级数收敛（通用5篇）
级数收敛 篇1
摘要：调和级数是数频收敛的证明否定了一切不严密的经典数学中有关它发散的论证, 成了数频级数衡量级数收敛的新标准, 见证了经典数学趋向数频科学的划时代伟大转变.
关键词：交错级数等于ln2是n到2n的调和级数, n趋于∞,n到2n的欧拉质数的倒数之和是收敛且不超过ln2
交错级数的数频公式:
交错级数它的数频公式为 ( n为奇数且趋于∞ ) .
这就表明了n为奇数且趋于∞时交错级数就是n到2n的调和级数收敛并等于ln2, 由于调和级数在2n趋于∞时可以分为两部分, 从1到n和从n到2n的调和级数, 而且ln2就是n到2n的所有无穷项的和. 事实上不论取n的多少倍, 这些项首先都符合并收敛于交错级数ln2, 这里为论述方便取其特征而论, 不影响其性质. 这样调和级数可写为
这就是说, 无穷项的调和级数的前半部分如果发散, 必然与它后半部分等于ln2相矛盾. 因为整个调和级数应该是一致发散或收敛, 它的前半部分既然没有科学依据来证明是发散的, 但能证明它的后半部分是等于ln2, 那么整个调和级数就是收敛的数频级数.
古今中外的数学大师们之所以作出调和级数发散的错误结论在于局限在无穷大的无穷循环的无条件复制而不休, 交错级数的收敛且等于ln2科学终止了这种悖论.
举世闻名的大数学家莱昂哈得·欧拉利用黎曼函数证明所有质数 ( 又名素数) 的倒数之和是发散的同样不成立.首先根据交错级数的数频公式, 容易得出在n到2n的所有质数的倒数之和不超过ln2, 既然调和级数是收敛的, 那么所有质数的倒数之和必然收敛, 这虽然今非昔比, 物是人非, 同样举世闻名. 一度作为经典数学之无穷级数理论重要支撑, 如今改弦更张, 脱胎换骨, 重新回归数频科学本色, 焕发数频科学精神. 展望未来, 数频科学虽然新生, 却具有了科学的无坚不摧的力量. 这正是当前国际数学向数频科学改变的大势所趋.
参考文献
[1]高等数学, 同济大学数学系主编.
级数收敛 篇2
基于模糊值函数的研究,利用模糊数的度量以及模糊数的绝对值概念,讨论了模糊值函数级数绝对一致收敛性,给出了模糊值函数级数绝对一致收敛性的`一个充要条件和几个推论.
作 者：吴从 熊启才 Wu Congxin Xiong Qicai 作者单位：吴从,Wu Congxin(哈尔滨工业大学,数学系,哈尔滨,150001)
熊启才,Xiong Qicai(哈尔滨工业大学,数学系,哈尔滨,150001;陕西理工学院,数学系,汉中,723000)
三重级数收敛性的讨论 篇3
关键词：级数,重级数,柯西收敛准则
1 引言及相关定义
作为高等数学内容重要组成部份的级数是数学中非常重要的概念与计算手段, 级数不论在数学理论及现实中均有广泛应用。高等数学中已经介绍了级数相关定义及性质, 为了以示区别将这些级数称为一重级数。考虑到数学理论的完善及现实中应用, 有必要将该定义推广到多重级数, 鉴于二重级数已经有较多结论, 本文讨论三重级数定义及性质, 对于更高重数级数有类似讨论。下面先回顾一重级数定义及重要性质。
在建立级数收敛性判据时, 核心的结果是如下的柯西收敛准则:
下面类比的给出三重级数定义:
注:为了叙述上的简介, 本文将三重级数简称为重级数。
显然由于三重级数收敛性需要讨论重极限与逐次极限, 所以三重级数收敛的判定显得更为复杂, 但是幸运的是, 我们仍可以找到类比一重级数的柯西收敛准则及比较判别法。
2 重级数收敛性的若干重要性质
下面首先给出若干重级数的例子, 再逐步给出本文重要结论。
解
即该级数收敛。
下面讨论重级数的性质:
证明:下证任意加括号后结论成立, 改变有限项的证明类似。
注:由例2容易知道收敛级数在加括号后收敛性不变, 但反之不成立。
定理2.4 (重级数的柯西收敛准则) 重级数 收敛当且仅当它的部分和序列 为柯西列
3 结论
本文在回顾了高等数学中级数定义后, 对重级数定义及性质进行了有益地探索, 文章给出了三重级数若干重要性质, 对三重级数收敛性的讨论起到了重要的抛砖引玉之用, 围绕三重级数收敛性的更深入讨论是之后研究的重点。
参考文献
[1]Double Sequences and Double Series.Eissa D.Habil_.Islamic University of Gaza.P.O.Box 108, Gaza, Palestine.
[2]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上册) .2版[M].北京:高等教育出版社, 2009.
[3]杨小远, 孙玉泉, 薛玉梅等.工科数学分析教程 (上下册) [M].北京:科学出版社, 2011.
[4]裴礼文.数序分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社, 2010, 11.
