质点（共10篇）
质点 篇1
面对复杂具体的物体, 研究他们形形色色的运动, 如果不采取突出本质的主要矛盾, 忽略非本质的次要因素的科学思维方法, 人们便不能摆脱浩如烟海、纷乱复杂现象的纠缠, 理不出清晰的物理概念和规律, 物理学理论大厦无法建立.物理学中的各种模型便是这种科学方法的具体应用.质点模型无疑是理想化模型中最典型的, 如果物体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略不计时, 可视物体为质点.同样的物体, 研究的问题不同, 可能建立的模型是不同的.在一些问题中, 研究对象已不能看成质点, 而应看成刚体或质点组.但中学阶段研究的问题绝大多数是可视为质点的, 这容易造成学生思维定势, 不利于学生能力的发展, 这种常法定式容易误导学生闯入质点模型建立的红灯区.
一、讨论人、车转弯 (或物体有转动趋势) 问题时, 因为提供的向心力并不过质心, 人、车或物体的大小已不是次要因素, 模型一般不能建立为质点而应是刚体
人滑冰转弯时还能把人看成质点吗?摩擦力的作用点一定能画在质心吗?带着疑问我们从下面的例题谈起.
例1北京时间2006年2月24日凌晨, 都灵奥运会花样滑冰女子单人滑的比赛结束, 最终日本名将荒川静香力挫美国名将科恩和俄罗斯老将斯鲁茨卡亚获得冠军, 图1为俄罗斯老将斯鲁茨卡亚在滑冰过程中美丽的倩影.假设图中斯鲁茨卡亚在沿弧形运动.若已知该运动员的质量在60kg左右, 除此之外, 根据图中的信息和你所学的物理知识, 你能估测的物理量是 ()
A.地面对冰鞋摩擦力的大小
B.运动员的滑行速度
C.运动员转弯时的向心加速度
D.地面对人的支持力
【错解】图1中的运动员受到三个力的作用, 在竖直方向重力和支持力平衡, 因此地面对人的支持力等于重力.在水平方向运动员受到的静摩擦力提供所需的向心力, 方向指向圆弧形的曲率中心, 则由于, 且Ff、v、R均未知, 因此A、B、C项无法估测, 综合选D.
【错解分析】能不能把人看成质点, 是由问题的性质决定的.本题中, 运动员转弯时需要倾斜, 而且速度越大倾斜越厉害, 这是不争的事实.如果把人看成质点, 就无法解释上述现象.其实这类问题中应把人看成刚体, 静摩擦力作用于脚底面已不能简单的平移在人的质心处而提供所需的向心力, 也就是说人的大小已经是问题的主要因素.如图2所示, 过质心加上方向与Ff平行、大小均与Ff相等的一对方向相反的力Ff1和Ff2, 显然, Ff、Ff1、Ff2的作用效果和原力Ff是等效的.在Ff、Ff1、Ff2这组力中, Ff1提供运动员作圆周曲线运动的向心力, Ff2与Ff产生了一个顺时针的力偶矩, 为了不使运动员向外翻倒, 只有当运动员向内倾斜时即重力产生一个逆时针力矩才能使转动平衡, 这种方法称为等效平移力法.[1]
【正确解法】为了便于研究, 把运动员简化成如图2所示的刚体模型, 运动员所受的力有:重力作用在质心, 方向竖直向下, 支持力作用在脚底面方向竖直向上, 沿法向方向的静摩擦力作用在脚底面, 方向指向圆弧形轨迹曲率中心, 设曲率半径为r, 运动员此时沿切线方向上的速度为v.Ff1提供运动员做曲线运动的向心力, 即
Ff2产生的顺时针力矩和重力产生的逆时针力矩能使转动平衡, 则Ff2y=mgx (2)
(y、x分别为Ff2和mg产生的力臂)
设转弯时运动员的倾角为θ, 则
本题中, 根据图中信息可估测出运动员的倾斜角θ, 依 (3) 式由于v、r均未知, 因此不能估算出运动员的滑行速度, 但可估算出转弯时的向心加速度即;又依 (1) 式, 因此摩擦力的大小也能估算出;在竖直方向上支持力与重力平衡, 地面对人的支持力可估算出, FN=mg, 综合本题选ACD.
例2一载重农用车总质量为M=5t, 重心离地面高h=1.5m, 两轮胎之间的宽度为L=1.2m, 轮胎与地面之间的动摩擦因数μ=0.5.当农用车通过一半径为R=100m的水平弯道时, 最大速度不能超过多少才是安全的? (最大静摩擦力按滑动摩擦力计算, g取10m/s2)
【错解】如图3所示, 农用车在竖直方向受到重力和支持力FN, 则FN=Mg, 农用车沿曲率中心的静摩擦力提供所需要的向心力.设农用车转过水平弯道的速度为v时, 即将沿法向方向滑出, 则
【错解分析】错解的原因仍然是简单的把农用车看成质点造成的.农用车在转弯处的安全隐患是滑出还是翻倒是未知的, 若是滑出, 是平动问题, 农用车可以看成质点;若是翻倒, 是转动问题, 农用车的大小也是主要因素, 已不能看成质点, 摩擦力的作用点不能简单地画在质心上, 而应把农用车看成刚体按有固定转动轴的平衡问题来分析.
【正确解法】先由静摩擦力提供向心力计算.设即将侧滑动的车速为v1, 则
联立 (1) (2) 得.
再由附加力矩和重力力矩的转动平衡计算.设即将翻倒时车速为v2, 由等效平移力法, 此时静摩擦力提供向心力则
另一力Ff''与重力的力矩平衡, 即
(设以右轮胎为转动点, 即将翻倒时地对左边轮胎恰无支持力)
联立 (3) (4) 得.通过计算对比可以看出, 农用车在弯道处更容易翻倒造成事故, 因此安全行驶的速度不能超过20m/s.
【反思】限于中学学生所做的这方面试题绝大多数可视为是质点而不是刚体模型, 这容易造成思维的固定模式, 像前面讨论的人滑冰转弯、人骑车转弯、汽车转弯等很实际的问题, 我们有必要让学生明白, 这类问题已不能把它们看做质点, 物体的形状、大小往往也起主要作用而不能忽略, 当然我们也忽略了一些次要因素.如人的双臂摆动、双腿交替运动、身体的晃动、内脏的运动等.中学教学中, 遇到的这类问题不是很多, 我们要善于抓住时机, 利用很少的时间帮助学生理解模型的建立要根据具体问题而决定, 而不是避而不谈, 甚至错误作答.[2]
二、讨论人、机车的功能 (或物体间的碰撞) 问题时, 因为有内力参与做功, 模型一般不能建立为质点而应是质点组
对涉及人和机车的做功问题时还能用质点动能定理吗?物体间 (系统) 的碰撞问题我们所列的动能方程是质点动能定理吗?下面以两个例题为引子做一深入的探究.
例3如图4所示, 平板车放在光滑的水平面上, 一个人从左端加速向右端跑动.设人受到的摩擦力为F, 平板车受到的摩擦力为F'.下列说法中正确的是 ()
A.F和F'均做负功
B.F和F'均做正功
C.F做正功F'做负功
D.F和F'做的总功为零
【错解】人从车的左端加速向右端跑动时, 人相对地向右运动, 人所受的摩擦力方向也向右, 则F做正功;平板车相对地面向左运动, 它受到的摩擦力也向左, 则F'也做正功, 所以选项B正确.
【错解分析】上述错解中, 人和平板车所受静摩擦力的方向及摩擦力对平板车做正功的分析都是正确的, 错误出现在静摩擦力F对人做正功的分析上.学生做此题时认为, 人受静摩擦力方向向右, 并且人向右运动, 根据功的定义“一个物体在力的作用下移动, 力对物体做的功等于力和物体沿力方向位移的乘积”, 因此摩擦力对人做正功.这是把人看做质点得出的结论, 其实, 这个问题中人已经不能看做质点, 而应看成质点组.难道中学就只能把人看成质点吗?若是把人看成质点分析得出的答案B与我们交代给学生的二级结论“一对静摩擦力做的总功为零”是相矛盾的, 并且人和车组成的系统动能增加也是无法解释的, 可见这不是简单的可回避的问题.[3]
【正确解法】人应看做质点组, 人向右跑动时, 人体的各部分运动情况不一样, 人体整体看来向右运动, 但后脚随着后腿由弯曲变为伸展的过程中, 随着平板车一起向左运动, 由于后脚受到的静摩擦力方向向右, 所以F对人做负功.当后脚抬起并且向前运动变为前脚时, 原来的前脚就开始变为后脚重复着上面的过程, 每次的后脚蹬着平板车向左运动, 后脚和平板车的位移是相等的, 因此F和F'做的总功为零.正确答案是D.
例4一质量分布均匀的铁链, 质量为M, 长为L, 静止在水平面上, 若用一竖直向上的恒力F作用于铁链的一端, 则当铁链刚好全部离开地面时, 其速度有多大?
【错解】铁链在上升的过程中, 拉力做正功, 位移为L, 重力做负功, 位移为, 地面支持力不做功, 当铁链刚好完全离开地面时, 设其速度为v, 依动能定理, 有:, 解得.
【错解分析】上面的解法中套用了质点的动能定理, 然而上面的铁链在这类问题中是不能视为质点的, 必须看做质点组.这样就涉及内力做功的问题, 在铁链不断上升的过程中, 原来静止在地面上的铁链微元dm不断地与获得速度的铁链主体m结合为一体, 铁链的上升过程实质上就是已离地的m与静止的dm的一连串连续的碰撞过程, m与dm间相互作用的一对内力做功之和并不为零, 碰撞中有能量损失.其实对质点组, 动能定理应写为W非内+W外=Ek2-Ek1, W非内为非保守内力所做的功.
