和降阶方法开始用于大系统的小干扰稳定性分析[2],这些方法[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]在计算部分特征值时一般都利用了增广状态矩阵的稀疏性,多数方法通过对原系统进行谱变换从而改变特征谱的分布,然后按模值递减的特征值,通过反变化得到原系统的关键特征子集。基于多重Cayley变换法[3]的部分特征值分析方法被用于电力系统小干扰稳定性分析中;奇异摄动方法[4,5,6]、模糊聚类分析法[7]等也被广泛研究;不变子空间法[8,9,10]直接作用于原系统,通过迭代求解原系统的不变子空间及其相应的特征子集;文献[8]提出用Jacobi-Davidson方法求取系统状态矩阵按阻尼比递增的特征值子集,避免了大量冗余特征值的计算,从而极大减少了计算量;直接降阶方法[12]从物理概念上将原系统进行降阶,使降阶系统的特征值属于原系统的特征值,从而以较小的计算量对降阶系统进行特征求解,得到所需要的特征值子集。

由于电力系统的运行方式在不断变化,采用概率方法可以考虑系统的更多运行方式,本文在单方式大系统特定模式降阶计算[13]的工作基础上,将概率方法引入到特定模式降阶研究中,并在一16机系统[14]上进行试算分析。

1 特征根和概率灵敏度指标

本文采用文献[15]中的插入式建模技术(PMT)来形成系统状态空间方程:

系统的特征值从系数矩阵A计算确定。各系数矩阵的详细表达及形成过程见文献[15]。

在系统多运行方式的正态假定下,特征根的统计特性可用相应的均值、方差描述,并可由概率特性计算[16]确定。对某一特征值λk=αk+jβk而言,若其实部的均值和标准差分别是和σαk,则αk分布在范围内的概率为0.999 93,并可近似认为完全分布在该区域内[16]。因此,为了保证λk的稳定性,该区域应完全位于复平面的左半平面,也可用区间上界αk′或标准化均值αk*描述为

αk′和αk*可以认为是扩展的阻尼系数。当满足式(2)时,认为特征值λk是多运行方式下鲁棒稳定的;否则,不稳定。

对复特征值λk=αk+jβk,阻尼比ξk定义为

类似于式(2)(3)中的αk′和αk*,扩展阻尼比系数可以由ξk的均值和标准方差σξk求得。所有阻尼比样本都不应小于可接受的门槛值ξc,即阻尼比的概率密度曲线应分布在“ξ=ξc”的右侧,即

第k个特征值实部对第m个PSS增益Gm的灵敏度指标[16]如式(7)所示,类似地,阻尼比的灵敏度指标[16]如式(8)所示(详细算式参考文献[17])。

以上灵敏度指标反映了不同机电模式与发电机的相关程度。本文采用式(7)所示的灵敏度指标。

2 特定模式降阶算法[13]

基于前面介绍的理论,假设λk为A阵的一个特征根,对式(1)进行重新排序,按灵敏度指标式(7)把与λk密切相关的发电机排在前面,成为

其中,x1是强相关发电机组的状态变量,x2为非强相关状态变量,也就是待消去的变量。

对于λk有

可以转化为

消去x2得到:

其中,B为降阶后得到的矩阵,它只包括与此模式密切相关的发电机,I为单位阵。

由于实际系统中所关心的模式λk一般为复数形式,所以得到的矩阵B=B1+j B2为复数矩阵。

采用改进Rayleigh商逆迭代法进行降阶运算[13]如式(13)所示。

3 算例分析

本文选用一16机系统[14],该系统共有83个节点,210条支路,39个负荷节点,发电机采用五阶模型,形成的系统状态矩阵为178阶,求解得到41对复根和96个实根,且所有特征值的实部均小于零。其中,对应于机电振荡模式的特征值为16-1=15对,结果如表1所示。

为便于分析,本文选用分别对第1、4、7和第10个机电模式进行试算,表2为根据式(7)计算的对应概率灵敏度指标。由表2中可以看出,与机电模式1相对强相关的机组为:G11、G16、G12、G4、G13、G14和G5,在降阶过程中可以根据设定不同的门槛值,进行不同层次的降阶,即根据设定灵敏度门槛值大小来保留不同台数的相对强相关机组(本文分别考虑保留9台和3台强相关机组的情况)。

注:K1~K16为式(7)中所表示的第k个特征值实部对第m个PSS增益G的灵敏度指标,α1、α4、α7、α10分别为第1、4、7、10个特征值的实部。

表3和表4为迭代过程及其结果,表5是在不同运行方式下所得到的对应的机电模式。其中,表3根据不同的门槛值对4个机电模式降阶都保留了3台强相关机组,表4保留了9台。从表3和表4可以看出,随着迭代次数的增加,收敛值越来越接近降阶前的原特征值,其计算精度达到了10-6,这说明特定模式的降阶在概率条件下也可使用。这为后续的大系统的概率分析研究提供了研究方向。

为了验证此方法的可行性,下面在特定运行方式下进行比较计算分析。图1为其中某2台发电机的日负荷曲线,分别对不同时刻对应的特定运行方式进行计算,采用上面得到对应模式的概率降阶模型,校验其在特定运行方式下的情况。

对比表4和表5,图2显示了第1个机电模式的分析情况,其中横坐标Re表示实部,纵坐标Im表示虚部,“▲”表示概率下得到的特征值,“◆”为对应特定运行方式下得到的特征值。可以看出,概率情况下的降阶模型基本反映了多运行方式下特征值的趋势,可以作为更进一步研究的基础。