关于函数项级数的一致收敛性再探 篇4
一、函数项级数的一致收敛性概念
对此,就需要从一致收敛性的多种判别法进行探求针对函数项级数解析性质是否可以遗传给函数之中的解答,通过解析达到逐点收敛加强为整体收敛的目的.
二、比式根式判别法
1. 比式判别法
则含有正整数N,即n>N时,存在0<qn(x)≤q<1.而un(x)位于D中,可说明针对任意实数的M与任意的x∈D,含有正数M,即un(x)<M.
2.根式判别法
摘要：本文针对函数项级数的一致收敛进行探索,针对其中的概念与数种判别法进行详细分析,对于教材中所涉及的函数项级数一致收敛判别法进行细致的论证,通过各类典型例题利用判别法进行解答,为高校相关内容的讲解提供依据,也为我国数学行业的发展打下基础.
关键词：初等函数,函数项级数:一致收敛性
参考文献
[1]刘江蓉.关于函数项级数的一致收敛性[J].科教文汇(下旬刊),2013(06):52+54.
[2]张亦霄,田黄佳.正项函数项级数一致收敛的Raabe型判别法的推广[J].大学数学,2015(06):61-66.
级数收敛 篇5
历史上对于级数的研究的研究出现得很早, 公元前4世纪人们就知道了公比介于0和1的几何级数可以求和, 17世纪牛顿莱·布尼兹在总结和发展前人工作的基础上同时建立了微积分的思想方法和理论, 微积分的创立对级数的发展起到了巨大的促进作用, 最终级数的理论得以建立。17世纪末18世纪初, 有人曾经问德国大数学家莱布尼兹, 自然数平方倒数这个无穷级数的和是多少, 即:
但莱布尼兹经过多次尝试都没能计算出来, 于是让雅各布伯努利来计算, 但雅各布对此也无能为力, 这个问题最后引起了著名数学家欧拉的关注, 欧拉经过反复思考, 最终应用正弦函数的幂级数展开与多项式的根与系数的关系采用类比的方法创造性的解决了这个问题, 当时的方法虽然有不严密的地方, 但经过验证, 欧拉所得的结果是正确无疑的。其实这个问题应用牛顿吉·拉尔公式[1]可以得到非常全面的结果, 即令
而
利用这个公式可以计算出:
2 复平面上复数列N次方的倒数和
定义1若复数列{an+bni}的每一项的实部和虚部都是整数, 且每一项的辐角相同, 则称这个复数列为具有相同辐角的整复数列, 与此对应的级数称为整复级数。
由以上定义不难看出如果一个复数列是同辐角数列, 则此数列可以表示为{an+kani}, 其中k为辐角的正切值, 而且实数列的每一项的值与对应复数的模相等。
定理1设{rn}为实轴上的一个数列, 起n次方倒数的和收敛于S, 即:
则将x轴旋转后与其对应的同辐角复数列{an+bni}的n次方倒数和
也收敛。
对于上面的情形我们实际上考虑的是同辐角数列模的n次方倒数和的收敛性来判断其收敛性, 实际上我们可以用一个更简单的数列来判断其收敛。
定理2设{an+bni}为同辐角数列, 如果其实部构成的数列{an}的n次方倒数和收敛, 则此同辐角数列的n次方倒数和的收敛。
证明因为同辐角数列{an+bni}可以表示为{an+kani}, 且{an}的n次方倒数和收敛, 不妨设其收敛于T, 则
显然收敛, 综上得征。
定理2说明了同辐角数列实部n次方倒数和收敛, 则其n次方倒数和收敛。
对于同辐角复数列来说, 从几何的角度我们可以发现一些有趣的性质。
定理3若复数列{an+bni}有无穷多项在复平面的一条直线上, 即最多只有有限多项落在直线外, 而落在直线上的项构成的复数列其实部的n次方倒数和收敛, 则此复数列的N次方倒数和收敛。
由复分析级数理论可以知道去掉或加入有限项并不会改变级数的收敛性, 所以由定理2很容易的到证明, 但要注意的是这只是此类级数收敛的充分条件, 并不是必要的。
3 结语
微积分理论主要分为三部分:微分理论、积分理论、级数理论, 而级数理论是分析学研究的重要部分, 数学家都很好奇无穷的数列收敛情况是一个什么样子, 比如历史上非常著名的Riemann zeta函数, 其是一个无穷级数收敛形成的函数, 它在解析数论中有重要应用, Riemann zeta函数可以开拓到C{1}, 开拓后的函数在z=-2m (m=1、2, …) 有明显的零点, Riemann猜测其余所有的零点都分布在直线上, 这就是著名的Riemann zeta猜想[2], 这一猜想至今还未得到证明, 反过来将一个函数开拓成级数形式也是我们研究函数的重要手段, 通过将实数域的研究拓展到复平面上是研究数学的一种手段, 历史已经证明分析学只有把复平面的情况研究清楚才能真正了解很多数学定理的本质。
参考文献
[1]汪晓勤.欧拉与自然数平方倒数和[J].曲阜师范大学学报, 2002 (4) .