在中学应用动能定理时, 是把物体能够看做质点的情况下, 把物体看做质点, 内力做功为零, 因此质点动能定理为:W外=Ek2-Ek1.
【正确解法】设某时刻铁链离开地面部分长度为x, 获得速度为v, 并设铁链的线密度为λ, , 则对长为x的铁链有微分方程:
整理得, 两边乘以xv得:
两边微分后得:.
【反思】人和车运动问题中, 限于中学生的知识局限, 学生出现的错误比较多, 例如人和车在地面上运动, 是地面摩擦力对人或车做正功的缘故;又如人从地面上跳起是地面支持力对人做功的结果;再如人在荡秋千的过程中 (忽略各种阻力) 机械能守恒等.要帮助学生理解这类问题中人或车已不能看成质点或刚体, 而应看成质点组, 由于质点组内各质点之间存在着相互作用力, 内力虽然不能改变质点组的总动量, 但可以改变质点组的动能.无论是人体内, 还是各类机械中, 因内力的产生随时间、位移的变化十分复杂, 以至于通常难以用一个定量的函数式对它进行描述, 所以内力功虽然具备功的因素却难以定量表示, 其大小只能间接用机械能或其他形式能的增量进行粗略的估算.
物体之间的碰撞问题, 由于一些过程时间短, 隐藏性强, 中学生也经常“视而不见”从而出错.教师经常埋怨学生粗心, 其实教师也要在此做足文章, 可以对碰撞过程“放大”和“强化”处理, 使学生明确质点组间的碰撞由于一对内力做功一般不为零, 因此机械能有损失.
理想化模型的建立需具体问题具体分析, 不能一概而论.某因素可能在这种情况下是次要因素, 不予考虑;但在另一种情况下可能是主要特征, 就必须考虑.
参考文献
[1]张锦科.人骑车转弯时的力学探究[J].物理教师, 2009 (7) .
[2]冯晓林.中学教学研究 (3+X中学成功教学法体系) [M].呼和浩特:内蒙古大学出版社, 2000.
[3]徐善松.一对静摩擦力做功一定为零[J].物理教学, 2008 (7) .
[4]丁三七.几个功能问题的错解分析及原因探究[J].中学物理, 2008 (7) .
文本教学：质点的寻找与超越 篇2
【关键词】文本教学 质点 视点 远点
2001年颁行的《语文课程标准》指出：“工具性与人文性的统一，是语文课程的基本特点。”但语文界始终存在着二元分立的现象。“工具论”主张语文教学以语言知识训练为中心，其结果是导致语文教学越来越技术化，语文负载的功能越来越窄化，语文形销骨立；“人文性”作为对“工具性”的反驳，主张语文教学中要注重人文精神和人文思想的熏陶，其结果是语文逐渐被泛化，原先的咬文嚼字、文本解读和品味涵泳，逐渐被丢弃，语文成了空中楼阁。正是在这样的背景之下，我们试图从工具性与人文性的纠结中找到一个突破点，探索一条新路径，以实现语文教学的突围。我们在教学中尝试寻找文本的质点并力求超越，以期达到语文教学人文价值与工具价值的和谐共融。
一、质点：文本语文价值的核心
“语言是存在的家园。”（海德格尔语）所谓存在，是意义的存在，是思想、情感、精神的存在。由语言构成的文本，一定是有意义的，而且其“存在”的意义与文本语言是无法彼此割裂的。语言学家索绪尔认为，语言和思想是同构的，“思想离开了词的表达，只是一团没有定型的、模糊不清的浑然之物”。在用语言表达之前，我们心中所想的东西根本就不是思想。语言，是情意的载体，让人文栖居。意义是文本的“灵魂”，文本是“灵魂”寄托的“躯体”。从这一意义上来讲，文本语言对语文教学而言，它既是内容，又是载体。
如果我们能找到一个恰当的角度，挖掘到文本语言形式与意义结合的核心点，那么，从文本语言出发，穿越文本，就既能够在语言学习中习得语言经验，又能体验感悟文本的思想意义，从而抵达语文学科提升学生语文综合素养的理想境界。
这个点，就是我们寻找的“质点”。就一个文本而言，它是思想意义的顶点、语言表达上的特色或亮点。从语文教学角度看，它是文本语文价值的核心，也是语文活动的重心。
（一）关于文本的语文价值
要弄清文本的语文价值内涵，先要明白文本的价值。文本的价值具有多元性。从文本自身而言，有形式的多样性，包括词、句、文、气、势、态，有内容的多元性，包括情感、态度、价值观，还有广度与深度的不同。阅读又有种类的不同，有积累性阅读、理解性阅读、鉴赏性阅读、创造性阅读、评价性阅读、消遣性阅读，等等。功能不一样，选取的价值点也不一样。从读者角度看，也可以各取所需。语文价值是文本多元价值中的一个组成部分。在其他文化学科中，作为教材的文本都是专门编制的，唯独语文学科，教材编制采用的是选文方式。一个自然文本直接选入教材，就成为了语文的教学文本。
所谓语文价值，是从语文课程的视角观照文本可以开发和利用的价值。高中语文新课程标准指出：“高中语文课程应进一步提高学生的语文素养，使学生具有较强的语文应用能力和一定的审美能力、探究能力，形成良好的思想道德素质和科学文化素质，为终身学习和有个性的发展奠定基础。”叶圣陶先生也曾说：“语文这一门课是学习运用语言的本领的。”教师要从语文学科的角度研读文本，立足于提升学生的语文综合素养。语文综合素养的内涵包括两大内容：一是语文本身的综合，读写听说能力、习惯养成、情趣熏陶等；二是超越学科的综合素养，人文精神、生命意识、文史素养、科学素养等。因此，语文价值也就是文本具有的能够提升学生语文综合素养的价值。
语文课程标准是语文学科教学的指南。在一篇课文存在许多教学价值点的情况下，教学设计不仅应该关注文本的核心价值，更要挖掘课文中隐含的语文学习价值，重点训练学生对语言的感受能力和表达能力，重点完成语文课应该完成的教学目标，而适当弱化文本中可能隐含的其他教育价值，尽量把“语文课”上成真正的“语文”课。让学生的情感在语言的滋养中发育，让学生的素养在语言的交流中提升；而不是脱离文本的夸夸其谈、抛开语言的道德说教。语文学科性质的缺位，会直接导致语文课堂教学定位的偏颇，出现语文课与政治课、班会课、团队活动课错位等现象。
（二）关于文本的语文核心价值
作为语文教学的文本，其语文价值不仅具有多元性，还具有整体性、丰富性和隐秘性的特点。从不同的视点看，一个文本有若干个语文价值点，这些价值点又隐藏在一个整体中。这给语文教学的内容定位带来了困难，教什么，成了每一个语文教师首先必须面对的问题，与其他学科相比，这是语文学科与生俱来的特有的难题。语文的教学文本具有整体性、丰富性、隐秘性的特点，而课堂教学的内容又具有单一性、局部性、明晰性，这两者之间构成了矛盾。对文本中包含的全部价值信息予以关注和教学，不仅是不可能的，也是不必要的。必须对其有所选择，有所舍弃。而当前的语文教学明显对教学内容的选择关注不够，没有把研究文本的核心价值内容放在首要位置。王荣生教授一针见血地指出，当前语文教学的首要问题，不是怎么教的问题，而是教什么的问题。
语文核心价值点的寻找与确认的过程，也正是课堂教学目标确定的过程。在这一个过程中，教师思维的行走方向受到多种因素的制约或导引。质点，应该是从不同角度出发的思维射线所形成的最佳交会点。
1.目标。语文学科在各个学段都制订有不同的教学目标，不同年级在学年或学期初也会制订相应的教学计划。毫无疑问，这是师生在规定的教学时间内需要完成的任务。教材则是用于达成教学目标的工具。教材的每一个单元、每一个文本都各自分担着总体目标下的分解任务。计划强调教学内容安排的有序性，排斥随意性。教材编者在文本的选择和单元序列的编排上也有预先的设计。即使是同一个文本，放在不同学段的教材中，教学的目标与任务也不可能相同。教师在制订整体计划和研读具体文本的过程中，需要有一个宏观的整体构想，避免在教学过程中出现内容的重叠和偏漏。
2.文本。文本的种类很多，每一种文体都有各自的特点。从文体特点出发来发掘语文教学价值点，是较为常用的方法。但同属一类文体的文本，表达上也是各有特点的，完全可以用千姿百态来形容。同样是小说，欧·亨利和契诃夫，鲁迅与沈从文，言说方式不同；同样是散文，朱自清与巴金，刘亮程与史铁生，风格也是迥异的。诗歌，无论古典的还是现代的，更是异彩纷呈。如果从文本的内容角度去看，教材中雷同的更少。所以，对某个具体文本的深入研读，从语文的视角，找出“这一个”文本的独特之处，是教师必备的基本功。什么食材适合烹饪什么菜肴，做出来最具营养价值，又色香味俱全，这一点很重要。还需说明的是，一个文本的独特处往往不止一点。多个价值点并存是文本的常见现象，需要教师综合考虑多种因素来进行筛选，定位“这一课”的教学点。
3.学情。因材施教是一切教学行为必须遵循的基本原则。同一个文本，在不同的年级段，面对不同的学生，确立的教学目标是不一样的。李白的《静夜思》，小学、中学都可以选作教学文本。小学立足于文字的理解和文本中思乡情感的体悟，中学则可指向中国传统文化层面“乡愁”主题和李白作品风格的解读。关注不同生源的学情差别，切近学生的最近发展区，把握文本教学的深浅度，才能找到最佳的教学点。有的教师喜欢复制名师公开课或评优课的教学设计，在自己的课堂教学中往往达不到预期的效果，甚至根本无法达成基本的目标，其原因就在于教学面对的学生是不一样的。适合别人的，不一定适合你。