4 结论

本文在单方式大系统特定模式降阶计算的工作前提下,为考虑系统的多运行方式,进一步提高多运行方式下稳定计算的效率,将概率方法引入到特定模式研究中,并在一16机系统上进行试算分析,分析结果表明概率情况下的降阶模型基本反映了多运行方式下特征值的变化趋势,可作为进一步大系统概率分析研究基础,也为后续工作提供了方向。

系统的降阶与性能分析实验研究 篇4

复杂动态系统组成元件多,元件间关联度高,建立大规模系统的精确数学模型难度大,物理实现困难。在满足系统动稳态性能指标的前提下,对系统进行降阶处理,得到与原系统等价的低阶系统,可以应用低阶次、低复杂度的系统实现相应的控制功能。

上世纪60年代以来,大规模系统降阶理论受到了科研工作者的关注,寻找系统降阶处理的方法,获得逼近高阶系统的降阶模型成为科学研究工作者研究的热点问题。应用根轨迹法、部分主导极点法对三阶系统进行降阶处理,得到所需要的二阶的系统易于实现且系统性价比高。

1 系统建模与分析

一复杂动态系统如图1所示,根据系统电路理论、集成运放的特点得到系统的数学模型,如式(1)。

式(1)中

整理得到系统闭环传递函数为

计算得到系统临界稳定时的频率和根轨迹增益

从而可求出系统临界稳定时的电阻

绘制三阶系统根轨迹曲线,找到系统阻尼比最优时的系统极点和根轨迹增益,如图2和图3。

在图2中取闭环根轨迹与θ=1 3 5°和θ=-135°的交点,得交点处的根轨迹增益为5.57,计算得到

确定出三阶系统阻尼比最优时的闭环系统传递函数,式(4)所示。

2 三阶系统降阶处理

分析三阶系统的零极点的位置,从式(3)看出式极点离其他极点较远,为非主导极点,对系统的动态响应影响较小。系统阶跃响应输出中的动态分量主要取决于另外两个极点,可忽略极点的影响。该系统的闭环传递函数近似为式为式(5)。

计算得到二阶系统的开环传递函数为式(6)。

根据式(6)确定出二阶系统的电路参数为

由上述计算得到降阶后的二阶系统的电路,如图4。

3 实验验证与结果

在MATLAB2013B软件平台上,对三阶系统和降阶后的二阶系统分别进行软件仿真实验,对二系统进行对比分析。三阶系统的单位阶跃响应曲线,如图5,系统指标性能指标如图所示。

图5三阶系统的单位阶跃响应

等效二阶系统的单位阶跃响应曲线,系统指标如图6所示。

图6二阶系统的单位阶跃响应

从图5、图6可以看出二阶系统相比三阶系统第一次到达稳态值的时间有所增加,二阶系统相比三阶

系统峰值时间以及系统调整时间也有所增加,可以看出系统降阶后系统的灵敏度下降了。但系统的超调量由三阶系统的29%减少为18.1%,可以看出降阶之后平稳性、相对稳定性变好。

根据二阶、三阶系统的数学模型搭建相应电路,电路参数分别为:R1=500kΩ,R3=50 kΩ,R4=500kΩ,C1=2 u F,C2=1uF,C3=1uF和R1=500kΩ,R4=298kΩ,C1=2 u F电路如图1、图4。选择合适的元件构造出模拟电路,给定系统阶跃输入输入信号,选择A11=89.7 7 KΩ和A11=11.36KΩ,应用6212BE 200M双通道USB虚拟示波器观察得到实验结果,如图7和图8所示。

从图7和图8可以看出降阶前后系统的上升时间时间从1.040s变为了1.120s,峰值时间由1.60s变为了1.80s,调整时间从5.360s变为了5.560s。时间都延长了,系统降阶后灵敏度下降,但是由于超调量从0.375变为0.234变小了,可看出系统平稳性变好。

系统降阶前后的仿真实验数据与实际电路实验数据如表1所示,分析表1数据同样可以看出相对于三阶系统,降阶后的二阶系统的超调量减小,稳定性变好了。由于超调量通常和快速性指标相互制约,峰值时间、第一次达到稳态值的时间和调整时间都有延长,灵敏度降低,但是都在误差允许范围内,二阶系统实现起来更简单,方便计算和实现。

4 小结

论文就三阶系统降阶问题进行了研究。首先,通过理论分析应用主导极点法将三阶系统降阶为二阶系统。然后,对降阶前后的两个系统分别进行了仿真、电路实验研究,由实验结果看出系统降阶后系统的灵敏度下降,但变化不大,同时还获得了较高的稳定性指标的改善。应用降阶后二阶系统近似逼近原来的三阶系统,可以有较高的性价比,实验结果令人满意。这种通过计算系统主导极点的系统降阶方法不仅可以用在理论和实验教学中,还可以在实际应用中优化系统设计。

参考文献

[1]和萍,王克文.几种大系统降阶方法的研究与比较[J].中原工学院学报,2006,02:1-4.

[2]史建亮,任戈.二阶系统中模型降阶方法的研究[J].系统工程与电子技术,2009,09:2215-2218.

[3]杜鑫,范培兵,刘夫伟.基于LMI的连续时间线性时滞系统有限频模型降阶[J]上海大学学报,2016,22(3):2-4.

[4]徐今强.高阶控制系统降阶处理中的增益变化研究[J].电气电子教学学报,2013,35(4):71-75.

[5]宁长春,索郎桑姆,胡海冰,厉海金.信号与系统中的matlab程序[J].西藏大学学报(汉文版),2007,S1:46-48.