4.教师。上述三个因素，在思考和选择文本教学定位时通常都能涉及，但教师自身的文本解读能力与教学特长对教学带来的制约或影响往往容易被忽略。教师对文本解读的能力恰恰对教学内容的确定起到决定性的作用。语文教师对文本解读的力不从心，导致无法真正挖掘到文本的语文核心价值，偏离核心的语文教学活动沦为了一种盲动。或是停留于表层的语言理解和机械的解剖，或是非语文的课堂浮躁与热闹。还有一种值得注意的现象，是语文教师“唯我”的个性解读，也影响着语文教学应有价值的实现。我们提出个性化阅读和文本解读的多元化，但中小学语文学科教学属于基础教育的范畴，基础知识的积累和基本能力的培养是主要任务。学生阅读方法的习得，文本理解的深度，离不开学生原有的基础。文本作为一个教学的例子，其功能是多元的。教师的解读走得太远甚至太偏，学生就会觉得遥不可及，产生阅读的迷茫感。其最基本的语文学习功能也许被弱化甚至忽略。何况，有些教师过于偏激的解读，已经脱离了文本，观点本身也站不住脚，就更不足取。
（三）关于质点的理解
1.质点是文本工具价值与人文价值的交会点。
一个文本可能不止一个语文教学的核心价值点，不同教师、不同学段、不同对象，教学的质点会有不同。但无论怎么选择，质点必须兼顾文本的工具价值与人文价值。以《我与地坛》一文为例，泰州中学董旭午老师对《我与地坛》第一堂课的教学设计中对质点的把握即是一个范例。一开始，他就明确：“这一节课，我们只解决一个问题，那就是史铁生的灵魂是怎样由痛苦、麻木甚至颓废一点点站立起来的。”初看，这只是一个关于史铁生人生问题的讨论，似乎文本的语文学科价值被忽略了。随着教学活动的步步深入，我们发现，这个关于生命乃至人生意义的讨论，是董老师设计的巧妙的切入点。当学生发现史铁生对生命的领悟是源于“地坛”时，董老师打开了另外一扇门，教学活动很自然地为我们呈现出“柳暗花明又一村”的惊喜。“是地坛的哪些东西触动了他呢，使他变得如此坚强、豁达呢？下面，请同学们默读课文三四两段，勾画出对史铁生（也对你）心灵有触动的语句。”“同学们思考，也可以讨论，这些景物跟怎么活有怎样的关系？”对地坛景物描写的理解与赏析，看似只是一个纯粹的学科话题，但两个环节之间的勾联正是教师教学设计的智慧所在，生命意义的理解与学科能力的培养都聚焦在教师所寻找到的文本质点上。人文与工具，两条教学行进路线在质点上自然交会。如董老师在教后反思中所说的那样，“因为，作者把他的心灵发育过程、对生与死的认识、对人究竟该怎么活着的感悟等都融于景物描写之中了”。这个质点正是董老师所寻找到的一个文本语文核心价值点。
2.质点是课堂教学内容的定位点。
一个文本可以有不同的质点，但一堂课只可以选择一个质点。这个质点的选择取决于学情，受制于课堂教学时间。文本资源再丰富，也只能取“一瓢饮”。从某种意义上说，文本是达成教学目标所凭借的工具。教学活动的设计要围绕教学目标，一堂课的教学目标是相对集中的，因而文本的质点也就成了达成教学目标的承载点。
我曾在一次苏派名师展示活动中上了《景泰蓝的制作》一课。我设计的教学目标有两个：一是培养学生的概括能力，二是培养学生热爱中华民族传统文化的情感。语文活动有两步：第一步是景泰蓝制作六道工序的概括，其中对第6节讲“道理”的内容进行分层概括；第二步是六道工序介绍的缩写，并引导学生比较缩写短文与课文的不同。这两个活动都是从语言概括的角度出发，切合说明文文体的特点，力求突出语文学科教学的工具性。而通过对缩写文字与原文的比较，学生就可以发现两者的差异。原文不只是介绍工艺流程，课文详写的文字，突出的是景泰蓝手工制作精细、精巧、精美的特点，体会到课文中流淌着的作者对传统文化工艺品的喜爱之情。在文本语言的理解、体悟中，培养学生对我国传统文化的热爱之情和民族的自豪感。
3.质点是课堂教学活动的中心点。
语文课的教学活动，首先是语文的，是建立在听说读写基础上的，同时又必须是立足文本主旨或意义的。因此，语文教学活动的组织需要围绕文本的一个质点，才能做到环环相扣，不枝不蔓。一堂课没有中心点，教学就缺少明确的指向性，如一盘散沙。张家港外国语学校王开东老师在执教《今生今世的证据》一文时，以“寻找文章脉络句”结构课堂，学生很快找出四句话：1.这些都是我今生今世的证据啊。2.我走的时候，我还不知道曾经的生活有一天，会需要证明。3.即使有它们，一个人内心的生存谁又能见证？4.当家园废失，我知道所有回家的脚步都已踏踏实实地迈上了虚无之途。在把握脉络的基础上，深入其中的关键词，外在的证据有哪些？证据能够证明什么？内心的生存谁能见证？最后，很自然地得出结论：外在的生存，是物质的存在，有村庄作见证；内心的生存，是精神的世界，有家乡做依凭；当村庄改变、家园废失，我们的双脚必将踏踏实实地走向虚无之途。原来，文章不是在探讨故乡和村庄，而是借探讨故乡和村庄探讨存在的意义和价值。整个教学设计从关键词“证据”切入，围绕四个关键句展开，思路清晰，指向明确。
二、视点：走向质点的文本入口
视点是文本阅读的切入点，这一点牵一发而动全身，抓住这一点突破，常常能够切中肯綮，事半功倍。好的视点给人的感受是：“初极狭，才通人，复行数十步，豁然开朗，有良田美池桑竹之属。”
一个文本可以有不同的视点，这里有巧拙之分。要找到巧妙的视点，不仅需要眼光，需要功力，还需要一点灵感。最佳视点的发现，能充分体现一个语文教师的专业素养与教学智慧。视点所在，往往是一个文本语言形式上有鲜明特点之处。视点从文本的语言表达的特点出发，从形式走向内容，抵达文本的质点。
过去常用的标题入手，从课文开头讲到结尾的程式化教学模式，已经被越来越多的新视点所替代。有的从中间句段开花，有的从关键句入手，有的从题目中的关键词突破，也有的从结尾切入，还有的以某个人物活动为线索展开，等等。不管视点有什么不同，但最终都是一个文本的入口，由这个入口，走向文本的深处，或以线为路径，或前后延伸，或形成点的发散，最终都是由点而面，破解整个文本的结构，捕捉住文本的灵魂。更重要的是，当教学活动走向结束时，学生以质点为新的起点，在理解文本的基础上，能够重新建构起一个属于自我的文本结构。
三、远点：超越质点的文化追求
质点之后，怎么样？这是一个很现实的问题，很多优秀老师在这里很遗憾地停住了脚步，很多优质课到这里戛然而止。其实，我们还可以往前再走一步。一个文本的解决并不是语文教学的终点。语文教学上升为语文教育，是一个语文教师应有的追求。
我们以前总是把语文等同于教材，认为语文知识与能力是外在于学生、先于学习过程的，教学就是把已经存在的语文知识巧妙地灌输给学生或者让学生主动接受。然而建构主义告诉我们，一个人的言语—精神是自主建构的过程，教学则是为个体的自主建构创设一个场，形成一次次的对话，通过对话与反思，通过个人的自组织，既进行价值引导，又注重个体建构，在此二极的相互作用下，完成学生个体的言语—精神的持续建构。语文教育，就是引导个体生命通过语言文字来把握这个世界——历史的世界、社会的世界、人心的世界；就是一颗鲜活的灵魂，面对整个世界，进入用文字记录的一切人类尊严，用文字记录他心中的世界和心灵本身。因此，语文教育的追求，在质点之后，必须要有一个远点，类似于柏格森哲学中的绵延，这种绵延既是文本的自然延伸，也是生命的自然成长。
如同我们不满足于认识一棵树，我们还想去了解这棵树的同类，这棵树的身后也许是一片森林，这些同类的树，又有着哪些相同与不同的姿态与风格。由一个文本走向一群文本，这也许只是一种拓展，却是更有意义的学习。甚至，我们还有必要去了解这一棵树植根于怎样的一片土壤，还想对这棵树的根脉作一些探究。在对一个文本解读之后，我们还需要去探究文本所植根的文化土壤，去探究一下作者的思想源头与文化依存。这是一种源于文本又超越文本的深度延伸，是从文本走向文化的超越，是引领学生走向理性思考与审美高度的追求。
远点的探究可以采用同类文本同一母题的重新整合，形成一个微型课程。苏教版的《家园板块》，就可以形成一个母题，在单个文本解读的基础上，以“家园”母题统领，建立起一个个微型课程，启发学生从更广阔的背景下进行更深一层次的文化思考，从而获取关于家园乃至人生的新体验。
远点的探究，还可以是对文本的深度解读。在抵达质点之后，再往前深入一步。深入到作品的文化土壤中，辨别深层的结构和集体意识、无意识。文本传达着作者对人性最本质的思考、文化土壤中的一丝胚芽、思想火花的偶一闪耀，可以由此探究作家的意识和集体无意识。
远点之所以远，是因为它不满足于文本本身，走向了文本的背后或与之关联的高点。远点有多远，这取决于读者的视野。从教学而言，取决于教师的视野和学生所能承受的目力。所以，一个文本远点的定位，在不同的课堂上，面对不同的学生也是不一样的。不能满足于文本，但可以离文本近一点；也可以立足文本，远，再远一点。我们提倡从文本走向文化的引领，是因为语文学科本身的功能使然。但如果走向抛开文本的文化空谈，那就偏离了语文学科价值的取向。
从视点到质点、从质点到远点的教学策略或体系的构建，其宗旨是追求语文学科教学工具性与人文性和谐达成的理想境界。我们正行进在探索的路途上，这条路径是不是可行，我们期待着语文教学实践的回应。
质点几何定理证明的机器实现 篇3
几何定理机器证明是自动推理领域内的一个热门课题.1977年, 吴文俊先生提出的“吴法”[1,2,3,4]使得几何定理机器证明的研究取得了重大进展.通常, 几何定理机器证明方法可分为三大类:代数法, 人工智能法和几何不变量法.代数法的优点是证明效率高, 缺点是可读性差;人工智能法虽然可读性好但效率低、不完备;几何不变量法的可读性介于代数法和人工智能法之间, 证明效率与代数法也在伯仲之间.
质点几何使用了比几何不变量更抽象的对象———质点, 作为基本几何元素.莫绍揆先生在文献[5]中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出一种可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了可操作的依据.
邹宇等人采用质点几何作为模型, 在质点几何的基础上, 通过调用函数搜索质点在点表中的位置, 从而调用向量表中相应位置数组进行运算, 建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM, 发展了基于几何点的可读机器证明方法[6,7].
本文是在参考文献[6]的工作基础上, 针对其只是对质点所一一对应的数组做运算而非质点本身消点运算的问题, 作了纯质点代数运算.消点过程比邹宇的数组法简明.每一步消点过程都有相应的质点关系式输出, 每个质点关系式又对应于相应的几何信息, 消点过程结束, 质点关系也就都明确了, 再利用待定系数法而非数组计算法来判定结论语句是否成立, 使得每一个步骤的几何意义都非常明确.建立了能处理构造型几何定理的证明器MMP, 并通过Matlab语言实现机器证明.
1 质点几何
1.1 预备知识
质点几何使用了质点作为基本的几何元素.莫绍揆先生在《质点几何学》一书中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了依据.
质点是一个既有位置又有质量的基本几何元素, 其质量为一个实数, 可正可负以及零.质点几何的创新之处在于质点均有质量.当质量为非零实数时, 质点表示一个点, 或者其对应的位置;当质量为零时, 质点表示一个矢量, 或者其对应的方向.
通常, 用小写希腊字母ω, ξ, ψ, …表示质点, 用大写英文字母A, B, C, …表示平面上的点, 用小写英文字母a, b, c, …表示实数, 将位于点P处质量为m (m≠0) 的质点记作m P.在不引起混淆的情况下, 将位于点P质量为1的单位质点1P也简记成P.质点几何中常用的基本定理和运算律主要有:
1) 实数r与质点ω的数乘决定唯一质点rω.
2) 两质点ω1, ω2的和决定唯一质点ω1+ω2.
3) 若P1, P2, P3是质点平面的一组基, 则该平面上的任一点P都可以由这组基点线性表示, 即必存在3个和为1的实数k1, k2和k3, 使得P=k1P1+k2P2+k3P3.
4) 点P在直线AB上当且仅当存在一个实数k使得P=k A+ (1-k) B.
5) A, B, C三点共线当且仅当存在实数m和n, 使得m A+n B+ (1-mn) C=0.
6) 直线AB平行直线CD当且仅当存在一个实数k使得A-B=k (C-D) .
7) 对任意质点ω1, ω2和ω3, 任意实数a和b, 有如下运算律:
ω1+ω2=ω2+ω1 (交换律) ;
a (bω1) = (ab) ω1, ω1+ (ω2+ω3) = (ω1+ω2) +ω3 (结合律) ;
aω1+bω1= (a+b) ω1, aω1+aω2=a (ω1+ω2) (分配律) .
1.2 构造型质点几何命题
质点法不是利用尺规作要证定理的几何图形, 而是使用一种叫做“构图语句”作图步骤按题中的已知条件一步一步地向图中引入新点, 直到作出几何图形中全部的点为止.
构造型几何命题的前提能用有限的构图语句序列C0, C1, …, Cn描述, 这里的构图语句C0必须是初始构图语句, 其他构图语句即后继构图语句中出现的质点, 除了新引进的质点外, 其余的都必须是前面的构图语句所引进过的质点.
质点法使用引入点的“构图语句”来描述要证定理的前提, 本文主要构图语句有以下几条:
C0:Free Points (X, Y, Z) :在平面上任作不共线三点X, Y, Z
C1:Free Point (X) :在平面上任作一点X
C2:Point On Line (X, A, B) :在直线AB上任作一点X
C3:Midpoint (X, A, B) :作线段AB的中点X
C5:Translation (X, A, B, C) :作过点A且平行线段BC的直线上一点X
C6:Intersection (X, A, B, C, D) :作AB, CD两直线的交点X
2 证明器的设计
2.1 证明器的架构
MMP证明器主要由模块Mmprove、Loadgs和Cinter组成.
当要利用该证明器证明几何定理时, 首先将要证明的几何命题转化成相应的构图语句存储在文本文件中, Matlab通过调用模块Mmprove中的Loadgs读取该文本文件, 并利用模块Loadgs将构图语句转化成相应的消点公式, 来实现消点过程, 其中求两直线交点的消点公式还需要交点模块Cinter的辅助, 依据质点几何的基本原理和法则完成证明器的实现.
2.2 Loadgs模块
2.2.1 几何命题的输入
证明器MMP的模块Mmprove顺次阅读构图语句, 调用相应的消点公式生成, 显示质点关系式, 几何定理结论以结论等式的形式输出
Loadgs模块将文本文件中的含有待定系数x的结论质点等式 (EQ标识所在的行) 读入到符号变量eq中, 将要验证的待定系数的值 (XV标识所在的行) 读入到符号变量xv中.xv的取值为“exit”, 表示xv的值只要存在就可以.若xv的值是数或符号表达式, 则表示结论质点等式中的待定系数取此值才成立, 否则不成立.
Loadgs模块将初始构图语句Free Points (A, B, C) 引入的3个点A、B和C存储到基点列表base.构图语句序列中的其它后续语句所引入的点都可直接或间接地用前面已引入的点线性表示出来.将这些质点关系式称为构图语句所引入点的消点公式.Loadgs模块根据质点几何中的有相关的基本命题, 可以直接求出下列构图语句所引入点的消点公式:
Free Point (X) 所引入点X的消点公式:
Point On Line (X, A, B) 所引入点X的消点公式:
Midpoint (X, A, B) 所引入点X的消点公式:
DPDP (X, A, B, λ) 所引入点X的消点公式:
Translation (X, A, B, C) 所引入点X的消点公式:
上述消点公式中的a和b都是表示实数的符号变量, λ是实数或为表示实数的符号变量, X1, X2和X3是质点平面的一组基点.
2.2.2 消点公式
在质点平面上任作三个线性无关的单位质点X, Y和Z.将这三个单位质点选定为其所在的质点平面的一组基后, 那么构图语句序列中的其它语句所作的点都可直接或间接地用这组基线性表示出来,
这些质点公式分别叫做构图语句所作点X的消点公式.具体情况如下:
这里, a和b都是取值为实数的符号变量, λ、u0和v0是取值为实数的符号常量, 这些值决定了点X在平面上的确切位置.
2.3 Cinter模块
在上述消点公式中只有消点公式 (epf6) 需要复杂计算得到.下面给出求消点公式 (epf6) 的Cinter模块, 该模块使用前面构图语句所作点的消点公式列表epfs和3个基点, 求两直线AB和CD交点X的消点公式 (epf6) 中的u0和v0.
将消点公式列表epfs中新引进的质点Xi (i=1, …, n) 依次存储到初始值为空的元胞数组points中, 建立方程eq=u A+ (1-u) B-v C- (1-v) D.依次检验元胞数组points中质点Xi (i=1, …, n) 是否为eq中的符号常量, 若Xj是的话, 则用对应的消点公式epfsj替换掉Xj, 继续循环, 直至eq没有质点Xi (i=1, …, n) 出现, 此时eq只由基点的关系式表示.设基点对应系数分别用E1, E2和E3表示, 令Ei=0 (i=1, 2, 3) , 解此方程组得u0和v0的值.
3 Matlab实验
我们用Matlab编写程序实现了MMP证明器, 下面是利用该证明器解题的例子.
(高斯线定理) 设A、B、C、D是平面上的四点, E是AB、CD的交点, F是AC、BD的交点, P、Q、R分别是AD、BC、EF的中点, 则P、Q、R三点共线.
在文本文件中输入:
Free Point D
XV exist
下面是Matlab程序给出的实现过程:
消点过程:
消点结束后, 令EQ=0, 写成f1 (x) A+f2 (x) B+f3 (x) C=0形式.
这里, 系数fi (a, b) 都是a和b的线性表达式, 其中i=1, 2, 3.因A, B和C线性无关, 可得
这是一个含有3个一元一次方程的超定线性方程组, 由所作几何图形的合理性可知该方程组的解是存在的.解一元一次方程f1 (x) =0, 求出其解, 分别带入方程f2 (x) =0和f3 (x) =0中, 经验算f2 (x0) =0和f3 (x0) =0成立, 则原方程组有且仅有唯一解.
待定系数x值存在, P, Q, R三点共线.
4 结论
本文在质点几何基本定理和法则的基础上, 总结归纳质点法解题的特点, 建立了能处理仿射几何定理机器证明的消点过程, 并利用待定系数的方法而非数组计算法来判定定理结论是否成立, 使得每一个质点关系式的几何意义都非常明确.本文基于质点法处理几何点本身, 易于扩展和融合, 形成了具有完全性的消点过程.由于可以对点直接进行运算, 质点法的消点过程比面积法或向量法简明, 并通过Matlab程序实现.
本文的质点法是继面积法之后又一个能对构造性几何命题生成可读证明的完全的消点过程.运行结果显示, 本文的方法不仅效率高, 程序自动生成的证明条理简明清晰、语义简洁易懂、几何意义明确、储存信息丰富, 可读性强.此外, 由于可以对点直接进行运算, 质点法的算法和编程比面积法或向量法都要简明.本文基于点的可读机器证明的研究为扩展和融合其他已有的可读证明方法提供了基础, 也为几何的研究提供了一个新的工具.
随着计算机技术的发展和机器证明方法的不断改进, 几何定理可读证明的研究成果为研制的智能几何软件如几何专家、超级画板等提供了更广阔的平台.
摘要：本文针对质点法生成的目标关系式的过程不简明, 缺少明显几何意义的问题, 提出了一种具有较高可读性算法的几何定理证明器MMP.首先, 直接从消点公式推导目标关系式, 该方法不再使用质点坐标而直接对质点进行运算;其次, 利用三个模块架构证明器, 形成了具有完全性的消点过程;最后, 利用待定系数法判定结论语句.由于可以对点直接进行运算, 该证明器的消点过程比原有质点法具有明显的几何意义和较高运算效率.
关键词：质点几何,证明器,消点法,机器证明,自动推理
参考文献
[1]吴文俊.初等几何判定问题与机械化证明[J].中国科学 (A) , 1977, 6:507-516.
[2]Wu W T.On the decision problem and the mechanization of theorem-proving in elementary geometry[J].Scientia Sinica.1978, 21:159-172.
[3]Wu W T.Mechanical theorem proving in geometries:Basic principles[M].Springer, New York, 1994.
[4]Wu W T.Mathematics Mechanization[M].Science Press, Kluwer, 2000.
[5]莫绍揆.质点几何学[M].重庆:重庆出版社, 1992.
[6]邹宇.几何代数基础与质点几何的可读机器证明[D].广州:广州大学, 2010.
质点说课稿参考 篇4
1.1质点+参考系和坐标系
一、教材分析
1.本节课在教材中的地位和作用。
《质点 参考系和坐标系》是人教版普通高中物理必修一第一章第一课的内容。是运动学的开篇，本节课主要学习质点、参考系、坐标系的基本概念。通过本节课的学习为进一步学习运动学起到了重要铺垫的作用。
2.教学目标
根据上述教材的结构和内容分析，同时考虑到高一年级新生的认知结构及其心理特征，我制定了以下三维教学目标：
知识与技能：知道质点的概念及条件；知道参考系的概念及作用；掌握坐标系的简单应用。
过程与方法：通过质点模型的学习，体会物理模型在自然规律中的作用；对不同参考系的选取，学会从不同角度研究、分析问题。
情感态度与价值观：通过质点 参考系和坐标系第一节课的学习，使学生了解生活与物理的关系，让学生学会用科学的思维去看待事物，并培养学生对高中物理学习的兴趣与信心。
3.重、难点
根据普通高中物理课程标准及教材编排的基础上，结合高一新生对物理既好奇又畏惧的特点，对本节课我确定了以下教学重点和难点：
教学重点：质点概念的建立及其条件本节课的重点。只有掌握了基本的物理概念才能更加准确的理解和掌握后续教材的相关内容。
教学难点：质点模型建立的条件判断。本部分比较抽象，学生欠缺这方面的基础知识。需要教师的引导与对具体实例的分析。
二、教法与学法
教学是教师的教和学生的学共同组成的传递和掌握社会经验的双边活动。在这期间，教师只是起主导作用，而学生才是教学活动的主体。为了体现以学生为主体，遵循高一年级学生的认知规律，体现循序渐进和启发式的教学原则，这节课可采用综合运用直观演示、讨论、自学、练习并辅以多媒体等多种形式的教学方法。
作为教师来说，“授之以鱼，不如授之以渔”，教给高一学生学习物理的方法，培养其学习物理的能力，是物理教学的落脚点。因此这节课采用自主学习发现问题，合作探究寻求方法的兵帮兵学习方法，从而最大限度地凸现学生的主体地位，培养学生的思维能力。在这过程中要加强师生间的双向活动，教师启发引导学生自主探究，发挥其主观能动性，让学生学会学习。
三、教学过程分析
教学过程分五个教学环节。1、进入话题，激发兴趣；2、启发诱导，探求新知；3、即时训练，反馈矫正；4、归纳小结，深化目标；5、任务后延，自主探究。下面我将对这五个教学环节逐一进行介绍。
1、进入话题，激发兴趣
根据建构主义学习理论，知识不可能脱离活动情景而抽象的存在，学习应该与情景化的社会实践活动相结合。所以，本节课我采用情景导入的方式。
利用多媒体向同学们展示生活中各种运动（小鸟，飞机，汽车，行人等）视频资料。然后，让同学们举一些生活中物体运动的例子。通过古人对运动的描述，
科学家会怎么描述？让学生当一回科学家，思考，应该怎样描述物体的运动这一问题。从而引出本课。
2、启发诱导，探求新知
我利用多媒体展示一些雄鹰翱翔、足球飞滚等物体运动的视频，并让学生讨论如何准确地描述物体（足球、雄鹰）上各点位置运动情况这个问题。学生会发现向前运动的足球自身在转动，在空中翱翔的雄鹰翅膀也在上下挥动。要想描述运动的物体似乎有困难，请同学想，困难在哪里？
同学们通过讨论也许会发现，若可以忽略物体的大小和形状这个问题就简单了。于是，我进一步引导，能不能忽略物体的大小和形状呢？播放地球绕太阳公转（定量数据的给出）、轮船在海洋上航行等视频资料，让学生讨论思考这个问题，并说明自己的理由。学生通过这种讨论的方法，可以集思广益，互相启发，同时还可以激发学生的学习热情，培养对问题的钻研精神并训练学生的语言表达能力。
我通过引导学生的回答，引出质点的概念和质点成立的条件（反例的给出，加深理解）。然后，让同学们举一些生活中哪些物体的在怎样的运动中可以看做质点的例子。
通过以上教学过程完全可以攻克本节课的重点及其难点。而对于参考系这个概念可以通过一个师生之间的活动来理解。请一位同学站到讲台上，我在他面前走过，问他，我动了吗？很显然，他会回答动了。然后，让那位同学与我并排同速走动，问他，我动了吗？他回答我没动。但是，讲台下的同学看到我却动了。通过这种师生之间的活动不仅可以活跃课堂气氛还可以增加师生之间的感情。
然后，让同学们思考，为什么对于同一物体的.同一状态，关于运动和静止的说法不一样呢？通过同学们的思考，引出参考系的概念，并让同学们举一些由于参考系不同而使物体运动状态不同的例子。
对于坐标系这个知识点比较简单，可以先让同学们自学，然后请几名同学给大家讲解。通过自学可以培养学生的自主探究能力，使学生学会学习。
3、即时训练，反馈矫正
为使学生所学知识具有稳定性，并使知识顺利迁移，必须进行必要的练习。可以先让学生回顾一下本节课的知识内容，有疑问的同学可以直接向老师询问，然后，完成课后习题第1题和第2题。根据学生的完成情况，可以了解本节课的教学效果。
4、归纳小结，深化目标
对于本节课知识的归纳，我采用随机提问的方式，每一个提问到的同学总结一条，让每一个同学都有总结本节课所学知识的机会。我之所以采用这种方法，是因为这样可以促进每一个同学积极地学习并可以了解同学们的学习情况。
5、任务后延，自主探究。
通过以上四个环节的学习，同学们已经掌握了本节课的所学内容。但是，根据艾宾浩斯的遗忘曲线，必须进行及时复习。所以，应该让同学们及时复习本节课所学的内容并做一些相应的练习。
四、板书设计
1.1质点 参考系和坐标系
1、物体和质点
质点：有质量的点（不考虑形状大小）
条件：对问题的研究无影响
2、参考系
参考系：用来做参考的物体 原则：任意选取，结果不同
在直道上行驶的火车能看成质点吗 篇5
例如，一列火车从北京开到广州，①在研究火车的整体运动时毫无疑问可以把火车看做质点，理由是火车的长度可以忽略不计，对问题的研究无影响.②如果研究火车的发动机、传动机构、车轮的运动情况时火车不能看做质点，理由是此时涉及到转动问题.③如果研究火车在某一段直道上行驶通过一个路标的时间的问题时，火车不能看做质点，理由是火车的长度不能忽略，对问题有影响.
以上分析看似很完备了，也很少有学生、老师质疑其准确性.明确的说：前两种情况的结论和理由是正确的，但第三种情况的结论和理由却值得好好推敲了.我们先来看看新教材上的有关论述：在人教版教材物理必修一第9、10页上有这样的话“一列火车在铁轨上行驶，它的发动机、传动机构及车轮的运动是很复杂的.但是当我们只关心列车的整体运动时，可以认为列车上各点的运动情况完全相同，因而可以用它上面一个点的运动表示列车这个庞然大物的运动.”这段叙述结论和第一种情况相同，但仔细对比会发现所说的理由却不尽相同；教材第10页第二段有这样的叙述看来，在某些情况下，我们可以忽略物体的大小和形状，而突出物体具有质量这个要素，把它简化为一个有质量的物质点，这样的点称为质点；在另外一些情况下，我们虽然不能忽略物体的大小和形状，但是可以用其上任意一点来代替整个物体的运动，于是整个物体的运动也可以简化为一个点的运动，把物体的质量赋予这个点，它也就成了一个质点.“……”或是研究火车车轮的运动时再把火车当做质点就荒唐可笑了.
教材解读：本段论述显然是两种情况并列，文中“在另外一些情况下”的实质是物体在做平动时即便是“不能忽略物体的大小和形状”但仍然可以“把物体的质量赋予这个点，它也就成了一个质点.”在前面所述的求火车行驶通过一个路标的时间时，因火车运动可以看做平动，即可以用车身上的一个点来代替整列火车的运动.只是通过标杆的过程中其位移刚好等于车的长度而已！
但在很多教辅类书刊中，简单化的认为能忽略形状和大小的就可以看做质点，不能忽略时就简单的认为不可以看做质点，明显和新教材的本意相悖，对学生的学习质点概念造成误导.另外，在人教社配发的必修一教师用参考书第七页有论述：“一列火车在直道上行驶时，座位上每个人的运动情况都相同，可以用一个人的运动代表所有人的运动，也可以代表火车的运动情况，因此火车可以视为一个点.”为什么求火车在直道上过一个路标的时间，就不能看做质点呢？(其理由只是火车的长度不能忽略；而实质情况是车身上每一个点的位移恰好等于车的长度，车长度这个数据解题时必须要使用.)
还有，在北京科学技术出版社与中国三峡出版社1998年5月第二版出版的工具书《中学教师实用物理辞典》第28页“质点”条目中是这样叙述的：“若研究的物体不涉及转动或物体的大小跟问题中所涉及到的距离相比较很微小时，即可以将这个实际的物体抽象为质点.例如，在研究地球公转时，……在研究地球自转时，……又如物体在平动时，内部各处的运动情况都相同，就可以把它看成质点.”
此段文字又该如何理解呢?文中“研究的物体不涉及转动”或“物体的大小跟问题中所涉及到的距离相比较很微小”明显是并列关系.即在不涉及转动时：无论物体的大小能否忽略都可以把物体看做质点.若涉及转动时：如果物体的大小跟问题中所涉及到的距离相比很微小时，可以将物体抽象为质点，比如研究地球的公转时；如果物体的大小跟题中所涉及到的距离相比不能忽略时，不能看做质点，比如在研究地球的自转和研究火车车轮的运动时.
该辞典在第29页的“平动”条目下也明确指出：“平动也称平移，平行移动.……在同一个时刻，运动物体上各点的速度和加速度都相同.因此在研究物体的平动时，可以不考虑物体的大小和形状，而把它作为质点来处理.”
综合以上三大权威典籍的论述，结论应该很清楚了：研究物体的平动时，物体均可看做质点，而不论其大小能否忽略；涉及转动的物体一般不能看做质点，但当其大小和形状可以忽略时，也可以看做质点.
现在我们再回到开始的问题：
求一列匀速行驶(或者匀变速行驶)的火车(或者一根长杆)沿直线通过某一个标记的时间.
可以这样分析：因其是典型的平动，可以用其上任一点代表整体的运动，在此过程中，车头(或车尾)上的一个点通过的位移恰好等于车的长度L，即车的位移等于L，然后用运动学知识可以顺利的求出结果.(实际情况是车的长度这个数据在此题中必须用上，否则无法求出结果).
以上是笔者对有关质点问题的一点看法，有些小题大做啦，但我总觉得研究或者学习自然科学需要严谨、清楚，一丝不苟的治学态度.欢迎各位老师指正.
结构大变形的质点动力学分析 篇6
1 结构大变形的质点动力学分析方法
1.1 质点动力学有限元模型
以桁架为例(见图1),桁架由杆单元和节点组成,分别对应于质点动力学方法中的结构单元和质点,并假设桁架的质量集中在质点上,结构单元没有质量,但是对质点有力的作用,而杆单元对节点的拉伸作用,对应于结构单元对质点的内力作用。
以离散模型中的任一质点为例(见图2),质点在运动时受到与之相连的所有结构单元对它的内力作用和外荷载对它的外力作用,离散后的质点受到与之相连的结构单元在其x,y方向,以及z方向的弯矩作用,满足牛顿第二运动定律,由此建立质点动力学基本运动方程[2]:
其中,
1.2 求解思路及方法
1)质量计算。
将结构单元的质量换成等效节点质量,集中在与之相连的质点上,结构单元的惯性矩也换成等效质点惯性矩。
2)外力计算。
离散弯曲结构上的作用外力可分为两类:a.作用在质点上的集中力和弯矩;b.作用在弯曲结构单元上的外力,如均布外力或均布弯矩,用等效荷载转化为等效节点外力并作用在质点上。
3)内力计算。
以任一结构单元为例,内力增量与位移增量的关系为:
其中,Δf2x为轴向内力增量;Δm1z,Δm2z分别为结构单元两端的弯矩增量;Eα,Iα,Aα均为材料物理常数;Δ为轴向变形量;θ1,θ2分别为单元两端处的变形转角。
4)位移计算。
利用中央差分推导位移递推公式,以x方向位移为例,位移的二次求导写成差分格式[3]:
从而得到x方向位移递推公式:
其中,c1,c2均为与阻尼有关的系数。
2 结构大变形实例求解
质点动力学方法是通过对每一个质点的位移单独求解来得到整体结构的位移,从而避免了传统的有限元求解大型结构位移整体矩阵,大大简化了求解方法,与传统有限元利用静力学基本原理相比,所受限制条件更少,能有效解决结构大变形问题。
下面以平面悬臂梁为例进行求解,工况一:平面悬臂梁受到随体荷载,初始时刻在端点处受到垂直于梁端的荷载,当梁发生变形时,荷载大小不变,方向始终与梁端保持垂直;工况二:平面悬臂梁受到端部弯矩荷载,弯矩荷载大小不变,方向不变,一直作用在悬臂端处。通过以上方法建立悬臂梁的质点运动方程并编程进行求解,即可求得梁的运动轨迹。
两种工况的计算结果可用图形表示出来,曲线表示不同时刻梁的位移,水平线表示初始时刻梁的位置,如图3,图4所示。
3 结语
通过计算表明,n时刻和n-1时刻之间的时间步长Δt的选取对计算结果有影响,时间步长越小计算越精确,但是时间步长越小,需要迭代的次数越多,导致计算过程所需时间增加。研究还发现,结构越简单,阻尼的影响越明显,阻尼在0.0～1.0之间变化对计算的影响比大于1.0以后变化对计算的影响要大。
摘要：针对传统有限元在解决结构大变形时存在的问题,提出了一种新的解决办法——质点动力学方法,该方法把结构离散成为质点和与之相连的结构单元,质点遵循牛顿第二运动定律,由此求解质点的位移,从而得到结构的变形位移。
关键词：质点动力学,有限元,大变形
参考文献
[1]Yeon-Kang Wang,Chiang Shih.Fundmentals of a vector formintrinsic finite element[J].Taiwan 320,R.O.1993(2):30.
[2]王仁佐.向量式结构运动分析[D].北京:中央大学土木工程学系博士学位论文,1994.
质点 篇7
许多工业机械传动系统 (例如凹版印刷长轴驱动、纺纱机械中的罗拉传动、全电型注塑机等设备) 中大量使用的滚珠丝杠传动、风力发电变桨传动等, 都会由于传动系统的刚性不足而产生速度波动问题。针对弹性传动系统的研究与速度波动控制, 国内外专家学者已经做了大量的工作。Krzysztof Szabat等人[1]将卡尔曼滤波器应用于弹性连接的高性能传动系统。Jaroslaw Guzinski等人[2]采用速度和转矩观测器对高速列车的弹性传动系统进行了控制。A.Hace等人[3]对输送带弹性传动系统的速度波动进行了控制。伍建国等人[4]基于Riccati传递矩阵法建立了内圆磨床传动系统的动力学模型。余丹萍等人[5]建立了CRH3动车组牵引传动系统仿真模型并对其直接转矩控制方法的有效性进行了验证。缑春芳[6]建立了风力发电机传动系统模型并对齿轮部件进行了模态分析。
目前, 许多弹性传动系统都被简化为两质点系统, 因此很多速度波动控制算法都是基于简化后的二质量体传动系统模型。
本研究在两质点系统模型的基础上, 考虑更为复杂的三质点机械传动系统模型。笔者采用基于模型控制的算法思想, 在只用一个编码器的情况下对三质量体系统的速度进行控制, 达到很好的控制效果, 为开环情况下解决复杂传动系统速度波动问题提供有效的控制方法。
1 系统描述
三质点共轴弹性传动系统模型结构如图1所示。
图1中, 3块大小不一的圆柱形质量体分别通过中心轴固定在立式支撑架上, 并且3个质量体的中心轴线处在一条水平线上。质量体从左数起:第1块和第2块、第2块和第3块之间通过具有一定柔性的弹簧连接 (弹簧的柔性和弹性可足以带动轴和质量体的运动) 。第1块质量体的左端直接与直流电机 (带减速器) 连接, 电机转动则可以驱动3块质量体转动。
由于弹簧柔性较大, 电机、减速器和第1块质量体可以看成刚性连接。当电机开始运转, 由于弹簧的柔性作用, 第2、第3个质量块需要经过很长时间的振动才能渐渐平稳, 以相对稳定的速度运转。
2 系统建模
2.1 机械部分建模
根据系统机械传动特性, 本研究对机械部分进行数学建模。建模时对系统进行如下简化:
(1) 把电机转子、减速器、质量体1看成一个整体进行转动惯量的计算; (2) 忽略质量体与支座之间的摩擦力。
机械部分动力学方程可表示为:
式中:T1—减速器输出的扭矩;J1—电机+减速器+联轴器+质量块1的等效到质量体1轴上的转动惯量;J2—质量块2轴上的转动惯量;J3—质量块3轴上的转动惯量;θ1—质量块1的角位移;θ2—质量块2的角位移;θ3—质量块3的角位移;C1, C2—弹簧阻尼系数, C1=C2=Cs;K1, K2—弹簧扭转刚度系数, K1=K2=Ks。
2.2 直流电机部分建模
根据直流电动机电枢回路电压平衡方程式和电机轴上的转矩平衡方程式[7,8], 建立直流电机数学模型:
式中:La—电枢电感, ua—电枢电压, i—电枢电流, Ea—反电动势, Ra—电枢电阻, Ke—反电动势系数, Kt—电机电磁转矩系数, Tm—电机电磁转矩, Td—电机负载转矩, θ—电机转子角位移, B—等效在电动机轴上的阻尼系数, J—电机转子转动惯量。
2.3 系统传递函数
本研究要实现无刷直流电机高精度和高动态性能的控制, 不仅要控制电机转速, 同时还要控制速度的变化率也就是加速度。由直流电机的运动方程可知, 加速度与电机转矩成正比, 而转矩又与电动机的电流成正比。因而需要同时对电动机的速度和电流进行控制。为了实现高动态性能的速度控制系统, 无刷直流电机采用转速、电流双闭环的控制模式。设直流电机速度环控制器传递函数为G (s) , 由式 (1~7) 可以得到系统传递函数。在该系统模型中, 系统输入为质量体3目标角速度θi̇, 输出为质量体3的实际角速度θ3̇。
3 控制算法
3.1 系统模型的简化
一般无刷直流电机的电气时间常数远小于其机电时间常数, 因此电流环的动态响应性能远大于速度环的动态响应性能, 也就是电流的变化要比速度的变化快得多。而电机反电动势与转速成正比, 因此在直流电机有合适的电流负反馈条件下, 电机反电动势对电流环的影响很小, 可以忽略。本研究忽略电机电感La以及电机转子阻尼系数B的影响, 简化电机部分传递函数[9]。
简化后系统传递函数可表示为如图2所示的框图。
3.2 质量体3转速闭环控制方式
对质量体3转速w3的控制是通过调节质量体2的转速w2实现的, 而质量体2的转速是通过控制质量体1的转速w1来进行调节。
本研究把质量体2和质量体3看成一个整体子系统, 要使系统稳定, 质量体2和质量体3必须以相同的速度进行运转。本研究把质量体2和质量体3的速度差看作是子系统的输出量, 即质量体3需要补偿的速度量, 设为Δw23。本研究把Δw23乘以比例系数k, 与质量体2的转速相加, 得到新的质量体2的转速w′2, w′2中包含了质量体3所需补偿的速度量。再用PI控制器调节质量体1与质量体2的速度差Δw12, 补偿电机给定转速, 达到间接调节质量体3的输出转速的目的。
闭环控制理论框图如图3所示。
3.3 基于模型算法的质量体3转速开环控制
在很多工业自动化控制环境下, 在被控设备的末端执行器往往难以安装测速传感器, 上述的全闭环控制很难实现。基于模型算法的思想就在于避免在控制回路中使用传感器难以采集的末端执行器的速度信号 (在图1所示的系统中可认为是质量体2和3的速度信号) , 而用简化后的系统数学模型预估出质量体2的转速w2m和质量体3的转速w3m, 再用闭环控制的速度补偿方式对速度进行控制。
控制理论框图如图4所示。
4 实验验证
4.1 实验系统的搭建
为了验证模型算法的控制效果, 本研究搭建了三质量体弹性扭转系统试验台, 实物图如图5所示。
实验装置由PLC、减速器、编码器、转动质量体、弹簧组成, 其中PLC部分使用了以下模块:使用贝加莱X20系列标准型CPU作为PLC系统的控制器;使用X20系列的直流电机模块MM2436控制直流电机;使用X20系列的编码器模块X20DC1976接收编码器的反馈信息。其中编码器共有2个, 一个位于第一个质量体右端, 用于测量质量体1转速, 即电机转速;一个位于第三块质量体右端, 用于测量第三块质量体的转速, 该编码器仅用于观测控制效果。
4.2 实验结果与分析
实验过程中, 系统输入转速恒定为2 500°/s, 通过质量体3右端的编码器观测质量体3的速度曲线。模型算法控制前质量体3的响应速度曲线如图6所示。此时, 系统速度超调量为112%, 调整时间为13.4 s。
模型算法控制后质量体3速度曲线如图7所示。此时, 系统超调量为4.2%, 调整时间为1.2 s, 质量体3的速度曲线已基本平滑。
实验结果表明, 模型算法对弹性三质点共轴运动系统的速度波动有很好的控制作用。
5结束语
为了解决工业机械弹性传动系统中出现的复杂速度波动问题, 本研究提出了基于模型的弹性多质点共轴运动系统的控制算法, 并且通过搭建三质点共轴运动系统试验台, 对该算法的有效性进行了实验验证。实验结果表明:在开环情况下, 该算法可以对弹性传动系统的速度波动问题进行有效的控制。
在下一阶段, 本研究将在实际工业控制场合进一步验证算法的有效性。由于在实际工业控制环境下, 被控设备的运行情况将更加复杂, 在今后的研究中, 研究者可能需要进一步改进控制算法, 使之能应用于更为复杂多变的工业控制环境。
参考文献
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[8]潘丁丁.基于正交试验的间歇传动链动力学仿真研究[J].轻工机械, 2011, 29 (1) :36-39.
质点 篇8
1 建立多质点弹性体系建筑结构的爆破地震运动响应方程
当爆破地震发生时, 其多质点体系结构体运动状态图如下:
a图所示为多层框架结构体, 根据集中质量法, 把i-i与 (i+1) - (i+1) 间的结构体重力荷载与楼 (屋) 面的活动荷载全部集中到楼 (屋) 面标高处。并将该质量设定为mi (i=1, …, n) , 同时令各质量质点以没有重量的弹性直杆承于地面, 如图中b所示, 如此即可将多层框架体的繁琐方式简化, 成为串联的多自由度弹性体系, 通常情况下, 就n层的框架而言, 均可简化成相应的多质点弹性体系, 如图中, c即表示n个质点体系的自由振动状态。当设定振动时, 某个瞬时质点m1, …, mn位移分别是。x1 (t) , …, xn (t) , 则作用于质点m1, …, mn上的惯性力分别是。忽略结构阻尼的影响, 根据叠加原理可得出mi (i=1, …, n) 的位移公式
或将其表达为:
2) 中δik是单位力F=1作用于质点k上, 而在质点i上所发生的水平位移, 则被称为度系数。
对于两个质点体系, 2) 式也可化为:
由此可知, 有两个自由度的结构体系共存在两个自振频率。ω1可表示为较小的圆频率, ω2可表示另一圆频率, 这样3) 就可以得出关于两个质点运动的微分方程组, 而且其每项都可表示位移, 因此, 其亦可称为自动振动位移方程。
2 多质点弹性体系建筑结构的爆破地震运动方程求解
3) 为二阶常系数线性齐次微分方程组, 现在对其进行求解, 可设两个质点做简谐振动。
上式中, A1、A2为1、2质点振幅, ω为其振动频率, 为初相角。
根据4) 对时间t做二次微分, 可得各质点加速度:
由3) 、4) 、5) 得零解表示体系在静止状态, 所以这组解无用, 现求A1、A2不为零的其他解。根据以上式子可知, 与ω1和ω2相对应的运动方程3) 特解为这样两种振动:对应ω1为各质点按照A22/A11比值做简谐振动, 而对应ω2为各指点按照A22/A12的结果作为简谐振动。因此, 在振动时, 两者的振动形式一直维持不变, 知识在大小和方向上进行变化。同时, 对应的ω1振动形式亦可简称为第一振型, 相对应的ω2的振动形式则为第二振型。在工程计算绘制振型曲线时, 可令某质点的位移值为1, 则另对应的质点位移即可由比值得出。
当然, 对两个质点体系而言, 通常可得到两个互相独立的特解, 它们分别对应两个主振型, 而对于每个振型而言, 只有在特定的初始条件下, 其体系才会依照此种振型振动, 而在一般初始条件下, 体系振动曲线则为全部振型, 通过微分理论可以得出通解为各特解的线性组合。
3 多质点弹性体系爆破地震动力响应计算
3.1 爆破地震的位移反应谱
i质点对任何振型j, 都有相对应的地震作用力Pij, 所以, 地震作用力与质点的弹性位移有直接关系。因此, 即可得出质点i在振型j中的位移公式, 如此, 就能用位移比值的反应谱与地面的运动位移求出多质点弹性体系结构在各种振型下的作用力。
3.2 爆破地震的速度反应谱
多质点弹性体系的质点i在振型j下速度根据相应公司求一次微分即可得出, 根据上述方法即可带入速度的反应谱值, 从而得出地震速度的最大值, 进而得出地震荷载的相应数值。
综上所述, 用爆破地震的速度反应谱可算出各质点地震作用力, 由振型荷载, 就能算出建筑结构各阶的振型内力, 对各阶的相应进行综合就能得出整体的动力响应, 这和一般的地震反应谱法一样。
参考文献
[1]陈士海.爆破地震动作用下结构破坏安全标准研究[D].南京:中国人民解放军理工大学, 2004.
[2]刘满堂, 陈庆寿.多质点弹性体系建筑结构的爆破地震动力响应分析探讨[J].爆破, 2006.
质点 篇9
方法一:微平移法
将原波形 (实线) 沿波的传播方向微平移△s (平移的△S小于四分之一波长, 即△S<λ/4) 得到一条新的波形, 平移后的新波形用虚线表示, 则从原波形 (实线) 的各质点沿Y轴指向新波形 (虚线) 的方向, 就表示出了某时刻质点的振动方向。注意点:在原波形中波峰或波谷的最大位移处, 已无所谓振动方向。
例1.如图1所示是一列水平向右传播的横波的某一时刻的波形图, 请标出时刻中质点a、b、c、d、e、f、g、h各质点的速度方向。
解答:将原波形 (实线) 沿波的传播方向水平向右微平移△S后, 得到一条新的波形 (虚线) , 原波形中的各质点a、b、c……h沿y轴指向新波形 (虚线) 的方向如图1所示, 则箭头指向就表示出了该质点的速度方向。注意:原波形中的c、g二质点分别处在波谷、波峰, 是最大位移处, 该时刻不振动, 故无速度方向。
方法二:三角形法———在半个波形中, 总存在一个“首尾相连的矢量三角形”, 该三角形的一条边与波的传播方向一致。另一个顶点对应波峰 (或波谷) 。其他两边的方向与波峰 (或波谷) 两侧波中各质点的振动方向大致相同。矢量三角形另两边的“斜向上” (或“斜向下”) 方向对应该波峰 (或波谷) 两侧质点的振动方向“向上” (或“向下”) 。
如图2所示, 是某时刻一列水平传播的横波波形图, 传播方向与各质点的振动方向如图2所示。在半个波形内则可画出首尾相连的矢量三角形。
首尾相连的矢量△oba对应半个波形OAB。A点对应波峰A点;ob方向与波的传播方向V相同, ao“斜向下方向”对应AO波段中各质点的振动方向“向下”;ba的“斜向上方向”对应BA波段中各质点的振动方向“向上”。
例2.已知某时刻水平向右传播的横波波形图如图3所示, 画出该时刻质点O、A、B、C、D、E、F、G、H的速度方向。
解答:在半个波形OBD中, 做一个矢量△odb, 使od方向与波的传播方向V一致, b点与波谷B点对应, 使之成为一个首尾相连的矢量三角形, bo方向“斜对上”对应BO段各质点速度方向“向上”;故A、O两质点速度方向“向上”;db方向“斜向下”对应DB波段各质点振动方向“向下”;故D、C两质点速度方向“向下”。同理可知E、G、H的速度方向。B、F处波谷、波峰, 无振动, 即无速度方向。
该法是类比法, 类比如图4所示。山坡的上坡移植的青苗被光线照射而发蔫, 头向下;下坡上移植的青苗头向上。分别对应波形中“上波”中的质点振动“向下”, “下波”的质点向下振动, “下波”的质点向上振动。
例3.如图5所示为一列横波某时刻的波形图, 传播方向如图, 画出O、A、B、C、D、E、F、G的速度方向。
解答:沿波的传播正方向看, O、A是“上波”, 故O、A速度方向“向下”;C、D是“下波”, 故C、D速度方向“向上”;F、G是“上波”, 故F、G速度方向“向下”。B、E分别处在波峰、波谷, 无速度方向。
质点 篇10
(1) 已知物体的受力情况, 要求物体的运动情况.如物体运动的位移、速度及时间等. (2) 已知物体的运动情况, 要求物体的受力情况 (求力的大小和方向) .两类动力学基本问题的解题思路图解如图1所示:
由图1可见, 不论求解那一类问题, 求解加速度是解题的桥梁和纽带, 是顺利求解的关键.
二、整体法、隔离法
1. 整体法.
在研究物理问题时, 把所研究的对象作为一个整体来处理的方法称为整体法.采用整体法时不仅可以把几个物体作为整体, 也可以把几个物理过程作为一个整体, 采用整体法可以避免对整体内部进行繁锁的分析, 常常使问题解答更简便、明了.
2. 隔离法.
把所研究对象从整体中隔离出来进行研究, 最终得出结论的方法称为隔离法.可以把整个物体隔离成几个部分来处理, 也可以把整个过程隔离成几个阶段来处理, 还可以对同一个物体, 同一过程中不同物理量的变化进行分别处理.采用隔离物体法能排除与研究对象无关的因素, 使事物的特征明显地显示出来, 从而进行有效的处理.
三、应用
1. 若质点系内几个物体的运动状态相同, 一般先用整体法由牛顿第二定律求出质点系的加速度, 再根据题目要求, 将其中的某个物体进行隔离分析和求解.
例1如图2所示, 质量为2m的物块A和质量为m的物块B与地面的摩擦均不计.在已知水平推力F的作用下, A、B做加速运动.A对B的作用力为多大?
解析:取A、B整体为研究对象, 其水平方向只受一个力F的作用根据牛顿第二定律知:F= (2m+m) a.
解得:a=F/3m.取B为研究对象, 其水平方向只受A的作用力F1, 根据牛顿第二定律知:F1=ma, 故F1=F/3.
例2一人在井下站在吊台上, 用如图3所示的定滑轮装置拉绳把吊台和自己提升上来.图中跨过滑轮的两段绳都认为是竖直的且不计摩擦.吊台的质量m=15 kg, 人的质量为M=55 kg, 起动时吊台向上的加速度是a=0.2 m/s2, 求这时人对吊台的压力.
解析:选人和吊台组成的系统为研究对象, 受力如图3所示, F为绳的拉力, 由牛顿第二定律有:2F- (m+M) g= (M+m) a.则拉力大小为:.再选人为研究对象, 受力情况如图4所示, 其中FN是吊台对人的支持力.由牛顿第二定律得:F+FN-Mg=Ma, 故FN=M (a+g) -F=200 N.由牛顿第三定律知, 人对吊台的压力FN'大小为200 N, 方向竖直向下.
例3一弹簧秤秤盘的质量M=1.5 kg, 盘内放一个质量m=10.5 kg的物体P, 弹簧质量忽略不计, 轻弹簧的劲度系数k=800 N/m, 系统原来处于静止状态, 如图所示.现给物体P施加一竖直向上的拉力F, 使P由静止开始向上作匀加速直线运动.已知在前0.2 s时间内F是变力, 在0.2 s以后是恒力.求力F的最小值和最大值各多大?取g=10 m/s2.
解析:因为在t=0.2 s内F是变力, 在t=0.2 s以后F是恒力, 所以在t=0.2 s时, P离开秤盘.此时P受到盘的支持力为零, 由于盘的质量M=1.5 kg, 所以此时弹簧不能处于原长, 设在0～0.2 s这段时间内P向上运动的距离为x, 对物体P据牛顿第二定律可得:F+N-mg=ma (1) , 对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得:, t=0.2 s时, N=0, 并由述二式求得, 而, 得a=6 m/s2.当P开始运动时拉力最小, 此时对盘和物体P整体有:Fmin= (M+m) a=72 N.当P与盘分离时拉力F最大, Fmax=m (a+g) =168 N.
2. 若质点系内几个物体组成的运动状态不同, 则运用牛顿第二定律的分量式进行求解, 牛顿第二定律的分量式如下:
上式中左边表示质点系在x轴或y轴方向上所受到的合力, 右边表示每一个物体的质量与x轴或y轴方向上加速度的乘积.
例4如图6所示, 质量为M的框架放在水平地面上, 一轻弹簧上端固定一个质量为m的小球, 小球上下振动时, 框架始终没有跳起.当框架对地面压力为零瞬间, 小球的加速度大小为多少?
解析:对系统受力分析:由牛顿第二定律得: (M+m) g-F=maM+mam.框架对地面压力为零瞬间, F=0, 由于框架始终没有跳起, 故aM=0.解得:
例5如图8所示, 一只质量为m1的猴子爬在质量为m2的竹竿底端, 当剪断绳的瞬间, 猴子向上爬至竹竿上端的过程中始终相对地面静止, 略空气阻力, 求竹竿的加速度.
解析:对猴子和竹竿所组成的系统受力分析.由牛顿第二定律可得: (m1+m2) g=m1a1+m2a2.由于猴子始终相对地面静止, 故a1=0, 所以.